MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA
MATEMATIฤKA INDUKCIJA, FUNKCIJE, IZVODI
B A H R U D I N H R N J I C A
B I H A ฤ 1 9 9 6 , R E P R I N T 2 0 1 0
2 Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
2
3 Predgovor Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
3
PREDGOVOR
nspirisan jednim skromnim iskustvom u prenoลกenju znanja mojim prijateljima i kolegama na fakultetu, odluฤio sam da pokuลกam napisati ovaj tekst, u kojem sam obradio na nestandardan naฤin neke teme iz podruฤja matematike, a koje se studiraju
na prvoj godini Maลกinskog fakulteta u Bihaฤu. Gotovo sve knjige iz matematike tako strogo obraฤuju teme kao ลกto i sama matematika to zahtijeva. Pokuลกao sam sebi dati malo slobode da na jedan nestandardan naฤin potenciram i obradim neke detalje koji povrลกno gledajuฤi ne zahtijevaju mnogo paลพnje, a temelj su u stvaranju prave slike i rasuฤivanja u matematici. Mnogi studenti dobijaju komplekse i razne male โtraumeโ kada ugledaju te silne teoreme, te matematiฤke simbole i zadatke. Koristio sam jedan, viลกe simboliฤki naฤin u rjeลกavanju zadataka, a ne odstupajuฤi od standarda rjeลกavanja. Na taj naฤin ลพelio sam pribliลพiti i dati viลกe hrabrosti studentima da se upuste u prouฤavanje te tako neophodne grane nauke i objasniti sve te strogo definisane zakone kroz jednu vrstu humora sa puno simbolike, a koji u biti ostaju tamo gdje su uvijek pripadali โ u matematici. Protekli rat je uฤinio da mnogi studenti koji pohaฤaju I godinu nisu dolazili u dodir sa mnogim stvarima iz matematike, koje se obraฤuju u srednjim ลกkolama. Kada jedan takav ratni srednjoลกkolac poฤinje da susreฤe sve te maloprije navedene stvari, pada u jednu vrstu averzije prema matematici bez koje nikako ne moลพe da napreduje. Averzija i strah od matematike u studentu ลพivi cijelo vrijeme i jednostavno ga koฤi. U takvom stanju student postaje fobiฤan na svaku novu informaciju. On tada traลพi druge putove spoznaje: drลพi se strogih ลกablona uฤi napamet odreฤene teoreme i formule, jednostavno vodi jednu ogorฤenu bitku s matematikom. Prvo poglavlje koje se obraฤuje je matematiฤka indukcija- vrlo jednostavna ali potpuno imaginarna metoda rjeลกavanja problema. Ukoliko se ne razjasni u detalje, njeni opฤi principi vrlo je teลกko spoznati. Poglavlje detaljno objaลกnjava postupke, metode i korake rjeลกavanja. Obraฤuje osnovne tipove zadataka koje rjeลกavamo matematiฤkom indukcijom. Drugo poglavlje govori o funkcijama jednom od osnovnih pojmova u matematici. Daje detaljan pregled osnovnih elementarnih funkcija realne promjenjive u matematici, njene osnovne teoreme, grafove, tokove. Poglavlje, takoฤer, daje osnovne teoreme vezane za funkcije. Treฤe poglavlje obraฤuje Izvode funkcija koji su vrlo vaลพni za daljnje napredovanje u matematici te su detaljno prikazani izvodu osnovnih funkcija i uraฤeno nekoliko zanimljivih zadataka iz ovog poglavlja. Prije nego ลกto poฤnete ฤitati prve stranice ovog teksta, neka mi ne zamjere svi oni koji smatraju ovo neฤim ลกto ne pripada ovoj temi. Moj jedini cilj je u tome da ovaj djeliฤ matematike bude lakลกe shvatljiv svima onima koji zbog rata to nisu dobili. Bihaฤ, Decembra 1996. Bahrudin Hrnjica
I
4 Predgovor Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
4
Sadrลพaj Predgovor ................................................................................... 3
Matematiฤka indukcija ....................................... 6 1.1 Teorija o matematiฤkoj indukciji ...................... 7 1.2 Primjer primjene matematiฤke indukcije....... 10 1.3 Zadaci za praktiฤnu primjenu matematiฤke indkucije 13 1.4 Zadaci za samostalan rad uz povremeno gledanje rjeลกenja 27 1.5 Rjeลกenja zadataka za samostalan rad .............. 29
Funkcije .............................................................. 31
2.1 Pojam funkcije................................................... 32 2.2 funkcije jedne nezavisno promjenjive ........... 33 2.2.1 Naฤin izraลพavanja funkcije ................................... 34 2.2.2 Osobine funkcije .................................................... 35 2.2.3 Inverzina funkcija ................................................. 43 2.2.4 Sloลพena Funkcija .................................................. 45 2.2.5 Funkcija zadana u parametarskom obliku ............ 46 2.3 Pregled osnovnih elementarnih funkcija ....... 48 2.3.1 Neลกto iz historije ................................................... 48 2.3.2 Linearna funkcija (jednaฤina pravca) ..................... 52 2.3.3 Kvadratna funkcija ............................................... 53 2.3.4 Kubna funkcija ..................................................... 54 2.3.5 Stepena funkcija .................................................... 54 2.3.6 Eksponencijalne funkcije ....................................... 55 2.3.7 Logaritamska funkcija .......................................... 56 2.3.8 Hiperbolne funkcije ............................................... 57 2.3.9 Trigonometrijske funkcije....................................... 60 2.3.10 Arkus funkcije ...................................................... 60
Izvod funkcije.................................................... 63
3.1 Povijest izvoda .................................................. 64 3.1.1 Konstrukcija tangente ............................................ 64 3.1.2 Srednja i trenutna brzina ...................................... 67 3.2 Pojam IzvodA funkcije .................................... 68 3.3 Izvodi Elementarnih Funkcija ........................ 70 3.3.1 Izvod algebarskog zbira dvije funkcije .................... 73 3.3.2 Izvod prooizvoda i koliฤnika dvije funkcije ............ 74 3.3.3 Izvodi trigonometrijskih funkcija ........................... 78 3.3.4 Izvod inverzne funkcije .......................................... 80 3.3.5 Izvod hiperbolnih funkcija ..................................... 84 3.3.6 Tablice pravila i osnovnih izvoda ........................... 86 3.4 Diferencijal funkcije ......................................... 87 3.5 Geometrijska interpretacija direfencijala ....... 90 3.6 Izvod drugog i viลกih redova ............................ 94 3.6.1 Izvodi funkcija datih u parametarskom obliku ...... 98 3.6.2 Mehaniฤka interpretacija drugog izvoda ................. 99 3.6.3 Diferencijali viลกeg reda .........................................100
5 Predgovor Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
5
6 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
6
MATEMATIฤKA INDUKCIJA
7 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
7
1.1 TEORIJA O MATEMATIฤKOJ INDUKCIJI
eki studenti i srednjoลกkolci pri prvom susretu sa matematiฤkom indukcijom dobiju nekakav, nazvao bih ยปinduktivni otporยซ u moลพdanoj zavojnici. Radi smanjivanja i potpunog uklanjanja induktivnog otpora predlaลพem vam slijedeฤe.
ยป Zaboravite sve ลกto ste znali, do sada, o Principu matematiฤke indukcije!ยซ.
Kada ste obrisali i uklonili sve moลพdane vijuge glede matematiฤke indukcije, uvest ฤu vas u nju jednim drugim u biti istim putem. Prije nego ลกto krenem u tu ฤudesnu i nevjerovatnu stvarnost ispriฤat ฤu vam priฤu ko je kriv za to ลกto nemate sna, i za sve noฤne more koje dobijate od matematiฤke indukcije. Sve je poฤelo ne tako davno, negdje blizu 20-tog stoljeฤa, kada je L. Peano ljetovao oko Venecije. U to doba dosta se govorilo o brojevima, posebno na gradskim trgovima i pijacama. Ali Peana, kao matematฤara, nije zanimalo koliko ลกta koลกta, nego neลกto sasvim drugo. On je razmiลกljao o tome kako sve te brojeve, koji su tako ฤesto u razgovoru i upotrebi, definiลกe i zasnuje na matematiฤkim osnovama, odnosno kako brojeve definisati pomoฤu jednog zatvorenog neproturijeฤnog i konaฤnog skupa aksioma. Jednog dana tako je i bilo...
Definicija 1:
Skupom Prirodnih bojeva zovemo svaki skup N za ฤija ma
koja dva elementa ๐ i ๐โฒ postoji odnos da ๐โฒ slijedi poslije ๐, i koji zadovoljavaju slijedeฤe aksiome.
Aksioma 1: 1 je prirodan broj. ( To je revolucionarno otkriฤe koje je mali korak za ljude sa trga, a veliki za Peana)
Aksioma 2: Svaki prirodan broj ๐ ima svoj slijedeฤi broj ๐โฒ.
Aksioma 3: ๐โฒ โ 1. (Ili, jedan nije slijedeฤi broj ni za koji prirodan broj)
Aksioma 4: ๐โฒ = ๐โฒ โ a = b. Dva prirodna broja su jednaka ako su im jednaki njihovi sljedeฤi brojevi.
Napomena: Ova aksioma proizaลกla je nakon napornog rada na njivi gdje je Peano brao tek sazreli limun. ยปI limun je ลพut, zar neยซ.
N
8 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
8
Peta Peanova aksioma - poznata je pod nazivom ยปNoฤna moraยซ. Aksioma zbog koje vi ne spavate, ne jedete, aksioma koja je frustrirala najviลกe studenata od svih Peanovih aksioma. Njen treฤi naziv je u narodu poznat pod imenom AKSIOMA INDUKCIJE.
Aksioma 5:
1. 1๐๐
2. ako postoji prirodan broj ๐๐๐, pa takoฤer i njegov
๐โฒ๐๐. Tada M sadrลพi sve prirodne brojeve tj. M je identiฤan sa skupom prirodnih brojeva.
Neลกto nije jasno? Da to je Aksioma indukcije. ล ta, buni vas to ลกto se spominju nekakvi skupovi M i N. Pa lijepo sam vam rekao da zaboravite sve ลกto ste znali o matematiฤkoj indukciji. Zadnja Peanova aksioma definiลกe matematiฤku indukciju. Moลพda vam sad niลกta nije jasno, ni matematiฤka indukcija ni Peanovi aksiomi. Moลพda vam je jedino jasno zaลกto je limun ลพut. Tako sve poฤelo, mislim na noฤne more i branje limuna. To je bio ฤovjek koji je za sve kriv tj. definisao je matematiฤku indukciju. Reฤi ฤu vam neลกto u povjerenju: Tu priฤu sam i ja ฤuo. Meni je bilo lakลกe, a vama? Peta Peanova aksioma ili Aksioma indukcije modificirana je u teoremu. No prije nego je izloลพim proฤitajte slijedeฤi primjer: Zamislite da ste u vinskom podrumu i morate provjeriti kvalitet u 10 000 buradi. Jedino ลกto vlasnik ลพeli od vas jeste da ga trijezni izvijestite da li je vino u svim buradima istog kvaliteta u roku od 15 minuta. Sada kada je pred vama jedan gotovo nerjeลกiv problem, ne klonite duhom. S takvim i sliฤnim situacijama priskaฤe u pomoฤ 'noฤna mora', hoฤu reฤi matematiฤka indukcija. Naฤin na koji bi rijeลกili ovakav problem sastoji se u sljedeฤem. Probajte prvih nekoliko buradi s vinom. Uvjerite se da je vino istog kvaliteta. Sada 'uzmite' nasumice izabrano bure i pretpostavite da je vino zadanog kvaliteta, moลพete te ga ฤak i probati. Tada ispitajte vino u sljedeฤem buretu. Ako je ocjena ista kao kod pretpostavljenog bureta, moลพete otiฤi vlasniku i obavijestiti ga da ste rijeลกili problem odnosno da je vino istog kvaliteta. Vlasnik ฤe vam povjerovati jer poznaje princip matematiฤke indukcija.
Napomena
Ni u kom sluฤaju nemojte popiti previลกe vina.
Ovo ne morate ฤitati
U matematici postoje dva naฤina rasuฤivanja: Deduktivno Induktivno
9 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
9
Deduktivni naฤin rasuฤivanja vodi do toga da morate probati vino u svim buradima i onda tako pijani date izvjeลกtaj vlasniku o kvalitetu vina u buradima. Drugim rijeฤima dedukcija je naฤin rasuฤivanja u matematici koji se bazira na tome da sve pojedine zakljuฤke dobijamo iz jednog opฤeg zakona.
Induktivni naฤin zakljuฤivanja, koji smo veฤ prezentirali u primjeru, vodi do toga da pojedinaฤnim zakljuฤivanjema dolazimo do jednog opฤeg zakljuฤka.
Ako se sada svo to vino i burad zamijeni sa prirodnim brojevima dobijamo: princip matematiฤke indukcije.
Definicija 2:
Ako neka tvrdnja ๐(๐), koja zavisi od prirodnog broja ๐, vrijedi za prvih nekoliko prirodnih brojeva, te ako iz
pretpostavke, da vrijedi za neki prirodni broj ๐ = ๐ tvrdnja
๐(๐) vrijedi i za ๐ = ๐ + 1, pomenuta tvrdnja vrijedi za sve
prirodne brojeve odnosno za svaki prirodan broj ๐.
10 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
10
1.2 PRIMJER PRIMJENE MATEMATIฤKE INDUKCIJE
Za poฤetak rijeลกit ฤemo jedan primjer. Sljedeฤi primjer je najjednostavniji primjer koji se rjeลกava pomoฤu matematiฤke indukcije. Doista, jednostavnijeg primjera nema. Primjer je toliko jednostavan da ga ne moลพemo zvati zadatak.
Primjer 1:
Potrebno je provjeriti da li:
1 + 2 + 3 + โฏ+ ๐ =๐ โ (๐ + 1)
2
vrijedi za sve prirodne brojeve.
(1.1)
Dokaz:
Prije samog poฤetka vratite se na definiciju matamatiฤke indukcije. Nakon ลกto ste joลก jednom proฤitali definiciju, proฤitajte je joลก jednom, i obratite paลพnju na prvi dio reฤenice. Definicija teoreme kaลพe da svaku tvrdnju, bilo ona u obliku primjera, ili zadatka, teoreme ili vinskog podrumaโ potrebno je provjerili validnost tvrdnje za prvih nekoliko prirodnih brojeva. Uzmimo da je n=1.
Sada se deลกava sljedeฤe (poลกto je ๐ = 1):
1 =1 โ (1 + 1)
2
vidimo da, ako izraฤunamo desnu stranu, dobijamo: 1 = 1. To znaฤi da poฤetna tvrdnja (1.1) vrijedi za prvi prirodan broj, ลกto ne povlaฤi da vrijedi
ako je ๐ = 2, u to se moramo uvjeriti.
Ako je ๐ = 2, primjer se svodi na:
1 + 2 =2 โ (2 + 1)
2
odnosno,
3 = 3. Vidimo da je tvrdnja (1.1) taฤna i za n=2. Sada moลพemo preฤi na drugi korak jer nema smisla provjeravati dalje pojedinaฤno validnost tvrdnje primjera 1. Meฤutim, ako se radi o vinskim buradima provjerava se najmanje prvih deset. Poลกto ste savladali prvi korak predlaลพem da proฤitate ponovo definiciju matematiฤke indukcije i obratite paลพnju na drugi dio reฤenice tj. 'ako iz pretpostavke da vrijedi za n=k ...'.
Ovo znaฤi da moramo izabrati neki prirodan broj ๐, znaฤi bilo koji. Poลกto je bilo koji, to
ne moลพemo reฤi da je primjerice 5, 15 ili 155. Samim tim mi se nismo ograniฤili na odreฤeni.
Pretpostavimo da za bilo koji ๐ = ๐ vrijedi tvrdnja (1.1). Na matematiฤkom jeziku zadnja reฤenica izgleda sljedeฤe:
11 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
11
1 + 2 + 3 + โฏ+ ๐ =๐ โ (๐ + 1)
2 (1.2)
Sada proฤitajte ponovo definiciju i paลพnju stavite na zadnji dio reฤenice 'tvrdnja vrijedi
za ๐ = ๐โฒ. To znaฤi da moramo dokazati da tvrdnja vrijedi za ๐ = ๐ + 1 iz pretpostavke (1.2). U stvari mi sebi neลกto pretpostavimo da bismo s tom pretpostavkom neลกto dokazali. To je isto kada moramo pretpostaviti da ฤe vino poteฤi iz bureta prije nego natoฤimo ฤaลกu, inaฤe ne bi ni otvarali bure. Ovo je najbitniji momenat procedure dokazivanja baziranog na matematiฤkoj indukciji. Treฤi dio najjednostavnije moลพemo rijeลกiti ako se pravimo da niลกta ne znamo. Napiลกimo pretpostavku:
1 + 2 + 3 + โฏ+ ๐ =๐ โ (๐ + 1)
2 (1.3)
U pretpostavku moramo ukljuฤiti sljedeฤi broj broja ๐ tj. ๐ + 1 jer to definicija zahtjeva od nas. Ako sada, poลกto niลกta ne znamo, imamo na umu da jednoj ekvivalentnosti (bilo ona pretpostavljena ili ne) moลพemo dodati isti broj sa lijeve i desne strane i da ona i tada ostaje nepromijenjena (identiฤna), tada smo primjer dokazali. Kako? Dakle dodajmo lijevoj i desnoj strani sljedeฤi broj broja k. Broj koji je dodan je boldiran. Dobijamo:
1 + 2 + 3 + โฏ+ ๐ + ๐ + ๐ =๐ โ (๐ + 1)
2+ ๐ + ๐ (1.4)
Sada je potrebno lijevu i desnu stranu izmanipulisati tako da, gdje je god stajao broj k,
mora biti sljedeฤi broj ๐ + ๐. Jedino u takvom sluฤaju zadovolji ฤemo definiciju (1.1), odnosno onog tipa iz Italije.
Pogledajmo lijevu stranu izraza (1.4). Tamo je ๐ bio na posljednjem mjestu u jednakosti
(1.2), sada stoji ๐ + 1. Znaฤi tu smo odradili posao. Na desnoj strani imamo:
๐๐๐๐๐ฃ๐ ๐ ๐ก๐๐๐๐ =๐ โ (๐ + 1)
2+ ๐ + ๐
Postupit ฤemo kao da se niลกta ne deลกava i uradit ฤemo sve ono ลกto se moลพe uraditi na
tako โoskudnojโ desnoj strani. Sabraฤemo razlomak sa ๐ + 1. Imamo:
๐๐๐๐๐ฃ๐ ๐ ๐ก๐๐๐๐ =๐ โ (๐ + 1) + 2 โ (๐ + 1)
2.
Izvlaฤenjem zajedniฤkog ฤlana ๐ + 1 u brojniku dobijamo sljedeฤe:
1 + 2 + 3 + โฏ+ ๐ + ๐ + ๐ =(๐ + 1) โ (๐ + 2)
2 odnosno,
lijeva strana desna strana
12 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
12
1 + 2 + 3 + โฏ+ ๐ + ๐ + ๐ =(๐ + 1) โ [(๐ + 1) + 1]
2 (1.5)
Promatrajuฤi desnu stranu uoฤavamo da, gdje je god bio broj ๐ i ๐ + 1 sada stoje
slijedeฤi brojevi: ๐ + 1 i ๐ + 2 (odnosno (๐ + 1) + 1). A to znaฤi da smo iz
pretpostavke dokazali da tvrdnja vrijedi za ๐ = ๐ + 1 prirodan broj. Po posljednji put proฤitajte definiciju, a paลพnju usmjerite prema zadnjoj odnosno drugoj reฤenici: 'Tvrdnja vrijedi za svaki prirodan broj'. Ako definicija kaลพe tako onda budite sigurni da ste stvarno dokazali primjer 1. Ako ne vjerujete u to, predlaลพem vam da odete na pusto ostrvo sa ลกleperom papira i hrane, te
polahko krenite od 1. Ostatak ลพivota ฤete sigurno potroลกiti dokazujuฤi tvrdnju deduktivno, a moลพda ฤete dospjeti i do naslovnica svjetskih ฤasopisa pod naslovom 'ฤovjek sa pustog ostrva izmiลกlja toplu vodu'. Ako ste shvatili prethodni primjer predlaลพem, vam da odete u podrum i probate vino u 11-tom buretu.
13 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
13
1.3 ZADACI ZA PRAKTIฤNU PRIMJENU MATEMATIฤKE INDKUCIJE
Zadatak 1:
Dokazati primjenom matematiฤke indukcije da:
1 + 3 + 5 + โฏ+ (2๐ โ 1) = ๐2 vrijedi za sve prirodne brojeve.
(1.6)
Dokaz:
ฤim pogledamo zadatak primjetit ฤemo da je lijeva strana zbir prvih ๐ neparnih brojeva (desna strana je njihova vrijednost).
Ako je ๐ = 1 dobijamo,
1 = 12, tj. 1 = 1
1 + 3 = 22, tj. 4 = 4
Pretpostavimo da je za ๐ = ๐ tvrdnja (1.6) taฤna odnosno da je:
1 + 3 + 5 + โฏ+ (2๐ โ 1) = ๐2 (1.7)
Smatrajuฤi da su prva dva koraka razumljiva problem predstavlja korak 3, odnosno da iz
pretpostavke (1.7), dokaลพemo da tvrdnja vrijedi i za ๐ = ๐ + 1, ลกto definicija hoฤe โreฤiโ, da dokaลพemo da tvrdnja vrijedi i tada kada ubacimo u zbir i sljedeฤi neparni broj od broja
2๐ โ 1, odnosno 2๐ + 1. Lijevoj i desnoj strani dodajemo broj 2๐ + 1.
Moลพda se pitate: Zaลกto baลก 2๐ + 1? Zaลกto nije neki drugi, ljepลกi broj? Pa jednostavno zato ลกto je limu ลพut, tj. poลกto definicija traลพi od nas, da stavimo u glavnu
ulogu broj ๐ + 1.
Kod postavljanja u glavnu ulogu broja ๐ + 1, morate iฤi na to da ลกto jeftinije proฤete s tim glumcem. Hoฤu reฤi da morate biti ลกto ljenji glede rjeลกavanja matematiฤkih zadataka.
Broj 2๐ + 1 je sljedeฤi broj od broja 2๐ โ 1. Evo zaลกto: Kada u broj 2๐ โ 1, umjesto
๐ stavimo sljedeฤi broj tj. ๐ + 1 imamo:
2(๐ + 1) โ 1 = 2๐ + 2 โ 1 = 2๐ + 1
Pretpostavimo:
1 + 3 + 5 + โฏ+ (2๐ โ 1) + (2๐ + 1) = ๐2 + 2๐ + 1 (1.8)
Prije nekoliko godina, vjerojatno kroz neku maglu prisjeฤate se 8 razreda kada vam je nastavnik govorio da je:
(๐ + 1)2 = ๐2 + 2๐ + 1
14 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
14
Zbog tog razloga desna strana jednakosti (1.8) poprima oblik:
๐๐๐๐๐ฃ๐ ๐ ๐ก๐๐๐๐ = ๐2 + 2๐ + 1 = (๐ + 1)2
Ponovo ista situacija kao i u primjeru. Gdje je god stajao broj ๐, sada stoji broj ๐ + 1. Zakljuฤak se svodi na primjer. Po principu matematiฤke indukcije naลก zadatak 1 je dokazan.
Savjet
Kod bilo kojeg rjeลกavanja ovakvih tipova zadataka uvijek kod treฤeg koraka idemo na to da kada dodamo neki broj dodajemo uvijek sljedeฤi u nizu na lijevoj strani (na strani gdje je suma). Tada viลกe posla sa lijevom stranom nemamo, samo je (lijevu stranu jednakosti) vuฤemo za sobom i sreฤujemo desnu stranu.
Vidjeli ste kako se neke sume dokazuju primjenom matematiฤke indukcije. Meฤutim, postoji mnogo tipova drugih zadataka koji se rjeลกavaju ovom metodom. Pokuลกaฤu vam objasniti kako se dijeljivost nekog broja moลพe dokazati ovom metodom (matematiฤkom indukcijom). Takoฤer, krenut ฤemo od jednog primjera.
Primjer 2:
Dokazati da je
๐๐ + ๐ djeljivo sa 2 za sve prirodne brojeve.
(1.8)
Dokaz: Ako ste zaboravili definiciju (postupak) matematiฤke indukcije proฤitajte je. Provjeravamo tvrdnju za prvih nekoliko prirodnih brojeva.
Za ๐ = 1, 31 + 1 = 4 = 2 โ 2 , tj. 4 je djeljivo sa 2, odnosno simboliฤki zapisano:
((31 + 1) |4).
Za ๐ = 2, 32 + 1 = 10 = 5 โ 2 , tj. 10 je djeljivo sa 2, odnosno simboliฤki zapisano:
((32 + 1) | 4).
Vidimo da naลก primjer vrijedi za prva dva prirodna broja. Sad ฤemo pretpostaviti da naลกa tvrdnja odnosno prosti primjer vrijedi za bilo koji broj k. Ako smo to uฤinili tada naลกu pretpostavku moลพemo napisati na matematiฤkom jeziku kao:
3๐ + 1 = 2 โ ๐, gdje je (๐ โ ๐) (1.9)
Za one kojim nije jasna zadnja jednakost neka ne ฤitaju sljedeฤi dio teksta. Ako je neki prirodan boj ลฝ djeljiv sa prirodnim brojem 2, tada je:
15 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
15
ลฝ
2= ฤ
drugim rijeฤima, to znaฤi da kada podijelimo broj ลฝ sa brojem 2 dobijemo neki prirodni
broj ฤ. Ako zadnju jednakost pomnoลพimo sa 2 dobijamo:
ลฝ = 2 โ ฤ,
a ลกto je isto kao kad smo napisali:
ลฝ
2= ฤ
Pomoฤu pretpostavke (1.9), trebamo dokazati da je:
(3๐+1 + 1 | 2)
Ponovo kao i svaki put kada radimo 3 korak pravimo se da niลกta ne znamo:
3๐+1 + 1 = 31 โ 3๐1 + 1
31 โ 3๐ + 3 โ 2 = 3[3๐ + 1] โ 2
Ako niste shvatili zadnje jednakosti tada uzmite teku iz prvog razreda srednje ลกkole i ponovite stepene, ako je niste zapalili. Vidimo da je izraz u zagradi isti kao i naลกa pretpostavka pa je djeljiva sa 2, tj.
3[3๐ + 1] โ 2 = 3 โ 2๐ โ 2 = 2 โ (3๐ โ 1)
Zadnja jednakost nam daje za pravo da zakljuฤimo kako je [3๐ + 1] djeljivosa 2, a
definicija da je primjer 2 tj. [3๐ + 1] djeljiv sa 2 za svaki prirodan broj n. Ako niste sigurni u ovaj dokaz postupate kao i u prethodnom primjeru br. 1.
Zadatak 2: Dokazati da za svaki prirodan broj ๐ vrijedi:
62๐โ1 + 1 djeljivo sa 7 za sve prirodne brojeve.
(1.10)
Dokaz: Prvi korak napravimo na brzinu, jer jedino je to ovdje shvatljivo.
Za ๐ = 1, 62โ1โ1 + 1 = 7 djeljivo sa 7
Za ๐ = 2, 62โ2โ1 + 1 = 63 + 1 = 217 = 31 โ 7 djeljivo sa 7.
Pretpostavimo da je Zadatak 2, za neki prirodan broj ๐ = ๐ (๐ > ๐0) djeljiv sa 7. To znaฤi sliฤno kao i u primjeru da moลพemo pisati:
62๐โ1 + 1 = 7 โ ๐ , gdje je (๐ โ ๐) (1.11)
Treฤi korak provodimo kao u primjeru 2:
16 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
16
62(๐+1)โ1 + 1 = 62๐+2โ1 + 1 = 62 โ 62๐โ1 + 1
= 36 โ 62๐โ1 + 36 โ 35= 36 โ (62๐โ1 + 1) โ 35
Vidimo da je izraz u zagradi ona ista pretpostavka sa poฤetka primjera jednaฤina (1.10), pa je ona djeljiva sa 7, a broj 35 je svakako djeljiv sa 7 pa cijeli izraz je djeljiv sa 7.
7 โ (36๐ โ 5)
Vidimo da iz pretpostavke za ๐ = ๐, broj 62๐โ1 + 1 djeljiv sa 7, dokazali smo da je za
๐ = ๐ + 1 takoฤer djeljivo sa 7 to znaฤi da je izraz djeljiv za 7 za svaki prirodan broj. Vidljivo je da smo dokazali neke primjere i zadatke pomoฤu matematiฤke indukcije dosta jednostavno. Meฤutim, ostali zadaci (koji su dati) nisu niลกta zahtjevniji od ovih. Jedino je problem u tome ลกto iduฤi zadaci zahtijevaju malo viลกe poznavanja elementarne matematike. To je ona matematika koju ste radili u osnovnoj i srednjoj ลกkoli. Znaฤi bez straha i bilo kakvih averzija okrenite siljedeฤi list i naiฤi ฤete na najljepลกi zadataka u matematiฤkoj indukciji. Sljedeฤi zadatak je bio MISS ljeta 1888 godine, njegove prve i druge pratilje slijede iza njega.
Zadatak 3:
Dokazati da za svaki prirodan broj ๐ vrijedi:
12 + 22 + 32+. . +๐2 =๐(๐ + 1)(2๐ + 1)
6
(1.12)
Dokaz:
Za ๐ = 1, 12 =1(1 + 1)(2 + 1)
6=
6
6= 6 taฤno.
Za ๐ = 2, 12+22 =2(2 + 1)(2 โ 2 + 1)
6=
30
6= 5
taฤno.
Pretpostavimo da zadatak 3 vrijedi za ๐ = ๐, odnosno:
12 + 22 + 32+. . +๐2 =๐(๐ + 1)(2๐ + 1)
6 (1.13)
Poznato vam je da uvijek kod ovakvih zadataka u treฤem koraku uvijek dodajemo objema stranama sljedeฤi broj zadnjeg broja lijeve strane. S toga imamo:
12 + 22 + 32+. . +๐2 + (๐ + ๐)๐ =๐(๐ + 1)(2๐ + 1)
6+ (๐ + ๐)๐
12 + 22 + 32+. . +๐2 + (๐ + ๐)๐
=๐(๐ + 1)(2๐ + 1) + 6 โ (๐ + 1)2
6
17 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
17
12 + 22 + 32+. . +๐2 + (๐ + ๐)๐
=(๐ + 1)[๐(2๐ + 1) + 6 โ (๐ + 1)]
6
12 + 22 + 32+. . +๐2 + (๐ + ๐)๐ =(๐ + 1)[2๐2 + ๐ + 6๐ + 6]
6
12 + 22 + 32+. . +๐2 + (๐ + ๐)๐ =
(๐ + 1)(๐ + 2)(2๐ + 3)
6
(1.14)
U zadatku 1 smo diskutovali o sljedeฤem broju nepranih brojeva. Sljedeฤi broj broja
2๐ + 1 je 2๐ + 3, jer je 2(๐ + 1) + 1 = 2๐ + 3. Zadnja jednakost (1.14) znaฤi da smo
iz pretpostavke (1.13) pretpostavili da tvrdnja vrijedi za ๐ = ๐, dokazali da vrijedi i za
๐ = ๐ + 1, pa zakljuฤujemo po matematiฤkoj indukciji da Zadataka 1 vrijedi za sve prirodne brojeve. Do jednakosti (1.14) iz jednakosti (1.13) lahko smo doลกli iako se nekima ฤini da nije. Ove
sve k-ove koje vidite u zadnjim jednakostima, to je u stvari samo jedan ๐, ali napisan u drugim oblicima. Ako bolje pogledate sve one transformacije vidjeฤete da se one sastoje samo u sabiranju razlomaka, izvlaฤenju zajedniฤkih mnoลพitelja i nekoliko dvica, trica i ลกestica.
Zadatak 4:
Dokazati da za svaki prirodan broj ๐ vrijedi:
13+23 + 33 + โฏ+ ๐3 = [๐(๐ + 1)
2]2
(1.15)
Dokaz:
Za ๐ = 1, 13 = [1(1 + 1)
2]
2
= [2
2]3
= 1 taฤno.
Za ๐ = 2, 13+23 = [2(2 + 1)
2]
2
= [6
2]3
= 9 taฤno.
Pretpostavimo da zadatak 4 vrijedi za neki prirodan broj k, odnosno:
13+23 + 33 + โฏ+ ๐3 = [๐(๐ + 1)
2]2
Korak 3 koji slijedi sliฤan je kao i u zadatku 3, tj. dodajmo objema stranama (๐ + 1)3 pa imamo:
18 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
18
13+23 + 33 + โฏ+ ๐3 + (๐ + 1)3 =๐2(๐ + 1)2
4+ (๐ + 1)3
13+23 + 33 + โฏ+ ๐3 + (๐ + 1)3 =(๐ + 1)2[๐2 + 4(๐ + 1)]
4
13+23 + 33 + โฏ+ ๐3 + (๐ + 1)3 = [(๐ + 1)(๐ + 2)
2]2
Vidimo da uz prepostavku za ๐ = ๐, izraz vrijedi i za ๐ = ๐ + 1, tako i za svaki prirodan broj.
Zadatak 5:
Dokazati da za svaki prirodan broj ๐ vrijedi:
1 โ 2 + 1 โ 2 + 1 โ 2 + โฏ+ ๐ โ (๐ + 1)
=๐(๐ + 1)(๐ + 2)
3
(1.16)
Dokaz:
Za ๐ = 1, 1 โ 2 =1 โ (1 + 1) โ (1 + 2)
3=
1 โ 2 โ 3
3= 2
taฤno.
Za ๐ = 2, 1 โ 2 + 2 โ 3 =2 โ (2 + 1) โ (2 + 2)
3=
2 โ 3 โ 4
3= 8
taฤno.
Pretpostavimo da jednakost vrijedi za neki ๐ = ๐,tj.
1 โ 2 + 1 โ 2 + 1 โ 2 + โฏ+ ๐ โ (๐ + 1) =๐(๐ + 1)(๐ + 2)
3
(1.17)
Sada kada smo napisali pretpostavku po ko zna koji put moramo dodati sljedeฤi broj
broja ๐(๐ + ๐), a to je (๐ + ๐)(๐ + ๐), pa imamo:
1 โ 2 + 1 โ 2 + 1 โ 2 + โฏ+ ๐ โ (๐ + 1) + (๐ + 1) โ (๐ + 2)
=๐(๐ + 1)(๐ + 2)
3+ (๐ + 1) โ (๐ + 2)
โฆ =๐(๐ + 1)(๐ + 2) + 3 โ (๐ + 1)(๐ + 2)
3
1 โ 2 + 1 โ 2 + 1 โ 2 + โฏ+ ๐ โ (๐ + 1) + (๐ + 1) โ (๐ + 2) =(๐ + 1)(๐ + 2)(๐ + 3)
3
Vidimo da smo iz pretpostavke da vrijedi za ๐ = ๐, dokazali da zadnja jednakost vrijedi i
za ๐ = ๐ + ๐, ลกto znaฤi da vrijedi i za svaki prirodan broj ๐.
19 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
19
Ovo ne morate ฤitati
Kada kaลพemoโvidimo da smo dokazali i za n=k+1โ to znaฤi u bukvalnom smislu (razmiลกljanjem jednog prosjeฤnog osnovca) da mi u stvari pretpostavku uzmemo, malo je prevrnemo, odjenemo je u odjeฤu, poฤeลกljamo je, kupimo joj nove cipele i od jedne pepeljuge postane princeza. Znaฤi mi tu u stvari niลกta ne dokazujemo u smislu dugotrajnih sudskih procesa, svjedoฤenja, advokata, porote i sliฤno. Samo dodamo saberemo i izvuฤemo zajedniฤki ฤlan i pretpostavka za ฤudo postane upravo ono ลกto mi trebamo dobiti, a to je jednakost za n=k+1. ฤudno, zar ne?
Vidjeli smo miss, prvu i drugu pratilju ljeta 1888. Poslije te godine viลกe nisu bili u modi zadaci takvog tipa. Viลกe se iลกlo na neko dijeljenje, a to je i period kada je bilo ratova i nekih podjela. Tako je 1892 tri zadatka o djeljivosti osvojila su 6 oskara. Za glavnu ulogu, za sporednu ulogu, za najbolje statiste, dublere, nosaฤe i kamermane.
Zadatak 6:
Dokazati da za svaki prirodan broj ๐:
4๐ + 15๐ โ 1
djeljivo sa 9.
(1.18)
Dokaz:
Za ๐ = 1, 41 + 15 โ 1 โ 1 = 4 + 15 โ 1 = 18 djeljivo sa 9.
Za ๐ = 2, 42 + 15 โ 2 โ 1 = 8 + 30 โ 1 = 45 = 9 โ 5 djeljivo sa 9.
Pretpostavimo da je za ๐ = ๐, izraz (1.18) djeljiv sa 9. To moลพemo pisati kao:
4๐ + 15๐ โ 1 = 9๐, gdje je (๐ โ ๐) (1.19)
Za n=k+1 4๐+1 + 15(๐ + 1) โ 1 = 4 โ 4๐ + 15๐ + 15 โ 1
= 4 โ 4๐ + ๐ โ ๐๐๐ โ ๐ โ ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐ + 3
4๐+1 + 15(๐ + 1) โ 1 = 4(4๐ + 15๐ โ 1) โ 45๐ + 18
= 4 โ 9๐ โ 5 โ 9๐ + 2 โ 9 = 9 โ (4๐ โ 5๐ + 2)
20 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
20
Ponovo vidimo da koristeฤi pretpostavku lako dokazujemo da nam izraz (1.18) djeljiv sa 9, za svaki prirodan broj. Sve to nam omoguฤuje matematiฤka indukcija. Bez nje ne bismo lahko dokazali ne samo ovaj zadatak veฤ i mnoge druge. Zato s pravom moramo reฤi: Hvala ti, hvala draga naลกa indukcijo.
Zadatak 7:
Dokazati da za svaki prirodan broj ๐:
34๐+2 + 1
djeljivo sa 10.
(1.20)
Dokaz:
Za ๐ = 1, 34โ1+2 + 1 = 36 + 1 = 729 + 1 = 800 = 10 โ 80 djeljivo sa 10.
Za ๐ = 2,
34โ2+2 + 1 = 310 + 1 = 59049 + 1 = 59050
= 10 โ 5905 djeljivo sa 10.
Pretpostavimo da je za ๐ = ๐, izraz (1.20) djeljiv sa 10. To moลพemo pisati kao:
34๐+2 + 1 = 10๐, gdje je (๐ โ ๐) (1.21)
Za n=k+1
34(๐+1)+2 + 1 = 34๐+4+2 + 1 = 34 โ 34๐+2 + 81 โ 80 =
= 81[34๐+4+2 + 1] โ 80 = 81 โ 10๐ โ 10 โ 8
= 10 โ (81๐ โ 8)
Vidimo da iz pretpostavke (1.21) za ๐ = ๐ lahko dokazujemo da (1.21) vrijedi za ๐ =๐ + 1, odnosno da vrijedi za svaki prirodan broj.
Zadatak 8:
Dokazati da za svaki prirodan broj ๐:
28๐+6 + 1
djeljivo sa 5.
(1.22)
Dokaz:
Za ๐ = 1, 28โ1+6 + 1 = 214 + 1 = 16384 + 1 = 16385
= 5 โ 3277 djeljivo sa 5.
Za ๐ = 2, 28โ2+6 + 1 = 222 + 1 = 4194304 + 1 = 4194305
= 5 โ 838861 djeljivo sa 5.
Pretpostavimo da je za ๐ = ๐, izraz (1.22) djeljiv sa 5. To moลพemo pisati kao:
21 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
21
28๐+6 + 1 = 5๐, gdje je (๐ โ ๐) (1.23)
Za n=k+1 28(๐+1)+6 + 1 = 28๐+8+6 + 1 = 28 โ 28๐+6 + 256 โ 255
= 256[28๐+6 + 1] โ 255 = 5(256๐ โ 51)
Jednostavnim dokazom, uz pomoฤ pretpostavke, dokazali smo da izraz (1.22) vrijedi za
๐ = ๐ + 1, pa nam zbog matematiฤke indukcije vrijedi za svaki prirodan broj. Glavni ลกablon ovog tipa zadataka (o djeljivosti ) je da kada se radi treฤi korak u eksponentu ostavi onoliko koliko ima u pretpostavci, a viลกak se spusti kao mnoลพitelj. Taj mnoลพitelj izvlaฤimo ispred zagrade dok u zagradi stavljamo samo ono ลกto je u pretpostavci. Dakle mi sebi โnaลกtimamoโ pretpostavku, a sve ono ลกto moramo oduzeti ili dokazati stavljamo iza zagrade. Nije sluฤajno da sav viลกak uvijek bude djeljiv sa onim brojem za kojeg ga mi provjeravamo. Treฤi ฤesti sluฤaj tipova zadataka koji se dokazuju matematiฤkom indukcijom su
nejednakosti. One su joลก jednostavnije, a sve se bazira na tome da ako je npr. 150 > 50, tada je i 200 > 50, odnosno 150 > 1. Prije nego ลกto preฤemo na zadatke uvedimo pojam Leme. Lema je pomoฤna teorema. Odnosno to je jedan mali podzadatak nekog zadatka. Ako rjeลกavamo neki zadatak i doฤemo do jedne tvrdnje koju moramo posebno dokazivati, mi je definiลกemo kao lemu.
Zadatak 9: Dokazati da za svaki prirodan broj ๐, gdje je ๐ โฅ 5 vrijedi nejednakost:
2๐ > ๐2
(1.24)
Dokaz:
Poลกto ovaj zadatak dokazujemo pomoฤu matematiฤke indukcije onda se moramo drลพati njenih postavki i redoslijeda. ล to znaฤi da prvo moramo provjeriti da li ta nejednakost vrijedi za prvih nekoliko prirodnih brojeva. Uslov zadatka ne kaลพe da provjerimo od 5 pa dalje.
Za ๐ = 5, 25 > 52
32 > 25
taฤno.
Za ๐ = 6, 26 > 62
64 > 36
taฤno.
Sada zastanimo na dokazu ovog zadatka i dokaลพimo jednu Lemu.
Lema 1: Za svaki ๐ > 2 izraz ๐2 > 2๐ + 1 (1.25)
22 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
22
Dokaz:
Za ๐ = 3, 32 > 2 โ 3 + 1
9 > 6 + 1
taฤno.
Za ๐ = 4, 42 > 2 โ 4 + 1
16 > 8 + 1
taฤno.
Neka je za neki ๐ = ๐, ๐ > 2, vrijedi:
๐2 > 2๐ + 1
Za ๐ = ๐ + 1 imamo:
(๐ + 1)2 > 2(๐ + 1) + 1
๐2 + 2l + 1 > 2๐ + 2 + 1
๐2 + 2l + 1 > 2๐ + 2 + 1
๐2 > 2๐ + 2 + 1 โ 2l โ 1
๐2 > 2 (1.26a)
(1.26)
Zadnja nejednakost koju smo dobili je oฤigledna. Jer je ๐ > 2 pa svaki kvadrat je veฤi od dva. Ako sada tu trivijalnu nejednakost stavimo kao prvu i krenemo unazad, doฤi ฤemo do nejednakosti (1.26a), ลกto znaฤi da je nejednakost taฤna. Ovo nam daje za pravo da kaลพemo da po principu matematiฤke indukcije Lema 1 je taฤna za sve prirodne brojeve veฤe od 2. Lemu 1 moลพemo koristiti kao dokazni materijal za svaki sadaลกnji i buduฤi zadatak. Nastavimo rjeลกavanje zadatka 9. Ostao nam je treฤi korak pa sada imamo:
Za n=k+1 2๐+1 > (๐ + 1)2
2 โ 2๐ > ๐2 + 2k + 1
Maloprije smo dokazali da je:
๐2 > 2๐ + 1โฆโฆโฆ(Lema 1)
Ako sada lijevoj i desnoj strani (Leme 1) dodamo broj ๐2 imamo:
2 โ 2๐ > 2 โ ๐2
Pa je: 2 โ 2๐ > 2 โ ๐2 > ๐2 + 2k + 1
odnosno 2๐+1 > (๐ + 1)2
Vidimo da smo i ne znajuฤi dokazali da je iz pretpostavke za ๐ = ๐ nejednakost vrijedi za
๐ = ๐ + 1, ลกto nam je potrebno i dovoljno da kaลพemo da nejednakost vrijedi za svaki prirodan broj.
23 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
23
Ako neko ฤitajuฤi ovo rjeลกenje zadatka 9, nije shvatio posljednje nejednakosti, predlaลพem da proฤita mali uvod o dokazivanju nejednakosti i obrati paลพnju na ฤinjenicu da ako je npr: 150>50 tada je 200>50 odnosno 150 >1.
Zadatak 10:
Dokazati da za svaki prirodan broj ๐ veฤi ili jednak od 5 vrijedi nejednakost:
2๐ > 5๐, (๐ โฅ 5)
(1.27)
Dokaz:
Za ๐ = 5, 25 > 5 โ 5
32 > 25
taฤno.
Za ๐ = 6, 26 > 5 โ 6
64 > 30
taฤno.
Pretpostavimo da je za neki n=k , (๐ โฅ 5) vrijedi:
2๐ > 5๐
(1.28)
Koristeฤi ovu pretpostavku (1.30), te koristeฤi nejednakost da je 2๐ > 5, ลกto je oฤigledno
jer je: ๐ โฅ 5, dobijamo treฤi korak odnosno dokazujemo treฤi korak, a samim tim i zadatak 11.
Dakle,
2๐ > 5๐ โ ๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐ก๐๐ฃ๐๐
2๐ > 5 โ oฤigledna nejednakost kada je k > 2
Sabiranjem gornjih nejednakosti imamo:
2๐ + 2๐ > 5๐ + 5
Odnosno sreฤivanjem: 2๐+1 > 5(๐ + 1)
Zadnjim izrazom da nejednakost vrijedi i za ๐ = ๐ + 1. Zadnje nejednakosti daju nam zakljuฤiti ako imamo na umu matematiฤku indukciju da izraz (1.28) vrijedi za svaki
prirodan broj ๐ โฅ 5.
Zadatak 11:
Dokazati da za svaki prirodan broj ๐ โฅ 2 vrijedi nejednakost:
1 +1
โ2+
1
โ3+ โฏ+
1
โ๐> โ๐
(1.29)
Dokaz:
Za ๐ = 2, 1 +1
โ2> โ2
(1.30)
24 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
24
Za prvi prirodan broj za koji treba dokazati da vrijedi nejednakost (1.29) imamo izraz (1.29). Kod deduktivnog naฤina dokazivanja nejednakosti (kojeg ฤemo sada primijeniti) trebamo iz polazne nejednakosti (1.29) nizom matematiฤkih dozvoljenih operacija doฤi do trivijalne nejednakosti koju lako primjeฤujemo ฤak i kad te brojeve zamijenimo sa kruลกkama i jabukama. Pokuลกajmo to sa nejednakosti (1.30):
1 +1
โ2> โ2
Sabiranjem lijeve strane:
โ2 + 1
โ2> โ2
Pomnoลพimo cijelu nejednakost sa โ2.
Imamo โ2 + 1 > 2
odnosno: โ2 > 1
Sada smo doลกli do jedne trivijalno oฤigledne nejednakosti, gdje u svak doba dana i noฤi
znamo daje โ2 > 1, ลกto znaฤi da je izraz (1.32) taฤan za ๐ = 2.
Za ๐ = 3, 1 +1
โ2+
1
โ3> โ3
(1.31)
Istim postupkom kao i za ๐ = 2 imamo:
1 +
1
โ2+
1
โ3> โ3
Sabiranjem lijeve strane imamo:
โ2 โ โ3 + โ2 + โ3
โ2 โ โ3> โ3
Mnoลพenjem sa โ2 โ โ3 imamo:
โ6 + โ2 + โ3 > โ3 โ โ6
โ6 + โ2 + โ3 > 3 โ โ2
โ6 + โ3 > 2 โ โ2
Kvadriranjem cijele nejednaฤine:
6 + 2โ18 + 3 > 4 โ 2
2โ9 โ 2 > 8 โ 9
6โ2 > โ1
U svako doba dana i noฤi mi znamo da nam je 6โ2 pozitivno i uvijek veฤe od bilo kojeg negativnog broja, ลกto znaฤi da je izraz (1.33) taฤan.
25 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
25
Pretpostavimo da je za neki ๐ = ๐ izraz (1.33) taฤan, tj:
1 +
1
โ2+
1
โ3+ โฏ+
1
โ๐> โ๐
(1.32)
Na tako pretpostavljenu nejednakost dodajmo ๐ + 1-vi ฤlan. Imamo:
1 +
1
โ2+
1
โ3+ โฏ+
1
โ๐+
1
โ๐ + 1> โ๐ +
1
โ๐ + 1
(1.33)
Dokaลพimo sada da je:
โ๐ +
1
โ๐ + 1> โ๐ + 1
Ostavljanjem samo โ๐ na lijevoj strani a ostatak prebacimo na desnu imamo:
โ๐ > โ๐ + 1 โ
1
โ๐ + 1=
๐ + 1 โ 1
โ๐ + 1
Pa je: โ๐ >
๐
โ๐ + 1
Mnoลพenjem sa โ๐ + 1 imamo:
โ๐ โ โ๐ + 1 > ๐
Kvadriranjem cijele nejednakosti imamo:
๐(๐ + 1) > ๐
Odnosno: ๐2 + ๐ > ๐2
๐ > 0
ล to vrijedi za svaki prirodan broj pa i polazna nejednakost. Ako sada ovu dokazanu nejednakost primjenimo na (1.35) imamo:
1 +1
โ2+
1
โ3+ โฏ+
1
โ๐+
1
โ๐ + 1> โ๐ +
1
โ๐ + 1> โ๐ + 1
Odnosno: 1 +
1
โ2+
1
โ3+ โฏ+
1
โ๐+
1
โ๐ + 1> โ๐ + 1
Pa zakljuฤujemo da smo preko pretpostavke (1.33) doลกli do zakljuฤka da (1.31) vrijedi za svaki prirodan broj. Vidjeli smo kako se rjeลกavaju nejednaฤine preko matematiฤke
indukcije. U biti sve se svodi na pomenutu nejednakost ako je 150 > 50 tada je i 200 >50 tj. 150 > 1.
26 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
26
Ovo ne morate ฤitati
Zakljuฤivanje zovemo izvoฤenje jednog stava iz jednog ili viลกe drugih stavova. Indukcija je kako smo rekli, zakljuฤivanje kojim se iz konaฤnog broja posebnih stavova izvodi opฤi stav koji se odnosi na sve sluฤajeve. Ili kraฤe, indukcija je zakljuฤivanje od posebnog ka opฤem. Ovakav metod zakljuฤivanja zovemo empirijski ili nepotpun metod.
Ovdje se zavrลกava naลกa priฤa o matematiฤkoj indukciji, kao i sa iscrpnim i pomalo rekao bih dosadnim ponavljanjem. Ali neki kaลพi da je ponavljanje majka znanja. U narednih nekoliko stranica ostavljani su zadaci u kojima se spominje matematiฤka indukcija (to je ono ลกto smo na poฤetku definisali) za samostalan rad uz povremeno gledanje rjeลกenja. Preporuฤuje se gledanje na kraju uraฤenog zadatka da se provjeri njegova taฤnost.
27 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
27
1.4 ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD UZ POVREMENO GLEDANJE RJEล ENJA
Dokazati da za svaki prirodan broj ๐ vrijedi:
(1) 1 โ 3 + 2 โ 4 + 3 โ 5 + โฏ+ ๐ โ (๐ + 2) =๐(๐ + 1)(2๐ + 7)
6
(2) 2 โ 3 + 3 โ 5 + 4 โ 7 + โฏ+ (๐ + 1) โ (2๐ + 1) =๐(4๐2 + 15๐ + 17)
6
(3) 1 โ 3 + 3 โ 4 + 5 โ 5 + โฏ+ (2๐ โ 1) โ (๐ + 2) =๐(4๐2 + 15๐ โ 1)
6
(4) 23 + 43 + 63 + โฏ+ (2๐)3 = 2๐2(๐ + 1)2
(5) 1 โ 2 + 2 โ 5 + 3 โ 8 + โฏ+ ๐ โ (3๐ โ 1) = ๐2(๐ + 1)
(6) 1 โ 4 + 2 โ 7 + 3 โ 10 + โฏ+ ๐ โ (3๐ + 1) = ๐(๐ + 1)2
(7) 1 โ 2 โ 3 + 2 โ 3 โ 4 + 3 โ 4 โ 5 + โฏ+ ๐ โ (๐ + 1) โ (๐ + 2)
=1
4๐(๐ + 1)(๐ + 2)(๐ + 3)
(8) 12 โ 22+32 โ 42 + โฏ+ (โ1)๐โ1๐2 = (โ1)๐โ1 โ๐(๐ + 1)
2
(9) 1
2+
2
22+
3
23+ โฏ+
๐
2๐= 2 โ
๐ + 2
2๐
(10) 1
3+
2
32+
1
33+ โฏ+
๐
3๐=
3(3๐ โ 1) โ 2๐
4 โ 3๐
(11) 1
1 โ 3+
1
3 โ 5+
1
5 โ 7+ โฏ+
1
(2๐ โ 1)(2๐ + 1)=
๐
2๐ + 1
(12) 1
2+
1
22+
1
23+ โฏ+
1
2๐= 1 โ
1
2๐
(13) 12 + 22 + 32 + โฏ+ ๐2 =๐(๐ + 1)(2๐ + 1)
6
Dokazati matematiฤkom indukcijom djeljivost sljedeฤih brojeva:
(14) ๐3 + 11๐ sa 6 (๐ = 1,2,3, โฆ )
(15) ๐3 + 20๐ sa 48 (๐ = 2,4,6, โฆ )
(16) ๐5 โ 5๐3 + 4๐ sa 120(๐ = 3,4,5, โฆ )
(17) 72๐ โ 42๐ sa 33(๐ = 1,2,3, โฆ )
28 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
28
(18) 52๐+3 + 3๐+32๐ sa 19(๐ = 1,2,3, โฆ )
(19) 10๐ + 18๐ โ 28 sa 27(๐ = 1,2,3, โฆ )
(20) 9๐+1 โ 8๐ โ 9 sa 16(๐ = 1,2,3, โฆ )
(21) 32๐+1 โ 8๐ โ 9 sa 64(๐ = 1,2,3, โฆ )
(22) 4 โ 6๐ + 5๐ โ 4 sa 25(๐ = 1,2,3, โฆ )
(23) 62๐ + 19๐ โ 2๐โ1 sa 17(๐ = 1,2,3, โฆ )
Dokazati nejednakosti:
(24) (1 + ๐1)(1 + ๐2)โฆ (1 + ๐๐) > 1 + (๐1 + ๐2 + โฏ+ ๐๐), za ๐๐ > 0 (๐ =1,2, โฆ , ๐) ๐ ๐ โฅ 2
(25) โ2๐ โ 1
2๐โค
1
โ3๐ + 1, ๐ > 0
๐
๐=1
(26) (1 + ๐)๐ > 1 + ๐๐, ๐ง๐ โ 1 < ๐ < 1 ๐ ๐ โฅ 2 , ๐ต๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐ฃ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ก
(27) โ๐ + 1๐+1
< โ๐๐
, ๐ โฅ 3
(28) Dokazati da je zbir kubova tri uzastopna prirodna broja djeljiv sa 9.
(29) (๐๐๐ ๐ฅ + ๐๐ ๐๐๐ฅ)๐ = cos (๐๐ฅ) + ๐๐ ๐๐(๐๐ฅ),๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐ฃ๐ ๐๐๐๐๐ข๐๐
(30) Dokazati da ni za jedan prirodan broj ๐, broj ๐! nije djeljiv sa brojem 2๐.
29 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
29
1.5 RJEล ENJA ZADATAKA ZA SAMOSTALAN RAD
(1)
Kod 3-ฤeg koraka dodavajuฤi lijevoj i desnoj strain (๐ + 1)(๐ + 2), te sabirajuฤi desnu
stranu imamo: ๐(๐+1)(2๐+7)+6(๐+1)(๐+3)
6=
(๐+1)[2๐2+4๐+9๐+18]
6=
(๐+1)(๐+2)(2๐+9)
6, a ลกto
je i trebalo dokazati.
(2)
Kod treฤeg koraka imamo: Neka je za ๐ = ๐ zadatak 2 taฤan. Dodavajuฤi lijevoj i desnoj
strani (๐ + 1)(2๐ + 3) desna strana izgleda na sljedeฤi naฤin: ๐(4๐2+15๐+17)+(6๐+2)(2๐+3)
6=
4๐3+15๐2+17๐+12๐2+42๐+36
6=
4๐3+4๐2+23๐2+23๐+36๐+36
6=
(๐+1)[4๐2+8๐+4+15๐+15+17]
6=
(๐+1)[4(๐+1)2+15(๐+1)+17]
6, a
ลกto je i trebalo dokazati.
(3)
Dodavajuฤi u treฤem korku lijevoj i desnoj strain broj (2๐ + 1)(๐ + 3) desna strana dobija
oblik: 4๐3+4๐2+23๐+18๐+18
6=
(๐+1)[4๐2+8๐+4+15๐+15โ1]
6=
(๐+1)[4(๐+1)2+15(๐+1)โ1]
6, a ลกto je i trebalo dokazati.
(4)
Dodavajuฤi u treฤem koraku lijevoj i desnoj strani [2(๐ + 1)]3, desna strana poslije
kubiranja i mnoลพenja poprima oblik: 2(๐4 + ๐3 + 5๐3 + 5๐2 + 8๐2 + 8๐ + 4๐ + 4) =2(๐ + 1)(๐3 + ๐2 + 4๐2 + 4๐ + 4๐ + 4) = 2(๐ + 1)(๐ + 1)(๐2 + 4๐ + 4) =2(๐ + 1)2(๐ + 2)2, a ลกto je i trebalo dokazati.
(5)
Dodavanjem lijevoj i desnoj strani (๐ + 1)(3(๐ + 1) โ 1) u treฤem koraku desna strana
poprima oblik: ๐3 + 4๐2 + 5๐ + 2 = ๐3 + ๐2 + 3๐2 + 3๐ + 2๐ + 2 = (๐ + 1)(๐2 +๐ + 2๐ + 2) = (๐ + 1)2(๐ + 2), ลกto je i trebalo dokazati.
(6)
Dodavanjem (๐ + 1)(3(๐ + 1) + 1) lijevoj i desnoj strani, te poslije naznaฤenih operacija
desna strana poprima oblik: ๐3 + ๐2 + 4๐2 + 4๐ + 4๐ + 4 = (๐ + 1)(๐2 + 4๐ + 4) =(๐ + 1)(๐ + 2)2, a ลกto je i trebalo dokazati.
(7)
Dodavanjem (๐ + 1)(๐ + 2)(๐ + 3) lijevoj i desnoj strani imamo: 1
4๐(๐ + 1)(๐ +
2)(๐ + 3) + (๐ + 1)(๐ + 2)(๐ + 3) =1
4(๐ + 1)(๐ + 2)(๐ + 3)(๐ + 4), a ลกto je i
trebalo dokazati.
(8)
Provjerimo tvrdnju za prvih nekoliko brojeva:
Za ๐ = 1, imamo 1 = 1.
Za ๐ = 2, imamo 2 = 2.
Pretpostavimo da zadatak vrijedi za ๐ = ๐, tj. 12 โ 22 + 32 โ โฏ(โ1)๐โ1๐2 =
(โ1)๐โ1 ๐(๐+1)
2.
Dodajmo pretpostavci broj (โ1)๐(๐ + 1)2, pa imamo: 12 โ 22 + 32 โ โฏ(โ1)๐โ1๐2 +
(โ1)๐(๐ + 1)2 = (โ1)๐โ1 ๐(๐+1)
2+ (โ1)๐(๐ + 1)2 =
(๐+1)[(โ1)๐โ1โ๐+(โ1)๐โ2๐+(โ1)๐2]
2= (โ1)๐ (๐+1)(๐+2)
2.
Lako se dokazuje da je (โ1)๐โ1๐ + (โ1)๐2๐ = (โ1)๐๐, jer ako je ๐ paran tada je
(โ1)๐โ1 = โ1, pa je โ๐ + 2๐ = ๐ = (โ1)๐๐. A ako je kojim sluฤajem neparan
(โ1)๐โ1 = 1, pa je ๐ โ 2๐ = โ๐ = (โ1)๐๐, a ลกto je i trebalo dokazati.
30 Matematiฤka indukcija Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
30
(9) Kada u treฤem koraku dodamo lijevoj i desnoj strani
๐+1
2๐+1, imamo: 2 โ๐+2
2๐ +๐+1
2๐+1 = 2 โ
[2
2
๐+2
2๐ โ๐+1
2๐+1] = 2 โ๐+3
2๐+1, a ลกto je i trebalo dokazati.
(10) U treฤem koraku dodajuฤi lijevoj i desnoj strani
๐+1
3๐+1, imamo: 3โ3๐โ3โ2๐
4โ3๐ +๐+1
3๐+1 =
3โ3๐+1โ9โ6๐+4๐+4
4โ3๐+1 =3โ3๐+1โ3โ2๐โ2
4โ3๐+1 =3โ(3๐+1โ1)โ2(๐+1)
4โ3๐+1 , ลกto je i trebalo dokazati.
31 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
31
FUNKCIJE
32 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
32
2.1 POJAM FUNKCIJE
ฤim ฤujemo rijeฤ funkcije odmah pomislimo na razna mjesta koja nas ฤekaju kad zavrลกimo fakultet. Bit ฤemo neki inลพenjeri bili diplomirani ili ne, ali funkcije nas ฤekaju, odnosno neko radno mjesto na kome ฤemo obavljati neke poslove, gdje ฤemo za uzvrat dobijati platu. Bilo kako bilo, funkcija nam je neophodna da bi egzistirali, da bi smo postojali. Samim dobijanjem funkcije postajemo funkcioneri. ฤitav ovozemaljski svijet sastoji se iz bezbroj funkcija, nekih procesa razmjenjivanja, uzimanja, oslobaฤanja, davanja itd. U stvari funkcija je neki proces pri kojem se neลกto odvija-dogaฤa i pri kome postoji jedan ili viลกe odreฤenih pravila dogaฤanja, pa bili oni ฤak i sluฤajni (tada govorimo sluฤajnim procesima). Sve te ลพivotne funkcije dosta su sliฤne pojmu funkcije koju definiลกe matematika. U stvari nema ni jedne ฤak i najjednostavnije teoreme u matematici, a da se ne moลพe primjeniti u stvarnom ลพivotu. Kada posmatramo neki proces zapaziฤemo da se neke od veliฤina koje uฤestvuju u tom procesu mijenjaju โ uzimaju razliฤite vrijednosti, dok druge imaju konstantnu vrijednost. Primjera za to ima bezbroj. Npr. Kada stojimo pored ลกtanda voฤa. Primjetiฤemo da svaka kila jabuke dobija jednu te istu sumu novaca od 2 DM (demokratske marke ลกto bi rekao jedan moj prijatelj). Odnosno svaka kila kruลกaka 3 DM ili groลพฤa 5 DM. Kada se poveฤa masa jabuka i ostalog voฤa poveฤa se i njihova cijena. U ovom sluฤaju imamo proporcionalno poveฤanje cijene voฤa sa njegovom masom. Nadalje posmatrajmo jednu totalno glupu situaciju u kojoj ลพelimo da naduvamo staklenu flaลกu. Duvanjem dovodimo zrak u flaลกu, ali volumen flaลกe ostaje isti, samo smo promjenili temparaturu vazduha i pritisak u staklenoj flaลกi. Ovo je jedan primjer kada se dvije veliฤine mijenjaju dok je treฤa konstantna. Primjera ima bezbroj no mi ฤemo zakljuฤak dati iz ova dva suลกtinska primjera. Vidimo da postoje veliฤine koje se mijenjaju, i koje ostaju konstantne pa ฤemo definisati sljedeฤe:
Definicija 2.1.
Veliฤina koja pod datim uslovima moลพe poprimiti razliฤite brojne vrijednosti zovemo promijenjivom veliฤinom. Veliฤina koja se u datim uslovima ne mjenja veฤ uvijek โstojiโ na istoj brojnoj vrijednosti zovemo stalnom ili konstantnom veliฤinom.
Skup svih brojnih vrijednosti date promjenjive veliฤine zovemo oblast promjene te promjenjive. Konstante koje nikako ne mjenjaju svoju vrijednost zovemo apsolutne
konstante. Npr. ๐ = 3,14154. . ..- Ludolfov broj, gravitaciona konstanta ๐ = 9,81 itd. Meฤutim, u cilju opฤih formulacija i moguฤnosti dobijanja zakljuฤaka, dobro je i te kontantne veliฤine posmatrati kao specijalne sluฤajeve promjenjivih veliฤina. To je pogotovo korisno kod dokazivanja raznih teorema koje su povezane sa konstantnim veliฤinama.
33 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
33
2.2 FUNKCIJE JEDNE NEZAVISNO PROMJENJIVE
Definiลกimo dva skupa ๐ท๐ฅ i ๐พ๐ฆ, tako da je ๐ฅ element skupa ๐ท๐ฅ, a ๐ฆ element skupa ๐พ๐ฆ,
drugim rijeฤima ๐ฅ โ ๐ท๐ฅ i ๐ฆ โ ๐พ๐ฅ. Preslikavanje skupa ๐ท(๐ฅ) na ๐พ(๐ฆ) definisano je
zakonom korespodencije gdje svakom ๐ฅ โ ๐ท(๐ฅ) odgovara jedan element ๐ฆ โ ๐พ(๐ฆ).
Element ๐ฅ koji pripada ๐ท(๐ฅ) zvaฤemo argument ili nezavisno promjenjiva. Element ๐ฆ
koji pripada ๐พ(๐ฆ) zvaฤemo zavisno promjenjiva ili funkcija.
Definicija 2.2.
Funcija jedne nezavisno promjenjive (jednog argumenta) zovemo preslikavanje skupa ๐ซ(๐) (vrijednosti argumenata) na skup
๐ฒ(๐) vrijednosti promjenjive po jednom odreฤenom fiksnom zakonu
korespodencije (dodjeljivanja).
Pravilo pridruลพivanja oznaฤavaฤemo sa ๐, ๐, ๐, ๐ tako da se funkcija moลพe simboliฤki napisati:
๐ฅ โ ๐(๐ฅ) ili ๐ฆ = ๐(๐ฅ) (ฤitaj ๐ฆ je jednako ef od ๐ฅ)
๐ฅ โ ๐(๐ฅ) ili ๐ฆ = ๐(๐ฅ) (ฤitaj ๐ฆ je jednako fi od ๐ฅ)
Definicija 2.2 je smisao simbolike ๐ฆ = ๐(๐ฅ). Znaฤi svakom elementu ๐ฅ โ ๐ท๐ฅ, odgovara
jedan element ๐ฆ โ ๐พ๐ฅ. Definicija 2.2 takoฤer nam daje smijernice za definisanje funkcije. Pa tako da bi funkciju definisali potrebno je definisati:
1. Skup ๐ท๐ฅ vrijednosti elementata ๐ฅ.
2. Zakon dodjeljivanja ili korespodencije ๐
3. Skup ๐พ๐ฅ vrijednosti funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ).
Skup ๐ท(๐ฅ) vrijednosti koji moลพe primiti argument ๐ฅ zovemo joลก i oblast definisanosti ili
domena funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ). Skup ๐พ(๐ฆ) zovemo skupom vrijednosti ili kodomena
funkcije. Ako je na primjer ๐ โ ๐ท tj. ๐ฅ = ๐ pripada domeni funkcije ๐(๐ฅ), tada ๐(๐ฅ)
pripada kodomeni funkcije odnosno ๐(๐) โ ๐พ๐ฅ. Joลก se kaลพe da ๐ predstavlja sliku
elementa ๐ โ ๐ท u skupu ๐พ. Ako postoji ๐ โ ๐ท tada ๐(๐) nema smisla.
Takoฤer se moลพe desiti sa ๐ฅ = ๐ โ ๐ท i ๐ฅ = ๐ โ ๐ท imamo istu vrijednost funcije odnosno vrijedi da je:
๐(๐) = ๐(๐) Ovo znaฤi da dvije razliฤite vrijednosti argumenata iz domene preslikavaju se i jednu te istu taฤku kodomene. Ovaj sluฤaj moลพemo pokazati na jednom jednostavnom primjeru.
Primjer 1. Ako imamo funkciju ๐ = ๐๐ , tada za ๐ = ๐ i ๐ = โ๐ imamo istu
vrijednost funkcije ๐(๐) = ๐(โ๐) = ๐.
34 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
34
2.2.1 NAฤIN IZRAลฝAVANJA FUNKCIJE
Matematiฤki izraziti funkciju znaฤi naฤi odreฤenu uzajamnu korespodenciju izmeฤu dva skupa. Naฤini na koji se funkcija zadaje ili izraลพava viลกe je praktiฤno pitanje nego suลกtinsko. Funkciju moลพemo zadati grafiฤki, tabliฤno i analitiฤki. Grafiฤki naฤin predstavljanja funkcije sastoji se iz geometrijske prezentacije jedne
funkcije u koordinatnom sistemu, gdje svaki ureฤeni par brojeva (๐, ๐), gdje je ๐ โ
argument, a ๐- zavisno promjenjiva funkcija, zamiลกljamo kao par koordinata taฤke u
koordinatnom sistemu u ravni . Skup svih takvih taฤaka u ravni ๐ฅ๐๐ฆ ฤije su apcise
vrijednosti argumenata ๐, a ordinate odgovarajuฤe vrijednosti funkcije zovemo grafik funkcije. Grafik na vidan naฤin prikazuje ponaลกanje funkcije tj. njenu monotonost, maksimalnu i minimalnu vrijednost, vrijednosti argument, nul taฤke funkcije, odnosno sve osobine koje su sastavni dio funkcije. Zato se u drugim naukama Fizici, Biologiji, Psihologiji i dr. izraฤuju sliฤni grafici i dijagrami gdje se prati tok nekog procesa (pokusa) i grafiฤki prikazuju osobine tog procesa. Jedan od primjera je dijagram momenta savijanja proste grede. Iz dijagrama moลพemo primjetiti kako se mjenja moment savijanja duลพ grede od
poฤetne taฤke ๐ด do krajnje taฤke ๐ต.
Sa slike vidimo da je najveฤi ili maksimalni momenat u taฤki ๐ถ koja se nalazi na sredini,
odnosno na mjestu gdje djeluje skoncentrisano optereฤenje ๐น. Na slici takoฤer uoฤavamo
da je izraฤen dijagam u funkciji duลพine grede ๐ฅ odnosno matematiฤki reฤeno ๐๐ = ๐(๐ฅ). Tabelarni naฤin zadavanja funkcije imamo u sluฤaju kada izvjesnim vrijednostima
argumenata ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ ๐ฅ๐ pridruลพujemo zavisno promjenjive ๐ฆ1, ๐ฆ2, ๐ฆ3, โฆ ๐ฆ๐, a da pri tom neznamo ili nas ne zanima naฤin pridruลพivanja . Tabliฤni naฤin predstavljanja ฤesto koristimo u prirodnim i tehniฤkim naukama, u eksperimentalnim istraลพivanjim i sl. Na
osnovu eksperimenta dolazimo do ureฤenih parova (๐ฅ, ๐ฆ). Ovi parovi se tabelarno prikazuju na sljedeฤi naฤin:
Slika 2.1 Dijagram momenta savijanja grede
35 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
35
Tabela 2.1 Tabearni prikaz funkcije
๐ฅ ๐ฅ1 ๐ฅ2 ... ๐ฅ๐
๐ฆ = ๐(๐ฅ) ๐ฆ1 ๐ฆ2 ... ๐ฆ๐
Analitiฤki naฤin zadavanje funkcije sastoji se u tome da zakon preslikavanja ๐ damo matematiฤkim izrazom ili formulom. Domenu funkcije zadane u analitiฤkom obliku odreฤujemo iz samog izraza, odnosno pronalazimo skup svih moguฤih rjeลกenja za koje je izraz ima slisla.
Primjer 2. Funkcija ๐ = ๐๐๐ + ๐๐ + ๐ ima domenu svih realnih brojeva
simboliฤki zapisano ๐ซ: ๐ โ ๐ก, jer je izraz (formula) ๐๐๐ + ๐๐ + ๐ definisan za sve realne brojeve.
Primjer 3. Funkcija ๐ = โ๐ โ ๐ ima domenu svih poziotivnih realnih brojeva
manjih ili jednako od 5 simboliฤki zapisano ๐ซ: ๐ โ (โโ, ๐).
Primjer 4.
Funkcija ๐ = ๐๐๐
โ๐โ๐๐ ima domenu koja se izraฤunava na sljedeฤi
naฤin: ๐
๐โ๐๐ > ๐ i ๐ โ ๐๐ โ ๐
|๐| > ๐ i ๐ โ ยฑ๐ Na osnovu gornjih izraza domena je definisana za:
๐ซ: ๐ โ (โโ โ ๐)โ(๐,+โ)
2.2.2 OSOBINE FUNKCIJE
Ako dvije ili viลกe funkcija imaju istu domenu tada se mogu posmatrati zbir, razlika proizvod i koliฤnik funkcija, odnosno mogu se posmatrati odreฤene algebarske operacije meฤu funkcijama. Imamo:
๐(๐ฅ) = ๐1(๐ฅ) + ๐2(๐ฅ)
๐บ(๐ฅ) = ๐1(๐ฅ) + ๐2(๐ฅ) + โฏ+ ๐๐(๐ฅ)
โ(๐ฅ) = ๐1(๐ฅ) โ ๐2(๐ฅ)
๐(๐ฅ) = ๐1(๐ฅ) โ ๐2(๐ฅ)
๐(๐ฅ) = ๐1(๐ฅ) โ ๐2(๐ฅ) โ โฆ โ ๐๐(๐ฅ)
36 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
36
๐(๐ฅ) =๐1(๐ฅ)
๐2(๐ฅ), ๐2(๐ฅ) โ 0
2.2.2.1 Jednakost dviju funkcija
Zadane su funkcije ๐ฆ1 = ๐1(๐ฅ), ๐ฆ2 = ๐2(๐ฅ) koje se definisane na skupovima ๐ท1, ๐ท2, i
๐พ1, ๐พ2. Za dvije funkcije kaลพemo da su jednake ako je:
1. ๐ท1, ๐ท2 โ definiลกu istu domenu,
2. ๐พ1, ๐พ2 โ imaju istu kodomenu,
3. ๐1(๐ฅ) = ๐2(๐ฅ) โ imaju iste funkcije. Parne i neparne funkcije
Definicija 3.
Funkcija ๐(๐ฅ) je parna ako za vrijednosti argumenata koji su suprotni brojevi njihove vrijednosti su jednake, odnosno ako je:
๐(โ๐ฅ) = ๐(๐ฅ)
Definicija 4.
Funkcija ๐(๐ฅ) je neparna ako za vrijednosti argumenata koji su suprotni brojevi njihove vrijednosti su takoฤer suprotne, odnosno ako je:
๐(โ๐ฅ) = โ๐(๐ฅ)
2.2.2.2 Geometrijska interpretacija parnosti i neparnosti funkcije
Iz definicije parne funkcije proizilazi da ako je taฤka ๐ด(โ๐ฅ, ๐(๐ฅ)) pripada grafiku
fuhnkcije, tada i taฤka ๐ดโฒ(โ๐ฅ, ๐(โ๐ฅ)), takoฤer pripada grafu. Poลกto su taฤke ๐ด i ๐ดโฒ simetriฤne u odnosu na ๐ฆ ๐๐ ๐ข to je i graf funkcije simetriฤan u odnosu na ๐ฆ ๐๐ ๐ข.
Slika 2.2 Grafiฤka interpretacija parne (lijevo) i neparne (desno) funkcije
37 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
37
Analogno (Slika 2.2) iz definicije neparne funkcije uoฤavamo da ako je taฤka ๐ด(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
pripada grafiku funkcije, tada i taฤka ๐ดโฒ(โ๐ฅ,โ๐(๐ฅ)), takoฤer pripada grafiku funkcije.
Poลกto su taฤke ๐ด ๐ ๐ดโฒ simtriฤne i odnosu na ishodiลกte koordinatnog sistema, zakljuฤujemo da je neparna funkcija centralno simetriฤna u koordinatnom poฤetku. Iz geometrijske interpretacije proizilazi da pri konstrukciji grafa parne i neparne funkcije
dovoljno je da prvu konstruiลกemo za pozitivne brojeve ๐ฅ dok ฤemo ostatak konstruisati
simetriฤno osi ๐ฆ, a drugu na pozitivnom dijelu ๐ฆ ose, a ostatak centralno simetriฤno taฤki ishodiลกta koordinatnog sistem.
Definicija 5. Funkcija ๐(๐ฅ) koja nije ni parna ni neparna jednostavno zovemo ni parna ni neparna funkcija.
Primjer 5. Funkcija ๐ = ๐๐๐ , gdje je k- cijeli broj, ๐๐๐ ๐,|๐| - su parne funkcije.
Primjer 6. Funkcija ๐ = ๐๐๐+๐ , gdje je k- cijeli broj, ๐๐๐ ๐,
|๐|
๐ - su neparne
funkcije.
2.2.2.3 Periodiฤnost funkcije
Definicija 6.
Funkcija ๐(๐ฅ) se naziva periodiฤnom ako postoji jedan realan pozitivan broj
๐, takav da su vrijednosti funkcije ๐(๐ฅ) u taฤkama ๐ฅ ๐ ๐ฅ + ๐jednake, tj. da za
svako ๐ฅ vaลพi ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ + ๐), pri ฤemu se najmanji pozitivan broj ๐ zove
primitivni period ili kraฤe periodom funkcije f(๐ฅ).
Ako ๐ฅ โ ๐ท, domeni funkcije f(๐ฅ) tada svaki broj oblika ๐ฅ + ๐๐, gdje je ๐ =ยฑ0,ยฑ1, ยฑ2, . .. takoฤer pripada oblasti definisanosti, i pri ฤemu je ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ ยฑ ๐๐).
Ovo se lako dokazje jer ako krenemo od poฤetne definicije imamo: ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ ยฑ ๐) =
๐((๐ฅ ยฑ ๐) ยฑ ๐) = โฏ = ๐(๐ฅ + ๐๐). Iz gornjeg lako zakljuฤujemo da taฤke โฆ , ๐ โ
2๐, ๐ โ ๐, ๐, ๐ + ๐, ๐ + 2๐, โฆ iz domene funkcije preslikavaju se u jednu taฤku ๐(๐)
skupa ๐พ odnosno kodomene funkcije ๐(๐ฅ). Takoฤer zakljuฤujemo da ฤe se grafik periodiฤne funkcije biti sastavljen od lukova koji se ponavljaju na svakom od segmenata
[a + kT, a + (k + 1)T], gdje je ๐ = 0,ยฑ1,ยฑ2,โฆ. Prema tome ako je funkcija
peroodiฤna dovoljno je analizirati istu na osnovnom segment [0, ๐], a ostalom dijelu domene se periodiฤnost ponavlja.
Primjer 7.
Trigonometrijske funkcije ๐๐๐ ๐ , ๐๐๐ ๐ su periodiฤne funkcije sa
periodom ๐ท = ๐๐ , a funkcije ๐๐ ๐, ๐๐๐ ๐ sa periodom ๐ท = ๐ , tj.
๐๐๐ (๐(๐ + ๐ป)) = ๐๐๐(๐๐ + ๐ ) = ๐๐๐ ๐๐, pa je ๐๐ป = ๐๐ โ ๐ป =
38 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
38
๐๐
๐
Primjer 8.
Funkcija ๐(๐) = {๐} = ๐ โ [๐] je periodiฤna funkcija s
periodom ๐ป = ๐, jer je:
{๐ + ๐ป} = ๐ + ๐ป โ [๐ + ๐ป] = ๐ โ [๐] = {๐}
I uopฤe kada imamo:
{๐ + ๐๐ป} = {๐}
Ovo ne morate ฤitati
Periodiฤnost funkcije moลพe se zadati i samo n anekom segmentu[๐, ๐ +๐]. Tako da u primjeru 7 funkciju ๐ฆ = ๐ ๐๐ ๐ฅ ograniฤavamo samo na
segment [0, ๐๐ ], a ispitivanje funkcije ๐ฆ = ๐ก๐ ๐ฅ na [โ๐
๐,๐
๐].
Periodiฤnost je pojava vrlo ฤesta u prirodi odnosno u svakodnevnom ลพivotu . Periodiฤnost pojave Sunca, poslije 24 sata, kao i opฤenito kretanje planeta itd.
2.2.2.4 Ograniฤene i neograniฤene funkcije
Definicija 7.
Funkcija ๐(๐ฅ) je ograniฤena u svojoj Domeni (oblasti definisanosti) ako je skup K odnosno skup njenih vrijednosti (Kodomena) ograniฤena.
Drugim rijeฤima ako postoji takva dva broja ๐ i ๐ da je za sve
vrijednosti x โ ๐ท vrijedi ๐ โค ๐(๐ฅ) โค ๐, gdje su ๐ i ๐ โ realni brojevi.
Geometrijska interpretacija Definicije 7 je takva sa se cijeli grafik funkcije nalazi u dijelu
ravni koja je ograniฤena sa pravcima ๐ฆ = ๐ i ๐ฆ = ๐.
39 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
39
Za ograniฤene funkcije jednog argumenta vaลพi sljedeฤa teorema.
Teorema 2.1.
Ako je funkcija ๐(๐ฅ) ograniฤena na skupu x โ ๐ท, tada postoji
pozitivan broj ๐takav da je โ๐ โค ๐(๐ฅ) โค ๐ odnosno |๐(๐ฅ)| โค ๐.
Dokaz: Ako uzmemo da je broj ๐ด = ๐๐๐{๐,๐} tj. ๐ด โฅ |๐| โ๐ด โฅ ๐
tada je โ๐ด โค |๐(๐)| โค ๐ด odnosno |๐(๐)| โค ๐ด. Vaลพi i obrnuto.
Primjer 9. Funkcija ๐ = ๐๐๐ ๐ ograniฤena je za ๐ = 1, tada imamo |sin ๐ฅ| โค 1,
kao i to da je |cos ๐ฅ| โค 1. Ovo pak znaฤi da grafik funkcije sin i cos leลพe unutar trake koju ฤine pravci y=1 i y=-1. Vidi sliku 2.4.
Napomena: Ograniฤenost funkcije moลพe biti i samo s jedne strane odnosno sa gornje ili
donje strane.Drugim rijeฤima postoji broj ๐ takav da je ๐ โค ๐(๐ฅ) -ograniฤenost sa
donje strane i ๐ takav da je ๐(๐ฅ) โค ๐ โograniฤenost s gornje strane.
Primjer 10. Funkcija ๐ = ๐๐ ograniฤena sa donje strane jer je 0 โค ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2.
Primjer 11. Funkcija ๐ = โ๐๐ ograniฤena sa gornje strane jer je 0 โฅ ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2.
Kaลพemo da funkcija nije ograniฤena u koliko ne postoji realni broj M takav da je ๐(๐ฅ) โค๐.
Slika 2.3 Funkcija sin ๐ฅ2, ograniฤena je pravim ๐ฆ = 1 i ๐ฆ = โ1
40 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
40
2.2.2.5 Monotonost funkcije
Definicija 8.
Za funkciju ๐(๐) kaลพemo da je neopadajuฤa na skupu ๐ซ ako za
dva razliฤita argumenta ๐๐ i ๐๐ iz domene vrijedi ๐๐ โฅ ๐๐ โ๐(๐๐) โฅ ๐(๐๐)
Funkcija se zove streogo rastuฤa ili rastuฤa ako je za ๐๐ > ๐๐ โ ๐(๐๐) > ๐(๐๐)
Definicija 9. Za funkciju ๐(๐) kaลพemo da je nerastuฤa na skupu ๐ซ ako zadva
razliฤita argumenta ๐๐ i ๐๐ iz domene vrijedi ๐๐ โฅ ๐๐ โ ๐(๐๐) โค๐(๐๐)
Funkcija se zove strogo opadajuฤa ili opadajuฤa ako je za ๐๐ > ๐๐ โ ๐(๐๐) < ๐(๐๐)
Ako je funkcija ๐ฆ = ๐(๐ฅ) neopadajuฤa tada za neke elemente domene ๐ฅ1 i ๐ฅ2 vrijedi ๐(๐ฅ1) =๐(๐ฅ2). Uoฤimo li segment [๐ฅ1, ๐ฅ2] tada je ๐ฅ1 < ๐ฅ < ๐ฅ2, odnosno ๐(๐ฅ1) = ๐(๐ฅ) =๐(๐ฅ2). U ovom sluฤaju funkciju zovemo konstantnom na segmentu [๐ฅ1, ๐ฅ2]. Iz izloลพenog moลพemo zakljuฤiti da svaka rastuฤa funkcija ujedno je i neopadajuฤa, a dok svaka neopadajuฤa funkcija nije uvijek rastuฤa. Sliฤnu logiku moลพemo primjeniti i za opadajuฤu i nerastuฤu funkciju.
Definicija 10. Monotona funkcija na nekom intervalu (๐๐, ๐๐) domene funkcije zove se funkcija koja je ili neopadajuฤa ili nerastuฤa.
Funkcija je strogo monotona ako je ili opadajuฤa ili rastuฤa.
Slika 2.4 Ograniฤenost sin ๐ฅ ๐ cos ๐ฅ, funkcija pravim ๐ฆ = 1 i ๐ฆ = โ1
41 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
41
Primjeri monotonosti funkcije:
Primjer 12. Funkcija ๐ฆ = ๐๐ฅ za (๐ > 1), ๐(๐ฅ) = log๐ ๐ฅ za (๐ > 1) i ๐(๐ฅ) = ๐ฅ5 predstavljaju primjere strogo monotono rastuฤih funkcija
Primjer 13. Funkcija ๐ฆ = ๐ก๐ ๐ฅ je strogo monotona, a rastuฤa je u intervalima
(โ๐
2+ 2๐๐,
๐
2+ 2๐๐) , ๐ = 0,ยฑ1, . ..
2.2.2.6 Neprekidnost funkcije
Definicija 11.
Ako je funkcija ๐(๐) definisana u nekoj taฤki ๐๐ odnosno ako je
za ๐๐ โ ๐ซ imamo ๐(๐๐) โ ๐ฒ i ako sa proizvoljno malim brojem
๐บ > ๐ definiลกemo okolinu taฤke ๐๐ + ๐บ โ ๐ซ takoฤer dobijamo
proizvoljno malu okolinu funkcije ๐(๐๐ + ๐บ) โ ๐ฒ takva funkcija
je neprekidna u taฤki ๐๐.
Funkcija je neprekidna na segmentu [๐, ๐] ako je neprekirdna u svakoj taฤki segmenta
[๐, ๐]. Svaki grafik neprekidne funkcije je neprekidna kriva. Primjeri neprekidnih funkcija.
Slika 2.5 Primjeri neprekidnih funkcija
42 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
42
Primjeri prekidnih funkcija.
Funkcija ๐ฆ =1
๐ฅ2 je prekidna za ๐ฅ0 = 0jer nepostoji ๐ฆ =1
0. Funkcija ๐ฆ = ๐ ๐๐ ๐ฅnije
neprekidna jer ima prekid u taฤki ๐ฅ0 = 0. ฤesto se iz funkcije koja je zadana anaitiฤkim putem lako nalazi prekid u koliko postoji.
To je ona taฤka za koju vrijednost argumenta funkcija nema smisla. Primjer funkcije ๐ฆ =1
๐ฅ2.
2.2.2.7 Ekstremi funkcije
Neka je funkcija ๐(๐ฅ) definisana u intervalu (๐, ๐) i neka je ๐ < ๐ฅ0 < ๐. Ako za sve ๐ฅ iz
okoline taฤke ๐ฅ0 vrijedni: ๐(๐ฅ) > ๐(๐ฅ0) โจ ๐(๐ฅ) < ๐(๐ฅ0) tada funkcija ๐(๐ฅ) ima u
taฤki ๐ฅ0 maksimum (sl.2.7 lijevo) odnosno minimum (sl. 2.7. desno). Drugim rijeฤima
njena ordinata u taฤki ๐ฅ0 je veฤa odnosno manja od ordinata taฤaka okoline taฤke ๐ฅ0 . Maksimum i minimu se zajedno zovu ekstremne vrijednosti funkcije.
U taฤki ๐ฅ0 funkcija ๐(๐ฅ) ima maksimum tj. za ๐ฅ < ๐ฅ0 โ ๐(๐ฅ) < ๐(๐ฅ0) . I zadnjih
izraza vidimo da je lijevo od taฤke ๐ฅ0 funkcija raste, a desno od date taฤke funkcija opada.
Slika 2.6 Primjeri prekidnih funkcija
Definicija 12. Funkcija ๐(๐๐) je prekidna u taฤki ๐๐ ako je ๐(๐๐) โ ๐ฒ.
Slika 2.7 Primjeri funkcija i njihove ekstremne vrijednosti
43 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
43
Analogno zakljuฤujemo i kada je ๐ฅ0 minimum funkcije ๐(๐ฅ), samo u suprotnim stranama Vidi sliku 2.7. Iz ovoga vidimo da svaki ekstrem razdvaja intervale monotonosti funkcije.
2.2.2.8 Asimptote funkcije
Definicija 13. Prava ฤija udaljenost od taฤke na grafu funkcije ๐(๐) teลพi nuli kada taฤka funkcije teลพi u beskonaฤnost.
Kako je reฤeno asimptote su prave linije, pa stoga imaju jednaฤinu pravca ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐. Zavisno od vrijednosti argumenata a i b dijelimo ih na : horizontalne, vertikalne i kose asimptote.
Primjer 14.
Hiperbola ๐ =๐
๐ dodiruje koordinatne ose u beskonaฤnim
taฤkama. Kaลพemo da funkcija ๐ =๐
๐ ima jednu horizontalnu i
jednu vertikalnu asimptotu. Slika 2.8.
2.2.3 INVERZINA FUNKCIJA
Posmatrajmo funkciju jedne nezavisno promjenjive kojoj je skup vrijednosti ๐ท. Skup
๐พneka bude skup vrijednosti funkcije, odnosno skup ๐พ predstavlja sliku skupa ๐ท. Na
osnovu definicije funkcije svakom elementu skupa ๐ท odgovara jedinstven broj ๐ฆ =๐(๐ฅ) โ ๐พ. Da bi se mogla definisati inverzna funkcija potrebno je da se posmatra bijektivno preslikavanje u kojem svaki element iz domene propada jedan i samo jedan element iz kodomene i obrnuto. Na osnovu toga moลพemo definisati inverznu funkciju.
Definicija 14.
Ako svakoj vrijednosti funkcije ๐ = ๐(๐) iz skupa ๐ฒ odgovara
jedan i samo jedan element iz skupa ๐ซ, pri kojoj je definisana
jednoznaฤna korespodencija ๐ = ๐โ๐(๐) tada govorimo o
Slika 2.8 Graf hiperbole na kojoj su prikazane asimptote koje su ujedno ose koordinatnog sistema
44 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
44
inverznoj funkciji u odnosu na funkciju ๐(๐).
Za inverznu funkciju oblast definisanosti ๐ท ili domenu inverzne funkcije ฤini kodomena
ili skup ๐พ, a vrijednosti inverzne funkcije skup ๐ท. Funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ) i ๐ฅ = ๐โ1(๐ฆ)
zovemo uzajamno inverzne funkcije. Preslikavanje vrijednosti ๐ฅ โ ๐ท posredstvom
pravila ๐ dolazimo do funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ), dok preslikavanje vrijednosti ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ ๐พ
posredstvom pravila ๐โ1. To znaฤi da je:
๐โ1(๐(๐ฅ)) = ๐ฅ, a ๐(๐โ1(๐ฆ)) = ๐ฆ (2.1)
Primjer 15.
Za funkciju ๐ฆ = 3๐ฅ โ 2 inverzna funkcija je ๐ฅ =๐ฆ+2
3, pa je ๐(๐ฅ) =
3๐ฅ โ 2, a ๐โ1(๐ฆ) =๐ฆ+2
3. Ove funkcije su uzajamno inverzne, jer je
๐โ1(๐(๐ฅ)) =(3๐ฅโ2)+2
3= ๐ฅ, ๐(๐โ1(๐ฆ)) = 3 โ
๐ฆ+2
3โ 2 = ๐ฆ.
Primjer 16. Za funkciju ๐ฆ = ๐ฅ3 inverzna funkcija je ๐ฅ = โ๐ฆ3.
Primjer 17.
Za funkciju ๐ฆ = ๐ฅ2imamo da je domena ๐ท โ (โโ,โ), a dok je ๐พ โ(0,โ). To znaฤi da je uspostavljeno jednoznaฤno preslikavanj sa ๐ท โ๐พ . Meฤutim, ako potraลพimo inverznu funkciju uoฤiฤemo da za svako
๐ฆ dobijemo dvije razliฤite vrijednosti ๐ฅ, ลกto znaฤi da ova funkcija kao i
svaka funkcja ๐ฆ = ๐ฅ2๐ nema inverznu funkciju jer je ๐ฅ = ยฑ โ๐ฆ2๐.
Inverznu funkciju ๐ฆ = ๐ฅ2๐ moramo odvojeno posmatrati na
poluintervalima (โโ, 0] i [0, +โ). Vaลพna osobina meฤusobno inverznih funkcija jeste da su im grafici simetriฤni u odnosu
na pravac ๐ฆ = ๐ฅ. Dokaz ove tvrdnje lako sprovodimo. Ako taฤka ๐(๐, ๐)pripada grafiku
funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ), odnosno ๐ฅ = ๐โ1(๐ฆ), tada taฤka ๐โฒ(๐โฒ, ๐โฒ) pripada grafiku funkcije
๐ฆ = ๐โ1(๐ฅ). Dokaลพimo joลก da su taฤke ๐ i ๐โฒ simetriฤne u odnosu na pravac ๐ฆ = ๐ฅ.
Slika 2.9 Grafiฤka interpretacija inverzne funkcije
45 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
45
Ako je ๐ grafik funkcije ๐ฆ = ๐ฅ, tj. grafik sijeฤe I i III kvadrant na dva jednaka dijela imamo da je:
โฎ ๐ฅ๐๐ = โฎ ๐๐๐ฆ โ ๐ผ = ๐ฝ
ฮ๐๐โฒ๐โฒ โ ฮ๐๐๐ โ (katete su im jednake)
โฎ ๐๐๐ = โฎ ๐ ๐๐โฒ Kada oduzmemo prvi i treฤi izraz imamo:
โฎ ๐ฅ๐๐โโฎ ๐๐๐ = โฎ ๐๐๐ฆโโฎ ๐๐๐โฒ โฎ ๐๐๐ = โฎ ๐๐๐โฒ
(2.2)
Zadnji izraz daje na da zakljuฤimo da je ๐ - simetrala ugla โฎ ๐๐๐โฒ, a poลกto su ๐๐ = ๐๐โ zakljuฤujemo ujedno da je ฮ๐๐๐โฒ jednakokraki trougao pa simetrala ugla jednakokrakog
trougla polovi stranicu ๐๐โ, tj. ๐ je simetrala duลพi ๐๐โ. Zakljuฤivanjem da su taฤke ๐ i ๐โ simetriฤne u odnosu na pravac ๐. Poลกto su ๐ i ๐โ bilo koje taฤke zakljuฤujemo da su i
grafici funkcije i njene inverzne funkcije simetriฤni u odnosu na pravac ๐ฆ = ๐ฅ.
Definicija 14.
Ako svakoj vrijednosti funkcije ๐ = ๐(๐) iz skupa ๐ฒ odgovara
jedan i samo jedan element iz skupa ๐ซ, pri kojoj je definisana
jednoznaฤna korespodencija ๐ = ๐โ๐(๐) tada govorimo o
inverznoj funkciji u odnosu na funkciju ๐(๐).
2.2.4 SLOลฝENA FUNKCIJA
Sloลพenu funkciju moลพemo posmatrati kao proces viลกe preslikavanja gdje je kodomena prvog domena drugog preslikavanja i td.
Ako pretpostavimo da imamo dvije funkcije ๐ฆ = ๐(๐ข) i ๐ข = ๐(๐ฅ) tada funkcija ๐ฆ =๐(๐ข) znaฤi preslikavanje skupa ๐ท na skup ๐ koji je skup vrijednosti odnosno domena
Slika 2.10 Poloลพaj funkcije i njene inverzne komponente na grafu
46 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
46
funkcije ๐(๐ฅ). Na cijeli skup ๐ nemora pripadati oblast definisanosti funkcije ๐(๐ข).
Vrijednost argumenta ๐ฅ, za koji je ๐ข = ๐(๐ฅ) pripada oblasti definisanosti funkcije ๐ข =๐(๐ข), formira skup ๐ท1 koji je dio skupa ๐ท.
Definicija 15.
Funkcija sa znakom korespodencije ๐ = ๐(๐(๐)) ฤiju domenu
ฤini skup ๐ซ๐ onih vrijednosti argumenata ๐ za koji je ๐ = ๐(๐)
pripada oblasti domeni funkcije ๐ = ๐(๐), zovemo sloลพenomn
funkcijom od ๐ preko meฤuargumenta ๐.
Zato simbol ๐ฆ = ๐(๐(๐ฅ)) znaฤi (kao ลกto je reฤeno) dva oreslikavanja ๐ฅ โ ๐ข โ ๐ฆ i ima
smisla ako ๐ข = ๐(๐ฅ) domena funkcije ๐ฆ = ๐(๐ข). Ako ๐ข = ๐(๐ฅ) ne pripada domeni
funkcije ๐ฆ = ๐(๐ข), tada simbol ๐ฆ = ๐(๐(๐ฅ)) nema smisla i ne definiลกe sloลพenu funkciju.
Analogno moลพemo definisati sloลพenu funkciju sa tri ili viลกe konaฤnih preslikavanja i meฤuargumenata.
Primjer 18.
Sloลพena funkcija sa dva meฤuargumenta bile bi sljedeฤe funkcije: ๐ฆ =๐(๐ข), ๐ข = ๐(๐ฃ), ๐ฃ = ๐(๐ฅ).
Ako je ๐ฆ = ๐(๐(๐(๐ฅ))) ima smisla ostvareno je preslikavanje ๐ฅ โ
๐ข โ ๐ฃ โ ๐ฆ i definisana sloลพena funkcija y sa argumentom ๐ฅ. Svaka slลพena funkcija moลพe se razbiti na lanac uzastopnih preslikavanja. Zato se sloลพena funkcija zove joลก i posredna funkcija.
Primjer 19. Zadan je lanac preslikavanja ๐ฅ โ ๐ข โ ๐ฆ definisan sljedeฤim zakonom
korespodencije: ๐ฆ = ๐(๐ข) = ln ๐ข, ๐ข = ๐(๐ฅ) = ๐ฅ โ 2.
Funkcija definisana sa ๐ข = ๐(๐ฅ) definisana je za sve realne brojeve ๐ฅ โ(โโ,+โ). Ovaj interval obrazuje domenu funkcije ๐ข = ๐(๐ฅ). Meฤutim sve vrijednosti ove frunkcije funkcije tj. svi elementi kodomene ne pripadaju domeni funkcije
sljedeฤe u lancu odnosno funkciji ๐ฆ = ๐(๐ข). Domeni funkcije ๐ฆ = ๐(๐ข) pripadaฤe
samo vrijednosti iz intervala [2, +โ), jer samo za te vrijednosti definisana je funkcija
๐ฆ = ๐(๐ข). Zbog toga podruฤje definisanosti sloลพene funkcije biฤe samo vrijednosti za
koje ova funkcija ima smisla odnosno poluinterval [2, +โ).
2.2.5 FUNKCIJA ZADANA U PARAMETARSKOM OBLIKU
Ako imamo skup funkcija ๐ฅ = ๐(๐ก) i ๐ฆ = ๐(๐ก), koje su definisane na skupu ๐ท๐ก . Neka je
za funkciju ๐ฅ = ๐(๐ก) definisana inverzna funkcija ๐ก = ๐โ1(๐ฅ), tada je: ๐ฆ =
๐(๐โ1(๐ฅ)) = ๐(๐ฅ). Ovo znaฤi da gornji skup funkcija ๐(๐ก), ๐(๐ก), definiลกe ๐ฆ kao
funkciju od ๐ฅ sa zakonom korespodencije: ๐ฆ = ๐(๐โ1(๐ฅ)) = ๐(๐ฅ).
Neka je sada ๐ฆ = ๐(๐ก) i ๐ฅ = ๐(๐ก). U ovom sluฤaju ฤemo kazati da je funkcija ๐ฆ = ๐(๐ฅ)
data u parametarskom obliku . Argument ๐ก zovemo parametrom a postupak prelaska sa
47 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
47
parametarskog oblika na klasiฤni oblik ๐ฆ = ๐(๐โ1(๐ฅ)) = ๐(๐ฅ) zovemo eliminacijom
parametra. Iz zadnjeg zakljuฤujemo da je za svako ๐ก โ ๐ท๐ก vrijedi: ๐(๐(๐ก)) = ๐(๐ก) = ๐ฆ.
Kada prelazimo sa funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ) na parametarski oblik ๐ฆ = ๐(๐ก) i ๐ฅ = ๐(๐ก)
kaลพemo da smo parametrizirali funkciju ๐ฆ = ๐(๐ฅ).
Primjer 20.
Ako su nam zadani parametarski oblici funkcije ๐ฅ = ๐ sin ๐ก i ๐ฆ =๐ cos ๐ก, eliminacijom parametara imamo:
๐ฅ2
๐2+
๐ฆ2
๐2= sin2 ๐ก + cos2 ๐ก = 1
๐ฅ2
๐2+
๐ฆ2
๐2= 1
Primjer 20.
Imamo jednaฤine ๐ฅ = ๐ cos3 ๐ก i ๐ฆ = ๐ sin3 ๐ก gdje je 0 โค ๐ก โค 2๐. Eliminacijom parametara imamo:
โ๐ฅ3
๐2= cos ๐ก ,
โ๐ฆ3
๐2= sin ๐ก
Kvadriranjem i sabiranjem jednaฤina imamo:
๐ฅ23 + ๐ฆ
23 = 1
Zadnja jednaฤina koju smo dobili predstavlja jednaฤinu astroide.
48 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
48
2.3 PREGLED OSNOVNIH ELEMENTARNIH FUNKCIJA
2.3.1 NEล TO IZ HISTORIJE
Poznavanje osnovnh elementarnih funkcija je neophodno u daljnjem studiranju Matematike. Cijela Matermatika uvijek je povezana sa funkcijama zadanim kako u analitiฤkom tako i grafiฤkom (zadana preko grafa funkcije) obliku. Veฤ smo vidjeli kako se funkcija moลพe zadati i svaki od naฤina njenog zadavanja je jednako vaลพav. Kada funkciju ลพelimo da spoznamo mi je sebi nacrtamo, jer lakลกe je neลกto shvatiti kada nam je prikazano u obliku crteลพa. Prije nego se upoznamo sa elementarnim funkcijama objasnimo pojmove preko kojih se zadaju funkcije, posebno kada je u pitanju grafiฤki prikaz funkcija. Saku funkciju koju ลพelimo da grafiฤki prikaลพemo postavljamo jdan bilo pravougli ili polarni koordinatni sistem. Ovi sistemi na omoguฤavaju da analitiฤki zadanu funkciju pretvorimo u grafiฤki oblik. Meฤutim nije sve bilo tako jednostavno kao ลกto izgleda. Da li grijeลกimo kada postavimo koordinatni sistem i svakom paru realnih brojeva pridruลพujemo odgovarajuฤe taฤke na brojevnom pravcu apcise ili ordinate? Moลพda ima viลกe taฤaka na pravcu nego brojeva i obrnuto?. Za takva i druga sliฤna pitanja pobrinuli su se Deskart, Dedekind i Kantor, tri matematiฤara. Kantor je prvi dokazao da je skup realnihp brojeva neprebrojiv. To znaฤi da skup realnih brojeva broji viลกe elemenata nego ลกto ima skup prirodnih brojeva. To se moลพe shvatiti da su realni brojevi neprekidni te da ih ima koliko i taฤaka na pravcu. Meฤutim iako se na prvi pogled ne moลพe vidjeti skup raconalnih brojeva je isti kao i skup cijeli odnosno ova dva skupa su jednaka, odnosno ima ih onliko koliko i prirodnih brojeva. Bez obzira na to
da izmeฤu svaka dva racionalne broja ๐ i ๐ moลพemo naฤi broj ๐ koji se nalazi izmeฤu njih
odnosno ๐ < ๐ < ๐ ipak racionalni brojevi se ne poklapaju sa taฤkama na jednom pravcu. Jednstavan dokaz ove teze je da dijagonala kvadrata stranice 1. Znamo da je tada
duลพina dijagonela po Pitagorinoj teoremu โ2 . Vidimo da ovaj broj ne pripada skupu racionalnih brojeva, ali se ipak moลพe nacrtati na pravoj. Donja slika prkazuje kako
odrediti taฤku โ2. U koliko brojevnom pravcu definiลกemo duz duลพine 1, te nad krajnjom
taฤki konstruiลกemo pod uglom od 900takoฤer drugu duลพ duลพine 1, tada duลพ koja spaja
poฤetnu taฤku prve duลพi i krajnju taฤku druge duลพi ima duลพinu โ2, koju onda lako prenosimo na brojevni pravac. Dedekind je zasluลพan po tome ลกto je definisao realne brojeve preko racionalnih brojeva. Poznata je njegova definicija realnih brojeva preko rezova skupa racionalnih brojeva.
Slika 2.11 Konstrukcija broja โ2,
49 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
49
Dekart je zasluลพan zbog toga ลกto je formulirao principe analitiฤke geometrije. Ono se sastoji u odreฤivanju poloลพaja jedne taฤke u ravni ili prostoru pomoฤu sistema brojeva koji su nazvani koordinate taฤaka- Time je prouฤavanje geometrijskoh likova svedeno na prouฤavanje brojeva. Dekartov koordinatni sistem u ravni upravo se definiลกe na jednoj funkciji (korespodenciji) skupa taฤaka u ravni i realnih brojeva. Kantorovom
formulacijom neprebrojivosti realnih brojeva, te identiฤnosti skupa realnih brojeva ๐ sa
skupom ๐ ๐ฅR ureฤenih parova realnih brojeva a samim tim i skupom ureฤenih parova sa jednom i samo jednom taฤkom u ravni, na potpun naฤin je formulisana ฤitava analitiฤka geometrija i svi koordinatni sistemi.
2.3.1.1 Pravougli Dekartov koordinatni sistem
Joลก ฤemo reฤi da je Dekartov pravougli koordinatni sistem tvore dvije okomite usmjerene
prave ๐ฅ i ๐ฆ koje se sjeku u taฤki ๐. Svakoj taฤki ๐ u ravni ๐ฅ๐๐ฆ pripada ureฤen par
realnih brojeva na brojevnim pravcima ๐ฅ i ๐ฆ i to ๐(๐ฅ1, ๐ฆ1) i obrnuto svkom paru
ureฤenih brojeva (๐ฅ1, ๐ฆ1) odgovara jedna i samo jedna taฤka M u ravni ๐ฅ๐๐ฆ. Ureฤen par
(๐ฅ1, ๐ฆ1) zovemo joลก i koordinata taฤke ๐.
2.3.1.2 Polarni koordinatni sistema
Vidjeli smo da se Dekartov pravougli koordinatni sistem dozvoljava odreฤivanje poloลพaja taฤke pomoฤu sistema od dvije koordinate. Mogu se pronaฤi i drugi sistemi pomoฤu kojih se uspostavlja korespodencija izmeฤu taฤke i para koordinata (brojeva). To je sluฤaj polarnih
koordinata u ravni. Ako u pravouglom koordinatnom sistemu posmatramo taฤku ๐ koja ima
koordinate ๐(๐ฅ1, ๐ฆ1), lako moลพemo vidjeti da ฤe ona jednoznaฤno biti odreฤena i ako duลพ
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ iz koordinatnog poฤetka zarotiramo za ugao ๐. Vrijednost ๐ i ๐ jednoznaฤno odreฤuju
poloลพaj taฤke ๐, tj. ๐ ima polarne koordinate ๐(๐, ๐). Vrijednost ๐ zove se polarni ugao taฤke
๐, a ๐ radijus vektor. Znaฤi jednom ureฤenom paru brojeva (๐, ๐) odgovara jedna i samo jedna
Slika 2.12 Pravougli koordinatni sistem
50 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
50
taฤka u ravni ๐. Meฤutim jednoj taฤki u ravni moลพe odgovarati beskonaฤno mnogo parova
(๐, ๐).
Iz tog razloga pretpostavicemo da imamo odnosno da nam je poznato jedno partikularno
rjeลกenje (๐0, ๐0).
Zbog periodiฤnosti uglova pored poฤetnog rjeลกenja imamo i ostala rjeลกenje u obliku
(๐0, ๐0 + 2๐๐), gdje je ๐ = 0, ยฑ1,ยฑ2,โฆ. Konverzija polarnih koordinata u pravougle moลพemo izvrลกiti na sljedeฤi naฤin:
๐0 = โ๐ฅ2 + ๐ฆ2, odnosno ๐0 =๐ฅ
cos๐0 ili
๐ฆ
sin๐0 tj.
cos๐0 = ๐0 ๐ฅ = ๐ฅโ๐ฅ2 + ๐ฆ2
๐ฅ = ๐ cos๐0, ๐ฆ = ๐ sin๐0
Iz zadnjih relacija lako moลพemo iz jednog sist ema preฤi u gdrugi. Ovo su dva najฤeลกฤe koriลกtena koordinatna sistema, mada postoje i drugi sistemi u prostoru preko kojih se prikazuju grafici funkcija dvije promjenjive, a zovemo ih pravougli prostorni, cilindriฤni te sferni koordinatni sistem.
Slika 2.13 Polarni koordinatni sistem
51 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
51
2.3.1.3 Klasifikacija funkcija
Klasifikacija funkcija se vrลกi prema operacijama koje se pojavljuju u funkciji. Racionalne operacije su raฤunske operacije: oduzimanje, sabiranje, djeljenje, mnoลพenje i stepenovanje cijelim brojevima. Iracionelne operacije su operacije korjenovanja i stepenovanja razlomaka. Algebarske operacije zovemo zajedno racionalnim i iracionalnim operacijama. Sve operacije koje nisu algebarske zovemo transcedentnim. Racionalni izrazi su izrazi u kojima se pojavljuju
racionalne operacije nrp. 5๐2 โ7
8๐ฅ + 3,
๐๐ฅ+๐
๐๐ฅ+๐, (๐ฅ2 โ 2)/(๐ฅ2 โ 2๐3). Racionalni izrazi
mogu biti: cijeli i razlomljeni. Racionalni izrazi koji ne sadrลพe djeljenje opฤim brojevima
zovemo cijeli. Npr. 5๐ฅ2 โ7
8๐ฅ + 2๐ฅ + 3.
Racionalni izraz koji sadrลพi djeljenje opฤim brojevima zovemo razlomljenim. Npr. ๐ฅ+1
๐ฅ+2,
3+2๐ฅ
2+3๐ฅ.
Racionalne izraze oblika ๐(๐ฅ) = ๐๐๐ฅ๐ + ๐๐โ1๐ฅ๐โ1 + โฏ+ ๐1๐ฅ + ๐0, gdje je ๐0 โ 0
zovemo polinom n-tog stepena, sa jednom promjenjivom ๐ฅ. Koeficijenti ๐๐ ne zavise od
๐ฅ, a ๐ je prirodan broj. Racionalne funkcije su one funkcije u kojima se zavisno promjenjiva varijabla dobija kada se argument podvrgne konaฤnom broju racionalnih operacija i realnih konstanti. Opฤi
oblik racionalne funkcije: ๐ฆ = ๐๐๐ฅ๐ + ๐๐โ1๐ฅ๐โ1 + โฏ+ ๐1๐ฅ + ๐0, gdje je ๐0 โ 0.
Zavisno od broja ๐ dobijamo:
Za ๐ = 1 linearna funkcija
Za ๐ = 2 kvadratna funkcija (parabola)
Za ๐ = 3 kubna funkcija (kubna parabola) Itd. Sve racionalne funkcije su najjednostavnije funkcije matematiฤke analize. Algebarske funkcije su one funkcije u kojima su zastupljeni algearski izrazi. U ove funkcije spadaju sve racionalne i iracionalne funkcije kao najฤeลกฤi oblik inverznih racionalnih funkcija.
Primjer 21. Primjeri algebarskih funkcija: ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ3
, ๐ฆ =(๐ฅ+2โ๐ฅ+3)
2
(1โโ3๐ฅ)3
Sve funkcije koje nisu algebarske zovemo transcedentne funkcije. Osnovne transcedentne funkcije su: trigonometrijske, eksponencijalne, hiperbolne, i njihove inverzne funkcije odnosno arkus funkcije. Naziv transcedentne dobile su po tome ลกto defenisanje ovih funkcija โprevazilazi snage algebreโ ili lat. Algebrae vires transcendit, odnosno nisu algebarske operacije primjenjene u konaฤno mnogo puta.
52 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
52
2.3.2 LINEARNA FUNKCIJA (JEDNAฤINA PRAVCA)
Opฤi oblik linearne funkcije dobija se za n=1, odnosno: ๐ฆ = ๐1๐ฅ + ๐0.
Pretpostavimo da imamo jedan pravac u koordinatnom sistemu te dvije taฤke A i B, koje
imaju koordinate ๐ด(๐๐ด, ๐๐ด) i ๐ต(๐๐ต, ๐๐ต) respektivno i koje pripadaju pravoj ๐. Sa slike 2.14 jasno se vidi da je:
๐ต๐ฬ ฬ ฬ ฬ = โ๐ฆ = ๐ฆ๐ต โ ๐๐ด
๐ด๐ฬ ฬ ฬ ฬ = โ๐ = ๐๐ต โ ๐๐ด
(2.3)
Takoฤer lako se uoฤava da je โ๐0๐๐ด๐ต ~ โ๐ด๐ต๐ pa je โข๐ต๐0๐๐ด = โข๐ต๐ด๐ = ๐ผ. Iz โ๐ต๐ด๐
slijedi da je โ๐ฆ
โ๐ฅ= ๐ก๐ ๐ผ = ๐.
Pretpostavimo da je taฤka ๐(๐ฅ, ๐ฆ)pripada pravoj ๐ tada je:
๐๐ดโฒ
๐ด๐ดโฒ=
โ๐ฆ
โ๐ฅ tj.
๐ฆโ๐ฆ๐ด
๐ฅโ๐ฅ๐ด=
๐ฆ๐ตโ๐ฆ๐ด
๐๐ตโ๐๐ด
๐ฆ โ ๐ฆ๐ด =๐ฆ๐ต โ ๐ฆ๐ด
๐๐ต โ ๐๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ๐ด)
(2.4)
Zadnja jednakosto izraza (2.4) zovemo jednaฤina prave, a zbog poฤetne formulacije
jednaฤinu prave moลพemo pisati i kao ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐ gdje je ๐ =๐ฆ๐ตโ๐ฆ๐ด
๐๐ตโ๐๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ๐ด). Broj ๐
zovemo koeficijent smjera prave. On je jednak tangensu ugla ลกtp ga prava zaklapa sa
pozitivnim dijelom ose ๐ฅ. Broj l je odsjeฤak na osi ๐ฆ ลกto ga pravi prava ๐. Iz jednakosti 2.4 zakljuฤujemo da nam je za prikaz linearne funkcije u grafiฤkom obliku potrebno bar dvije taฤke, a Aksioma 1 Euklidove geometrije jedinstvenost te prave.
Slika 2.14 Grafik linearne funkcije
53 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
53
2.3.3 KVADRATNA FUNKCIJA
Graf kvadratne funkcije zove se i parabola. Kvadratna kao i linearna funkcija definisana je na cijelom intervalu realnih brojeva. Kvadratna funkcija uvijek posjeduje jednu ekstremnu vrijednost koja razdvaja dva intervala u kome je funkcija rastuฤa odnosno opadajuฤa.
Kada je ๐1 = 0 i ๐0 = 0 dobijamo ฤisto kvadratnu funkciju. Ta funkcija je parna pa je
simetriฤna u odnosu na ๐ฆ osu. Za ๐1 < 0 funkcija posjeduje maksimum u taฤki (0,0), a
za ๐1 > 0 posjeduje minimum u istoj taฤki (sl. 2.15). Funkcija ฤija kvadratna jednaฤina ima konjugovano kompleksne korijene ne sijeฤe x-osu (sl. 2.15), pa je na ฤitavom intervalu pozitivna ili negativna, zavisno od kvadratnog slobodnog koeficijenta.
Slika 2.15 Razliฤiti grafici kvadratne funkcije
54 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
54
2.3.4 KUBNA FUNKCIJA
Graf kubne funkcije zovem joลก i kubna parabola. Definisana je na cijelom intervalu
realnih brojeva. ฤista kubna parabola dobije se za ๐2 = ๐1 = ๐0 = 0. Ta funkcija je naparna pa je centralno-simetriฤna u odnosu na koordinatni poฤetak.
Na ฤitavom intervalu je strogo rastuฤa u odnosno opadajuฤa zavisno od kubnog
koeficijenta polinoma ๐3.Nema ekstremnih vrijednosti. Postoji samo taฤka infleksije iz koje funkcija prelazi iz konkavnosti u konveksnost.
2.3.5 STEPENA FUNKCIJA
Stepena funkcija je funkcija oblika ๐ฆ = ๐ฅ๐ผ , gdje je ๐ผ โ โ.
Ako je ๐ผ racionalan broj, tada je ovo algebarska funkcija inaฤe je transcedentna, kao ลกto smo pokazali ranije. ฤisto kvadratna i kubna funkcija spadaju takoฤer u stepene funkcije. Ako se upustimo u opฤe razmatranje stepene funkcije zakljuฤujemo da moลพemo definisanti razne oblike stepene funkcije pri odreฤenim uslovima. Drugim rijeฤima za
razliฤite vrijednosti stepena ๐ผ dobijamo i razliฤite vrste stepene funkcije. Domena
stepena funkcije zavisi od vrijednosti stepena ๐ผ pa tako imamo:
Za ๐ผ โ โ funkcija je definisana za ๐ฅ โ (0,+โ)
Za ๐ฅ โค 0 funkcija ๐ฅ๐ผ moลพe ali i nemora biti definisana za neke vrijednosti stepena ๐ผ.
Kada je =๐
๐ , tj. kada je ๐ผ pozitivan racionalni broj tada je funkcija definisana za ๐ฅ โ
(โโ,+โ), a ako je ๐ = 2๐ + 1 i za ๐ = 2๐, graf funkcije je simetriฤan u odnosu na y osu tj. funkcija je parna.
Slika 2.16 Razliฤiti grafici kvadratne funkcije
55 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
55
A ako je ๐ = 2๐ + 1 graf funkcije je osnosimetriฤan u odnosu na koordinatni poฤetak pa je funkcija neparna.
Ako pak je ๐ = 2๐, tada za neparno ๐ funkcija je definisana samo za ๐ฅ โ (0,+โ).
Ako je ๐ผ โฅ 0 pri ฤemu je ๐ผ iracionalan broj funkcija je definisana samo za ๐ฅ โฅ 0
Sve posljednje reฤeno vaลพi i za ๐ผ < 0, s tim ลกto stepena funkcija nije definisana za ๐ฅ =
0, jer tada funkciju ne moลพemo napisati u obliku 1
๐ฅโ๐ผ ลกto za ๐ฅ = 0 nije definsan izraz.
Ako stepena funkcija ima inverznu funkciju zada ona takoฤer stepena inverzna funkcija
odnosno ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐ผ , ๐โ1(๐ฆ) = ๐ฅ1
๐ผ, ๐โ1(๐ฅ) = ๐ฅ1
๐ผ.
Objasnimo nakratko ponaลกanje stepene funkcije za razliฤite vrijednosti ๐ผ.
1. Kada je ๐ผ = ๐ > 0 funkcija je rastuฤa u intervalu (0, +โ), grafik krive prolazi
kroz taฤke (0,0) i (1,1). Grafici ovih funkcija podjeljeni su u dvije klase u
odnosu na pravac ๐ฆ = ๐ฅ.
2. Kada je ๐ผ = ๐ < 1, te kada je ๐ > 1, krivu ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐ zovemo kao ลกto smo veฤ spomenuli parabola.
3. Kada je ๐ผ = ๐ < 0, tada moลพemo uzeti smjenu ๐ = โ๐, ๐ > 0pa je ๐ฆ = ๐ฅ1
๐.
Ove krive opadaju u intervalu (0, +โ). Kada ๐ฅ raste tada ๐ฆ โ 0 i obrnuto. ๐ฅ i ๐ฆ
ose su u ovom sluฤaju asymptote krivih. Krive prolaze kroz taฤku (1,1). Glavni
predstavnik ovih krivih je hiperbola ๐ฆ =1
๐ฅ, gdje se krive grupiลกu u dvije familije
za ๐ > 1 i ๐ < 1, dok u taฤki (1,1) funkcija nije definisana.
Grafici stepene funkcije zovemo joลก i politropnim krivim linijama.
2.3.6 EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE
Svaki oblik funkcije ๐ฆ = ๐๐ฅ, gdje je ๐ โ โ zovemo eksponencijalna funkcija. Ako je ๐ <
0 tada vrijednosti argumenata mogu biti samo oblika ๐ฅ =๐
๐, gdje je ๐- neparan broj.
Kada je za istu vrijednost broja ๐, ๐ฅ iracionalan broj i oblika ๐ฅ =๐
๐, gdje je ๐ โ paran
broj, tada funkcija nije definisana.
Zbog ovih uslova eksponencijalna funkcija posmatra se samo kada je ๐ > 0. Ako je taj
uslov ispunjen tada funkcija ๐ฆ = ๐๐ฅ ima uvijek pozitivnu vrijednost, ลกto znaฤi da se
nalazi iznad ๐ฅ-ose. Da li eksponencijalna finkcija srtrogo rastuฤa ili opadajuฤa zavisi od
broja ๐.
56 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
56
Kada je ๐ > 1 tada je funkcija strogo rastuฤa na cijelom intervalu โ.
Kada je 0 < ๐ < 1 tada je funkcija na cijelom interval opadajuฤa. Eksponencijalna
funkcija za obe vrijednosti broja ๐ ima za horizontalnu asimptotu osu x.
Kada je ๐ = 1 tada je funkcija konstantna ๐ฆ = 1. Grafiฤki prikaz eksponencijlne funkcije drugฤije zovemo eksponencijlne krive.
2.3.7 LOGARITAMSKA FUNKCIJA
Iz samog naziva zakljuฤujemo da bi logaritamska funkcija bila svaka funkcija oblika ๐ฆ =log๐ ๐ฅ . Iz definicije logaritamske operacije moลพemo zakljuฤiti da je logaritamska funkcija
inverzna funkcija eeksponencijalne funkcije ๐ฆ = ๐๐ฅ. Da bi egzistirala logaritamska
funkcija mora postojati njena inverzna funkcija odnosno mora biti: 0 < ๐ โ 1. Za prikaz grafa logaritamske funkcije posluลพiฤemo se osobinom inverzne funkcije.
Slika 2.17 Grafik eksponencijalnih funkcija
57 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
57
Kada grafik eksponencijalne funkcije okrenemo oko prave ๐ฆ = ๐ฅ za 1800 dobijamo grafik logaritamske funkcije. Iz grafika funkcije zapaลพamo da je logaritamska funkcija
definisana samo za pozitivne vrijednosti argumenta ๐ฅ. Svaka logaritamska funkcija sijeฤe
๐ฅ โ osu u taฤki ๐ฅ = 1. Za ๐ > 1 logaritamska funkcija je strogo rastuca, inaฤe je
opadajuฤa u intervalu (0 < ๐ < 1). Za ๐ = 1 logaritamska funkcija prelazi u konstantu
๐ฅ = 1. Za oba sluฤaja logaritamske funkcije postoji jedna zajedniฤka asimptota ๐ฅ = 0, odnosno za logaritamsku funkciju y โ osa predstavlja ujedno i asimptotu.
2.3.8 HIPERBOLNE FUNKCIJE
Posmatrajmo polu zbir i polu razliku dviju eksponencijalnih funkcija: ๐ฆ1 =๐๐ฅ+๐โ๐ฅ
2 i
๐ฆ2 =๐๐ฅโ๐โ๐ฅ
2. Njihove grafike lako moลพemo dobiti ako saberemo odnosno oduzmemo
grafike eksponencijalnih funkcije ๐๐ฅ
2 i
๐โ๐ฅ
2.
Ispitajmo parnost ovih funkcija:
๐1(โ๐ฅ) =
๐โ๐ฅ + ๐๐ฅ
2= ๐1(๐ฅ)
๐2(โ๐ฅ) =๐โ๐ฅ โ ๐๐ฅ
2= โ
๐๐ฅ โ ๐โ๐ฅ
2= โ๐2(๐ฅ)
(2.5)
Vidimo da je ๐1(๐ฅ) โparna funkcija dok je ๐2(๐ฅ)- neparna funkcija.
Slika 2.18 Grafik eksponencijalne funkcije i njene inverzne
logaritmaske funkcije log๐ ๐ฅ, za razliฤitu vrijednost ๐. Strelica pokazuje eksponencijalnu i njenu inverznu logaritmamsku krivu
58 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
58
Ako umjesto prouzvoljnog broja ๐ stavimo Eulerov broj ๐ tada smo dobili tzv. Hiperbolne funkcije.
sinh ๐ฅ =๐โ๐ฅโ๐๐ฅ
2 โ sinus hiperbolni
cosh ๐ฅ =๐โ๐ฅ+๐๐ฅ
2 โ cosinus hiperbolni
(2.6)
Analogno trigonometrijskim funkcijama imamo korespodentne tangens i kotangens hiperbolne funkcije:
tanh ๐ฅ =sinh๐ฅ
cosh๐ฅ โ tangens hiperbolni
ctanh ๐ฅ =cosh๐ฅ
sinh๐ฅ โ kotangens hiperbolni
(2.7)
Grafici ovih funkcija vidimo na gornjoj slici. Iz samog grafika moลพe se uoฤiti da je ๐ ๐๐โ ๐ฅ
strogo rastuฤa, a ๐๐๐ โ ๐ฅ rastuฤa u intervalu (0,โ), a opadajuฤa u (โโ, 0). Veฤ smo
pokazali da je sinh ๐ฅ neparna, a cosh ๐ฅ parna funkcija, pa iz tog zakljuฤujemo po
osobinama zbira i razlike funkcija da je tanh ๐ฅ i tcgh ๐ฅ neparne funkcije, odnosno rastuฤa odnosno opadajuฤa funkcija respektivno. Moลพemo takoฤer kazati da se hiperbolne funkcije sliฤno ponaลกaju kao i trigonometrijske, bar kad govorimo oko same definicije funkcija. Za hiperbolnu funkcijusliฤno kao i za trigonometrijsku moลพemo dokazati sljedeฤu teoremu.
Slika 2.19 Grafik hiperbolnih funkcija
59 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
59
Teorema 2.2.
cosh2 ๐ฅ โ sinh2 ๐ฅ = 1
cosh2 ๐ฅ + sinh2 ๐ฅ = cosh2๐ฅ
2 sinh๐ฅ โ cosh ๐ฅ = sinh2๐ฅ
tanh๐ฅ2 =2 tanh๐ฅ
1 + tanh2 ๐ฅ
cosh2 ๐ฅ =cosh2๐ฅ + 1
2
sinh2 ๐ฅ =cosh2๐ฅ โ 1
2
sinh(๐ฅ + ๐ฆ) = sinh๐ฅ cosh๐ฆ + sinh๐ฆ cosh ๐ฅ
cosh(๐ฅ + ๐ฆ) =cosh ๐ฅ cosh๐ฆ + sinh๐ฆ sinh๐ฅ
tanh(๐ฅ + ๐ฆ) =tanh ๐ฅ + tanh ๐ฆ
1 + tanh ๐ฅ tanh ๐ฆ
Dokaz
Zbog jednostavnosti dokaza, ฤitalac moลพe ali i ne mora dokazati nedokazane dijelove teoreme.
sinh(๐ฅ + ๐ฆ) =๐๐ฅ+๐ฆโ๐โ๐ฅโ๐ฆ
2=
๐๐ฅ๐๐ฆโ๐โ๐ฅ๐โ๐ฆ
2โ2
2=
2 ๐๐ฅ๐๐ฆโ2 ๐โ๐ฅ๐โ๐ฆ
2=
๐๐ฅโ๐โ๐ฅ
2โ๐๐ฅ+๐โ๐ฆ
2+
๐๐ฅ+๐โ๐ฅ
2โ๐๐ฅโ๐โ๐ฆ
2= sinh ๐ฅ cosh ๐ฆ + sinh ๐ฆ cosh ๐ฅ .
ล to je i trebalo dokazati.
Napomena Iz zadnja tri svojstva lako dolazimo do relacija za dvostruke
vrijednosti argumenata kada se stavi da je ๐ฅ = ๐ฆ.
60 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
60
2.3.9 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Joลก iz srednje ลกkole poznate su nam trigonometrijske funkcije. Znaฤajna osobina ovih funkcija je njihova periodiฤnost. Iz adicionih teorema se moลพe vidjeti da je periodiฤnost
sinusne i kosinusne funkcije 2๐, a tangens i arkustangens ๐. Takoฤer, lako se moลพe dokazati da je kosinusna funkcija parna a sinusna neparna, odnosno tangens i kotangens su neparne funkcija. Sve ove osobine su vidljive iz grafa funckije.
Sa grafika se vidi da su trigonometrijske funkcije ograniฤene funkcije. Sinusna funkcija je
monotono rastuฤa na intervalu od (โ๐
2+ 2๐๐,
๐
2+ 2๐๐), a monotono opadajuฤa na
intervalu (๐
2+ 2๐๐,
3๐
2+ 2๐๐). Kosinus funkcija je strogo opadajuฤa na intervalu
(2๐๐, ๐ + 2๐๐). A monotona rastuฤa na intervalu (๐ + 2๐๐, 2๐ + 2๐๐). Tangens funkcija je strogo rastuฤa na cijelom intervalu, a kotangens opadajuฤa. Tangens i
kotangesn funkcije imaju asimptote u taฤkama (๐
2+ ๐๐), odnosno ๐๐ respektivno.
2.3.10 ARKUS FUNKCIJE
Funkcije inverzna trigonometrijskim i hiperbolnim jednim imenom zovem arkus funkcije.
2.3.10.1 Inverzne hiperbolne funkcije
Funkcije ๐ด๐๐ ๐๐โ ๐ฅ, ๐ด๐๐๐๐ โ ๐ฅ, ๐ด๐๐ก๐๐โ ๐ฅ, ๐ด๐๐๐ก๐๐โ ๐ฅ zovemo inverznim hiperbolnim
funkcijama funkcija sinh ๐ฅ, cosh ๐ฅ , tanh ๐ฅ, ๐๐ก๐๐โ ๐ฅ respektivno. POsmatrajmo
inverznu funkciju funkcije ๐ฅ = ๐ ๐๐โ ๐ฆ, dobijamo ๐ฆ = ๐ด๐๐ ๐๐โ ๐ฅ, Ova funkcija je rastuฤa na cijelom interval realnih brojeva. Iz sam edefinicije imamo:
Slika 2.20 Grafik trigonometrijskih funkcija
61 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
61
๐ฅ = ๐ ๐๐โ ๐ฆ =๐โ๐ฆ โ ๐๐ฆ
2
2๐ฅ = ๐โ๐ฆ โ ๐๐ฆ
2๐ฅ = ๐๐ฆ โ1
๐๐ฆ=
๐๐ฆ โ 1
๐๐ฆ
2๐ฅ๐๐ฆ + ๐2๐ฆ = 1
Rjeลกavanjem jednฤine po ๐ฆ imamo:
๐ฆ = ln(๐ฅ + โ๐ฅ2 + 1) U rjeลกenju smo uzeli samo pozitivnu vrijednost, jer drugo rjeลกenje otpada.
(2.8)
Iz zadnjih izraza vidimo da je:
๐ด๐๐ ๐๐โ ๐ฅ = ln(๐ฅ + โ๐ฅ2 + 1) (2.9)
Ova funkcija raste na poluintervalu [1,โ). Sa grafa se vidi da za ove vrijednosti
argumenta funkcija dobija vrijednosti na [0,โ).
Analogno moลพemo doฤi do izraza za ๐ด๐๐ ๐๐ ๐ฅ:
๐ด๐๐๐๐ โ ๐ฅ = ln(๐ฅ ยฑ โ๐ฅ2 โ 1) (2.10)
Iz zadnjeg izraza jasno se vidi da domena funkcije mora biti ๐ฅ โฅ 1, ลกto smo veฤ rekli.
Funkcija ๐๐๐ โ ๐ฅ je monotono opadajuฤa na intervalu (โโ, 0), a monotono rastuฤa na
intervalu (0,โ). Zbog inverznosti funkcije ๐ด๐๐๐๐ โ ๐ฅ zakljuฤujemo da ฤe ova funkcija
biti monotono opadajuฤa na dijelu (โโ, 0),kada je u izrazu znak -, a rastuฤa kada je u izrazu znak +, na istom intrevalu argumenta. ....
62 Funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
62
63 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
63
IZVOD FUNKCIJE
64 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
64
3.1 POVIJEST IZVODA
Kad ne bi bilo izvoda (derivacije) svi naลกi snovi vezani za uspjeh u polju matematike bili bi lako ostvarivi. Matematika bi se bavila samo elementarnim stvarima. Doista, matematika bi se svela na elementarnu matematiku. Kaลพu da padom jabuke na Newtonovu glavu sve je krenulo drugaฤije. Ta nesretna jabuka okrenula je Newtona tada ka spoznaji osnovnih zakona dinamike i gravitacije. Newton je za dokaz svojih zakona, povrh siromaลกnih eksperimenata koje je izvodio, za svoje zakone morao naฤi matematiฤki aparat da ih dokaลพe. Otkriฤem diferencijalnog i integralnog raฤuna Newton je dokazao svoje zakone, a nama obiฤnim smrtnicima โ studentima ostavio jabuke i diferencijalni raฤun za posvetu. Mnogi filozofi se spore o tome koliko je jabuka palo na Newtonovu glavu. Veliki dio njih zagovara tezu da je nemoguฤe da padom samo jedne jabuke opravdava ฤinjenicu Newtonovog djela. Po njihovom miลกljenju smatra se da je na Newtonovu glavu palo bar desetak jabuka i to krupnijih koje rastu na vrhu drveta, u
malom vremenskom intervalu ๐๐ก. Kad ne bi bilo izvoda, ฤitav ovozemaljski razvoj tehnike i tehnologije sigurno bi bio na stepenu razvoja u Newtonovo doba. Moลพemo s pravom reฤi da smo imali sreฤe. Da nema izvoda sigurno ne bi bilo ni kompjutera, ni video igrica ni flipera. Povrh svih muฤnina koje nam zadaje izvod, ipak neka samo postoje kompjuteri i ostalo uz njih, a za izvode ฤemo lako โ rekao je neko iz mase. POJMOVI PREKO KOJIH SE DEFINIล E IZVOD Da bismo definisali izvod neke funkcije moramo objasniti neke sporedne stvari koje okruลพuju izvod, a to su: โข Tangenta i konstrukcija tangente โข Srednja i trenutna brzina
3.1.1 KONSTRUKCIJA TANGENTE
Definicija tangente u elementarnoj geometriji, koja se radi u osnovnoj ลกkoli, definiลกe tangentu kao jednu pravu koja ima samo jednu zajedniฤku taฤku sa kruลพnicom. Meฤutim, ima tu neลกto. Taฤno je da se radi o jednoj taฤki i taฤno je da se radi o pravoj. Meฤutim,
kada pogledamo iz drugog ugla stvari odnosno sliku 3.1, vidimo kako jedna prava ๐ sijeฤe
65 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
65
parabolu samo u jednoj taฤki, ali ova prava nije tangenta date parabole u toj taฤki. Prava
tangenta u toj taฤki je prava ๐ก koja je normalna na pravu ๐ i prolazi taฤkom ๐ด. Da bi smo doลกli do valjane definicije tangente uoฤimo sliku i sve ลกto je na njoj nacrtano.
Slika 3.2 sadrลพi jednu krivu ๐, dvije taฤke ๐, ๐1te pravu ๐ koja spaja ove taฤke. Vidimo da
prava ๐(๐๐1) sijeฤe krivu u obliku kriลกke lubenice te ฤemo je nazvati sjeฤica ๐ . Kada hoฤemo da odsjeฤemo ลกto manji komad lubenice odnosno krive, mi ฤemo postupiti tako
da taฤku ๐_1pomjeramo prema taฤki ๐ preko ruba lubenice odnosno krive. Ako se taฤka
๐1, krijuฤi se, pribliลพava taฤki ๐ kriลกka lubenice ฤe se sve viลกe smanjivati.
Sjeฤica ฤe se mijenjati u odnosu na poฤetni poloลพaj, i kad taฤka ๐1 teลพi taฤki ๐, teลพi
jednom graniฤnom poloลพaju. Graniฤni poloลพaj sjeฤice ๐ upravo ฤe biti tangenta, tj. lubenica ฤe ostati ฤitava.
Slika 3.1 Poloลพaj krive, sjeฤice i tangente
Slika 3.2 Sjeฤica
66 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
66
Definicija 3.1. Tangenta krive u datoj taฤki ๐ท zove se graniฤni poloลพaj sjeฤice
๐ = ๐(๐ท๐ท๐) kada taฤka ๐ท๐ ove krive teลพi po krivoj ka taฤki ๐ท.
Ako se napravimo Englezi i ลพelimo da ne odsjeฤemo lubenicu tj. da nam taฤka ๐1 teลพi
taฤki ๐ koeficijent smjera krive u taฤki ๐ jednak je koeficijentu smjera tangente krive u toj taฤki. Sve prethodno reฤeno kaลพimo na jednom drugom (matematiฤkom) jeziku.
Posmatrajmo sliku, tamo ฤemo vidjeti krivu ๐ sliฤnu proลกloj krivoj i koordinatni sistem
๐0๐. Ova kriva koju vidimo je grafik neprekidne funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ). U gornjem dijelu
smo kazali da je kojeficijent smjera sjeฤice koja prolazi taฤkama ๐๐1 koje imaju
koordinate ๐(๐ฅ, ๐ฆ), a ๐1(โ๐ฅ + ๐ฅ, ๐ฆ + โ ๐ฆ). Koordinate taฤke ๐1 lako se prepoznaju ako
znamo da je โ ๐ฅ = ๐ฅ1 โ ๐ฅ odnosno โ๐ฆ = ๐ฆ1 โ ๐ฆ, ลกto se sa slike moลพe vidjeti. Nadalje, znamo da je koeficijent smjera dat izrazom:
โ๐ฅ
โ๐ฆ=
๐(๐ฅ + โ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ)
โ๐ฅ= ๐ก๐๐ฝ (4.1)
Dakle koeficijent smjera tangente ๐ก krive ๐ฆ = ๐(๐ฅ) u taฤki ๐(๐ฅ, ๐ฆ) jednak je graniฤnoj
vrijednosti koliฤnika โ๐ฅ
โ๐ฆ priraลกtaja funkcije โ๐ฆ i priraลกtaja argumenta (nezavisno
promjenjive ๐ฅ) โ๐ฅ kad on teลพi nuli. Kao i u Poglavlju I (Matematiฤka indukcija) mi definiลกemo neke sporedne pojmove, nesvjesno dolazimo do onoga ฤemu ovdje teลพimo da definiลกemo โ to je prvi izvod
funkcije. Zadnja tvrdnja koju smo napisali izraz 2.1 zovemo prvi izvod funkcije ๐(๐ฅ) ili
Slika 3.3 Sjeฤica
67 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
67
kraฤe izvod funkcije ๐(๐ฅ), a kojeg obiljeลพavamo sa ๐ฆโฒ = ๐โฒ(๐ฅ) (ฤitaj ๐ฆ prim jednako ๐
prim od ๐ฅ). Dakle prvim izvodom funkcije zovemo:
limโ๐ฅโ0
โ๐ฆ
โ๐ฅ= lim
โ๐ฅโ0
๐(๐ฅ + โ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ)
โ๐ฅ= ๐โฒ(๐ฅ) = ๐ก๐๐ฝ (4.2)
Na ovaj naฤin smo definisali ลกta je koeficijent smjera krive u taฤki, odnosno koeficijent smjera tangente u taฤki, a istovremeno smo se upoznali sa osnovnom metodom odreฤivanja koeficijenta smjera tangente u datoj taฤki krive, odnosno vidjeli smo jednostavni postupak konstruisanja tangente.
3.1.2 SREDNJA I TRENUTNA BRZINA
Iz fizike nam je dosta stvari jasno kada spomenemo srednju i trenutnu brzin. Kada smo sluลกali predavanja iz fizike profesori su nam objaลกnjavali da je srednja brzina koliฤnik
priraลกtaja puta โ๐ i vremenskog intervala ๐ก1 โ ๐ก2 = โ๐ก tj. priraลกtaja vremena za koje je
tijelo preลกlo put โ๐ , odnosno:
๐ฃ =โ๐
โ๐ฅ (4.3)
Znamo da je zakon puta skoro uvijek povezan sa vremenom ๐ก, pa je ๐ = ๐(๐ก). Ako
posmatramo priraลกtaj puta โ๐ koji je tijelo preลกlo za โ๐ก moลพemo napisati kao โ๐ =๐(๐ก + โ๐ก) โ ๐(๐ก), pa nam je srednja brzina jednaka:
๐ฃ(๐ก) =โ๐
โ๐ก=
๐(๐ก + โ๐ก) โ ๐(๐ก)
โ๐ก (4.4)
S gornjim izrazom uvijek se moลพe izraฤunati neka srednja brzina koje se u toku nekog
vremenskog intervala โ๐ก promijenila viลกe puta. Meฤutim, ako posmatramo vremenski
interval โ๐ก ลกto manji promjene brzine za dati vremenski interval ฤe biti sve manje. Kada
pustimo da โ๐ก โ 0 srednja brzina ฤe postati trenutna:
๐ฃ(๐ก) = limโ๐กโ0
โ๐
โ๐ก= lim
โ๐กโ0
๐(๐ก + โ๐ก) โ ๐(๐ก)
โ๐ก (4.5)
Trenutna brzina (brzina u trenutku t odnosno (๐ก + โ๐ก)โ๐กโ0 je graniฤna vrijednost
srednje brzine u vremenskom intervalu (๐ก, ๐ก + โ๐ก) kad (๐ก + โ๐ก). Drugim rijeฤima:
๐ฃ(๐ก) = limโ๐กโ0
โ๐
โ๐ก (4.6)
I ovdje vidimo da je trenutna brzina kretnja izvod duลพine puta po vremenu. Na ovaj naฤin (preko srednje i trenutne brzine) je Newton definisao izvod funkcije pa se ฤak moลพe reฤi da je orginalna definicija izvoda upravo definisana preko srednje odnosno
68 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
68
trenutne brzine. Moลพemo s pravom kazati: Izvod je brzina promjene duลพine puta po vremenu.
3.2 POJAM IZVODA FUNKCIJE
Namjernim raspravljanjem o tangenti i srednjoj i trenutnoj brzini odnosno koeficijentu smjera tangente doลกli smo do pojma izvoda:
๐ฆโฒ = ๐โฒ(๐ฅ) (4.7)
Kao i kod definisanja trenutne brzine, u koliko je poznat zakon puta ๐ = ๐(๐ก), do pojma izvoda moลพemo doฤi bilo kakvim izraฤunavanjem brzine promjene neke veliฤine u toku vremena ako je poznat zakon ovisnosti te veliฤine od vremena.
Definicija 3.2.
Izvod funkcije ๐ = ๐(๐) po argumentu ๐ je graniฤna vrijednost koliฤnika priraลกtaja funkcije i priraลกtaja argumenta kad priraลกtaj teลพi nuli, tj.
๐โฒ = limโ๐ฅโ0
โ๐ฆ
โ๐ฅ= lim
โ๐ฅโ0
๐(๐ฅ + โ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ)
โ๐ฅ= ๐โฒ(๐ฅ)
Kada govorimo o izvodima ฤesto se spominje rijeฤ od 3 slova - diferenciranje.
Diferenciranje nije niลกta drugo do graniฤni proces kojim se dolazi do izvoda y' funkcije ๐ฆ.
Za funkciju ๐ฆ = ๐(๐ฅ) koja ima izvod u taฤki ๐ฅ kaลพemo da je diferencijabilna u toj taฤki.
Kada kaลพemo da je funkcija direfencijabilna na nekom intervalu (๐, ๐) to znaฤi da je ista diferencijabilna u svakoj taฤki intervala. Vidjeli smo i prije nego smo definisali izvod da ona (kako je na poฤetku reฤeno) ima veliku primjenu. Kada krenemo od geometrijske interpretacije izvoda do mehanike, preko fizike i td, sve do kompjutera video-igrica i flipera. Razmotrimo jednu vaลพnu osobinu izvoda funkcije, a to je diferencijabilnost i neprekidnost. Prije nego smo interpretirali izvod, pretpostavljali smo da nam funkcija mora biti neprekidna. Neprekidnost i diferencijabilnost tvore sljedeฤu teoremu:
Teorema 3.1.
Ako funkcija ๐ = ๐(๐) definisana na intervalu (๐, ๐) ima izvod u
taฤki koja pripada tom intervalu odnosno ๐ โ (๐, ๐), (odnosno diferencijabilna je u datoj taฤki), tada je ona i neprekidna.
Dokaz:
Pretpostavka teoreme je da je funkcija diferencijabilna u taฤki ๐ฅ tj.
postoji limโ๐ฅโ0
โ๐ฆ
โ๐ฅ. Ako nam je โ๐ฅ โ 0, tada moลพemo pisati:
โ๐ฆ = โ๐ฆ โโ๐ฅ
โ๐ฅ
Sada imamo, ako primijenimo graniฤni proces na zadnji izraz:
lim โ๐ฅโ0
โ๐ฆ = lim โ๐ฅโ0
โ๐ฆ
โ๐ฅโ lim โ๐ฅโ0
โ๐ฅ = 0
Dakle, kada โ๐ฅ โ 0, tada โ๐ฆ โ 0. To znaฤi da diferencijabilna funkcija
69 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
69
๐ฆ = ๐(๐ฅ) je istovremeno i neprekidna u datoj taฤki. Ovo je jedan od najvaลพnijih teorema koji se tiฤe Izvoda funkcije. Jednostavno bez ovog teorema ne bi smo mogli tako jednostavno โลกetatiโ podruฤjem izvoda. Gotovo kod svakog zadatka koji se tiฤe izvoda neke funkcije koristi se ovaj teorem. Ako bi se pitali da li vaลพi obrnut teorem, tj. da li je funkcija diferencijabilna ako je neprekidna, odgovor na ovo pitanje bio bi โNEโ. Prije nego dokaลพemo ovaj teorem proฤitajte sljedeฤu napomenu.
Napomena 3.1.
U matematici postoje dokazi za neke teoreme koje sprovodimo na taj naฤin da naฤemo bar jedan primjer koji opovrgava datu teoremu. Jednostavno pokazujuฤi na jednom primjeru kontradiktornost teoreme mi je samim tim i dokazujemo.
Teorema 3.2. Da li vaลพi obrnut teorem prethodne Teoreme 2.1.
Dokaz:
Ovaj teorem ฤemo dokazati navoฤenjem samo jednog primjera koji
govori o tome da obrat ne vaลพi. Posmatrajmo funkciju ๐ฆ = |๐ฅ|. Ta funkcija je neprekidna na ฤitavom intervalu realnih brojeva. Graf
funkcije daje je na slici 2.3. Sa slike se moลพe vidjeti da je lim โ๐ฅโโ0
โ๐ฆ
โ๐ฅ= โ1a
lim โ๐ฅโ+0
โ๐ฆ
โ๐ฅ= 1. Iz zadnjih izraza vidimo da je graniฤna vrijednost
koliฤnika โ๐ฆ
โ๐ฅ za lijevu i desnu graniฤnu vrijednost po argumentu
โ๐ฅ razliฤita, ลกto znaฤi da derivacija funkcije ๐ฆ = |๐ฅ| u taฤki (0,0) nema
jedinstven izvod. Drugim rijeฤima funkcija ๐ฆ = ๐(๐ฅ) u taฤki (0,0) nije diferencijabilna. Dokaz teoreme je zavrลกen.
Slika 3.4 Grafik funkcije ๐ฆ = |๐ฅ|.
70 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
70
Na osnovu prethodne dvije teoreme zakljuฤujemo: svaka diferencijabilna funkcija ujedno je i neprekidna, dok svaka neprekidna funkcija nije uvijek i diferencijabilna. Pojam diferencijabilnosti je uลพi pojam od pojma neprekidnosti.
3.3 IZVODI ELEMENTARNIH FUNKCIJA
Sada ฤemo u obliku teorema izraฤunati izvode nekih elementarnih funkcija, koje se, pri rjeลกavanju sloลพenih zadataka koriste kao konaฤni izrazi. Za rjeลกavanje izvoda elementarnih funkcija pretpostavljamo da su funkcije neprekidne i diferencijabilne tj. samo diferencijabilne. Pri dokazivanju ovih teorema nauฤiฤemo neke fore i fazone dirferenciranja koje ฤemo kasnije u rjeลกavanju zadataka koristiti.
Teorema 3.3. Izvod konstante je jednak nuli. (๐)โฒ = ๐
Dokaz:
Pretpostavimo da nam je zadana funkcija ๐ฆ = ๐, gdje za svaki
argument odnosno nezavisnu promjenjivu ๐ฅ vrijednost funkcije je ๐ฆ =๐(๐ฅ) = ๐. Izraฤunajmo priraลกtaje:
โ๐ฆ = ๐ฆ1 โ ๐ฆ = ๐ โ ๐ = 0
โ๐ฅ = ๐ฅ1 โ ๐ฅ = โ๐ฅ Izraฤunajmo koliฤnik i graniฤnu vrijednost priraลกtaja shodno definiciji izvoda:
lim โ๐ฅโ0
โ๐ฆ
โ๐ฅ= lim
โ๐ฅโ0
0
โ๐ฅ= 0
Napomena 3.2.
Ako pri rjeลกavanju zadataka glede izvoda dobijete da je izvod u nekoj taฤki jednak nuli, tada nuลพno neimplicira da je funkcija konstantna. Kasnije ฤe se pokazati da je to ekstremna vrijednost funkcije ili neka druga specijalna taฤka.
Teorema 3.4. Izvod funkcije ๐ = ๐๐ gdje je ๐ prirodan broj, tada je : ๐โฒ =
๐๐๐โ๐ .
Dokaz:
Izraฤunajmo priraลกtaje:
โ๐ฅ = ๐ฅ1 โ ๐ฅ = โ๐ฅ
๐ฅ1 = ๐ฅ + โ๐ฅ
โ๐ฆ = ๐ฆ1 โ ๐ฆ = (๐ฅ + โ๐ฅ)๐ โ ๐ฅ๐
71 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
71
Po binomnoj formuli razdvajamo izraz (๐ฅ + โ๐ฅ)๐ pa imamo:
ฮ๐ฆ = ๐ฅ๐ + (๐1) ๐ฅ(๐โ1)ฮ๐ฅ + โฏ+ (
๐๐ โ 1
)๐ฅฮ๐ฅ๐โ1 + (๐๐) ๐ฅฮ๐ฅ๐
โ ๐ฅ๐
ฮ๐ฆ = (๐1) ๐ฅ(๐โ1)ฮ๐ฅ + โฏ+ (
๐๐ โ 1
) ๐ฅฮ๐ฅ๐โ1 + (๐๐) ๐ฅฮ๐ฅ๐
Ako zadnji izraz podjelimo sa ฮ๐ฅ imamo: ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= (
๐1) ๐ฅ(๐โ1) + โฏ+ (
๐๐ โ 1
) ๐ฅฮ๐ฅ๐โ2 + (๐๐) ๐ฅฮ๐ฅ๐โ1
Kad ฮ๐ฅ โ 0 imamo izvod:
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= lim
ฮ๐ฅโ0(๐1) ๐ฅ(๐โ1) + โฏ+ lim
ฮ๐ฅโ0(
๐๐ โ 1
)๐ฅฮ๐ฅ๐โ2
+ limฮ๐ฅโ0
(๐๐) ๐ฅฮ๐ฅ๐โ1
Izraฤunavanjem graniฤnih vrijednosti pojedinih sabiraka imamo, da ฤe prvi ฤlan ostati isti dok ฤe ostali biti jednaki nuli. Pa na kraju imamo:
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= ๐๐ฅ๐โ1
Ako sad teoremu generaliziramo, tj. ako je neki ๐ realni broj ๐ผ imamo analogno:
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= ๐ผ๐ฅ๐ผโ1
Generalizirana teorema se neฤe dokazivati.
Teorema 3.5. Izvod ๐ = ๐๐๐ ๐ , jednak je ๐โฒ = (๐๐๐ ๐)โฒ = ๐๐๐๐
Dokaz:
Izraฤunajmo priraลกtaje:
โ๐ฅ = ๐ฅ1 โ ๐ฅ = โ๐ฅ
๐ฅ1 = ๐ฅ + โ๐ฅ
โ๐ฆ = ๐ฆ1 โ ๐ฆ = sin(๐ฅ + โ๐ฅ) โ sin ๐ฅ
โ๐ฆ = 2 โ sin๐ฅ + โ๐ฅ โ ๐ฅ
2cos
๐ฅ + โ๐ฅ โ ๐ฅ
2
โ๐ฆ = 2 โ sinโ๐ฅ
2cos
2๐ฅ + โ๐ฅ
2
Zadnje dvije jednakosti dobijaju se iz trigonometrijskih jednakosti zbira
72 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
72
i razlike uglova odnosno:
sin ๐ผ โ sin ๐ฝ = 2 โ sin๐ผ โ ๐ฝ
2cos
๐ผ + ๐ฝ
2
cos ๐ผ โ cos ๐ฝ = 2 โ sin๐ผ โ ๐ฝ
2sin
๐ผ + ๐ฝ
2
Sada imamo:
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ=
2 โ sinโ๐ฅ2 cos
2๐ฅ + โ๐ฅ2
ฮ๐ฅ
Potraลพimo li graniฤnu vrijednost gornjeg izraza imamo:
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= lim
ฮ๐ฅโ0
sinโ๐ฅ2
ฮ๐ฅ2
โ cos2๐ฅ + โ๐ฅ
2
Kad samo razmotrili graniฤnu vrijednost, uoฤili som da je limฮ๐ฅโ0
sin๐ผ
ฮฑ=
1. Ovo nam je poznato iz poglavlja o graniฤnim vrijednostima funkcija. S toga imamo:
๐ฆโฒ = cos ๐ฅ
Teorema 3.6. Izvod ๐ = ๐๐๐ ๐ , jednak je ๐โฒ = (๐๐๐ ๐)โฒ = ๐๐๐๐
Dokaz:
Izraฤunajmo priraลกtaje:
โ๐ฅ = ๐ฅ1 โ ๐ฅ = โ๐ฅ
๐ฅ1 = ๐ฅ + โ๐ฅ
โ๐ฆ = ๐ฆ1 โ ๐ฆ = cos(๐ฅ + โ๐ฅ) โ sin ๐ฅ
โ๐ฆ = โ2 โ sin๐ฅ + โ๐ฅ โ ๐ฅ
2sin
๐ฅ + โ๐ฅ โ ๐ฅ
2
โ๐ฆ = โ2 โ sinโ๐ฅ
2sin
2๐ฅ + โ๐ฅ
2
Sada imamo, po trigonometrijskim teoremama (vidi prethodnu teoremu):
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ=
2 โ sinโ๐ฅ2 sin
2๐ฅ + โ๐ฅ2
ฮ๐ฅ
Potraลพimo li graniฤnu vrijednost gornjeg izraza imamo:
73 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
73
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= lim
ฮ๐ฅโ0โ
sinโ๐ฅ2
ฮ๐ฅ2
โ sin2๐ฅ + โ๐ฅ
2
Kad samo razmotrili graniฤnu vrijednost, uoฤili smo da je limฮ๐ฅโ0
sin๐ผ
ฮฑ=
1. Ovo nam je poznato iz poglavlja o graniฤnim vrijednostima funkcija. S toga imamo:
๐ฆโฒ = โsin ๐ฅ Sada ฤemo upoznati jedan fazon (teoremu), koji se ฤesto koristi kod izraฤunavanja izvoda.
3.3.1 IZVOD ALGEBARSKOG ZBIRA DVIJE FUNKCIJE
Teorema 3.7.
Izvod algebarskog zbira dviju ili viลกe funkcija koje su diferencijabilne jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.
Drugaฤije reฤeno ako je ๐ = ๐ + ๐ + ๐, gdje je ๐ = ๐(๐),๐ =๐(๐) i ๐ = ๐(๐), tada je:
๐โฒ = (๐ + ๐ + ๐)โฒ = ๐โฒ + ๐โฒ + ๐โฒ
Dokaz:
Odredimo priraลกtaje ฮ๐ฆ. Kada nezavisno promjenjiva varijabla
๐ฅ dobije priraลกtaj ฮ๐ฅ, tada ฤe automatski i funkcije ๐ข, ๐ฃ, ๐ค dobiti
priraลกtaje ฮ๐ข, ฮ๐ฃ, ฮ๐ค respektivno, jer svaka od tih funkcija je zavisna
od argumenta ๐ฅ i oni ฤe teลพiti nuli ฮu โ 0, ฮv โ 0 ๐ ฮw โ 0, zato ลกto
priraลกtaj argumenta teลพi nuli (ฮ๐ฅ โ 0), pa je priraลกtaj ukupne funkcije:
ฮ๐ฆ = (๐ข + ฮ๐ข) + (v + ฮ๐ฃ) + (๐ค + ฮ๐ค) โ (๐ข + ๐ฃ + ๐ค)
Odnosno dijeljenjem sa ฮx imamo:
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ=
ฮ๐ข + ฮ๐ฃ + ฮ๐ค
ฮ๐ฅ
Izraฤunavanjem graniฤne vrijednosti koliฤnika, te znajuฤi da je zbir limesa jednak limesu zbira imamo:
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= ๐ฆโฒ = lim
ฮ๐ฅโ0
ฮ๐ข + ฮ๐ฃ + ฮ๐ค
ฮ๐ฅ
74 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
74
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
ฮ๐ข
ฮ๐ฅ+ lim
ฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฃ
ฮ๐ฅ+ lim
ฮ๐ฅโ0
ฮ๐ค
ฮ๐ฅ
a to nije niลกta drugo do:
๐ฆโฒ = ๐ขโฒ + ๐ฃโฒ โ ๐คโฒ ลกto je i trebalo dokazati.
Grafiฤku interpretaciju ovog dokaza moลพemo vidjeti na slici 3.5.
Neka je ๐ฆ = ๐1(๐ฅ) + ๐2(๐ฅ). Na slici 2.5 vidimo da je koeficijent smjera tangente krive y
jednak zbiru koeficijenata smjerova ๐1(๐ฅ) i ๐2(๐ฅ) u taฤki ๐ฅ. Fazon zbira je dosta pogodan kad rjeลกavamo zadatke. Meฤutim, mnogo bolji fazon od kazanog je fazon proizvoda dviju funkcija.
3.3.2 IZVOD PROOIZVODA I KOLIฤNIKA DVIJE FUNKCIJE
Teorema 3.8. Izvod proizvoda dviju diferencijabilnih funkcija ๐ = ๐ ๐ , gdje su
๐ = ๐(๐) i ๐ = ๐(๐) jednak je: ๐โฒ = (๐ ๐)โฒ = ๐โฒ ๐ + ๐ ๐โฒ.
Dokaz:
Odredimo prvo priraลกtaj ฮ๐ฆ tj. priraลกtaj ฮ๐ข i ฮ๐ฃ preko priraลกtaja ๐ฅ, jer
funkcije ๐ข i ๐ฃ direktno zavise od ๐ฅ. Kada ฮ๐ฅ โ 0 tada ฤe i ฮu โ0, ฮv โ 0 . Zbog toga imamo:
ฮ๐ฆ = (๐ข + ฮ๐ข) โ (v + ฮ๐ฃ) โ (๐ข โ ๐ฃ)
Odnosno djeljenjem sa ฮx imamo:
Slika 3.5 Grafiฤki prikaz zbira izvoda
75 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
75
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= ๐ฃ
ฮ๐ข
ฮ๐ฅ+ ๐ข
ฮ๐ฃ
ฮ๐ฅ+ ฮ๐ข
ฮ๐ฃ
ฮ๐ฅ
Izraฤunavanjem graniฤne vrijednosti koliฤnika, te znajuฤi da je proizvod limesa jednak limesu proizvoda imamo:
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
๐ฃฮ๐ข
ฮ๐ฅ+ lim
ฮ๐ฅโ0๐ข
ฮ๐ฃ
ฮ๐ฅ+ ฮ๐ข
ฮ๐ฃ
ฮ๐ฅ
Proof. a to nije niลกta drugo do:
๐ฆโฒ = ๐ขโฒ โ ๐ฃ + ๐ข โ ๐ฃโฒ Zadnjim izrazom smo dokazali teoremu.
I ova teorema moลพe biti generalizirana na sljedeฤi naฤin:
Teorema 3.9.
Generalizacija prethodne teoreme. Neka je
๐ = ๐๐ โ ๐๐ โ โฏ โ ๐๐ = โ๐๐
๐
๐=๐
tada je:
๐โฒ = (โ๐๐
๐
๐=๐
)
โฒ
= ๐๐โฒ โ โ๐๐+๐๐
โฒ โ โ๐๐
๐
๐=๐๐โ ๐
๐
๐=๐๐โ ๐
+ โฏ+ ๐๐โฒ โ โ๐๐
๐
๐=๐๐โ ๐
= โ
(
๐โฒ๐ โ โ๐๐
๐
๐=๐๐โ ๐ )
๐
๐=๐
โ Dokaz ove teoreme uradiฤemo matematiฤkom indukcijom. Dokaz:
Neka je ๐ = 1 tada se naลกa teorema svodi na jednu funkciju. Meฤutim, mi uvijek
moลพemo to smatrati kao dvije funkcije gdje je druga funkcija konstanta i to ๐ฃ2 = 1. Sada imamo:
๐ฆ = ๐ฃ1 = ๐ฃ1 โ 1 = ๐ฃ1 โ ๐ฃ2. Po Teoremi 2.5 imamo:
๐ฆโฒ = (๐ฃ1๐ฃ2)โฒ = ๐ฃ1
โฒ๐ฃ2 + ๐ฃ1๐ฃ2โฒ
76 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
76
Poลกto je ๐ฃ2 = 1, to je ๐ฃ2โฒ = 0, pa je ๐ฆโฒ = ๐ฃ1โฒ. ล to je i trebalo dokazati.
Neka je ๐ = 2 . Za ovu vrijednost broja ๐ naลกa teorema je veฤ dokazana, odnosno svodi se na prethodnu.
Pretpostavimo da je teorema 3.5 taฤna za ๐ = ๐, tj. da je:
๐ฆโฒ = (โ๐ฃ๐
๐
๐=1
)
โฒ
= โ
(
๐ฃโฒ๐ โ โ๐ฃ๐
๐
๐=1๐โ ๐ )
๐
๐=1
(2.1)
Potraลพimo derivaciju za ๐ = ๐ + 1. Primjenjujuฤi prethodnu teoremu oko proizvoda dvije funkcije imamo:
๐ฆโฒ = (๐ฃ1 โ ๐ฃ2 โ โฏ โ ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐+1) = [(๐ฃ1 โ ๐ฃ2 โ โฏ โ ๐ฃ๐)(๐ฃ๐+1)]โฒ = (โ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐+1
๐
๐=1
)
โฒ
๐ฆโฒ = (โ๐ฃ๐
๐
๐=1
)
โฒ
โ ๐ฃ๐+1 + (โ๐ฃ๐
๐
๐=1
) โ ๐ฃโฒ๐+1
๐ฆโฒ = (โ๐ฃ๐
๐+1
๐=1
)
โฒ
= ๐ฃ๐+1
[
โ
(
๐ฃโฒ๐ โ โ๐ฃ๐
๐
๐=1๐โ ๐ )
๐
๐=1
]
+ ๐ฃโฒ๐+1 (โ๐ฃ๐
๐
๐=1
)
๐ฆโฒ = (โ๐ฃ๐
๐+1
๐=1
)
โฒ
= ๐ฃ1โฒ โ๐ฃ๐
๐+1
๐=1๐โ 1
+ ๐ฃ2 โ๐ฃ๐
๐+1
๐=1๐โ 2
+ โฏ+ ๐ฃ๐ โ๐ฃ๐
๐+1
๐=1๐โ ๐
+ ๐ฃ๐+1 โ ๐ฃ๐
๐+1
๐=1๐โ ๐+1
๐ฆโฒ = (โ๐ฃ๐
๐+1
๐=1
)
โฒ
= โ
(
๐ฃโฒ๐ โ โ๐ฃ๐
๐+1
๐=1๐โ ๐ )
๐+1
๐=1
Zadnji izraz nam pokazuje da teorema vrijedi za ๐ = ๐ + 1, pa nam po principu matematiฤke indukcije vrijedi za sve prirodne brojeve.
Teorema 3.10.
Ako je zadan koliฤnik dviju funkcija koje su diferencijabilne
odnosno: ๐ =๐
๐ , gdje je ๐ = ๐(๐) i ๐ = ๐(๐) gdje je ๐ โ ๐.
Izvod koliฤnika definisan je izrazom:
77 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
77
๐โฒ = (๐
๐)โฒ
=๐โฒ๐ โ ๐โฒ๐
๐๐
Dokaz:
Uzmimo priraลกtaje ฮ๐ข, ฮ๐ฃ i ฮ๐ฆ koji dobijaju funkcije ๐ข(๐ฅ) i
๐ฃ(๐ฅ), ๐ฆ(๐ฅ), argument ๐ฅ dobije priraลกtaj ฮ๐ฅ. Zbog toga imamo:
ฮ๐ฆ =(๐ข + ฮ๐ข)
(v + ฮ๐ฃ)โ
๐ข
๐ฃ
Odnosno sreฤivanjem imamo:
ฮ๐ฆ =๐ฃฮ๐ข โ ๐ขฮ๐ฃ
๐ฃ(v + ฮ๐ฃ)
Djeljenjem sa ฮ๐ฅ imamo:
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ=
๐ฃฮ๐ขฮ๐ฅ โ u
ฮ๐ฃฮ๐ฅ
๐ฃ(v + ฮ๐ฃ)
Izraฤunavanjem graniฤne vrijednosti koliฤnika, te znajuฤi da je koliฤnika limesa jednak limesu koliฤnika imamo:
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= lim
ฮ๐ฅโ0
๐ฃฮ๐ขฮ๐ฅ
โ uฮ๐ฃฮ๐ฅ
๐ฃ(v + ฮ๐ฃ)=
(๐ขโฒ๐ฃ โ ๐ฃโฒ๐ข)
๐ฃ2
ล to je i trebalo dokazati.
Savaladali smo nekoliko krucijalnih pravila za izraฤunavanje izvoda. Sada smo u stanju kompleksnije izvode raฤunati.
78 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
78
3.3.3 IZVODI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Teorema 3.11.
Izvod funkcije ๐ = ๐๐๐ jednak je ๐
๐๐๐๐๐ . Tj.
๐โฒ = (๐๐๐)โฒ =๐
๐๐๐๐๐
Dokaz:
Po definiciji tangensa znamo da je: ๐ฆ = ๐ก๐๐ฅ =๐ ๐๐๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ. Ako ovako
definisanu trigonometrijsku funkciju podvrgnemo sa prethodnom teoremom koliฤnika imamo:
๐ฆโฒ = (sin ๐ฅ
cos ๐ฅ)
โฒ
=cos ๐ฅ cos ๐ฅ โ sin ๐ฅ (โ sin ๐ฅ)
cos2 ๐ฅ=
1
cos2 ๐ฅ
Pa je naลกa teorema dokazana.
Teorema 3.12.
Izvod funkcije ๐ = ๐๐๐๐ jednak je โ๐
๐๐๐๐๐ . tj.
๐โฒ = (๐๐๐๐)โฒ =โ๐
๐๐๐๐๐
Dokaz:
Po definiciji tangensa znamo da je: ๐ฆ = ๐๐ก๐๐ฅ =๐๐๐ ๐ฅ
๐ ๐๐๐ฅ. Ako ovako
definisanu trigonometrijsku funkciju podvrgnemo sa prethodnom teoremom koliฤnika imamo:
๐ฆโฒ = (cos ๐ฅ
sin ๐ฅ)โฒ
=โsin ๐ฅ sin ๐ฅ โ cos ๐ฅ cos ๐ฅ)
sin2 ๐ฅ=
โ1
sin2 ๐ฅ
Ovim je naลกa teorema dokazana..
Teorema 3.13.
Izvod logaritamske funkcije ๐ = ๐๐๐๐ ๐ jednak je ๐
๐๐๐๐๐ ๐ tj.
๐โฒ = (๐๐๐๐๐)โฒ =๐
๐๐๐๐๐๐
Dokaz:
Na samom poฤetku dokaza potrebno je kazati da ovo vrijedi ukoliko
su zadovoljena sljedeฤa ograniฤenja: ๐ฅ > 0, ๐ โ 1, ๐ > 1. Izraฤunajmo
priraลกtaj funkcije ๐ฆ = log๐ ๐ฅ.
ฮ๐ฆ = log๐(๐ฅ + ฮ๐ฅ) โ log๐ ๐ฅ = ๐๐๐๐
๐ฅ + ฮ๐ฅ
๐ฅ= log๐(1 +
ฮ๐ฅ
๐ฅ)
Dijeljenjem sa ฮ๐ฅ imamo:
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ=
1
ฮ๐ฅ log๐(1 +
ฮ๐ฅ
๐ฅ)
79 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
79
Kada izraz 1
ฮ๐ฅ napiลกemo u obliku
๐ฅ
ฮ๐ฅ
1
๐ฅ imamo:
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ=
1
๐ฅ ๐ฅ
ฮ๐ฅlog๐ (1 +
ฮ๐ฅ
๐ฅ) =
1
๐ฅlog๐ (1 +
ฮ๐ฅ
๐ฅ)
๐ฅฮ๐ฅ
Stavimo li da nam je ฮ๐ฅ
๐ฅ= ๐, tada imamo da ako ๐ โ 0 โ
1
๐โ โ.
Kada ฮ๐ฅ โ 0 moลพemo pisati:
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
(1 +ฮ๐ฅ
๐ฅ)
๐ฅฮ๐ฅ
= limฮ๐ฅโ0
(1 + ๐)1๐ = ๐
Ove transformacije i graniฤnu vrijednost odradili smo u poglavlju o graniฤnim vrijednostima funkcije. Moลพemo pisati:
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ=
1
๐ฅlog๐ ๐
Kako je log๐ ๐ =1
ln๐ moลพemo pisati:
๐ฆโฒ = (log๐ ๐ฅ)โฒ =1
๐ฅ
1
๐๐๐
Za specijalni sluฤaj kada je ๐ = ๐ imamo:
๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ โ ๐ฆโฒ =1
๐ฅ
80 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
80
3.3.4 IZVOD INVERZNE FUNKCIJE
Umjesto dokaza daฤemo grafiฤku interpretaciju, odnosno geometrijsko objaลกnjenje
teoreme. Pretpostavimo da imamo (Slika 2.6) grafik funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ) i taฤku ๐ koja ima
koordinate ๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)), u kojoj je povuฤena tangenta ๐ก.
Tangenta ๐ก ima koeficijent smjera ๐ก๐๐ผ odnosno gradi sa pozitivnim dijelom ๐ฅ ose ugao
๐ผ, dok sa osom ๐ฆ gradi ugao ๐ฝ. Poznato je po definiciji izvoda funkcije da je:
๐ก๐๐ผ = ๐โฒ(๐ฅ) = ๐ฆโฒ
Grafik funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ) je istovremeno grafik inverzne pomenute funkcije ๐ฅ = ๐(๐ฆ)
gdje je sada ๐ฆ nezavisno promjenjiva, i diferenciranje izvrลกeno po ๐ฆ. Ako tako
posmatramo funkciju ๐ฅ = ๐(๐ฆ), zakljuฤujemo da je:
๐ก๐๐ฝ = ๐โฒ(๐ฆ) = ๐ฅ๐ฆโฒ
Ako se bolje zagledamo u sliku 3.6, zakljuฤiฤemo da su uglovi ๐ผ i ๐ฝ suplementni uglovi,
tj. zbir dotiฤnih uglova iznosi 900. Na osnovu toga i trigonometrijskih transformacija zakljuฤujemo da moลพemo pisati:
๐ก๐๐ฝ = ๐ก๐ (900 โ ๐ผ) = ๐๐ก๐ ๐ผ =1
๐ก๐ ๐ผ
Teorema 3.14.
Ako funkcija ๐(๐) ima izvod ๐โฒ = ๐โฒ(๐) โ ๐ i ako je ๐ = ๐(๐) inverzna funkcija date funkcije tada je:
๐โฒ(๐) =๐
๐โฒ(๐)
Slika 3.6 Inverzna funkcija
81 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
81
odnosno
๐ฅ๐ฆโฒ =
1
๐ฆ๐ฅโฒ
ili
๐ฆ๐ฅโฒ =
1
๐ฅ๐ฆโฒ
Na ovaj jednostavan naฤin dobijamo vrlo vaลพnu vezu izmeฤu dviju inverznih funkcija. Ova veza omoguฤuje nam jedan cijeli spektar fazona koje ฤemo koristiti u narednim teoremama i zadacima. Znaฤi kad god znamo izvod neke funkcije lako nalazimo izvod njene inverzne funkcije (svakako, ako ono postoji). Inverzna funkcija obraฤena je u poglavlju o funkcijama, tako da su prethodni koraci u grafiฤkom dokazu teoreme poznati.
Ako se grafik inverzne funkcije preslikava simetriฤno u odnosu na pravu ๐ฆ = ๐ฅ (vidi sliku
3.7,) dobija se kriva ฤija tangenta ๐กโ u taฤki ๐โ gradi sa osom ๐๐ฅ takoฤer ugao ๐ฝ koji se moลพe jednostavno provjeriti kada se primijeni osobine simetriฤnosti krivih.
Teorema 3.15.
Izvod eksponencijalne funkcije ๐ = ๐๐ za ๐ > ๐ ๐ ๐ โ ๐ iznosi
๐๐๐๐ ๐ tj.
๐โฒ = (๐๐)โฒ = ๐๐๐๐ ๐
Dokaz:
Zadatak ฤemo rijeลกiti pomoฤu prethodne teoreme. Ako namjerno
stavimo ๐ฅ = log๐ ๐ฆ, mi smo tada dobili funkciju gdje je, ๐ฆ nezavisno
promjenjiva a ๐ฅ zavisno promjenjiva. Potraลพimo inverznu funkciju te funkcije. Imamo:
Slika 3.7 Inverzna funkcija
82 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
82
๐ฅ = log๐ ๐ฆ Ako se napravimo Englezi i rijeลกimo ovu logaritamsku jednaฤinu po
๐ฆ imamo:
๐๐ฅ = ๐ฆ Ako pogledamo izraz vidimo da smo dobili inverznu funkciju od funkcije
๐ฅ = log๐ ๐ฆ Poลกto znamo iz prethodne teoreme da je:
๐ฅโฒ = (log๐ ๐ฆ)โฒ =1
๐ฆ๐๐๐๐๐
Primijenivลกi to na naลกu teoremu imamo:
๐ฅ๐ฆโฒ =
1
๐ฆ๐ฅโฒ
(log๐ ๐ฆ)โฒ =1
๐ฆ๐ฅโฒ
๐ฆ๐ฅโฒ =
1
log๐ ๐ฆ=
1
(1๐ฆ) log๐ ๐
Rjeลกavajuฤi dvojni razlomak, te znajuฤi da je: log๐ ๐ =1
ln๐ imamo:
๐ฆ๐ฅโฒ = ๐ฆ ln ๐
Poลกto je: ๐ฆ = ๐๐ฅ imamo:
๐ฆโฒ = (๐๐ฅ)โฒ = ๐๐ฅ ln ๐
Specijalno za ๐ = ๐ imamo ๐ฆโฒ = (๐๐ฅ)โฒ = ๐๐ฅ๐๐๐ = ๐๐ฅ .
Teorema 3.16.
Izvod funkcija ๐ = ๐๐๐๐๐๐ ๐, ๐ = ๐๐๐๐๐๐ ๐, ๐ = ๐๐๐ ๐๐ ๐ i ๐ =
๐๐๐ ๐๐๐ ๐ iznose respektivno: ๐
โ๐โ๐๐,
โ๐
โ๐โ๐๐,
๐
๐๐+๐,
โ๐
๐๐+๐, odnosno:
1. ๐๐๐ ๐๐๐โฒ๐ =๐
โ๐โ๐๐
2. ๐๐๐ ๐๐๐โฒ๐ =โ๐
โ๐โ๐๐
83 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
83
3. ๐๐๐ ๐๐โฒ๐ =๐
๐๐+๐
4. ๐๐๐ ๐๐๐โฒ๐ =โ๐
๐๐+๐
Dokaz:
Za dokaz ove teoreme sluลพimo se inverznom funkcijom. Poznavajuฤi izvode inverznih funkcija lako dolazimo do izvoda njihovih inverznih varijanti.
1.)
๐ฆ๐ฅโฒ = (๐๐๐ sin ๐ฅ)โฒ =
1
๐ฅ๐ฆโฒ
=1
sinโฒ ๐ฆ=
1
cos ๐ฅ=
1
โ1 โ sin2 ๐ฅ
Kako je sin ๐ฆ = ๐ฅ, jer je ๐ฆ = ๐๐๐ sin ๐ฅ sada imamo:
๐ฆ๐ฅโฒ = (๐๐๐ sin ๐ฅ)โฒ =
1
โ1 โ [sin (๐๐๐ sin ๐)]2=
1
โ1 โ ๐ฅ2
Na kraju:
๐ฆ๐ฅโฒ = (๐๐๐ sin ๐ฅ)โฒ =
1
โ1 โ ๐ฅ2
ล to je i trebalo dokazati.
2.)
๐ฆ๐ฅโฒ = (๐๐๐ cos ๐ฅ)โฒ =
1
๐ฅ๐ฆโฒ
=1
๐๐๐ โฒ๐ฆ=
โ1
sin ๐ฅ=
โ1
โ1 โ cos2 ๐ฅ
Kako je cos ๐ฆ = ๐ฅ, jer je ๐ฆ = ๐๐๐ cos ๐ฅ sada imamo:
๐ฆ๐ฅโฒ = (๐๐๐ cos ๐ฅ)โฒ =
โ1
โ1 โ [cos (๐๐๐ cos ๐)]2=
โ1
โ1 โ ๐ฅ2
Na kraju:
๐ฆ๐ฅโฒ = (๐๐๐ cos ๐ฅ)โฒ =
โ1
โ1 โ ๐ฅ2
ล to je i trebalo dokazati.
3.)
๐ฆ๐ฅโฒ = (๐๐๐ tg ๐ฅ)โฒ =
1
๐ฅ๐ฆโฒ
=1
tgโฒ ๐ฆ= cos2 ๐ฅ =
1
1 + ๐ก๐2๐ฅ
Kada uvrstimo smjenu ctg ๐ฅ = ๐ฅ tj. ๐ฆ = ๐๐๐๐ก๐ ๐ฅ imamo:
๐ฆโฒ๐ฅ = (๐๐๐ ๐ก๐ ๐ฅ)โฒ =1
1 + ๐ฅ2
ล to je i trebalo dokazati.
84 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
84
4.)
๐ฆ๐ฅโฒ = (๐๐๐ ctg ๐ฅ)โฒ =
1
๐ฅ๐ฆโฒ
=1
ctgโฒ ๐ฆ= โ๐ ๐๐2 ๐ฅ =
โ1
1 + ๐๐ก๐2๐ฅ
Kada uvrstimo smjenu ๐ tg ๐ฅ = ๐ฅ tj. ๐ฆ = ๐๐๐ ๐๐ก๐ ๐ฅ imamo:
๐ฆโฒ๐ฅ = (๐๐๐ ๐๐ก๐ ๐ฅ)โฒ =โ1
1 + ๐ฅ2
ล to je i trebalo dokazati.
3.3.5 IZVOD HIPERBOLNIH FUNKCIJA
Teorema 3.17.
Izvodi hiperbolnih funkcija glase:
1. ๐๐โฒ๐ = ๐๐ ๐
2. ๐๐โฒ๐ = โ๐๐ ๐
3. ๐๐โฒ๐ =๐
๐๐ ๐
4. ๐๐๐โฒ๐ =โ๐
๐๐ ๐
Dokaz:
Obzirom da je po definiciji hiperbolna funkcija:
๐ โ ๐ฅ =๐๐ฅ โ ๐โ๐ฅ
2
๐โ ๐ฅ =๐๐ฅ + ๐โ๐ฅ
2
๐กโ ๐ฅ =1
๐โ ๐ฅ
๐๐กโ ๐ฅ =โ1
๐ โ ๐ฅ
Izvode funkcija dobijalmo neposrednim deriviranjem veฤ poznate
funkcije ๐๐ฅ.
1.)
๐ โโฒ๐ฅ = (๐๐ฅ โ ๐โ๐ฅ
2)
โฒ
= (๐๐ฅ
2)
โฒ
โ (๐โ๐ฅ
2)
โฒ
=๐๐ฅ
2โ (โ
๐โ๐ฅ
2)
=๐๐ฅ + ๐โ๐ฅ
2= ๐โ ๐ฅ
Ovdje je koriลกtena derivacija sloลพene funkcije koju joลก nismo upoznali. Sloลพena funkcija detaljno je opisana u nekoj od narednih stranica.
85 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
85
2.)
๐โโฒ๐ฅ = (๐๐ฅ + ๐โ๐ฅ
2)
โฒ
= (๐๐ฅ
2)
โฒ
+ (๐โ๐ฅ
2)
โฒ
=๐๐ฅ
2+ (โ
๐โ๐ฅ
2)
=๐๐ฅ โ ๐โ๐ฅ
2= ๐ โ ๐ฅ
3.)
๐กโโฒ๐ฅ = (๐ โ ๐ฅ
๐โ ๐ฅ)โฒ
= (๐ โ ๐ฅ ๐ โ ๐ฅ โ ๐โ ๐ฅ ๐โ ๐ฅ
๐โ2 ๐ฅ) =
1
๐โ2 ๐ฅ
4.)
๐๐กโโฒ๐ฅ = (๐โ ๐ฅ
๐ โ ๐ฅ)โฒ
= (๐โ ๐ฅ ๐โ ๐ฅ โ ๐ โ ๐ฅ ๐ โ ๐ฅ
๐ โ2 ๐ฅ) =
โ1
๐ โ2 ๐ฅ
U dokazu zadnje dvije funkcije koristili smo jednakost hiperbolnih
funkcija: ๐ โ2 ๐ฅ โ ๐โ2 ๐ฅ = 1
To su bili izvodi u obliku teorema za odreฤene elementarne funkcije. U narednom rjeลกavanju, bilo teorema bilo zadataka, smatraฤe se da su prethodne teoreme poznate i neฤe se dodatno dokazivati. Pregled izvoda elementarnih funkcija:
86 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
86
3.3.6 TABLICE PRAVILA I OSNOVNIH IZVODA
Tabela: 3.1 Tablica osnovnih postupaka raฤunanja izvoda
IZRAZ IZVOD NAPOMENA
(๐ ๐(๐ฅ))โฒ ๐ (๐(๐ฅ))โฒ Izvod konstante i funkcije.
( ๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ))โฒ ๐โฒ(๐ฅ) + ๐โฒ(๐ฅ) Zbir izvoda.
(๐(๐ฅ)๐(๐ฅ))โฒ ๐โฒ(๐ฅ)๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)๐โฒ(๐ฅ) Proizvod izvoda.
(๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ))โฒ
๐โฒ(๐ฅ)๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ)๐โฒ(๐ฅ)
๐2(๐ฅ)
Koliฤnik izvoda, gdje je ๐(๐ฅ) โ 0
Tabela: 3.2: Pregled izvoda elementarnih funkcija
FUNKCIJA IZVOD NAPOMENA
(๐ )โฒ 0
(๐ฅ๐ผ)โฒ ๐ผ๐ฅ๐ผโ1
(1
๐ฅ) โฒ โ
1
๐ฅ2
(โ๐ฅ)โฒ
1
2โ๐ฅ
(log๐ ๐ฅ)โฒ 1
๐ฅ ln ๐
(ln ๐ฅ)โฒ 1
๐ฅ
๐๐ฅ ๐๐ฅ ln ๐
๐๐ฅ ๐๐ฅ
(sin ๐ฅ)โฒ cos ๐ฅ
(cos ๐ฅ)โฒ โsin ๐ฅ
(tg ๐ฅ)โฒ 1
cos2 ๐ฅ
(๐ tg ๐ฅ)โฒ โ1
sin2 ๐ฅ
(๐๐๐ sin ๐ฅ)โฒ 1
โ1 โ ๐ฅ2
(๐๐๐ cos ๐ฅ)โฒ โ1
โ1 โ ๐ฅ2
(๐๐๐ tg ๐ฅ)โฒ 1
1 + ๐ฅ2
(๐๐๐ ctg ๐ฅ)โฒ โ1
1 + ๐ฅ2
(๐ โ ๐ฅ)โฒ ๐โ ๐ฅ
(๐โ ๐ฅ)โฒ ๐ โ ๐ฅ
(๐กโ ๐ฅ)โฒ 1
๐โ2๐ฅ
(๐๐กโ ๐ฅ)โฒ โ1
๐ โ2๐ฅ
87 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
87
3.4 DIFERENCIJAL FUNKCIJE
Koliko god je rijeฤ diferenciranje sliฤna rijeฤi diferencijal toliko je i sam proces diferenciranja sliฤan raฤunanju diferencijala funkcije. U stvari drugi naziv za izvod (diferenciranje) dobilo je naziv upravo od diferencijala. Neposredna posljedica diferencijala je diferenciranje. Povrh svega ลกto je reฤeno treba strogo razlikovati ta dva pojma.
Pretpostavimo da nam je data funkcija ๐ฆ = ๐(๐ฅ) i da ona ima izvod u taฤki ๐ฅ. Moลพemo pisati:
๐ฆโฒ = limฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ.
Uzimajuฤi u obzir pojam beskonaฤno male veliฤine vidimo da nam je razlika izmeฤu ๐ฆโฒ i ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ beskonaฤno mala, kad ฮ๐ฅ โ 0. Tu beskonaฤno malu veliฤinu oznaฤimo sa ๐.
Moลพemo pisati da je:
๐ฆโฒ โฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= ๐
(4.1)
Mnoลพeฤi jednakost gornji izraz sa ฮ๐ฅ โ 0 imamo:
ฮ๐ฆ โ ๐ฆโฒฮ๐ฅ = ๐ฮ๐ฅ
(4.2)
Poznato je da ๐ฆ zavisi od ๐ฅ, a ๐ฆโฒ se ne mijenja kad ฮ๐ฅ โ 0 pa imamo:
ฮ๐ฆ = ๐ฆโฒฮ๐ฅ + ๐ ฮ๐ฅ
(4.3)
Zadnji izraz izraลพava priraลกtaj funkcije ฮ๐ฆ. Vidimo da je taj priraลกtaj jednak zbiru
ฮ๐ฆ = ๐ฆโฒฮ๐ฅ + ๐ ฮ๐ฅ. Kad ฮ๐ฅ โ 0 tada ๐ ฮ๐ฅ teลพi nuli brลพe nego ฮ๐ฅ jer je ๐ฮ๐ฅ
ฮ๐ฅ= ๐ โ 0,
dok se sabirak ฮ๐ฆ = ๐ฆโฒฮ๐ฅ zove glavni dio priraลกtaja funkcije. Druga vaลพna osobina
izraza ฮ๐ฆ = ๐ฆโฒฮ๐ฅ je da je linearan po ฮ๐ฅ. Preko zadnjih relacija doลกli smo da pojma diferencijala.
Definicija 3.2:
Diferencijal funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ) zove se proizvod izvoda
๐ฆโฒ = ๐โฒ(๐ฅ) funkcije i priraลกtaja nezavisno promjenjive:
๐ฆโฒฮ๐ฅ ili ๐โฒ(๐ฅ)ฮ๐ฅ
Prethodnu definiciju moลพemo kazati i tako da je diferencijal funkcije glavni dio priraลกtaja
te funkcije. Oznaฤavamo ga sa ๐๐ฆ ili ๐๐(๐ฅ).
Ako namjerno uzmemo funkciju ๐ฆ = ๐ฅ i potraลพimo diferencijal dobiฤemo ๐๐ฆ = 1ฮ๐ฅ
odnosno ๐๐ฆ = ฮ๐ฅ. Kada stavimo umjesto ๐ฆ varijablu ๐ฅ imamo da je ๐๐ฅ = ฮ๐ฅ. Sada
88 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
88
dolazimo do zakljuฤka da je diferencijal nezavisno promjenjive jednak njegovom
priraลกtaju. Zato diferencijal ๐๐ฆ = ๐ฆโฒ๐๐ฅ ili ๐๐ฆ = ๐โฒ(๐ฅ)๐๐ฅ pa je:
๐๐ฆ
๐๐ฅ= ๐ฆโฒ ili
๐๐ฆ
๐๐ฅ= ๐โฒ(๐ฅ) ili
๐๐(๐ฅ)
๐๐ฅ= ๐โฒ(๐ฅ)
Zadnje jednakosti dokazuju nam neposrednu posljedicu izraฤunavanja diferencijala funkcije sa diferenciranjem. Moลพemo zakljuฤiti:
Definicija 3.3:
Izvod funkcije predstavlja koliฤnik diferencijala funkcije i diferencijala nezavisno promjenjive odnosno izvod funkcije predstavlja diferencijalni koliฤnik funkcije.
Zbog zadnje definicije u mnogim literaturama ne samo matematiฤkim nego i drugim tehniฤkim nalazimo upravo ovako definisani izvod funkcije, odnosno nalazimo upotrebu
simbola ๐๐ฆ
๐๐ฅ za izvod funkcije, tj.
๐ฆ =๐๐ฆ
๐๐ฅ= lim
ฮ๐ฅโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ
Razmotrimo joลก jednom jednakost 4.3:
ฮ๐ฆ = ๐ฆโฒฮ๐ฅ + ๐ ฮ๐ฅ kako je: ฮ๐ฅ = ๐๐ฅ, moลพemo pisati:
ฮ๐ฆ = ๐ฆโฒd๐ฅ + ๐ d๐ฅ
Kad ฮ๐ฅ โ 0 tada ๐๐ฆ = ๐ฆโฒ๐๐ฅ โ 0. Kada usporedimo beskonaฤno male vrijednosti ฮ๐ฆ i
d๐ฆ, te uz raniju pretpostavku ฮ๐ฅ โ 0 imamo:
ฮ๐ฆ
๐๐ฆ=
๐ฆโฒ๐๐ฅ + ๐๐๐ฅ
๐ฆโฒ๐๐ฅ= 1 +
๐
๐ฆโฒ
Poลกto je d๐ฅ โ 0 tada ฤe ๐
๐ฆโฒโ 0, pa ostaje samo
ฮ๐ฆ
๐๐ฆโ 1 kad d๐ฅ โ 0.
Iz zadnjih izraza zakljuฤujemo da je priraลกtaj funkcije jednak diferencijalu funkcije za
dovoljno malo ฮ๐ฅ. Relacija ฮ๐ฆ
๐๐ฆโ 1 vrlo je znaฤajna u praksi kada se umjesto priraลกtaja
uzima diferencijal koji je ponekad jednostavnije izraฤunati od priraลกtaja. Diferencijal uvijek moลพemo uฤiniti dovoljno taฤnim da nam bude jednak priraลกtaju. Uradimo jedan primjer i uvjerimo se u gornje kazano.
Primjer 3.1: Izraฤunati bez digitrona koliko iznosi โ๐, ๐
89 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
89
Dokaz:
Poฤiฤemo od funkcije ๐ฆ = โ๐ฅ. Od ranije znamo da je ฮ๐ฆ =
โ๐ฅ + ฮ๐ฅ โ โ๐ฅ, a dok je diferencijal d๐ฆ =1
โ๐ฅ๐๐ฅ. Na osnovu
prethodni izraza moลพemo pisati:
โ๐ฅ + ฮ๐ฅ โ โ๐ฅ โ1
โ๐ฅ๐๐ฅ
odnosno
โ๐ฅ + ฮ๐ฅ โ1
โ๐ฅ๐๐ฅ + โ๐ฅ
Ako stavimo da je ๐ฅ = 4, pa je onda logiฤno ฮ๐ฅ = 0,6 , vrlo jednosavno dobijamo da je:
โ4,6 = 2 +1
4 0,6 = 2,15
Greลกka koja je napravljena oviom radnjom reda je 10โ2. Meฤutim mi nju (greลกku) moลพemo smanjiti po volji.
90 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
90
3.5 GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA DIREFENCIJALA
Grafiฤka interpretacija diferencijala fnkcije nam omoguฤuje, kao prvo da slikovito shvatimo diferencijal, a drugo da shvatimo posljediฤe geometrijkog diferencijala.U tom pogledu uoฤimo na slici 2.8 dio grafa funkcije koja jediferencijabilna i na kome se nalaze
taฤke ๐,๐1, ๐ i ๐.
Ako konstruiลกemo duลพ ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ , tako da je ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ || ๐๐, tada je ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐๐ฅ, a ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ฮ๐ฆ. Ako
povuฤemo tangentu u taฤki ๐ i njen presijek sa ordinatom taฤke ๐1 oznaฤimo sa ๐.
Nadalje, poลกto je ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ || ๐๐ tada je โ=โฎ ๐๐๐, a ugao โฎ ๐๐๐ = 900. Iz tog razloga
zakljuฤujemo da je โณ ๐๐๐ pravougli. Ako se sjetimo definicijala trigonometrijskih funkcija imamo:
๐ก๐๐ผ =๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ,
A to nije niลกta drugo do izvod u taฤki ๐ฆโฒ = ๐โฒ(๐ฅ) = ๐ก๐ ๐ผ. Jednaฤina tangente ๐ก koja
sadrลพi taฤke ๐ i ๐ a ฤije koordinate su ๐(๐ฅ, ๐ฆ), ๐(๐ฅ + ฮ๐ฅ, ๐ฆ + ฮ๐ฆ) imamo:
๐ฆ + ฮ๐ฆ โ ๐ฆ = ๐ก๐ ๐ผ(๐ฅ + ฮ๐ฅ โ ๐ฅ) (4.4)
Izraz 4.4 predstavlja jednaฤinu prave kroz dvije taฤke, pa transformaciju dalje moลพemo pisati:
ฮ๐ฆ = ๐โฒ(๐ฅ)ฮ๐ฅ
pa ako je ฮ๐ฅ โ 0, moลพemo pisati:
d๐ฆ = ๐โฒ(๐ฅ)d๐ฅ
Slika 3.8 Geometrijska interpretacija diferencijala
91 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
91
Pa moลพemo zakljuฤiti na osnovu prethodnog: Diferencijal funkcije predstavlja priraลกtaj
ordinate tangente u taฤki ๐u taฤki ๐ na grafu funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ)koji odgovara priraลกtaju
argumenta ฮ๐ฅ, tj. ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = d๐ฆ.
Greลกku koju na ovaj naฤin ฤinimo tj. kada kaลพemo da je ฮ๐ฆ = d๐ฆ data je na slici, a to je
duลพ ๐1๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ . Duลพ ๐1๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ uvijek moลพemo uฤiniti malom koliko god ลพelimo, jer ona zavisi
samo od toga koliko je blizu ฮ๐ฅ โpriลกaoโ nuli.
Preko diferencijala doลกli smo do druge oznake izvoda funkcije, a to je ๐ฆโฒ =๐๐ฆ
d๐ฅ ili
๐โฒ(๐ฅ) =๐๐(๐ฅ)
d๐ฅ
Do obje relacije prvi je doลกao Leibnitz, pa je i po njemu dobila naziv Leibnitzova oznaka izvoda. Razmotrimo joลก jednom kako je doลกlo do toga. Krenuo je od definicije
diferencijala tj. d๐ฆ = ๐โฒ(๐ฅ)d๐ฅ, dijeljenjem sa d๐ฅ โ 0 imamo: ๐๐ฆ
d๐ฅ= ๐โฒ(๐ฅ). Izvod funkcije
predstavlja koliฤnik diferencijala funkcije i diferencijala argumenta. Sada moลพemo lako da dokaลพemo teoremu o izvodu inverzne funkcije date prethodno.
Dokaz: Teoreme 3.14
Neka imamo dvije funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ) i ๐ฅ = ๐(๐ฆ) koje su meฤusobno inverzne. Neka je joลก funkcija strogo monotona. Diferencijal izraฤunavamo na sljedeฤi naฤin:
๐๐ฆ = ๐โฒ(๐ฅ)๐๐ฅ
dijeljenjem sa ๐๐ฆ imamo: 1
๐โฒ(๐ฅ)=
๐๐ฅ
๐๐ฆ
Desnu stranu moลพemo shvatiti kao Leibnitzovu formu izvoda funkcije
๐ฅ po argumentu ๐ฆ, odnosno:
1
๐โฒ(๐ฅ)= ๐โฒ(๐ฆ)
Dokaz teoreme zavrลกen.
Teorema 3.18.
Izvod sloลพene funkcije. Ako imamo sloลพenu funkciju ๐(๐) =๐ญ(๐(๐)), gje je ๐ญ(๐(๐)) sa argumentom ๐(๐ฅ), unutraลกnja funkcije
๐(๐ฅ) sa argumentom ๐ฅ , tada imamo da je:
๐โฒ(๐) = ๐ญโฒ(๐(๐))๐(๐)๐โฒ(๐)๐
92 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
92
Dokaz:
Priraลกtaj funkcije ๐(๐ฅ) moลพemo pisati: โณ ๐ฅ = ๐ฅ1 โ ๐ฅ tj. ๐ฅ1 = ๐ฅ +โณ ๐ฅ, pa imamo:
๐(๐ฅ +โณ ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ) = ๐น[๐(๐ฅ +โณ ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ)]
Iz prethodnih izlaganja priraลกtaj funkcije ๐ moลพemo pisati kao:
โณ ๐(๐ฅ) = ๐น[๐(๐ฅ +โณ ๐ฅ)]โฒ โณ ๐(๐ฅ) + ๐ โณ ๐(๐ฅ)
gdje ๐ โ 0, kad โณ ๐ฅ โ 0. Djeljenjem sa โณ ๐ฅ imamo:
โณ ๐(๐ฅ)
โณ ๐ฅ= ๐น[๐(๐ฅ)]
โณ ๐(๐ฅ)
โณ ๐ฅ+ ๐
โณ ๐(๐ฅ)
โณ ๐ฅ
Ako pustimo da โณ ๐ฅ โ 0 imamo:
limโณ๐ฅโ0
โณ ๐(๐ฅ)
โณ ๐ฅ= lim
โณ๐ฅโ0๐น[๐(๐ฅ)]
โณ ๐(๐ฅ)
โณ ๐ฅ+ lim
โณ๐ฅโ0๐โณ ๐(๐ฅ)
โณ ๐ฅ
๐โฒ = ๐นโฒ[๐(๐ฅ)]๐โฒ(๐ฅ) A ลกto je i trebalo dokazati.
Zadnjom teoremom smo dobili postupak a izraฤunavanje izvoda sloลพene funkcije. Iz
izloลพenog vidimo da se postupak sastoji od toga da prvo deriviramo funkciju F(๐(๐ฅ)) po
argumentu ๐(๐ฅ), pa zatim dati argument ๐(๐ฅ), po njegovom argumentu ๐ฅ. Ovo pravilo (Teorema 2.18) moลพe se generalizirati na sljedeฤi naฤin.
Teorema 3.19.
Ako imamo sloลพenu funkciju ๐(๐) = ๐ญ(๐๐(๐๐(โฆ๐๐(๐)โฆ ))), gdje svaka funkcija ๐๐(๐๐+๐(โฆ๐๐(๐)โฆ ) ๐ = ๐, ๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ima izvod po
argumentu ๐๐+๐(โฆ๐๐(๐)โฆ ), tada je:
๐โฒ(๐) = ๐ญโฒ (๐๐(๐๐(โฆ๐๐(๐)โฆ ))) ๐๐(๐๐(โฆ๐๐(๐)โฆ ))โฆ๐๐โฒ (๐)
Direktni dokaz neฤemo provoditi, a on se najlakลกe moลพe sprovesti matematiฤkom indukcijom.
Primjer 3.2: Naฤi izvod funkcije ๐ =๐
โ๐+๐๐
93 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
93
Rjeลกenje:
Ovu funkciju moลพemo shvatiti kao sloลพenu, te se funkcija moลพe rastaviti na nekoliko elementarnih funkcija ฤije smo izvode izraฤunali
prethodno. Funkcija se sastoji od funkcije ๐ฆ =1
๐ข, gdje je ๐ข = โ๐ฃ, ๐ฃ =
1 + ๐ฅ4, tj ๐ฆ = ๐(๐ข(๐ฃ(๐ฅ))). Primjenimo li teoremu na ovako
definisanu funkciju imamo:
๐ฆโฒ = ๐โฒ(๐ข)๐ขโฒ(๐ฃ)๐ฃโฒ(๐ฅ)
๐โฒ(๐ข) = (1
๐ข)โฒ
= (๐ขโ1)โฒ = โ 1
๐ข2
๐ขโฒ(๐ฃ) = (โ๐ฃ)โฒ= (
1
2๐ฃ
12) =
1
2โ๐ฃ
๐ฃโฒ(๐ฅ) = (๐ฅ4)โฒ = 4๐ฅ3 Na osnovu gornjih izraza imamo:
๐ฆโฒ = โ 1
๐ข2
1
2โ๐ฃ4๐ฅ3 = โ
1
(โ๐ฃ)2
1
โ1 + ๐ฅ4 4๐ฅ3
๐ฆโฒ = โ1
1 + ๐ฅ4
2๐ฅ3
โ1 + ๐ฅ4
Kada racionaliziramo nazivnik imamo:
๐ฆโฒ = โ2๐ฅ3โ1 + ๐ฅ4
(1 + ๐ฅ4)2
Na osnovu teoreme 3.18 i primjera 3.1 moลพemo razumjeti kako smo doลกli do dokaza izvoda hiperbolnih funkcija.
94 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
94
3.6 IZVOD DRUGOG I VIล IH REDOVA
Ako diferenciranjem funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ), dobijemo ponovo funkciju ๐(๐ฅ) = ๐โฒ(๐ฅ) te
ako je ona diferencijabilna i nekoj taฤki ๐ฅ prvi izvod funkcije ๐(๐ฅ) odnosno ๐โฒ(๐ฅ)
zovemo drugi izvod funkcije ๐(๐ฅ), a obiljeลพavamo ga sa ๐โฒโฒ(๐ฅ). Kraฤe, drugi izvod je prvi izvod prvog izvoda tj. izvod od izvoda funkcije.
[๐โฒ(๐ฅ)]โฒ = ๐โฒโฒ(๐ฅ) = ๐ฆโฒโฒ
Ako funkcija ๐โฒโฒ(๐ฅ) ima izvod za vrijednost argumenta ๐ฅ koji pripada nekom skupu, tada se ovaj izvod zove izvod treฤeg reda ili treฤi izvod i oznaฤava sa:
[๐โฒโฒ(๐ฅ)]โฒ = ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = ๐ฆโฒโฒโฒ Kraฤe treฤi izvod je izvod od drugog izvoda funkcije. Poลกto je drugi izvod izvod od prvog izvoda, tada je treฤi izvod od izvoda prvog reda.
Na osnovu izloลพenog induktivno moลพemo definisati ๐ โ ๐ก๐ izvod.
Definicija 3.4: Izvodom ๐-tog reda (๐-ti izvod) funkcije ๐(๐ฅ) je izvod od ๐ โ 1
izvoda funkcije ๐(๐ฅ).
Za oznaฤavanje izvoda koriste se simboli. Za izvod prvog, drugog, treฤeg oznaka je:
๐ฆโฒ, ๐ฆโฒโฒ, ๐ฆโฒโฒโฒ. Za izvode ฤetvrtog i viลกih izvoda:๐ฆ(๐ผ๐), ๐ฆ(๐), โฆ , ๐ฆ(๐).. Leibnitzova forma
izvoda oznaฤavamo sa: ๐๐ฆ
๐๐ฅ, ๐2๐ฆ
๐๐ฅ2, ..., ๐๐๐ฆ
๐๐ฅ๐.
Primjer 3.3 Naฤi 4-ti izvod funkcije ๐ = ๐๐๐.
Rjeลกenje:
Kako znamo da je 4-ti izvod jednak izvodu treฤeg izvoda, a treฤi izvodu drugog izvoda, a drugi izvod prvog izvoda, sukcesivno raฤunamo izvod izvoda na sljedeฤi naฤin.
๐ฆโฒ = (3๐ฅ4)โฒ = 3 โ 4๐ฅ3 = 12๐ฅ3
๐ฆโฒโฒ = (12๐ฅ3)โฒ = 12 โ 3 ๐ฅ2 = 36 ๐ฅ2
๐ฆโฒโฒโฒ = (36๐ฅ2)โฒ = 36 โ 2 ๐ฅ1 = 72๐ฅ
๐ฆ(๐ผ๐) = (72๐ฅ)โฒ = 72
Dakle 4-ti izvod funkcije ๐ฆ = 3๐ฅ4 iznosi ๐ฆ(๐ผ๐) = 72.
Razmotrimo sada postupak izvoda viลกih redova sloลพenih funkcija, te definiลกimo opฤe pravilo izvoda viลกeg reda sloลพene funkcije.
Teorema 3.20
Ako definiลกemo sloลพenu funkciju ๐(๐) = ๐ญ(๐(๐)) i ako funkcija F(f(x)) i f(x) imaju konaฤne izvode
drugogo reda tada sloลพena funkcija ๐(๐) ima izvod drugog reda jednak:
95 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
95
๐2๐(๐)
๐๐ฅ2=
๐2๐ญ
๐๐ฅ2 (
๐๐(๐)
๐๐ฅ)2
+๐๐ญ
๐๐ ๐2๐(๐)
๐๐ฅ
Dokaz:
Kao i u primjeru pronaฤi ฤemo prvo prvi izvod sloลพene funkcije:
๐โฒ(๐ฅ) = ๐นโฒ(๐(๐ฅ))๐โฒ(๐ฅ)
Ako sada primijenimo teoremu o produktu izvoda te teoremu o izvodu sloลพene funkcije imamo:
๐โฒโฒ(๐ฅ) =๐2๐(๐ฅ)
๐๐ฅ2= ๐นโฒโฒ(๐(๐ฅ))๐โฒ(๐ฅ)๐โฒ(๐ฅ) + ๐นโฒ(๐ฅ)๐โฒโฒ(๐ฅ))
๐โฒโฒ(๐ฅ) =๐2๐(๐ฅ)
๐๐ฅ2= ๐นโฒโฒ(๐(๐ฅ))(๐โฒ(๐ฅ))2 + ๐นโฒ(๐ฅ)๐โฒโฒ(๐ฅ)
๐โฒโฒ(๐ฅ) =๐2๐(๐ฅ)
๐๐ฅ2=
๐2๐น
๐(๐(๐ฅ))2(๐๐
๐๐ฅ)
2
+๐๐น
๐๐ฅ
๐2๐
๐๐ฅ2
Ako su funkcije tri puta diferencijabilne, tada je sloลพena funkcija
๐(๐ฅ) = ๐น(๐(๐ฅ)) takoฤer tri puta diferencijabilna pa je treฤi izvod funkcije:
๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) =๐3๐(๐ฅ)
๐๐ฅ3
=๐3๐น
๐(๐(๐ฅ))3(๐๐
๐๐ฅ)3
+ 2๐2๐น
๐๐2
๐๐
๐๐ฅ
๐2๐
๐๐ฅ2 +
๐2๐น
๐๐2
๐๐
๐๐ฅ
๐2๐
๐๐ฅ2
+๐๐น
๐๐ฅ
๐3๐
๐๐ฅ3
=๐3๐น
๐(๐(๐ฅ))3(๐๐
๐๐ฅ)3
+ 3๐2๐น
๐๐2
๐๐
๐๐ฅ
๐2๐
๐๐ฅ2 +
๐๐น
๐๐ฅ
๐3๐
๐๐ฅ3
Ako generaliziramo teoremu, dolazimo do opฤeg zakona po kojem raฤunamo n-ti izvod sloลพene funkcije pod pretpostavkom da parcijalne funkcije imaju n-ti izvod. Do tog zakona doลกao je Leibnitz pa se po njemu zove Leibnitzova formula.
Posmatrajmo proizvod dviju funkcija: ๐(๐ฅ) = ๐ข(๐ฅ)๐ฃ(๐ฅ).
Prvi izvod funkcije ๐โฒ(๐ฅ) = ๐ขโฒ(๐ฅ)๐ฃ(๐ฅ) + ๐ข(๐ฅ)๐ฃโฒ(๐ฅ).
Ponovnim diferenciranjem drugi izvod iznosi: ๐โฒโฒ(๐ฅ) = ๐ขโฒโฒ๐ฃ + 2๐ขโฒ๐ฃโฒ + ๐ข๐ฃโฒโฒ Ponovnim diferenciranjem imamo treฤi izvod: ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = ๐ขโฒโฒโฒ + 3๐ขโฒโฒ๐ฃโฒ + 3๐ขโฒ๐ฃโฒโฒ + ๐ฃโฒโฒโฒ Moลพda vas desna strana izvoda funkcije podsjeฤa na Newtonow binomni obrazac. Zakljuฤujemo sljedeฤe:
๐(๐)(๐ฅ) = (๐0) ๐ข(๐)๐ฃ + (
๐1)๐ข(๐โ1)๐ฃโฒ + โฏ+ (
๐๐) ๐ฃ(๐)๐ข
(4.5)
96 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
96
gdje su (๐๐) ๐ = 1, . . . , ๐ binomni koeficijenti Newtonovog obrazca. Zadnju formulu
moลพemo dokazati matematiฤkom indukcijom. Iz prvog, drugog i treฤeg izvoda vidimo da je formula taฤna za prvih nekoliko prvih
brojeva. Pretpostavimo da vrijedi za ๐ = ๐ > ๐0 tj. da vrijedi:
๐(๐)(๐ฅ) = (๐0) ๐ข(๐)๐ฃ + (
๐1) ๐ข(๐โ1)๐ฃโฒ + โฏ+ (
๐๐) ๐ฃ(๐)๐ข
(4.6)
Naฤimo k+1 izvod funkcije imamo:
๐(๐+1)(๐ฅ) = ((๐0) ๐ข(๐)๐ฃ + (
๐1) ๐ข(๐โ1)๐ฃโฒ + โฏ+ (
๐๐) ๐ฃ(๐)๐ข)
โฒ
Po teoremi o proizvodi izvoda funkcije imamo:
๐(๐+1)(๐ฅ) = (๐0) ๐ข(๐+1)๐ฃ + (
๐0) ๐ข(๐)๐ฃโฒ + (
๐1) ๐ข(๐)๐ฃโฒ + (
๐1) ๐ข(๐โ1)๐ฃโฒโฒ + โฏ
+ (๐๐) ๐ฃ(๐+1)๐ข + (
๐๐) ๐ฃ(๐)๐ขโฒ
Poลกto je (๐0) = (
๐ + 10
) te (๐๐) = (
๐ + 1๐ + 1
), te ako zajedniฤke ฤlanove izvuฤemo ispred
zagrade imamo:
๐(๐+1)(๐ฅ) = (๐0)๐ข(๐+1)๐ฃ + ๐ข(๐)๐ฃโฒ ((
๐0) + (
๐1)) + ๐ข(๐โ1)๐ฃโฒโฒ ((
๐1) + (
๐2)) + โฏ
+ ((๐
๐ โ 1) + (
๐๐)) ๐ฃ(๐)๐ขโฒ + (
๐ + 1๐ + 1
) ๐ฃ(๐+1)๐ข
Iz jednakosti binomnih koeficijenata (๐๐) + (
๐๐ + 1
) = (๐ + 1๐ + 1
) imamo:
๐(๐+1)(๐ฅ) = (๐ + 1
0)๐ข(๐+1)๐ฃ + (
๐1) ๐ข(๐)๐ฃโฒ + โฏ+ (
๐ + 1๐ + 1
) ๐ฃ(๐+1)๐ข
Kako smo dokazali da formula vrijedi za prvih nekoliko prirodnih brojeva, te iz
pretpostavke 3.6 da vrijedi za neki ๐ = ๐ > ๐0, dokazali da vrijedi i za ๐ = ๐ + 1, to na osnovu matematiฤke indukcije zakljuฤujemo da tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve.
Primjer 3.3. Naฤi n-ti izvod funkcije ๐ = ๐๐๐๐๐
Rjeลกenje: Ako uvedemo smjenu ๐ฅ2 = ๐ข(๐ฅ), ๐๐๐ฅ = ๐ฃ(๐ฅ), prema Leibnitzovoj formuli imamo:
97 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
97
๐(๐)(๐ฅ) = (๐๐๐ฅ)(๐)๐ฅ2 + 2๐๐ฅ(๐๐๐ฅ)(๐โ1) +๐(๐ โ 1)(๐ โ 2)
6โ 0
โ (๐๐๐ฅ)(๐โ2) Vidimo da poslije treฤeg ฤlana binomnog obrazca boivamo nule pa zakljuฤujemo da je:
๐(๐)(๐ฅ) = ๐ฅ2๐๐๐๐๐ฅ + 2๐๐๐โ1๐๐๐ฅ + ๐(๐ โ 1)๐๐โ2๐๐๐ฅ jer je:
(๐๐๐ฅ)โฒ = ๐๐๐๐ฅ
(๐๐๐ฅ)โฒโฒ = (๐๐๐๐ฅ)โฒ = ๐2๐๐๐ฅ
โฆ
(๐๐๐ฅ)(๐) = ๐๐๐๐๐ฅ
Primjer 3.4.
Pomoฤu Leibnizove formule naฤi treฤi izvod funkcije
๐(๐) = ๐^๐ ๐๐ ๐
Rjeลกenje:
Ako uvedemo smjenu ln ๐ฅ = ๐ข(๐ฅ), ๐ฅ2 = ๐ฃ(๐ฅ), prema Leibnitzovoj formuli imamo:
๐ข(๐ฅ) = ln ๐ฅ, ๐ขโฒ(๐ฅ) =1
๐ฅ, ๐ขโฒโฒ(๐ฅ) = โ
1
๐ฅ2, ๐ขโฒโฒโฒ(๐ฅ) =2
๐ฅ3
๐ฃ(๐ฅ) = ๐ฅ2, ๐ฃโฒ(๐ฅ) = 2๐ฅ, ๐ฃโฒโฒ(๐ฅ) = 2, ๐ฃโฒโฒโฒ(๐ฅ) = 0 Po Leibnitzovoj formuli imamo:
๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = ๐ข๐ฃโฒโฒโฒ + 3๐ขโฒ๐ฃโฒโฒ + 3๐ขโฒโฒ๐ฃโฒ + ๐ฃโฒโฒโฒ
= 0 + 3 โ2
๐ฅโ 3 โ
1
๐ฅ2โ 2๐ฅ +
2
๐ฅ3๐ฅ2
๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) =2
๐ฅ
98 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
98
3.6.1 IZVODI FUNKCIJA DATIH U PARAMETARSKOM OBLIKU
Teorema 3.21
Ako je funkcija ๐ = ๐(๐), ๐ = ๐(๐) imaju izvode
drugog reda, tada funkcija ๐(๐) definisana preko skupa datih funkcija ima drugi izvod koji je jednak:
๐โฒโฒ(๐) =๐โฒโฒ(๐)๐โฒ(๐) โ ๐โฒ(๐)๐โฒโฒ(๐)
๐โฒ(๐)๐
Rjeลกenje:
Kako smo rekli u prethodnoj teoremi izvod funkcije date u
parametarskom obliku iznosi: ๐ฅ = ๐ฅ(๐ก)
๐ฆโ = ๐โ(๐ฅ) =๐ฆโฒ(๐ก)
๐ฅโฒ(๐ก)
Iz zadnje relacije dolazimo do drugogo izvoda:
๐ฆโโฒ = ๐โโฒ(๐ฅ) =
๐๐ฆ๐๐ฅ๐๐ฅ๐๐ฅ
=
๐๐๐ก
(๐ฆโฒ(๐ก)๐ฅโฒ(๐ก)
)
๐ฅโฒ(๐ก)3=
๐ฅโฒ๐ฆโฒโฒ โ ๐ฅโฒโฒ๐ฆโฒ
๐ฅโฒ(๐ก)3
Do zadnje relacije doลกli smo koriลกtenjem teoreme za derivaciju koliฤnika funkcija. Zaista, vidimo da je:
๐ฆโโฒ = ๐โโฒ(๐ฅ) =๐ฅโฒ(๐ฅ)๐ฆโฒโฒ(๐ฅ) โ ๐ฅโฒโฒ(๐ฅ)๐ฆโฒ(๐ฅ)
๐ฅโฒ(๐ก)3
Primjer 3.5. Naฤi drugi izvod funkcije date u parametarskom obliku ๐ =๐ ๐๐๐ ๐ , ๐ = ๐ ๐๐๐ ๐ (๐ < ๐ < ๐ ).
99 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
99
Rjeลกenje:
Primjenjujuฤi teoremu o prvom izvodu imamo: ๐ฆ๐ฅโฒ = โ
๐
๐๐๐ก๐ ๐ก.
Drugi izvod izraฤunavamo prema zadnjoj teoremi:
๐ฆ๐ฅโฒโฒ =
๐2๐ฆ
๐๐ฅ2= โ
๐
๐๐๐ก๐ ๐ก =
๐ฆโฒโฒ๐ฅโฒ โ ๐ฆโฒ๐ฅโฒโฒ
๐ฅโฒ3=
๐๐(cos2 ๐ก + sin2 ๐ก)
โ๐3 sin3 ๐ก
= โ๐
๐2 sin3 ๐ก
Napomena: ฤesto se derivacije parametarskih funkcija, odnosno funkcija koje zavise od vremena, oznaฤavaju sa taฤkom notacijom. Pa
kada se hoฤe da napiลกe prvi izvod funkcije = ๐ฅ(๐ก) , piลกe se ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ฅโฒ(๐ก).
Analogno drugi izvod: ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐ฅโฒโฒ(๐ก). Zbog ove notacije teoremu 3.21 moลพemo pisati i kao:
๐ ๐
๐ ๐=
๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐ ๐๐
๐ ๐๐ =๐ (
๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๏ฟฝฬ๏ฟฝ)
๐ ๐=
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐
3.6.2 MEHANIฤKA INTERPRETACIJA DRUGOG IZVODA
Kazali smo da nam mehaniฤka interpretacija prvog izvoda oznaฤava brzinu kretanja neke
taฤke tj. ๐ฃ = ๐โฒ(๐ก), gdje je ๐(๐ก) = ๐ โ zakon puta. Uoฤavamo da nam je brzina ๐ฃ,
takoฤer funkcija vremena ๐ก. Ako izraฤunamo drugi izvod puta ๐ po vremenu ๐กdobiฤemo brzinu promjene brzine taฤke ili kraฤe ubrzanje. Dakle ako mjerimo promjenu brzine
imamo: ๐ =๐๐ฃ
๐๐ก= ๐โฒโฒ(๐ก).
Ubrzanje taฤke je drugi izvod puta po vremenu. Sve ovo naravno vrijedi za pravolinijsko kretanje taฤke, dok, uopฤe za bilo koje kretanje, krivolinijsko ili drugo ono oznaฤava smo jednu koponenu kretanja-tangencijalnu komponentu.
Primjer 3.6. Ako je zakon puta dat izrazom ๐ = ๐๐๐ + ๐๐ + ๐, potrebno je naฤi brzinu i ubrzanje.
Rjeลกenje: Brzina taฤke ๐ฃ =
๐๐
๐๐ก= 10๐ก + 6.
Ubrzanje taฤke ๐ =๐๐ฃ
๐๐ก=
๐2๐
๐๐ก2 = 10.
100 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica
MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com
100
3.6.3 DIFERENCIJALI VIล EG REDA
Kako smo prije definisali diferencijal funkcije ๐ฆ = ๐(๐ฅ) iznosi ๐๐ฆ = ๐โฒ(๐ฅ)๐๐ฅ. Kada
definiลกemo diferencijal viลกeg reda, smatramo da je ๐๐ฅ konstantna veliฤina. Takva osobina
za ๐๐ฅ govori nam da je diferencijal drugogo reda ๐(๐๐ฆ) = ๐2๐ฆ. Opฤenito diferencijal n-tog reda definiลกe se preko diferencijala n-1 reda odnosno:
๐๐๐ฆ = ๐(๐๐โ1๐ฆ)
Poลกto je ๐๐ฆ = ๐โฒ(๐ฅ)๐๐ฅ tada je: ๐2๐ฆ = ๐(๐๐ฆ) = ๐(๐โฒ(๐ฅ)๐๐ฅ) = ๐โฒ(๐)๐๐ฅ๐๐ฅ, pa imamo diferencijal drugogo reda:
๐2๐ฆ = ๐โฒโฒ(๐ฅ)๐๐ฅ2 Ako generaliziramo defirencijal n-tog reda, imamo:
๐๐๐ฆ = ๐(๐)(๐ฅ)๐๐ฅ๐
Definicija 3.5 Diferencijal n-tog reda jednak je proizvodu n-tog izvoda
funkcije ๐ = ๐(๐) i n-tog stepena diferencijala argumenta.
Posljedica 3.1
Definicija 2.3 definiลกe Leibnitzovu oznaku n-tog izvoda: ๐๐๐ฆ
๐๐ฅ๐= ๐(๐)(๐ฅ)
Poznavanjem izvoda sloลพene funkcije i generalizacije teoreme o izvodu sloลพene funkcije (Leibnitzove formule) dolazimo do diferencijala drugog i viลกih redova sloลพene funkcije.