1
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Física I-Grupo 3 (Curso 2013/14)
Tema 1: Magnitudes Físicas.
Vectores.
10/8/2013
Grado en Ingeniería Diseño Industrial y Des. Prod.
Doble Gra. en Ing. Diseño Ind. y D.P e Ing. Mecánica Escuela Politécnica Superior
Universidad de Sevilla
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
2
Tema 1: Magnitudes Físicas. Vectores.
1.1. Introducción.
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
1.3. Magnitudes escalares y vectoriales. Tipos de vectores.
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores
unitarios.
1.5. Operaciones con vectores. Producto escalar y vectorial.
Proyecto Docente: Relación detallada y ordenación temporal de los contenidos
2
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
4
Bibliografía
Bibliografía General
SEARS, F et al.“Física universitaria. Vol. 1 TIPLER, P. A. et al. “Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. 1”
Problemas BURBANO, S., BURBANO, E., GRACIA, C.: Problemas de Físca Problemas de los libros anteriores...
Tutorial: MasteringPhysics: Ed. PEARSON Además... los demás libros que aparecen en el programa.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
5
Sistema Internacional de unidades Bureau International des Poids et Mesures International System of Units (NIST) Órdenes de magnitud Universcale Powers of ten Powers of ten (video) Fundamental particles and interactions The Periodic Table Biochemical gallery Light microscope and electron microscopy images Nanotechnology Micromachines The Earth from above Solar System Exploration Hubble Heritage
Enlaces de interés
3
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
7
1.1. Introducción. 1.1..Introducción.
La Física: Física del griego “” (fisis) = Naturaleza
Es una ciencia experimental que se basa en modelos idealizados de los fenómenos naturales. Estos modelos constituyen las teorías físicas y las leyes y principios físicos, expresadas en función de una serie de magnitudes. Objetivos de la Física:
Estudiar el comportamiento de la materia y de sus interacciones.
Encontrar leyes que permitan:
- Describir los fenómenos naturales.
- Prever el comportamiento de la naturaleza.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
8
Física Clásica Física Moderna Mecánica (Clásica) Relatividad
Termodinámica Mecánica Cuántica Electricidad Física Atómica Magnetismo Física Nuclear
Óptica Física de partículas Acústica
Estos campos se dividen en las siguientes ramas:
4
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
9
Los problemas de la Física pueden caer dentro de dos grandes campos:
- Física Clásica: problemas que no impliquen los fenómenos que ocurran a nivel atómico o inferior ni grandes velocidades.
- Física Moderna: para estudiar pequeñas partículas y grandes velocidades
La estructura conceptual de la Física:
Física Clásica Física Moderna Mecánica (Clásica) Relatividad (Einstein, 1905)
Termodinámica, Acústica, etc. (s XVIII y XIX)
Mecánica Cuántica (1926)
Electromagnetismo (Maxwell, 1860)
1.1.Introducción.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
10
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
1. Magnitud es todo aquello susceptible de medida. longitud (L), masa (M), tiempo (t), etc. 2. Medir una magnitud es compararla con cierto valor
unitario de la misma, que se toma como Unidad. L= 25 m: la longitud es 25 veces la unidad
“metro”. 3. Unidad es una cantidad arbitraria de una magnitud
que se adopta para comparar con ella cantidades del mismo tipo.
4. Cantidad de una magnitud es el número de unidades a que es equivalente dicha magnitud.
Magnitud: longitud. Cantidad: 25 m.
La física, al ser una ciencia experimental, requiere la realización de mediciones cuyos resultados suelen describirse numéricamente en comparación con cierta referencia.
5
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
11
Leyes Físicas: Una ley física es una relación matemática entre magnitudes físicas: a = f (b,c,d, ...). Ejemplo: ley fundamental de la dinámica MAGNITUDES: Propiedades medibles de los cuerpos o procesos físicos. Existen dos tipos, magnitudes fundamentales, que sirven para expresar las demás en función de ellas, y magnitudes derivadas, que se pueden expresar en función de las fundamentales. Magnitud Fundamental: aquella que no tiene una ecuación que la defina, no deriva de otras magnitudes (ej: L, T, M). Se miden en unidades fundamentales (ej: m, s, kg...).
- L, t (Naturaleza) - Mecánica: además M (Física Teórica) ó F (técnica) - Termodinámica: temperatura
número de moles n - Electricidad: intensidad de corriente I
Magnitud Derivada: aquella que queda definida a partir de otras magnitudes (v, E, F). Se miden en unidades derivadas (m/s, J, N).
F m a
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
12
Ejemplo: ley fundamental de la dinámica
Magnitudes fundamentales en mecánica, según el sistema de unidades:
- Sistema Internacional (S.I.): L, T, M - Sistema Cegesimal (CGS): L, T, M - Sistema Terrestre o Técnico: L, T, F
La elección de magnitudes fundamentales es arbitraria: las demás magnitudes (derivadas) dependerán de ellas.
2
2
dva d rdt F mdtd rv
dt
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
6
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
13
Sistemas de unidades Un sistema de unidades es un conjunto de magnitudes fundamentales y sus respectivas unidades patrones. Escogidas las unidades para un número de magnitudes, las unidades de las demás deben deducirse de ellas. - Sistema Internacional (S.I.) o métrico: En el artículo único del REAL DECRETO 1317/1989, de 27 de octubre de 1989 por el que se establecen las Unidades Legales de Medida, publicado el 3 de noviembre, se dice que El Sistema legal de Unidades de Medida obligatorio en España es el sistema métrico decimal de siete unidades básicas, denominado Sistema Internacional de Unidades (SI), adoptado en la Conferencia General de Pesas y Medidas y vigente en la Comunidad Económica Europea. - Otros sistemas: Británico (pulgada, libra, s), CGS (cm, g, s), Técnico (kgf, m, s).
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
15
-Longitud / Metro (m): distancia recorrida por la luz en el vacío durante 1/299 792 458 segundos. - Tiempo / segundo (s): la duración de 9192631770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
- Masa / kilogramo (kg): masa de un patrón cilíndrico de platino-iridio guardado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres (Francia). En la práctica, masa de 1 dm3 (1 litro) de agua destilada a la temperatura de 4 ºC y presión atmosférica estándar.
Magnitudes fundamentales / Unidades patrones (S.I.): 1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
7
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
16
Ejercicio 1: Completar la siguiente tabla
Unidades fundamentales en el S.I.:
Magnitud física Unidad Símbolo
Longitud
Masa
Tiempo
Corriente eléctrica
Temperatura
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia
1.1. Magnitudes físicas y unidades.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
17
Unidades fundamentales en el S.I.: Magnitud física Unidad Símbolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Corriente eléctrica amperio A
Temperatura kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol
Ejemplo de magnitud derivada a partir de las fundamentales: velocidad v -1 -1LT S.I. : msv
1.1. Magnitudes físicas y unidades.
Símbolos: • Caracteres romanos • Minúsculas, salvo
nombres propios • No va seguidos de
punto • No llevan “s” para el
plural
Nombres: • Minúsculas, inicial
siempre
8
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
18
Ejercicio 2: Corregir expresión resultados:
M = 3,2 Kg
t = 45 sg
I = 1 a
T = 273 °K
1.1. Magnitudes físicas y unidades.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
19
Ejercicio 2: Corregir expresión resultados:
M = 3,2 Kg Cursiva y mayúscula M=3,2 kg
t = 45 sg Símbolo mal t=45 s
I = 1 a Nombre propio: mayúsculas
I=1 A
T = 273 °K Kelvin, no grados kelvin
T = 273 K
1.1. Magnitudes físicas y unidades.
9
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
20
Ejercicio 3: Completar la siguiente tabla: Las unidades que se muestrean en la siguiente tabla, no pertenecientes al SI pero su uso es aceptado. En el caso del litro no se ha descartado, por el momento, a uno de los dos símbolos. El primero se introdujo porque el segundo, el que siempre se ha utilizado, podría confundirse con el número 1.
Magnitud Unidad Valor en
el SI Nombre Símbolo
Tiempo
Minuto
Hora
Día
Ángulo plano
Grado
Minuto
Segundo
Área Hectárea
Volumen Litro
Masa Tonelada
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
21
10Z Prefijo Símbolo 10Z Prefijo Símbolo
101 Deca da 10-1 Deci d
102 Hecto h 10-2
103 10-3
108 10-6
109 10-9
1012 Tera T 10-12
1015 Peta P 10-15 Femto f
1018 Exa E 10-18 Atto a
1021 Zetta Z 10-21 Zepto z
1024 Yotta Y 10-24 Yocto y
Ejercicio: Completar la siguiente tabla: Prefijos del Sistema Internacional de Unidades
10
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
22
10Z Prefijo Símbolo 10Z Prefijo Símbolo
101 deca da 10-1 deci d
102 hecto h 10-2 centi c
103 kilo k 10-3 mili m
108 mega M 10-6 micro µ
109 giga G 10-9 nano n
1012 tera T 10-12 pico p
1015 peta P 10-15 femto f
1018 exa E 10-18 atto a
1021 zetta Z 10-21 zepto z
1024 yotta Y 10-24 yocto y
Ejercicio: Completar la siguiente tabla: Prefijos del Sistema Internacional de Unidades
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
23
Prefijos de unidades: Definidas las unidades fundamentales, es fácil introducir unidades adicionales más grandes o más pequeñas para las mismas cantidades. Los nombres de las unidades adicionales se obtienen agregando un prefijo al nombre de la unidad fundamental.
Longitud: 1 nanómetro = 1 nm = 10-9 m
1 micrómetro = 1 µm = 10-6 m
1 milímetro = 1 mm = 10-3 m
1 centímetro = 1 cm = 10-2 m
1 kilómetro = 1 km = 103 m
Masa: 1 microgramo = 1 µg = 10-6 g = 10-9 kg
1 miligramo = 1 mg = 10-3 g = 10-6 kg
1 gramo = 1 g = 10-3 kg
Tiempo: 1 nanosegundo = 1 ng = 10-9 s
1 microsegundo = 1 µs = 10-6 s
1 milisegundo = 1 ms =10-3 s
11
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
24
Ejercicio: Completar la siguiente tabla
Letras griegas
Α α β
Gamma Delta
Épsilon Dseda
Eta θ
ι Iota Kappa
Lambda Mi
Ni Xi
ο Ómicron
σ
Tau Ípsilon
φ
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
25
Solución Ejercicio: Completar la siguiente tabla
Letras griegas
Α α Alfa β Beta
Gamma Delta
Épsilon Dseda
Eta θ Zeta
ι Iota Kappa
Lambda Mi
Ni Xi
ο Ómicron Pi
Ro σ Sigma
Tau Ípsilon
φ Fi Ji
Psi Omega
12
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
26
Conversión de unidades.
Ejemplo 1: 1 cal = 4,182 J
4,182 J3 cal 3 cal 12,546 J
1 cal
Ejemplo 2: 1 g/cm3 = 103 kg/m3
6 3
3 3 3 3
1 kgg g 10 cm1 1cm cm 10 g 1m
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
27
Conversión de unidades al S.I. 1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
13
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
28
Unidades derivadas.
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
29
14
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
30
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
31
15
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
33
Análisis dimensional. Toda magnitud derivada (U) se puede expresar por un producto
o Ecuación Dimensional de potencias de las magnitudes fundamentales (A, B, C, etc):
U = Cte · A · B · C ·...
siendo , , , etc las dimensiones de las magnitudes correspondientes. Las ecuaciones dimensionales indican la relación entre una
unidad derivada y las unidades fundamentales.
Las unidades fundamentales se representan mediante letras que indican su dimensión (L, T, M...)
La ecuación dimensional es independiente del sistema de unidades utilizado.
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
34
¿Cómo se hallan las dimensiones de una magnitud derivada? Muchas veces, en el proceso de resolución de un problema de
Física, es necesario obtener las dimensiones y, consecuentemente, unidades de una magnitud derivada. Para ello el procedimiento consiste en escribir cada una de las magnitudes que entran en la expresión que define a dicha magnitud en términos de magnitudes fundamentales.
Para referirse a las dimensiones de una magnitud cualquiera, Q,
se suele utilizar el símbolo [Q].
DIMENSIONES: Las dimensiones de una magnitud derivada son la expresión de dicha magnitud en términos de las magnitudes fundamentales.
Análisis dimensional.
16
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
35
Simplificando posteriormente la expresión a que se haya llegado por este proceso de sustitución, se obtendrá la expresión de las dimensiones de la magnitud derivada.
Nota importante: Este es un procedimiento habitual de comprobación del resultado obtenido en la resolución de problemas de Física. Por ejemplo, si en un problema nos piden una fuerza, una vez resuelto el problema, conviene hacer un sencillo cálculo para obtener las dimensiones del resultado final y comprobar que son las de una fuerza.
Ejemplos: [S] = L2 [V] = L3 [v] = LT-1 []=ML-3T0
F = m · a S.I.: [F] = MLT-2 S.T.: [F] = FL0T0
S.T.: [M] = FL-1T2
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejercicio: Indique las dimensiones y unidades (nombre y símbolo) en el SI (Sistema Internacional) de las de las siguientes magnitudes físicas:
Magnitud Dimensiones
Unidades
Magnitud Dimensiones
Unidades
Nombre Símbolo Nombre Símbolo
longitud [L] metro m fuerza
masa presión
tiempo energía
superficie potencia
volumen calor
densidad
temperatura
velocidad ángulo
aceleración
velocidad
angular
[M] kilogramo kg
[T] segundo s
[L2] metro cuad. m2
[L3] metro cúbico m3
[M] [L-3] kilogramo por
metro cúbico kg/m3
[L] [T-1] metro por
segundo m/s
[L] [T-2] metro por
segundo cuad. m/s2
[M] [L] [T-2] Newton N
[M] [L-1] [T-2] Pascal Pa
[M] [L2] [T-2] Julio J
[M] [L2] [T-3] Watio W
[M] [L2] [T-2] Julio J
[θ] Kelvin K
adimensional radianes rad
[T-1] radianes
por segundo rad/s
17
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
37
Magnitud Nombre Símbolo Expresión en
unidades SI básicas
Ángulo plano Radián rad mm-1= 1
Ángulo sólido Estereorradián sr m2m-2= 1
Unidades derivadas sin dimensión.
Ejercicio: De las siguientes expresiones: (4/3)πr3, 4πr2, πr2h, 2πr, 2πrh , 2πr2, πr2.
¿Cuáles podrían corresponder a la longitud de una circunferencia, al área de un
círculo, a la superficie lateral de un cilindro, a la superficie de una esfera y al volumen
de una esfera, siendo r y h longitudes?
Ejercicios: ¿Cuál es la dimensión (y la unidad) en el Sistema Internacional de las
magnitudes derivadas p = mv, F = ma, EC = (1/2) mv2 y EP = mgh , L= v·se θ, sabiendo
que m es la masa de un cuerpo, v su velocidad en m/s, a su aceleración en m/s2, g la
aceleración debida a la gravedad y h la altura del cuerpo respecto a la superficie
terrestre?
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
38
No podemos sumar o igualar cantidades de diferentes magnitudes.
Homogeneidad dimensional: para que una ecuación matemática constituya una ley física independiente del sistema de unidades, es necesario que sea homogénea.
Ejemplo:
2 1
2 2 2
[ ]1 [ ]2
12
o o
s Ls v t at v t LT T L
at LT T L
Al trabajar con números y unidades, verificar siempre que se usan las unidades correctas.
Ejemplo:
10 mm2 m/s 10 m= 2 5 ss
5 s
ss vt v
t
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
18
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
39
Ejercicio. ¿Cuál es la fórmula correcta del período de un péndulo?
) 2 gb Tl
) 2 la T
g
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
40
Ejercicio. Verifique la homogeneidad de la ecuación de Bernouilli.
2
: presión: densidad: aceleración de la gravedad1
2 : altura: velocidad: constante
p
gp gz v C
zvC
1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.
19
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
41
Incertidumbre y cifras significativas (consultar apuntes laboratorio) Las mediciones siempre tienen incertidumbre
La incertidumbre también se llama error, porque indica la máxima diferencia probable entre el valor medido y el real. La incertidumbre o error de un valor medido depende de la técnica empleada.
Este espectacular percance se debió a un porcentaje de error muy pequeño: recorrer unos cuantos metros de más en un viaje de cientos de miles de metros
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
42
20
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
43
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
44
21
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
45
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
46
22
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
47
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
48
23
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
49
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
50
24
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
51
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
52
25
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
53
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
54
26
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
55
Pagina web con actividades de vectores http://www.xtec.cat/~jbartrol/vectores/index.html
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
56
1.3. Magnitudes escalares y vectoriales. Tipos de vectores.
1.3. Magnitudes escalares y vectoriales. Tipos de vectores.
Magnitud escalar es aquella que queda perfectamente definida por un valor numérico, que es su medida (masa, volumen, temperatura, etc). Su álgebra operacional es la numérica.
Magnitud vectorial ( ) es aquella que para quedar
perfectamente definida se necesita, además de su medida (módulo: ), una dirección y un sentido ( ).
Para operar con ellas se usa el Álgebra Vectorial. (Magnitud tensorial: se representan con matrices) Ejemplo: vector velocidad - Se representa con una flecha. - Su longitud a escala representa el
valor numérico de la magnitud. - La recta (línea de acción/recta
soporte) representa la dirección y la punta de la flecha, el sentido.
- “O” es el punto de aplicación.
, , , etcv F r
v
O
P
| | 0a
O
a
27
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
57
1.3. Magnitudes escalares y vectoriales. Tipos de vectores.
Ejercicio: ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son escalares o vectoriales?
• Masa
• Peso
• Volumen
• Distancia
• Desplazamiento
• Velocidad
• Aceleración
• Temperatura
• Presión
• Energía
• Cantidad de movimiento
• Carga
• Campo eléctrico
Necesidad de los vectores en Física Existen muchas magnitudes en Física que, para quedar bien determinadas, no basta con dar un valor numérico que indique su intensidad.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
58
¿Qué es un vector? La representación más elemental de un vector es un segmento orientado (que tiene un origen, O y un extremo, P, bien especificados) cuya longitud es proporcional a la intensidad de la magnitud que representa. ¿Cuáles son las características de un vector? Un vector tiene cuatro características fundamentales: Punto de aplicación: Es el punto del espacio en el que está el
origen del vector. Dirección: La de la recta que une el origen y el extremo. Sentido: El indicado por el origen y el extremo. Módulo: El valor numérico asociado a su longitud.
28
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
59
¿Cómo se representa matemáticamente un vector? Dado que un vector es, básicamente, un segmento con un origen y un extremo, la representación matemática del vector tiene que venir dada por
las coordenadas del extremo y las del origen. Por otro lado, los puntos origen y extremo están matemáticamente determinados por sus
coordenadas cartesianas, de manera que si el punto O tiene coordenadas
y el punto el vector que une dichos puntos tiene como proyecciones sobre los ejes de coordenadas segmentos de longitudes respectivas
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
60
1.3. Magnitudes escalares y vectoriales. Tipos de vectores.
Clasificación de vectores
Se clasifican atendiendo a la definición de la igualdad: Libres: son iguales cuando tienen el mismo módulo, dirección
y sentido. Carecen de punto de aplicación y línea de acción. (Ej: momento de un par de fuerzas )
Deslizantes: son iguales si, además de lo anterior, están sobre la misma línea de acción. Carecen de punto de aplicación. (Ej: fuerza )
Fijos o ligados: cuando, tienen el mismo módulo, dirección, sentido, están sobre la misma línea de acción y están aplicados sobre el mismo punto. (Ej: velocidad de un punto )
Otra clasificación: Polares: tienen sentido propio por definición (Ej: fuerzas,
velocidades) Axiales: no tienen sentido definido y se les asigna por
convenio (Ej: momento de una fuerza , momento angular ), velocidad angular )
F
v
M
M L
29
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
61
1.3. Magnitudes escalares y vectoriales. Tipos de vectores.
Clasificación de vectores Libres Deslizantes Fijos
Axial
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
62
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
Suma de vectores: Los vectores pueden sumarse, resultando un nuevo vector
A B C
Colocando uno a continuación del otro
Método del paralelogramo
Propiedades de la suma Conmutativa: Asociativa: Vector : Vector opuesto :
A B B A A B C A B C 0 0A A
A 0A A
30
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
63
Sustracción de vectores Los vectores pueden restarse simplemente sumando el
vector opuesto: A B A B C
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
64
Producto de un vector por un escalar: El producto de un vector por un número m
es otro vector con las siguientes características: - Misma dirección - Mismo sentido, si m > 0 u opuesto, si m < 0 - Módulo igual a
B mAA
B m APropiedades:
Asociativa: Distributiva (I): Distributiva (II): Cualquier vector en la misma dirección que otro podemos representarlo como:
A
3A
3A
m nA mn A m n A mA nA m A B mA mB
A B
A mB
B 3A B
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
31
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
65
Homogeneidad: En las ecuaciones debe haber homogeneidad:
- Los dos miembros deben ser del mismo tipo - Todos los sumandos deben ser del mismo tipo
Un escalar NO puede ser igual a un vector Un escalar NO puede sumarse a un vector
A B C m n p
mA nB C
m B C A B m
mA nB p
Correcto Incorrecto
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
66
Ejercicio: ¿Cuáles de las siguientes expresiones son correctas?
g = 9,8 m/s2
= 25 m/s
m = 75 kg
2
2
d sadt
3 5 3F i j k v
2
nvaR
(Bien: escalar) (Bien: vector)
(Bien: escalar)
(Mal: vector) (Mal: vector)
(Mal: vector)
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
32
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
67
Componentes de un vector:
La componente de un vector a lo largo de una línea en el espacio es la longitud de la proyección a lo largo de dicha línea.
Componentes de un vector. Vectores unitarios. 1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
68
Vector unitario o versor:
Vector unitario es aquel vector cuyo módulo es la unidad: - El vector unitario en la dirección de es:
1u u
A
AAuA
Los vectores unitarios servirán para definir una dirección en el espacio.
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
33
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
69
Sistema de Coordenadas Cartesiano En la Física se usa como sistema de
referencia el Sistema Cartesiano ortonormal dextrógiro: - Tres vectores unitarios perpendiculares
entre sí que siguen respectivamente las direcciones de los ejes x, y, z :
- Cualquier vector podrá expresarse:
donde vx, vy, vz son las componentes del vector, o sea, las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes.
ó también simbólicamente: , ,x y z x y zv v i v j v k v v v v
1 2 3Base Cartesiana = , , , ,i j k u u u i
jk
x
y
z
O
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
70
Sistemas de Coordenadas Para estudiar cualquier fenómeno físico,
es necesario un sistema de referencia. Un conjunto de 3 vectores no colineales
ni coplanarios forman una base vectorial en el espacio tridimensional:
- Cualquier vector en el espacio 3D
puede expresarse como combinación lineal de esos 3 vectores de la base.
- [v1, v2, v3] son las componentes del vector en la base A
Colineales
Coplanarios
Base Vectorial
1a 2a3a
1 2 31 2 3v v a v a v a
1 2 3, ,A a a a
v
1 2 3, ,A
v v v v
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
34
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
X
Y
A
Ax
Ay
Bx
By
B
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Componentes de un vector
y
A
xO
yA
xA
A
yA
xA
yx AAA
Cada vector componente tiene la dirección de un eje de coordenadas, así solamente necesitamos un número para describirlo. De esta forma, cada vector A se puede definir como el par (Ax,Ay), conociendo además la dirección y sentido de cada vector componente.
cosAAx AsenAy 22
xx AAA
x
y
A
Aarctan
Vectores en el plano
35
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Suma de vectores a través de sus componentes
y
xO
A
y
xO
B
yA
xA
yB
xB
y
xO
A B
C
yA
xA
yB
xB
yyy BAC xxx BAC
y
x
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
y
xO
A
j
i
jAiAA yxˆˆ
BAC
jBiBjAiAC yxyxˆˆˆˆ
jBAiBAC yyxxˆˆ
36
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
y
x
+
+
-
- 0 radianes radianes
3/2 radians
2 radianes
III
IV
I
II
sen cos tang + + +
- + -
/2 radianes 90 o
0 o 180 o
270 o
360 o
+ - - - - +
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo: Sumar los vectores A, B y C:
Vector A 30 m 45O
Vector B 50 m 0O
Vector C 30 m 90O
37
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
AX = 30 cos 450 = 21,2 m
AY = 30 m sen 450 = 21,2 m
BX = 50 cos 00 = 50 m BY = 50 m sen 00 = 0 m CX = 30 cos 900 = 0 m CY = 30 sen 900 = 30 m
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
X = Suma de las Xs = 21.2 + 50 + 0 = +71.2 Y =Suma de las Ys = 21.2 + 0 + 30 = +51.2
X = +71.2 m
Y = +51.2 m
La hipotenusa es el valor del vector resultante
38
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Teorema de Pitagoras
X = +71,2
Y = +51,2
(+71,2)2 + (+51,2)2 = 87,7 m
Ángulo tang-1 (51,2/71,2) ángulo = 35,7 O
Cuadrante I
RESULTANTE = 87,7 m 35,7 O
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Vector A 30 m 45O
Vector C 30 m 90O
Vector B 50 m 0O
A - + = B C R
A + (- ) + = B C R
Vector A
30 m 45O
- Vector B
50 m 180O
Vector C
30 m 90O
Ejemplo: Determinar:
39
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
AX = 30 cos 450 = 21,2 m
AY = 30 m sen 450 = 21,2 m
-BX = 50 cos 1800 = -50 m BY = 50 m sen 00 = 0 m CX = 30 cos 900 = 0 m CY = 30 sen 900 = 30 m
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
X = Suma de las Xs = 21,2 + (-50) + 0 = -28,8 Y =Suma de las Ys = 21,2 + 0 + 30 = +51,2
X = -28.8
Y = +51.2
40
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
X = -28.8
Y = +51.2
Ángulo tang-1 (51,2/-28.8) ángulo = -60.6 0 (1800 –60,60 ) = 119,40
Cuadrante II
(-28,8)2 + (+51,2)2 = 58,7m
RESULTANTE = 58,7 m 119.4O
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
84
El módulo del vector es:
pues es la diagonal del paralelepípedo. Cosenos directores son los cosenos de
los ángulos que la dirección del vector forma con los ejes coordenados:
2 2 2x y zv v v v v
x
y
z
v
xvyv
zv
coscos
cos cos cos cos cos
cos cos
xx
yY
zZ
v v vvv
v v v v i v j v kvv
v vv
v
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
Vectores en el espacio. Cosenos directores
41
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
85
Los cosenos directores son las
componentes de un vector unitario en la dirección de
- Al ser un vector unitario, su módulo es la unidad:
xv
x
y
z
v
yv
zv
v
cos , cos ,cosvu
22 2 2
2 2 2 2
2 2 2cos cos cos 1
yx zvv v vv v v v
La suma vectorial en función de las coordenadas cartesianas
se puede expresar:
x y zx x y y z z
x y z
A A i A j A kA B A B i A B j A B k
B B i B j B k
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
86
Coordenadas Polares Planas
x
y
r ( , )P r tu
nu
ij
Las coordenadas de un punto P vienen
determinadas por el módulo (r) de su vector posición y el ángulo que forma con el sentido positivo del eje OX.
Los vectores unitarios son uno en la dirección de ( , normal) y otro en la dirección perpendicular ( , tangencial).
La relación entre los vectores unitarios es:
r
r rutu
cos sencos sen
sen cos
nn
t
u i jr ru r i r j
u i j
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
Existen otros sistemas de coordenadas cuyo uso simplifica el tratamiento de algunos problemas.
Las coordenadas polares planas sirven para muchos problemas en dos dimensiones (ej. movimiento circular).
42
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
87
Cualquier vector podrá expresarse en ese sistema de referencia polar, sin más que proyectar sobre los vectores unitarios correspondientes:
cos senn t n tn ta a u a u a u a u x
y
a
r
nata
tunu
ij
En tres dimensiones, además del sistema de coordenadas cartesiano, se emplean el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas, según la simetría del problema.
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
88
La posición de un punto P queda
unívocamente definida por su vector posición (vector trazado desde el origen O hasta la posición del punto)
- Se denominan coordenadas cartesianas del punto P a las componentes de su vector posición, esto es, la terna (p1, p2, p3)
r
1 2 3r OP p i p j p k
Conocidas las coordenadas del origen y del extremo de un
vector, se pueden obtener las componentes del mismo:
Siguiente: 1.6. Operaciones con vectores.
1 1 2 2 3 3, ,PQ OQ OP q p q p q p
x
y
z
O
P
1p i 2p j
3p kr
1 2 3, ,Q q q qPQ
1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.
43
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo
Hallar el vector unitario que va de (4, 6, − ) a (1, 8, 3)
Solución
1 2 2 1
1 4, 8 6, 3 ( 3)
3, 2, 6
P P OP OP
2 2 22 3 6 4 9 36
17 7 7 49
u
13, 2, 6
7u
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo: Hallar el vector a de (0, 0, 0) a (7, − , 13)
Solución a = (7, − , 13) = 7i − j + 13K
Ejemplo: a = 5i + 3k a) plano del vector a ; b) módulo del vector a
Solución (a) a = 5i + 3k está en el plano xz (b)
Ejemplo Si a = 3i − j + 8k, b = i − k, hallar 5a − b
Solución 5a − b = 13i − 0j + 48k
2 25 3 5 3 34 i k
44
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo
Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k.
Solución
2 2 22 5 4 45 3 5a 2 5 4
cos , cos , cos3 5 3 5 3 5
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo [BUR-II-1]: Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60° y tiene de módulo 4
unidades. Calcular:
a) Sus componentes coordenadas.
b) Ángulo que forma con el eje Z.
92
45
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo [BUR-II-2]: Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1 = 5 kg-f y F2 = 7 kg-f, que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60° y -30°. Calcular:
a) La fuerza resultante.
b) Su módulo.
c) Ángulo que forma con el eje OX.
93
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo [BUR-II-8]: Dados los vectores: a = 3i2j, b = 4i + j, calcular: a) El vector suma y su módulo. b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje
OX. c) El vector c = 2a . 3b y el vector unitario que define la
dirección y sentido de c.
94
Ejemplo [BUR-II-6]: Descomponer la fuerza de módulo F = 20,0 N en las direcciones a y b indicadas en la figura.
46
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
95
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
Producto escalar de dos vectores:
El producto escalar de dos vectores es un escalar cuyo valor es el producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman:
También se puede definir como:
siendo
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
cos cosA B A B AB
proy proyA BA B A B B A
proy cosAB B
00 1800
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
96
Propiedades del producto escalar: Conmutativa: Distributiva respecto de la suma: Asociativa respecto del escalar:
A B C A B A C mA B m A B
- El producto escalar NO es asociativo. - Módulo de un vector: - El producto escalar de dos vectores ortogonales no nulos es 0:
- Los vectores unitarios cumplen
A B C A B C 2 2 2 2
x y zA A A A A A A A
0A B A B
1
0
i i j j k k
i j i k j k
A B B A
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
47
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Producto escalar empleando los vectores unitarios
BA
kAjAiAA zyxˆˆˆ kBjBiBB zyx
ˆˆˆ
kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ
x
y
z
A
B
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
kkBAjkBAikBA
kjBAjjBAijBA
kiBAjiBAiiBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
x
y
z
i
jk
1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii
0ˆˆˆˆˆˆ kjkiji
zzyyxx BABABABA
48
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
99
- El producto escalar en función de las componentes resulta
- Cálculo del ángulo entre dos vectores:
x y zx x y y z z
x y z
A A i A j A kA B A B A B A B
B B i B j B k
2 2 2 2 2 2cos
cosx x y y z z x x y y z z
x y z x y z
A B A B A B A B A B A B A BA BAB A A A B B BA B AB
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
100
Ejercicio: Halle el ángulo formado por los vectores: y calcule la componente de en la dirección de .
2 3
4 2
A i j k
B i j kA B
14 · 3 3cos14 21 29421
100º
x x y y z zA A A B A B A BA B
AB ABB B
La componente de A en la dirección de B es:
3 3proy cos 142114 21B A A
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
Para verificar el resultado, observe que el producto escalar es negativo. Esto implica que está entre 90º y 180º, lo que concuerda con nuestra respuesta
49
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo i, j, k son vectores ortogonales. i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0
Ejemplo Si a = − i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces a b = –6 – 14 + 20 = 0 Son ortogonales.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo
Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.
Solución
14, 27, 14 a b a b
9
42
2714
14cos
44.9
77.09
42cos 1
50
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo
Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a (4, 6) en línea recta, hallar el trabajo realizado por F.
Solución d = 3i + 5j W = F d = 26 J
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo
Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j.
Solución
1 11comp (4 ) (2 )
13 13 b i j i 3ja
11 1 22 33(2 3 )
13 1313 13
i j i jba
51
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
106
Producto vectorial de dos vectores:
El producto vectorial de dos vectores es un nuevo vector con las siguientes características: - Módulo que es igual al área del
paralelogramo que forman. - Dirección perpendicular al
plano que delimitan ambos. - Sentido: regla de la mano
derecha o del sacacorchos.
senA B A B A B
A B A B C
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
52
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Producto vectorial: Se define el producto vectorial entre dos vectores A y B como un vector perpendicular al plano formado por A y B, con una magnitud igual a A·B·sen(φ) y se escribe de la forma:
BAC
o regla de la mano derecha
ABBA o el producto vectorial
NO es conmutativo
x
y
z
AB
C
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Producto vectorial empleando los vectores unitarios
BA
kAjAiAA zyxˆˆˆ kBjBiBB zyx
ˆˆˆ
kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ
x
y
z
AB
C
53
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
109
- Los vectores unitarios del sistema ortogonal cumplen:
-El producto vectorial en función de las componentes resulta
A partir de esto, se establece la condición de paralelismo:
0
0
0
i j k
i k j
j k i
k j i
i j k
y z z y z x x z x y y x x y z
x y z
i j kA B A B A B i A B A B j A B A B k A A A
B B B
yx z
x y z
AA A cteB B B
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
110
Propiedades del producto vectorial: No es conmutativo: Distributiva respecto de la suma: Asociativa respecto del escalar:
No es asociativo para el producto vectorial sucesivo:
A B C A B A C
m A B mA B A mB A B m
- El producto vectorial de dos vectores paralelos no nulos es 0:
A B B A
A B C A B C
0A B A B
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
54
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo
Para entender el sentido físico del producto vectorial, observe las figuras. El momento producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por = r F.
Fsenθ
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo
Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1).
Solución Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, –1, –2>
1 2 2 3
2 3 1 3 1 21 2 3
3 5 1 5 1 31 3 5
8 5
i j k
i j k
i j k
P P P P
1 38 5 10
2 2 i j kA
55
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo
(a) i i = 0, j j = 0, k k = 0 (b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a, entonces a y b son paralelos. Así a b = 0
Si a = i, b = j, entonces Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i j = k
| | | | s n2
e i j i j n n
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
Ejemplo [BUR-II-21] Dados los vectores a (1, 3, .2) y b (1, .1, 0). Calcular: a) Su producto vectorial. b) El área del paralelogramo que tiene a los dos
vectores como lados. c) Un vector c, de módulo 6, perpendicular al plano
en que se encuentran a y b. Ejemplo [ BUR-II-22] Los tres vértices de un triángulo
son: A (2, 1, 3), B (2, .1, 1) y C (0, .2, 1). Calcular: a) Área del triángulo. b) Ángulo A.
Ejemplo[BUR-II-23] Tres vértices de un paralelogramo
ABCD tienen por coordenadas: A (2, 0, 2), B (3, 2, 0) y D (1, 2, .1). Calcular: a) Las coordenadas del vértice C.; b)Área del paralelogramo.;c) Ángulo en B.
114
56
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
115
Ejercicio (B1-9): La placa triangular de la figura, gira alrededor de un eje perpendicular a ella y en el sentido indicado, siendo el módulo de su velocidad angular = 4 rad/s. Halle la expresión del vector que representa a en el sistema de referencia indicado. (El vector velocidad angular es un vector de módulo la velocidad angular, dirección la del eje de giro y sentido dado por el giro).
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
116
Producto mixto o triple producto escalar de vectores:
El producto mixto de
vectores es un escalar que se define como:
V= Volumen El escalar que resulta es el
volumen del paralelepípedo que tiene como aristas esos tres vectores: - Área de la base: - Altura:
1 2 3 1V v v v v A
2 3A A v v 1 1Aproy cosh v v
1 cosV Av
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
57
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
117
-El producto mixto en función de las componentes resulta
-Si los tres vectores son coplanarios y no nulos se cumple que
los tres vectores forman una base vectorial del espacio ordinario
1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 32 2 2 2 2 2
3 3 33 3 3 3
, ,
, ,
, ,
v x y z x y zv x y z V v v v x y z
x y zv x y z
1 2 3 0v v v
1 2 3 0v v v
Propiedades del producto mixto: Permutabilidad cíclica: Antipermutabilidad acíclica:
A B C B C A C B A A B C B A C
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
118
Ejercicio (B1-10): Determine el volumen de un prisma
triangular que tiene como base un triángulo equilátero
de lado 2 m y su altura es de 4 m.
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
58
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
119
Doble producto vectorial:
El doble producto vectorial es otro vector que se define como cumpliéndose:
siendo el vector resultante coplanario a y .
A B C
B CA B C A C B C A B
A B A C
-Desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales:
A B C D C D A B A C B D A D B C
B C
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
120
Derivada de un vector respecto de un escalar:
Frecuentemente las magnitudes físicas dependen de variables escalares.
- Ej: Vector velocidad La derivación respecto de un escalar es un caso particular de
multiplicación por un escalar.
x y zv v t v t i v t j v t k
0
0
lim
lim
t
t
d r t r tv tdt tr t t r t
t
r t
rt
t
rt
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
59
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
121
Consecuencias de la derivación de vectores respecto de un escalar:
Si es de dirección constante
Propiedades de la derivada de un vector respecto de un escalar: Son las mismas que para las derivadas de un escalar:
( )(1) d A B d A d Bdt dt dt
( )(2) d f A df d AA fdt dt dt
( )(3) d A B d A d BB Adt dt dt
( )(4) d A B d A d BB Adt dt dt
(5) 0d A d AA cte A Adt dt
vv v
dv d u dvv v t v t u v udt dt dt
vdv d u dvv v cte v v
dt dt dt v v v
dv dv dvu udt dt dt
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
122
Ejercicio: La posición de una partícula varía con el tiempo. Calcule su velocidad si su vector posición, dando las componentes en metros (m), es: - ¿En qué posición estará cuando t=15 s? ¿Cuál será su velocidad en ese instante?
- ¿Cuánto se habrá desplazado otros 15 s después de la posición anterior?
22 3 5 mr t ti t j k
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.
60
Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.
Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.
Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA
123
Integración de funciones vectoriales:
La integral en Física se entiende como una suma de cantidades diferenciales infinitesimales:
El caso de integración vectorial sería análogo: - En función de las componentes coordenadas sería
V
i im v 0 0
lim limi im Vi iV V
M dm dV m V
0( ) lim ( )
bia t i
I v t dt v t t
( ) ( ) ( )b b b
x y z x y za a aI I i I j I k v t dt i v t dt j v t dt k
1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.