1
ی عا ه یسبا عا ه سبا
سيستم هاي كنترل بهينه سيستم هاي كنترل بهينه
بيژن معاوني [email protected]
1387بهمن
2
رئوس مطالب مقدمه، تعاريف•تابع معيار و ارزشيابي عملكرد•برنامه ريزي پويا•حساب تغييرات•روش تغييراتي در مسائل كنترل بهينه•
2
3
نحوه ارزيابي دوره تمرين•
) نمره5( نمره1هر تمرين •پروژه•
نمره3•امتحان پايان ترم•
نمره12•
4
مراجع•D.E. Kirk ،ترجه دكتر نيكروش، انتشارات ، مقدمه اي بر تئوري كنترل بهينه :
.دانشگاه صنعتي اميركبير • Anderson, B., and Moore, J., Optimal Control: Linear-Quadratic
Methods, Prentice Hall, 1990.
• Hull, D. Optimal Control Theory for Applications, Springer-Verlag,
2003.
• Kwakernaak, H., and Sivan, R., Linear Optimal Control Systems, Wiley, 1972.
• F. Lewis, V.L. Syrmos, Applied Optimal Control and Estimation: Digital
Design & Implementation , Prentice Hall, 1992.
3
5
مقدمه:فصل اول: تعريف عام سيستم كنترل بهينه •
محدوديت ها يا قيود بطوري كه در تعيين سيگنال كنترل را حداقل و يا معيار معيني صدق كرده و در ضمن فيزيكي
.حداكثر نمايد
:آماده سازي يك مساله كنترل بهينه •.ديناميكي آن مدل سازي سيستم بصورت مشخص نمودن معادالت. 1.مشخص نمودن و تعريف رياضي محدوديت هاي فيزيكي . 2).مشخص نمودن تابع هزينه ( تعيين معيار عملكرد سيستم . 3
6
مدل سازي سيستم : مدل سازي سيستم •
خروجي سيستم به ساده -توصيف ديناميك و نحوه ارتباط ورودي در اين درس مدلسازي به توصيف سيستم با . (ترين صورت ممكن
معادالت ديفرانسيل معمولي محدود مي شود، به عبارت ديگر بحث خواهد LTIاصلي توصيف سيستم به صورت معادالت فضاي حالت
)بود
•u(t) : سابقه مقادير سيگنال كنترل .•x(t) : سابقه مقادير وضعيت يا حالت .
)()()(
)()()())(),(()(
tDutCxty
tButAxtxtutxatx
4
7
مدل سازي سيستم )1-1(4شكل ص : 1.1-1مثال •
)()(
)(11
00)(
00
10)()()(
)()()(
2
1
tdtx
ttttdtx
tttd
BrakeAccelerate
uxx
8
محدوديت ها و قيود فيزيكي در كنترل بهينه الزم است محدوديتهاي فيزيكي بر روي حالت ها •
. و كنترل ها تعريف گردد : 1.1-2مثال •
:محدوديت روي حالت–: متوقف شودe شروع كند و در نقطه Oاگر اتومبيل از حالت سكون در نقطه •
1 0
10
2 0
2
( ) 01
( ) 0( ) , ( )
0 0( ) 02
( ) 0
ff
f
x t
x t e et t
x t
x t
x x
5
9
محدوديت ها و قيود فيزيكي :1.1-2ادامه مثال •
:اگر اتومبيل هرگز عقب نرود•
: محدوديت هاي ورودي –
: محدوديت سوخت •
)(0
)(03
2
1
tx
etx
SystemBrakeonDependtuM
PowerMotoronDependMtu
0)(
)(04
22
11
ft
t
Gdttxktuk0
)()(5 2211
10
محدوديت ها و قيود فيزيكي 8ص)1-3(شكل : 1.1-2ادامه مثال •
6
11
محدوديت ها و قيود فيزيكي ):Admissible Control(تعريف كنترل قابل قبول •
سيگنال كنترلي كه در تمام زمان مورد نظر در محدوديت هاي ورودي .صدق نمايد) كنترل(
):Admissible Trajectory(منحني مسير قابل قبول •منحني مسير متغير وضعيت كه در تمام زمان مورد نظر در محدوديت هاي
.حالت صدق نمايد
12
ارزيابي عملكرد عملكرد يك سيستم، طراح بايد نحوه كمي به منظور ارزيابي •
و در يك انتخاب نموده را )هزينه (تابع معيار ارزيابي عملكرد يا . نمايد حداقليا / وحداكثر آن را سيستم كنترل بهينه
Performance: عملكرد•
Cost Function: تابع هزينه•
در مورد مثال اتومبيل اگر بخواهيم فاصله دو نقطه را در : 1.1-3مثال–يا به عبارت ديگر با ماكزيمم سرعت طي /كمترين زمان ممكن و: نماييم آنگاه تابع هزينه
0ttJ f
7
13
مسأله كنترل بهينهمسأله اي كه در اين درس به دنبال حل آن هستيم عبارت •
: است از
كه باعث مي شود سيستم*uكنترل قابل قبول : را تعقيب نموده و تابع هزينه زير را حداقل نمايد *xمسير قابل قبول
u* :كنترل بهينهx* :منحني مسير بهينه
)),(),(()( tttat uxx
ft
t
ff dttttgtthJ0
)),(),(()),(( uxx
14
) چند نكته(مسأله كنترل بهينه
: باشد كه مسأله وجود نداشته براي جوابي ممكن است . 1 .قابل قبول باشد•.مسير مطلوبي را طي نمايد•
الزم به ذكر است كه پيدا نمودن جواب معموال ساده تر از اثبات .يا عدم وجود جواب است /وجود و
. وجود نداشته باشد جواب منحصر به فردي امكان دارد . 2ترهاي طراح مي تواند يكي از جواب ها را انتخاب نمايد و يا با تعريف پارام •
... و اضافي كه در تابع هزينه در نظر گرفته نشده اند مانند قيمت، اندازه .انتخاب خود را انجام دهد
8
15
) چند نكته(مسأله كنترل بهينه
حداقل مطلق ما به دنبال پاسخي هستيم كه تابع هزينه را به . 3 . برساند
: باعث حداقل شدن تابع معيار مي شود*uبه عبارت ديگر اگر •
X : مجموعه مسير ها و يا حاالت قابل قبولU : مجموعه ورودي هاي قابل قبول
Uu
Xx
uxxuxx
:
)),(),(()),(()),(),(()),((00
****
where
dttttgtthdttttgtthJff t
t
ff
t
t
ff
16
) چند نكته(مسأله كنترل بهينه
14ص )1-5(شكل
) 15ص( 1.1-5مثال
9
17
)Optimal Policy( سياست بهينه
: اگر يك رابطه تابعي به صورت: تعريف
ت بتوان براي كنترل بهينه بدست آورد آن را قانون كنترل بهينه يا سياس . بهينه مي نامند
)),(()(* ttft xu
18
يادآوري
:نمايش سيستم ها در فضاي حالت . مزاياي اين نوع توصيف در درس كنترل مدرن نشان داده شد
سيستم غيرخطي و متغير با زمان –
متغير با زمان ناسيستم غيرخطي و –
سيستم خطي و متغير با زمان –
)LTI( سيستم خطي و نا متغير با زمان –
)),(),(( ttt uxax
))(),(( tt uxax
)()()()( ttBttA uxx
)()( tBtA uxx
10
19
يادآوري
:نمايش سيستم ها در فضاي حالت : معادالت خروجي
سيستم غيرخطي و متغير با زمان –
)LTI( سيستم خطي و نا متغير با زمان –
.در اين درس كليه خروجي ها در دسترس و قابل اندازه گيري مي باشند
)),(),(()( tttt uxcy
)()()( tDtCt uxy
20
يادآوري
حل معادالت حالت:LTIبراي سيستم
ft
t
dButtxtttx0
)(),()(),()( 00
)()()0()()( 111 sBAsIAsIt uxx _
11
21
يادآوري
:LTIشرط كنترل پذيري حالت براي سيستم
:LTIشرط رؤيت پذيري حالت براي سيستم
rNonsingulaBABAABB nc ],,,,[ 12
rNonsingulaCACACAC TnTTTTTTo
],,,,[
12
1
1
تابع معيار يا ارزشيابي عملكرد :فصل دوم مقدمه
:آماده سازي يك مساله كنترل بهينه •.ديناميكي آن مدل سازي سيستم بصورت مشخص نمودن معادالت. 1.مشخص نمودن و تعريف رياضي محدوديت هاي فيزيكي . 2).مشخص نمودن تابع هزينه ( تعيين معيار عملكرد سيستم . 3
SISO و LTIمعيارهاي متعارف براي سيستم هاي
…
2
تابع معيار يا ارزشيابي عملكرد :فصل دوم مقدمه
SISO و LTIمعيارهاي متعارف براي سيستم هاي •
حوزه فركانس ) پاسخ پله و شيب(حوزه زمان)Phase Margin ( حد فاز-1)Rise Time( زمان صعود-1
خطاي حالت ماندگار-4(steady state Error)
پهناي باند-4
ماكزيمم دامنه -Overshoot(3( در صد فراجهش-3
)Gain Margin( حد بهره -2)Settling Time (زمان نشست -2
2
3
تابع معيار براي مسائل كنترل بهينه يادآوري
به طوري كه باعث شود سيستم *uهدف يافتن كنترل بهينه
را كه باعث حداقل شدن تابع هزينه زير مي گردد *xمسير قابل قبول : را تعقيب نمايد
)),(),(()( tttat uxx
ft
t
ff dttttgtthJ0
)),(),(()),(( uxx
4
مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها مسأله حداقل زمان -1
انتقال سيستمي از شرايط اوليه دلخواهي به يك مجموعه هدف در حداقل زمان
: مثالاتومبيل در فصل اول •موشك ضد هواپيما •چرخش رادار •
.مسائلي كه زمان رسيدن به حالت نهايي داراي اهميت است
ft
t
f dtttJ0
0
3
5
مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها ) خطاي حالت ماندگار حداقل( مسأله كنترل وضعيت نهايي -2
حداقل كردن انحراف وضعيت نهايي سيستم از مقدار مطلوب آن : يك تابع معيار مناسب عبارت است از .
چرا از توان دو خطا براي تعريف تابع معيار استفاده شده است؟چرا از توان دو خطا براي تعريف تابع معيار استفاده شده است؟••آيا مي توان از قدرمطلق خطا براي تعريف تابع معيار استفاده نمود؟آيا مي توان از قدرمطلق خطا براي تعريف تابع معيار استفاده نمود؟••
n
ififi trtxJ
1
2)]()([
)( ftr
6
مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها ) خطاي حالت ماندگار حداقل( مسأله كنترل وضعيت نهايي -2
بازنويسي تابع معيار
تابع نرم براي يك بردار عبارت است از مجموع توان ).مشخص كننده توان و اندازه بردار( دوي عناصر آن بردار
)]()([)]()([ ffT
ff ttttJ rxrx
2)()( ff ttJ rx
2
4
7
مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها ) خطاي حالت ماندگار حداقل( مسأله كنترل وضعيت نهايي -2
تابع معيارWeightingوزن دهي يا
نيمه معين/متقارن، حقيقي و مثبت معين : Hخصوصيات ماتريس
بوسيله اين ماتريس امكان ارزش گزاري و تمايز در اهميت ما بين بوسيله اين ماتريس امكان ارزش گزاري و تمايز در اهميت ما بين ––همچنين امكان نرماليزه نمودن پارامترها همچنين امكان نرماليزه نمودن پارامترها . . حالت ها وجود خواهد داشتحالت ها وجود خواهد داشت
. . نيز وجود خواهد داشتنيز وجود خواهد داشت
2)()()]()([)]()([
HrxrxHrx ffff
Tff ttttttJ
8
مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها ) 41شكل ص(وزن دهي تابع معيار مسأله كنترل وضعيت نهايي و -2
)(
5000)(
0
0])(5000)([
)]([]5000)([
22
11
222
211
f
fff
ff
t
tl
h
httl
thtlhJ
5
9
مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها وزن دهي تابع معيار مسأله كنترل وضعيت نهايي و -2
اهميت يكسان در انحراف برد و سمت نرماليزه بودن متغيرهاي زاويه سمت و برد نسبت به هم
1122
112
22
22
11
222
211
)01.0
50(
)(
5000)(
0
0])(5000)([
)]([]5000)([
hh
hh
t
tl
h
httl
thtlhJ
f
fff
ff
10
مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها )Minimum Control Effort( مساله حداقل تالش كنترلي -3
براي مداري با منبع ولتاژ و عناصر غير ذخيره كننده انرژي، فرض كنيدu(t) ،منبع ولتاژ باشد و هدف كنترل با حداقل انرژي تلف شده باشد
براي حداقل نمودن u(t)آنگاه با توجه به ارتباط مستقيم جريان منبع با : انرژي تابع معيار عبارت خواهد بود از
:در صورت داشتن چند منبع ورودي با ارزش گذاري متفاوتft
t
dttuJ0
)(2
ff
PDMatrixWeighting
t
tR
t
t
T dttdtttJ00 )(
2)()()( uuRu
6
11
مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها ) Tracking( مساله تعقيب -4
و وضعيت x(t)يا حالت /دست يافتن به حداقل فاصله ما بين وضعيت و : تا در محدوده زمان r(t)مطلوب 0t
f
PSDMatrixWeighting
t
tt
dtttJ0
)(
2
)()()(
Qrx
ft
رابطه ( ) اگر محدوديت روي سيگنال كنترل وجود داشته باشد فوق كافي است، وليكن در صورت عدم وجود محدوديت رابطه فوق موجب حاصل شدن ورودي هايي غير عملي به صورت ضربه يا مشتقات
به منظور جلوگيري از اين اتفاق مي توان از تابع معيار . آن خواهد شد:زير سود جست
ft
tttdttttJ
0
2
)(
2
)()()()(
RQurx
)(tui
12
مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها ) Regulators( مساله تنطيم كننده ها -5
له در صورتي كه در مسأله تعقيب باشد مساله تعقيب به مسا. تنظيم كننده تبديل مي گردد
ft
t
dttxJ0
2)(
0)( tr
7
13
انتخاب تابع معيار :هدف از انتخاب تابع معيار
ارائه يك تابع رياضي به صورتي كه حداقل شدن مقدار آن تابع نشان .دهنده آن باشد كه سيستم در مطلوب ترين وضعيت عمل مي نمايد
:53ص ) فرود هواپيما بر روي عرشه كشتي(مثال
زاويه حمله زاويه اوج
.) بسيار كوچك فرض شده است( زاويه مسير پرواز :h ارتفاع سطح پرواز از عرشه كشتي
:
:
:
14
: 53ص ) فرود هواپيما بر روي عرشه كشتي ( مثال
: معاالت حاكم بر سيستم • 230���/�� يا 160 ���سرعت ثابت
) 2-8(شكل
4444342
2322
4321
0
0
0
;
0
1000
00
0010
,,,
)()()(
b
b
aaa
aaA
xxhxhx
ttt
buAxx
8
15
:56ص ) فرود هواپيما بر روي عرشه كشتي ( مثال
: مسير فرود متعارف • ثانيه مدت زمان فرود به طول 30 فوتي از كشتي در نتيحه حدود 7050 فوتي و فاصله 450ارتفاع
.خواهد انجاميد درجه5: زاويه اوج مطلوب •
16
:56ص ) فرود هواپيما بر روي عرشه كشتي(مثال
9
17
:58و 57ص ) فرود هواپيما بر روي عرشه كشتي(مثال
1
1
برنامه ريزي پويا :فصل سوم مقدمه
تعيين پس از تعيين تابع معيار براي يك سيستم نوبت به •. نمايد حداقل مي رسد كه كه اين تابع را تابع كنترل
دو روش حداقل يابي –)استفاده از كامپيوتر ديجيتال در حل مساله ( برنامه ريزي پوياي بلمن •اصل حداقل يابي پونترياگين•
2
اصل بهينگي )بهينه يابي(اصل بهينگي
يا تصميم /يك سياست بهينه داراي اين خاصيت است كه شرايط اوليه وتصميم گيري باقي مانده نيز بايد يك سياست , گيري اوليه هرچه باشد
.بهينه را با توجه به حالت ايجاد شده از تصميم گيري بسازد: به عنوان مثال –
2
3
)67 ص 3-2شكل(كاربرد اصل بهينگي در تصميم گيري
يك روش محاسباتي است كه با تصميمات متوالي برنامه ريزي پويا يك سياست و مسير بهينه را معين مي كند
4
برنامه ريزي پويا و مساله مسير بهينه
. از هر حالت اوليه h رسيدن به نقطه :هدف. فقط امكان حركت در يك جهت •هر تقاطع : وضعيت•انتخاب جهت : تصميم •
8
2
3
3
2
3
8
5
9
5
a
b C
d e
f g
h
3
5
برنامه ريزي پويا و مساله مسير بهينه C شرايط اوليه :فرض
8
2
3
3
2
3
8
5
9
5
a
b C
d e
f g
h
15105** dhcdcdh JJC
853** fhcfcfh JJC8}8,15min{},min{ *** cfhcdhch CCJ
. خواهد بود f رفتن به cدر نتيجه تصميم بهينه در
6
برنامه ريزي پويا و مساله مسير بهينه يافتن يا :لذا مساله جديد
8
2
3
3
2
3
8
5
9
5
a
b C
d e
f g
h
523** ghfgfh JJJ
]}[,min{ **
fhefeheh JJJJ
.به سمت نقطه شروع حركت كنيم) مقصد (در نتيجه الزم است از انتها
*fhJ*
dhJ
4
7
روش كلي :برنامه ريزي پويا و مساله مسير بهينه : قراردادها
)تقاطع(وضعيت فعلي : •,در وضعيت ) كنترل(تصميم مجاز : •.مجاور با اعمال ) تقاطع(وضعيت : •.وضعيت نهايي : •
مقدار تابع هزينه براي حركت از به : •حداقل هزينه براي رسيدن به حالت نهايي از : •حداقل هزينه براي رفتن از به از طريق : •حداقل هزينه براي رفتن از به از هر مسير مجاز : •.در ) كنترل(تصميم بهينه : •
iu
WSEN
i
4,3,2,1
ix
iu
h
ixixJ
ix *hxi
Jhix *
hxiC
*hJ
h )(* u
8
حل مساله مسير بهينه با استفاده از برنامه ريزي پويا
5
9
سيستم كنترل بهينه -3-5
)()()(: tbutaxtxsys
1)(1
5.1)(0:.
tu
txCons
T
dttuTxJfunctionCost0
22 )()(:
Q1: How can solve the Differential Equation
using D.P.?
10
سيستم كنترل بهينه -3-5
)()()(: tbutaxtxsys
Q1: How can solve the Differential Equation
using D.P.?
R1: Change Differential Eq.
to Difference Eq.
)()()()(
:Eq. Difference tbutaxt
txttx
6
11
سيستم كنترل بهينه -3-5
)()()()(
???:Eq. Difference
tbutaxt
txttx
12
سيستم كنترل بهينه -3-5
)(..)()..1()(
??? :Eq. Difference
tutbtxtattx
Nktkutbtkxtatkx
tkt
,...,1,0 ),(..).().1()].1([
: then . :if
Nkkutbkxtakx ,...,1,0 ),(..)().1()1( Nkkutbkxtakx ,...,1,0 ),(..)().1()1(
7
13
سيستم كنترل بهينه -3-5
tN
tN
t
t
t
dttNudttudtutNxJ)1(
22
2
0
22 ))1(()()0()(
14
سيستم كنترل بهينه -3-5
)1()1()0(.)( 2222 NuuuttNxJ
1
0
22 )(.)(N
k
kutNxJ
8
15
سيستم كنترل بهينه -3-5
1,01)(1
2,1,05.1)(0
)1(2)0(2)2(
1,0)()()1(
2
1
1
0
)()()(
222
kku
kkx
uuxJ
kkukxkx
T
t
b
a
tbutaxtx : مثال•
:كوانتيزه نمودن مقادير ورودي و حالت ها
1,5.0,0,5.0,1)(
5.1,0.1,5.0,0)(
ku
kx
16
سيستم كنترل بهينه -3-5: مثال•
9
17
سيستم كنترل بهينه -3-5: مثال•
18
ميان يابـي -3-6ل به در صورتي كه مقادير حالت سيستم در هر مرحله توسط مقادير قانون كنتر•
عددي مقادير كوانتيزه شده حالت منجر نگردد به منظور دست يافتن به مقدار )3-4شكل (. خواهيم بودميان يابيتابع هزينه در مقدار حالت جديد نيازمند
6875.0)25.0(275.0))1((
75.0)25.0(1)1()1()2(22*
12 xJ
uxx
10
19
)3-4جدول -ادامه( ميان يابـي -3-6
09375.1]6875.05.1[2
16875.0)25.1(*
12 J
4375.0]1875.06875.0[2
11875.0)75.0(*
12 J
20
)بازنويسي روابط در حالت كلي( رابطه توالي برنامه ريزي پويا -3-7
: با گسسته سازي•Uwhere
ttgthJ
tttft
f
u
uxx
uxax
,
))(),(())((
))(),(()(
0
)57.3())(),((.)()1(
))(),((.)()(
kktkk
tttttt
uxaxx
uxaxx
)67.3())(),(()1(
kkk D uxax
11
21
)بازنوسي روابط در حالت كلي( رابطه توالي برنامه ريزي پويا -3-7
:تاثير گسسته سازي بر تابع هزينه Uwhere
ttgthJ
tttft
f
u
uxx
uxax
,
))(),(())((
))(),(()(
0
)77.3())(())(),(())(()1(
2
00
tN
tN
t
t
tt
f gdtgdtgdtNhttgthJf
xuxx
: در صورتي كه دوره تناوب نمونه برداري به اندازه كافي كوچك باشد
1
0
))(),(())((N
k
kukxgtNhJ x
1
0
))(),(())((N
kD kkgNhJ uxx
22
)نحوه تعيين قانون كنترل( رابطه توالي برنامه ريزي پويا -3-7
: مراحل تعيين قانون كنترل
)87.3())(),(())((1
0
akkgNhJN
kD
uxx
)67.3())(),(()1(
kkk D uxax
))(())((:0. , NxhNJS NN
x
))((
,1
,
))(())1(),1(())1(),1((:1.NJ
DNN
NN
NxhNNgNNJSx
uxux
)))1(),1((a())1(),1(())1(),1(( ,,1
NNJNNgNNJ DNNDNN uxuxux
12
23
)نحوه تعيين قانون كنترل( رابطه توالي برنامه ريزي پويا -3-7: در نتيجه هزينه بهينه عبارت است از
)))1(),1((a())1(),1((min))1(( ,)1(
*,1
NNJNNgNJ DNNDNu
NN uxuxx
)1),1(( :Control Optimal * NNxu
:2.S
))1(),1(())2(),2((
))(())1(),1(())2(),2((
))1(),2(),2((
,1
,2
NNJNNg
NhNNgNNg
NNNJ
NND
DD
NN
uxux
xuxux
uux
)))1(),1((a())2(),2((min))2(( ,1)1(),2(
*,2
NNJNNgNJ DNNDNuNu
NN uxuxx
: با توجه به اصل بهينگي
))1(())2(),2((min))2((
))2(),2((a
*
)2(
*,2 ,1
NUnX
DNu
NN
D
NNNJNNgNJ xuxx
24
)نحوه تعيين قانون كنترل( رابطه توالي برنامه ريزي پويا -3-7
: مرحله اي kلذا براي پروسه
)))1((())(),((min))2((
))(),((a
*
)(
*, ),1(
kNUknX
DkNu
NkN
D
NkNkNJkNkNgNJ xuxx
موده و براي يك پروسه چند مرحله اي ابتدا با يك پروسه صفر مرحله اي اغاز ن.خواهيم رسيد.... دو مرحله اي و , سپس به پروسه يك مرحله اي
13
25
جمع بندي ( روش محاسباتي براي حل مسأله كنترل بهينه-3-8
) حل مساله بر اساس روش برنامه ريزي پويا: مدل گسسته سيستم مشخص گردد-1
)))1((())(),((min))2((
))(),((a
*
)(
*, ),1(
kNUkNX
DkNu
NkN
D
NkNkNJkNkNgNJ xuxx
:قانون كنترل بهينه محاسبه گردد ) توالي ( با استفاده از برنامه ريزي پويا و معادله برگشتي -3
1,,1,0 ));(),((a)1( Nkkukxk D x
هدف يافتن قانون كنترلي است كه اين تابع هزينه را مينيمم ( تابع معيار مشخص گردد -2):نمايد
)28.3())(),(())((1
0
N
kD kkgNhJ uxx
: قانون كنترل بهينه -41,,1,0 );),((* NkkNkN xu
26
) ادامه( روش محاسباتي براي حل مسأله كنترل بهينه-3-8
:تنها نكته باقيمانده به تعداد محدودي مقادير كوانتيزه است مقادير وضعيت ها و كنترل ها نحوه تقسيم بندي
.بر اساس محدوديت هاي آنها
nrx
xxs
r
rrr ,,2,11min max
integer
):وضعيت( متغير حالت nبه عنوان مثال براي يك سيستم با
tkfor t ... 21 nsssS
: ورودي يا قانون كنترل mهمچنين براي يك سيستم با
m
q
qqq
cccC
mqu
uuC
...
,,2,11
21
min max
integer
14
27
)ادامه( روش محاسباتي براي حل مسأله كنترل بهينه-3-8:روشن كننده ويژگي مسأله خواهد بود) 3-5(براي يك سيستم مرتبه دوم شكل زير
28
)ادامه( روش محاسباتي براي حل مسأله كنترل بهينه-3-8.نحوه برنامه نويسي مطالعه گردد
1k
1i )( kNi x
Cj ,,2,1 )( kNj u
)1(),( kNjix )1(),(*
)1( kNxJ jikN
ionInterpolat
)(),( )()(*, kNkNC iiNkN ux
1 ii
1 kk
15
29
برنامه ريزي پويا پاسخ مشخصات -3-9چرا كه از جستجوي مستقيم , مي گردد)Global Minimum(منجر به حداقل مطلق •
در اين راه جستجو بر اساس تمامي كنترل ها صورت نمي پذيرد بلكه . استفاده مي گردد).3-7شكل (بر اساس استفاده از اصل بهينگي انجام مي پذيرد
30
برنامه ريزي پويا پاسخ مشخصات -3-9.حضور محدوديت ها موجب ساده تر شدن حل مسأله مي گردد•
.كنترل حاصل از پاسخ برنامه ريزي پويا يك كنترل حلقه بسته است •
يك سيستم : مثال( حجم محاسبات به نسبت عدد گذاري مستقيم كاهش يافته است•).)3-5(جدول مقدار در كنترل 4 مقدار كوانتيزه شده در وضعيت و 10مرتبه اول با
.مشكل ابعاد و افزايش نياز به حافطه در مسائل با ابعاد بزرگ•
)),(f(* ttxu
16
31
تنظيم كننده خطي- نتايج تحليلي-3-10
(There is no constraint on states and controls))()()1( kkk BuAxx
:FunctionCost
1
0
)]()()()([2
1)()(
2
1 N
k
TTT kkkkNN J RuuQxxHxx
P.D. Symmetric, :
P.S.D Symmetric, :
R
Q H,
:0 Step )()( 2
1 NNJ T
NN Hxx
:1 Step
)1()1(2
1)1()1(
2
1
)()0()( 2
1))1(),1((,1
NNNN
NNNN J
TT
TNN
RuuQxx
xPxux
32
)ادامه(تنظيم كننده خطي - نتايج تحليلي-3-10
:با توجه به نبود محدوديت روي كنترل ها الزم است مشتق گرفته شود
)1()1(2
1)1()1(
2
1
)()0()( 2
1))1(),1((,1
NNNN
NNNN J
TT
TNN
RuuQxx
xPxux
0)1(
)1(
)1(
)1(
,1
,1
2
,1
1
,1
N
J
Nu
J
Nu
J Nu
J
NN
m
NN
NN
NN
u
) نوع اكسترمم(الزم است به منظور تحليل پاسخ . مشتق دوم بررسي و تحليل گردد, اين معادله
8)-(3.10
0)]1()1()[0()1( NNN T BuAxPBRu
17
33
)ادامه(تنظيم كننده خطي - نتايج تحليلي-3-10
)1(
)1()1()1()1()1(
)1()1()1()1()1(
)1()1()1()1()1(
2
,12
2,1
2
2
,1
1
,1
2
,1
22
,12
12
,12
1
,1
21
,1
21
,12
N
J
Nu
J
NuNu
J
NuNu
J
NuNu
J
Nu
J
NuNu
J NuNu
J
NuNu
J
Nu
J
NN
m
NN
m
NN
m
NN
m
NNNNNN
m
NNNNNN
u
:مينيمم مطلق تابع هزينه متناظر خواهد بود) 3.10-8(در نتيجه پاسخ معادله
P.D.N
J TNN : )0()1(2
,12
BPBRu
10)-(3.10 )1()1( )1()0())0(()1( 1* N-N-NN TT xFAxPBBPBRu
34
)ادامه(تنظيم كننده خطي - نتايج تحليلي-3-10
12)-(3.10 )2()2( )2()1())1(()2( 1* N-N-NN TT xFAxPBBPBRu
:همچنين در صوت برگشت به يك مرحله قبل
:در نتيجه
QRFFBFAPBFAP
xPx
xQRFF
BFAPBFAx
)1()1()]1()[0()]1([)1(
)1()1()1(2
1
)1(})1()1(
)]1()[0()]1(){[1(2
1))1((*
,1
NNNN
NN
NNN
NNNNxJ
TT
T
T
TTNN
10)-(3.10 )1()1( )1()0())0(()1( 1* N-N-NN TT xFAxPBBPBRu
18
35
)ادامه(تنظيم كننده خطي - نتايج تحليلي-3-10
16)-(3.10 )()(
)()()1()(
)]()1()()([)( 1*
N-kN-k
kNkNkkN
kNkkNkNkNT
T
xF
xAPB
BPBRu
ه در حالت كلي براي يك سيستم خطي متغير با زمان گسسته و براي كنترل ب :صورت تنظيم كننده خطي
يادآور فيدبك حالت
36
)ادامه(تنظيم كننده خطي - نتايج تحليلي-3-10
19)-(3.10 )()1()(
)]()1()()([)( 1
kNkkN
kNkkNkNkNT
T
APB
BPBRF
20)-(3.10 )()()()(
)]()()([
)1()]1()()([)(
kNkNkNkN
kNkNkN
kNkNkNk
T
T
QFRF
FBA
PFBAP
17)-(3.10 )()()(2
1
)()}()()()(
)]()()()[1(
)]1()()(){[(2
1))1((*
,
kNkkN
kNkNkNkNkN
kNkNkNk
NkNkNkNNxJ
T
T
TTNkN
xPx
xQFRF
FBAP
FBAx
:در نتيجه به منظور پياده سازي كامپيوتري
19
37
)ادامه(تنظيم كننده خطي - نتايج تحليلي-3-10
)(0539.0
0013.0)(
1591.11078.0
0539.09974.0)1( kkk uxx
):3.10-1(مثال
1
0
222
21 )](05.0)(05.0)(25.0[
2
1 :FunctionCost
N
k
kukxkxJ
05.005.00
025.00
RQH
38
)ادامه(تنظيم كننده خطي - نتايج تحليلي-3-10
)(0539.0
0013.0)(
1591.11078.0
0539.09974.0)1( kkk uxx
):3.10-1(مثال
20
39
)ادامه(تنظيم كننده خطي - نتايج تحليلي-3-10
)(0539.0
0013.0)(
1591.11078.0
0539.09974.0)1( kkk uxx
):3.10-1(مثال
40
) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11
)),(),(()( tttt uxax :صورت مسئله قبل از گسسته سازي
ft
t
ff dgtthJ0
)),(),(()),(( uxx
): imbedding principle(بر اساس اصل شمول
3)-(3.11 )),(),(()),(())(,),(( f
t
t
fftt
ttdgtthuttxJf
f
uxx
:هدف همچنان يافتن قانون كنترلي است كه تابع هزينه را مي نيمم نمايد
4)-(3.11 )),(()),(),((min)),(()(
*fff
t
tu
tttthdgttxJf
ftt
xux
21
41
) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11: با تقسيم محدوده زماني به دو قسمت
5)-(3.11 )),((min)),(()(
*fff
t
tt
tt
tu
tttthgdgdttxJf
ftt
x
:با استفاده از اصل بهينگي
6)-(3.11 )),((min)),((
)),((min)),((
*
)(
*
)),((
)(
*
*
ttttxJgdttxJ
tthgdgdttxJ
tt
tu
ttttxJ
ff
t
tt
tt
tu
ftt
f
ftt
x
42
) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11:با استفاده از تقريب بسط تيلور حول
:در صورتي كه به اندازه كافي كوچك باشد
H.O.T} )()()(
)),((
)),(()),(({min)),((
*
**
)(
*
txttxtx
ttxJ
tt
ttxJttxJgdttxJ
T
tt
tu
ftt
)),(( ttx
t
8)-(3.11 })()]),(),(()[),((
)),(()),(()),(),(({min)),((
*
**
)(
*
tOttttttJ
tttJttJttttgttxJ tu
ftt
uxax
xxux
x
22
43
) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11:با خارج نمودن جمالتي كه به وابسته نيستند
:با تقسيم بر و ميل دادن آن به سمت صفر
)(tu
t
9)-(3.11 0})()]),(),(()[),((
)),(),(({min)),((
*
)(
*
tOttttttJ
ttttgtttJftt
ut
uxax
uxx
x
)),(()),((
10)-(3.11 0})]),(),(()[),(()),(),(({min)),((
*
*
)(
*
ffff
ut
tthttJ
tttttJtttgttJ
xx
uxaxuxx x
: H ,هاميلتونينبا تعريف 12)-(3.11 )]),(),(()[),(()),(),(( ),),(),(( ** tttttJtttgtJtt uxaxuxux xx H
44
) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11
10a)-(3.11 0,),,),((),()),(( **** tJtJttttJt xxxuxx H
):H.J.B( بلمن -ژاكوبي-هاميلتوندر نتيجه معادله
),),(),((min,),,),((),( *
)(
*** tJtttJtJttt
xu
xx uxxux HH
) 3.11-1(مثال
T
dttuTxJ
tutxtx
0
22 )(4
1)(
2
1
)()()(
23
45
) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11
):3.11-1(مثال
T
dttuTxJ
tutxtx
0
22 )(4
1)(
4
1
)()()(
16)-(3.11 )]()()[),(()(4
1),),(),(( *2* ttttJtutJtt uxxux xx H
?)},),(),((min{),),),(),((),(( *** tJtttJttutxt
quation:he H.J.B eto solve t
xx uxux HH
)),((2)(
05.0
0)(5.0**
2
2
*
ttxJtu
u
Jtuu
x
x
H
H
46
) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11
0)]([][ 0]2)([]2[4
1 *2****2** txJJJJtxJJJ
tion:H.J.B equa
xxtxxxt
: فوقH.J.Bشرايط حدي براي حل معادله ديفرانسيل
)(4
1)),(( 2* TxTTxJ
).113-112ص (راه حل مسئله مي تواند حدس زدن پاسخ معادله باشد
24
47
تنظيم كننده خطي پيوسته-3-12): Quadratic(سيستمي با ديناميك خطي و تابع معيار مجذوري
)()()()()( ttttt uBxAx
:.H.J.Bتشكيل هاميلتونين به منظور استفاده از معادله P.D. & Symmetric :
P.S.D. & Symmetric :
)]()()()()()([2
1)()(
2
1
0
R
QH
uRuxQxHxx
,
dtttttttttJ T
t
t
Tff
Tf
)]()()()()[),((
)()()(2
1)()()(
2
1),),(),((
*
*
ttttttJ
tttttttJtt
T
TT
uBxAx
uRuxQxux
x
x
H
48
تنظيم كننده خطي پيوسته-3-12
10a)-(3.11 0,),,),((),()),(( **** tJtJttttJt xxxuxx H
:.H.J.Bبا توجه به معادله
)),(()()()(
P.D. :)(
0)),(()()()(*1*
2
2
*
ttJttt
t
ttJttt
xT
xT
xBRu
Ru
xBuRu
H
H
AxBBRQxx
BBRAxBBRQxxux
xxx
xxxxxx
TTTT
TTTTTT
JJtJ
JJJJtJtJtt
**1*
*1***1***
)(2
1
2
1
)(2
1
2
1),),(),((
H
25
49
تنظيم كننده خطي پيوسته-3-12: براي تنظيم كننده خطي عبارت خواهد بود از.H.J.Bدر نتيجه معادله
0)(2
1
2
1 **1** AxBBRQxx xxxTTTT
t JJtJJ
)()(2
1)),(( :Condition Marginal *
ffT
ff ttttJ Hxxx
)()()( )(: .P.D. & Symm:شكل پاسخ 2
1)),((* ttttttJ T KxKxx
02
1
2
1
2
1 1 KAxxKxBKBRxQxxxKx TTTTT
50
تنظيم كننده خطي پيوسته-3-12ر بازنويسي با توجه به اسكالر بودن عناصر معادله فوق مي توان آن را به صورت زي
:نمود0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1 KxAxKAxxKxBKBRxQxxxKx TTTTTTT
)( :Condition Marginal
4)-(3.12
0)()()()()()()()()()()( 1
HK
KAAKKBRBKQK
f
TT
t
ttttttttttt
معادله ريكاتي)Riccati (
26
51
.H.J.B جمع بندي معادله -3-13
. يك شرط الزم و كافي براي تابع هزينه مي نيمم است.H.J.Bمعادله • .H.J.Bدر بيشتر مواقع الزم است از حل عددي براي حل معادله حاصل از •
.استفاده نماييم. پلي ما بين برنامه ريزي پويا و روشهاي تغييراتي است.H.J.Bمعادله •
1
1
ی عا ه یسبا عا ه سبا
سيستم هاي كنترل بهينه سيستم هاي كنترل بهينه
:فصل چهارم حساب تغييرات
2
حساب تغييرات:فصل چهام مقدمه
و مسأله يافتن شكل هندسي با ماكزيمم Dido( مسأله بهينه يابي •)مساحت و محيط يكسان و برابر
نيوتن و مسأله تعيين شكل جسم متحرك با : ميالدي1700 اوايل •. كمترين مقاومت در مقابل خود
روشهاي پيشنهادي ): Brachistochrone (مسأله بارچيستوچرون •. ، نيوتن و هوپيتال)جان و جاكوب(براداران برنولي
:)4-1شكل (
A
B
2
3
حساب تغييرات:فصل چهام :شكل مساله بارچيستوچرون•
4
: مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1
عضو دامنه، ، را به يك نقطه منحصر به قانوني كه هر: 4-1تعريف •. نسبت مي دهد) Range( فرد برد
) فاصله از مبدا : ( مثال
يك تابعي، ، قانوني است كه به هر تابع، ، يك عدد حقيقي : 4-2تعريف •. نسبت مي دهد
: مثال
q
222
21)( nqqqf q q
ft
t
dttJ0
)x((x)
Jx
3
5
): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1
خطي بودن توابع : 4-3تعريف •
138ص ) 4.1-3(مثال شرط خطي بودن يك تابعي: 4-4 تعريف •
139ص ) 4.1-4(مثال
)(.)().()()()(
)(.).(2121
2121
qqqqqqqq
qqfff
fff
ff
)(x.)(x)x.(x)(x)(x)x(x
(x).x).()2()1()2()1(
)2()1()2()1(JJJ
JJJ
JJ
6
): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1
؛ قاعده اي كه به هر نقطه يك عدد نسبت )norm(تعريف نرم : 4-5تعريف •نرم ها الزم است كه در شرايط زير . .. . ) . توان و , معياري از اندازه(مي دهد
:صدق نمايند
141ص ) 4.1-5(مثال •
)2()1()2()1( .3
.. .2
00
0 .1
qqqq
q
||||
),(
211
22
212
21
qqqq
q
4
7
): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1
نرم تابع؛ قاعده اي كه به هر تابع، ، در فاصله زماني : 4-6تعريف •نرم تابع نيز الزم است كه در شرايط زير . يك عدد حقيقي نسبت مي دهد
:صدق نمايند
142ص ) 4.1-6(مثال )2()1()2()1( xxxx .3
x.x. .2
0x0x
0x .1
|}x(t){|max x0 fttt
xfttt 0
8
): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1 نمو يك تابع؛ اگر و عناصري باشند كه براي آنها: 4-7تعريف •
كه به صورت نشان داده مي شود نمو تابع مقدار داشته باشد، آنگاه :عبارت است از
143ص ) 4.1-7(مثال
ffqqq
)()( qqq fff
ا نمو يك تابعي؛ اگر و عناصري باشند كه براي آنه: 4-8تعريف • كه به صورت نشان داده مي شود نمو تابع مقدار داشته باشد، آنگاه
:عبارت است از
144ص ) 4.1-8(مثال
xxx JJ
(x)x)(x JJJ
5
9
): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1 مشتق يك تابع؛ اگر نمو يك تابع را بتوان به صورت زير : 4-9تعريف •
از است يك تابع خطي نوشت كه در آن
. ديفرانسيل پذير گويندو باشد، آنگاه را برحسب ديفرانسيل تابع
مشتق تابع
)4-3شكل (
dff
ttfttdf ).(),(
qqqqqqq ).,(),(),( gdff0),(lim
0
qg
),( qq df
fq
q
10
): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1 اگر نمو يك تابعي را بتوان به صورت زير نوشت كه در آن : 4-10تعريف •
از استيك تابع خطي
. ديفرانسيل پذير گويندو باشد، آنگاه را برحسب 147ص ) 4.1-9( مثال
xx).(x,x)(x,x)(x, gJJ
0x)(x,lim0x
g
J
Jx
x
حداقل و حداكثر نسبي :4-11تعريف •
Maximum Local:)( 0)()(
Minimum Local :)( 0)()( ;0 if
**
***
qqq
qqqqq
ffff
ffffε-ε
6
11
): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1)ادامه(حداقل و حداكثر نسبي :4-11تعريف •
بع صفر شرط الزم براي وجود يك نقطه اكسترمم آن است كه در اين نقاط مشتق تا.مي شود
)4-4(شكل ) 4.1-10(مثال
12
): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1حداقل و حداكثر نسبي يك تابعي :4-12تعريف •
Maximum Local:)(x 0)(x(x)
Minimum Local :)(x 0)(x(x)xx ;0 if
**
***
JJJJ
JJJJε-ε
قضيه اساسي حساب تغييرات •باشد، تغييرات روي ) اكسترمم ( اگر يك منحني نهايت ) با استفاده از برهان خلف -اثبات در كتاب : (بايد صفر شود، به عبارت ديگر
*xJ*x
0x),(x* J
7
13
: تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2كه تابعي هايي معيار را كه وابسته ) يك تابع(يافتن منحني : هدف•
.به يك تابع هستند را بهينه نمايد
حل مساله بهينه سازي تابعي و يافتن به صورتي كه : 1مسأله • داراي مشتقات مرتبه اول و دوم باشد، و ثابت و و
0t).4-6شكل (مشخص باشند J*x
)x( 0t
g
ft)x( ft
dttttgJft
t0
)),(x),(x(
definedctetxtxtt ff & )(),(,, 00
14
:1 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2: استفاده از نمو تابعي
dttttgtttttgJ
dttttg
dttttttgJ
f
f
f
t
t
t
t
t
t
0
0
0
)),(x),(x()),(x)(x),x()(x(x)(x,
)),(x),(x(
)),(x)(x),x()(x(x)(x,
8
15
:1 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:با كمك جستن از بسط تيلور
dttttgTOHggg
ggtttgJ
ft
t
)]),(x),(x(}..xxxx
xx
xx
xx
xx
)),(x),(x([{x)(x,
22
2
22
2
2
0
:با توجه به تعريف ديفرانسيل و ديفرانسيل پذيري
dtg
dt
dgg
dtg
dt
ddt
ggdt
ggJ
f
f
ff
f
f
t
t
tt
t
t
t
t
tt
t
t
x]xx
[xx
)xx
(]xx
[xx
]xx
xx
[x)(x,
0
0
00
0
0
16
:1 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2عبور كليه منحني ها (با توجه به مشخص بودن نقاط ابتدايي و انتهايي
):از نقاط مشخص شده
0)x(
0)x( 0
ft
t
:با توجه به قضيه اساسي بهينه سازي الزم است
dtg
dt
dgJ
ft
t
x]xx
[x)(x,0
0x]xx
[x)(x,.
.0
dtg
dt
dgJ
Cont
t
t
Cont
f
0
xx
:Eq.Euler
g
dt
dg
.) استxمعادله اولر شرط الزم براي يافتن تابع (
9
17
:1 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2نهايت تابعي؟: 4.2-1مثال
?
1)2
(
0)0(
)]()([)(
*
2
0
22
x
x
x
dttxtxxJ
:معادله اولر متناظر
0)](2[)(2- 0xx
txdt
dtx
g
dt
dg 0)()( txtx
01 :Polynomial Char. 2 s
ttxtctctx sin)(cossin)( *Conditions marginal21
18
:1 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2x*يا مي نييمم بودن /بررسي ماكزيمم و : 4.2-1ادامه مثال
1)2
(
0)0()2sin(sin)( *
x
xxxtttx
0)()( 04
3)( **2*
xJxxJxxJ
. يك ماكزيمم نيست : نتيجه قطعي
آيا يك مينيمم است؟ : سوال
*x
*x
10
19
: تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
حل مساله بهينه سازي تابعي و يافتن به صورتي كه : 2مسأله •).4-9شكل (داراي مشتقات مرتبه اول و دوم باشد
J*xg
freetx
definedctetxtt
f
f
:)(
& )(,, 00
dttttgJft
t0
)),(x),(x(
20
:2 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2، از نمو تابعي استفاده مي شود و ديفرانسيل تابعي 1مشابه حل مسأله
:مجددا با استفاده از انتگرال جزء به جزء داريم . محاسبه مي گردد
Arbitrary )x(
0)x( 0
ft
t
) 4-10شكل (براي حل مسأله .راه گشاست
dtg
dt
dggJ
f
f
t
t
tt x]
xx[x
xx)(x,
0
0
نشان مي دهد كه ) 4-10شكل ( 2اگر نقطه انتهايي مساله
باشد، آنگاه پاسخ يك مساله لذا الزم است در . نيز است1
.معادله اولر صدق نمايد
11
21
:2 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:با توجه به آنچه گفته شد
0x]xx
[xx
x)(x,0
0
dtg
dt
dggJ
f
f
t
t
tt
0xx
0)),(x),((xx
**
g
dt
dg
tttg
fff
0x]xx
[
0)x(.x
xx
0
0
dtg
dt
dg
tgg
f
f
f
t
t
fttt
:شرط حدي طبيعي
22
:2 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
222 1 )()( xdt
dJdtdxdJ
ترين طول منحني همواري كه نقطه را به خط با كم: 4.2-2مثال . متصل مي نمايد بيابيد
1)0( x5t
dJ
dtdx
x(t)
t
dtxdtxJg
5
0
212
5
0
2 ]1[1
12
23
:2 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2)ادامه: (4.2-2مثال
0)(1
)(-0 0
xx 2
tx
tx
dt
dg
dt
dg
0)( tx
21)( ctctx 1 10)0( 221 cccx
1)( 1 tctx
0x
g
0)(1
)(2
tx
tx
01 c 1)(* tx
24
:2 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
free :)2(
1)0(
)](4)()(2)([)(2
0
22
x
x
txtxtxtxxJ
: 4.2-3مثال
tt ecectx 22
21
* )( 0)(4)( 0
xx
txtxg
dt
dg
1)0( 21* ccx
0)(2)(2 0x
txtxg 022 2
22
12
22
1 tttt ecececec
03 42
41 ecec
444
4
2
44
4
1
1011.13
9999.03
3
ee
ec
ee
ec
13
25
: تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
حل مساله بهينه سازي تابعي و يافتن به صورتي كه : 3مسأله •).4-11شكل (داراي مشتقات مرتبه اول و دوم باشد
J*xg
freet
definedctetxtxt
f
f
:
& )(),(, 00
dttttgJft
t0
)),(x),(x(
26
:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2، با توجه به اينكه زمان نهايي مشخص نگشته 3به منظور حل مسأله
به صورتيكه اگر . است، لذا متد و روش حل متفاوت خواهد بود ت به ختم گردد مطابق شكل زير منحني را به ازاي تغييرا
در اين حالت نمو را به . زمان نهايي در نظر مي گيريم .)4-12شكل (صورت زير تشكيل مي دهيم
*x),( ff xt
),( fff xtt
14
27
:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
فقط قابل تعريف است مقدار در فاصله : تذكر. نيست زيرا براي قابل تعريف
)]()([)( * txtxtx fttt 0
)(* txfff tttt
:در اين حالت نمو را به صورت زير تشكيل مي دهيم
dttttgdttttgtttttg
dttttgdttttgtttg
dttttgdttttgJ
ff
f
f
ff
f
f
fff
tt
t
t
t
tt
t
t
t
t
t
tt
t
)),(x),(x()),(x),((x)),(x)(x),x()((x
)),(x),(x()),(x),((x)),(x),(x(
)),(x),((x)),(x),(x(x)(x,
0
0
00
****
**
**
28
:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:با استفاده از بسط تيلور حول و داريم )(* tx)(* tx
(.))(.)]),(x),((x[)),(x),((x
)]),(x),(x([)().),(x),((x
)()]),(x),(x([),(}{
)),(x),(x(
),()}),(x),((x)),(x),((x{
0
0
0
****
**
****
odttxtttx
g
dt
dttt
x
g
ttttgtxtttx
g
tottttgxxodtxx
gx
x
g
dttttg
xxodttttgxx
gx
x
gtttgJ
f
f
ff
f
f
t
t
ffffffff
fffff
t
t
tt
t
t
t
15
29
:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
(.))(x)]),(x),((xx
[
)x()]),(x),((xx
[
)),(x),((x)]),(x),(x(
**
**
**
ottttg
ttttg
tttgtttg
ffff
ffff
ffffff
)),(x),(x( fff tttg داريمحال با بسط تيلور حول : )),(x),((x ** tttg ff
:با جايگزاري از باال در رابطه نمو تابعي داريم
(.))(.)]),(x),((x[)),(x),((x
)]),(x),((x[)().),(x),((x
0
****
****
odttxtttx
g
dt
dttt
x
g
ttttgtxtttx
gJ
ft
t
ffffffff
30
:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2)),(x),(x( fff tttg داريمحال با بسط تيلور حول : )),(x),((x ** tttg ff
:تقريب خطي استفاده مي شود ،4-12با توجه به شكل
(.))(.)]),(x),((x[)),(x),((x
)]),(x),((x[))().(),(x),((x
0
****
*****
odttxtttx
g
dt
dttt
x
g
ttttgttxtttx
gJ
ft
t
fffffffff
uncertain
0:)x( ft fff ttft offunction a as : )()x(
0)()( * fff ttxtx ))()( *fff ttxtx
uncertain
0:)x( ft fff ttft offunction a as : )()x(
uncertain
0:)x( ft
16
31
:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
:با توجه به مسائل قبلي
ft
t
ffffffff
dttxtttx
g
dt
dttt
x
g
ttttgtxtttx
gxxJ
0
)(.)]),(x),((x[)),(x),((x
)),(x),((x)()),(x),((x),(
****
******
0)(
0)()),(x),((x)),(x),((x *****
x
g
dt
d
x
g
txtttx
gtttg fffffff
:شرايط حدي الزم
32
:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
ft
f
f dttxtxJ
t
tx
x
1
2 )](5.0)(2[ ,
1
4)(
4)1(
.منحني نهايت يا اكسترممي كه تابعي زير را مي نيمم نمايد: 4.2-4مثال
0)( )1
x
g
dt
d
x
g
2)( tx21
2)( ctcttx
0)()),(x),((x)),(x),((x )2 *****
fffffff txtttx
gtttg
0)()(5.0)(2 22 fff txtxtx
0)(5.0)(2 2 ff txtx
17
33
:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
4)1( x
:4.2-4ادامه مثال
5
9
6
2
1
ft
c
c
5
96)( 2
ft
tttx
41)1( 21 ccx
0)(5.0)(2 2 ff txtx
4)( ftx 4)( 212 ctcttx fff
05.02 212 cc
34
: تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
حل مساله بهينه سازي تابعي و يافتن به صورتي كه : 4مسأله •. داراي مشتقات مرتبه اول و دوم باشد
J*xg
freetxt
definedctetxt
ff :)(,
& )(, 00 dttttgJ
ft
t0
)),(x),(x(
تفاوت تعريف ( قابل توجه خواهد بود 4-13،شكل 4به منظور حل مسأله .)4-13شكل (. و fx )( ftx
18
35
:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:شروع حل اين مسأله مشابه مسأله قبل است تا رسيدن به اين معادله
(.))(.)]),(x),((x[)),(x),((x
)]),(x),((x[)().),(x),((x
0
****
****
odttxtttx
g
dt
dttt
x
g
ttttgtxtttx
gJ
ft
t
ffffffff
fff ttft offunction a as : )()x(
uncertain
0:)x( ft
:تقريب خطي استفاده مي شود ،4-13با توجه به شكل
)()( *ffff ttxtxx )()( *
ffff ttxxtx
36
:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:در نتيجه
(.))(.)]),(x),((x[)),(x),((x
)()]),(x),((x[)),(x),((x
.)),(x),((x
0
****
*****
**
odttxtttx
g
dt
dttt
x
g
ttxtttx
gtttg
xtttx
gJ
ft
t
ffffffff
ffff
): معادله كلي(لذا
ft
t
ffffffff
ffff
dttxtttx
g
dt
dttt
x
g
ttxtttx
gtttg
xtttx
gxxJ
0
)(.)]),(x),((x[)),(x),((x
)()]),(x),((x[)),(x),((x
.)),(x),((x),(
****
*****
***
19
37
:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:در دوحالت حل مساله بررسي مي شود
ft
t
ffffffff
ffff
dttxtttx
g
dt
dttt
x
g
ttxtttx
gtttg
xtttx
gxxJ
0
)(.)]),(x),((x[)),(x),((x
)()]),(x),((x[)),(x),((x
.)),(x),((x),(
****
*****
***
):و مستقل و مرتبط نيستند( حالت اول ft)( ftx
0)(
0)),(x),((x
0)()]),(x),((x[)),(x),((x
0)),(x),((x**
*****
**
x
g
dt
d
x
g
tttg
txtttx
gtttg
tttx
g
fff
fffffff
fff
38
:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2): و مرتبط هستند( حالت دوم )( ftx
0)(
0)()()]),(x),((x[)),(x),((x *****
x
g
dt
d
x
g
txtt
tttx
gtttg ffffffff
)()( ff ttx fff ttt
x )(
ft
t
fffffffffffff
dttxtttx
g
dt
dttt
x
g
ttxtttx
gtttgtt
tttt
x
gxxJ
0
)(.)]),(x),((x[)),(x),((x
)()]),(x),((x[)),(x),((x)(.)),(x),((x),(
****
********
ft
)شرط تقاطع(
20
39
:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
155)(
0)(
0
)](1[ 0
0
5.02
0 tt
tx
t
dttxJft
t
.منحني نهايت يا اكسترممي كه تابعي زير را مي نيمم نمايد: 4.2-5مثال
0)( )1
x
g
dt
d
x
g
0)(1
)(2
tx
tx
dt
d
0)( tx
21)( ctctx
0)()()]),(x),((x[)),(x),((x )2 *****
ffffffff txtt
tttx
gtttg
0)0( 0 tx 02 c tctx 1)(
40
21
41
:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
0)()()]),(x),((x[)),(x),((x )2 *****
ffffffff txtt
tttx
gtttg
):4-15شكل ( 4.2-5ادامه مثال
0)(5)(1
)()(1
2
2
f
f
ff tx
tx
txtx
0)(5)()(1 2 fff txtxtx 01)(5 ftx
015 1 c 2.01 c ttx 2.0)(
ffff ttttx 2.0155)()(* 88.2ft
42
:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
5.0]5[5.0)(
0)(
0
)](1[2
0
0
5.02
0 tt
tx
t
dttxJft
t
.منحني نهايت يا اكسترممي كه تابعي زير را مي نيمم نمايد: 4.2-6مثال
0)( )1
x
g
dt
d
x
g
0)(1
)(2
tx
tx
dt
d
0)( tx
21)( ctctx
0)0( 0 tx 02 c tctx 1)(
22
43
:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2
0)()()]),(x),((x[)),(x),((x )2 *****
ffffffff txtt
tttx
gtttg
:4.2-6ادامه مثال
0)(5)(1
)()(1
2
2
ff
f
ff txt
tx
txtx
0)(5)()(1 2 ffff txttxtx 01)()5( ff txt
01)5(1 ftc
5.0)5(5.0)()( 21
* ffff ttcttx 3
5.01
ft
cttx 5.0)(*
44
: تابعي هايي كه شامل چندين تابع مستقل باشند-4-3
با بهينه سازي توابعي كه فقط شامل يك تابع هستند 2-4در بخش در اين بخش تابعي ها به چندين تابع مستقل و . آشنا گرديديم
به عبارت ديگر در اين (مشتقات مرتبه اول آنها پيوسته هستند مورد 2-4فصل فرم ماتريسي مباحث مطرح شده در بخش
).بررسي قرار خواهد گرفت
23
45
: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3:نقطه انتهايي ثابت – الف 1مساله
dttxxxxxxgxxxJft
t
nnn 0
),,,,,,,,(),,,( 212121
iffiii
iiii
i
i
xtxxtx
t
g
x
g
x
g
t
g
x
g
x
g
x
x
)( ,)(
:and
Known & Continuous : , ,, , ,
continuous
functionst independen
:Where
00
2
2
2
2
2
2
46
: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3
dttxxxxg
txxxxxxxxgJ
nn
t
t
nnnn
f
)},,,,,,(
),,,,,,({
11
1111
0
:نقطه انتهايي ثابت – الف 1مساله .هدف يافتن كه تابعي را مي نيمم نمايد J )(* txi
: استفاده از قضيه اساسي و نمو تابع
:با استفاده از بسط تيلور
dtTOHdtxtxxxxx
g
xtxxxxx
gJ
inn
n
i i
i
t
t
nn
n
i i
f
...}),,,,,,(
),,,,,,(
111
111
0
24
47
: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3
:با توجه به اينكه
dtxtxxxxx
g
dt
dtxxxx
x
g
xtxxxxx
gJ
i
t
t
n
inn
inn
i
tt
n
iinn
i
f
f
0
0
11111
111
),,,,,,(),,,,,,(
),,,,,,(
0)( ,0)( 0 fii txtx . جمالت خارج انتگرال صفر است
با توجه به اينكه فقط به جمالت خطي وابسته است و استفاده از : انتگرال جزء به جزء
J
48
: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: در نتيجه
dtxtxxxxx
g
dt
dtxxxx
x
gJ i
t
t
nni
nni
f
0
),,,,,,(),,,,,,(0 1111
: ذا با توجه به اينكه الزم است براي هر زمان معادله فوق برقرار باشد، ل
0),,,,,,(),,,,,,( **1
*2
*1
**1
*2
*1
ni
ni
xxxxx
g
dt
dtxxxx
x
g
0)),(),(()),(),((
tttg
dt
dttt
gxx
xxx
x
25
49
: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3:هدف يافتن معادله اولر براي تابعي زير : 4.3-1مثال
ft
t
dttxtxtxttxtxJ0
)]()()()()([ 122
21
22
21
0)),(),(()),(),((
tttg
dt
dttt
gxx
xxx
x
0)()(2
)()(2
)(
)()(2*1
*2
2*2
*1
2
2*1
*2
*1
txtx
txtxt
dt
d
tx
txtx
0)()(2)()(2)(
0)()(2)(2)(4)()(2*1
*2
*1
*2
2*1
*2
*2
*1
2*1
*2
*1
txtxtxtxtx
txtxtxttxttxtx
50
: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: مطلوبست محاسبه منحني اكسترمم براي : 4.3-2مثال
0
1)(
1
0)0( )]()()(4)([ 4
0
2122
21
4
xxdttxtxtxtxJ
0)),(),(()),(),((
tttg
dt
dttt
gxx
xxx
x
0)(
)(
)(8
)(2*1
*2
*2
*1
tx
tx
dt
d
tx
tx
0)()(8
0)()(2*1
*2
*2
*1
txtx
txtx
tctcecectx
tctcecectxtt
tt
2sin2cos)(
2sin2cos)(
421
3212
2212
121*
2
432
22
1*1
26
51
: الف4 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: نقطه انتهايي آزاد و غيرمعين –الف -4مساله
dttgJft
t0
),,()( xxx
:4الف و مشابه مساله -4با شرايطي مشابه
dtttttg
dt
dttt
g
tttttg
tttg
tttg
J
ft
t
T
ffffff
ff
T
ffffff
f
T
fff
0
)()),(),(()),(),((
)()),(),(()),(),((
)),(),((0),(
****
*****
***
xxxx
xxx
xxxx
xx
xxxx
xx
52
: الف4 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: نقطه انتهايي آزاد و غيرمعين –الف -4مساله
:در نتيجه خواهيم داشت
18)-(4.3 0)()),(),(()),(),((
)),(),((
*****
**
ff
T
ffffff
f
T
fff
tttttg
tttg
tttg
xxxx
xx
xxxx
17)-(4.3 0)),(),(()),(),(( ****
ffffff tttg
dt
dttt
gxx
xxx
x
27
53
جمع بندي - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3):188ص ( 4-1جدول
54
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: مطلوبست محاسبه منحني اكسترمم براي : 4.3-3مثال
freedttxtxtxtxJ
2)(
5.1
1)0( )]()()()([ 4
0
2221
21
4
xx
0)),(),(()),(),((
tttg
dt
dttt
gxx
xxx
x
0)()(2
0)()(2*1
*2
*2
*1
txtx
txtx
0)(4)( *1
*1 txtx
4322*2
21*1
2sin2cos)(
2sin2cos)(21 ctctttx
tctctxcc
0)),(),(( 2**
2
f
T
fff xtttx
g xx 02)(2)( 34
*24
*1 cxx
28
55
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3): ادامه ( 4.3-3مثال
25.15.02
)0(
2c)(
1)0(
4441
2
241
11
cccc
x
x
cx
4322*2
21*1
2sin2cos)(
2sin2cos)(21 ctctttx
tctctxcc
22sin2cos)(
2sin22cos)(
21*
2
*1
tttx
tttx
56
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: مطلوبست محاسبه منحني اكسترمم براي : 4.3-4مثال
4
1)(
1
2)0(
)]()()()(2)()([4
0
22121
21
31
ft
dttxtxtxtxtxtxJ
xx
0)),(),(()),(),((
tttg
dt
dttt
gxx
xxx
x
0)(2)()(2
0)(2)()(2)(3*1
*2
*1
*2
2*2
*1
2*1
txtxtx
txtxtxtx
0)()),(),(()),(),(( *****
f
T
ffffff ttttg
tttg xxxx
xx
0)()()()(2)()( 2*2
*1
*2
*1
2*1
3*1 ff txtxtxtxtxtx
29
57
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: مطلوبست محاسبه منحني اكسترمم براي : 4.3-5مثال
ft
dttxtxtJ0
2 )]()([
0)),(),(()),(),((
ttxtxx
g
dt
dttxtx
x
g
0)(21 tx
212
41* )( ctctt x
58
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3):ادامه ( 4.3-5مثال
ft
dttxtxtJ0
2 )]()([
212
41* )( ctcttx
: حالت الف
75.2)1(
1
1)0(
x
t
x
f
2 75.2125.0)1(
1)0(
11*
2*
ccx
cx
12)( 241* tttx
30
59
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3):ادامه ( 4.3-5مثال
ft
dttxtxtJ0
2 )]()([ 21
241* )( ctctt x
:حالت ب
freex
t
x
f
)2(
2
1)0( 1)0( 2* cx
1)( 241* ttx
0)),(),(( **
fff ttxtxx
g
0)(2 ff txt
0225.0 112 cctt ff
01 c
60
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3):ادامه ( 4.3-5مثال
ft
dttxtxtJ0
2 )]()([ 21
241* )( ctcttx
:حالت ج
5)(
1)0(
f
f
tx
freet
x 1)0( 2* cx
12)( 241* tttx4 21 ftc
0)()),(),(()),(),(( *****
f
T
ffffff txttxtxx
gttxtxg
0)())(2()()( **2** ffffff txtxttxtxt 0)(* ftx
0)( 121* cttx ff
51)( 12
41* fff tcttx
212
41* )( ctcttx
31
61
) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4در بخش هاي گذشته منحني ها به گونه اي در نظر گرفته مي شدند
اين در حاليست كه . كه خود و مشتق مرتبه اولشان پيوسته باشند كنترل : مثال (در كنترل لزوما اين فرض همواره برقرار نخواهد بود
on-off ( يا چند /و اين امر موجب مي گردد كه داراي يك و. ناپيوستگي گردد
در اين فصل منحني هايي را در نظر مي گيريم كه داراي مشتقات به عبارت ديگر درفاصله . باشند پيوسته مقطعي مرتبه اول
. زماني محدود به تعداد محدودي ناپيوستگي داشته باشد
)(tx
)(tx
در زمانهايي كه ناپيوسته است، مي گوييم كه داراي : تعريف•. است) corner(كرانه
)(tx)(tx
62
) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4
),( 01 fttt
به منظور بررسي مساله و ارائه روش ابتدا تابعي هايي كه فقط شامل يك تابع هستند را در نظر مي گيريم و فرض مي كنيم در
.تابع ناپيوستگي دارد )(tx
dtttxtxgxJft
t0
)),(),(()(
)()( 2
1
1
1
0
)),(),(()),(),(()(
xJ
t
t
xJ
t
t
dtttxtxgdtttxtxgxJf
مم اگر يك منحني اكسترمم براي باشد، آنگاه يك منحني اكستر:توجه. مي باشدبراي در و يك منحني اكسترمم براي در
)(* txJ1J2J ),( 10 ttt),( 1 fttt
32
63
) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4):4-16(با توجه به قضيه اساسي بهينه سازي و با توجه به شكل
ft
t
t
t
dttxttxtxx
g
dt
dttxtx
x
g
ttxttxtxx
gttxtxgxttxtx
x
g
dttxttxtxx
g
dt
dttxtx
x
g
ttxttxtxx
gttxtxgxttxtx
x
gxxJ
1
1
0
)(.)]),(),(([)),(),((
)()]),(),(([)),(),((.)),(),((
)(.)]),(),(([)),(),((
)()]),(),(([)),(),((.)),(),((),(
****
11*
11*
1*
11*
1*
111*
1*
****
11*
11*
1*
11*
1*
111*
1**
64
) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4 برقرار با توجه به اينكه يك اكسترمم است و الزم است
:باشد، آنگاه )(* tx0),( * xxJ
0)]),(),(([)),(),(( :Eq.Euler )1 ****
ttxtxx
g
dt
dttxtx
x
g
0)()]),(),(([)),(),((
)()]),(),(([)),(),((
.)),(),(()),(),((
:Condition Marginally )2
11*
11*
1*
11*
1*
1*
11*
1*
11*
1*
111*
1*
11*
1*
ttxttxtxx
gttxtxg
txttxtxx
gttxtxg
xttxtxx
gttxtx
x
g
33
65
) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4در نتيجه شرايط مرزي را مي توان به صورت زير بازنوسي نمود، كه به
.معروف است Erdmann و Weierstassشرايط كرانه اي
)()]),(),(([)),(),((
)()]),(),(([)),(),(( 2.2.
)),(),(()),(),(( 2.1.
:t]independen :)(,[ conditionsCorner Erdmann & ss Weierstra)2
1*
11*
1*
11*
1*
1*
11*
1*
11*
1*
11*
1*
11*
1*
11
txttxtxx
gttxtxg
txttxtxx
gttxtxg
ttxtxx
gttxtx
x
g
txt
ايط در صورتي كه منحني مسير در لحظات مختلف داراي كرانه باشد، آنگاه شر: توجه.فوق الزم است در تمامي لحظات قطع صدق نمايد
)()]),(),(([)),(),((
)()]),(),(([)),(),(( 2.2.
)),(),(()),(),(( 2.1.
:t]independen :)(,[ conditionsCorner Erdmann & ss Weierstra)2
1*
11*
1*
11*
1*
1*
11*
1*
11*
1*
11*
1*
11*
1*
11
txttxtxx
gttxtxg
txttxtxx
gttxtxg
ttxtxx
gttxtx
x
g
txt
66
) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4 اگر و مستقل نباشند و داراي رابطه اي به صورت
: باشند، آنگاه
)),(),(()()()),(),((
)),(),(()()()),(),((
:])()()([ conditionsCorner Erdmann & ss Weierstra)2
11*
1*
1*
111*
1*
11*
1*
1*
111*
1*
11111
ttxtxgtxtt
ttxtxx
g
ttxtxgtxtt
ttxtxx
g
ttt
xttx
)( 1tx 1t)()( 11 ttx
34
67
) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4: در حالت برداري Erdmann و Weierstassشرايط كرانه اي
)()]),(),(([)),(),((
)()]),(),(([)),(),(( 2.2.
)),(),(()),(),(( 2.1.
:t]independen :)(,[ conditionsCorner Erdmann & ss Weierstra)2
1*
11*
1*
11*
1*
1*
11*
1*
11*
1*
11*
1*
11*
1*
11
ttttx
gtttg
ttttx
gtttg
tttx
gttt
x
g
tt
xxxxx
xxxxx
xxxx
x
68
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3مطلوبست محاسبه يك منحني اكسترمم هموار مقطعي : 4.3-5مثال
:براي مي نييمم نمودن تابعي زير و با نقطه ابتدا و انتهاي ارائه شده
1)2(
0)0( )](1)[(
2
0
22
x
xdttxtxJ
0)),(),(()),(),((
ttxtxx
g
dt
dttxtx
x
g
0))(2)(6)(4( 23 txtxtxdt
d
ttx 5.0)( continuse : x(t)If *
21* )( ctctx
5.012)2(
0)0(
11
2
ccx
cx
125.0J
35
69
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3): ادامه (4.3-5مثال
1)2(
0)0( )](1)[(
2
0
22
x
xdttxtxJ
21* )( ctctx
)),(),(()),(),(( W.E.2.1. 11*
1*
11*
1* ttxtx
x
gttxtx
x
g
)(21)(1)(2)(21)(1)(2 1*
1*
1*
1*
1*
1* txtxtxtxtxtx
1,5.0,0)(
1,5.0,0)(
1*
1*
tx
tx
70
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3): ادامه (4.3-5مثال
1)2(
0)0( )](1)[(
2
0
22
x
xdttxtxJ
21* )( ctctx
)()),(),(()),(),((
)()),(),(()),(),(( W.E.2.2.
1*
11*
1*
11*
1*
1*
11*
1*
11*
1*
txttxtxx
gttxtxg
txttxtxx
gttxtxg
1)(3)(1)(1)(3)(1)( 1*
1*
12*
1*
1*
12* txtxtxtxtxtx
1,,0)(
1,,0)(
31
1*
31
1*
tx
tx
0)(& 1)(
1)(& 0)(
Conditions W.E.
1*
1*
1*
1*
txtx
txtx
36
71
:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3): ادامه (4.3-5مثال
1)2(
0)0( )](1)[(
2
0
22
x
xdttxtxJ
21* )( ctctx
0)(& 1)(
1)(& 0)(
Conditions W.E.
1*
1*
1*
1*
txtx
txtx
):4-17(شكل
1
1
ی عا ه یسبا عا ه سبا
سيستم هاي كنترل بهينه سيستم هاي كنترل بهينه :فصل پنجم
روش تغييراتي در مسائل كنترل بهينه
2
روش تغييراتي در مسائل كنترل بهينه :فصل پنجم
مقدمه استفاده از روشهاي حساب تغييرات در حل مسائل •
كنترل بهينه و اعمال آن به تابع معيارهايي كه در فصل .سوم گفته شد
2
3
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1هدف يا مسأله
يافتن قانون كنترل كه موجب مي گردد سيستم •
مسير قابل قبول را طي نمايد و در طي آن تابعي معيار سيستم . را كه به صورت زير است حداقل نمايد
*u
)),(),(()( ttutxtx a
*x
2)-(5.1 )),(),(()),(()(0
ft
t
ff dttttgtthJ uxxu
defined :)(, 000 xx tt
4
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1با توابع معيار مفروض در ) 5.1-2(تنها تفاوت مابين تابع معيار
فصل چهارم وجود عبارت وضعيت نهايي است كه به منظور :حل اين مشكل مي توان به صورت زير عمل نمود
2)-(5.1 )),(),(()),(()(0
ft
t
ff dttttgtthJ uxxu
defined :)(, 000 xx tt
)),(()]),(([)),(),(()(0
00
ft
t
ttxhdtttxhdt
dtttgJ uxu
3
5
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1در نتيجه عبارت شامل مقادير اوليه در بهينه سازي تاثير ندارد،
:همچنين با استفاده از قاعده زنجيره اي مشتق گيري
)),(()),((
)),(),(()(0
ft
t
T
dtt
tthtthtttgJ
xx
x
xuxu
اما در تابعي هاي فصل چهارم محدوديتي به صورت معادالت ديفرانسيل . نبود لذا تابعي فوق را به صورت زير تصحيح مي نماييم
dtttttt
t
tthtthtttgJ
T
t
t
T
a
f
)]()),(),(()[(
)),(()),((
)),(),(()(0
xuxaP
xx
x
xuxu
ضرايب الگرانژ
6
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1: در نتيجه مساله فرم جديدي به خود گرفت
)),(),(),(),(()(0
ft
t
aa dttttttgJ Puxxu
)),(()),((
)]()),(),(()[()),(),(()),(),(),(),((
ttt
htt
h
ttttttttgtttttgT
Ta
xxxx
xuxaPuxPuxx
4
7
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1: خواهيم داشت ) 4.3-16(با توجه به
dtttttttg
ttttttg
ttttttg
dt
d
tttttg
tttttttg
tttttg
tttttg
J
T
a
T
a
Ta
t
t
Ta
ffT
fffffa
fffffa
fT
fffffa
a
f
)()),(),(),(),((
)()),(),(),(),((
)()]),(),(),(),(([
)]),(),(),(),(([
)()]),(),(),(),(([
)),(),(),(),((
)]),(),(),(),(([0)(
****
****
****
****
*****
****
*****
0
ppuxxp
upuxxu
xpuxxx
puxxx
xpuxxx
puxx
xpuxxx
u
8
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1ابتدا جمالتي را كه داخل انتگرال و شامل تابع هستند بررسي
:نماييم
)),((
*****
*
)()),(()),(()()),((
tth
dt
d
TT
ttth
dt
dtt
t
httt
h
xx
xxxx
xxxxx
h
0)),(()()),(()),(()()),(( *2
**2
2*
2**
2
2
ttt
httt
htt
t
httt
hx
xxx
xx
xxx
x
:لذا جمالت داخل انتگرال به صورت زير در خواهند آمد
5
9
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
dtttttt
ttttttttg
ttdt
dttttttt
g
T
TT
T
t
t
TTf
)()()),(),((
)()),(),(()()),(),((
)()]([)]),(),(()[()]),(),(([
***
*****
******
0
pxuxa
uuxu
apux
u
xpuxx
apux
x
:لذا جمالت داخل انتگرال به صورت زير در خواهند آمد
به منظور دست يافتن به هر منحني اكسترمم به صورت زير، الزم است .اين انتگرال صفر گردد
)),(),(()( *** tttt uxax 14a)-(5.1
Equations State
10
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1با توجه به اينكه ضريب در اين معادله همان معادله منحني اكسترمم است در نتيجه جمله آخر حذف خواهد شد و در نتيجه ضرايب الگرانژ اختياري خواهند بود و ميتوان از آنها به منظور
: در نتيجه. صفر نمودن ضرايب استفاده كرد
dtttttt
ttttttttg
ttdt
dttttttt
g
T
TT
T
t
t
TTf
)()()),(),((
)()),(),(()()),(),((
)()]([)]),(),(()[()]),(),(([
***
*****
******
0
pxuxa
uuxx
apux
u
xpuxx
apux
x
0
?
Arbitrary
)(tp
)(tx
Arbitrary
0
0?
6
11
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
)),(),(()()),(),(()( ****** tttg
tttttT
T uxx
puxx
ap
: لذا براي محاسبه ضرايب الگرانژ خواهيم داشت equations costate :
: همچنين در مورد ضرايب در جمالت داخل انتگرال داريم
0)()),(),(()),(),(( *****
tttttttg
T
puxu
aux
u
14b)-(5.1
14c)-(5.1
12
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
0)]),(),(()[()),(()),(),((
)()),((
******
**
fffffT
fffff
f
T
fff
tttttttt
htttg
ttth
uxapxux
xpxx
: اما در مورد جمالت خارج انتگرال
15)-(5.1
)()]),(),(),(),(([)),(),(),(),((
)]),(),(),(),(([0)(
*********
*****
ffT
fffffa
fffffa
fT
fffffa
a
tttttttg
tttttg
tttttg
J
xpuxxx
puxx
xpuxxx
u
:خواهيم داشت
7
13
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
)]),(),(()[()),(),(()),(),(),(( tttttttgtttt T uxapuxpux H
را به ) 5.1-15(و ) 5.1-14(در نتيجه با تعريف تابع هاميلتونين ميتوان معادالت :صورت زير بارنويسي نمود
17)-(5.1
:خواهيم داشت
0)),(()),(),(),(()()),(( ******
ffffffff
T
fff tttt
httttttt
h xpuxxpxx
H
0)),(),(),((
)),(),(),(()(
)),(),(),(()(
***
***
***
tttt
ttttt
ttttt
puxu
puxx
p
puxp
x
H
H
H
18)-(5.1
14
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1):1(شرايط حدي مختلف
. مثالي كه در ادامه مي آيد راهگشا خواهد بود
defined & cte: 1 ft
defined & cte:)( 1.1 ftx
0
0
f
f
t
xff xt )()181.5( *x
undefinedor free:)( 2.1 ftx 0)()),(( )181.5( **
fff ttth
pxx
curve specific on the :)( 3.1 ftx 0))(m( tx
8
15
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1):1-ادامه ( شرايط حدي مختلف
)5-1(شكل
curve specific on the :)( 3.1 ftx 0))(m( tx
04)4)(()3)(())(m( 22
21 txtxtx
: بر عمود باشدmالزم است گراديان
)4)((2
)3)((2))((
m*2
*1*
f
ff tx
txtx
x
)( ftx
0)()4)((2
)3)((2)())((
m*2
*1*
f
T
f
ff
T
f ttx
txtt xxx
x
16
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
18)-(5.1 0)),(()),(),(),(()()),(( ******
ffff
T
ff tttt
httttttt
h xpuxxpxx
H
):1-ادامه ( شرايط حدي مختلف
:به اين صورت خواهد بود) 5.1-18(درنتيجه در اين مثال معادله
0)(
)()4)((2)3)((2)(
)4)((2
)3)((2
2
1*2
*1*
2
*1
f
ffff
T
f
f
t
ttxtxt
tx
tx
x
xx
)()4)((
)3)(()( 1*
2
*1
2 ff
ff t
tx
txt xx
0)4)((
)3)((1
)())((*2
*1
**
f
f
T
ff
tx
txtth
pxx
04)4)(()3)(())(m( 22
21 txtxtx
04)4)(()3)(())(m( 2*2
2*1
* fff txtxtx
9
17
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
0)())((m *
f
T
f tt xxx
):1-ادامه ( شرايط حدي مختلف :نكته جالب توجه از مقايسه دو معادله روبرو حاصل خواهد شد
0)()())(( **
f
T
f ttth
xpxx
: 5.1-18(معادله(
شرط عمود بودن :گراديان
11 ))((m
][)())(( *1
**
nktddtth
fkff xx
pxx
0))(m( * ftx
18
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1):1(شرايط حدي مختلف
defined & cte: 1 ft
defined & cte:)( 1.1 ftx
0
0
f
f
t
xff xt )()181.5( *x
undefinedor free:)( 2.1 ftx 0)()),(( )181.5( **
fff ttth
pxx
curve specific on the :)( 3.1 ftx 0))(m( tx
11 ))((m
][)())(( *1
**
nktddtth
fkff xx
pxx
0))(m( * ftx
10
19
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
0)),(()),(),(),(( ****
ffffff ttt
htttt xpuxH
): 2( شرايط حدي مختلف 2 : free or undefinedft
defined & cte:)( 1.2 ftx
0fx
undefinedor free:)( 2.2 ftx
0)),(()),(),(),((
)),(()(
****
**
ff
fff
ttt
htttt
tth
t
xpux
xx
p
H
20
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1): 2-ادامه ( شرايط حدي مختلف
undefinedor free: 2 ft
)()( 3.2 ff tt x
0))(m( :)( 4.2 tt f xx
0)),(()),(),(),(()()()),(( ******
fff
T
fff ttt
httttt
tttt
hxpuxpx
xH
fff ttt
)(
x
)()(*ff tt x
. مثالي كه در ادامه مي آيد راهگشا خواهد بود
11
21
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1): 2-ادامه ( شرايط حدي مختلف
)5-2(شكل
surface specific on the :)( 4.2 ftx 0))(m( tx
04)4)(()3)(())(m( 22
21 txtxtx
با تقريب مرتبه اول بر سطح استوانه .مماس است
)( ftx
0)()4)((2
)3)((2)())((
m*2
*1*
f
T
f
ff
T
f ttx
txtt xxx
x
مستقل از است در نتيجه ضريب صفر .بايد باشد
)( ftxftft
22
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
0)())((m *
f
T
f tt xxx
0)),(()),(),(),(( ****
ffffff ttt
htttt xpuxH
): 2-ادامه ( شرايط حدي مختلف 2 : free or undefinedft
0))(m( :)( 4.2 tt f xx
11 ))((m
][)())(( *1
**
nktddtth
fkf xx
pxx
0))(m( * ftx
12
23
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
* * * * *1
m( ( ), ( ), ( ), ) ( ( ), ) [ ] ( ( )) 1 1f f f f f f k f
ht t t t t t d d t k n
t t
x u p x xH
): 2-ادامه ( شرايط حدي مختلف 2 : free or undefinedft
0)),(m( surface varient timeon the :)( 5.2 ttt f xx
11 ))((m
][)())(( *1
**
nktddtth
fkf xx
pxx
0)),(m( * ff ttx
كتاب253و 252 در صفحه 5-1خالصه مطالب در جدول
24
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
)()()()()()()())(),(),(( 222212
21 tutptxtptxtptuttt puxH
:5.1-1مثال
)()()(
)()(
22
21
tutxtx
txtx
ft
t
tuJ0
)(221
)()()(
0)(
*2
*1
2
*2
1
*1
tptpx
tp
xtp
H
H
17b)-(5.1
17c)-(5.1)()(0 *
2* tptu
u
H
13
25
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1):ادامه ( 5.1-1مثال
ft
t
tuJtutxtx
txtx
0
)( )()()(
)()( 221
22
21
tt ecectpctptp
ctptp
43*23
*2
*2
3*1
*1
)1( )( )()(
)( 0)(
)()(0 *2
* tptuu
H
)()()(
0)(
*2
*1
2
*2
1
*1
tptpx
tp
xtp
H
H
)()()(
)()(*222
21
tptxtx
txtx
ecectxtx tt4322 )1()()(
26
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1):ادامه ( 5.1-1مثال
ft
t
tuJtutxtx
txtx
0
)( )()()(
)()( 221
22
21
)()( 21 txtx
ecectxtx tt4322 )1()()(
eeceecectx ttttt )()1()( 21
21
421
21
322
eeceetcecctx ttttt )1()()1()( 21
21
421
21
3211
14
27
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1): ادامه ( 5.1-1مثال
ft
t
tuJtutxtx
txtx
0
)( )()()(
)()( 221
22
21
2
5)2( ,0)0( xx
tt eettx 593.0696.6103.6289.7)(1
: حالت الف
0)0( x 021 cc
2
5)2(x
tt eettx 593.0696.6289.7)(2
28
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1): ادامه ( 5.1-1مثال
)()()(
)()(
22
21
tutxtx
txtx
freexx :)2( ,0)0( :حالت ب
2)2()2(
5)2()2(*2
*2
*1
*1
xtp
xtp
ft
t
tuxxJ0
)(2)2(5)2( : func.cost New 2212
2212
121
)),(()( 2.1 **fff tt
ht x
xp
0)0( x 021 cc
422.2
697.2
4
3
c
c
tt eettx 137.05606.2422.2697.2)(1
tt eettx 137.0560.2697.2)(2
15
29
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1
xpx
x
m
dttth
fff )()),(( 3.1 **
): ادامه ( 5.1-1مثال
)()()(
)()(
22
21
tutxtx
txtx
15)(5)( :)2( ,0)0( 21 txtxxx :حالت ج
dp
dp
5)2(
)2(*2
*1
ft
t
tuJ0
)( : func.cost New 221
0)0( x 021 cc
379.1
894.0
4
3
c
c15)2(5)2( *
2*1 xx0))(m( * ftx
30
شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1. بررسي و معادالت بدست آمده مجددا محاسبه گردد 5.1-2مثال
16
31
تنظيم كننده خطي :5-2
بررسي مساله تنظيم كننده خطي در سيستم هاي خطي متغير با •زمان
LTIبررسي حالت خاص براي سيستم هاي •
بر اساس روشهاي پيشنهادي كالمن •
32
تنظيم كننده خطي :5-2
)()()()()( ttBttAt uxx
ft
t
TTff
T dttttttttt J0
)]()()()()()([2
1)()(
2
1uRuxQxHxx
خطي متغير با زمان : مدل سيستم •
: تابع هزينه براي تنظيم كننده خطي •
: در نتيجه هاميلتونين عبارت خواهد بود از
)()()()()()()()()()()()()),(),(),(( 21
21 ttBtttAttttttttttt TTTT upxpuRuxQxpux H
17
33
تنظيم كننده خطي :5-2
)()()()()( *** ttBttAt uxx
: شرايط الزم بهينگي •)()()()()()()()()()()()()),(),(),(( 2
121 ttBtttAttttttttttt TTTT upxpuRuxQxpux H
)()()()()( *** ttAttt T pxQx
p
H
0)()()()( **
ttBtt T puRu
H )()()()( *1* ttBtt T pRu
)()()()()()()( *1** ttBttBttAt T pRxx
34
تنظيم كننده خطي :5-2): جمع بندي ( شرايط الزم بهينگي •
)(
)(
)()(
)()()()(
)(
)(*
*1
*
*
t
t
tAt
tBttBtA
t
t
aA
T
T
p
x
Q
R
p
x
:پاسخ اين معادله به شكل زير است •
)(
)(),(
)(
)(*
*
*
*
t
ttt
t
tf
f
f
p
x
p
x
)(
)(),(),(
),(),(
)(
)(*
*
2221
1211
*
*
t
ttttt
tttt
t
t
ff
ff
f
f
p
x
p
x
matrices : nnij
10)-(5.2
10a)-(5.2
18
35
تنظيم كننده خطي :5-2: در نتيجه
: با جايگزيني در معادله روبرو
)(),(),(),(),()( *
)(
21111
1222* tttttttttt
t
ffff xHHp
K
)()()( ** ttt xKp
)()()()( *1* ttBtt pRu
)()()()()( *
)(
1* tttBtt
t
xKRu
F
)()()( ** ttt xFu
همانگنه كه مشخص است قانون كنترل بهينه قانوني است خطي، . متغير بازمان و تركيبي از وضعيت هاي سيستم
36
تنظيم كننده خطي :5-2
)()()()()( *** ttBttAt uxx
: در نتيجه
)()()( ** ttt xFu
A
BF)(tx)(* tu )(tx
Plant
19
37
تنظيم كننده خطي :5-2نحوه محاسبه ماتريس
),(),(),(),()( 21111
1222 ttttttttt ffff HHK
)(tK
محاسبه ماتريس انتقال حالت : روش اول •
حل معادله ريكاتي : روش دوم •)()()()()()()()()()()( 1 ttBtRtBttQttAtAtt TT KKKKK
1
1
)(
aA
T
T
AQ
BBRAsIt 1-L )(),( ttttt ff
38
تنظيم كننده خطي :5-2):5.2-1( مثال
)()()( tutaxtx
as
as
asAsIt a 0
2
)(
1)(
22
1 1-1- LL
a
a
AQ
BBRAA
T
T
a 0
21
T
dttuTHxuJ0
2412
21 )()()(
free :)(
P.D. :
defined :
Tx
H
T
at
ata
ata
at
e
eeet
0)(
11
2.0a
20
39
تنظيم كننده خطي :5-2
),(),(),(),()( 21111
1222 ttttttttt ffff HHK
):ادامه (5.2-1مثال
)(1)()()( )()( tTatTatTaaHtTa HeeeetK
)()()()()( *
)(
1* tttBtt
t
xKRu
F
)()(2)(* ttKt xu
40
تنظيم كننده خطي :5-2):ادامه (5.2-1مثال
)a7-5(شكل
21
41
تنظيم كننده خطي :5-2):ادامه (5.2-1مثال
)b7-5(شكل
)c7-5(شكل
42
تنظيم كننده خطي :5-2اگر باشد يا به عبارت ديگر سيستم ناپايدار ): ادامه (5.2-1مثال
. باشد
)a8-5(شكل
2.0a
22
43
تنظيم كننده خطي :5-2):ادامه (5.2-1مثال
)b8-5(شكل
2.0a
)c8-5(شكل
44
تنظيم كننده خطي :5-2):5.2-2( مثال
)()()(2)(
)()(
212
21
tutxtxtx
txtx
1 110
20 0 2
20 12
00 1 0 1
T
T
aAQ
BBRAA
T
dttutxtxuJ0
2412
2212
1 )()()()(free :)(
P.D. :
defined :
Tx
H
T
12
10A
1
0B
10
02Q
2
1R
23
45
تنظيم كننده خطي :5-2): ادامه) (5.2-2( مثال
)()()(2)(
)()(
212
21
tutxtxtx
txtx
T
dttutxtxuJ0
2412
2212
1 )()()()(
)a9-5(شكل
46
تنظيم كننده خطي :5-2): ادامه) (5.2-2( مثال
)b9-5(شكل هاي
24
47
تنظيم كننده خطي :5-2:شرايط طراحي فيدبك حالت بهينه يا حل معادله ريكاتي
. سيستم كنترل پذير باشد • در صورت وجود زمان K(t)شرايطي كه موجب مي گردد ماتريس
: كافي به يك ماتريس ثابت ميل نمايد . سيستم كنترل پذير باشد
H=0ماتريس •
. ثابت باشندA, B, R, Qماتريس هاي •
:در اين حالت معادله ريكاتي به صورت زير خواهد بود
0)()()()()()()()()()( 1 ttBtRtBttQttAtAt TT KKKK
48
تنظيم كننده خطي :5-2): ادامه) (5.2-2( مثال
0)()()()()()()()()()( 1 ttBtRtBttQttAtAt TT KKKK
2788.14142.2
4142.20313.6ssK
25
49
تنظيم كننده خطي :5-2): ادامه) (5.2-2( مثال
50
تعقيب كننده هاي خطي :5-3
)()()()()( ttBttAt uxx
ft
t
TTff
Tff dtttttrtttrttrttrt J
0
)]()()()]()()[()]()([2
1)]()([)]()([
2
1uRuxQxxHx
خطي متغير با زمان : مدل سيستم •
: تابع هزينه براي تعقيب كننده خطي •
: در نتيجه هاميلتونين عبارت خواهد بود از
)()()()()()()()()()),(),(),((2
)(212
)(21 ttBtttAtttrttttt TT
tRtQupxpuxpux H
26
51
تعقيب كننده هاي خطي :5-3
)()()()()( *** ttBttAt uxx
: شرايط الزم بهينگي •
)()()()()()()( *** trtQttAttt T
pxQx
pH
0)()()()( **
ttBtt T puRu
H )()()()( *1* ttBtt T pRu
)()()()()()()( *1** ttBttBttAt T pRxx
)()()()()()()()()()),(),(),((2
)(212
)(21 ttBtttAtttrttttt TT
tRtQupxpuxpux H
52
تعقيب كننده هاي خطي :5-3): جمع بندي ( شرايط الزم بهينگي •
)()(
0
)(
)(
)()(
)()()()(
)(
)(*
*1
*
*
trtQt
t
tAt
tBttBtA
t
t
aA
T
T
p
x
Q
R
p
x
:پاسخ اين معادله به شكل زير است •
ft
t
fff
f drQ
tt
ttt
t
t
)()(
0),(
)(
)(),(
)(
)(*
*
*
*
p
x
p
x
)(
)(
)(
)(),(),(
),(),(
)(
)(
2
1
*
*
2221
1211
*
*
tf
tf
t
ttttt
tttt
t
t
ff
ff
f
f
p
x
p
x
35)-(5.2
34)-(5.2
36)-(5.2
27
53
تعقيب كننده هاي خطي :5-3: از طرفي با توجه به شرايط حدي •
:داريم )5.2-36(با جايگزيني در معادله •
)()()( **fff ttt HrHxp
)()(),()(),()()(
)()(),()(),()(
2*
22*
21*
1*
12*
11*
tftttttttt
tfttttttt
ffff
fff
pxHrHx
pxx
)()(),()(),()()()(),()(),( 2*
22*
211*
12*
11 tfttttttttftttttt ffffff pxHrpxH
)()()(),(),(
)(),(),(),(),()(
211
1222
*2111
11222
*
tfttftttt
tttttttttt
fff
ffff
HrHH
xHHp
54
تعقيب كننده هاي خطي :5-3
:در نتيجه قانون كنترل بهينه عبارت است از •
)()()( )()()(),(),(
)(),(),(),(),()(
*21
11222
*2111
11222
*
ttttfttftttt
tttttttttt
fff
ffff
sxKHrHH
xHHp
)()()()()()()()()()()( 1*1* tttttBttttBtt TT vxFsRxKRu
A
BF
)(tx)(* tu )(tx
Plant
)(tr
)(tv
28
55
تعقيب كننده هاي خطي :5-3
)()()()()()()()()(
)()()()()()()()()()()(
1
1
ttQttBtRtBttAt
ttBtRtBttQttAtAtt
TT
TT
rsKs
KKKKK
: همچنين معادله ريكاتي عبارت خواهد بود از •
)()()()()()( ***ffffff tttttt sxKHrHxp
)()(
)(
ff
f
tt
t
Hrs
HK
56
تنظيم كننده خطي :5-2
)(
211
1222
*
)(
21111
1222*
)()()(),(),(
)(),(),(),(),()(
t
fff
tK
ffff
tfttftttt
tttttttttt
s
HrHH
xHHp
):5.2-3( مثال
ff t
t
f
t
t
f dtdrQ
ttf
0
2
0
0
),()()(
0),()(
0
2
0
0
),(* fs tTff
29
57
تنظيم كننده خطي :5-2):5.2-3( مثال
)a11-5(شكل هاي
58
تنظيم كننده خطي :5-2):5.2-3( مثال
)b11-5(شكل هاي
)c11-5(شكل هاي
30
59
تعقيب كننده هاي خطي :5-3
)()()()()()()(
0)()()()()()(
11
1
ttQtBtRtBttA
tBtRtBtQtAtA
sS
TT
ssT
ssssT
ss
rKs
KKKK
: همچنين معادله ريكاتي در حالت ماندگار •
0286.01105.0
1105.06875.0ssK
00995.0
06690.0sS
):5.2-3( مثال
60
تعقيب كننده هاي خطي :5-3:مقايسه پاسخ ها در دو حالت طراحي • ):5.2-3( مثال
31
61
تنظيم كننده خطي :5-2):5.2-4(مثال
)()()(2)(
)()(
212
21
tutxtxtx
txtx
1 10 0
20 0 2
200 12
00 1 0 1
T
T
aAQ
BBRAA
T
dttuttxuJ0
22
1 )(025.02.0)()( free :)(
defined :
Tx
T
12
10A
1
0B
00
02Q 05.0R
00
00H
62
تنظيم كننده خطي :5-2):5.2-4(مثال
T
dttuttxuJ0
22
1 )(025.02.0)()(
)a12-5(شكل هاي
32
63
تنظيم كننده خطي :5-2):5.2-4(مثال
)a12-5(شكل هاي
64
تنظيم كننده خطي :5-2):5.2-4(مثال
)b12-5(شكل هاي )c12-5(شكل هاي
33
65
تعقيب كننده هاي خطي :5-3: همچنين معادله ريكاتي در حالت ماندگار •
1637.04317.0
4317.05175.1ssK
03015.0
02886.1sS
):5.2-4(مثال
66
تعقيب كننده هاي خطي :5-3:مقايسه پاسخ ها در دو حالت طراحي • ):5.2-4(مثال