2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ
ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 1
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
• Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο
ευθύγραμμο τμήμα , δηλαδή ένα
ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα
θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο
άκρο λέγεται αρχή και το δεύτερο τέλος
ή αλλιώς πέρας. Το διάνυσμα με αρχή το σημείο Α και πέρας το σημείο Β
συμβολίζεται ΑΒ����
.
• Όταν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν (ταυτίζονται)
τότε το διάνυσμα λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται 0�
.
• Μέτρο ή μήκος του διανύσματος ΑΒ����
λέγεται η απόσταση των άκρων
του, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Το μέτρο του
διανύσματος ΑΒ����
συμβολίζεται ΑΒ����
.
Ειδικά όταν είναι 1ΑΒ =����
τότε το ΑΒ����
λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα.
• Φορέας ενός μη μηδενικού διανύσματος λέγεται η ευθεία πάνω στην
οποία βρίσκεται το διάνυσμα. ( για ένα μηδενικό διάνυσμα ΑΑ����
ως φορέα
μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από το Α)
• Δύο μη μηδενικά διανύσματα ,ΑΒ Γ∆���� ����
λέγονται παράλληλά ή αλλιώς
συγγραμμικά όταν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς.
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση.
Συμβολίζονται / /ΑΒ Γ∆���� ����
•
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 2
•
• Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια
κατεύθυνση (φορά και διεύθυνση) και ίσα μέτρα.
Δηλαδή και
ΑΒ↑↑ Γ∆ΑΒ = Γ∆⇔
ΑΒ = Γ∆
���� ����
���� ����
���� ����
Ειδικά όταν ΑΒ = Γ∆���� ����
και τα
διανύσματα βρίσκονται σε
παράλληλους φορείς , τότε το
τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι
παραλληλόγραμμο!
• Αν είναι Μ το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ τότε ΑΜ =ΜΒ����� �����
• Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται
αντίθετα όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση
και ίσα μέτρα.
Αν τα διανύσματα ,ΑΒ Γ∆���� ����
είναι αντίθετα
τότε γράφουμε ήΑΒ = − Γ∆ Γ∆= − ΑΒ���� ���� ���� ����
• ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 3
Όταν είναι �( ), 0 ,α β και θ α β≠ =
�� �� � �� �� τότε ισχύουν τα παρακάτω:
� 0α β θ↑↑ ⇔ =�� ��
� (180 )οα β θ π↑↓ ⇔ =�� ��
� (90 )2
οπα β θ⊥ ⇔ =�� ��
, τότε τα διανύσματα λέγονται ορθογώνια
� Γενικά η γωνία θ δύο διανυσμάτων μπορεί να πάρει τιμές 0 θ π≤ ≤
• ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
� Με τον κανόνα των διαδοχικών διανυσμάτων:
� Με τον κανόνα του παραλληλογράμμου:
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 4
• ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Η διαφορά του διανύσματοςβ��
από το διάνυσμα α��
ορίζεται ως το άθροισμα
των διανυσμάτων α��
και β−��
. Δηλαδή είναι ( )α β α β− = + −�� �� �� ��
• Διάνυσμα θέσης ή διανυσματική ακτίνα
Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη
διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη
διανυσματική ακτίνα της αρχής.
Έστω Ο σημείο αναφοράς , τότε για ένα διάνυσμα ΑΒ����
ισχύει : ΑΒ =ΟΒ−ΟΑ���� ���� ����
• Μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων
Για δύο οποιαδήποτε διανύσματα ,α β�� ��
ισχύει:
α β α β α β− ≤ + ≤ +�� �� �� �� �� ��
(τριγωνική ανισότητα)
Ειδικές περιπτώσεις:
� 0 0ή ήα β α β α β α β+ = + ⇔ ↑↑ = =�� �� �� �� �� �� �� � �� �
� 0 0ή ήα β α β α β α β+ = − ⇔ ↑↓ = =�� �� �� �� �� �� �� � �� �
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 5
• Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.
• Ιδιότητες πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα
1. ( )λ α β λ α λ β⋅ + = ⋅ + ⋅�� �� �� ��
2. ( )λ µ α λ α µ β+ ⋅ = ⋅ + ⋅�� �� ��
3. ( ) ( )λ µ α λ µ α⋅ ⋅ = ⋅ ⋅�� ��
Ισχύει η ισοδυναμία: 0 0 0ήλ α λ α⋅ = ⇔ = =�� � �� �
� Αν λ α λ β⋅ = ⋅�� ��
τότε
� Αν λ α µ α⋅ = ⋅�� ��
τότε
• Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων.
Για δύο διανύσματα , 0α β µε β ≠�� �� �� �
ισχύει η ισοδυναμία
/ / ,α β α λ β λ⇔ = ⋅ ∈�� �� �� ��
ℝ
� , 0α β α λ β λ↑↑ ⇔ = ⋅ ≥�� �� �� ��
� , 0α β α λ β λ↑↓ ⇔ = ⋅ ≤�� �� �� ��
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 6
• Διανυσματική ακτίνα του μέσου.
Αν είναι Μ το μέσον του τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς τότε
( )1
2ΟΜ = ⋅ ΟΑ+ΟΒ����� ���� ����
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΣ 1Η Πως αποδεικνύουμε μια διανυσματική ισότητα.
Για να δείξουμε μια διανυσματική ισότητα συνήθως θεωρούμε ένα σημείο
ως σημείο αναφοράς και εκφράζουμε όλα τα διανύσματα της ισότητας με αρχή
το σημείο αυτό . Εφαρμόζουμε δηλαδή την πρόταση: κάθε διάνυσμα στο χώρο
ισούται με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική
ακτίνα της αρχής. ( ΑΒ =ΟΒ−ΟΑ���� ���� ����
)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε να αποδειχθεί ότι ΑΒ−Γ∆ = ΕΒ −Ε∆ + ΑΓ���� ���� ���� ���� ����
ΜΕΘΟΔΟΣ 2Η Πως δείχνουμε ότι δύο σημεία ταυτίζονται
Για να δείξουμε ότι δύο σημεία Α , Β ταυτίζονται ( Α≡Β ) αρκεί να
δείξουμε ότι σχηματίζουν μηδενικό διάνυσμα. Δηλαδή 0ΑΒ =���� �
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 7
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Αν ισχύει ∆Ε + ΓΚ = ΓΕ − Α∆ + ΒΚ���� ���� ���� ���� ����
, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α και Β
ταυτίζονται.
ΜΕΘΟΔΟΣ 3Η Πως δείχνουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι
παραλληλόγραμμο.
Για να δείξουμε ότι τέσσερα σημεία μη
συνευθειακά ανά τρία , σχηματίζουν
παραλληλόγραμμο αρκεί να δείξουμε ότι έχει
δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.
Άρα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι
παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν ισχύει
ΑΒ = Γ∆� ή ισοδύναμα ΑΒ=∆Γ���� ����
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Έστω Α,Β,Γ,Δ σημεία μη συνευθειακά ανά τρία για τα οποία ισχύει
ΑΕ − ∆Ζ = ΖΒ−ΕΒ− ΓΒ���� ���� ���� ���� ����
, όπου Ε,Ζ δύο τυχαία σημεία του επιπέδου. Να
αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 8
ΜΕΘΟΔΟΣ 4Η Πως προσδιορίζουμε τη θέση ενός σημείου.
Για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου πχ Μ που ικανοποιεί μια
διανυσματική ισότητα , τότε με κατάλληλους μετασχηματισμούς προσπαθούμε
να φτάσουμε σε μια νέα σχέση από την οποία να προσδιορίζεται η θέση του Μ.
Αν φτάσουμε στη σχέση 0 ότ τεΑΜ = Μ ≡ Α����� �
Αν φτάσουμε στη σχέση ότ τεΑΜ = ΑΒ Μ ≡ Β����� ����
Αν φτάσουμε στη σχέση .ό έτ τε µ σον τουΑΜ =ΜΒ Μ ΑΒ����� �����
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Αν ισχύει ΑΒ = ΜΒ+ΜΓ −ΒΓ���� ����� ���� ����
να
προσδιοριστεί η θέση του σημείου Μ.
ΜΕΘΟΔΟΣ 5Η Πως δείχνουμε ότι δύο διανύσματα είναι ομόρροπα ή αντίρροπα.
Κριτήριο για ομόρροπα: α β α β α β↑↑ ⇔ + = +�� �� �� �� �� ��
Κριτήριο για αντίρροπα: α β α β α β↑↓ ⇔ + = −�� �� �� �� �� ��
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα , ,α β γ�� �� �
για τα οποία ισχύουν:
07 4 3
α β γα β γ και+ + = = =
�� �� ��� �� � �
. Να αποδειχθεί ότι ,α β γ β↑↓ ↑↑�� �� � ��
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 9
ΜΕΘΟΔΟΣ 6Η Πως δείχνουμε ότι ένα διάνυσμα είναι ΣΤΑΘΕΡΟ.
Έστω διάνυσμα v�
το οποίο είναι γραμμένο ως γραμμικός συνδυασμός
άλλων διανυσμάτων των οποίων ένα ή περισσότερα άκρα τους είναι μεταβλητά
σημεία . Για να δείξουμε ότι το διάνυσμα v�
είναι σταθερό αρκεί με
κατάλληλους μετασχηματισμούς να γράψουμε το v�
ως πράξη διανυσμάτων με
άκρα σταθερά σημεία . (συνήθως θεωρούμε σημείο αναφοράς κάποιο από τα
σταθερά σημεία)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Για οποιοδήποτε σημείο Μ να αποδειχθεί ότι το
διάνυσμα 4 7 3u = ⋅ΜΑ− ⋅ΜΒ− ⋅ΓΜ� ����� ����� ����
είναι σταθερό.
ΜΕΘΟΔΟΣ 7Η Πως δείχνουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά.
Για να δείξουμε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε
ότι δύο από τα διανύσματα , ,ΑΒ ΑΓ ΒΓ���� ���� ����
είναι παράλληλα μέσω της συθήκης
παραλληλίας διανυσμάτων. (παράλληλα με κοινό σημείο άρα οι φορείς
ταυτίζονται άρα τα σημεία είναι συνευθειακά)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ,Κ,Λ για τα οποία ισχύει
5 9 4 3 4ΑΚ − ΒΚ −ΓΛ = ΛΒ+ ΑΛ− ΓΚ���� ���� ���� ���� ���� ����
Να δειχθεί ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ΑΠΟΔΕΙΞΗ
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 10
ΜΕΘΟΔΟΣ 8Η Πως δείχνουμε διανυσματικές ισότητες που περιέχουν ένα
ή περισσότερα μέσα τμημάτων.
Κάνουμε χρήση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου.
Αν είναι Μ το μέσον του τμήματος ΒΓ τότε:
( )1
2ΑΜ = ΑΒ+ΑΓ����� ���� ����
ή αλλιώς
2 ⋅ΑΜ = ΑΒ+ΑΓ����� ���� ����
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Αν είναι Κ,Λ,Μ,Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ,ΓΔ ΔΑ τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, και
Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου , να δειχθεί ότι :
ΡΚ +ΡΛ+ΡΜ+ΡΝ = ΡΑ+ΡΒ+ΡΓ+Ρ∆���� ���� ���� ���� ���� ���� ��� ���
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 11
ΜΕΘΟΔΟΣ 9Η Επίλυση εξίσωσης
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν τα σημεία Α , Β είναι διαφορετικά να βρεθεί ο
πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει 3 3x x⋅Α∆− ⋅ΑΓ = ⋅Β∆− ⋅ΒΓ���� ���� ���� ����
ΜΕΘΟΔΟΣ 10Η Γραμμικός συνδυασμός
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ τέτοιο ώστε 3 0ΒΜ+ ⋅ΓΜ =����� ���� �
Α) Να γραφεί το διάνυσμα ΑΜ�����
ως γραμμικός συνδυασμός των
διανυσμάτων ,ΑΒ ΑΓ���� ����
Β) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β ώστε:
8 6 α β⋅ΑΜ − ⋅ΑΒ = ⋅ΒΓ − ⋅ΑΓ����� ���� ���� ����
ΛΥΣΗ
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 12
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
ΑΣΚΗΣΗ 1Η
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Ε το μέσο της ΑΓ. Θεωρούμε επίσης τα σημεία Δ και Ζ
τέτοια ώστε: 2∆Β = Α∆ ΓΖ = ΒΓ���� ���� ���� ����
και
Α) Να δειχθεί ότι 1
3Α∆ = ΑΒ���� ����
Β) Να γραφεί το διάνυσμα ∆Ε����
ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων
ΑΒ και ΑΓ���� ����
Γ) Να δειχθεί ότι τα σημεία Δ , Ε , Ζ είναι συνευθειακά.
ΑΣΚΗΣΗ 2Η
Έστω α , β , γ� � �
τα διανύσματα θέσης των σημείων Α , Β , Γ αντίστοιχα ως προς
ένα σημείο Ο. Έστω επίσης τα σημεία Κ , Λ , Μ για τα οποία ισχύουν
5 83 , ,
2 3ΑΒ = ΒΚ ΛΓ = ΛΒ ΑΜ = ΑΓ���� ���� ���� ���� ����� ����
Α) Να γραφούν τα διανύσματα , ,ΟΚ ΟΛ ΟΜ���� ���� �����
ως γραμμικός συνδυασμός των
διανυσμάτων α , β , γ� � �
.
Β) Να δειχθεί ότι τα σημεία Κ , Λ , Μ είναι συνευθειακά.
ΑΣΚΗΣΗ 3Η
Στο διπλανό σχήμα είναι Ο∆=α , ΟΓ=β���� � ���� ��
και ΟΑ= Ο∆3���� ����
. Αν είναι Γ το μέσον της ΟΒ
τότε: Α) Να γραφούν τα διανύσματα
, ,∆Β ΑΓ ∆Γ���� ���� ����
ως γραμμικός συνδυασμός
των διανυσμάτων α , β� �
.
Β) Αν ,∆Μ = ⋅∆Β ΓΜ = ⋅ΓΑ���� ���� ���� ����
µ λ , να
βρεθούν οι αριθμοί μ και λ.
ΑΣΚΗΣΗ 4Η
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Κ , Λ τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα.
Α) Να δειχθεί ότι ( )1
2ΚΛ = ⋅ Α∆ +ΒΓ���� ���� ����
Β) Να δειχθεί ότι 0ΛΑ+ΛΒ+ΚΓ+Κ∆ =���� ���� ���� ���� �
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 13
ΑΣΚΗΣΗ 5Η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε,Ζ τέτοια ώστε
2 4, ,
3 5Α∆ = ΑΒ ΑΖ = ΑΓ ΓΕ = ΒΓ���� ���� ���� ���� ���� ����
Α) Να γραφούν τα διανύσματα και∆Ε ∆Ζ���� ����
ως γραμμικός συνδυασμός
των διανυσμάτων καιΑΒ ΑΓ���� ����
Β) Να δειχθεί ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ
Α/Α ΠΡΟΤΑΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1 Αν ισχύει όλ α λ β τ τε α β⋅ = ⋅ =
�� �� �� ��
2 Ισχύει : ΚΛ = ΟΚ −ΟΛ���� ���� ����
3 Αν ισχύει όλ α µ α τ τε λ µ⋅ = ⋅ =�� ��
4 Ισχύει ότι ΑΒ = ΟΑ+ΒΟ���� ���� ����
5 Τα αντίρροπα διανύσματα έχουν αντίθετη διεύθυνση.
6 Όταν δύο διανύσματα είναι αντίθετα έχουν ίσα
μέτρα.
7 Αν είναι :
7 , 5 , 12 όα β α β τ τε α β+ = = = ↑↓�� �� �� �� �� ��
τότε τα διανύσματα α και β�� ��
είναι αντίρροπα.
8 Αν ισχύει
2
3ΑΒ = ΒΓ���� ����
τότε τα σημείο Α βρίσκεται
μεταξύ των σημείων Β και Γ.
9 Ισχύει ότι: α β α β α β+ = + ⇔ ↑↑�� �� �� �� �� ��
10 Αν είναι 0ΑΒ =���� �
τότε τα σημεία Α και Β
αναγκαστικά συμπίπτουν.
11 Το διάνυσμα
1α
α⋅��
�� είναι μοναδιαίο. ( )0α ≠�� �
12 Ο φορέας του διανύσματος
1 1γ α β
α β= ⋅ + ⋅� �� ���� ��
διχοτομεί τη γωνία των φορέων των
διανυσμάτων α και β�� ��
. ( )0 0α και β≠ ≠�� � �� �
13 Αν για τα διανύσματα α και β�� ��
ισχύει α α β= ⋅�� �� ��
τότε αναγκαστικά είναι 0α =�� �
.
14 Ο φορέας του διανύσματος γ β α α β= ⋅ + ⋅� �� �� �� ��
διχοτομεί τη γωνία των φορέων των
διανυσμάτων α και β�� ��
.
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 14
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ – ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
• ( ),u x i y j x y= ⋅ + ⋅ =� � �
• 2 2u x y= +�
• , 0u
yx
xλ = ≠�
• Συντεταγμένες διανύσματος με
γνωστά άκρα:
2 1 2 1( , )AB x x y y= − −����
• Συντελεστής διεύθυνσης
διανύσματος – ευθύγραμμου
τμήματος 2 11 2
2 1
,y y
x xx x
λΑΒ
−= ≠
−����
Δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για διανύσματα παράλληλα στον
άξονα y΄y.
Αν / / 0x΄x όα
α τ τε λ =����
• Μέτρο διανύσματος - μήκος ευθύγραμμου τμήματος
( ) ( ) ( )2 2
2 1 2 1AB AB x x y y= = − + −����
• Συντεταγμένες μέσου τμήματος με
γνωστά άκρα
1 2 1 2,2 2
x x y yx y
+ += =
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 15
• Παραλληλία διανυσμάτων ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x yα β= =�� ��
( )/ / det , 0α β α β⇔ =�� �� ��� ��
ΠΡΟΤΑΣΗ Αν ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x yα β= =�� ��
δύο διανύσματα με συντελεστές
διεύθυνσης 1 2,λ λ τότε ισχύει : 1 2/ /α β λ λ⇔ =�� ��
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
( ) 1 11 2 1 2
2 2
/ / det , 0 0 0x y
x y y xx y
α β α β⇔ = ⇔ = ⇔ ⋅ − ⋅ =�� �� ��� ��
1 2 01
1 2 1 2
x x xx y y x
÷ ⋅ ≠
⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ 2
1
y
x
⋅ 1 2
2
y x
x
⋅=
⋅ 1 2x x⋅ 1 2λ λ⇔ =
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1Η
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 16
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2Η
Αν ( ) ( ) ( )2,1 , 1, 4 , 6, 7Α − Β Γ − τρεις κορυφές του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ να
βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Δ.
ΛΥΣΗ
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3Η
Αν είναι ( ) ( ) ( )3, 1 , 5, 3 , 0, 2∆ − Ε − Ζ − τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΑΓ και ΒΓ
αντίστοιχα , τριγώνου ΑΒΓ , να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α ,Β,Γ.
ΛΥΣΗ
• Δ μέσο του ΑΒ άρα 2
2
x xx
y yy
Α Β∆
Α Β∆
+ = ⇔
+ = ⇔
• Ε μέσο του ΑΓ άρα 2
2
x xx
y yy
Α ΓΕ
Α ΓΕ
+ = ⇔
+ = ⇔
• Ζ μέσο του ΒΓ άρα 2
2
x xx
y yy
Β ΓΖ
Β ΓΖ
+ = ⇔
+ = ⇔
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 17
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4Η
Να γραφεί το διάνυσμα ( )3,2α =��
ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων
( ) ( )1,4 3, 5β και γ= − = −�� �
ΛΥΣΗ
Αρκεί να βρεθούν κατάλληλοι αριθμοί κ και λ τέτοιοι ώστε : α κ β λ γ= ⋅ + ⋅�� �� �
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5Η
Δίνονται τα σημεία ( ) ( ) ( )0, 1 , 2,3 , 1, 4 7 ,k k kΑ − Β Γ − − ∈ℝ
Να βρεθεί για ποια τιμή του k τα σημεία είναι συνευθειακά.
ΛΥΣΗ
( ),B A B Ax x y yΑΒ = − − =����
( ),A Ax x y yΓ ΓΑΓ = − − =����
Αφού θέλουμε Α,Β,Γ συνευθειακά αρκεί
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 18
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6Η
Δίνονται τα σημεία ( ) ( )7,5 , 1, 3Α − Β − − .
Α) Να βρεθούν τα σημεία του άξονα x΄x που απέχουν απόσταση 5 μονάδων
από το Β .
Β) Να βρεθεί το σημείο του άξονα x΄x που ισαπέχει από τα Α και Β.
ΛΥΣΗ
Α) Έστω ( ),0xΜ το ζητούμενο σημείο.
Πρέπει ( ) ( ) ( )2 25 5x x y yΜ Β Μ ΒΒΜ = ⇔ − + − =
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 19
ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
ΟΡΙΣΜΟΣ:
ΠΡΟΣΟΧΗ: Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι:
ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ
• α β β α⋅ = ⋅�� �� �� ��
(αντιμεταθετική ιδιότητα)
• 0α β α β⊥ ⇔ ⋅ =�� �� �� ��
• ( ) ( ), ........ , .......α β α β συν α β α β↑↑ ⇔ = ⇔ = ⇔ ⋅ =�� �� �� �� �� �� �� ��
ɵ ɵ
• ( ) ( ), ........ , .......α β α β συν α β α β↑↓ ⇔ = ⇔ = ⇔ ⋅ =�� �� �� �� �� �� �� ��
ɵ ɵ
• 2
2α α=�� ��
ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
Αν είναι ( ) ( )1 1 2 2, y , , yx xα β= =�� ��
τότε : 1 2 1 2y yx xα β⋅ = ⋅ + ⋅�� ��
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
• ( ) ( ) ( ) ,α λ β λ α β λ α β λ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∈�� �� �� �� �� ��
ℝ
• ( )α β γ α β α γ⋅ + = ⋅ + ⋅�� �� � �� �� �� �
(επιμεριστική ιδιότητα)
• 1 , , / /a aα β
β λ λ β⊥ ⇔ ⋅ = −�� ��
� �� � ��y΄y
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ 3ΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ
ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ
1) α β α β⋅ ≤ ⋅�� �� �� ��
(πότε ισχύει η ισότητα;)
2) ( )2 2 2α β α β⋅ ≤ ⋅�� �� �� ��
(πότε ισχύει η ισότητα;)
3) ( ) ( )α β γ α β γ⋅ ⋅ ≠ ⋅ ⋅�� �� � �� �� �
(πότε ισχύει η ισότητα;)
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 20
ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Έστω δύο διανύσματα , 0α β ≠�� �� �
τότε από τη σχέση ( ),α β α β συν α β⋅ = ⋅ ⋅�� �� �� �� �� ��
ɵ
προκύπτει ( ),α β
συν α βα β
⋅=
⋅
�� ���� ��ɵ �� ��
Αν είναι ( ) ( )1 1 2 2, y , , yx xα β= =�� ��
τότε : ( ) 1 2 1 2
2 2 2 21 1 2 2
y y,
y y
x x
x xσυν α β
⋅ + ⋅=
+ ⋅ +
�� ��ɵ
ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
, vα = ΟΑ = ΟΜ�� ���� � �����
1 vα
προβΟΜ = ��
������ �
Αποδεικνύεται ότι:
v vα
α α προβ⋅ = ⋅ ��
�� � �� �
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Δίνονται τα διανύσματα ( ) ( )3,2 , 2,10α β= =�� ��
Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος α��
πάνω στο διάνυσμα β��
(β
προβ α����
)
καθώς και η προβολή του διανύσματος β��
πάνω στο διάνυσμα α��
(α
προβ β����
)
ΛΥΣΗ
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 21
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1Η
Δίνονται τα διανύσματα ,α β�� ��
για τα οποία ( )4 , 3 , , 60οα β α β= = =�� �� �� ��
ɵ
Α) να βρεθεί το εσωτερικό γινόμενο α β⋅�� ��
Β) να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος 2γ α β= −� �� ��
ΛΥΣΗ
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2Η
Για δύο οποιαδήποτε διανύσματα ,α β�� ��
να αποδειχθεί ότι ισχύει:
2 2 2 22 2α β α β α β+ + − = +
�� �� �� �� �� ��
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 22
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3Η
Δίνονται τα διανύσματα ,α β�� ��
για τα οποία ( ) 22 , 3 , ,
3α β συν α β= = =�� �� �� ��
ɵ
Να βρεθεί η τιμή του k ώστε ( ) ( )8 4kα β α β⋅ − ⋅ ⊥ − ⋅�� �� �� ��
Να βρεθεί το μέτρο του 4γ α β= − ⋅� �� ��
ΛΥΣΗ
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4Η
Δίνονται τα διανύσματα ( ) ( )1, , 3, 4 ,k k kα β= − = − + ∈�� ��
ℝ
Να βρεθεί η τιμή του k ώστε ( ) ( )13 3α β α β+ ⊥ ⋅ + ⋅�� �� �� ��
ΛΥΣΗ
• α β+ =�� ��
• 13 3α β⋅ + ⋅ =�� ��
• ( ) ( )13 3α β α β+ ⊥ ⋅ + ⋅ ⇔�� �� �� ��
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 23
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5Η
Δίνονται τα διανύσματα , ,α β γ�� �� �
για τα οποία 2 , 3 , 5α β γ= = =�� �� �
και
2 0α β γ⋅ + − =� �� �� � �
. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο α β⋅�� ��
.
ΛΥΣΗ
2 0 2α β γ γ α β⋅ + − = ⇔ = ⋅ +� �� �� � � � � �� ��
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6Η
Δίνονται τα διανύσματα ,α β�� ��
για τα οποία ( )3 , 2 , , 60οα β α β= = =�� �� �� ��
ɵ
Α) να βρεθεί το εσωτερικό γινόμενο α β⋅�� ��
Β) να βρεθεί το εσωτερικό γινόμενο α γ⋅�� �
Γ) να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος 2 3γ α β= − ⋅� �� ��
Δ) να βρεθεί η γωνία ( ),α γ�� �ɵ
ΛΥΣΗ
Α) α β⋅�� ��
=
Β) ( )2 3α γ α α β⋅ = ⋅ − ⋅ =�� � �� �� ��
Γ)
Δ) ( ),α γ
συν α γα γ
⋅= =
⋅
�� ��� �ɵ �� �
Άρα ( ),α γ�� �ɵ =
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 24
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7Η
Δίνονται τα διανύσματα ( ) ( )3,1 , 2, 1α β= = −�� ��
.Να βρεθεί η γωνία ( ),α β�� ��ɵ
ΛΥΣΗ
• 1 2 1 2x x y yα β⋅ = ⋅ + ⋅ =�� ��
• 2 21 1x yα = + =
��
• 2 22 2x yβ = + =
��
• ( ),α β
συν α βα β
⋅= =
⋅
�� ���� ��ɵ �� ��
Άρα ( ),α β�� ��ɵ =
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7Η
Δίνονται τα διανύσματα ( ) ( )3,4 , 4,7α β= =�� ��
Να αναλυθεί το διάνυσμα β��
σε δύο κάθετες συνιστώσες , μια από τις οποίες να
είναι παράλληλη στο διάνυσμα α��
.
ΛΥΣΗ
Έστω 1 2 1 2, / /β β β µε β α και β α= + ⊥�� ��� ��� ��� �� ��� ��
Αφού είναι 1 / /β α��� ��
άρα:
Αφού είναι 2β α⊥��� ��
άρα:
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 25
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ (ΑΠΟ ΤΡΑΠΕΖΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ)
ΑΣΚΗΣΗ 1Η
ΑΣΚΗΣΗ 2Η
ΑΣΚΗΣΗ 3Η
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 26
ΑΣΚΗΣΗ 4Η
ΑΣΚΗΣΗ 5Η
ΑΣΚΗΣΗ 6Η
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 27
ΑΣΚΗΣΗ 7Η
ΑΣΚΗΣΗ 8Η
ΑΣΚΗΣΗ 9Η
2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 28
ΑΣΚΗΣΗ 10Η
ΑΣΚΗΣΗ 11Η
ΑΣΚΗΣΗ 12Η