Министерство образования и науки Российской Федерации
Д.В. Опарин
ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Часть II. Совершенные нормальные формы, приложение алгебры логики к релейно-контактным схемам, решение логических задач
Электронное текстовое издание
Учебно-методическое пособие для студентов всех форм обучения направлений подготовки 02.03.02 – Фундаментальная информатика и информационные технологии и 09.03.03 – Прикладная информатика
Научный редактор: доц., канд. техн. наук В.Г. Томашевич
Подготовлено кафедрой интеллектуальных информационных технологий
Представлены краткие теоретические сведения и задачи из раздела курса, посвященного алгебре логики. Все задачи снабжены ответами и решениями.
Екатеринбург 2015
2
СОДЕРЖАНИЕ
5. СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ .................................................. 3
Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 6
6. ПРИЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ К РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНЫМ
СХЕМАМ .............................................................................................................. 8
Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 10
7. РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ............................................................... 14
Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 15
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ........................................................................................ 17
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................. 32
3
5. СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Теоретическая часть. Формулу
nn xxxfxxxf &...&&&)1,...,1,1(),...,,( 2121
...&&...&&&)0,...,1,1( 121 nn xxxxf
nn xxxxf &&...&&&)0,...,0,0( 121
можно преобразовать к формуле, обладающей свойствами совершенства,
т.е. содержащей только различные логические слагаемые, причем в каждое ло-
гическое слагаемое формулы должны входить все переменные функции
),...,,( 21 nxxxf , и при этом ни в одно логическое слагаемое формулы не должны
входить одновременно переменная и ее отрицание или одна и та же переменная
дважды.
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы называется равно-
сильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию конъюнкций пере-
менных или их отрицаний (элементарных конъюнкций).
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы
называется ДНФ этой формулы, обладающая свойствами совершенства.
СДНФ формулы можно получить либо из таблицы истинности (см. раз-
дел 4), либо с помощью равносильных преобразований.
Алгоритм получения СДНФ формулы с помощью равносильных преобра-
зований:
1) получить любую ДНФ формулы;
2) если в ДНФ формулы имеется слагаемое K, не содержащее ix , его за-
менить на )(& ii xxK ;
3) если в ДНФ формулы имеется два одинаковых слагаемых K, то одно из
них отбросить, т.к. KKK ;
4) если в некоторое слагаемое K в ДНФ формулы переменная ix входит
дважды, то одну из них отбросить, т.к. iii xxx & ;
4
5) если некоторое слагаемое K в ДНФ формулы содержит конъюнкцию
ii xx & , то это слагаемое отбросить, т.к. в этом случае 0K .
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы называется равно-
сильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию дизъюнкций пере-
менных или их отрицаний (элементарных дизъюнкций).
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) формулы
называется КНФ этой формулы, содержащая только различные элементарные
дизъюнкции, причем в каждую элементарную дизъюнкцию формулы должны
входить все переменные функции ),...,,( 21 nxxxf , и при этом ни в одну элемен-
тарную дизъюнкцию формулы не должны входить одновременно переменная и
ее отрицание или одна и та же переменная дважды.
СКНФ формулы можно получить либо из таблицы истинности, используя
закон двойственности ( LСДНФLСКНФ ), либо с помощью равносильных
преобразований.
Алгоритм получения СКНФ формулы с помощью равносильных преобра-
зований:
1) получить любую КНФ формулы;
2) если в КНФ формулы имеется элементарная дизъюнкция D, не содер-
жащая ix , ее заменить на ii xxD & ;
3) если в КНФ формулы имеется две одинаковых элементарных дизъ-
юнкции D, то одну из них отбросить, т.к. DDD & ;
4) если в некоторую элементарную дизъюнкцию D в КНФ формулы пе-
ременная ix входит дважды, то одну из них отбросить, т.к. iii xxx ;
5) если некоторая элементарная дизъюнкция D в КНФ формулы содержит
высказывание вида ii xx , то эту элементарную дизъюнкцию отбросить, т.к. в
этом случае 1D .
Проблема разрешимости – задача, определяющая тождественную истин-
ность, тождественную ложность или выполнимость данной формулы.
5
Проблема разрешимости в алгебре логики разрешима, т.к. для каждой
формулы может быть записана таблица истинности, которая и дает ответ на по-
ставленный вопрос.
Другой способ решения проблемы разрешимости основан на приведении
формулы L к нормальном формам и использовании критериев истинности и
ложности, позволяющих определить, является ли данная формула тождествен-
но истинной или тождественно ложной. В случае если формула L не является
ни тождественно истинной, ни тождественно ложной, автоматически решается
вопрос о ее выполнимости.
Критерий истинности: для того чтобы формула алгебры логики была
тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы любая элементарная
дизъюнкция, входящая в ее КНФ, содержала переменную и ее отрицание.
Критерий ложности: для того чтобы формула алгебры логики была тож-
дественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы любая элементарная
конъюнкция, входящая в ее ДНФ, содержала переменную и ее отрицание.
Задача 9. Для формулы )(& yxxL найти СДНФ путем использо-
вания равносильных преобразований и таблицы истинности.
Решение. Выполним равносильные преобразования. В результате по-
лучим:
LСДНФyxyxxxyxxyxxL &&&)(&)(& .
Составим таблицу истинности:
x y yx )(& yxx
1 1 1 1
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
Из таблицы истинности следует: yxLСДНФ & .
6
Задача 10. Для формулы )(& yxxL найти СКНФ путем исполь-
зования равносильных преобразований и таблицы истинности.
Решение. Выполним равносильные преобразования. В результате по-
лучим:
)(&)&()(&)(& yxyyxyxxyxxL
LСКНФyxyxyx )(&)(&)( .
Составим таблицу истинности:
x y )(& yxx )(& yxx
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
С помощью таблицы истинности получим:
yxyxyxLСДНФLСКНФ &&&
)(&)(&)(&&&&& yxyxyxyxyxyx
)(&)(&)( yxyxyx .
Задачи для самостоятельного решения
5.1. Найти СДНФ для тождественно истинной формулы, содержащей:
1) одну переменную; 2) две переменных.
5.2. Найти СКНФ для тождественно ложной формулы, содержащей:
1) одну переменную; 2) две переменных.
5.3. Для основных логических операций найти: 1) СДНФ; 2) СКНФ.
5.4. Придать более простой вид формулам, имеющим следующие совер-
шенные нормальные формы:
1) yxyxyx &&& ;
2) )(&)(&)( yxyxyx ;
7
3) zyxzyxzyx &&&&&& ;
4) zyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&& .
5.5. Для следующих формул найти СДНФ и СКНФ путем использования
равносильных преобразований и таблиц истинности.
1) zyzxL & ;
2) xyzxL ;
3) )( xyyxL ;
4) )&&(& yxzyxL ;
5) zzyxyxL ;
6) )()( zyxzyxL .
5.6. Используя критерии тождественной истинности и тождественной
ложности, установить, к какому классу относятся следующие формулы:
1) zyxL ;
2) )( xyyxL ;
3) yyxyxL & ;
4) xzyzyxL &)&( .
8
6. ПРИЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ К РЕЛЕЙНО-
КОНТАКТНЫМ СХЕМАМ
Теоретическая часть. Релейно-контактная схема представляет собой
схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключа-
телей, соединяющих их проводников, входов в схему и выходов из нее.
В релейно-контактной схеме любой переключатель имеет только два со-
стояния: замкнутое и разомкнутое.
Простейшая схема состоит из одного переключателя X, одного входа и
одного выхода. Переключателю X ставится в соответствие высказывание
x – «Переключатель X замкнут». Если x истинно, то схема проводит электриче-
ский ток, в противном случае – не проводит. Если принимать во внимание
только значение высказывания, то любому высказыванию x можно поставить в
соответствие следующую двухполюсную релейно-контактную схему
.
Отрицание высказывания x будем изображать двухполюсной схемой
.
Конъюнкцию двух высказываний x и y можно представить двухполюсной
схемой с последовательным соединением переключателей X и Y
,
а дизъюнкцию – двухполюсной схемой с их параллельным соединением
.
X
Y
Y X
X
X
9
Любая формула алгебры логики может быть представлена в нормальной
форме, следовательно, любой формуле алгебры логики можно поставить в со-
ответствие некоторую релейно-контактную схему, и наоборот, каждой релейно-
контактной схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгеб-
ры логики.
Задача 11. Составить релейно-контактную схему, соответствующую
формуле yxzy & .
Решение. Упростим формулу:
zyxyxzyyxzyyxzy && .
Релейно-контактная схема, соответствующая данной формуле, будет
иметь следующий вид:
.
Задача 12. Упростить релейно-контактную схему:
.
Решение. Составим формулу, соответствующую данной схеме, и упро-
стим ее:
Y Z
Z
Y Z
X
X Y
X
Y
Z
10
zyzyyxzyzyxzyx &&)(&&&&&&
zyxzyzx &)(&& .
Упрощенная схема выглядит следующим образом:
.
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Составить релейно-контактные схемы, соответствующие:
1) импликации yx ;
2) эквивалентности yx .
6.2. Составить релейно-контактные схемы, соответствующие следующим
формулам:
1) xxx ;
2) )(&)( yzzx ;
3) )()(&)( xyzyxz .
6.3. Построить релейно-контактные схемы, соответствующие ),,( zyxfi ,
если известно, что:
1) 1)1,0,1()0,1,1( 11 ff ;
2) 1)0,1,0()1,0,1()1,1,1( 222 fff ;
3) 1)0,0,0()0,1,0()1,1,0()0,0,1( 3333 ffff ;
остальные значения функции ),,( zyxfi равны нулю.
6.4. Упростить следующие релейно-контактные схемы:
1)
;
Y
Z
X
Y
X Y
Z
X
Z
11
2)
;
3)
.
6.5. Доказать равносильность следующих релейно-контактных схем:
1)
Z
X
Z
X
Y
Z
Y
Z
X
Z
X
Z
Y
Y
Y Z
Z
X
X
Y
Y
Z
Y
X
X Z
12
и
;
2)
и
;
X
X
Z
Y
Y
X
Z
X
Z
Y
Z
X
Z
Z
Z
Z
X
X
13
3)
и
.
Z Y
X Y
X
Y Z
Y
14
7. РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Теоретическая часть. Условие логической задачи записывается в ви-
де формулы алгебры логики. Формула путем равносильных преобразований
упрощается. Полученный вид формулы, как правило, дает ответы на постав-
ленные в задаче вопросы.
Задача 13. Вспоминая итоги прошедшего чемпионата по футболу, пять
болельщиков договорились до следующего:
«Спартак» занял третье место, а «Зенит» – четвертое;
ЦСКА был первым, а «Торпедо» – третьим;
«Локомотив» был вторым, а «Торпедо» – пятым;
«Локомотив» занял третье место, а «Зенит» – шестое;
«Спартак» был вторым, а «Рубин» – третьим.
Оказалось, что каждый болельщик в одном из двух своих высказываниях
ошибся. Как закончился чемпионат по футболу?
Решение. Обозначим высказывания болельщиков в виде ix , где x –
название команды, i – занятое ей место. Так как в каждой паре высказываний
одно истинно, а другое ложно, то, очевидно, будут истинными дизъюнкции
этих высказываний:
13263523143 rszltltczs .
Истинной будет и конъюнкция этих дизъюнкций, т.е.
1)(&)(&)(&)(&)( 3263523143 rszltltczsL .
Выполним равносильные преобразования, учитывая, что одна и та же ко-
манда не может занять в чемпионате разные места, а две различные команды не
могут занять одно и то же место. В результате получим:
)(&)(&)(&)(&)( 3263523143 rszltltczsL
32512164436333 &&&(&)&&&&( tltclczzzlzssl
512143633253 &&(&)0&&0()(&)& tclczlzsrstt
15
4336326333232 &&&&&&()(&)0& zrlzsszsrrstl
&)&&000()&&&(&)&& 432325121432 zlstltclczls
43221325121 &&&&)&&&(& zlslctltclc
4332254321 &&&&&&&& ztlsltzlsc
1&&&&0&&&&0 5432154321 tzlsctzlsc .
Отсюда следует: на первом месте – ЦСКА; на втором – «Спартак»; на
третьем – «Локомотив»; на четвертом – «Зенит»; на пятом – «Торпедо». «Ру-
бин» занял шестое место.
Задачи для самостоятельного решения
7.1. Три студента из Уральского федерального университета (УрФУ),
Уральского государственного лесотехнического университета (УГЛТУ) и Рос-
сийского государственного профессионально-педагогического университета
(РГППУ) приняли участие в олимпиаде по математической логике. На вопрос о
месте учебы, они дали следующие ответы:
Волков: «Я учусь в УрФУ, а Зайцев – в УГЛТУ»;
Зайцев: «Волков учится в РГППУ, а я – в УрФУ»;
Медведев: «Я учусь в УрФУ, а Зайцев – в РГППУ».
Оказалось, что в ответах каждого из них одно утверждение верно, а дру-
гое ложно. В каком вузе учится каждый из студентов?
7.2. Два студента Карасёв и Ершов заявили:
Карасёв: «Я был на лекции по математической логике»;
Ершов: «Я видел Карасёва в библиотеке».
Выяснилось, что:
если Карасёв солгал, то солгал и Ершов, и Карасёв был на лекции
по математической логике;
16
если Карасёв сказал правду, то он был на лекции или Ершов сказал
неправду.
Был ли Карасёв на лекции по математической логике?
7.3. Известно, что:
если экзамен по математической логике сдал Блохин, то и Комаров
сдал;
если экзамен сдал Комаров, то Муравьёв сдал, или Блохин не сдал;
если Слепнёв не сдал экзамен, то Блохин сдал, а Муравьёв не сдал;
если экзамен сдал Слепнёв, то и Блохин сдал.
Кто из четырех студентов сдал экзамен по математической логике?
7.4. По подозрению в совершении преступления были задержаны три че-
ловека: Березовский, Ольховский и Сосновский. Один из них был мошенником,
другой – политиком, третий – известным журналистом. Во время следствия
мошенник всегда лгал, политик в одном случае говорил правду, а в другом –
ложь, журналист всегда говорил только правду.
В частности, они утверждали:
Березовский: «Я не совершал преступления, преступник – Соснов-
ский»;
Ольховский: «Преступник – Березовский, Сосновский невиновен»;
Сосновский: «Ольховский – не преступник, преступление совершил я».
Определить, кто совершил преступление, и кто является мошенником,
политиком и журналистом. Известно, что преступник – один.
17
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.1. Составим таблицы истинности, из которых найдем требуемые СДНФ.
1)
x )(1 xL
1 1
0 1
xxLСДНФ 1 ;
2)
x y ),(2 yxL
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1
yxyxyxyxLСДНФ &&&&2 .
5.2. Составим таблицы истинности, из которых, используя закон двой-
ственности, найдем требуемые СКНФ.
1)
x )(1 xL )(1 xL
1 0 1
1 0 1
xxxxLСДНФLСКНФ &11 ;
2)
x y )(2 xL )(2 xL
1 1 0 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
18
yxyxyxyxLСДНФLСКНФ &&&&22
)(&)(&)(&)( yxyxyxyx .
5.3. 1) СДНФ:
xx , yxyx && , yxyxyxyx &&& ,
yxyxyxyx &&& , yxyxyx && ,
2) СКНФ:
xx , )(&)(&)(& yxyxyxyx , yxyx ,
yxyx , )(&)( yxyxyx .
5.4. Выполним равносильные преобразования. В результате получим:
1) yxxyxyyxyxyxyx &&)(&&&&
yxyxxx )(&)( ;
2) )&(&)()(&)(&)( yyxyxyxyxyx
yxyxxxxyx &&&&)( ;
3) )&&&(&&&&&&& yxyxyxzzyxzyxzyx
)(&)(&)&(&)&)(&(& yxxxzyxxzyxyyxz
)(& yxz ;
4) zyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&&
zyxzyzyzyzyx &&)&&&&(&
zyxzzyzzyx &&))(&)(&(&
zyxxzyxyyx &&&&)1&1&(&
zyxzyxzyxxx &)&(&1)&(&)( .
5.5. Подвергнем указанные формулы равносильным преобразованиям,
приведя их сначала к ДНФ, а затем к КНФ. От ДНФ перейдем к СДНФ, а от
КНФ – к СДНФ. Составим таблицы истинности для формул L и L . По ним
также найдем СДНФ и СКНФ.
1) LДНФzyzxzyzxzyzxL &&&& ,
19
zyxxzyyxzyzxLДНФ &&)(&)(&&&
zyxzyxzyxzyx &&&&&&&&
LСДНФzyxzyxzyx &&&&&& .
Таблица истинности:
x y z z zx zy & L L
1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 1
zyxzyxyxLСДНФ &&&&&& .
LКНФyxzzyzxzyzxL )(&&&& ,
&)()&(&)&&()(& zyxzzyxzyyxxyxzLКНФ
)(&)(&)(&)(&)(& zyxzyxzyxzyxzyx
)(&)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyxzyx
LСКНФ .
С помощью таблицы истинности получим:
zyxzyxzyxzyxzyxLСКНФ &&&&&&&&&&
)(&)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyxzyx
)(&)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyxzyx .
2) xyzxxyzxxyzxL
LДНФzxyxyxzx &&&& ,
zyyxzzyxzxyxLДНФ &)(&)(&&&&
LСДНФzyxzyxzyxzyx &&&&&&&& .
20
Таблица истинности:
x y z x y zx xy xy L L
1 1 1 0 0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1 0 1 0
zyxzyxzyxzyxLСДНФ &&&&&&&& .
)(&)(&)(&)(&& zyyxzxxxzxyxxyzxL
LКНФzyyxzx )(&)(&)( ,
&)&(&)&()(&)(&)( zzyxzyyxzyyxzxLКНФ
&)(&)(&)(&)()&(& zyxzyxzyxzyxzyxx
&)(&)(&)()(&)(& zyxzyxzyxzyxzyx
LСКНФzyx )(& .
С помощью таблицы истинности получим:
zyxzyxzyxzyxLСКНФ &&&&&&&&
)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyx
)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyx .
3) xyyxxyyxxyyxL )(
LДНФyxyx & ,
yxxyyxyxyxyxLДНФ &)()(&&&
yxyxyxyxyx &&&&&
LСДНФyxyxyx &&& .
21
Таблица истинности:
x y yx xy L L
1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0
yxyxyxLСДНФ &&& .
yxyxxyyxxyyxL &)(
LСКНФyx .
С помощью таблицы истинности получим:
yxyxLСКНФ & .
4) )&(&)&&(&)&&(& yxzyxyxzyxyxzyxL
LДНФzxyxyx &&& ,
)(&&)(&&&&& zzyxzzyxzxyxyxLДНФ
zyxzyxzyxzyxzyxzyyx &&&&&&&&&&&)(&
LСДНФzyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&&
Таблица истинности:
x y z zy & yx & yxzy && L L
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1 1 0
0 1 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 1 0 1
22
zyxzyxzyxzyxLСДНФ &&&&&&&& .
)(&&&&)&&(& zyyxzxyxyxyxzyxL
LКНФxx 1& ,
&)(&)(&)(&& zyxzyxzyxzzyyxxLКНФ
LСКНФzyx )(& .
С помощью таблицы истинности получим:
zyxzyxzyxzyxLСКНФ &&&&&&&&
)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyx
)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyx .
5) zzyxyxzzyxyxL
zzyxyxzzyxyx &&&
zzyxyxzzyxyx &&)(&)(
zzyxyxzzyxyx &)&(&)(
zzyxyxzzyxyx &)&(&&)&(
zzyxyxzzyxyx &)&)((&)&&(
zzyyxzzyyxxx &)&(&)&&(
LДНФzzyzxzzyxzzyyyx &&&)(&)(&)( ,
zyxxzyyxzzyzxLДНФ &&)(&)(&&&
zyxzyxzyxzyxzyyxx &&&&&&&&&)(&)(
zyxzyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&&&&
LСДНФzyxzyx &&&& .
Таблица истинности:
23
x y z yx xyx yxyx zyxyx L L
1 1 1 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1 0 1 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0 1
zyxzyxzyxzyxLСДНФ &&&&&&&& .
LКНФzzzxzzyzxzzyxyxL &&& ,
&)(&)(&)(&& zyxzyxzyxzyyxxzLКНФ
LСКНФzyx )(& .
С помощью таблицы истинности получим:
zyxzyxzyxzyxLСКНФ &&&&&&&&
)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyx
)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyx .
6) zyxzyxzyxzyxL )()(
zyzxyxzyzxyxzyzxyx &&&
zyyzxxzxzyzxyx &&&&&&)(
LДНФzyzyx && ,
)(&&)(&&&& zzyxxzyxzyzyxLДНФ
zyxzyxzyxzyxzyyxx &&&&&&&&&)(&)(
zyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&&
zyxzyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&&&&
LСДНФ .
Таблица истинности:
24
x y z yx xz zy )( xzyx L L
1 1 1 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 1 1 1 1 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 0 1 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1 0
zyxzyxzyxzyxLСДНФ &&&&&&&&
zyxzyx &&&& .
LКНФzyzyzyxzyxzyxL &&)()( ,
LСКНФzyxzyxzyxxzyLКНФ )(&)(& .
С помощью таблицы истинности получим:
)(&)(&&&& zyxzyxzyxzyxLСКНФ
)(&)( zyxzyx .
5.6. Приведем формулу к ДНФ. Если в полученной ДНФ каждая элемен-
тарная конъюнкция не содержит переменную и ее отрицание, то данная форму-
ла не является тождественно ложной. Следовательно, она либо тождественно
истинная, либо выполнимая. Преобразуем ее к КНФ. Если в полученной КНФ
каждая элементарная дизъюнкция также не содержит переменную и ее отрица-
ние, то рассматриваемая формула не является и тождественно истинной. Отсю-
да следует, что формула является выполнимой.
1) LДНФzyxzyxzyxL & – формула не является
тождественно ложной.
LКНФzyzxzyxzyxL )(&)(& – формула не являет-
ся и тождественно истинной, следовательно, она – выполнимая.
2) xyyxxyyxxyyxL )(
25
LДНФyxyx & – формула не является тождественно ложной.
LКНФyxyxyxxyyxL &)( – формула не являет-
ся и тождественно истинной, следовательно, она – выполнимая.
3) yyxyxyyxyxyyxyxL &&&
LДНФyyxyx && – формула – не тождественно ложная.
yxyyyxyxyyxyxL &&&&
LКНФyxyyyx )(&)( – формула не является и тождественно
истинной, следовательно, она – выполнимая.
4) xzyzyxxzyzyxL &)&(&)&(
xzyzyxxzyzyx &&&)&(&&)&(
LДНФzxyxzyxxzyzyx &&)(&&)(&)&( – формула
не является тождественно ложной.
LКНФzyxxzyzyxL )(&&)&( – формула не является и
тождественно истинной, следовательно, она – выполнимая.
6.1. Выполним равносильные преобразования, после чего составим ре-
лейно-контактные схемы.
1) yxyx
2) )(&)()(&)( yxyxxyyxyx
yxyxyyyxyxxx &&&&&&
Y
X
Y X
X Y
26
6.2. Упростим формулы с помощью равносильных преобразований, затем
составим релейно-контактные схемы.
1) xxxxxxxxxxxxx
2) )(&)()(&)()(&)( zyzxyzzxyzzx
3) xyzyxzxyzyxz )(&)()()(&)(
yxzyzxyxzyzxyxzyzx &&)(&)(
11)(&)()(&)( yxzyzxzyyyzxxx
6.3. Запишем аналитические выражения, упростим их, после чего соста-
вим релейно-контактные схемы.
1) )&&(&&&&&1 zyzyxzyxzyxf
)(&)(&)(&)(&)(&)(& zyzyxzzzyzyyyx
2) zyxzyyxzyxzyxzyxf &&&)(&&&&&&&2
zyxzx &&&
X
Y
Z
X
Z
Z Z
X
Y Y
Z Y
X Z
X
27
3) zyxzyxzyxzyxf &&&&&&&&3
zyyxzzyxzyxx &&)(&&&&)(
6.4. Запишем формулы алгебры логики, соответствующие приведенным
релейно-контактным схемам, упростим формулы с помощью равносильных
преобразований, после этого составим релейно-контактные схемы, соответ-
ствующие упрощенным формулам.
1) )&&&(&)(&)&(&)( zzzyxyxzzyxyx
000&&&&&&&&&)( zyyxzyxxzyxyx
2) zzzyzxzyzxzzyzxzyx &&&&&&)(&&)(
yxzzyxzyzyzzx )(&0&&)(&
3) zyzxzyxzyxzyx &&&&)(&
zyxzyzyx &&&
Y
Y Z
X
X
Y
X
Z
Y
28
6.5. Запишем формулы алгебры логики, соответствующие каждой паре
релейно-контактных схем, докажем их равносильность.
1) zyxzyxzyxzyxL &&&&&&&&1 ,
zyxyxL &)(&2 .
zyxzyxzyxzyxL &&&&&&&&1
zyxzyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&&&&
zyxxzyyxzzyx &&)(&)(&)(&&
2&)(&&&& Lzyxyxzyzxyx .
2) zzyzzxzxxL &)(&)()(&1 ,
zzxxL &2 .
zzzzxxzzyzzxzxxL &&&)(&)()(&1
2& Lzzxx .
3) zyzyxyxL &&&&1 ,
yL 2 .
)&(&&&&&1 zzxxyzyzyxyxL
21&)(&))(&)((& Lyyzzxyzzxxxy .
7.1. Обозначим высказывания студентов в виде ix , где x – первая буква
фамилии студента, i – вуз, в котором он учится (f – УрФУ, l – УГЛТУ,
p – РГППУ). Так как в каждой паре высказываний одно истинно, а другое лож-
но, то, очевидно, будут истинными дизъюнкции этих высказываний:
1pffplf
zmzvzv .
Но тогда истинной будет и конъюнкция этих дизъюнкций, т.е.
1)(&)(&)( pffplf
zmzvzvL .
29
Выполним равносильные преобразования, учитывая, что один и тот же
студент не может учиться в двух вузах, а два различных студента не могут
учиться в одном вузе. В результате получим:
lpffpfpffplf
zvzvvvzmzvzvL &&&()(&)(&)(
)(&)0&00()(&)&pflppffl
zmzvzmzz
1&&0&&&&&& lpflpfplplpf
zvmzvmzzvzvm .
Отсюда следует ответ на вопрос о месте учебы каждого из студентов:
Медведев учится в УрФУ, Волков – в РГППУ, Зайцев – в УГЛТУ.
7.2. Введем обозначения высказываний: k – Карасёв был на лекции по ма-
тематической логике, b – Ершов видел Карасёва в библиотеке.
Из условия задачи следует:
1& bkkkbk .
Но тогда истинной будет и конъюнкция этих импликаций, т.е.
1)(&)&( bkkkbkL .
Выполним равносильные преобразования, в результате получим:
)(&)&()(&)&( bkkkbkbkkkbkL
11&)&( kkbk
Отсюда следует, что Карасёв был на лекции по математической логике.
7.3. Введем обозначения высказываний: b – Блохин сдал экзамен по ма-
тематической логике; k – Комаров сдал экзамен по математической логике; m –
Муравьёв сдал экзамен по математической логике; s – Слепнёв сдал экзамен по
математической логике.
Из условия задачи следует:
1& bsmbsmbkkb .
Но тогда истинной будет и конъюнкция этих импликаций, т.е.
1)(&)&(&)(&)( bsmbsmbkkbL .
Выполним равносильные преобразования, в результате получим:
)(&)&(&)(&)( bsmbsmbkkbL
30
)(&)&(&)(&)( bsmbsmbkkb
)(&)(&)(&)(&)( sbsmsbmkbkb
)(&)&(&))(&( smssbmkkb
)(&&)&()(&&)&&( smbmkbsmbmkkkb
)(&&&)(&)&&&( smmkbsmmkbbb
1&&&&&&&&& smkbsmkbmmkb .
Отсюда следует, что экзамен по математической логике сдали все четыре
студента.
7.4. Введем обозначения высказываний: b – преступник – Березовский;
o – преступник – Ольховский; s – преступник – Сосновский. Тогда утверждения
задержанных, можно записать в виде следующих конъюнкций:
sb & , sb & , so & ,
из которых по условию задачи две ложны, а одна истинна.
Формула, представляющая собой дизъюнкцию этих конъюнкций
sosbsbL &&& .
является выполнимой, поэтому рассмотрим ее таблицу истинности и проанали-
зируем все случаи, когда 1L .
Таблица истинности формулы L имеет следующий вид:
b o s b o s sb & sb & so & L
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
Из таблицы истинности видно, что 1L в пяти из восьми вариантов.
31
Вариант 7 сразу исключается из рассмотрения, т.к. в нем оказываются ис-
тинными две конъюнкции, что противоречит условию задачи. В вариантах 2, 3
и 5 истинными являются по два высказывания b и o, b и s, o и s соответственно,
что также противоречит условию задачи, т.к. известно, что преступник один.
Отсюда следует, что всем требованиям условия задачи отвечает только один
вариант – 4, т.е. преступник – Березовский.
Он – известный мошенник, т.к. оба его высказывания b и s ложны; оба
высказывания Ольховского b и s – истинны, он – известный журналист; у
Сосновского первое высказывание o ложно, второе s – истинно, он – политик.
32
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гиндикин, С.Г. Алгебра логики в задачах / С.Г. Гиндикин. – М. :
Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. – 288 с.
2. Замятин, А.П. Математическая логика : учеб. пособие / А.П. Замя-
тин. – Екатеринбург : Изд-во Урал ун-та, 2004. – 140 с.
3. Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и
теории алгоритмов : учеб. изд. / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. – 5-е изд. –
М. : Физматлит, 2004. – 256 с.
4. Лихтарников, Л.М. Математическая логика : учеб. пособие для вузов /
Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачёва. – 4-е изд. – СПб. : Лань, 2009. – 288 с.
Учебное электронное текстовое издание
Опарин Дмитрий Всеволодович
ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Часть II. Совершенные нормальные формы, приложение
алгебры логики к релейно-контактным схемам,
решение логических задач
Редактор Н.В. Лутова.
Компьютерная верстка авторская.
Рекомендовано Методическим советом ФГОАУ ВПО УрФУ
Разрешено к публикации 08.06.2015
Электронный формат – pdf
Объем 1,69 уч.-изд. л.
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
ЦНОТ ИТОО УрФУ