7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 1/89
OTPORNOST MATERIJALA SA TEORIJOM
ELASTIČNOSTI II
Predmetni nastavnik
Dr sc.-Dipl.ing. Anan Ibrahimovid, vanredni profesor
Univerzitet u Tuzli
Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 2/89
1. TEORIJE O SLOMU MATERIJALA. DOPUŠTENI NAPON
1.1. Uvod
Razlikuju se dva tipa loma materijala:1. Krhti lom, pojava prslina koje se brzo šire, lom se manifestuje raskidanjem materijala i proces se
odvija trenutno
2. Duktilni lom, karakterističan za materijale koji imaju osobinu tečenja, lom se smatra početaktečenja i proces se odvija postepeno
Lom, kao nepovoljna manifestacija u konstruktivnom elementu, do danas nije do kraja razjašnjen i
na njega utiču različiti faktori:
- Intenzitet napona,
- Brzina prirasta opterećenja,- Temperatura,
- Defekti u materijalu i td.
Ne postoji teorija koja je u mogućnosti da obuhvati sve ove uticaje.
Teorije koje su predmet ovog kursa odnose se samo na slom materijala usljed statičkogopterećenja pri normalnoj temperaturi kao i za homogene i izotropne materijale.
Te teorije su:
• Teorija najvećeg normalnog napona,
• Teorija najvećeg smičućeg napona,
• Mohr-ova teorija,
•Teorija najvećeg deformacionog rada na promjeni oblika.
Njihova svrha je da se odredi ona kombinacija napona, kod složenog naponskog stanja, koja
uzrokuje lom konstruktivnog elementa.
Krhti materijali
Duktilni materijali
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 3/89
1.2. Uporedni napon
Bez obzira na stvarni mehanizam koji dovodi do sloma materijala, lom u konstruktivnom elementu
se neće desiti sve dok je T , za duktilne materijale odnosno,
x < M , za krhte materijale, koji sudefinisani na dijagramu – .
Za element koji se nalazi u složenom naponskom stanju nije moguće predvidjeti da li će do lomadoći uspoređujući to sa rezultatima jednoaksijalnog testa, a eksperimentalno utvrđivanje uslova prikojima će doći do loma za složena naponska stanja nije isplativo niti tehnički moguće.
S toga se uspostavljaju određeni kriteriji vezani za stvarni mehanizam loma, koji omogućujupoređenje uticaja složenih naponskih stanja i jednoaksijalnog naprezanja, verifikovanogeksperimentalno. To je omogućeno formulisanjem fiktivnog napona, izraženog preko komponentitenzora napona složenog naponskog stanja kojeg možemo porediti sa naponom loma pri jednoaksijalnom naponskom stanju. Taj fiktivni napon se naziva ekvivalentni ili uporedni napon i
označava se sa e.
Normalni napon pri kojem dolazi do loma materijala pri jednoaksijalnom naprezanju naziva se
granični napon i obilježava se sa 0.
Na osnovu prethodnog, moguće je definisati jedinstveni kriterij za lom materijala izloženogsloženom naponskom stanju :
e = 0
Lom mater i ja la u nekoj tački napregnutog t i jela nastupit će kada ekvivalentni napon
dost igne veličinu graničnog napon a pri jednoaks ijalnom naprezanju.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 4/89
1.3. Teorija najvedeg normalnog napona
Lom u materijalu u nekoj tački će nastupiti kada najveći normalni napon po apsolutnoj
vrijednosti dostigne vrijednost graničnog napona, bez obzira na vrijednost ostalih napona.
e = 1 ili e = 3
1.4. Teorija najvedeg smičudeg napona
U materijalu će doći do loma usljed tečenja pri bilo kojem napo nsk om stanju , kada
maksimaln i smičući napon po apsolu tnoj vr i jednost i dost igne graničnu vr i jednost .
0 – granična vrijednost smičućeg napona je najveći smičući napon po apsolutnoj vrijednosti,koji se javlja u materijalu kada nastupi tečenje u uzorku pri testu jednoaksijalnog zatezanja
odnosno
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 5/89
U slučaju ravnog naponskog stanja:
Poznata je i kao Tresca-in uslov tečenja.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 6/89
1.5. Mohr-ova teorija
Kritična su naponska stanja čiji krugovi oiruju ilisijeku ovojnicu.
Najvedu primjenu je našla u geomehanici tj. geotehnici.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 7/89
1.6. Teorija najvedeg eformacionog raa na promjeni oblika
Lom materijala u nekoj tački, pri bilo kom naponskom stanju, nastupit de u trenutku kaa maksimalna
specifična energija eformacije na promjeni oblika ostigne veličinu specifične energije eformacije na
promjeni oblika pri lomu kod jednoaksijalnog naprezanja.
Specifična energija eformacije na promjeni oblika izražena preko glavnih napona ata je izrazom:
Huber-Hencky-Mises-ov uslov plastičnog tečenja
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 8/89
1.7. Dopušteni napon
Do loma konstrukcije nede odi ukoliko je ekvivalentni napon u svakoj tački konstrukcije manji od graničnognapona utvrđenog jednoaksijalnim testom za oređeni materijal.
U praksi se konstruktivni elementi projektuju tako da naponi izazvani projektnim opteredenjem ne prekoračeopušteni nivo, koji je značajno niži od graničnog napona. Taj najniži nivo napona naziva se opušteni napon i
obilježava se sa d .
Odnos između graničnog napona i opuštenog napona naziva se koeficijent sigurnosti i obilježava se sa n, tj.:
Koeficijent sigurnosti se uvoi iz sljeedih razloga:• veoma rijetko je poznato stvarno opteredenje koje de jelovati na konstrukciju,• metoe proračuna konstrukcija zasnovane su na oređenim pretpostavkama i pojenostavljenjima,
• građa i mehaničke osobine materijala variraju,• neki materijali značajno koroiraju u toku vremena ili im se mehaničke osobine mijenjaju u vremenu.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 9/89
1.8. Dopušteni napon
Dopušteni smičudi napon se primjenjuje pri dimenzionisanju konstruktivnih elemenata napregnutih na čisto
smicanje.
Na osnovu teorije najvedeg normalnog napona, za slučaj čistog smicanja imamo:
Na osnovu teorije najvedeg smičudeg napona, za slučaj čistog smicanja imamo:
Na osnovu teorije maksimalne energije eformacije na promjeni oblika, za slučaj čistog smicanja imamo:
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 10/89
2. SLOŽENA NAPREZANJA
2.1. Super pozicija i njena ograničenja
Princip superpozicije u opštem slučaju može se primjeniti samo kod linearnih problema, tj. samo dotle
dok je odnos između vanjskog opterećenja i veličine deformacije linearan.
Prema tome, prvi uslov za primjenu superpozicije jeste da se materijal od kojeg je izrađen konstruktivni
element ponaša linearno elastično , odnosno po Hook-ovom zakonu.
Drugi uslov je da su deformacije konstruktivnog elementa male.
Mogućnost primjene superpozicije
zavisit će od veličine ugiba v.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 11/89
2.3. Ekscentrično optereden štap
2.3.1. Proračun normalnih napona
Rezultanta unutrašnjih sila u popriječnom presjeku ovako opterećenogštapa svodi se na normalnu silu koja ne djeluje u težištu presjeka, nego
u tački u kojoj pravac djelovanja vanjskog opterećenja prodire kroz
ravan presjeka.
Ekscentrično opterećeni kratki štapovi,kod kojih se za proračun napona, nakon
svođenja složenog opterećenja na više jednostavnih slučajeva, koristi metoda
superpozicije.
Ravan djelovanja momenta redukcije M poklapa se sa pravcem duži CN.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 12/89
Naprezanja ekscentričnom normalnom silom svodi se na
kombinaciju aksijalnog naprezanja i kosog savijanja.
Neutralna osa:
Neutralna linija ne prolazi
kroz težište presjeka
Odsječci neutralne linije na koordinatnim osama:
Neutralna linija uvjek prolazi kroz
suprotni kvadrant od onog u kojem
djeluje normalna sila N, a njen
položaj isključivo zavisi od položajanapadne tačke sile N a ne od
njenog intenziteta ili predznaka.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 13/89
U slučaju malog ekscentriciteta, neutralna linija može da se nalazi izvan popriječnog presjeka, pa taj
pravac samo uslovno predstavlja neutralnu liniju.
Ni u ovom slučaju neutralna linija nije upravna na ravan djelovanja momenta, jer je:
= iz = iy, tj. kod presjeka kao što su krug ili kvadrat
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 14/89
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 15/89
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 16/89
Položaj neutralne linije najjednostavnije se može odrediti tako da naprezanje od aksijalnog i
popriječnog opterećenja svedemo na naprezanje od ekscentričnog djelovanja normalne sile, idućiobrnutim postupkom od onog koji se primjenjuje za proračun napona kod ekscentričnog djelovanja
normalne sile.
Položaj fiktivne napadne tačke normalne sile u popriječnom presjeku odredit ćemo na osnovu
jednačina:
, što omogućava da se odredi položaj neutralne linije. Vrijednosti
momenata i sila se unose sa odgovarajućim predznakom.
Napomena: Za razliku od ekscentrično opterećenog štapa, ovdje se veličina ekscentriciteta mijenja od
presjeka do presjeka, jer se mijenja vrijednost i predznak momenata i normalnih sila, što ima za
posljedici promjenu položaja neutralne osovine od presjeka do presjeka.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 17/89
2.3.2. Dimenzionisanje
I kod ove vrste naprezanja najveći ekvivalentni napon u jednom popriječnom presjeku najčešće je
jednak najvećem normalnom naponu.
Izuzetak može da bude naprezanje izazvano istovremenim djelovanjem popriječnog i aksijalnog
opterećenja, kod koga se javlja kombinacija normalnog i smičućeg napona, koja će rezultovatiekvivalentnim naponom koji je veći od najvećeg normalnog napona u popriječnom presjeku. Taj slučaj je jako rijedak, pa se dimenzionisanje vrši samo na osnovu najvećeg normalnog napona.
Složenost izraza za proračun napona i mnoštvo geometrijskih karakteristika uzrokuju da se
dimenzionisanje u ovim slučajevima obavlja probanjem.
Zbog činjenice da se najveći normalni naponi javljaju u tačkama najudaljenijim od neutralne linije, zapravougaone popriječne presjeke i one koji se mogu upisati u pravougaonik to su tačke u uglovima
presjeka, pa se za dimenzionisanje može koristiti izraz:
Ako je dopušteni napon za pritisak i zatezanje isti, svi članovi u gornjoj jednačini mogu se uzeti sa
apsolutnom vrijednošću i sabrati, jer se uvijek u jednom uglu presjeka ovi članovi javljaju sa istim
predznakom.
Dimenzionisanje će biti olakšano ukoliko se unaprijed znaju odnosno zadaju odnosi pojedinih strana
popriječnog presjeka ili odnosi pojedinih geometrijskih karakteristika.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 18/89
2.4. Jezgro presjeka
Dva granična slučaja:
-Neutralna osa prolazi kroz težište presjeka, napadna tačka
normalne sile je beskonačno daleko,-Neutralna linija prolazi beskonačno daleko od težišta presjeka,
napadan tačka normalne sile je u težištu presjeka.
Dio površine presjeka omeđen napadnim tačkama si la čije
neu t ralne osov ine tang i ra ju p res jek naz iva se jezgro
presjeka.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 19/89
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 20/89
Grafički postupak određivanja jezgra presjeka
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 21/89
3. NAPREZANJE ZAKRIVLJENIH ŠTAPOVA
3.1. Uopšteno o zakrivljenim štapovima
U praksi se veoma često susreću konstruktivni elementi u vidu zakrivljenih štapova:lukovi, svodovi,prstenovi, kuke i td.
Problem ovih konstruktivnih elemenata je da su im raspodjele napona dosta drugačije nego kod pravih
štapova, što ograničava primjenu izraza za proračun i dimenzionisanje, koji su izvedeni za prave štapove.
U ovom kursu ćemo se samo upoznati sa načinom analize i iznalaženjem relevantnih izraza za štapovesimetričnog popriječnog presjeka u odnosu na ravnine djelovanja opterećenja i osovina im leži u toj ravnini.
Spoljna opterećenja izazivaju pojav unutrašnjih sila, čijase rezultanta nalazi u ravni štapa i koja se možerastaviti na presječne sile: T, N i M.
Kod štapova koji ispunjavaju navedene pretpostavke,
vezane za geometriju i način djelovanja opterećenja,noramalni naponi, izazvani normalnim silama, i smičućinaponi, izazvani transferzalnim silama, proračunavajuse na isti način kao što je to kod pravih štapova:
Normalni naponi uzrokovani pojavom momenta savijanja ne mogu se računati prema izrazima
izvedenim za prave štapove, već u okviru posebno definisanih kriterija.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 22/89
3.2. Noramalni naponi o savijanja ko zakrivljenih štapova
Iako je i ovdje osnovna pretpostavka o ravnim presjecima, raspodjela normalnih napona u popriječnompresjeku razlikuje se od one koja se sreće kod ravnih štapova. Dvije osnovne razlike su u:
Neutralna osa kod zakrivljenih štapova ne prolazi kroz težište popriječnog presjeka,Noramalni naponi se ne mjenjaju linearno po visini popriječnog presjeka.Osnovni razlog ovim razlikama je što dužina vlakana štapa, duž težišne ose štapa (podužne ose) nijekonstantna, već je u funkciji od odstojanja vlakna u odnosu na centar krivine štapa.
r 0 – polupriječnik zakrivljenosti osovineštapa,r n – odstojanje neutralne površine od
centra krivine,
r – odstojanje proizvoljnog vlakna od
centra krivine.
Posmatrat će se vlakno EF na
odstojanju y od neutralne ose i
odstojanju r od centra krivine.
Njegova promjena dužine (skraćenje)nakon deformacije usljed čistogsavijanja je:
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 23/89
Pošto je početna dužina vlakna s = r , to će dilatacija posmatranog vlakna biti:
Također, na osnovu Hook-ovog zakona, normalni napon u odgovarajućim tačkama popriječnog presjeka
iznosi:
, čime je određen način raspodjele normalnih napona.
Položaj neutralne ose se određuje iz uslova da je suma sila koje djeluju okomito na presjek jednaka nuli:
Napomena: Neutralna osa je uvjek pomaknuta bliže centru zakrivljenosti štapa, u odnosu na težištepresjeka.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 24/89
Raspodjela normalnih napona po popriječnom presjeku se određuje iz slova ravnoteže momenata oko
neutralne ose:
Ako se izvrši integraljenje, vodeći računa o konstantnim veličinama, dobija se:
Na osnovu prethodnih izraza, članove u uglastoj zagradi (integrale) možemo zamjeniti sa sljedećimvrijednostima:
A uvrštavanjem u prethodni izraz dobijamo:
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 25/89
Sređivanjem izraza, dobija se:
Pa smo u mogućnosti da definišemo izraz za određivanje veličine normalnog napona u popriječnompresjeku zakrivljenog štapa, u funkciji od r:
Ako sada ovaj izraz dodatno sredimo, uzimajući da je: i , dobija se:
Dobijeni izraz podsjeća na poznatu formulu savijanja, ali isto tako pokazuje da se naponi po popriječnompresjeku zakrivljene grede mjenjaju po zakonu hiperbole i da se maksimalni napon, po apsolutnoj
vrijednosti, uvjek javlja na unutrašnjoj (konkavnoj) strani grede.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 26/89
Ako je y osa pozitivno usmjerena na suprotnu strano od zakrivljenosti (kao na narednoj slici) onda je:
3.3. Štap pravougaonog popriječnog presjeka
- položaj neutralne ose za pravougaoni presjek
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 27/89
Primjer:
Uporediti normalne napone u štapu pravougaonog popriječnog presjeka, dimenzija 5x5 cm, opterećenogmomentom savijanja M = 1,5 kNm, za tri različita slučaja zakrivljenosti:a) Prav štap,b) Zakrivljen štap sa srednjim radijusom r 0 = 22,5 cm,
c) Zakrivljen štap sa srednjim radijusom r 0 = 7,5 cm.
a)
b)
c)
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 28/89
Zaključci opšte važnosti:
Za štapove male zakrivljenosti može se koristiti i formula za savijanje pravih štapova. Mjera
zakrivljenosti je odnos r 0/h. Praktična granica primjenjivosti formule za prave štapove je r 0/h = 10.
Položaj neutralne osovine mora se veoma tačno proračunati jer je e, u izrazima za napon, određeno kao
razlika numerički podjednakih veličina (r 0 i r n), pa i najmanja greška pri određivanju r n ima veliki odraz
tačnosti na proračunate napone.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 29/89
3.4. Neki rugi oblici popriječnog presjeka
a) Krug:
b) Trokut:
c) Trapez:
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 30/89
4. STABILNOST PRITISNUTIH ŠTAPOVA
4.1. Uvod
Dva kriterija za dimenzionisanje konstruktivnih elemenata:
1. Kriterij čvrstoće materijala, kojim se obezbjeđuju naponi manji od onih koji bi mogli da prouzrokujuslom materijala,
2. Kriterij deformacije, kojim se obezbjeđuju deformacije manje od onih koje se definišu kao
neprihvatljive deformacije.
Pored ovih kriterija, kod dimenzionisanja nekih konstruktivnih elemenata, mora se razmotriti i njihova
stabilnost, tj. sposobnost da preuzmu vanjsko opterećenje a da pri tome ne dođe do iznenadne
promjene u obliku konstruktivnog elementa ili čitave konstrukcije, što može da bude uzrok rušenja
konstrukcije.
Stabilna ravnoteža Labilna ravnoteža
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 31/89
4.2. Priroda problema
Stabilnost sistema zavisi isključivo od vrijednosti sile F, jer ako je F > k h onda sistem postaje
nestabilan.
Zbog te činjenice sile F = k h naziva se kritičnom silom i označava sa Fkr .
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 32/89
Stabilna ravnotežaI z v i j a n j e
Indiferentna ravnoteža
Zaključak : Idealno prav štap opterećen aksijalnom silom neće se izviti
čim sila prekorači veličinu kritične sile, nego će samo preći u stanje
labilne ravnoteže. Tek kada ga malim poremećajem izvedemo iz
ravnotežnog položaja, on će se izviti i slomiti.
Međutim, štapovi u stvarnosti nikada nisu idealno pravi , tako da kada
aksijalna sila dostigne veličinu kritične sile za idealan štap, poremećaj
ravnotežnog položaja već postoji, pa će se štap izviti bez bilo kakvog
dopunskog vanjskog poremećaja.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 33/89
4.3. Kritična sila za štap zglobno vezan na oba kraja. Euler-ova
formula
Diferencijalna jednačina
elastične linije
Diferencijalna jednačina ravnotežeizvijenog štapa
Linearna diferencijalna
jednačina drugog reda sa
konstantnim koeficijentima
Euler-ova kritična sila
(Euler-ov izraz)
Jednačina elastične linije
izvijenog štapa (sinusoidni
polutalas)
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 34/89
4.4. Drugi slučajevi učvršdenja štapa na krajevima. Slobonaužina izvijanja
-Na jednom kraju uklješten a na drugom slobodan:
-Uklješten na oba kraja:
-Na jednom kraju uklješten a na drugom zglobnoučvršćen:
a) Obostrano zglobno vezan štap:
b) Obostrano uklješten štap:
c) Štap jednim krajem uklješten a drugimzglobno vezan:
d) Štap jednim krajem uklješten a drugimslobodan
li – slobodna dužina izvijanja (dužina ekvivalentnog
obostrano zglobno oslonjenog štapa)
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 35/89
Slobodna dužina izvijanja je dužina između prevojnih tačaka na elastičnoj liniji izvijenog štapa ,
odnosno zglobova, ako ih ima.
Svi prethodni izrazi i zaključci izvedeni su uz pretpostavku
da se materijal ponaša linearno elastično. Zbog toga se ti
izrazi smiju upotrebljava ti samo dok se štap deformiše u
području linearno elastičnih deformacija.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 36/89
4.5. Kritični napon u linearnom poručju eformacija. Vitkostštapa
Normalni napon koji bi se javio u štapu kada bi na njega djelovala kritična sila, naziva se kritični napon .
Vitkost štapa
Euler-ova hiperbola
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 37/89
4.6. Kritični napon u nelinearnom poručju eformacija
Kritični napon ni u kom slučaju ne može preći vrijednost čvrstoće
materijala M, bez obzira kakvi naponi se dobijali na osnovuprethodnog izraza, jer će se štapovi kod kojih je vitkost manja od
M uvjek će se prije slomiti zbog prekoračenja čvrstoće materijala
prije nego što izgube stabilnost. To su tzv. kratki štapovi.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 38/89
4.7. Dopušteni napon. Dimenzionisanje
Dopušteni napon u ovom slučaju je najveći normalni napon, koji se smije pojaviti u pritisnutom vitkom
štapu, kako bi bili bezbjedni da u toku eksploatacije štap nikada neće doći u stanje labilne ravnoteže,
što bi opet neposredno dovelo do njegovog sloma.
Koeficijent sigurnosti nije konstantna veličina, već zavisi od promjene vitkosti štapa tj. n = n( ).
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 39/89
4.8. Ekscentrično pritisnuti vitki štapovi
U ovom slučaju više nije problem izvijanja
određivanje opterećenja pri kojem će doći do
nestabilnosti i izvijanja već određivanjeopterećenja pri kojem će u štapu doći do sloma
u materijalu usljed povećanja napona ili pri
kojem će doći do pretjerano velikih deformacija.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 40/89
Maksimalni ugib će se dobiti na polovini raspona (x= l/2):
Sekans je funkcija koja je jednaka jedinici kada je argument jednak nuli, a beskonačno velika kada je
argument jednak /2. Prema tome, ugib je beskonačno veliki kada je:
, odnosno kada sila F dostigne vrijednost kritične sile za
aksijalno opterećen štap.
Kod ekscentrično pritisnutih vitkih štapova, napone ne možemo računati jednostavnom
superpozicijom normalne sile i momenta ekscentriciteta, kako je to bilo kod ekscentrično pritisnutih
kratkih štapova.
Maksimalni moment savijanja je na mjestu maksimalnog ugiba (sredina raspona).
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 41/89
Maksimalni normalni napon se javlja u tačkama najudaljenijim od neutralne osovine:
M, l = liSekansna formula
Sekansna formula je primjenjiva samo dok se štap deformiše u području elastičnih deformacija (naponi
manji od napona na granici proporcionalnosti).
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 42/89
Za max je uzeta vrijednost napona na granici proporcionalnosti.
Za <50, uticaj deformacije štapa na
veličinu napona se može zanemariti a
naponi se mogu proračunati po formuli
za kratke štapove .
Sa porastom odnosa e/y0, tj. sa
povećanjem ekscentriciteta napadne
tačke normalne sile, uticaj vitkosti,
odnosno deformacije štapa na ukupni
napon postaje sve manji, i kada taj
odnos dostigne vrijednost 2 praktičnose može zanemariti, a normalni napon
se opet može proračunati po formuli
, bez obzira na vitkost
štapa.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 43/89
4.9. Opšti slučaj savijanja vitkih štapova kombinovan saaksijalnim pritiskom
, pa je rješenje homogene jednačine:
, a partikularno se određuje za svaki slučaj opterećenjaposebno, dok se konstante integracije određuju iz
graničnih uslova , najčešće na krajevima štapa.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 44/89
Granični uslovi:
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 45/89
4.10. Dimenzionisanje ekscentrično pritisnutih vitkih štapova
Kod dimenzionisanja ovako opterećenih konstruktivnih elemenata susreću se dva pristupa:
a) Metod dopuštenog napona,
b) Interakcioni metod.
A) Metod dopuštenog napona
Vrijednost di, za dati materijal, zavisi od vitkosti štapa. Veličina momenta savijanja uzima se u
zavisnosti od dijagrama momenata na štapu i oblika izvijene osovine centrično pritisnutog štapa,tako da napon proračunat gornjom jednačinom bude približno jednak, ali ne manji, od stvarnog
maksimalnog napona pritiska u štapu, čiju je tačnu lokaciju u većini slučajeva veoma teško odrediti.
U većini propisa dopušteni napon se određuje na osnovu najveće vitkosti štapa, bez obzira na
ravan djelovanja momenta savijanja, što u nekim slučajevima za posljedicu ima neracionalan izbor
dimenzija presjeka.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 46/89
B) Interakcioni metod
Dopušteni napon na izvijanje, kako je ranije pokazano, višestruko je manji od odpuštenognapona na savijanje. Zbog toga primjena prethodnog izraza, po kojem suma napona od
aksijane sile i momenta savijanja ne smije prekoračiti dopušteni napon na izvijanje, dodovdi do
predimenzioniranja popriječnog presjeka.Logično je da će se poboljšanje postupka dimenzionisanja sastojati u tome da se za svaki članprethodne jednačine primjeni odgovarajući dopušteni napon. U tom pogledu transformiše se
prethodna jednačina u oblik:
U drugom članu, umjesto dozvoljenog napona na izvijanje, uzet
ćemo dozvoljeni napon na savijanje.
Interakciona formula
Dalja modifikacija je moguća ukoliko se dopušteni napon na izvijanje definiše kao procenat
dopuštenog napona na savijanje. Ukoliko je ovaj drugi jednak dopuštenom naponu za kratke
aksijalno opterećene štapove , pa je:
5 ŠTAPOVI TANKOSTIJENOG PRESJEKA
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 47/89
5.1. Smičudi naponi u tankostijenim greama
Smičući naponi se javljaju u bilo
kojoj uzdužnoj popriječnoj ravnini
a ne samo u horizontalnoj.
Kod tankostijenih greda u interesu
su u prvom redu smičući naponi
koji se javljaju u presječnimravninama okomitim na stijenke
presjeka, jer je tada površina
presjeka najmanja tj. naponi sunajveći.
Podužni presjek okomit na vanjske
površine stijenke presjeka, a smičućinapon je u pravcu tangente na konturu
presjeka
5. ŠTAPOVI TANKOSTIJENOG PRESJEKA
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 48/89
Komponenta okomita na konturu presjeka smatra se da je jednaka nuli, po cijeloj debljini stijenke zbog
blizine konture presjeka.
Smičuća sila na jedinicu dužine stijenke presjeka, s = f (S)
Tok smicanja ili tok smičućih napona, pomoću kojeg se može jednostavno odrediti smjer
djelovanja smičućih napona u horizontalnim djelovima presjeka iz smjera (predznaka)
smičućih napona u vertikalnim djelovima presjeka (koji je isti kao i smjer transverzalne sile).
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 49/89
5.2. Centar smicanja
Ako opterećenje ne djeluje u ravni simetrije presjeka, pored savijanja dolazi i do uvijanja grede oko
uzdužne osovine, bez obzira što opterećenje djeluje kroz težište presjeka i u ravni glavne ose inercije.
Iz dijagrama smičućih napona B
T1 Odstojanje “e” ni je zavisno od transverzalne si le
nit i od mjesta presjeka uzduž grede, pa je s toga
odstojanje “e” geom etri jsk a karakteris t ika presj eka.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 50/89
Na sličan način se odredi i položaj ravnine u kojoj mora djelovati horizontalna sila da ne bi došlo do
uvijanja grede. Za “ ” profil, zbog simetrije, ta ravnina se poklapa sa z-osom.
Presjek ove dvije okomit e ravnine i ravni ne popriječnog presjeka definišu tačku koja se
naziva centar sm icanja i označava se C s .
Centar smicanja za prizmatičnu gredu leži na podužnoj liniji paralelnoj osovini grede. Ako popriječnoopterećenje djeluje kroz centar smicanja, ne dolazi do uvijanja grede, a ako ne djeluje, onda se
uvijanje događa oko centra smicanja, koji ostaje nepromjenljiv. Zbog toga se nekada centar smicanja
naziva centar uvijanja.
Kod popriječnih presjeka koji imaju jednu osovinu simetrije, centar smicanja uvjek leži na jednoj . Kod
presjeka koji imaju dvije ose simetrije centar smicanja se poklapa sa težištem presjeka.
5 3 Torzija štapova tankostjenog otvorenog presjeka
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 51/89
5.3. Torzija štapova tankostjenog otvorenog presjeka
Ugao uvijanja i maksimalni smičućinapon u ovakvim presjecima mogu
proračunati pomoću obrazaca za
pravougaoni popriječni presjek, s tim
da se odnos dužine “s” i debljine
stijenke “t” uzima kao i prema
njemu se odabiru vrijednosti za
koeficijente i .
Maksimalni smičućinapon u presjeku
Maksimalni smičućinapon u presjeku
5 4 Štapovi tankostjenog zatvorenog presjeka
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 52/89
5.4. Štapovi tankostjenog zatvorenog presjeka
Mogu se koristiti izrazi za puni kružni odnosno
prstenasti presjek.
5 5 Dimenzionisanje
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 53/89
5.5. Dimenzionisanje
Dimenzioniranje je najjednostavnije obaviti po teoriji dopuštenog smičućeg napona:
Pored dimenzioniranja na dopušteni napon tj. po kriteriju čvrstoće, ponekada sedimenzioniranje može izvršiti po kriteriju dopuštenog ugla uvijanja štapa.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 54/89
6. ENERGETSKE METODE
6.1. Uvod
Dosadašnja rješenja problema su se bazirala na vektorskom rješavanju ravnoteže tijela koja su podspoljnim opterećenjam.
Pored ovog razmatranja moguće je ove probleme rješavati i korištenjem skalarnih funkcija na bazi
energetskih principa. Osnovni princip ovog razmatranja je održanje energije.
Energetski pristup ima velike prednosti kada su u pitanju rješavanja složenih problema deformacije tijela.
Prednost mu je što omogućava da se na sistematski način formulišu dopunske jednačine, neophodne za
rješavanje statički neodređenih sistema.
6.2. Rad sile na pomjeranju i deformaciji tijela
O t j d j kih il i j j tij l ži št b b i či
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 55/89
Ovo razmatranje o radu vanjskih sila pri pomjeranju tijela važi uopšteno, bez obzira na načinmanifestovanja spoljenje akcije na tijelo. S toga će se u dalje razmatrati generalisana sila Q i
odgovarajuće generalisano pomjeranje .
Prethodni izrazi se ne mogu primjeniti kada je u pitanju rad kojim se vrši deformacija tijela. U ovom
slučaju sila djeluje od svoje nulte vrijednosti do konačne, pa su i deformacije od nulte vrijednosti do
njihovih konačnih vrijednosti. Prema tome, sila ne djeluje u svojoj punoj veličini na cijelom pomjeranju.
Do sada se ovom problemu pristupalo tzv. statičkim tretmanom, kod kojeg se podrazumjeva da je prirast
sile dovoljno spor pa se inercijalne sile i kinetička energija, koji se javljaju u tijelu mogu zanemariti.
Za lienearno elastičnu deformaciju:
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 56/89
Za lienearno elastičnu deformaciju:
k – krutost štapa, nagib linije 0A
Pravilo opšte važnosti: rad sile na deformaciji čvrstog tijela koju sama ta sila izaziva u području
linearno elastičnih deformacija, jedanak je polovini proizvoda sile i pomjeranja u pravcu
djelovanja sile.
Ako na neko tijelo već djeluje sila Q1 u svojoj punoj veličini, a zatim na tijelo počne djelovati neka druga
sila , Q2
, onda je rad koji sila Q1
izvrši na deformaciji prouzrokovanoj silom Q2
, jednak proizvodu izmeđusile Q1 i odgovarajuće deformacije izazvane silom Q2, jer je sila Q1 već djelovala u svojoj punoj veličinikada se desilo pomjeranje prouzrokovano silom Q2. Isto pravilo važi kada su u pitanju virtualna
pomjeranja.
6 3 Osnovni principi
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 57/89
6.3. Osnovni principi
U mehanici se energija definiše kao sposobnost da se izvrši neki rad. Prilikom rada sile na deformaciji tijela
dio energije se potroši odnson preda deformisanom tijelu. Tom energijom ono se vraća u prvobitno stanje
nakon prestanka djelovnja sile.
Pošto se kod elastičnih tijela deformacija u potpunosti eliminiše, odnosno tijelo se vraća u prvobitni oblik,nakon prestanka djelovanja spoljne sile, energija akumulirana u tijelu jednaka je radu koji su izvršile vanjske
sile na deformaciji tijela, odnosno:
Kod neelastičnih tijela dio energije potrošen na deformaciju se pretvara u toplotu tako da preostali dio
akumulirane energije nije u stanju da tijelo vrati u prvobitni oblik.
Energija koja je ostala akumulirana u tijelu naziva se još energija elastične deformacije.
Pod djelovanjem vanjskih sila u tijelu se javljaju unutrašnje sile koje takođe vrše rad pri deformaciji sistema
(Wu). Kako su one u ravnoteži sa spoljašnjim silama to je rad sistemaspoljašnih sila jednak radu sistema
unutrašjih sila, pošto se deformacija obavlja na istom tijelu. Naravno, rad sistema unutrašnjih sila ima samo
negativna predznak (odnosno suprotan predznak):
tj. energija elastične deformacije jednaka je radu unutrašnjih sila sa negativnim predznakom.
6 4 Castigliano ove teoreme
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 58/89
6.4. Castigliano-ove teoreme
Alberto Castigliano (1847 – 1884)
Energetske metode za proračun deformacija linearno elastičnih tijela
zasnivaju se na sljedećeoj teoremi:
Pomjeranje i na mjestu i u pravcu djelovanja sile Qi jednako jeparcijalnom izvodu energije deformacije po sili Qi.
Ovo je Druga Castigliano-ova teorema.
Ako je tijelo izloženo djelovanju sistema vanjskih sila i sile Q energija deformacije akumulirana u
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 59/89
Ako je tijelo izloženo djelovanju sistema vanjskih sila i sile Qk, energija deformacije akumulirana u
njemu jednaka je:
Ako se pođe obrnutim redom kod nanošenja opterećenja, pa najprije nanesemo silu Qk imat ćemo:
Ako nakon toga nanesemo ostale sile Qi desit će se i deformacije i. Mehanički rad koji se tom prilikomizvršava sastojat će se iz rada koje sile Qi izvrše na pomjeranjima i i rada koji sila Qk izvrši na
pomjeranju k ( Qk k).
Ukupni mehanički rad je:
Postoji i prva Castigliano-ova teorema, koja je od manjeg značaja u praktičnoj primjeni i glasi:
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 60/89
j p g , j j j g j p j p j g
Sila Qi jednaka je parcijalnom izvodu energije deformacije po pomjeranju i koje odgovara toj sili.
6 5 Oređivanje energije eformacije u linearno elastičnom tijelu
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 61/89
6.5. Oređivanje energije eformacije u linearno elastičnom tijelu
Rad utrošen na deformaciju tijela najednostavnije je proračunati kao rad unutrašnjih sila primjenom
principa o održanju energije. Taj rad je kod linearno elastičnih tijela ujedno jednak energiji elastičnedeformacije.
Kod idelano elastičnog tijelanema rasipanja energije pri
deformisanju
Izraz za energiju elastičnu deformacije elementarnog kvadra izloženog čistom smicanju može se izvesti na
l či
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 62/89
anlogan način:
Za trodimenzijalno stanje napona, energija elastične deformaije se dobija superpozicioniranjem:
Jedan dio deformacionog rada se troši na promjenu oblika a drugi na promjenu zapremine pa je i
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 63/89
Jedan dio deformacionog rada se troši na promjenu oblika a drugi na promjenu zapremine, pa je isprecifičnu energiju deformacije moguće prikazati kao zbir energije na promjeni zapremine i energije napromjeni oblika.
Specifična energija na promjeni zapremine je:
Specifična energija na promjeni oblika je:
6 6 Energija elastične eformacije linijskih nosača
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 64/89
6.6. Energija elastične eformacije linijskih nosača
Energiju elastične deformacije linijskih nosača najjednostavnije je odrediti na način da se najprije
izračunaju ove energije za pojedine presječne sile a nakon toga se izvrši njihova superpozicija.
A) Energija deformacije od normalne sile
B) Energija deformacije od momenta savijanja
C) Energija deformacije od transverzalne sile
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 65/89
C) Energija deformacije od transverzalne sile
= 6/5 - za pravougaoni presjek
=10/9 - za kružni presjek
D) Energija deformacije od momenta torzije
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 66/89
D) Energija deformacije od momenta torzije
Ovaj izraz važi i za štapove drugačijeg popriječnog presjeka, s tim da se umjesto polarnog momenta
inercije uvrštava moment torzije koji se koriste za te presjeka u izrazu za proračun ugla uvijanja od
torzije.
Za pravougaoni presjek:
Za otvoreni tankostijeni presjek:
Za zatvorene tankostijene:
Torzioni momenti inercije presjeka
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 67/89
Integrali koji se nalaze u prethodnoj jednačini nazivaju se Mohr-ovi integrali.
6.7. Oređivanje pomjeranja linijskih nosača
E) Opšti slučaj naprezanja
Kada je poznata energija elastične deformacije linijskog nosača, pomjeranje nosača u tački u kojoj
djeluje neka vanjska sila možemo odrediti primjenom druge Castigliano-ove teoreme.
Ovaj izraz ima izvjestan nedostatk jer omogućava da se izračuna pomjeranje samo napadnim tačkamalj jih ć j i jih dj l j
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 68/89
spoljnjih opterećenja i u pravcu njihovog djelovanja.
Taj nedostatak su riješili Mohr i Maxwell, dajući jedan sličan izraz, a na osnovu činjenice da je kod linearno
elastičnih sistema, za područje malih deformacija, statički uticaj linearna funkcija opterećenja.
To omogućava da se u nosaču opterećenom silama Qi može izraz za moment savijanja Mz u nekom
presjeku napisati u sljedećem obliku:
- koeficijent, predstavlja moment Mz u presjeku x izazvan jediničnom silom Qi = 1, dok su ostale
sile na nosaču jednake 0. (Sila Qi je bezdimenzionalna veličina).
Koeficijenti su funkcije samo napadne tačke sile i presjeka u kojem proračunavamo uticaj.
i td. predstavljaju statičke uticaje u nosaču od djelovanja bezdimenzionalne jedinične sile,
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 69/89
prethodni izraz, za proračun pomjeranja, omogućava nam da proračunamo pomjeranje u bilo kojoj tački i ubilo kom pravcu na nosaču.
Svaki od integrala u predhodnoj jednačini predstavlja uticaj odgovarajuće presječne sile na pomjeranje
nosača.
Bitno je znati da uticaji pojedidinih presječnih sila nisu podjednako značajni za određena pomjeranja i zaviseod vrste napregnutosti nosača (stanja naprezanja).
- nosač napregnut na savijanje
Uticaj momenta torzije na pomjeranje nosača istog je značaja kao i moment savijanja i mora se uzeti uobzir pri proračunu pomjeranja.Kod rešetki je značajan uticaj noramlanih (aksijalnih) sila.
6 8 Pravilo Vereščagin-a
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 70/89
6.8. Pravilo Vereščagin-a
Pravilo Vereščagin-a glasi: Ako se podintegralna funkcija može prestaviti kako proizvod dvije funkcije, od
kojih je barem jedna linearna u čitavom području integraljenja, onda je vrijednost određenog integrala
jednaka proizvodu od površine ispod dijagrama nelinearne funkcije i ordinate linearne funkcije na mjestu
težišta površine nelinearne funkcije.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 71/89
6 9 Opšti način rješavanja statički neoređenih nosača
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 72/89
6.9. Opšti način rješavanja statički neoređenih nosača
Maxwell – Mohr-ov metod omogućava na jednostavan način, iz razmatranje deformacije sistema, dobijanja
uslova neophodnih za rješavanje statički neodređenih problema sa kojima se se nadopunjuju statičke jednačine ravnoteže.
Pošto se radi o linearno elastičnom sistemu možemo pisati:
Ostale reakcije i presječne sile u nosaču dalje dobijamo kao kod bilo kojeg drugog statički određenogsistema, gdje je X vanjsko opterećenje.Pomjeranja xp i xx određuju se metodom Maxwell – Mohr-a u zavisnosti od zadatog sistema i
opterećenja.
6 10 Energetska interpretacija - dijagrama
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 73/89
6.10. Energetska interpretacija dijagrama
Definicija vezana za specifičnu energiju deformacije, kod linearno elastičnih materijala, može se proširitii za one koji se ne ponašaju ovako.
Površina ispod krive konstruisane sve do slomapredstavlja specifičnu energiju koju je potrebno utrošitida bi se izazvao slom materijala, izloženog jednoaksijalnom naprezanju.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 74/89
Petlja histerezisa
7. OSNOVI PRORAČUNA NOSAČA U PODRUČJU NEELASTIČNIH
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 75/89
DEFORMACIJA
7.1. Uvod
Do sada razmatrane zakonitosti su primjenjive u linearno elastičnom području ponašanja materijala.
Inženjerski objekti obično se i projektuju na način da se u njima ne dopušta pojava neelastičnihdeformacija.
U slučajevima zemljotresnog opterećenja nije baš opravdano elastično ponašanje konstrukcije pa se tada
dozvoljava njeno neelastično ponašanje, što iziskuje proširenje dosadašnjih razmatranja na neelastičnapodručja.
Sa matematičkog stajališta to je znatno komplikovaniji problem pa će se u ovom obimu predavanja
posmatrati samo jednostavni slučajevi, ali dovoljni da se stekne uvid u osnove neelastičnog deformisanja
konstruktivnih elemenata i njihovog proračuna.
7.2. Savijanje gree u poručju nelinearnih eformacija
Pretpostavke:•Ravni i okomiti presjeci ostaju takvi i nakon savijanja,
•Kod pravih štapova dilatacije vlakana štapa, kod savijanja, linearno su proporcionalna njihovom
odstojanju od neutralne ose,
•Zanemaruje se Poisson-ov efekat, pa se uzdužna vlakna deformišu nezavisno jedno od drugog svako
vlakno se posmatra kao infinitezimalno tanak aksijalno opterećen štap),•Veličina napona u pojedinim vlaknima, za poznatu dilataciju, može odrediti direktno iz - dijagrama.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 76/89
Treća jedančina je zadovoljena trivijalno ako
popriječni presjek ima barem jednu osovinu
simetrije podudarnu sa ravninom djelovanja
momenta savijanja.
Raspodjela normalnih napona u popriječnompresjeku koja zadovoljava prvi i drugu
jednačinu može se u opštem slučaju dobiti
samo probanjem.
- dijagram je nelinearan i različit za pritisak
i zatezanje pa neutralna osovina ne prolazi
kroz težište presjeka.
S toga se mora pretpostaviti i položaj neutralne
ose i veličina dilatacija u presjeku.
Za tako pretpostavljene dilatacije konstrujiše se dijagram napona i provjeri da li je zadovoljena prva
j d či t ž
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 77/89
jednačina ravnoteže.
Položaj neutralne ose se mjenja sve dok prva jednačina ne bude zadovoljena, a zatim se provjerava
druga jednačina. Ukoliko nije zadovoljena, povećava se ili smanjuje veličina dilatacije i postupak se
ponavlja sve do zadovoljenja obje jednačine.
Potrebno je uočiti da prva jednačina predstavlja uslov da je rezultanta pritiskujućih napona jednakarezultanti zatežućih napona (P = Z).
U drugoj jednačini integral predstavlja moment što ga stvaraju sile P i Z.
Problem se znatno pojednostavljuje kada popriječni presjek posjeduje dvije osovine simetrije i kada je
dijagram - isti i za pritisak i za zatezanje, jer je u tom slučaju neutralna osa u težištu porpiječnogpresjeka. U ovakvom slučaju je potrebno samo odrediti dilatacije za koje će biti zadovoljena druga
jednačina.
Pomoću druge jednačine određuje se moment savijanja koji odgovara raspodjeli normalnih napona u
popriječnom presjeku kako je to prikazano na prethodnoj slici, ili datoj na neki drugi način, odnosno:
Važna vrijednost momenta savijanja u razmatranju problema savijanja grede u području neelastičnihdeformacija je granični momenat M koji uzrokuje slom grede
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 78/89
deformacija je granični momenat Mp,, koji uzrokuje slom grede.
Njegova veličina se određuje pomoću druge jednačine ravnoteže, tako da u krajnjim vlaknima
popriječnog presjeka pretpostavimo dilatacije koje odgovaraju naponu pri slomu materijala M i
izvrši se ranije opisan proračun.
7.3. Gree izrađene o elastoplastičnog materijala
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 79/89
Pretpostavke: idealno elastoplastičan materijal, pravougaoni popriječni presjek dijagram - isti za pritisak
i za zatezanje.
T i T – napon i dilatacija na granici tečenja.
Moment tečenja ili najveći elastičnimoment savijanja
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 80/89
Zone plastifikacije Zone elastične deformacije
Sa povećanjem momenta savijanja povećava se plastična zona a elastična smanjuje, ali teoretski
nikada ta elastična zona ne može nestati
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 81/89
nikada ta elastična zona ne može nestati.
Pošto je doprinos te male elastične zone u ukupnoj nosivosti grede veoma mali, to se najveći moment
savijanja tj. granični moment određuje pod pretpostavkom da su i zategnuta i pritisnuta zona u
potpunosti plastificirane.
Vrijednost tog graničnog momenta se dobija sa uslovom da je yT = 0, pa je:
Zaključak: Za pravougaoni popriječni presjek granični moment je 1,5 puta veći od momenta tečenja.
Za valjane profile odnos između Mp i MT kreće se u granicama od 1,15 do 1,20.
Mp/MT = Wp – plastični otporni moment popriječnog presjeka.
Za pravougaoni popriječni presjek Wp = bh2/4 i tačno je 1,5 puta veći od njegovog otpornosg momenta
koji je W = bh2/6.
Ako je poznat plasitični otporni moment nekog presjeka onda je:
Ukoliko u tablicama za valjane profile postoji odnos između plastičnog i elastičnog otpornog momenta,
prethodna jednačina ima i praktičnu primjenu. U nekim zemljama se taj odnos stavlja u tablicama za
valjane profile.
Proračun postaje složeniji ukoliko imamo samo jednu ravninu simetrije odnosno jednu težišnu osu
simetrije.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 82/89
simetrije.
Razmotrit ćemo određivanje graničnog momenta u slučaju kada su normalni naponi u svim tačkama sa
jedne strane neutralne linije jednaki - T a sa druge + T.
Položaj neutralne ose se i ovdje određuje iz uslova da su pritiskujuće sile P jednake zatežućim silama Z.
Pošto sile P i Z djeluju u težištima površina A1
i A2, očigledno je da je:
Kako je A1 = A2 = A/2 onda se izraz za granični moment može napisati u obliku:
7.4. Deformacija elastoplastične gree
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 83/89
Izrazi za ugib grede u elastičnom području ne mogu da se koriste kod neelastičnih deformacija ali moguda se koriste pristupi rješavanja problema, tj. odnos između zakrivljenosti neutralne površine i momentasavijanja, jer i ovdje važi pretpostavka o ravnim presjecima odnsno o linearnoj raspodjeli dilatacija po
visini popriječnog presjeka. Odnos između zakrivljenosti i dilaticije dat je izrazom:
T – dilatacija na granici tečenja
Ako se vrijednost za y uvrsti u izraz za moment dobija se direktna veza između radijusa krivine i
momenta savijanja M, za gredu koja se deformiše u području plastičnih deformacija. Za pravougaoni
presjek to je:
U području elastičnih deformacija imamo:
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 84/89
- za gredu pravougaonog popriječnog presjeka, što se rješavanumeričkim integraljenjem.
Stanje deformacije u presjeku u kojem je dostignut
granični moment naziva se plastični zglob. Za
razliku od mehaničkog zgloba u kome je moment
jednak nuli, u plastičnom zglobu se velikadeformacija dešava uz konstantnu vrijednost
momenta.
Nakon rasterećenja, smanjenje deformacije se
dešava po linearno elastičnom zakonu uz zaostalu
zakrivljenost.
Iz zaostale zakrivljenosti određene pomoćudijagrama (za sve presjeke grede) ili analitički,moguće je odrediti trajni ugib grede numeričkim ili
analitičkim integraljenjem dijagrama zaostale
zakrivljenosti (dva puta se integrali) , na isti načinkako se određuje i ugib u fazi opterećenja.
7.5. Zaostali naponi
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 85/89
Pri rasterećenju greda izrađenih od elastoplastičnog materijala, kada je moment savijanja jednak nuli,
normalni naponi u popriječnom presjeku, u opštem slučaju, neće biti jednaki nuli. Ovi naponi se nazivaju
zaostali naponi.
Oni ne moraju biti čak ni jednaki po predznaku (karakteru) onim naponima koji su bili pri potpunom
opterećenju grede.
Razlog tome je što se deformacije pri opterećenju dešavaju po elastoplastičnoj zakonitosti a pri
rasterećenju po linearno elastičnoj zakonitosti.
Zaostali naponi se računaju metodom superpozicije:
1. Najprije se izračunaju naponi koji odgovaraju momentu u fazi opterećenja,2. Zatim se proračunaju momenti koji odgovaraju momentu uz pretpostavku linearno elastičnog
deformisanja,
3. Sabiraju se naponi iz ove dvije faze i dobijaju zaostali naponi po visini popriječnog presjeka.
7.6. Granično opteredenje gree
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 86/89
Dimenzionisanje konstruktivnih elemenata temeljeno je na principu da dopušteni naponi neće biti
prekoračeni od strane ekvivalentnih napona, koji su određeni po nekoj od teorija loma i predstavljaju
kvantitativnu uporednu vrijednost složenog naponskog stanja koji vlada u nekom napregnutomkonstruktivnom elementu.
Ovakav princip je veoma aplikativan kod krhtih materijla, od kojih su izrađeni konstruktivni elementi
odnosno konstrukcija.
Kod materijala koji posjeduju osobinu plastičnog tečenja, pojava napona na grnici tečenja u nekoliko
tačaka konstruktivnog elementa neće izazvati lom tog elementa. To je pokazano kod elastoplsatičnogmaterijala kod koga je element mogao da preuzme za još 505 veći moment od onog koji je prouzročioprva plastične deformacije. Tek nakon toga dolazi do potpune plastifikacije elementa i njegove
neograničene deformacije, što karakteriše lom ovih konstrukcija.
Opterećenje koje kod konstruktivnih leemenata izgrađenih od elastoplastičnih materijala
izaziva slom naziva se granično opterećenje.
Ne zavisi od vrste materijala,
te je ordinata na dijagramu
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 87/89
te je ordinata na dijagramu
momenata ista bez obzira u
kojem stadijumu deformacije
se nosač nalazi.
I stadijum – Mmax < MT, naponi u gredi su manji od T,
greda se nalazi u području elastičnih deformacija
II stadijum – F se povećava do mjere kada Mmax > MT,
dio grede u području maksimalnog momenta se
plastificira, nema loma grede jer postoji jezgro koje se
nalazi u stadijumu elastičnih deformacija. Stadijum
ograničenog plastičnog tečenja.
III stadijum – Mmax = Mp, formira se plastični zglob a
greda se pretvara u kinematički mehanizam, ugib se
neograničeno povećava bez prirasta F što je slom
grede.
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 88/89
Kod određivanja graničnog opterećenja, na mjestima pojave ekstremnih momenata “ubaci se” onoliko
plasitčnih zglobova, koliko je potrebno da se formira mogući mehanizam loma,a zatim se proračunaopterećenje koje odgovara pretpostavljenom mehanizmu.
Jednostavne konstrukcije imaju jedan mehanizam loma, dok se kod složenijih konstrukcija možepojaviti njih više.
Kada imamo više mehanizama loma, tada se kao granično opterećenje uzima ono koje ima minimalnu
vrijednost od svih opterećenja, dobijenih kroz proračune za različite mehanizme loma.
Ne zavisi od plastificirane zone (crno
područje na slici), što lakšava određivanjegraničnog opterećenja.
a) Poduprta konzola opterećena koncentrisanom silom
7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II
http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 89/89