2,3 tree dan a,b tree2,3 tree dan a,b treeDisadur dari Materi Kuliah: Annisa, Dept. Ilmu Komputer FMIPA IPB
Balanced Tree = AVL Tree?Balanced Tree = AVL Tree?
AVL Tree menjamin tree selalu berada dalam keadaan (minimal) complete binary tree atau almost balanced tujuan utama perfect binary tree
Good performance in searches, insertion, deletion
AVL-tree tetap saja masih punya perbedaan level.
Rearranged method to keep balanced tree high cost
2, 3 Tree main idea2, 3 Tree main idea
maintaining perfect balanced tree without rearranged like AVL-tree.
mengizinkan jumlah key yang dapat ditampung oleh sebuah node bervariasi.
2,3 tree2,3 tree
Each node in 2,3 tree is permitted to contain either one or two search key and to have either two or three descendants
Semua leaves adalah subtree kosong dan berada tepat satu level dibawahnya.
2,3 Tree Rule of placement2,3 Tree Rule of placement
Degree 2 (node berderajat 2)◦key subtree kiri < keyroot <keysubtree
kanan◦A < B < C
Degree 3 (node berderajat 3)◦ key subtree kiri < key root1 < key subtree tengah <
key root2 < key subtree kanan◦ A < B < C < D < E
B
A C
B D
A EC
2,3 Tree Insertion2,3 Tree Insertion
• Insert pada node dengan 1 elemen, langsung masuk
• Insert pada node dengan 2 elemen, urutkan search key, dan key yang di tengah naik menjadi parent.
A A B A B C B
A C
ExampleExample
Masukkan ke dalam sebuah 2,3 tree masukan berikut:
10, 20, 4, 8, 15, 30, 1, 2, 9, 610, 20, 4, 8, 15, 30, 1, 2, 9, 6
10, 20, 4, 8, 15, 30, 1, 2, 9, 610, 20, 4, 8, 15, 30, 1, 2, 9, 6
10 1020
10
4 20
10
4 208
10
4 208 15
10
4 308 15
20 4
1 308 15
20
10
4
1 308 15
20
10
2
4
1 308 15
20
10
2 9
10
4 8
6 91 2
20
15 30
2,3 tree deletion2,3 tree deletion
◦Jika pada leaf dengan 2 elemen langsung hapus
◦Jika pada leaf dengan 1 elemen lihat sibling Jika sibling ada dua elemen:
Jika sibling berderajat hanya 1 elemen:
X1
X3X2 D
X3
X2 X1
X1
X2 D
X2X1
ExampleExample
Delete 7, 16Delete 6Delete 20 10
4 8
6 91 2
20
15 30 31
10
4
8 91 2
20
15 30 31
10
4
8 91 2 15
30
31
2,3 tree is an a,b tree2,3 tree is an a,b tree
Generalization of 2, 3 treeMenjamin tree menjadi pendek Menjamin tree berada dalam keadaan
perfect balanced tree
Rule of a,b treeRule of a,b tree
Setiap leaf berada pada level yang samaRoot memiliki paling sedikit 1 key dan
paling banyak m-1 key (memiliki 2 sampai m subtree)
M adalah branching factor dari a,b tree (m=3 untuk 2,3 tree)
Semua node kecuali root mempunyai paling banyak m-1 search key (m anak), atau sedikitnya m/2-1 search key (m/2 anak.
•Jumlah key pada masing-masing node adalah satu lebih kecil daripada jumlah anak yang tidak kosong.
Jika jumlah anak minimum m/2 , maka jumlah key untuk setiap node adalah key ≥ m/2 - 1 dan minimum sebanyak key = m/2 - 1.Jika m =5, maka jumlah anak minimum adalah 5/2, maka jumlah key minimum adalah sama dengan 5/2 - 1.
•Root mempunyai paling banyak m children, tapi diperbolehkan sedikitnya mempunyai 2 children atau 0 children jika tree terdiri dari dari root saja.
TerminologiTerminologiKey Masukan pada node-node, baik root maupun children dan leaf.Branching factorFaktor percabangan nodeTree KurusJika banyaknya cabang dari suatu node m/2Tree GemukJika banyaknya cabang dari suatu node m
DefinisiDefinisi
a,b tree merupakan generalisasi dari tree, terutama 2,3 tree
B D
A C E
2,3 tree adalah juga a,b tree dengan ordo atau m=3
• Semua leaf berada pada level yang sama
• Semua node internal kecuali root mempunyai paling banyak m anak, atau sedikitnya m/2 anak. Misal : Jika m = 3, maka jumlah anak paling banyak adalah 3, dan paling
sedikit adalah 3/2
◦ Jumlah key pada masing-masing node adalah satu lebih kecil daripada jumlah anak yang tidak kosong.
Jika jumlah anak minimum m/2 , maka jumlah key untuk setiap node adalah key ≥ m/2 - 1 dan minimum sebanyak key = m/2 - 1.Jika m =5, maka jumlah anak minimum adalah 5/2, maka jumlah key minimum adalah sama dengan 5/2 - 1.
◦ Root mempunyai paling banyak m children, tapi diperbolehkan sedikitnya mempunyai 2 children atau 0 children jika tree terdiri dari dari root saja.
Contoh (A,b)-tree dengan Order 5Contoh (A,b)-tree dengan Order 5Yang key-nya adalah 26 huruf dalam Yang key-nya adalah 26 huruf dalam abjadabjad
L
H I J K
E F A B C
C S W D G
M N X Y Z T U V P Q R
Proses pada A,b TreeProses pada A,b Tree
Inserting atau penyisipan1. Key baru tersebut ditambahkan pada “leaf node”
yang sesuai. 2. Jika node sebelumnya tidak penuh , maka proses
penyisipan dapat diselesaikan. 3. Jika setelah ditambahkan nodenya menjadi penuh
(key ≥ m), maka node tersebut pecah menjadi dua node pada level yang sama , kemudian median key disisipkan pada parent node.
4. Jika parent menjadi penuh juga, ulangi langkah diatas untuk parent.
Misalkan untuk a,b tree m=3Misalkan untuk a,b tree m=3
10
4 8 20 30
Insert 40
404 8
10 30
20
Insert 21
404 8
10 30
20 21
Insert 2221
10 30
20 22 404 8
##Contoh inserting pada B- Tree ordo 5Contoh inserting pada B- Tree ordo 5##
1. INSERT A, G, F, B
A G F B
2. INSERT K
F
G K A B
3. INSERT D, H, M
F
G H K M A B D
4. INSERT J
F J
K M G H A B D
7. INSERT C, L, N, T, U C F J R
S T U X K L M N G H I D E A B
8. INSERT P J
S T U X N P K L G H I D E A B
M R C F
Deletion atau penghapusanDeletion atau penghapusanLangkah-langkahnya,sbb:1. Jika entri yang akan dihapus tidak berada pada sebuah
leaf, maka cari successor atau predecessornya untuk menggantikan tempat (seperti dalam BST).
2. Jika berisi key sebanyak ≥ m/2 - 1, maka satu di antaranya dapat dihapus secara langsung.
3. Jika berisi kurang dari jumlah minimum entri (jumlah key < m/2 - 1) maka pinjam dari sibling kiri atau sibling kanan, yang mempunyai
key > m/2 - 1. 4. Jika kedua sibling hanya memiliki jumlah key minimum,
maka ambil sebuah key dari parent, kemudian gabungkan dengan salah satu sibling menjadi node baru.
5. Jika parent jadi kekurangan key, ulangi langkah diatas.
##Contoh penghapusan B-tree Contoh penghapusan B-tree orderorder 55##
1. HAPUS H, R
J
N P S T U X K L G H I D E A B
M R C F
G I T U X
Rumus-rumus pada a,b treeRumus-rumus pada a,b tree
Jika T adalah sebuah B-tree dengan order m (dimana setiap node internalnya penuh dan mempunyai m anak) berisi n key dan p node, maka
p = n/(m-1) ………………(1)dengan m-1 adalah isi dari setiap node yang ada di T.Pada umumnya ada satu node (root) pada level 0 dan m node pada level 1, m2 node pada level 2, …, mk node pada level k, sehingga total jumlah node (p) pada tree merupaka penjumlahan dari deret geometri
p = 1+ m+m2+…+mk atau p = (mk+1 – 1)/(m-1) ……..(2)
Hasil gabungan antara persamaan (1) dan (2) adalah sebagai berikut:
k = mlog (n+1) – 1di manak = tinggi tree (nomor level dari leaf terbawah)m = banyaknya cabang node (branching factor)n = banyaknya node
##Contoh KasusContoh Kasus##Diketahui : m1 = 100 n1 = 1000000
m2 = 10 n2 = 1000000Ditanya : tinggin tree dan bandingkan keduanyaJawab: k = mlog (n+1)-1
k1 = 100log (1000000+1)-1 = 3-1
= 2k2 = 10log (1000000+1) -1
= 6-1 = 5Kesimpulan:Sebuah B-tree dengan order 100 dapat menyimpan 1000000 record pada 3 level (0,1,dan 2). Hal ini hanya perlu mengakses 3 node untuk menemukan key yang dicari. Sedangkan pada B-tree dengan order 10 dapat menyimpan 1000000 record pada 6 level dengan mengakses sebanyak 6 node yang berbeda untuk menemukan sebuah key.