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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
FACULTAD DE INGENIERIA ECONOMICA
ESCUELA PROFECIONAL DE INGENIERIA ECONOMICA
CURSO
Economia Matemtica II
TRABAJO ENCARGADO: LIBRO FINAL
DOCENTE: Ing. Julio Cesar
PRESENTADO POR:
GAMARRA PINEDA Gevering Gressy
SEMESTRE: II
PUNO PERU
AO 2016
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DEDICATORIA
Principalmente a mis dos queridas hijas (ytzel y anira) y a
mi esposo que fue quien me dio ese
aliento para seguir estudiando, le
agradezco de todo corazn los quiero
mucho.
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I. UNIDAD
ECONOMIA MATEMATICA
- Optimizacin esttica.- la optimizacin esttica es una metodologaque sirve para que las cosas muestren su comportamiento.
- MODELO DE MERCADO DE COMPETENCIA PERFECTA:
A) DEMANDA B) OFERTA
Para bienes sustitutos:
Ejem:la demanda de te
P te caf
= f (Pc, Pp, I)
Pc Qc Pp Qp
VARIACIONES DEL MODELO ECONOMICO:
Endgenas:Las variables endgenas se explican dentro de unmodelo econmico a partir de sus relaciones con otras variables
tiene un comportamiento que est influenciado por otras.
CARACTERISTICAS, , Q, P - Dependientes,
Incgnitas
Exgenas:Las variables exgenas estn determinadas fuera delmodelo, es decir, estn predeterminadas, el modelo las toma como
fijas y mantienen siempre el mismo valor.
CARACTERISTICASI, K - Predeterminado e
independiente
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Ejemplo: Si el ingreso es igual ingreso autnomo 70 es igual a 100
= - . P+ . 70;
= . 100
Suponiendo que en el modelo de la demanda
= -1
= 2
Oferta
= 2
= 1
Calculando el precio y la cantidad de equilibrio.
=
- . P+ . 70 = . 100
-(-1). P+ 2. (70)= (2). P+1. (100)
P = 40
CALCULO DIFERENCIAL
Es una parte del anlisis matemtico que consiste en el estudio de cmocambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de
estudio en el clculo diferencial es la derivada. Una nocin estrechamente
relacionada es la de diferencial de una funcin.
El estudio del cambio de una funcin es de especial inters para el clculo
diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es
infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeo
como se desee). Y es que el clculo diferencial se apoya constantemente en el
concepto bsico del lmite. El paso al lmite es la principal herramienta quepermite desarrollar la teora del clculo diferencial y la que lo diferencia
claramente del lgebra:
Ejemplo:
1) El cambio en el costo total CT de una planta que resultan de cada
unidad adicional producida.
2) El cambio de la demanda de un producto X que resulta el incremento de
una unidad en el precio
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X ,
,
: se le denota cambio o incremento de variable
Sea una variable y que depende de X tal que Y= f(X) est definido Para todovalor de X que va desde y por lo tanto cuando
X = Y = que va a estar en funcin de
1111 funcionenestarvaque xfyyyxx
11
1
xfy
xx
22
2
xfy
xx
12
12
xfxfy
yyy
Ejemplo:
1. Si el volumen de ventas de gasolina de cierta estacin depende delprecio por litro. El precio por litro en soles, se encuentra que el volumen
de venta est dado:
130120
150500
p
Pq
Calcular el incremento en el volumen de venta que corresponde a un
incremento en el precio de s/. 120 a s/. 130 por litro
Solucin
130
120
edependientV.
nteindependieV.
1
1
P
P
q
P
10
120130
p
p
15000
120150500
1
1
Q
Q
10000
130150500
1
2
Q
Q
5000
1500010000
2
q
q
qqq
Una variacin en 5000 litros.
A un incremento del precio S/. 10. La cantidad va disminuir en 5000 lt
de gasolina
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2. Dado la funcin 2xxf calcular la variacin de y si 2,0,1 xx
Solucin
15000
120150500
1
1
Q
Q
10000
130150500
1
2
Q
Q
5000
1500010000
2
q
q
qqq
Una variacin en 5000 litros.
A un incremento del precio S/. 10. La cantidad va disminuir en 5000 lt
de gasolina
3. Dado la funcin 2xxf calcular la variacin de y si 2,0,1 xx
Solucin
44,0
12,01
y
ffy
xfxxfy
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CV
CFCostos CVCF
q
PIngresos qp.
QPCVCF
ITCT
.
4. Determinar el incremento de siguiente funcin2
42
x
xxg , cuando
2,1 xx .
2
13
121
g
ffg
ffg
xfxxfg
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5. Determinar el incremento de siguiente funcin ttf 4 , cuando
24,1,5 tt .
2,0
324,6
524,15
f
fff
fff
xfxxff
LIMITES
Sea una funcin xf que est definida para todos los valores de x
cerca de ""C constante, con la excepcin posible de ""C . Se dice que
limiteL , es lmite de xf cuando x tiende a 0, si la diferencia entre
xf y L puede hacerse tan pequea como se desee con solo
restringir a x para estar lo suficientemente cerca de 0, es decir, lmite de
xf cuando x tiende a Cva ser igual a L
CxLxf
LxfCx
cuando,
lim
Intervalo cerrado
baba, ; Comprende todos los entre a yb
Intervalo abierto
ba, ; Todos los nmeros menos a yb
Intervalo semiabierto
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ba, Se define semiabierto cuando se dan por 2 casos abierto por la
izquierda o derecha comprendidos de a o b
Ejemplos:
1. Evaluar el limitede la funcin3
92
x
xxf cuando 3x
adoindetermin0
0
33
93
3
9 22
x
xxf
xf no esta definida por lo tanto no nos da un limite
6lim633
3lim
3
33
3
9
3
3
2
x
x
xf
x
x
xx
x
xxf
2. Sea2
42
x
xxf ; evaluar cuando 2x
4lim422
2lim2
22
2
4
3
2
2
x
x
xf
xx
xx
x
xxf
PROPIEDADES
- Lmite de producto de funciones :
xgxfxgxfCxCxCx
lim.lim.lim
0cuando;1
1lim2
xx
10
11lim2
Evaluar
xxx
cuando;1
24lim
4041
24lim
x
Evaluar
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xx
xx
x 22
22lim
0
00
0
22lim
22lim
22lim
22limlim
00
0
00
0
0
0
0
x
x
xxx
xx
x
x xg
xf
Evaluar
51.2donde1
lim0
ee
xxx
02
0
51,21
0
lim1
lim
1lim
0
0
0
0 x
x
x
xx e
x
e
x
Resolver
1
32lim 3
1 xx
x
2
1
2
32
11
312
1
32lim
33
1 xx
x
Resolver
3
91
lim
2
3 x
xx
x
3lim
3lim.3lim.1lim
3lim
9lim.1lim
3
91lim
3
333
3
2
33
2
3 x
xxx
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xx
x
1233133lim.1lim33xx
xx
Determinar
x
x
x
11lim
0
adoindetermin0
0
0
10111lim
0 x
x
x
1111
11
11
111111lim
22
0 xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
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2
1
101
1
11
111lim
0 xx
x
x
Elegimos el valor arbitrario del dominio de xf tal que 0x
22limlim
22limlim
00
00
xxf
xxf
xx
xx
Determinar
x
x
x
11lim
0
adoindetermin0
0
0
10111lim
0 x
x
x
1111
11
11
111111lim
22
0 xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
2
1
101
1
11
111lim
0
xx
x
x
Elegimos el valor arbitrario del dominio de xf tal que 0x
22limlim
22limlim
00
00
xxf
xxf
xx
xx
x f(x)
3 1
4 2
5 3
3 -1
4 -2
5 -32 0
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Por lo tanto que si 0x xf va a ser 2. La condicin de
continuidad es que 0x
Sea: 2
1
xxg ; analizar la continuidad de xg en todo su dominio y graficar:
x g(x)
-1 -1/3
-2 -1/4
0 -1/2
1 -1
3 1
4 1/25 1/3
La funcin xg es discontinua en 2
II UNIDADA
DERIVADAS
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Indica que si Y es una funcin independiente de X se define como la primera
derivada.
TEOREMA 1.-
La derivada de una funcin constante es 0
TEOREMA 2.-
Si se da la funcin sera igual a
TEOREMA 3.-
La diferencial de la funcin
TEOREMA 4.-
Regla de la multiplicacin
TEOREMA 5.-
Regla del cociente
Ejemplo: Dada las siguientes funciones hallar la derivada
1. F(x)=
2.- F(x)=
3.- F(x)=
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4.-
5.-
Dada la funcion calcular la derivada respecto a Y
Calcular la derivada de la siguiente funcin
Dada la funcin
F(t)=(2
= (2
=
Si sabemos que el volumen de las ventas de un disco x musical
particular esta dado como una funcin del tiempo t
S(t)= ,Donde t se mide en semanas y S=
nmero de discos vendidos. Determinar la taza en que S se cambia
cuando t= 0, t= 4,t= 8; el nmero de discos vendidos est en funcin del
tiempo.
En la actualidad la venta es de 2000 discos.
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A un incremento de 4 semanas para la venta de discos
incrementa en 400 unidades.
A un incremento de 8 semanas para la venta de discos disminuir
en 1200 unidades
REGLA DE LA CADENA
Dada las siguientes funciones
1.- , cuando Y=
2.- F(t)=
F(t)=
F(t)=
3.- y=
y=
y=
Calcular las siguientes derivadas:
1.- Y=
Y=
Y=
2.- U=
U=
U=
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3.- Y=
Y=
Y=
Y=
4.- Y=
Y=
Y=
Y=
5.- H(t)=
H(t)=
H(t)=
H(t)=
6.- U=
U=
U=
7.- Y=
Y= (
Y= (
Y=
8.- F(x)=
F(x) =
F(x) =
F(x) =
F(x) =
F(x) =
Resolver las siguientes diferenciales
1.- Y=
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Y=
Y=
Y=
Y=
2.- Y =
Y=
Y=
Y=
Y=
3.- X =
X =
X =
X =
X =
X =
DERIVADAS LOGARITMICAS:
Y =
1.- Evaluar si Y =
2.- evaluar si Y = ln (x + c)
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3.- evaluar si Y =
Calcular la derivada de las siguientes funciones.
1.- Y =
Y =
Y =
2.- Y=Y=
Y=
Y=
Y=
3.- Y =
Y =
Y =
Y =
4.- Y =
Y =
Y =
Y =
5.- Y =
Y =
Y =
Y =
6.- Y
Y =
Y =
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7.- Y= ln
Y =
Y =
Y =
Calcular las siguientes derivadas
1. Y =
Y =
Y =
2. Y =
Y =
Y =
Y =
3.- Y =
Y =
Y =
4.- Y =
Y=
Y=
Y=
5.- Y =
Y=
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6.- Y = log. ( )
Y=
Y = log e
7.- Y = log ( )
Y =
Y =
Y = 2x. log 3
8.- Y =Y
Y
Y
Y
Y
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
o Funcin sen X:
F(x) = sen x
f(x) = cos x
o Funcin cos X:
F(x) = cos x
f(x) = -sen x
o Funcin tg X:
F(x) = tg X
f(x) =
o Funcin ctg X:
F(x) =ctg x
f(x) = -ctg x
o Funcin sec X:
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F(x) = sec x
f(x) = tg x. sec x
o Funcin csc X:
F(x) = csc xf(x) = -ctg x. csc x
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
1.- f(x) =
f(x) =
f(x) =
2.- f(x) = tg (3x)4 cos ( )
f(x) =
f(x) =
f(x) =
3.- f(x) = cos 6x + ln 2x
f(x) = -6sen 6x
f(x) = -6sen 6x
4.- f(x) = ln x+
f(x) =
f(x) =
f(x) =
5.- f(x) = ln(senx)+ sen(lnx)f(x) =
f(x) =
DERIVADAY GRAFICADE FUNCIONES
Si tenemos la funcin f(x), entonces f(x) es una creciente que es
diferenciable
F(x) 0
Si tenemos f(x), donde f(x) es decreciente y diferenciable, entonces la 1derivada de la funcin.
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F(x) 0
1.- f(x) =
f(x) =
x= 1 f(x) = 0 es creciente
2.- f(x) =
f(x) =
es creciente y decreciente
Dada la U cuya funcin es
f(x) =
f(x) = 80
f(x) = x= -2 es decreciente
PUNTOS DE INFLEXION:
Si tenemos la siguiente diferencial
f(x) 0 cncava hacia arriba
f(x) < 0 cncava hacia abajo
ejemplos:
Y =
Adems hallar el punto de inflexin si es creciente o decreciente
Y=
Segunda derivada
Y
Y
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
1 derivada:
2 derivada:
3 derivada:
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Ejemplos
1.- Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=0 esta derivada tiene 5 orden
2.- Calcular la derivada de 3 orden de las siguientes funcione
F(x)=
f(x)= .(2t)f(x)=
f(x)=
3.- Obtener la siguiente diferencial de la siguiente funcin
F(x)=
f(x)=
f(x)=
f(x)=
f(x) =
f(x) =
f(x) =
4.- f(x) =
f(x)=
f(x)=
f(x)=
DIFERENCIALES
Y=f(x); Y= variable dependiente (endgenas)
f(x)= variable independiente (exgenas)
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Si tenemos la siguiente funcin
1.- Y=Determinar la derivada de
Calcular la derivada de las siguientes funciones:
1.- Y= t. lnt
2.- Y=
3.- Y=
4(
4.- Y=
5.- Y=
6.- Y=
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7.- determinar y la variacin en y, para la siguiente funcin
Y= 3
8.- Y= =0.84
y
y
DIFERENCIACION IMPLICITA:
1.- Calcular la derivada de
Utilizando la diferenciacin implcita de la sgte funcin
2x+ 2y ( )=0
= -x/y
3. XY+ ln( )=7; calcular la derivada de y con respecto a x
xy+
y+ x( )+
x.
x.
3.- x
Calcular = ?
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2xy.
2xy.
4.- calcular = ?;
2x+ 2y.
2y.
3.1.2 COSTOS
Si el numero de unidades de un bien es . x ; entonces el costo Total puedeexpresarse como:
A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:
COSTO PROMEDIO:
Cp = C (x) / x = y
COSTO MARGINAL:
Cm = C (x) = dy / dx
COSTO PROMEDIO MARGINAL:
Cpm = dy /dx = xC(X) C(x) / x^2 d/dx * Cp
Ej: Si la funcin de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes
Costo Promedio: Cp = C(x) / X = ax+b / x = a + b/x
Costo Marginal: Cm = C(x) = a
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Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2
3.1.3 INGRESOS:
Si el Numero de unidades de un bien es x: Siendo la Funcin de demanda : y =f(x); donde y es el Precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es:
R(x) = xy = x-f(x)
A partir de esta expresin de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:
INGRESO PROMEDIO
Rp = r(x) / x
INGRESO MARGINAL:
Rm = R (x)
Ntese que la expresin de Ingreso promedio carece de mayor importanciapuesto que es equivalente a la demanda del bien.
Ejemplo : Una funcin de Demanda es: Y = 124x
El Ingreso : R(x) = xy = x(12 -4x)
El Ingreso Marginal: R (x) = 12 -8x
Comnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente conrecurrir a las tcnicas de Mximos y mnimos conocidas ( Derivar e igualar aCero)
Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Mximo, que se obtiene de unbien cuya funcin de demanda es y = 60 -2x
La demanda: y = 60ex
El Ingreso: R(x) = xy = x( 602x) = 60x2x^2
El Ingreso Marginal: R(x) = 60 4x
Maximizando la ecuacin de Ingreso Total:
Si. R8x) = 60x2x^2
R(x) = 60 4x = 0 x=15
Rmax. = 60+152*15^ = 450
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En este problema no se verifica que el Punto Critico hallado mediante laderivada igualada a Cero, determina evidentemente a un mximo ya que sesupone de acuerdo las condiciones de cada problema ( de todas maneras laverificacin es simple utilizando la segunda derivada)
III. UNIDAD.
ANALISIS MARGINAL
COSTO MEDIO Y MARGINAL
La relacin de costos medios y marginales necesariamente se obtienen del
costo total de tal manera que:
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Costo Medio (CMe) = Ct / Q
Costo Marginal (CMg) = Ct / Q
Costo Medio Variable (CMeV) = [Ct - Cf] / Q donde Cf es el costo fijo.
INGRESO MEDIO Y MARGINAL
Las relaciones medias y marginales del ingreso total se obtienen mediante las
siguientes relaciones:
Ingreso medio IMe = It / Q donde It es el Ingreso total y la Q es el volumen de
ventas, donde el ingreso total es PQ que es igual a aQ - bQ2 que dividido entre
Q da a + bQ es el igual al precio P. Entonces:
IMe = a - bQ = P lo que indica que el ingreso medio es la funcin demanda de
la empresa.
Ingreso marginal IMg = It / Q.
Siendo el ingreso total aQ - bQ2 la primera derivada respecto a Q da a - 2bQ lo
que que el IMg tiene la doble pendiente del IMe para una b distinta a cero.
Grficamente las funciones se expresan como: