Optique quantique en régime femtoseconde
Nicolas Treps
Laboratoire Kastler BrosselUniversité Pierre et Marie Curie
École Normale SupérieureCNRS
Ecole prédoctorale des HouchesImpulsions femtosecondes : des concepts fondamentaux
aux applications
De l’intérêt du régime femtoseconde
La très grande puissance crête permet une non-linéaritépar photon très importante.La localisation spatio-temporelle permet de bien contrôleret/où utiliser les états produitsLes peignes de fréquence permettent d’adresser les deuxrégimes de l’optique quantique : photons uniques etvariables continues
Ce dont on va parler
Absorption à 2 photons
Barak Dayan, AviPe’er, Asher AFriesem, YaronSilberberg, Phys.Rev. Lett. 93 023005(2004)
Métrologie
B. Lamine, C. Fabre et N. Treps, Phys. Rev. Lett. 101123601 (2008)
Réduction de bruit quantique
R. Dong, J. Heersink, J.F. Corney, P.D. Drummond,U.L. Andersen, G. Leuchs, Opt. Lett. 33, 116 (2008)
Chats de Schrödinger
A. Ourjoumtsev, HJeong, RTualle-Brouri, PGrangier, Nature 448784 (2007)
Sommaire général
Partie I : Des impulsions faîtes de photons
1 Le champ électromagnétique est quantique2 Processus à deux photons en régime quantique
Partie II : Mesure et lumière non-classique
3 Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique4 Mesure et métrologie
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
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1 Le champ électromagnétique est quantiqueLa notion de photonGénération de paires de photons via l’optique non linéaireL’expérience d’Hong, Ou et MandelMise en forme de photons par accord de phase
2 Processus à deux photons en régime quantiqueContrôle cohérent et absorption à deux photonsSomme de fréquence et lumière comprimée
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Introduction : de l’existence du photon
La nature quantique du champ électromagnétique :Einstein, par des arguments thermodynamiques (1905)Kimble, Dagenais, Mandel : photon uniques créés parfluorescence atomique.
Comment prouver que l’on a des photons uniques ?
Kimble, Dagenais, Mandel, Phys. Rev. Lett. 39 (1977)
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Fonctions d’autocorrélation
Premier ordre
g(1)(τ) ∝ 〈E∗(t + τ)E(t)〉Signal de l’interféromètre :
1 + g(1)(τ) ∝ 〈|E(t + τ) + E(t)|2〉
Fluctuations de phase
Deuxième ordre
τ
g(2)(τ) = 〈I(t + τ)I(t)〉/〈I(t)〉2
Fluctuations d’intensité
Handbury-Brown and Twiss, Nature jan 7 1956, p. 27
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Interprétation du g(2)
En physique classique, et pour un phénomène stationnaire, on a :
g(2)(τ) = I(t)I(t + τ)/I(t)2
g(2)(τ →∞) = 1 car pas de corrélations aux temps longs
g(2)(0) = I(t)2/I(t)2≥ 1 (car (I − I)2 = I2 − 2II + I
2= I2 − I
2 ≥ 0).
g(2)(0) ≥ 1 (1)
Le g(2) d’une source classique présente une bosse en τ = 0. La largeur decette bosse correspond à la longueur de cohérence.En physique quantique, g(2)(0) correspond aux coïncidences de photons surles deux photodétecteurs : il peut être égal à zéro !
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Un seul photon ?
Source Thermique
1
2
τ
g(2)
Groupement de photons
Source laser
1
2
τ
g(2)
Photons aléatoires
Photon unique
1
2
τ
g(2)
Dégroupement de photons
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Kimble, Dagenais, Mandel
Mesure de la fluorescence d’atomes de sodium
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Générer des photons corrélés via l’optique non linéaire
Idée générale
ωp = ωs + ωi~kp = ~ks + ~ki
PDC produit directement des photons intriqués
Photons émis en même temps = corrélés en temps
Accord de phase : corrélés en impulsion
En type II : corrélation en polarisation
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Fréquences générées
Accord de phase
Les fréquences produitesdépendent de :
la fréquence de la pompe etdonc de sa largeur spectraleα(ωs + ωi)
la courbe d’accord de phaseφ(ωs, ωi)
Produit de la largeur de la pompepar la courbe d’accord de phase
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Comme source de photons uniques
Hong et Mandel,Expermimental realization of alocalized one-photon state,Phys. Rev. Lett. (1986) vol. 56pp. 58-60
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Utilisé comme source d’intrication : en type II
|ψ〉 =1√2
(|H〉 |V 〉+ |V 〉 |H〉)P Kwiat, K Mattle, H Weinfurter, A Zeilinger, NewHigh-Intensity Source of Polarization-EntangledPhoton Pairs, Phys. Rev. Lett. (1995)
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
La lame semi-réfléchissante
1
2
3
4 E3 =1√2
(E1 + E2)
E4 =1√2
(−E1 + E2)
Le champ électromagnétique est quantique
le champ électrique E = iE aannihilation et création [a, a†] = 1
l’énergie H = ~ω(a†a + 12 )
le nombre de photons N = a†aDe plus, on travaille en représentation de Heisenberg (ce sont les opératerusqui évoluent, pas la fonction d’onde).
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Toute l’optique quantique dans une lame
La lame séparatrice “quantique”
Les opérateurs champ électriquesuivent les transformations deschamps classiques
1
2
3
4a3 = 1√
2(a1 + a2)
a4 = 1√2(−a1 + a2)
Fonction de corrélation = taux de coïncidences
i3 = a†3a3 =12
(a†1a1 + a†2a2 + a†1a2 + a†2a1)
i4 = a†3a3 =12
(a†1a1 + a†2a2 − a†1a2 − a†2a1)
i3 + i4 = i1 + i2
w34 = a†3a†4a3a4 =14
(−a†21 + a†2
2 )(−a21 + a2
2) Taux de coïncidences
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Intérférences à 2 photons
|ψ〉 = |1, 1〉〈ψ|i3|ψ〉 = 〈ψ|i4|ψ〉 = 1
〈ψ|w34|ψ〉 = 0
Il y a interférence destructive entre les deux chemins croisés : il fautfaire la somme des amplitudes de probabilité
Ne peut être observée que si les deux photons arrivent en même tempset sont dans le même mode (spatial et temporel).
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Hong Ou Mandel
τ=50fs
Pompe : continue à 351nm
Coïncidence si différence detemps d’arrivée des photons< 7,5 ns
C.K. Hong, Z.Y. Ou et L. Mandel, PRL 59, 2044(1987).
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Génération paramétrique : bonne source ?
Accord de phase
Conservation de l’énergie + accord de phase :le photon annoncé n’est jamais le même
filtrage spatio-temporel
mise en forme de la courbe de gain
État produit : |ψ〉 = |0, 0〉+RR
dωidωsf (ωi , ωs)a†i a†s |0, 0〉 6= |0, 0〉+ κ |1, 1〉
Pompe large : réduire la contrainte sur l’énergie
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Mettre en forme la courbe d’accord de phase
Accord de phase “vertical” et pompe large
La fonction se factorise
|ψ〉 = |0, 0〉+RR
dωidωsh(ωi)g(ωs)a†i a†s |0, 0〉 = |0, 0〉+ κ |1, 1〉
P. J. Mosley, J. S. Lundeen, B. J. Smith, A. B. U’Ren, C. Silberhorn, I. A. Walmsley, PRL 100, 133601 (2008).
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
"Bons" photons uniques
HOM sans filtrage spectral
P. J. Mosley, J. S. Lundeen, B. J. Smith, A. B. U’Ren, C. Silberhorn, I. A. Walmsley, PRL 100, 133601 (2008).
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Absorption à deux photons
g
e
g
e
Probabilité de transition :
pf (∞) ∝˛Z
E(ω)E(ωfg − ω)
˛2
Deux photons coïncidents :impulsion courteSomme des fréquences bien définie :spectre étroit
)Impulsion limitée par trans-formée de Fourier !
Mais...
Sensible à la somme des phases
Mise en forme d’impulsion
lumière paramétrique !
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Lumière paramétrique et absorption à deux photons
Accord de phase
kp = ki + ks
Largeur spectrale très grande∼ 100nm
Équivalent à une impulsioneffective de 20fs
Pour une pompe monochromatique
Ep(ωp) →Z
δ
f (δ)hEs(
ωp
2+ δ)e−i(
ωp2 +δ)t + Ei(
ωp
2− δ)e−i(
ωp2 −δ)t
idδ
avec Es(ωp
2+ δ) ∝ E∗
i (ωp
2− δ)
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Absortion à deux photons en régime quantique
Impulsion pompe :3ns (0, 04nm)
Résolutiontemporelle : 23fs
Largeur spectrale :100nm
Barak Dayan, Avi Pe’er, Asher AFriesem, Yaron Silberberg, Phys.Rev. Lett. 93 023005 (2004)
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Contrôle cohérent quantiqueMise en forme spectrale du signal par une fonction carrée
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Somme de fréquence
Processus Expérimentalement
Somme de fréquence à bas flux
Les deux photons doivent être coïncidentsOn mesure denouveau la largeurspectrale de la“fonction d’onde” duphoton.
Ressemble à uneautocorrélation
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Sauf que...
Lumière paramétrique ressemble à :
Et si on l’atténue
L’atténuation du flux de paires et l’atténuation du faisceaudoivent produire des résultats différents ! !
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Dépendance avec l’intensité incidente
Atténuation d’un état non-classique : change la statistiqueAtténuation d’un état classique : la statistique reste poissonienne
Dayan et al. Nonlinear Interactions with an Ultrahigh Flux of Broadband Entangled Photons. Physical Review Letters(2005)
Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique
Conclusion du premier cours
La lumière est quantiquel’optique non-linéaire permet de créer des sources dephotons uniques ou de paires de photonsLes largeurs spectrales associées sont très grandeson peut utiliser des techniques de mise en forme similairesà ce qui se fait pour les impulsionspeut être mis directement en évidence par des processusd’absorption à 2 photons
Que se passe-t-il quand on n’est plus sensible au photon ?Quand on détecte le champ ?
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
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3 Beaucoup de photons : lumière classique et non-classiqueConcepts généraux, réduction de bruit quantiqueFonction de Wigner, états non-gaussiens
4 Mesure et métrologieMétrologie des fréquences et du tempsMesure de temps au delà de la limite quantique standard
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Le régime des variables continues
Quand il y a beaucoup de photons
Faisceau de 1mW ∼ 1016photons/s
Il n’est plus possible de compter les photonsLa nature quantique du champ se manifeste comme unbruit dans les mesures
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Mesurer le champ
La photodéctection
Représentation de Fresnel
E(t) = Ex cosωt + EY sinωt
EX et EY sont les quadratures du champ
On peut définir les observablesquantiques associées, qui ne commutentpas : ∆Ex∆EY ≥ E0
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Mesurer le champ
La photodéctection
Les fluctuations quantiques
i = a†a : le bruit quantique se manifeste dans la variance de i
∆2 i = 〈i2〉 − 〈i〉2 : on définit δ i = i − 〈i〉
〈δ i〉 = 0〈δ i2〉 = ∆2 i
Pour un état cohérent (produit par un laser), les photons suivent unestatistique poissonienne :
〈δ i2〉 = 〈i〉 ∆Nombre de photons =p
Nombre de photons
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Photons Jumeaux
Génération paramétrique intra-cavité
J. Mertz, T. Debuisschert, A. Heidmann, C. Fabre,and E. Giacobino, Opt. Lett. 16 1234 (1991)
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
La détection homodyne
Oscillateur local
Champ àmesurer
34
1
2
Si le champ à mesurer est levide, on mesure lesfluctuations du vide ! !
i3 − i4 = a†1a2 + a†2a1
δ(i3 − i4) = δa2〈a†1〉+ δa†2〈a1〉+ δa1〈a†2〉+ δa†1〈a2〉
si : 〈a1〉 >> 〈a2〉E1 = iE a1
considéré comme classiqueon écrit 〈a1〉 = αeiθ
δ(i3 − i4) = α(δa2e−iθ + δa†2eiθ) = α√
2δX θ
Il vient :δX θ=0 proportionnel à EX
δX θ=π/2 proportionnel à EY
Les opérateurs de quadrature
Il est possible de les mesurer
Ils ne commutent pas : [δX θ=0, δX θ=π/2] = 1
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Bruit quantique standard et états comprimés
Le bruit quantique standard
Etat cohérent : champ moyen + fluctuationsdu vide : ∆X+ = ∆X− = 1
Fluctuations d’intensité en√
N
États non-classiques
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Mesurer la réduction de bruit quantique
Le bruit quantique standard
Oscillateur local
34
1
i(t)
Expérience
Le bruit du champ incident
Oscillateur local
34
1
i(t)
Expérience
Les intensités mesurées sont analysées à l’analyseur despectreOn compare les spectres de bruit, et on donne le résultaten dB
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Réduction de bruit par effet Kerr
Ruifang Dong, Joel Heersink, Joel F. Corney, Peter D.Drummond, Ulrik L. Andersen, Gerd Leuchs,Experimental evidence for Raman-induced limits toefficient squeezing in optical fibers. Optics Letters,Vol. 33, Issue 2, pp. 116-118
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Fonction de Wigner en optique quantique
On peut représenter l’état quantique du champ par une fonction de Wigner.La probabilités de mesure Pθ(x) selon une quadrature X θ s’écrit :
Pθ(x) =
ZW (x cos θ − p sin θ, x sin θ + p cos θ)dp
Pour un état gaussien
En toute généralité : W (x , p) = 12π
Reiνp〈x − ν/2|ρ|x + ν/2〉dν
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Fonction de Wigner en optique quantique
On peut représenter l’état quantique du champ par une fonction de Wigner.La probabilités de mesure Pθ(x) selon une quadrature X θ s’écrit :
Pθ(x) =
ZW (x cos θ − p sin θ, x sin θ + p cos θ)dp
Quelques propriétés
W (x , p) est une fonction de “quasi-probabilité” qui permet de prédiretous les résultats de mesure
Quand elle est partout positive, W (x , p) est une densité de probabilitéqui se comporte comme une statistique classique.
Mais, comme une fonction de Wigner classique, elle peut-être négative :la mécanique quantique est basée sur des amplitudes de probabilités.
Fonction de Wigner d’un état cohérent ou comprimé :
W (x , p) =1π
e−(x−〈x〉)2
s − (p−〈p〉)21/s
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Fonction de Wigner pour un photon unique
La fonction de Wigner est négative : elle ne peut plus être considérée commeune distribution de probabilité, seules ses projections le sont.
La fonction de Wigner peut-être reconstruite à partir de la mesure de toutesles probabilités marginales
Source : manuscrit de thèse d’Alexeï Ourjoumstev
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Tomographie d’un ou deux photons
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Tomographie d’un ou deux photons
A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, and P. Grangier, Phys. Rev. Lett. 96, 213601 (2006).
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Le chat de Schrödinger
Expériences de pensée : superposition de deux états macroscopiquesorthogonaux
En optique
On superpose deux états cohérents discernables
|ψ〉 =|α〉+ |−α〉√
2
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Vers les "chats de Schrödinger"
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Vers les "chats de Schrödinger"
A. Ourjoumtsev, H Jeong, R Tualle-Brouri, P Grangier, Nature448 784 (2007)
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Le peigne de fréquence : un outil métrologique
Groupe de François Biraben, Laboratoire Kastler Brossel
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Et pour le temps (ou la distance), aussi
J. Ye, “Absolute measurement of a long, arbitrarydistance to less than an optical fringe” Opt. Lett. 29,1153 (2004).
Cui et al. Experimental demonstration of distancemeasurement with a femtosecond frequency comblaser. Journal of the European Optical Society-Rapidpublications (2008)
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Limite ultime dans le positionnement "spatio-temporel"
Limite de Cramer Rao
On partage une impulsion entre un point A et un point B : la quantitéconservée est
u = t − x/c
porteuse : ω0
L’impulsion est caractérisée par largeur spectrale : ∆ωc’est une gaussienne
Le bruit dans la mesure vient de la nature quantique du lien lumineux
Pour du bruit poissonnien, la variance minimale de tout estimateur de u est
∆u =1
2√
Nqω2
0 + ∆ω2
Avec 10mW, 10fs et un temps d’intergration d’une seconde :
∆u ≈ 5.10−23s = 50yoctosecondes
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Comment atteindre cette limite ?
Soit une impulsion gaussienne : E = E0v0(u) = g0(u)e−iω0u
Supposons que cette impulsion acquiert un retard ∆u petit :
v0(u −∆u) ≈ v0(u)−∆udv0(u)
du
˛u=0
= v0(u) +∆uu0
w1(u)
avec w1(u) ∝ iω0v0(u) + ∆ωv1(u), v1(u) ∝ dg0(u)
due−iω0u ,
1u0
=qω2
0 + ∆ω2
En image :
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Extraire l’information du champ
Vive la détection homodyne !
Dans la détection homodyne, la mesure projette sur le mode de l’oscillateurlocal
Les impulsions du signal et de l’oscillateurlocal doivent être cohérentes
La mise en forme de l’oscillateur localpermet de choisir le mode signal analysé
Comme pour toute détection homodyne, ona accès à la valeur de la quadrature duchamp dans le mode et avec la phasedéterminée par l’oscillateur local
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Résultat de la mesure
On atteint la limite de Cramer Rao
Le signal mesuré est 2E0∆u/u0 = 2√
N∆u/u0
Le bruit dans la mesure est le bruit sur le mode mesuré : le bruit du videpour un état cohérent : 1
Un rapport signal à bruit de 1 est donc atteint pour
∆u =u0
2√
N=
1
2√
Nqω2
0 + ∆ω2
On peut aller au delà de cette limite
En modifiant le bruit quantique du mode mesuré : état comprimé !
B. Lamine, C. Fabre and N. Treps, Quantum Improvement of Time Transfer between Remote Clocks. PhysicalReview Letters (2008) vol. 101 (12)
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Mesure sans signal
Origine du bruit dans la mesure
En absence de signal, la détectionhomodyne mesure un mode vide.Le bruit dans la mesure est le bruit dans cemode.Résultat très général : toute mesure sur lechamp est sensible à un seul mode(potentiellement compliqué) du champPour améliorer la mesure, il faut modifierles propriétés quantique de ce mode
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
État comprimé avec un OPAL’amplification paramétrique insensible à la phase
L’injection se faituniquement sur le signal.
L’amplification paramétrique sensible à la phase
L’injection se fait sur lesdeux champs.
Génération d’état comprimé, même si le faisceau injecté est le vide.Un état comprimé est fait de paires de photons
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Intermède : fonction de Wigner négative
Principe
Résultat
A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, J. Laurat,and P. Grangier, Science 312, 83 (2006)
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Lumière comprimée avec un peigne de fréquence
Oscillateur Paramétrique Optique pompé en mode Synchrone
Les modes comprimés
ddz
aωi =X
j
g(ωi , ωj)Ap(ωi + ωj)a†ωj → ddz
bj = Λj b†j
G. de Valcarcel, G. Patera, N.Treps and C. Fabre, Multimodesqueezing of frequency combs.Phys Rev A (2006) vol. 74 pp.061801
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Contrôle cohérent des fluctuations quantiques ?
Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie
Faut-il conclure ?
La lumière est “aussi quantique” avec beaucoup dephotons qu’avec peu de photonsIl est possible de dépasser les limites données par le bruitquantique du videIl est possible de réaliser une zoologie d’état quantiques,utiles en particulier pour l’information quantiqueDes applications pratiques restent à trouver...