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MÓDULO DE:
PROBABILIDADE APLICADA ÀS TELECOMUNICAÇÕES
AUTORIA:
GERALDO BULL DA SILVA JUNIOR
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Módulo de: Probabilidade Aplicada às Telecomunicações
Autoria: Geraldo Bull da Silva Junior
Primeira edição: 2008
CITAÇÃO DE MARCAS NOTÓRIAS
Várias marcas registradas são citadas no conteúdo deste módulo. Mais do que simplesmente listar esses nomes
e informar quem possui seus direitos de exploração ou ainda imprimir logotipos, o autor declara estar utilizando
tais nomes apenas para fins editoriais acadêmicos.
Declara ainda, que sua utilização tem como objetivo, exclusivamente a aplicação didática, beneficiando e
divulgando a marca do detentor, sem a intenção de infringir as regras básicas de autenticidade de sua utilização
e direitos autorais.
E por fim, declara estar utilizando parte de alguns circuitos eletrônicos, os quais foram analisados em pesquisas
de laboratório e de literaturas já editadas, que se encontram expostas ao comércio livre editorial.
Todos os direitos desta edição reservados à
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Av. Santa Leopoldina, nº 840/07
Bairro Itaparica – Vila Velha, ES
CEP: 29102-040
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Apresentação
Apesar do título do módulo, ele não se destina apenas à apresentação do estudo de
Probabilidades. Ele vai além e apresenta conteúdos de Lógica Matemática, da Teoria dos
Conjuntos, da Análise Combinatória e do Binômio de Newton. A Lógica constante neste
módulo tem como objetivo embasar o raciocínio matemático e apresentar elementos
necessários ao desenvolvimento dos demais conteúdos. A presença dos temas de Análise
Combinatória se deve à necessidade de criar elementos de organização do pensamento para
a resolução dos problemas de Probabilidades. Por último, a presença do Binômio de Newton
se justifica pelo fato deste tema matemático ser também necessário à resolução de
problemas de Probabilidade. O objetivo de cada introdução histórica é situar o estudante no
tempo em que cada tema abordado foi criado e inicialmente desenvolvido.
Objetivo
Ao fim do curso o aluno deverá:
Ter desenvolvido as capacidades de dedução, de raciocinar logicamente de forma
organizada, de formular e interpretar situações matemáticas e o espírito crítico e
criativo em relação à Matemática.
Perceber e compreender as relações entre diversas áreas da matemática
apresentadas.
Organizar, comparar e aplicar os saberes aprendidos.
Compreender os fundamentos da Lógica, da Análise Combinatória, do Binômio de
Newton e das Probabilidades, assim como analisar estruturas e relações discretas.
Resolver problemas usados da Lógica, da Análise Combinatória, do Binômio de
Newton e das Probabilidades.
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Ementa
Lógica: Lógica Proposicional e Lógica de Predicados. Elementos da Teoria dos Conjuntos.
Análise combinatória. Binômio de Newton. Probabilidades.
Sobre o Autor
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela PUC – MG;
Licenciado em matemática pela Faculdade de Humanidades Pedro II – RJ;
Pós - Graduado em Educação Matemática na Faculdade Saberes – Vitória;
Pós - Graduado em docência do Ensino Superior pela Faculdade Cândido Mendes;
Professor de Matemática do UP e FAVI.
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SUMÁRIO
UNIDADE 1 ........................................................................................................... 8
Introdução .......................................................................................................... 8 UNIDADE 2 ......................................................................................................... 14
Operações lógicas ........................................................................................... 14 UNIDADE 3 ......................................................................................................... 19
A forma condicional p→q ................................................................................. 19 UNIDADE 4 ......................................................................................................... 26
Noções iniciais ................................................................................................. 26 UNIDADE 5 ......................................................................................................... 31
Par ordenado .................................................................................................... 31 UNIDADE 6 ......................................................................................................... 38
Combinatória. ................................................................................................... 38 UNIDADE 7 ......................................................................................................... 45
Combinatória. ................................................................................................... 45 UNIDADE 8 ......................................................................................................... 51
Aplicações do princípio multiplicativo .............................................................. 51 UNIDADE 9 ......................................................................................................... 56
Permutação com elementos repetidos ............................................................ 56 UNIDADE 10 ....................................................................................................... 59
Exercícios resolvidos ....................................................................................... 59 UNIDADE 11 ....................................................................................................... 64
Argumento, premissas e conclusões ............................................................... 64 UNIDADE 12 ....................................................................................................... 68
Experimento aleatório ...................................................................................... 68
UNIDADE 13 ....................................................................................................... 73
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Probabilidade de um evento em um espaço amostral equiprovável ............... 73 UNIDADE 14 ....................................................................................................... 79
Operações sobre Conjuntos ............................................................................ 79 UNIDADE 15 ....................................................................................................... 84
Conjuntos. ........................................................................................................ 84 UNIDADE 16 ....................................................................................................... 90
Condições . ...................................................................................................... 90 UNIDADE 17 ....................................................................................................... 96
Eventos dependentes ...................................................................................... 96 UNIDADE 18 ..................................................................................................... 101
Anteriores ....................................................................................................... 101 UNIDADE 19 ..................................................................................................... 106
Newton. .......................................................................................................... 106 UNIDADE 20 ..................................................................................................... 109
Números binomiais. ....................................................................................... 109
UNIDADE 21 ..................................................................................................... 113
Termo geral .................................................................................................... 113 UNIDADE 22 ..................................................................................................... 118
Distribuição binomial da probabilidade .......................................................... 118 UNIDADE 23 ..................................................................................................... 123
Frequência relativa ......................................................................................... 123 UNIDADE 24 ..................................................................................................... 130
Aplicações de probabilidades ........................................................................ 130 UNIDADE 25 ..................................................................................................... 134
Apresentar a simbologia de probabilidade condicional. ................................ 134 UNIDADE 26 ..................................................................................................... 141
As partições de conjuntos e a probabilidade condicional .............................. 141 UNIDADE 27 ..................................................................................................... 144
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Aleatória. ........................................................................................................ 144 UNIDADE 28 ..................................................................................................... 150
Exercícios resolvidos ..................................................................................... 150 UNIDADE 29 ..................................................................................................... 153
Introdução ...................................................................................................... 153 UNIDADE 30 ..................................................................................................... 157
Vetores de probabilidades ............................................................................. 157 GLOSSÁRIO ..................................................................................................... 166
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................ 167
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UNIDADE 1
Objetivo: Apresentar os primeiros elementos de Lógica.
Introdução
A Lógica Matemática pode ser considerada como um campo da Matemática dedicado ao
raciocínio e à demonstração. O maior desenvolvimento desse campo da Matemática deu-se
a partir do século XIX, principalmente por meio da proposta George Boole1, criador do que é
conhecido atualmente como Álgebra Booleana. Essa álgebra utiliza símbolos e operações
para representar e relacionar proposições, sendo útil às aplicações em problemas que
admitam apenas duas respostas: verdadeiro ou falso (ligado ou desligado, aberto ou
fechado, sim e não, etc.).
A Álgebra Booleana, escrita sob a forma de uma lógica simbólica, tem aplicações na
Engenharia Elétrica e na computação, por exemplo.
Objeto da Lógica Matemática
A Lógica matemática estuda as sentenças declarativas, conhecidas como proposições.
Proposições (ou sentença) lógicas são expressões que indicam afirmativas a respeito de um
objeto, tais como:
- p: O quadrado é um quadrilátero eqüilátero.
- q: (2+2=5).
- r: A soma de dois números naturais é um número natural.
1 Matemático inglês: 1815-1864.
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Valores Lógicos
Uma sentença pode possuir valor lógico V (verdade) ou F (falso). Pelo que foi exposto, o
valor lógico de cada sentença anterior é:
- p: V (ou 1).
- q: F (ou 0).
- r: V (ou 1).
Observação:
Não serão consideradas proposições frases interrogativas, tais como:
- Que horas são?
- Doutor: esse remédio é forte?
Também não serão consideradas sentenças as exclamativas, tais como:
- Fala, garoto!
- Alô, galera!
Princípios Lógicos
As proposições devem satisfazer aos seguintes princípios:
Princípio 1 - Princípio de Identidade: Cada objeto é idêntico a si próprio.
Princípio 2 - Princípio da Não Contradição: um objeto não pode, ser e não ser ao
mesmo tempo. Isso quer dizer que não é possível afirmar e negar ao mesmo tempo
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determinado predicado para o mesmo objeto (ou entre duas afirmativas contraditórias,
uma delas será necessariamente falsa).
Princípio 3 - Princípio do Terceiro Excluído: uma sentença é necessariamente
verdadeira ou falsa. Não existe um terceiro valor possível.
Alguns autores também representam por 0 (zero) o valor falsidade (0 ou F) e 1 (um) o valor
verdade (1 ou V). As sentenças serão indicadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u,
v, w, etc.
Proposições simples
Uma proposição (ou sentença) é simples quando expressa uma declaração ou um
pensamento com sentido completo.
Exemplos:
- p: A soma de dois números ímpares é um número par.
- q: O século XX terminou em 1999.
Normalmente a proposição simples é formada por um sujeito, um verbo, e o seu
complemento.
Negação de uma proposição simples
Dada uma proposição p, a sua negação será escrita: ~p (Lido “não p”).
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Exemplo:
p: A soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da
hipotenusa. (V)
~p: Não é verdade que a soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual
ao quadrado da hipotenusa. (F)
Outra forma de negar a proposição dada é a seguinte:
~p: A soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo não é igual ao quadrado da
hipotenusa. (F)
Importante: Duas negações equivalem a uma afirmação. Simbolicamente: ~(~p) = p.
Exemplo:
p: A soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da
hipotenusa. (V)
~(~p): Não é verdade que a soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo não
é igual ao quadrado da hipotenusa. (V)
Proposições Compostas e Conectivas
As proposições compostas são formadas pela combinação de proposições simples por uso
dos elementos chamados conectivos. São cinco os conectivos lógicos: “e”, “ou”, “não”, “se ...
então ...”, e “... se e somente se ...”.
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Exemplo:
p: Maria foi à feira; q: José comprou um carro.
As proposições compostas com cada um dos conectivos são as seguintes:
p e q: Maria foi à feira e José comprou um carro.
p ou q: Maria foi à feira ou José comprou um carro.
~p: Maria não foi à feira.
se p então q: Se Maria foi à feira então José comprou um carro.
p se e somente se q: Maria foi à feira se e somente se José comprou um carro.
Em Lógica, a combinação de proposições também é denominada operação lógica. Nesse
caso, os conectivos são denominados operadores. Cada operador tem o seu símbolo. O
símbolo de cada operador está na tabela a seguir.
Operador Conectivo Símbolo
Conjunção e
Disjunção ou
Negação não
Condicional se ... então ...
Bicondicional ... se e somente se ...
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1. Determine o valor lógico de cada sentença: p: (2 + 3 = 6); q: 2/3 é número natural.
2. Escreva a negação de cada proposição da atividade anterior.
3. Escreva as proposições compostas possíveis usando as proposições simples da
atividade 1.
4. Assinale as proposições e dê o valor lógico de cada uma.
a. A soma de dois números ímpares é sempre um número par.
b. Você já foi à Bahia?
c. Que mulherzinha!
d. O produto de dois números pares é sempre um número ímpar.
OBS.: O gabarito desta e das próximas atividades está disponível no link “Estudo Complementar” da sua sala de aula.
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UNIDADE 2
Objetivo: Continuar a apresentação das primeiras operações lógicas.
Operações lógicas
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos e (), ou (),
negação (), se ... então ... () e se e somente se ().
Com a utilização dos operadores, as proposições simples dão origem às proposições
compostas. Se p e q são proposições simples, podem ser formadas as proposições
compostas:
p q, p q, ~p, pq e pq.
As proposições compostas recebem os seguintes nomes:
- Conjunção: p q (lido p e q).
- Disjunção: p q (lido p ou q).
- Negação: ~p (lido não p).
- Condicional: pq (lido se p então q).
- Bicondicional: pq (lido se p se e somente se q).
Conhecido o valor lógico de cada proposição simples (p e q), os valores lógicos das
proposições compostas podem ser determinados. Os valores lógicos das proposições
compostas são determinados em um quadro chamado de tabela verdade.
Se p é proposição simples, a negação de p terá a seguinte tabela verdade:
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p ~p
V F
V V
A disjunção e a conjunção
Nos circuitos abaixo, A e B representam chaves que mantêm a passagem da corrente em um
circuito, F é uma fonte alimentadora e L é uma lâmpada.
Note que, no circuito “ou”, tanto faz a corrente passar pela chave A como na chave B, como
nas duas chaves ao mesmo tempo. A lâmpada será acesa com a corrente passando por A,
por B ou por A e B ao mesmo tempo
O circuito acima é uma representação análoga à disjunção ”ou”. Se p e q são proposições
simples, a disjunção de p e q terá a seguinte tabela verdade:
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
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Note que, no circuito “e”, se a corrente passar
apenas pela chave A ou apenas pela chave B,
não é o mesmo que passar nas duas chaves ao
mesmo tempo. A lâmpada somente será acesa
com a corrente passando por A e por B ao
mesmo tempo.
O circuito acima é uma representação análoga à conjunção ”e”. Se p e q são proposições
simples, a conjunção de p e q terá a seguinte tabela verdade:
p q pq
V V V
V F F
F V F
F F F
Note que:
1. No caso da disjunção, basta que uma das proposições simples seja verdadeira para
que a proposição composta seja considerada verdadeira.
2. No caso da conjunção, basta que uma das proposições simples seja falsa para que a
proposição composta seja considerada falsa.
Exemplo:
p: O ônibus quebrou na estrada.
q: O mecânico consertou o defeito.
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A proposição composta “O ônibus quebrou na estrada ou o mecânico consertou o defeito”
será falsa apenas no caso do ônibus não ter quebrado na estrada e também o mecânico não
consertar o defeito.
Já a proposição composta “O ônibus quebrou na estrada e o mecânico consertou o defeito”
será verdadeira apenas no caso do ônibus ter quebrado na estrada e também o mecânico
consertar o defeito.
Observação:
Você deve tomar cuidado com a disjunção na sua forma exclusiva (ou p ou q), indicada pelo
símbolo .
Exemplo:
p: O ônibus quebrou na estrada.
q: O mecânico consertou o defeito.
A proposição composta “Ou o ônibus quebrou na estrada ou o mecânico consertou o defeito”
será verdadeira quando apenas uma das duas sentenças simples for verdadeira.
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
Mal comparando, a disjunção exclusiva é como um motor que funciona com gás ou com
gasolina: Ou o motor tem o gás como combustível ou o motor tem a gasolina como
combustível. Você não coloca o carro para funcionar com os dois combustíveis ao mesmo
tempo.
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1) O símbolo “ ” significa que o elemento da esquerda é maior ou igual ao da direita.
Exemplo:
“x y” significa que x é maior ou igual a y. Isso significa que x é maior que y ou x é
igual a y. Dessa forma, como um número não pode ser ao mesmo tempo maior e igual
a outro, basta que uma das duas afirmativas seja verdadeira.
Classificar em verdadeira ou falsa cada sentença a seguir.
a) 5 > 2 e 6 3 b) 5 2 ou 6 > 3
c) 5 > 2 e 3 6 d) 2 5 ou 6 > 3
e) 3 > 6 e 6 3 f) 4 1 ou 1 > 4
g) 1 > 9 e 2 8 h) 3 6 ou 1 > 9
2) Considere a seguinte sentença: “Ou o professor aplica a prova ou o aluno estuda”.
Determine o valor lógico da sentença em cada caso.
a) O professor aplica a prova e o aluno não estuda.
b) O professor aplica a prova e o aluno estuda.
c) O professor não aplica a prova e o aluno estuda.
d) O professor não aplica a prova e o não aluno estuda.
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UNIDADE 3
Objetivo: Apresentar mais operações lógicas. Objetivo: Apresentar os quantificadores.
A forma condicional p→q
Observe a seguinte proposição:
Se você continuar a gastar, então sua conta ficará sem fundos (p→q).
Esta proposição é composta por duas proposições simples: você continuar agastar e sua
conta ficará sem fundos, ligadas pelo operador se ... então ... (). Conforme já foi visto, este
conectivo é chamado condicional.
Sendo p e q proposições, a expressão p q recebe o nome de condicional de p e q. No
caso, a proposição p recebe o nome de antecedente e a proposição q é denominada
consequente da forma condicional. A operação que forma a condicional indica que o
acontecimento de p é uma condição para o acontecimento de q. A determinação do valor
verdade da proposição na forma condicional será visto a seguir.
Retornando à proposição dada, suponhamos que p e q aconteçam, ou seja, que alguém
continue a gastar e que a conta fique sem fundos. Assim, a condicional p→q será verdadeira.
Caso a pessoa, dona da conta, continue a gastar (p ocorre), mas a conta não fique sem
fundos (q não ocorre), p não é condição para a ocorrência de q. Com isso, a proposição
condicional é falsa. Considere agora que a pessoa dona da conta pare de gastar (p não
ocorre) e a conta fique sem fundos. Nesse caso, a condicional é considerada verdadeira.
Note que o acontecimento de q está ligado à ocorrência de p, ou seja, q é consequência de p
já ter ocorrido. No caso do antecedente ser falso, a ocorrência ou não do conseqüente não
estará assegurada nem deixará de estar.
Analisemos as possibilidades de valor lógico da expressão Se você continuar a gastar, então
sua conta ficará sem fundos (p→q).
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Antecedente Conseqüente p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
A forma bicondicional pq
Observe a seguinte proposição:
Você chegará no horário se e somente se sair cedo de casa (pq).
Agora as duas proposições simples você chegará no horário e sair cedo de casa estão
ligadas pelo operador ... se e somente se ... (). Sendo p e q proposições, a expressão p
q é chamada bicondicional de p e q. Uma expressão bicondicional será verdadeira quando as
duas expressões que a compõem tiverem mesmo valor lógico.
Na expressão dada, o operador se e somente se é um indicador de que se a pessoa chegar
no horário, é porque ela saiu cedo e vice versa. Sendo assim, apenas possibilidade de
chegar no horário é sair cedo, isto é, não sair cedo, não chegará no horário. Nesse caso, os
dois acontecimentos são necessariamente verdadeiros (ou falsos) e não existe possibilidade
de ocorrer uma terceira possibilidade.
Analisemos as possibilidades de valor lógico da expressão Você chegará no horário se e
somente se sair cedo de casa (pq).
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A tabela formada para a bicondicional nada mais é do que a conjunção das expressões p→q
e q→p.
Antecedente Conseqüente p→q q→p (p→q) (q→p) pq
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
Se uma expressão assume sempre o valor V, dados quaisquer valores lógicos de suas
componentes, ela é chamada de tautologia (uma expressão válida).
Exemplo:
Hamlet é ou não é o príncipe da Dinamarca.
A expressão pode ser reduzida à forma p ~p, pois tem-se p: Hamlet é o príncipe da
Dinamarca e ~p: Hamlet não é o príncipe da Dinamarca. A tabela de tal disjunção assume a
forma:
p ~p p ~p
V F V
F V V
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Lembre-se de que a forma p q será falsa se pelo menos uma das suas componentes for
falsa.
Se uma expressão assume sempre o valor F, dados quaisquer valores lógicos de suas
componentes, ela é chamada de contradição (uma expressão não válida).
Exemplo:
Hamlet é e não é o príncipe da Dinamarca.
A expressão pode ser reduzida à forma p ~p, pois tem-se p: Hamlet é o príncipe da
Dinamarca e ~p: Hamlet não é o príncipe da Dinamarca. A tabela de tal disjunção assume a
forma:
p ~p p ~p
V F F
F V F
Lembre-se de que a forma pq será verdadeira se pelo menos uma das suas componentes
for verdadeira.
Quantificadores
Uma sentença é aberta quando possui variáveis. As sentenças abertas são chamadas de
funções proposicionais. As funções proposicionais não são proposições com valor lógico
definido, pois dependem das variáveis. Atribuindo valores às variáveis ou utilizando
quantificadores se podem transformar sentenças abertas em proposições.
Quantificador universal ( )
Lê-se: “Qualquer que seja”, “para todo”, “para cada”.
Forma de escrita: x; p (x), onde p (x) é a propriedade dos elementos.
Exemplo:
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x, xIN, 0.x=0. Lê-se: qualquer que seja o número natural, seu produto por zero é igual a
zero.
Quantificador existencial ( )
Lê-se: “existe”, “existe pelo menos um”, “existe um”.
Forma de escrita: x; p (x), onde p (x) é a propriedade dos elementos.
Exemplo:
' x, xIN, 1 + x = 9. Lê-se: Existe um número natural que, adicionado a um, resulta em nove.
Observação:
Também se pode usar outro quantificador: I (lê-se: “existe um único”, “existe apenas um”,
“existe um e somente um”).
Forma de escrita: I x; p (x), onde p (x) é a propriedade dos elementos.
Exemplo:
I x, xIN, x + 3 = 7. Lê-se: Existe um número natural que, adicionado a três, resulta em
sete.
Negação de proposições com os quantificadores.
Quando uma sentença for quantificada pelo quantificador universal [ x; p(x)], a sua negação
será feita apresentando pelo menos um elemento que não satisfaça p(x). Dessa forma, a
negação de x; p(x) será na forma: x; ~p(x). Formalmente: ~[ x; p(x)] = x; ~p(x).
Exemplo:
A negação de x, 1 + x = 9 é x, 1 + x 9.
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Quando uma sentença for quantificada pelo quantificador existencial [x; p(x)], a sua
negação será feita afirmando que nenhum elemento satisfaz p(x). Dessa forma, a negação
de x; p(x) será na forma: x; ~p(x). Formalmente: ~[x; p(x)] = x; ~p(x).
Exemplo:
A negação de x, x + 3 = 7 é x, x + 3 7.
1) Transforme as sentenças abertas em proposições verdadeiras com o uso de
quantificadores.
a) x² – 3x + 2 = 0 b) – (- k) = +k c) (x-y).(x+y) = x² – y² d) 9.t + 87
2) Escreva a negação de cada sentença.
a) a, 4 a < 0.
b) Qualquer que seja o número inteiro primo, ele é ímpar.
c) Existe um número real cuja raiz quadrada é um.
3) (U. F. GO) A negação de x > -2 é:
a) x2 b) x -2 c) x<-2 d) x<2 e) x2
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4) (U. F. BA) A proposição (~p v q) (q r) é verdadeira, se:
a) p e q são verdadeiras e r, falsa. b) p e q são falsas e r, verdadeira.
c) p e r são falsas e q, verdadeira. d) p, q e r são verdadeiras. e) p, q e r são falsas.
5) (U. F. RS) A negação da proposição “Para todo y, existe um x tal que y = sen(x)” é:
a) Para todo y, existe um s tal que y = sen(x).
b) Para todo y e para todo x, y = sen(x).
c) Existe um y e existe um x tal que y = sen(x).
d) Existe um y tal que, para todo x, y = sen(x).
e) Existe um y tal que, para todo x, y ≠ sen(x).
6) Escreva a negação de cada sentença.
a) Um número x é racional e irracional.
b) Um número y é natural ou inteiro.
c) ~(pq)
d) ~(p q)
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UNIDADE 4
Objetivo: Apresentar noções da teoria dos conjuntos.
Noções iniciais
A Teoria dos Conjuntos é em grande parte trabalho do matemático Georg Cantor (1845 -
1918).
O conceito de conjunto é uma noção primitiva, ou seja, não é definida a partir de outras
noções mais simples.
Primeiros conceitos
Os primeiros conceitos da teoria dos conjuntos são:
- a noção de conjunto;
- a noção de elemento;
- a relação de pertinência.
Um conjunto normalmente é representado por letras latinas maiúsculas. Um conjunto é uma
coleção objetos, os seus elementos. Um conjunto é uma coleção não ordenada de
elementos.
Quando for o caso, os elementos de um conjunto são representados por letras minúsculas.
Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos do conjunto.
Exemplo:
V = {a, e, i, o, u} é o conjunto formado pelas letras que representam vogais.
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Pertinência de um elemento a um conjunto
Se um objeto é elemento de um conjunto, diz-se que ele pertence ao conjunto. Do ponto de
vista da lógica, o elemento x que pertence a um conjunto A, possui a propriedade p.
Exemplo:
O elemento a pertence ao conjunto V do exemplo anterior. Assim, escreve-se aV.
Se um objeto não é elemento de um conjunto, diz-se que ele não pertence ao conjunto. Do
ponto de vista da lógica, o elemento x que não pertence a um conjunto A, não possui a
propriedade p.
Exemplo:
O elemento k não pertence ao conjunto V do exemplo anterior. Assim, escreve-se kV.
Representação de um conjunto
Um conjunto pode ser descrito por meio de uma propriedade dos seus elementos. Do ponto
de vista da lógica, trata-se de determinar um predicado para denotar os elementos do
conjunto.
Exemplo:
A = {x / x é número ímpar e 2 < x < 8}.
Um conjunto também pode ser descrito pela enumeração dos seus
elementos. O conjunto A do exemplo anterior é formado pelos
números 3, 5 e 7. Dessa forma A = {3, 5, 7}.
Um conjunto também pode ser descrito por meio do diagrama
conhecido pelo nome de diagrama de Venn. O conjunto A do
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exemplo anterior, formado pelos números 3, 5 e 7 pode ser representado por meio de um
diagrama conforme a figura ao lado.
Inclusão de um conjunto em outro
O conjunto A está contido no conjunto B se e somente se todo
elemento de A também é elemento de B.
Simbolicamente: [(AB)] [ x, (xA) (xB)].
Exemplo:
A = {1, 3, 5, 7}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Todos os elementos de A (1, 3, 5 e 7) são
elementos de B (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7). Dessa forma, diz-se que A está contido em B e
representa-se AB. O diagrama da situação está na figura ao lado:
Quando ocorre do conjunto A estar contido no conjunto B, diz-se que o conjunto A é
subconjunto do conjunto B.
Igualdade entre dois conjuntos
O conjunto A é igual ao conjunto B se e somente se todo elemento de A é elemento de B e
também e todo elemento de B é elemento de A. Assim, A está contido em B e B está contido
em A.
Simbolicamente: [(A = B)] [ (AB) (BA)].
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 1, 4, 2} são conjuntos iguais, pois possuem os mesmos elementos.
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Conjunto Vazio
Conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum.
Exemplo:
A = {x / x é número par e ímpar simultaneamente}. A = { }.
O conjunto vazio pode ser representado pela letra Ø. Assim, pode-se escrever A=Ø. O
conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A. Assim, pode-se escrever: ØA.
Principais conjuntos numéricos
- IN: conjunto dos nos naturais. IN = {0, 1, 2, 3, ...}.
- Z: conjunto dos números inteiros: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. O conjunto Z pode ser
considerado uma extensão do conjunto IN. Dessa forma, o conjunto IN está contido no
conjunto Z.
- Z*: conjunto dos números inteiros positivos {1, 2, 3, ...}
- Q: conjunto dos números racionais: {x / x=p /q, pZq Z*}
Exemplo:
2/3; - 3/2; 4,333... (dízimas periódicas). Como todo número inteiro pode
ser escrito na forma p /q, pZ q Z*, o conjunto Z está contido em Q.
- Qc : conjunto dos números irracionais: conjunto dos números que não
admitem a forma p/q, pZ q Z*.
Exemplo:
5 , , e (número de Euler).
Os conjuntos Q e Qc não têm elementos comuns.
- IR: conjunto dos nos reais: IR = Q Qc
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1) Classifique cada afirmativa a seguir em verdadeira ou falsa.
a) A soma de dois números naturais é sempre um número inteiro.
b) A soma de dois números racionais é sempre um número racional.
c) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
2) Descreva cada conjunto por meio de uma propriedade.
a) {-1, 0, +1, +2, +3} b) {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}
c) {segunda feira, sexta feira, sábado} d) {2}
3) Escreva os elementos de cada conjunto.
a) A = {x / x é letra da palavra banana} b) B= {x / x é cor da bandeira brasileira}
c) C = {x IN / -3 < x 5} d) D= {x IR / x² + 3x + 2 = 0}
4) As sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas?
a) Ø {0, 1, 2, 3} b) Ø{0, Ø}.
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UNIDADE 5
Objetivo: Apresentar as primeiras noções de análise combinatória.
Par ordenado
Par é um conjunto formado por dois elementos.
Exemplos:
{1,3} {{0}, 0} {Ø, {Ø}}
Nesta unidade, par ordenado será assumido como conceito primitivo, ou seja, não será
definido. A cada dois elementos a e b existirá um terceiro elemento (a, b) chamado de par
ordenado, tal que (a, b) = (c, d) a = b c = d.
Exemplos:
(1, 2) (2, 1) (3, 3) = (3, 3)
O primeiro elemento do par ordenado é a sua abscissa e, o segundo, a ordenada.
Análise combinatória - Introdução
A análise combinatória é um campo da Matemática que desenvolve métodos para contar o
número de elementos de um conjunto de acordo com determinadas condições. Se o número
de elementos do conjunto em questão for pequeno, técnicas de contagem podem ser até
desnecessárias. Porém, se o número de elementos do conjunto for grande, calcular o total de
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agrupamentos formados pelos seus elementos, sob determinadas condições, pode ser até
inviável, na ausência de técnicas específicas.
Exemplos:
1) A é o conjunto de números ímpares de dois algarismos distintos formados com os
elementos do conjunto {1, 2, 5}.
A = {15, 51, 21, 25} A possui 4 elementos.
2) B é o conjunto das sequências de letras possíveis a partir das letras da palavra pia.
B = {pia, pai, aip, api, iap, ipa } B possui 6 elementos.
3) C é o conjunto de todos os números positivos de dois algarismos que podem ser
formados a partir dos elementos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0. O conjunto C tem 90
elementos. Verifique.
No último exemplo, nota-se que seria extremamente trabalhoso determinar todos os
números, escrevendo-os um a um, para saber quantos são. Assim, tem-se o primeiro
cuidado a ser tomado em problemas de análise combinatória: distinguir se na pergunta pede-
se para determinar quantos ou se é pedido para determinar quais são os agrupamentos
formados.
Outro cuidado a ser tomado é verificar se o agrupamento formado terá os elementos
tomados em uma determinada ordem ou não.
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Exemplo:
Quatro elementos disputam a final de uma corrida de 100 m rasos.
a) Quantas são as possíveis distribuições de medalhas (ouro e prata), para os dois primeiros
colocados?
b) Quantas são as possíveis duplas que podem ser formadas convidando dois desses
elementos para um lanche?
Resolução:
a) No primeiro caso, o agrupamento é ordenado, pois mudando a ordem de chegada, muda-
se a premiação entre os corredores. Logo, são formados pares ordenados, já que a troca da
posição dos elementos altera o par formado. Assim, chamando os corredores de A, B, C e D,
as possibilidades de chegada dos dois primeiros são dadas na tabela a seguir:
1º A A A B B B C C C D D D
2º B C D A C D A B D A B C
Assim, são 12 resultados possíveis.
b) No segundo caso, o agrupamento não é ordenado, pois não se considera a ordem de
chegada para o convite. Sendo assim, as duplas são AB, AC, AD, BC, BD e CD.
Pode-se notar que com os mesmos elementos podem ser formados agrupamentos
ordenados e não ordenados, o que leva à obtenção de diferentes quantidades de resultados.
No primeiro exemplo, o total de possibilidades pode ser obtido por meio de uma operação de
multiplicação (4 x 3 = 12), pois para o primeiro lugar tem-se quatro elementos e, para o
segundo, são três elementos.
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Exemplo:
Um fornecedor de computadores monta suas máquinas variando o disco rígido, a placa mãe
e a quantidade de memória RAM. Ele tem quatro tipos de disco rígido, três de placa mãe e
duas capacidades de memória. Quantos modelos diferentes de computadores ele pode
montar?
Resolução:
Raciocinando de forma análoga à da premiação, considerando o conjunto disco-placa, tem-
se: 4 x 3 = 12 formações. Para cada uma dessas formações, tem-se duas possibilidades de
acrescentar capacidade de memória. Assim, são 12 x2 = 24 montagens diferentes.
A situação anterior poderia ser resolvida da seguinte forma: 4 x 3 x 2 = 24. Note que isso
será feito no caso dos agrupamentos serem ordenados.
Princípio fundamental da contagem
Se os conjuntos A1, A2, A3, ..., Ak têm, respectivamente n1, n21, n3, ... , nk elementos, o
total de agrupamentos ordenados formados com os elementos desses conjuntos é:
n1. n21 . n3 . ... . nk.
Exemplos:
1) Oito atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para a chegada dos
três primeiros?
Resolução:
Aplicando o princípio multiplicativo, tem-se: 8 x 7 x 6 = 336 possibilidades para a chegada
dos três primeiros.
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2) Oito atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para a chegada de
todos eles?
Resolução:
Aplicando o princípio multiplicativo e lembrando que nesse caso todos os elementos serão
considerados distintos para todas as posições, tem-se:
8 x 7x 6x 5 x 4 x 3 x 2x 1 = 40320 possibilidades de chegada com todos os competidores.
Arranjo e Permutação
Note que no exemplo 1 anterior, o número de posições consideradas é menor que o do
exemplo 2. Mesmo assim, o problema é resolvido aplicando o princípio multiplicativo. No
exemplo 1, tem-se o que os matemáticos chamam de arranjo de oito elementos tomados três
a três. No exemplo 2, tem-se uma permutação de oito elementos. Chamando de n o total de
elementos disponíveis e de k o número de elementos no agrupamento formado, tem-se que:
No arranjo, n > k. Na permutação, n = k.
Fatorial
Outro conceito importante é o de fatorial. No exemplo 2 anterior, tem-se:
8 x 7x 6x 5 x 4 x 3 x 2x 1.
Esse produto é formado por todos os números naturais de 1 a 8. Esse produto é chamado de
fatorial de oito (ou oito fatorial) e representa-se:
8! = 8 x 7x 6x 5 x 4 x 3 x 2x 1.
De forma geral, se n é um número natural, tem-se n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 1.
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Observação:
Os fatoriais de zero e de um valem um. 1! = 0! = 1.
1) Quais e quantos são os pares ordenados na forma (a, b), com aA e bB, dados A={2,
3} e B = {a, e, o}?
2) Com os mesmos conjuntos do exercício anterior, determine os pares ordenados na
forma (b, a), com aA e bB. O total de resultados é o mesmo?
3) Uma moeda é lançada 3 vezes. Indique por K o resultado cara e por C o resultado coroa.
Qual é o número de sequências de resultados possível?
4) Três cidades, A, B e C, são ligadas da seguinte forma: quatro rodovias que ligam A com
B. Cinco ligam B com C. Partindo de A e passando obrigatoriamente por B, de quantas
formas pode-se chegar até C?
5) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os elementos 1, 2, 3, 4, 7 e 8?
E se os algarismos forem distintos?
6) Quantos são os números de três algarismos distintos formados com os elementos 0, 1,
3, 5 e 7?
7) Na entrevista coletiva após uma partida de futebol, serão entrevistados um a um apenas
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4 entre os 11 jogadores que terminaram o jogo em campo por um determinado time.
Quantas são as sequências de entrevistas possíveis?
8) Se os quatro elementos do exercício anterior forem chamados em duplas, quantas
seriam as possíveis duplas formadas?
9) Uma moeda normal é lançada 10 vezes. Quantas sequências de faces alternam caras e
coroas?
10) Se a mesma moeda normal do exercício anterior for lançada 10 vezes, quantas
sequências de faces são possíveis?
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UNIDADE 6
Objetivo: Apresentar as primeiras noções de grafos e desenvolver a análise.
Combinatória.
Diagrama de árvore
Uma forma de visualizar os agrupamentos ordenados é por meio do dispositivo chamado
diagrama de árvore.
Exemplo (extraído de HAZZAN, S.):
Temos três cidades X, Y e Z. Existem
quatro rodovias que ligam X com Y e cinco
que ligam Y com Z. Partindo de X e
passando por Y, de quantas formas
podemos chegar até Z?
Resolução:
Sejam: A o conjunto das rodovias que ligam X com Y e B o conjunto das rodovias que ligam
Y com Z:
A = {a1, a2, a3, a4} e B = {b1, b2, b3, b4, b5}.
Cada modo de efetuar a viagem de X até Z pode ser considerado como um par de estradas
(ai, bj) onde aiA e bjB.
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Grafo
Um grafo G(V, A) é um conjunto finito não vazio de pares não orientados de elementos
distintos de V, onde V é um conjunto de vértices e A é um conjunto de arestas.
A figura da esquerda representa um grafo. O conjunto de vértices é V = {V1, V2, V3, V4, V5}
e o conjunto de arestas é A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6}.
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Dois vértices u e v de um grafo são adjacentes quando existe uma aresta a que os une. Na
figura, V1 e V2 são enquanto V2 e V4 não são.
Um grafo é simples quando não existe vértice ligado a ele mesmo. O grafo da figura ao
acima é simples.
Um grafo é completo quando é um grafo simples no qual todo vértice é adjacente a todos os
outros vértices. O grafo completo de n vértices é denotado por Kn. Na figura ao acima tem-
se um grafo completo K6.
Um ciclo é um caminho entre os vértices v1, v2, v0 ... vk, vk+1, de modo que v1 = vk+1 e
k3. Isso significa que em um ciclo o vértice de partida coincide com o de chegada (v1 =
vk+1) e no mínimo deve ter três vértices. Grafo acíclico é um grafo que não possui ciclos. O
grafo G3 a seguir é cíclico e tem três ciclos distintos. O grafo G4 é acíclico.
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Grafo rotulado
Um grafo G(V, A) é rotulado nos
vértices ou nas suas
arestas quando a cada vértice ou
aresta estiver associado um
rótulo. Esse rótulo pode ser um
nome, um número, uma letra, etc.
O grafo acima é exemplo de grafo rotulado. Ele representa uma região delimitada por quatro
cidades. Cada cidade é representada por um vértice rotulado com um nome. Cada aresta é
rotulada com a distância entre duas cidades.
Grafo valorado
Um grafo G(V, A) é valorado se existe uma ou mais funções que relacionam V e/ou A a um
conjunto de números. O grafo acima associa os vértices e aresta da seguinte forma:
V = {v / v é uma cidade da região agrícola}
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A = {(v1, v2, d) / existe estrada ligando v1a v2 e d é a distância entre duas cidades}.
Uma árvore é um grafo acíclico e conexo. O grafo G4 anterior é uma árvore.
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1) Uma moeda é lançada duas vezes seguidas. Faça um diagrama de árvore
que descreva esse experimento.
2) Um jogo consiste em lançar um dado de quatro faces e, em seguida, uma
moeda. Um dado de quatro faces é um tetraedro, com as faces numeradas de 1 a 4 conforme
figura. Dessa forma, cada resultado será um par ordenado onde o primeiro elemento é o
número obtido no dado e o segundo elemento é a face obtida na moeda (cara ou coroa). Faça
uma árvore que descreva os resultados são possíveis desse jogo.
3) (UFF) Um caminhão pipa deve transportar água da cidade A para a cidade Z. A figura
abaixo ilustra os caminhos possíveis que o
motorista do caminhão pode tomar. As setas
indicam o sentido obrigatório de percurso. Os
valores colocados próximo às setas especificam o
custo de transporte (todos dados em uma mesma
unidade monetária) para o trecho em questão.
Determine o caminho que representa a entrega feita com o menor custo.
4) (UFRJ) A figura representa um grafo, isto é, um conjunto de pontos (nós) ligados por
segmentos (arestas). Se X e Y são dois nós do grafo, designamos por
d(X,Y) o menor número de arestas necessárias para ir de X a Y,
percorrendo exclusivamente um caminho sobre as arestas do grafo
(assim, por exemplo, d(N,R) = 3).
a) Determine d(A, B).
b) Identifique os nós X e Y para os quais d (X, Y) é máximo. Nesse caso, quanto é d(X, Y)?
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5) A figura ao lado representa um grafo orientado. Isso quer dizer
que o caminho de A para B não é o mesmo da volta de B para A.
Determine os menores caminhos entre o vértice A e os demais
vértices.
6) Sejam G(V, A) um grafo e C um conjunto de cores. Uma coloração de G é uma atribuição
de cores para o conjunto C. Para cada vértice de V será atribuído um elemento de C, de
modo que a dois vértices adjacentes sejam atribuídas cores diferentes. Assim, a cada par de
vértices v1e v2 de V tem-se (v1, v2) A com f(v1) f(v2). Uma k-coloração de G utiliza o
total de k cores. O número cromático de um grafo G é o menor número k de cores para o qual
existe uma k-coloração de G. Qual o número mínimo de cores para colorir a
figura? Detalhe: duas áreas que tenham uma linha de fronteira comum não
podem ter a mesma cor. Um vértice comum não é considerado fronteira, por não
ser uma linha.
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UNIDADE 7
Objetivo: Apresentar mais noções de grafos e continuar a desenvolver a análise.
Combinatória.
Árvore geradora mínima de um grafo
A partir de um grafo conexo, uma árvore que cubra a extensão desse grafo será um
subgrafo, e essa árvore conectará todos os vértices. O mesmo grafo pode ter diferentes
árvores que cubram a sua extensão.
Nos grafos valorados, o peso de cada aresta poderá, por exemplo, representar uma
dificuldade a ser superada, como distância entre dois lugares, custo operacional para a
construção de uma estrada, etc.
O objetivo de buscar uma árvore mínima que una todos os vértices de um grafo que tenha
peso em suas arestas é calcular a soma dos pesos dessas arestas que a compõem, de
modo a minimizar a dificuldade. Uma árvore geradora mínima é uma árvore cuja extensão
tem peso menor ou igual ao das outras árvores de diferentes extensões.
De forma geral, qualquer grafo não direcionado tem a possibilidade de gerar diferentes
árvores, ou seja, guarda em si uma floresta de árvores mínimas. Em um
grafo não valorado (sem peso nas arestas), qualquer árvore de extensão é
mínima.
O grau de um vértice v é o número de vértices adjacentes a ele. Na
árvore acima o grau de a, c e e vale 1, o grau de d é 2 e o grau de b é 3. A folha de uma
árvore é um vértice v da árvore que possuir grau menor ou igual a 1. Um vértice é interior se
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o seu grau é maior ou igual a 2. Na árvore acima os vértices a, c e e são folhas, enquanto os
vértices b e d são interiores.
Árvore mínima - Algoritmo de Krushal
Em um grafo valorado não dirigido e conexo, necessita-se determinar uma árvore geradora,
em que a soma dos valores associados às arestas seja mínima. Nesse caso, pode-se utilizar
o algoritmo de Krushal, descrito a seguir.
A árvore mínima a partir de um grafo valorado pode ser construída assim:
1. Inicie o processo com todos os n vértices do grafo e sem nenhuma aresta.
2. Introduza uma ligação de menor valor v1, depois outra de menor valor v2 entre as
restantes.
3. A cada etapa do cálculo introduzir a aresta de menor valor entre as arestas restantes,
desde que não complete um ciclo.
4. Parar quando o número k de arestas for igual a (n -1).
O grafo resultante é uma árvore e por construção e seu valor total é mínimo.
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Exemplo:
Tome um grafo completo de seis vértices (a, b, c, d, e, f), conforme a figura acima. Construa
uma árvore de valor mínimo.
Resolução:
O processo inicia listando as arestas de acordo com seus valores crescentes.
A seguir, as arestas vão sendo incluídas em ordem crescentes, desde que não formem
ciclos. A primeira é (d, e), que vale 6. Incluída a aresta (d, e), marca-se com um x a aresta e
escreve-se o seu número de ordem (1a). A próxima aresta incluída é (a, e). O processo é
repetido até incluir cinco arestas. A aresta (a, d) não pode ser incluída, pois formaria um ciclo
(mesmo motivo de não incluir (a, f)). A árvore resultante está na figura abaixo e tem valor
total igual a 50.
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Arestas
crescentes
Arestas
incluídas
No de
ordem
Valor
incluído
(d, e) x 1ª 6
(a, e) x 2ª 7
(e, f) x 3ª 8
(a, d) 9
(a, f) 11
(c, f) 12
(a, c) x 4ª 13
(d, f) 14
(b, f) 15
(b, c) x 5ª 16
(c, e) 17
(b, e) 18
(a, b) 22
(c, d) 22
(b, d) 24
Total: 50
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Note que os vértices foram tirados de seus lugares para desenhar a árvore mais facilmente,
o que não invalida o processo.
1) Determine a árvore mínima para o grafo abaixo.
2) Uma companhia telefônica deseja criar uma rede interligando um conjunto de cidades a
seguir. O custo para unir duas cidades por meio de cabos é conhecido, mas essa
companhia deseja minimizar seus gastos, fazendo as ligações mais baratas possíveis sem
deixar de cobrir nenhuma das cidades. Determine qual é o conjunto de ligações que
satisfaz aos desejos da companhia.
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3) Determine o grau de cada vértice do grafo da figura a seguir. Esse grafo é regular?
4) Abelardo, Brás, Calé, Dodinho e Eufrásio se encontraram para conversar e jogar pôquer,
sueca ou buraco. Abelardo só joga sueca, Brás só não joga buraco, Calé joga todos os
jogos, Dodinho não joga sueca e buraco. Eufrásio só joga buraco. Represente por um grafo
todas as possibilidades de um amigo jogar com os demais. Determine o conjunto de
vértices e o de arestas.
5) A figura a seguir representa as moléculas
químicas do metano (CH4) e do propano (C3H8).
Interpretando esses diagramas como grafos, os
nós são representados pelos átomos de carbono
(C) e os átomos de hidrogênio (H). Existem duas
moléculas diferentes com fórmula C4H10. Desenhe os grafos correspondentes a essas
moléculas.
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UNIDADE 8
Objetivo: Apresentar o conceito de combinação.
Aplicações do princípio multiplicativo
1) Dispõe-se de 6 cores e se deseja pintar uma bandeira de 4 listras horizontais, cada listra
com apenas uma cor e todas as listras com cores distintas. De quantas formas isto pode
ser feito?
Resolução:
Na figura, tem-se um modelo da bandeira em questão.
Pintar a bandeira consiste em determinar uma sequência
de quatro cores distintas escolhidas entre as 6 cores
possíveis. O número de seqüências procurado é: 6 x 5 x 4
x 3 = 360.
2) Uma linha ferroviária tem 10 estações. Quantas possibilidades diferentes de bilhetes
podem ser impressos, se cada modelo deve ter a estação de partida e a de chegada?
Resolução:
Na figura, tem-se um modelo do bilhete em questão.
Cada bilhete tem dois elementos a serem preenchidos.
O primeiro elemento tem 10 possibilidades e o segundo
tem 9. Assim, são 10 x 9 = 90 possibilidades de bilhetes.
3) Uma conta corrente tem uma senha em que os dígitos são 1, 2, 3 e 0. A senha é formada
por uma sequência de dígitos distintos. Se uma pessoa tentar sacar dinheiro em um
terminal, quantas possibilidades de tentativas aleatórias ela tem?
6
5
4
3
Estação
de partida (10)
Estação
De chegada (9)
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Resolução:
Na figura, tem-se um modelo do local onde digitar a senha.
Como são 4 dígitos para preencher 4 possibilidades, tem-se: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 senhas
possíveis.
4) Uma urna contém n bolas numeradas de 1 a n. São extraídas k (kn) bolas
sucessivamente. Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for
realizada repondo cada bola após a extração?
Resolução:
Repondo cada bola após a extração, cada sorteio tem n possibilidades de resultado. Assim,
tem-se: n.n.n. ... .n, um produto com k elementos. Dessa forma, são kn possibilidades.
5) Em relação ao problema anterior, qual o total de resultados se todas as bolas forem
retiradas sem reposição?
Resolução:
Sem reposição de cada bola após a retirada, teremos sempre uma bola a menos em relação
ao sorteio anterior. Assim tem-se: n.(n-1).(n-2). ... .1 = n! possibilidades.
Combinações
Seja A um conjunto com n elementos. Uma combinação dos n elementos de A, agrupados k
a k, será um dos subconjuntos de A formados por k elementos.
Digite a sua senha
(4) (3) (2) (1)
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Exemplo:
Um grupo de quatro alunos deseja disputar uma competição matemática, mas a escola só
tem possibilidade de enviar dois deles para competir. Quantas são as possibilidades de
escolher a dupla que representará a escola?
Resolução:
Chamando A = {a, b, c, d} o conjunto dos alunos, tem-se os subconjutos de alunos com dois
elementos listados abaixo.
{a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d}. Note que {a, b} = {b, a}, pois a ordem dos elementos não
altera o conjunto. As combinações não dependem, portanto, da ordem dos elementos
(depende apenas dos elementos que compõem o agrupamento – é o que os especialistas
chamam de variar a espécie, ou seja, os elementos em si e não variar a ordem de
apresentação dos mesmos). Importante notar que uma combinação difere de uma
sequência. A cada combinação de dois elementos, tem-se dois arranjos (sequências de dois
elementos) possíveis. O total de combinações de quatro elementos tomados de dois em dois
é metade do número de arranjos de quatro elementos tomados de dois em dois. Para
arranjos de quatro elementos tomados de dois em dois, o total é 4 x 3 = 12 arranjos. Cada
elemento do arranjo tem duas possibilidades de ser escolhido: pode ser o primeiro ou o
segundo elemento. Permutando os dois elementos escolhidos, tem-se 2 x 1 = 2 resultados.
O número de combinações de quatro elementos tomados de dois em dois é: 6
212
1234
xx
.
O total de combinações pode ser obtido do número de arranjos dividido pelo fatorial do
número de elementos. Isso pode ser generalizado para combinações de n elementos
agrupados de k em k. Representando por knC , o total de combinações de n elementos
agrupados de k em k, por knA , o total de arranjos de n elementos agrupados de k em k e por
k! (o fatorial de k), tem-se: knC , = !,
kA kn
.
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Exemplos:
1) Serão escolhidos três membros para uma comissão interna de prevenção de acidentes
em um grupo de dez funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?
Resolução:
Cada comissão é um subconjunto de três elementos, pois em cada comissão não importará
a ordem dos elementos. Assim, o número de comissões é uma combinação de dez
elementos agrupados de três em três, ou seja, 3,10C . O total de combinações de dez
elementos agrupados de três em três é: 3,10C = 120
6720
1238910
xxxx
possibilidades.
2) Tenho 6 bombons diferentes e desejo escolher 4. De quantas maneiras posso fazer isso?
Resolução:
Cada escolha de 4 bombons corresponde a uma combinação dos 6 elementos, tomados 4 a
4 (a ordem dos bombons escolhidos não interessa, pois se, por exemplo, temos recheios
banana, ameixa, abacaxi e castanha, será o mesmo que ter castanha, abacaxi, ameixa e
banana). Assim, escolher quatro bombons é uma combinação dos 6 elementos tomados 4 a
4. Dessa forma, o total de escolhas é:
1524
36012343456
4,6 xxxxxxC
.
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1) De quantas maneiras diferentes posso escolher 4 cartas de um baralho de 52 cartas, de
modo que em cada escolha haja pelo menos um rei? (Observação: Um baralho é composto
de quatro naipes - copas, paus, ouros e espadas - cada naipe com 13 cartas - ás, valete,
dama, rei, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e 10).
2) Uma turma tem 14 jogadores de Futsal, dos quais três são goleiros. Entre eles está João
o único pivô. Quantos times de Futsal (5 elementos) podem ser escalados?
3) Em relação ao problema anterior, se for obrigatória a escalação de um pivô, quantos
serão os times possíveis?
4) Uma prova tem 15 questões e os alunos devem resolver apenas 10. De quantas formas
podem ser escolhidas as 10 questões?
5) Um grupo consta de 20 cientistas, 5 são Matemáticos. Quantas formas comissões de 10
elementos podem ser escolhidas modo que:
a) Nenhum elemento seja Matemático?
b) Pelo menos um dos elementos seja matemático?
6) Em um grupo tem 10 pessoas, quatro são homens. Quantas comissões de 6 pessoas
podem ser formadas com essas disponíveis, se pelo menos três delas forem homens?
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UNIDADE 9
Objetivo: Apresentar as permutações com elementos repetidos.
Permutação com elementos repetidos
Os anagramas das letras de uma palavra são permutações dos elementos que a constituem.
Assim, ROMA e ROAM são anagramas da palavra AMOR.
O total de permutações de n elementos é representado por nP . O total de permutações de n
elementos é nP =n!
No caso da palavra AMOR, o total de anagramas seria 4P = 4 x 3 x 2x 1 = 4! = 24 anagramas.
Considere a palavra OVo e seus anagramas. Será feita a diferenciação entre o “O”
(maiúsculo) e o “o” (minúsculo). Assim os anagramas são:
OVo; OoV; VOo; VoO; oOV; oVO.
Como a leitura de Ovo e oVO não diferem entre si ( o mesmo para OoV e oOV; VOo e VoO),
tem-se apenas três anagramas. Se não ocorressem letras repetidas, seriam 3x2x1 = 6
anagramas.
Por serem letras repetidas, têm-se apenas três anagramas. No caso da repetição da letra “o”,
são duas letras. Para a escolha da primeira letra, são dois elementos. Para a escolha da
segunda, resta apenas uma. Assim, o total de escolhas das duas letras é 2x1=2=2!
Voltando à palavra ovo, o total de permutações de três elementos, sendo dois repetidos, é 3.
Se não ocorressem repetições, seriam 6. O total de permutações de três elementos, sendo
dois repetidos, é .3
26
12123
xxx
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O total de permutações de n elementos com repetição de k elementos é representada por
knP . No caso da palavra ovo, tem-se !2
323
PP .
De uma forma gral, o total de permutações de n elementos com repetição de k elementos é
calculado com a fórmula: k
nP = !!
kn
.
Exemplos
1. Quantos são os anagramas das letras da palavra PAPA?
Resolução:
A palavra tem 4 elementos, o que daria 4 x 3 x 2 x 1 = 24 permutações. São duas letras “A” e
duas letras “P”. Assim, deve-se dividir o total de 24 permutações pelo produto 2!x2!=2x2=4.
Assim, o total de anagramas da palavra PAPA será: 6
424
121212342
4 xxxxxxP
anagramas.
2. Quantos números de 5 algarismos podem ser formados permutando os algarismos 1, 1,
4, 4 e 7?
Resolução:
Com 5 elementos são 5x4x3x2x1 = 120 permutações. Nessas permutações, o elemento 1
aparecerá duas vezes e o quatro também duas vezes. Assim, o total de 120 permutações
será dividido pelo produto 2!x2! O total de números será então: .30
4120
1212123452,2
5 xxx
xxxxP
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1) Quantos anagramas tem a palavra:
a) AMARAL? b) PARAGUAIO? c) ENCÍCLICA? (desconsidere o acento no “I”)
2) Em um barco existem 6 bandeiras de mesmo formato e cores diferentes: 2 verdes, 2
vermelhas e 2 brancas. Dispondo todas elas ordenadamente no mastro, quantos sinais
diferentes podem ser codificados?
3) Uma moeda é lançada 10 vezes. Quantas sequências de caras e coroas existem, com 5
repetições de cada face?
4) Os vinte sinais de tráfego de uma rua têm apenas as cores verde e vermelho. Em um
determinado instante, dez estão com a cor verde e dez com a vermelha. Quantas são as
possibilidades dessa sequência de cores ocorrer?
5) São formados números de 8 algarismos com os símbolos 1, 2, 3 e 4. Em quantos deles
aparece uma só vez o algarismo 2, duas vezes o algarismo 3, três vezes o algarismo 4 e o
algarismo 1 nas posições restantes?
6) (fonte: HAZZAN, S.) Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano
ortogonal, como mostra a figura. Ele só pode dar um passo de cada vez,
para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias (caminhos) existem da
origem ao ponto P(7, 5)?
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UNIDADE 10
Objetivo: Desenvolver diferentes atividades de análise combinatória.
Exercícios resolvidos
1. (fonte: MACHADO, A. S.) Uma fábrica de bicicletas produz três modelos diferentes sendo
que para cada um os clientes podem escolher entre cinco cores e dois tipos de assentos.
Além disso, opcionalmente, pode ser acrescentado o espelho retrovisor ou o assento
traseiro ou ambos. Quantos exemplares diferentes de bicicletas podemos escolher nesta
fábrica?
Resolução:
Montar um exemplar dessas bicicletas é uma ação composta de cinco etapas sucessivas:
1) escolher o modelo (há 3 possibilidades); 2) escolher a cor (há 5 possibilidades); 3)
escolher o tipo de assento (há 2 possibilidades); 4) optar se quer ou não quer espelho (há 2
possibilidades); 5) optar se quer ou não quer assento traseiro (há 2 possibilidades).
Logo, há 3 x 5 x 2 x 2 x 2 modos de realizar a ação. Concluímos que há 120 exemplares
diferentes de bicicletas.
3. (fonte: MACHADO, A. S.) Quantos anagramas da palavra RICARDO apresentam:
a) as vogais juntas, na ordem alfabética? b) as vogais juntas, em qualquer ordem?
Resolução
a) Imaginemos o bloco [AIO] como uma única “letra”. Permutando-se as “letras” R, C, R, D
vamos obter os anagramas pedidos. Então, o número de anagramas é:
34512
1234525 xx
xxxxxP
60.
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60
b) Agora devemos considerar as permutações das vogais entre si no bloco [AIO]: 3P = 3! = 6.
Para cada uma destas permutações, o número de anagramas que podemos formar é
calculado como no item anterior: 2
5P . Então, pelo princípio fundamental da contagem, o
número total de anagramas neste caso é: 3P x 2
5P = 6 x 60 = 360.
i) (MAPOFEI-SP) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos
possíveis poderá associar 6 destas substâncias se, entre as 10, duas somente não
podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?
Resolução:
Cada mistura de 6 das 10 substâncias corresponde a uma combinação das 10 substâncias
tomadas 6 a 6, uma vez que não importa a ordem das substâncias na mistura. Assim, o total
de misturas seria 6,10C se não houvesse problema com nenhuma mistura. Devemos, porém,
subtrair desse número as combinações em que entrariam as duas substâncias que, se
misturadas, provocam explosão. As combinações em que entram estas duas substâncias
são formadas por elas duas e mais quatro substâncias escolhidas entre as outras oito
substâncias (excluímos aquelas duas). O número de modos de escolher 4 substâncias em 8
é 4,8C . Concluímos que o número de misturas não explosivas que podem ser produzidas é:
6,10C - 4,8C . Temos: 6,10C =
1234565678910
xxxxxxxxxx
210 e 4,8C = 123445678
xxxxxxx
= 70. Logo, 6,10C - 4,8C
= 210 – 70 = 140.
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1) (F G V - adaptada) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de
pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja
uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a
pessoa poderá fazer seu pedido?
2) (PUC-SP) Quer-se colorir o mapa representado na figura,
de modo que dois países vizinhos não sejam pintados com a
mesma cor. Qual o número mínimo de cores que se deve
usar?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
3) (UF-BA) Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a
vice-diretor, 3 a primeiro secretário e 4 a tesoureiro. O número de resultados possíveis da
eleição é:
a) 4 b) 24 c) 72 d) 144 e) 12!
4) (Sta. Casa -SP) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidades A
e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B,
utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem?
a) 4! X 3! b) 2 -1 x 4! X 3! c) 24 d) 12 e) 7
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5) (CESESP-PE) Num acidente automobilístico, após ouvir várias testemunhas, concluiu-se
que o motorista culpado do acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de duas
vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o
dígito 2. Assinale, então, a única alternativa correspondente ao número de veículos
suspeitos.
a) 1 080 b) 10 800 c) 10 080 d) 840 e) 60 480
6) (USP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetição, podem ser formados
com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90
7) (FATEC-SP) Quantos números, distintos entre si e menores de 30 000, têm exatamente 5
algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?
a) 90 b) 120 c) 180 d) 240 e) 300
8) (PUC - SP - adaptada) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições
diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando
assento e encosto, este banco assume quantas posições?
9) O sistema telefônico de uma cidade utiliza oito dígitos para designar as diversas linhas
telefônicas. Supondo que o primeiro dígito seja sempre três (3) e que o dígito zero (0) não
seja utilizado para designar as estações (2º e 3º dígitos), quantos números de telefones
diferentes a cidade pode ter?
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10) (CESGRANRIO-80) A figura abaixo representa uma área
de ruas de mão única. Em cada esquina em que há duas
opções de direção (vide figura) o tráfego se divide
igualmente entre elas. Se 512 carros entram na área por P,
o número dos que vão sair por Y é:
a) 128 c) 256 b) 192 d) 320 e) 384
11) (CESGRANRIO - adaptada) Em um computador digital um “bit” é um dos algarismos O
ou 1 e uma “palavra” é uma sucessão de “bits”. Qual é o número de “palavras” distintas, de
32 “bits”?
12) (fonte: MACHADO, A. S.) De uma novela participam 8 atores e 12 atrizes. Para uma
cena que será filmada na Europa, apenas 6 participantes deverão viajar, sendo 3 atores e 3
atrizes. De quantos modos podem ser escolhidos os participantes desta cena?
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UNIDADE 11
Objetivo: Apresentar elementos de lógica que favoreçam a dedução e argumentação.
Argumento, premissas e conclusões
Um argumento é composto de proposições (afirmativa ou negativa de algo) e premissas. Ao
formular uma proposição, atribui-se um predicado a um sujeito. A estrutura do argumento
comporta dois elementos: o sujeito, que é o ser de que se afirma ou nega alguma coisa e o
predicado, aquilo que se afirma ou nega do sujeito. Silogismo é basicamente um argumento
composto de três proposições, que são duas premissas e uma conclusão.
Observe o exemplo clássico de silogismo, atribuído a Aristóteles:
Premissa 1: Todo homem é mortal.
Premissa 2: Sócrates é homem.
Conclusão: Sócrates é mortal.
A primeira proposição e a segunda são as premissas e a terceira proposição é a conclusão.
Essa é uma forma elementar de silogismo. As premissas são evidências que servem para
uma conclusão. Nem toda proposição é uma premissa, pois esta só assume tal forma
quando é elemento de um argumento.
O silogismo é uma forma de análise que decompõe os argumentos em partes. Existem
quatro tipos fundamentais de proposições sob a forma de silogismo. São elas:
I. Silogismo universal: “Todo A é B”.
II. Silogismo universal negativo: ”Nenhum A é B”.
III. Silogismo particular: “Algum A é B”.
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IV. Silogismo particular negativo: ”Alguns A não são B”.
Inferência
Inferência é um processo por meio do qual se conclui algo por meio da elaboração de um
raciocínio. Inferir é chegar a uma resposta fundamentada em juízos anteriormente
estabelecidos. Raciocinar em lógica é operar com o pensamento a partir de duas ou mais
relações conhecidas, inferindo uma outra relação, decorrente de maneira lógica.
Exemplo
Proposição 1: Todo metal é bom condutor térmico.
Proposição 2: O alumínio é um metal.
Conclusão: O alumínio é um bom condutor térmico.
Os juízos acima são ligados de maneira lógica e formam um raciocínio. Da ligação das duas
primeiras premissas é inferida a conclusão. Um argumento não é apenas uma sequência de
proposições. A finalidade de formular um raciocínio é obter um resultado partindo do que é
conhecido.
Somente as proposições podem ser qualificadas em verdadeiras ou falsas. Uma proposição
é verdadeira ou falsa. Um argumento é classificado em válido ou não válido. Um argumento
não será qualificado em verdadeiro ou falso. Argumentos podem ser válidos com premissas
verdadeiras, como por exemplo:
Premissa 1: todo número natural é par ou ímpar.
Premissa 2: 123 é ímpar.
Conclusão: 123 não é par.
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Argumentos podem ser válidos com premissas falsas, como por exemplo:
Premissa 1: todo número natural é par ou ímpar.
Premissa 2: 123 é par.
Conclusão: 123 não é ímpar.
Também existem argumentos que parecem válidos e na verdade não são válidos, como por
exemplo:
Premissa 1: Todo homem é bom cozinheiro.
Premissa 2: O professor de Física é homem.
Conclusão: O professor de Física é bom cozinheiro.
O argumento inicialmente parece inválido. Entretanto, ocorre o contrário. Embora a primeira
proposição “Todo homem é bom cozinheiro” seja falsa, a sequência de raciocínio é
formalmente lógica.
Sofisma
Sofisma é o enunciado falso, mas de aparência verdadeira. O que determina o sofisma
geralmente é relacionado à forma lógica do enunciado. Pode-se construir um sofisma a partir
de premissas válidas e mau uso das regras de inferência lógica. Também se pode construir
um sofisma a partir da falsidade das premissas. A seguir são apresentados exemplos de
sofismas (Fonte: MACHADO, N. J.):
Premissa 1: Nenhum garimpeiro é atleta.
Premissa 2: Todos os atletas são saudáveis.
Conclusão: Nenhum garimpeiro é saudável.
Premissa 1: Todos os tubarões são antropófagos.
Premissa 2: Existem índios que são antropófagos.
Conclusão: Existem índios que são tubarões.
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Verifique se os argumentos são válidos ou sofismas.
a) Todos os brasileiros são sul-americanos. b) Todos os brasileiros são sul-americanos.
Pelé é brasileiro. Maradona não é brasileiro.
Logo: Pelé é sul-americano. Logo: Maradona não é sul-americano.
c) Nenhum indiano é sul-americano. d) Alguns triângulos são retângulos.
Nenhum sul-americano é africano. Alguns retângulos são quadrados
Logo: nenhum indiano é africano. Logo: alguns triângulos são quadrados.
Antes de dar continuidades aos seus estudos é fundamental que você acesse sua
SALA DE AULA e faça a Atividade 1 no “link” ATIVIDADES.
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UNIDADE 12
Objetivo: Introduzir os conceitos iniciais de probabilidades.
Os primeiros passos dos estudos de probabilidades não são nada nobres. Esse campo de
estudos matemáticos iniciou com a verificação das possibilidades de ganhar em jogos de
azar. Abraham De Moivre é uma importante figura para a Teoria das Probabilidades,
desenvolvendo processos de resolução de problemas nessa área.
Atualmente a probabilidade tem aplicações além do estudo das possibilidades de vencer em
jogos de azar, tendo aplicações, inclusive, em estudos estatísticos e na Genética, por
exemplo.
Os primeiros elementos da teoria das probabilidades são apresentados nesta unidade.
Experimento aleatório
Chama-se experimento aleatório aquele que, repetido em idênticas condições, produz
resultados diferentes. Embora se saiba os possíveis resultados, o que irá ocorrer em cada
experimento particular não pode ser previsto.
Exemplos:
1) Lançar uma moeda e observar a face de cima.
2) Lançar uma dado e observar o número da face de cima.
3) Em uma urna contendo bolas de cores diferentes, sortear uma delas e observar a cor.
4) Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras ou de coroas obtidas.
5) Em um lote de HDs, sortear e testar um deles para buscar os elementos defeituosos.
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Espaço amostral de um experimento aleatório
Em geral é possível determinar o conjunto de todos os possíveis resultados de um
experimento aleatório, ou, pelo menos, o total de possibilidades. Chama-se espaço amostral
de um experimento aleatório (indicado por ) o conjunto formado por todos os possíveis
resultados de um experimento aleatório.
Exemplos:
1) Lançar uma moeda e observar a face de cima, onde K representa cara e C representa
coroa: = {K, C}.
2) Lançar um dado comum e observar o número da face de cima: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3) Em uma urna contendo uma bola para cada cor: verde, amarela, branca e grená, sortear
uma delas e observar a cor. Simbolizando cada cor pela letra inicial da sua palavra: = {v, a,
b, g}.
4) Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras ou de coroas obtidas:
={KK, KC, CK, CC}.
5) Em um lote de HDs, sendo alguns em perfeito estado de funcionamento e outros não,
sortear e testar um deles para buscar os elementos defeituosos. Representando por P os
perfeitos e D os defeituosos: = {P, D}.
Evento
Considerado um experimento aleatório, cujo espaço amostral é , será chamado de evento
todo subconjunto de . Em geral um evento é indicado por uma letra maiúscula do alfabeto:
A, B, C, ... Um evento A ocorre se, ao realizar o experimento, o resultado obtido pertencer a
A.
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70
Exemplos:
1) Experimento - Lançar um dado e observar o número da face de cima. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento A - Obtenção de número par: A = {2, 4, 6}
Evento B - Obtenção de número ímpar: B = {1, 3, 5}.
Evento C - Obtenção de número primo: C = {2, 3, 5}.
Evento D - Obtenção de número maior que zero: C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Evento certo.
Evento D - Obtenção de número menor que zero: D = { } = Ø - Eventos impossível.
Observações:
1) Os eventos que possuem um único elemento são chamados eventos elementares.
2) Os eventos que não possuem qualquer elemento são chamados eventos impossíveis.
3) Os eventos que possuem os mesmos elementos do espaço amostral são chamados
eventos certos.
4) Quando os eventos sobre um espaço amostral têm todos eles a mesma possibilidade de
ocorrência, diz-se que eles são equiprováveis.
Exemplos:
1) Ao lançar uma moeda, se a mesma não for desequilibrada, os eventos K (cara) e C
(coroa) têm a mesma possibilidade de ocorrer.
2) Ao lançar um dado, se o mesmo não for desequilibrado, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 têm a
mesma possibilidade de ocorrer.
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3) Na urna contendo bolas de cores diferentes, se elas variarem apenas pela cor, todas têm
a mesma possibilidade de ocorrer.
4) Ao lançar uma moeda duas vezes, se a mesma não for desequilibrada, K (cara) e C
(coroa) têm a mesma possibilidade de ocorrer.
5) No lote de HDs, se eles diferirem apenas pelo fato de serem ou não defeituosos, todos
têm a mesma possibilidade de ocorrer.
1) Determine o espaço amostral de cada experimento aleatório a seguir.
a) Escrevem-se todas as letras da palavra AMOSTRA em pedaços de papel de mesmas
dimensões e uma delas será sorteada.
b) Em uma urna colocam-se bolas que diferem apenas pela cor: vermelhas (V), brancas e
azuis (A). Uma bola será sorteada e sua cor observada.
c) Em uma urna colocam-se bolas 100 bolas numeradas de 1 a 100 que diferem apenas
pelo número estampado. Uma bola será sorteada e seu número observado.
d) De um baralho de 52 cartas, que diferem apenas pelo elemento estampado, uma delas
será sorteada e a estampa será observada.
e) Em uma urna serão colocadas bolas que diferem apenas pela cor: 10 bolas vermelhas (V)
e 4 brancas. Duas bolas são extraídas, sem reposição e suas cores serão observadas na
sequência de extração.
f) Três pessoas A, B, C serão colocadas em uma fila e serão observadas as possíveis
disposições das mesmas.
g) Um casal planeja ter 3 filhos e serão observadas as possíveis sequências de sexos dos
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nascimentos.
h) Um dado e uma moeda, ambos equilibrados serão lançados. Serão observadas as
possíveis sequências formadas por um número do dado e uma face da moeda.
i) Um dado verde e um dado vermelho, ambos equilibrados, serão lançados. Serão
observados os números das faces de cima.
j) Seis alunos de uma turma: Alberto, Bruna, Carlos, Daniela, Eduardo e Fernanda. Dois
deles serão escolhidos para compor uma dupla de representantes da turma e todos têm a
mesma chance de serem escolhidos.
2) Determine o conjunto evento de cada experimento sobre o espaço amostral de cada
experimento aleatório a seguir.
a) Uma moeda equilibrada será lançada 2 vezes, a sequência de caras e coroas será
observada. Dessas sequências interessam aquelas em que ocorre cara (K) no 1º
lançamento.
b) A mesma moeda do item anterior será lançada 3 vezes, a sequência de caras e coroas
será observada. Dessas sequências interessam aquelas em que ocorre exatamente uma
coroa.
c) Três pessoas A, B, C serão colocadas em uma fila e serão observadas as possíveis
disposições das mesmas. Dessas sequências interessam aquelas em que A e C ocorrem
nas extremidades da fila.
d) Seis alunos de uma turma: Alberto, Bruna, Carlos, Daniela, Eduardo e Fernanda. Dois
deles serão escolhidos para compor uma dupla de representantes da turma e todos têm a
mesma chance de serem escolhidos. Dessas duplas interessam aquelas em que Daniela é
sempre uma das pessoas escolhidas.
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73
UNIDADE 13
Objetivo: Introduzir o cálculo das probabilidades.
Probabilidade de um evento em um espaço amostral equiprovável
Em um espaço amostral equiprovável, a probabilidade de ocorrer um evento A é calculada
pela razão: p(A) = )()(
nAn
, onde n(A) representa o total de elementos do evento e n( )
representa o total de elementos do espaço amostral.
Exemplos:
1) Um dado equilibrado é lançado e o número observado na face de cima é observado.
Determine as probabilidades dos eventos a seguir.
a) A: ocorrência de número ímpar. b) B: ocorrência de número primo.
c) C: ocorrência de número maior que 4. d) D: ocorrência de número maior que 7.
e) E: ocorrência de número menor ou igual a 7.
Resolução:
O espaço amostral do experimento aleatório é = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. n( ) = 6.
a) O evento A é: {1, 3, 5}. Logo, n(A) = 3. Assim: p(A) = )()(
nAn
= 21
63
ou 0,50 ou 50%.
b) O evento B é: {2, 3, 5}. Logo, n(B) = 3. Assim: p(B) = )()(
nBn
= 21
63
ou 0,50 ou 50%.
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74
c) O evento C é: {5, 6}. Logo, n(C) = 2. Assim: p(C) = )()(
nCn
= 31
62
ou 0,33 ou 33%.
d) O evento D é: { }. Logo, n(D) = 0. Assim: p(D) = )()(
nCn
=0
60
(o evento é impossível).
e) O evento E é: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = . Logo, n(E) = 6. Assim: p(E) = )()(
nEn
=1
66
ou 100% (o
evento é certo).
2) Uma moeda equilibrada é lançada 2 vezes, e observa-se a sequência de resultados.
Determine as probabilidades dos eventos a seguir.
a) A: ocorrência de cara no 1º lançamento. b) B: ocorrência de exatamente uma coroa.
c) C: ocorrência de pelo menos duas caras.
Resolução:
O espaço amostral do experimento aleatório é = {KK, KC, CK, CC}. n( ) = 4.
a) O evento A é: = {KK, KC}. Logo, n(A) = 2. Assim: p(A) = )()(
nAn
= 21
42
ou 0,50 ou 50%.
b) O evento B é: = {CK, KC}. Logo, n(B) = 2. Assim: p(A) = )()(
nAn
= 21
42
ou 0,50 ou 50%.
c) O evento C é: = {KK}. Logo, n(C) = 1. Assim: p(C) = )()(
nAn
= 41
ou 0,25 ou 25%.
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75
3) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ser carta
de copas?
Resolução:
Tem-se 52 cartas: n( ) = 52 e são 13 cartas de copas no baralho n(A) =13. Assim, a
probabilidade do evento A é; p(A) = )()(
nAn
= 41
5213
ou 0,25 ou 25%.
4) Dois dados são lançados e observados os números das suas faces. Qual a probabilidade
dos números obtidos somarem 7?
Resolução:
O número de elementos do espaço amostral é n( ) = 6 x 6 = 36 (princípio multiplicativo).
Dos resultados possíveis, os pares ordenados de elementos somando 7 são: (1, 6), (6, 1), (2,
5), (5, 2), (3, 4) e (4, 3), n(A) = 6. Assim, a probabilidade do evento A é:
p(A) = )()(
nAn
= 61
366
.
Observações:
1) Como o número de elementos do conjunto evento é um número no mínimo igual a zero
(número de elementos do evento impossível) e no máximo igual ao total de elementos do
espaço amostral (evento certo), a probabilidade de um evento A é um número que pode
variar apenas no intervalo de zero até um, ou seja: 0 p(A) 1
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76
2) O resultado de uma probabilidade também pode ser expresso na forma de número
decimal (basta dividir o numerador pelo denominador) ou na forma de porcentagem (basta
tomar as duas primeiras casas decimais do resultado da divisão o numerador pelo
denominador). Dessa forma, o resultado do exemplo 1, 41
5213
, pode ser escrito na forma de
número decimal e na forma de porcentagem, pois 1:4 = 0,25, que pode ser escrito 25%. O
resultado do exemplo 2, .61
366
, pode ser escrito na forma de número decimal e na forma de
porcentagem, pois 1:6 = 0,166 ..., que arredondado dá aproximadamente 0,17, que pode ser
escrito 17%.
1) Um número é escolhido ao acaso entre os 200 inteiros de 1 a 200. Qual a probabilidade
do número ser:
a) múltiplo de 9? b) múltiplo de 4 e de 5?
2) Uma urna tem 6 bolas verdes, 4 amarelas e 10 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso da
urna. Qual a probabilidade da bola escolhida ser:
a) verde? b) amarela? c) azul?
3) Em relação ao problema anterior, determine a probabilidade da bola sorteada não ser:
a) verde. b) amarela nem azul. c) verde nem amarela.
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4) Numa cidade, 50% dos homens são casados, 25% são solteiros, 15% são desquitados e
10% são viúvos. Um homem é escolhido ao acaso.
a) Qual a probabilidade dele ser solteiro? b) Qual a probabilidade dele não ser casado?
5) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30, que diferem apenas pelo número
estampado. Uma bolinha é escolhida e o seu número é observado. Determine as
probabilidades dos eventos a seguir.
a) A: o número obtido é par. b) B: o número obtido é ímpar. c) C: o número obtido é
primo. d) D: o número obtido é maior que 26. e) E: o número obtido não é múltiplo de 7.
6) Um dado verde e um branco são lançados. O espaço amostral desse experimento é um
conjunto de pares ordenados (v, b) onde v representa o número no dado verde e b
representa o número no dado branco. Determine as probabilidades dos eventos a seguir.
a) A: ocorrer 5 no dado verde. b) B: ocorrem números diferentes nos dois dados.
c) C: ocorre número 2 em ao menos um dado. e) E: saem números cuja soma é maior que 8.
7) De um baralho de 52 cartas, em que todas diferem entre si apenas pelo elemento
estampado, uma delas será retirada. Determine as probabilidades dos eventos a seguir.
a) A: a carta é de copas. b) B: a carta é rei. c) C: a carta é rei de copas.
d) D: a carta é de número. e) E: a carta é de número ímpar.
8) Em uma urna existem 6 bolinhas numeradas de 1 a 6, em que todas diferem entre si
apenas pelo elemento estampado. Três delas serão extraídas uma a uma sem reposição da
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bola retirada. Determine as probabilidades dos eventos a seguir.
a) A: as bolas retiradas são números pares em ordem crescente.
b) B: as bolas retiradas são números ímpares em ordem decrescente.
c) C: as bolas retiradas são números primos em ordem crescente.
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UNIDADE 14
Objetivo: Apresentar as operações entre conjuntos.
Operações sobre Conjuntos
1) União entre conjuntos
Se A e B são conjuntos, a união de A e B (representada por AB), é
o conjunto no qual estão os elementos de A ou de B ou de ambos.
Simbolicamente: AB = {x / xA xB}.
Do ponto de vista da lógica, a disjunção “ou” indica as três possibilidades. Se xA, xAB;
se xB, x AB; Se xA e xB, x AB. A pintura no diagrama acima indica as três
possibilidades.
Exemplo:
A = {0, 1, 3, 5, 7} e B = {-4, -1, 0, 1, 3, 8} AB = {0, 1, 3, 5, 7, -4, -1, 8}
Observação:
Não é necessário repetir os elementos que estão em A e B ao mesmo tempo.
2) Interseção entre conjuntos
Se A e B são conjuntos, a interseção de A e B (representada por
AB), é o conjunto no qual estão os elementos que pertencem
simultaneamente aos conjuntos A e B.
Simbolicamente: AB = {x / xA xB}.
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80
Do ponto de vista da lógica, a conjunção “e” indica apenas uma possibilidade: o elemento da
interseção pertence simultaneamente aos dois conjuntos. Se, xAB, xA e ao mesmo
tempo xB. A pintura no diagrama anterior indica a única possibilidade.
Exemplo:
A = {0, 1, 3, 5, 7} e B = {-4, -1, 0, 1, 3, 8} AB = {0, 1, 3}
3) Diferença entre conjuntos
Se A e B são conjuntos, a diferença entre A e B (representada por A -
B), é o conjunto no qual estão os elementos que pertencem apenas ao
conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Simbolicamente: A - B = {x / xA xB}.
Se, x(A – B), xA e xB. A pintura no diagrama ao lado indica A - B.
Exemplo:
A = {0, 1, 3, 5, 7} e B = {-4, -1, 0, 1, 3, 8} A - B = {5,7}
Observação:
Não confundir A – B com B – A, pois são conjuntos diferentes. No exemplo acima:
B - A = {-4, -1, 8}.
4) Conjunto Complementar
Se A e B são conjuntos tais que AB, o conjunto complementar de A
em relação a B é formado pelos elementos de B que faltam para igualar
os conjuntos A e B.
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81
Simbolicamente CAB = B – A.
A pintura no diagrama anterior indica CAB = B – A.
Exemplo:
A = {1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} = B – A = {-1, 0, 4} CAB = B – A.
Aplicação:
Em uma cidade foi feita uma pesquisa de preferência entre dois times de futebol: Arranca
Toco Futebol Clube e Associação Futebolística Toco Arrancado. Foram entrevistados 20.000
habitantes. Foi constatado que 2.400 pessoas não simpatizam por qualquer dos times, 2.600
pessoas simpatizam pelos dois times e 9.000 simpatizam pelo Arranca Toco. Pergunta-se
quantas pessoas simpatizam:
a) Apenas pelo Arranca Toco?
b) Apenas pelo Toco Arrancado?
Resolução:
Sejam: A - simpatizantes do Arranca Toco; B -
simpatizantes do Toco Arrancado. Observe o diagrama.
Primeiramente podem-se localizar os que não
simpatizam por qualquer time e os que simpatizam pelos
dois. Logo, dos 20.000 entrevistados, restam 17.600 que
simpatizam por algum time (ver diagrama ao lado).
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Desses 17.600, temos 2.600 que simpatizam pelos dois. Assim, têm-se 15.000 que
simpatizam exclusivamente pelo Toco Arrancado ou pelo Arranca Toco. Como são 9.000 os
simpatizantes pelo Arranca Toco (incluindo os 2.600 que simpatizam pelos dois), têm-se
6.400 que simpatizam exclusivamente pelo Arranca Toco. Localizados os 9.000 que
simpatizam pelo Arranca Toco, o cálculo que determina os que simpatizam exclusivamente
pelo Toco Arrancado é: 20.000 – 2.400 – 2.600 – 6.400 = 8600. Logo, são 8.600
entrevistados que simpatizam exclusivamente pelo Toco Arrancado, conforme o diagrama
abaixo:
As repostas são:
a) 6.400 simpatizam exclusivamente pelo Arranca Toco.
b) 8.600 simpatizam exclusivamente pelo Toco Arrancado.
1) Em um grupo de 400 pessoas, 320 têm fator RH positivo, 200 têm sangue tipo O e 160
têm fator RH positivo e sangue tipo O. Uma dessas pessoas foi selecionada ao acaso para
uma pesquisa médica. Determine o total de elementos em cada caso.
a) Ela tem sangue fator RH negativo.
b) Ela não tem sangue de tipo O.
c) Ela tem sangue com fator RH positivo ou de tipo O.
d) Ela tem sangue com fator RH negativo e de tipo O.
2) Em um grupo de 1500 universitários, 240 estudam Engenharia, 450 estudam Economia e
30 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno foi escolhido ao acaso para uma pesquisa
de opinião pública, determine os totais de elementos em cada caso.
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83
a) Ele estuda Economia ou Engenharia.
b) Ele estude somente Engenharia.
c) Ele estuda somente Economia.
d) Ele não estuda Engenharia, nem Economia.
3) Em uma prova com dois problemas, sabe-se que:
- 600 alunos acertaram somente um dos problemas.
- 520 alunos acertaram o segundo problema.
- 200 alunos acertaram os dois problemas.
- 420 alunos erraram o primeiro problema.
Pergunta-se: quantos alunos fizeram a prova?
4) Num grupo de 297 esportistas, sabe-se que 120 jogam vôlei, 60 jogam vôlei e basquete,
66 jogam basquete e futebol, 54 jogam vôlei e futebol e 33 jogam as três modalidades. O
número de pessoas que jogam basquete é igual ao número de pessoas que jogam futebol e
seis pessoas jogam apenas futebol.
Perguntam-se quantos jogam:
a) Futebol e não jogam vôlei? b) Basquete ou futebol e não jogam vôlei?
c) Vôlei e não jogam basquete?
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84
UNIDADE 15
Objetivo: Apresentar problemas de probabilidade associados às operações entre
Conjuntos.
Eventos combinados
Dois ou mais eventos podem ter suas probabilidades combinadas mediante utilização de
operações entre conjuntos: União, interseção ou diferença.
União de Eventos
Se A e B são eventos; então A U B também será um evento, que ocorre se A ou B ou ambos
ocorrem. Diz-se que A U B é a união dos eventos A e B.
Interseção de Eventos
Se A e B são eventos; então AB também será um evento, que ocorre se A e B
ocorrem simultaneamente. Diz-se que AB é a interseção dos eventos A e B.
Exemplo:
Um dado é lançado e observado o número da face de cima 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Sejam os eventos:
A: ocorrência de número par: A = {2, 4, 6}.
B: ocorrência de número maior ou igual a 3: B = {3, 4, 5, 6}.
A U B: ocorrência de número par ou número maior ou igual a 3: A U B = {2, 3, 4, 5, 6}.
AB: ocorrência de número par e número maior ou igual a 3: AB = {4, 6}.
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85
p(AB) = 65
e p(AB) = .
62
Observe que:
p(A)= 63
, p(B)= 64
e p(AB) = .
62
É necessário extremo cuidado ao calcular p(AB), pois não basta fazer p(A) + p(B), pois
caso isso fosse feito, o total seria:
p(A) + p(B) = 67
64
63
,
o que é impossível, pois uma probabilidade varia de zero até um.
A resolução correta deve levar em consideração o fato da interseção não ser vazia, pois
p(AB) = .
62
A partir disso, é evidente que:
p(AB) = p(A) + p(B) - p(AB).
A resolução correta desse problema seria: p(AB) = 62
64
63
= 65
627
6243
.
Eventos Complementares e eventos mutuamente exclusivos
Se A é um evento, o complementar de A ( A ) também será um evento, mas que ocorrerá se,
e somente se, A não ocorrer.
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86
Exemplo:
Utilizando ainda o exemplo das situações anteriores, tem-se
A U B = {2, 3, 4, 5, 6}
C: ocorrência de um número ímpar menor ou igual a 2. C = {1}.
Note que A U B=C , pois C (AB)= ={1, 2, 3, 4, 5, 6} . Assim: p(A U B)= 65
e p(C )= 61
.
Dessa forma: p(A U B) =1 - p(C ).
Aplicação:
Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Considere o evento:
A: ocorrência de número ímpar. A = {1, 3, 5}.
p(A)= .
21
63
O evento complementar de A (ocorrência de número par) é: p(
A ) = .
21
212
211
Observação:
1) Se os eventos A e B são tais que AB = , eles são ditos complementares.
2) Se os eventos A e B são tais que AB = e AB= Ø, eles são ditos mutuamente
exclusivos (a ocorrência de um leva à não ocorrência do outro).
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87
Exemplo:
Ainda no exemplo do dado:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {1, 3, 5} - ocorrência de número ímpar.
B = {2, 4, 6} - ocorrência de número par.
C = {1, 2, 3, 5} - ocorrência de número ímpar ou primo.
B e C são complementares, enquanto A e B são mutuamente exclusivos.
1) Um dado é lançado e observado o número da face de cima. Determine a probabilidade de
cada evento.
a) Ocorre número par. b) Ocorre número maior ou igual a 3.
c) Ocorre número par ou maior que 3. d) Ocorre número par e maior que 3.
2) Um dado é lançado e observado o número da face de cima. Determine a probabilidade de
cada evento.
a) Ocorre número ímpar. b) Ocorre número maior ou igual a 3.
c) Ocorre par. d) Ocorre menor que 3.
3) Uma urna tem 100 bolas numeradas de com os números naturais de 1 a 100. Calcule a
probabilidade de sortear um número:
a) Múltiplo de 3. b) Múltiplo de 4. c) Múltiplo de 3 ou de 4. d) Múltiplo de 3 e de 4.
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4) Uma urna tem 100 bolas numeradas de com os números naturais de 1 a100. Calcule a
probabilidade de sortear um número:
a) Múltiplo de 5. b) Não múltiplo de 5. c) Múltiplo de 3 ou 4. d) Não múltiplo de 3 nem 4.
5) Em uma urna são colocadas 30 bolas numeradas de 1 a 30, que diferem apenas em
relação ao número estampado. Uma bola é sorteada ao acaso e o número é observado.
Determine a probabilidade de cada evento.
a) Obter número ímpar. b) Obter primo. c) Obter número ímpar e menor que 16.
d) Obter número par ou maior que 17.
6) Em uma urna são colocadas 30 bolas numeradas de 1 a 30, que diferem apenas em
relação ao número estampado. Uma bola é sorteada ao acaso e o número é observado.
Determine a probabilidade de cada evento.
a) Obter número ímpar. b) Obter par. c) Obter número ímpar e menor que 14.
d) Não obter número par nem maior que 14.
7) Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de cada evento.
a) Ocorre número 3 no primeiro dado. b) Ocorrem números iguais nos dois dados.
c) Ocorre número 2 em ao menos um dado. d) Ocorrem números cuja soma vale 7.
8) Uma moeda e um dado são lançados. Determine a probabilidade de cada evento.
a) Ocorrência de cara. b) Ocorrência de número par. c) Ocorrência de número 5. d) AUB.
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9) Uma moeda e um dado são lançados. Determine a probabilidade de cada evento.
a) Ocorrência de coroa. b) Ocorrência de número par.
c) Ocorrência de coroa e número par. d) ________
BA .
10) Em uma urna estão 9 bolas brancas e 6 vermelhas. Uma bola é retirada, sua cor
registrada, recolocada na urna e em seguida uma segunda bola é sorteada. Calcule a
probabilidade de a primeira bola ser:
a) branca. b) vermelha. c) branca seguida de vermelha. d) vermelha seguida de
branca.
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UNIDADE 16
Objetivo: Apresentar problemas de probabilidade de eventos limitados a determinadas.
Condições .
Probabilidade Condicional
Em um espaço amostral , considere dois eventos A e B. O símbolo P(A│B) indicará a
probabilidade de ocorrer o evento A, dado que o evento B ocorreu. P(A│B) é a probabilidade
condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando se calcula P(A│B) tudo
ocorre com B na qualidade de novo espaço amostral, reduzindo o número de possibilidades
de ocorrência de um evento.
Exemplos:
1) Considere o lançamento de um dado e a observação da face de cima. ={1, 2, 3,4,5, 6}.
Sejam os eventos:
A: ocorre número ímpar. A = {1, 3, 5}.
B: ocorre número maior ou igual a 2. B = {2, 3, 4, 5, 6}.
P(A│B) é a probabilidade de ocorrer número ímpar, dado que ocorreu número maior ou igual
a 2. Assim, o novo espaço amostral é {2, 3, 4, 5, 6} e o conjunto evento é {3, 5}. Assim, a
probabilidade de ocorrer número ímpar, dado que ocorreu número maior ou igual a 2 é
P(A│B) = 52
ou 0,40 ou 40%.
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2) Em uma cidade, 800 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado civil, de acordo
com a tabela.
Solteiro Casado Divorciado Viúvo Total
Masculino 100 120 80 60 360
Feminino 300 80 20 40 440
Total 400 200 100 100 800
Uma pessoa é sorteada ao acaso. Considere os seguintes eventos:
S: a pessoa é solteira.
M: a pessoa é do sexo masculino.
P(S│M) significa a probabilidade de a pessoa ser solteira, dado que é do sexo masculino.
P(S│F) significa a probabilidade de a pessoa ser solteira, dado que é do sexo feminino.
Determinar P(S│M) e P(S│F).
Resolução:
No caso de P(S│M) o espaço amostral tem os elementos do sexo masculino, que são 360.
Desses, 100 são solteiros. A probabilidade P(S│M) é: P(S│M) = 185
360100
= 0,28 ou 28%.
No caso de P(S│F) o espaço amostral tem os elementos do sexo feminino, que são 440.
Desses, 300 são solteiras. A probabilidade P(S│F) é: P(S│F) = 2215
440300
ou 0,68 ou 68%.
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Produto de Probabilidades
Também conhecido como teorema da multiplicação de probabilidades, é uma consequência
da definição de probabilidade condicional. Ela se refere à ocorrência simultânea de dois
eventos. A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos é o produto da
probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro.
Exemplo:
Um lote de peças de automóvel tem 100 peças sendo 20 defeituosas. Uma peça é sorteada
ao acaso e, sem reposição da primeira, outra peça é escolhida ao acaso. Determine a
probabilidade de ambas serem defeituosas.
Resolução:
A probabilidade de a primeira ser defeituosa em um espaço amostral de 100 peças é:
51
10020
ou 0,20 ou 20%. Como a primeira não é reposta, o espaço amostral passa a ter 99
peças. A probabilidade de a segunda ser defeituosa em um espaço amostral de 99 peças é:
9919
ou 0,19 ou 19%. A probabilidade de a primeira e a segunda serem defeituosas forma uma
sequência e nesse caso pode ser aplicado o princípio multiplicativo. Assim, a probabilidade
pedida será: 49519
9919
51
xou 0,038 ou 3,8%.
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93
1) Em dois lançamentos sucessivos de uma moeda sabe-se que pelo menos numa das
vezes deu cara. Qual a probabilidade de ter dado cara ambas às vezes?
2) Uma comissão de 3 pessoas será formada para representar uma turma. Será feita a
escolha ao acaso e a partir dos seguintes candidatos: Antônio, Beatriz, Caio, Daniela,
Eduardo e Fabrícia. Sabe-se Eduardo não está na comissão. Determine a probabilidade em
cada caso.
a) Beatriz pertence à comissão.
b) Caio e Fabrícia pertencem à comissão.
d) Dois elementos do sexo masculino pertencem à comissão.
e) Antônio não pertence à comissão.
3) No lançamento de um dado comum de seis faces sabe-se que o resultado foi um número
de pontos maior que 4. Qual a probabilidade de um número de pontos ser par?
4) Um dado é lançado e o resultado registrado.
a) Se o resultado obtido for par, qual a probabilidade dele ser maior ou igual a 5?
b) Se o resultado obtido for maior ou igual a 5, qual a probabilidade dele ser ímpar?
c) Se o resultado obtido for ímpar, qual a probabilidade dele ser menor que 4?
d) Se o resultado obtido for menor que 2, qual a probabilidade dele ser par?
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94
5) Um número é sorteado ao acaso entre os 100 naturais de 1 a 100.
a) Qual a probabilidade do número ser par, dado que ele é menor que 50?
b) Qual a probabilidade do número ser divisível por 5, dado que é par?
c) Qual a probabilidade do número ser divisível por 5, dado que é ímpar?
d) Qual a probabilidade do número ser menor que 50, dado que é par?
6) Um dado tetraédrico (quatro faces triangulares regulares) tem as suas quatro faces
triangulares numeradas de 1 a 4. Dois dados tetraédricos (um branco e um azul) são
lançados sobre uma mesa plana e os números das faces que ficam apoiadas sobre a mesa
são anotadas. Sabe-se que e a soma dos pontos obtidos foi maior que 6. Determine as
probabilidades a seguir.
a) A probabilidade do número observado no dado branco ter sido o 4.
b) A probabilidade do número observado no dado azul ter sido o 3.
c) A probabilidade dos números observados nas duas faces serem iguais.
d) A probabilidade dos números observados nas duas faces serem diferentes.
7) Um dado comum de seis faces é lançado duas vezes seguidas.
a) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser 7, se a 1ª face observada foi o 3?
b) Qual a probabilidade do 1º resultado apresentar face 4, se a soma dos pontos foi 8?
c) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser menor que 8, sabendo que em ao menos
um dos resultados foi o 3?
d) Qual a probabilidade do maior número observado ser o 3, se a soma dos pontos foi maior
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95
ou igual a 8?
8) De um baralho de 52 cartas, extrai-se uma delas e observa-se que seu número está entre
2 e 9.
a) Qual a probabilidade de que o número da carta seja 6?
b) Qual a probabilidade de que o número da carta seja 6 de copas, dado que ele é
vermelho?
9) Considere uma urna em que há três bolas amarelas, numeradas de 1 a 3, e seis bolas
vermelhas numeradas de 1 a 6. Uma bola é extraída ao acaso.
a) Se a bola extraída for amarela, qual a probabilidade de ter um número ímpar?
b) Se for sorteado um número ímpar, qual a probabilidade da bola ser amarela?
c) Se for sorteado um número par, qual a probabilidade da bola ser vermelha?
d) Se for sorteado uma bola vermelha, qual a probabilidade de ter um número par?
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UNIDADE 17
Objetivo: Apresentar problemas de probabilidade de eventos independentes.
Eventos dependentes
O reconhecimento da dependência entre dois eventos pode ser percebida a partir do
momento que a informação sobre a ocorrência de um deles não alterar a probabilidade de
ocorrência do outro.
Exemplo:
Uma moeda é lançada 3 vezes. O evento A representa a ocorrência de pelo menos duas
caras. O evento B representa a ocorrência de resultados iguais nos três lançamentos. Tem-
se:
= {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (K, C, C), (C, K, K), (C, K, C), (C, C, K), (C, C, C)}.
A = {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (C, K, K)}.
B = {(K, K, K), (C, C, C)}.
Os eventos são independentes, já que a ocorrência de pelo menos duas caras não interfere
na ocorrência de resultados iguais nos três lançamentos. Calculando as probabilidades, tem-
se:
p(A) = 21
84
e p(B) = 21
42
. Também tem-se que p(AB) = 41
.
No caso, AB = {(K, K, K)}, ou seja, obter três caras e ocorrem pelo menos duas caras. A
probabilidade de ocorrer B, dado que A ocorreu é 41
.
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97
Observação:
Se A e B são eventos independentes, p(AB) = p(A).p(B).
Aplicações:
1) Em dois lançamentos de um dado considere os eventos: A - o resultado do 1º lançamento
é par; B - o resultado do 2º lançamento é ímpar. Qual a probabilidade de obter número par
no primeiro e número ímpar no segundo lançamento?
Resolução:
Os eventos A e B são independentes, pois a ocorrência de A não altera a probabilidade de
ocorrer B. Assim, tem-se:
p(AB) = p(A).p(B) = 4/8 = 1/2.
2) Lançando sucessivamente um dado até a obtenção do número 3, qual a probabilidade de
serem necessários três lançamentos?
Resolução:
Para serem necessários três lançamentos, a 1ª e a 2ª tentativa não devem dar 3. Apenas a
3ª. Como o resultado de cada lançamento é independente dos resultados dos demais
lançamentos, a probabilidade pedida é: Não dar 3 na primeira, não dar 3 na segunda e dar
três na terceira, ou seja, 61
65
65 xx =
21625 .
Observação:
Eventos mutuamente exclusivos não são eventos independentes. Dois eventos A e B são
mutuamente exclusivos quando AB=Ø. Nesse caso, a ocorrência de um dos eventos leva
a não ocorrência do outro. Assim, a informação de que ocorreu um deles altera a
probabilidade de ocorrência do outro (a menos que ela já fosse nula). Daí conclui-se que
eventos mutuamente exclusivos não são eventos independentes (a menos que um deles
tenha probabilidade nula).
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98
Aplicações:
3) (FUVEST) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma
bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta na urna. Repete-se esta
experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas?
Resolução:
Tem-se uma sequência de probabilidades distintas. O resultado será o produto das
probabilidades: 92
31
32
33
xx , pois a primeira bola pode ter qualquer cor, a segunda não pode
ter a mesma cor da primeira e a terceira não pode ter a mesma cor das anteriores.
4) (MAUÁ) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade
de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.
Resolução:
Obter 3 ou 4 no dado resulta na probabilidade 31
62
61
61
. Obter cara na moeda resulta na
probabilidade 21
. Assim, a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda é:
61
21
31
x .
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99
1) (FUVEST) Duas pessoas A e B jogam dado alternadamente, começando com A, até que
uma delas obtenha um “6”; a primeira que obtiver o “6” ganha o jogo.
a) Qual a probabilidade de A ganhar na 1 jogada?
b) Qual a probabilidade de B ganhar na 2 jogada?
2) (FEI) Numa urna encontramos bolas idênticas numeradas de 1 até n. Retiram-se duas
bolas sem reposição. Qual a probabilidade de saírem números consecutivos?
3) (FUVEST - adaptada) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores
positivos de 60, qual a probabilidade de que ele seja primo?
4) (CESGRANRIO - adaptada) Qual a probabilidade de um inteiro n, 1n999, ser um
múltiplo de 9?
5) (fonte: MACHADO, A. S.) É dada a equação do 2º grau x² + bx + 1 = 0, onde b é um
número que será escolhido ao acaso no conjunto {-4, -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. A
probabilidade de que a equação dada venha a ter raízes reais é:
a) 0,50 b) 0,75 c) 0,70 d) 1 e) 0,80
6) (FUVEST) Considerando um polígono regular de n lados, n > 4, e tomando-se ao acaso
uma das diagonais do polígono, a probabilidade de que ela passe pelo centro é:
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100
a) O se n é par. c) 21
se n é par. c) 31n se n é par. d) n
1se n é ímpar. e) 3
1n se n é
ímpar.
7) (UNESP - adaptada) Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. Qual a
probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 3 ou 6?
8) (FUVEST - adaptada) Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Sorteiam-se, com
reposição, duas bolas. Qual a probabilidade de que o número da segunda bola seja
estritamente maior do que o da primeira?
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101
UNIDADE 18
Objetivo: Desenvolver os conceitos de probabilidades estudados nas unidades .
Anteriores
Exercícios resolvidos
1) Uma moeda viciada é tal que a probabilidade de obter cara é o triplo da probabilidade de
obter coroa. Calcule a probabilidade de cada evento elementar no espaço amostral do
lançamento desta moeda.
Resolução:
K indicará cara; C indicará coroa. Deve-se calcular p(K) e p(C). Sabe-se que p(K)=3 p(C). A
soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1. Assim, tem-se p(K) + p(C) =
1. Como p(K)=3p(C), 3p(C)+p(C) = 1, que leva a 4p(C) = 1, que resulta em p(C)= 41
e p(K)=
41.3 =
43 .
2) (fonte: MACHADO, A. S.) Uma urna contém 2 bolas azuis e 4 vermelhas, outra possui 1
azul e 3 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, da primeira para a segunda
urna e depois se retira uma bola da segunda urna. Qual a probabilidade de que a bola
retirada da segunda urna seja vermelha?
Resolução:
Observe a árvore das possibilidades, com a probabilidade de cada caso possível.
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102
A probabilidade pedida é: p{(a, v), (v, v)}=1511
3022
3016
306
54
64
53
62
xx .
3) (fonte: MACHADO, A. S.) Em três lançamentos de uma moeda, qual a probabilidade de
serem obtidas:
a) exatamente duas caras? b) pelo menos duas caras?
Resolução:
São 8 sequências de caras e coroas possíveis. Cada sequência possível tem a probabilidade
81
.
a) A probabilidade de obter exatamente duas caras é:
p{(C, C, K), (C, K, C), (K, C, C)} = 83
81
81
81
.
b) A probabilidade de obter pelo menos duas caras, ou seja, obter duas ou três caras é:
p{(C, C, C), (C, C, K), (C, K, C), (K, C, C)} = 21
84
81
81
81
81
.
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103
4) (fonte: HAZZAN, S.) Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade da 1ª atingir o
alvo é P(A) = 31
e a probabilidade da 2ª atingir o alvo é P(B) = 32
. Admitindo A e B
independentes, se os dois atiram, qual a probabilidade de:
a) ambos atingirem o alvo,
b) ao menos um atingir o alvo.
Resolução:
Temos:
a) P(AB) = P(A).P(8) =92
32
31
x
b) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 97
92
32
31
.
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104
1) (PUC-RJ) Uma doença congênita afeta 1 em cada 700 homens. Numa população de um
milhão de homens, a probabilidade de que um homem, tomado ao acaso, não seja afetado
é:
a) superior a 0,99 b) igual a 0,99 c) menor que 0,98 d) igual a 7001
e) 21
ou 50%
2)(CESCEM) Sabendo-se que os erros de impressão tipográfica, por página impressa, se
distribuem de acordo com as seguintes probabilidades:
nº. de erros
por página
probabili
dade
0 0,70
1 0,05
2 0,10
3 0,02
4 0,02
5 ou mais 0,01
Nestas condições:
2) A probabilidade de que numa página impressa exista estritamente mais do que três erros
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105
tipográficos vale:
a) 0,05 b) 0,03 c) 0,02 d) 0,0003 e) 0,0002
3) (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a
probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é:
a) 3/25 b) 7/50 c) 1/10 d) 8/50 e) 1/5
4) (Sta. Casa -SP) Num gaveta há 10 pares distintos de meias, mas ambos os pés de um
dos pares estão rasgados. Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez, ao acaso, calcule a
probabilidade de saírem dois pés de meia do mesmo par, não rasgados, fazendo duas
retiradas.
5) (fonte: MACHADO, A. S.) Uma gaveta tem 2 moedas de ouro e 3 de prata, outra tem 2 de
ouro e 1 prata. Passa-se uma moeda da primeira para a segunda gaveta e depois se retira
uma moeda da segunda. Qual a probabilidade de sair uma moeda de ouro na retirada da
segunda gaveta?
6) (FUVEST-SP) Duas pessoas A e B arremessam moedas. Se A faz dois arremessos e B
faz um, qual a probabilidade de A obter o mesmo número de “coroas” que B?
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106
UNIDADE 19
Objetivo: Apresentar os primeiros elementos do desenvolvimento do binômio de Newton.
Newton.
Potências de (a+b)n
Para cada potência do binômio (a+b), o
desenvolvimento de expoente n é realizado para
valores naturais desse expoente. O binômio (a+b)
recebe esse nome exatamente por ser formado por
dois termos algébricos adicionados.
As potências do desenvolvimento de (a+b)n são conhecidas como os termos da expansão do
Binômio de Newton. Alguns casos são listados ao lado.
Cada elemento de (a + b)n pode ser obtido procedendo com as multiplicações do binômio
por ele mesmo. Para qualquer valor de n>1, tem-se:
(a + b)n = (a+b).(a+b).(a+b). ... .(a+b), ou seja, por um produto com n fatores.
O triângulo de Pascal
Os coeficientes das expansões, agrupados por linha, dão a seguinte
configuração triangular:
Essa configuração é conhecida no ocidente pelo nome de triângulo de
Pascal. As linhas do triângulo de Pascal podem ser numeradas de 0
até n e as colunas de 0 até p, sendo n e p números naturais.
Analisado por linhas e colunas, o triângulo de Pascal fica com o aspecto da figura a seguir:
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107
É importante notar que o triângulo de Pascal pode ser
formado sem a necessidade do desenvolvimento dos
termos do binômio de Newton, conforme apresentado
na figura ao lado.
Toma-se qualquer elemento na linha n e coluna p.
Adiciona-se este elemento ao que está à sua direita na
mesma linha n, mas na coluna (p+1). O resultado será
o elemento da linha (n+1) na coluna (p+1).
Exemplo:
O número 3 localizado na linha três (n=3) e coluna um (p=1) adicionado ao número três
localizado na linha três (n=3) e coluna dois (p+1 = 2), resulta no número 6 localizado na linha
quatro (n+1 = 4).
Aplicações:
1) Desenvolver (3x2 + 1)4
Resolução:
Os coeficientes do desenvolvimento pedido estão na linha 4(n = 4), o valor do expoente do
binômio. Os coeficientes são: 1, 4, 6, 4 e 1. Esses coeficientes serão antepostos aos
elementos 3x2 (o “a” do binômio) e 1, (o “b” do binômio). Voltando à primeira figura, o
expoente de “a” decresce de 4 até 0 (o “a” não aparece em b4). O expoente de “b” cresce de
0 até 4 (o “b” não aparece em a4). Tomando (a + b)4 como modelo e escrevendo 3x2 como
“a” e 1 como “b”, tem-se:
(3x2+1)4 = 1.(3x2)4.(1)0+4.(3x2)3.(1)1+6.(3x2)2.(1)2+4.(3x2)1.(1)3+1.(3x2)0.(1) 4 =
Realizando todos os cálculos das potências, tem-se: 81 x8+108 x6+54 x4+12 x2+1.
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108
2) Determinar a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio do exemplo anterior.
Resolução:
A soma dos coeficientes é 81+108+54+12+1 = 256. O mesmo resultado poderia ser obtido
fazendo a doma dos coeficientes do binômio e elevando ao expoente quatro: (3+1)4 = 44 = 4
x 4 x 4 x 4 = 16 x 16 = 256.
3) Qual o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (x2+1)5.
Resolução:
O desenvolvimento de (x2+1)5 requer os coeficientes da linha que tem n= 5, que é formada
pelos elementos 1, 5, 10, 10, 5 e 1. Como o desenvolvimento terá expoentes pares devido a
x2, x4 equivalerá a (x2) 2. O elemento que tem x4 será o 4º termo, que tem coeficiente 10.
Assim, o elemento procurado será: 10.(x2)2.(1)3=10 x4, que tem coeficiente 10.
1) Desenvolver:
a) (x - 3b)3 b) (1 +x2)5 c) ( yx )4 d) (3 +v)5
2) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (3x + 1)n é 4.096. Calcule o valor de n.
3) Qual o coeficiente de x6 no desenvolvimento de (1-2x)6? E para (x2+x -3)8?
4) Qual é o termo de maior coeficiente no desenvolvimento de (x2+ y )10?
5) Determine o termo independente no desenvolvimento de
n
mm
21
.
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109
UNIDADE 20
Objetivo: Apresentar as propriedades dos elementos do triângulo de Pascal e dos Números binomiais.
Números binomiais.
Soma dos elementos de uma linha
Um fato importante é que a soma dos elementos da linha n do triângulo de Pascal é igual a
2n, conforme pode ser visto na figura a seguir.
Coeficientes (ou números) Binomiais
Sendo n e p números naturais com n p, chama-se coeficiente (ou número) binomial de
classe p, do número n, o número resultante de npC , indicado por
pn
, lembrando que
npC = !n
Anp
. Por exemplo, pode-se, para n = 5, escrever:
a) 5
15
15
b) 10
1245
25
xx
c) 10
123345
35
xxxx
d) 5
12342345
45
xxxxxx
e) .1
1234512345
55
xxxxxxxx
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110
Observação:
A partir do exemplo anterior pode ser observado que se n, p e k são números naturais e p+k=
n então .
kn
pn
No exemplo anterior,
35
25
e
45
15
. Da mesma forma,
2
1000998
1000
,
nnn
0 , etc. Também pode ocorrer p = k. Assim os números
pn
e
kn
são iguais.
Números binomiais e o triângulo de Pascal
Nos exemplos de combinações feitas a partir de 5 elementos do exemplo anterior, tem-se os
números da linha 5 do triângulo de Pascal. Como em cada linha do triângulo de Pascal o
primeiro número é igual ao último, tem-se
55
05
. Como
05
é o primeiro elemento da
linha 5,
05
= 1. Cada número do triângulo de Pascal é uma combinação do
valor da linha (n) com o da coluna (p) na qual cada elemento se encontra.
A partir da constatação da existência da relação entre os elementos do
triângulo de Pascal e os números binomiais, tem-se ao lado.
O triângulo de Pascal recebeu esse nome porque Blaise Pascal, matemático
e filósofo francês do século XVII publicou essa configuração no seu trabalho
“Traité du triangle aritmétique”, em 1653. Porém, esse triângulo já era
conhecido na Europa, aparecendo na aritmética do astrônomo Petrus
Apianus no século XVI. Há notícias de que Omar Khayam já conhecia esse triângulo por
volta de 1100. Também há notícia de que um matemático chinês já havia apresentado o
triângulo em um livro editado no ano de 1303.
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111
Aplicações:
1) Calcular
26
e
46
.
Resolução:
26
= .15
1256
xx
46
= .15
12343456
xxxxxx
2) Calcule a soma .
67
57
47
37
27
Resolução:
A soma pedida é a dos elementos da linha 7 do triângulo de Pascal, com exceção de
07
e
77
e que valem, cada um deles, exatamente 1. Assim, a soma pedida é a soma dos
elementos da linha 7, menos 2. Como a soma dos elementos da linha n é 2n, tem-se 27 – 2 =
128 – 2 = 126.
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112
1) Calcular
0
13
,
100100
,
1520
e
12321234
.
2) Determine o valor de m para que os números binomiais sejam iguais em cada caso. Não
esqueça as duas possibilidades.
a)
m10
e
4
10
. b)
m20
e .
220
m c)
3
20m e
.3
20
m d)
204
44m e
.182
44
m
3) Calcule a soma .
310
410
510
610
710
810
910
4) Um grupo de seis estudantes será chamado para entrevistas. Eles serão entrevistados no
mínimo de dois em dois. Quantas são as possibilidades de chamar os estudantes para a
entrevista?
5) (EESCUSP) Verificar que quando n é ímpar, 2n -1 =
1
...642 n
nnnn
.
6) (MAPOFEI) Escreva n parcelas contendo o desenvolvimento de (k + 1)n para k = 1, 2, 3,
... , (n-1), n. Some todas as parcelas, elimine os termos semelhantes e obtenha 12 + 22
+32+...+ n2.
7) (FEl) Calcule p na equação
6
14314
pp .
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113
UNIDADE 21 Objetivo: Apresentar o termo geral do binômio de Newton.
Termo geral
Observe o desenvolvimento do binômio (a+b)5.
(a+b)5 = 1.a5.b0+5.a44.b1+10.a3.b2+10.a2.b3+5.a1.b4+1.a0b5.
São aspectos notáveis do desenvolvimento:
1. A soma dos expoentes é constante (no caso, 5).
2. O expoente de “b” é o valor da coluna em que se encontra o coeficiente do termo (p).
3. O expoente de “a” é o que falta para completar o valor de n (no caso, 5). Dessa forma,
o expoente de “a” é na forma “n-p”.
4. Como já foi visto, cada coeficiente do desenvolvimento de (a+b)5 é um número
binomial.
A partir dessas observações, é possível determinar uma forma geral para escrever cada
elemento do desenvolvimento do binômio (a+b)n.
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114
Cada elemento do desenvolvimento do binômio (a+b)n assume a forma:
A forma acima é chamada termo geral do binômio de Newton. Pelo fato do expoente de “b”
ser uma unidade menor que sua posição (o terceiro termo, por exemplo, tem p = 2), alguns
autores escrevem a fórmula do termo geral da seguinte maneira:
Aplicações:
1) No desenvolvimento de (x + 3)8 há 9 termos e seu termo geral é dado por
ppxp
3..8 8
(lembre que o expoente de x somado ao expoente de 3 deve dar 8). O sexto
termo será obtido fazendo p = 5. Assim, o sexto termo será
668 3..68
x
, que resulta em
62 3..28
x
, que é igual a 62 3.
1278 x
xx
, que vale 28.729.x2, que dá 20412 x2.
2) No desenvolvimento de (x2 + 2) 12:
a) Existem quantos termos?
b) Qual é o 4º termo?
Resolução:
a) Em (a+b)n são (n+1) elementos. Logo, são 13 termos.
ppn bapn
..
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115
b) O quarto termo é 392 2..
312
x
. Isso dá 220.x18.8, que resulta em 1760 x18.
3) No desenvolvimento de (x + 1)18, determine o termo central.
Resolução:
Como são 19 termos, o termo central é o 9º (p = 8). Assim, tem-se:
810 1..8
18x
, que
resulta em 43758 x10.
4) (fonte: MACHADO, A.S.) Obter o termo em x18 de
8
412
x
.
Resolução:
Partindo do termo geral:
ppx
p
41.2.
8 8
= ppp x
p288 2.2
8
=
ppp xp
828 .
8.)2.(2
.
Para o termo em x5 devemos ter o expoente de x igual a 5. Assim, 8 - k = 5, logo k = 3.
O termo é - 28x5.
5) (fonte: HAZZAN, S.) Qual o termo independente de x no desenvolvimento de
81
xx
?
Resolução:
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116
Para que ele independa de x devemos ter 8 - 2p = 0, isto é, p = 4. Logo, o termo procurado é:
1) (fonte: MACHADO, A. S.) Tomando 10 pontos sobre uma circunferência, quantos
polígonos convexos inscritos podem ser construídos com vértices nesses pontos?
2) (CESCEA) Um estádio tem 10 portões. De quantas maneiras o estádio estará aberto?
3) (U MACK - adaptada) O conjunto A tem 45 subconjuntos de 2 elementos, O número de
elementos de A é:
a) 10 b) 15 c) 45 d) 90
4) (U F PE) Sabendo-se que um baralho tem 52 cartas das quais 12 são figuras, assinale a
alternativa que corresponde ao número de agrupamentos de 5 cartas que podemos formar
com cartas deste baralho tal que cada agrupamento contenha pelo menos três figuras.
a) 10 b) 100 000 c) 192 192 d) 171 600 e) 191 400
5) (CESCEA) Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores. Quantas
comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha no
mínimo 3 administradores?
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117
a) 2 400 b) 675 c) 3 136 d) 60 e) 3631
6) (PUC -SP) Encontre o termo independente de x no desenvolvimento de .1 10
55
xx
7) (CESCEA - adaptada) Sabendo-se que o quarto termo do desenvolvimento de (2x-3y)n é
-1080x2y3, então determine o 3º termo desse desenvolvimento.
8) (F G V - adaptada) No desenvolvimento de (x3+ y2)10, o coeficiente do termo médio é:
a) 630 b) 120 c) 252 d) 210
9) (U F BA - adaptada) Calcule a soma do segundo e terceiro termos do desenvolvimento
de ( 2 + 2x)4.
10) (U F UBERLÂNDIA - adaptada) Se n é o número de termos do desenvolvimento de
55105 yx que não contenham radicais, determine o valor de n.
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UNIDADE 22
Objetivo: Apresentar a distribuição binomial da probabilidade.
Distribuição binomial da probabilidade
A distribuição binomial da probabilidade é aplicada aos casos em que uma experiência é
repetida diversas vezes e sob as mesmas condições, sempre na busca de um mesmo
evento, que por sua vez possui sempre a mesma probabilidade de ocorrer.
No caso de cálculos que envolvem a distribuição binomial de probabilidades, p(A) representa
a probabilidade do evento procurado e p( A ) representa a probabilidade do evento
complementar à ocorrência do evento A.
O problema a seguir é um exemplo de distribuição binomial no cálculo de probabilidade.
Problema:
Um dado normal de seis faces é lançado cinco vezes consecutivas. Qual a probabilidade de
obter o número quatro três vezes?
Resolução:
Chamando de p(A) a probabilidade de obter o número quatro, o valor dessa probabilidade
será p(A) = 61
. O evento complementar do evento A, p( A ), é não obter o número quatro.
Assim, p( A ) = 65
. Como obter quatro e não obter quatro são eventos independentes, uma
possível sequência de cinco lançamentos seria:
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Porém o enunciado do problema não fixa a sequência de ocorrências dos resultados.
Levando em consideração que são cinco lançamentos da moeda e que deverá ocorrer o
mesmo resultado três vezes, a tabela a seguir indica em quais lançamentos pode aparecer o
resultado pedido.
Resultado Lançamento
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1O X X X X X X 2O X X X X X X 3O X X X X X X 4O X X X X X X 5O X X X X X X
A probabilidade total da ocorrência de três resultados iguais a quatro em cinco lançamentos
sucessivos seria:
ou 0,0512 ou 5,12%.
Observações:
1) Como cada ocorrência do resultado quatro não tem posição fixa, as suas três ocorrências
se enquadram na qualidade de combinação de cinco elementos agrupados de três em três,
que dá C5,3 = 123345
xxxx
= 10 =
35
.
2) Uma notação para utilizar em problemas que envolvem a distribuição binomial P de uma
probabilidade com n repetições do mesmo experimento, ocorrendo o evento A k vezes,
sendo A o seu evento complementar é:
P =
kn
. p ( A )n-k . p(A)k
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120
3) O total de combinações de cinco elementos agrupados de três em três também poderia
ser calculado com a sua combinação complementar, já que
25
35
.
4) Alguns autores chamam a probabilidade p(A) de “probabilidade de sucesso” e p( A ) de
“probabilidade de insucesso”.
Aplicação:
Qual é a probabilidade de um casal ter cinco filhos, sendo três homens e duas mulheres?
Resolução:
Inicialmente, deve-se levar em conta que os nascimentos de meninos e de meninas não
estão em uma ordem estabelecidas. Por isso, é necessário calcular de quantas maneiras
isso pode ocorrer. A resolução se faz calculando o número de combinações de cinco
elementos agrupados de três em três, que dá resultado idêntico quando esses mesmos
elementos são agrupados de dois em dois. Em seguida, é aplicada a regra do cálculo da
probabilidade de eventos independentes. Como a probabilidade de nascer menino é 21
[mesma probabilidade de nascer menina], a probabilidade de uma sequência de cinco
nascimentos resulta em 321
21
21
21
21
21
xxxx. Assim, a probabilidade de uma sequência de
cinco nascimentos é multiplicada por dez, obtendo 3210
.
Observação:
O resultado anterior também pode ser explicado pela utilização do Triângulo de Pascal. O
coeficiente utilizado para multiplicar 321
será encontrado na linha n, com n = 5. Os elementos
dessa linha correspondem, na ordem a:
1: agrupamento de zero homem;
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121
5: agrupamento de um homem;
10: agrupamento de dois homens;
10: agrupamento de três homens;
5: agrupamento de quatro homens;
1: agrupamento de cinco homens.
O cálculo dessa probabilidade pode então ser realizado utilizando a relação:
kn
. p h . p( h ), com os seguintes significados:
n: no de repetições do fenômeno estudado [no caso, nascimentos];
k: no de homens que devem nascer;
p ( h ): probabilidade do nascimento de homem;
p( h ): probabilidade do evento contrário ao nascimento de homens [no caso, nascimentos de
mulheres].
Antes de dar continuidades aos seus estudos é fundamental que você acesse sua
SALA DE AULA e faça a Atividade 2 no “link” ATIVIDADES.
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122
1) Em uma urna são depositadas 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas. Uma bola é
sorteada, sua cor é observada e em seguida ela é reposta na urna. O experimento aleatório
é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de extrair exatamente 3 vezes a bola vermelha?
2) Em uma cidade pequena será realizado um sorteio de brindes entre os proprietários do
veículo de marca A. O sucesso de vendas dessa marca foi grande e sabe-se que 20% das
pessoas que moram nessa cidade possuem carro de marca A. Se 30 pessoas forem
sorteadas ao acaso, com reposição do nome sorteado na urna, qual a probabilidade de
exatamente 6 pessoas possuírem carro da marca A?
3) A probabilidade de que um determinado componente mecânico que tem 25 anos resistir
pos mais 20 anos é 0,6. Em um lote de 15 peças de 25 anos, qual a probabilidade de que
exatamente 10 cheguem aos 45 anos de uso?
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123
UNIDADE 23
Objetivo: Apresentar complementos sobre probabilidades.
Frequência relativa
Dado um experimento aleatório, embora se saiba qual evento pode ocorrer, sabe-se que
determinados eventos ocorrem com mais frequência do que outros.
Deseja-se associar um número a cada evento de maneira que se tenha indicação
quantitativa da sua ocorrência quando o experimento for repetido diversas vezes, nas
mesmas condições.
Seja = {a1, a2, a3, ... , ai} um espaço amostral finito. Define-se frequência relativa de um
evento {ai} pela razão fi = Nni
, onde ni é o número de vezes que ocorre um evento elementar
ai, i, i{1, 2, 3, ..., k}.
Exemplo:
Lançado o mesmo dado 100 vezes (n = 100) e observando a incidência do número 6 (evento
{6}) 36 vezes, a frequência relativa desse evento elementar é f6 = 10036
ou 0, 36.
Definição de probabilidade
A frequência relativa dá a informação quantitativa da ocorrência de um evento, realizado um
número grande de vezes. A seguir será definido um número associado a cada evento, que
tem as mesmas características da frequência relativa. Esse número receberá o nome de
probabilidade do evento.
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124
Considere um espaço amostral finito = {a1, a2, a3, ... , ai}. A cada evento elementar {ai}
será associado um número real p({ai}), chamado de probabilidade do evento {ai}, que satisfaz
as seguintes condições:
1ª) 0p(i)1, i, i{1, 2, 3, ..., k}.
2ª)
n
iiP
1 = 1 = p1, p2, p3, ... , pi.
Os números p1, p2, p3, ... , pk definem uma distribuição de probabilidades sobre o espaço
amostral . Se A for um evento qualquer de , define-se a probabilidade do evento A (P(A))
da seguinte forma:
a) Se A = Ø, P(A) = 0
b) Se A Ø, P(A) =
n
Aai
i
p.
A probabilidade de um evento constituído por uma quantidade de elementos é a soma das
probabilidades individuais dos elementos que constituem o evento A.
Exemplo:
Seja o espaço amostral = {a1, a2, a3, ... , ai}. Considere-se a distribuição de
probabilidades:
p1 = 0,1, p2 = 0,2, p3 = 0,3 4 p4 = 0,4. Seja A o evento A = { a1, a2, a3}. Por definição, tem-
se: P(A) = p1 + p2 + p3 = 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6.
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125
Função de probabilidade
Sejam um espaço amostral, E uma classe de eventos e P uma função de valor real
definida no conjunto E. A função P será chamada de função de probabilidade (fdp) e P(A)
será a probabilidade de ocorrência do evento A. Se P for uma fdp, tem-se:
1º) Todo evento A é tal que 0P(A)1.
2º) P( ) = 1.
3º) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, P(A U B) = P(A) + P(B).
4º) Se A1, A2, An, ... , é uma sequência de eventos mutuamente exclusivos, tem-se que:
P(A1UA2 … UAn ...) = P(A1)+P(A2)+ ... + P(An)+ ...
Espaços amostrais finitos
Seja = {a1, a2, a3, ... , ai} um espaço amostral finito. Um espaço de probabilidade finita é
obtido associando cada ponto ai , um número real Pi, chamado de probabilidade de ai,
que satisfaz as seguintes propriedades:
1ª) cada Pi é não negativo (Pi0).
2ª)
n
iiP
1 = 12.
A probabilidade P(A) de um evento A passa a ser definida como a soma das
probabilidades dos pontos em A.
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126
Exemplo:
Lança-se três moedas e observa-se o número de caras. O espaço amostral é = {0, 1, 2, 3}.
O espaço de probabilidade será dado pela associação:
P(0)= 81
, P(1)= 83
, P(2)= 83
, e P(3)= 81
. Como nenhuma probabilidade é negativa, a soma
delas é igual a 1. Se A for o evento em que pelo menos uma cara aparece, A = {1, 2, 3}.
Espaço amostral infinito
Suponha = {a1, a2, a3, ... , ai, ...} um espaço amostral infinito enumerável3. Como no caso
de um espaço amostral finito, o espaço de probabilidade associa a cada ai um número
real pi denominado probabilidade, que satisfaz as seguintes propriedades:
1ª) cada pi é não negativo (pi0). 2ª)
1iiP= 1.
A probabilidade P(A) de qualquer evento A é a soma das probabilidades dos seus pontos.
Exemplo:
Considere o espaço amostral = {1, 2, 3, ..., } de um experimento aleatório que consiste
em lançar uma moeda até aparecer uma cara. Nesse caso, n representará o número de
vezes em que essa moeda será lançada. Um espaço de probabilidade para esse
experimento será obtido fazendo:
2 O símbolo
n
iiP
1significa somatório de Pi, com o índice i variando de 1 até n.
n
iiP
1= P1+P2+P3+ ... +Pn.
3 Um conjunto é enumerável se o seu total de elementos for menor ou igual ao do conjunto dos números inteiros. Um conjunto enumerável pode ser um finito ou infinito. Certas vezes o termo enumerável é usado no sentido restrito de infinito e contável.
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127
p(1) = 21
, p(2) = 221
, p(3) = 321
, ... , p(n) = n21
, ..., p( ) = 0.
Observações:
1) Os espaços amostrais como medidas geométricas finitas de comprimento, área ou
volume, nos quais um ponto seja selecionado aleatoriamente, serão considerados não-
enumeráveis.
2) Um espaço de probabilidade finito ou infinito enumerável é chamado de discreto. Um
espaço de probabilidade finito ou infinito não enumerável é chamado de não discreto.
Aplicação:
Três componentes, A, B e C, estão em uso. A probabilidade de A dar defeito é duas vezes a
probabilidade de B dar defeito e a probabilidade de B dar defeito é duas vezes a
probabilidade de C dar defeito. Quais são as probabilidades de defeito de cada um, isto é,
P(A), P(B) e P(C)?
Resolução:
Seja P(C) = p. Como B tem o dobro da probabilidade de defeito de C, P(B) = 2p. Como A tem
o dobro da probabilidade de B dar defeito, P(A) = 2P(B) = 2.2p = 4p. Como a soma das
probabilidades tem que ser 1:
p+2p+4p = 1 ou 7p=1 ou p = 71
. Assim, p(C) = 71
, p(B) = 72
e p(C) = 74
.
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128
1) Seja = {a1, a2, a3, a4} e consideremos a distribuição de probabilidades:
p1 = 0,1, p2 = 0,3, p3 = 0,2 e p4 = 0,4. Seja o evento A = {a1, a2, a3} então, por definição,
calcule P(A).
2) Uma moeda é lançada e observada a face de cima. Sejam p1 a probabilidade de obter cara
e p2 a probabilidade de obter coroa. Faça uma distribuição para p1 e p2.
3) Um dado é lançado, e observado o número da face de cima. Sejam p1, p2, p3, p4, p5 e p6,
respectivamente, as probabilidades de obter 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Faça uma distribuição para p1 a
p6.
4) Sejam = {a1, a2, a3, a4} e P uma função de probabilidade em .
a) Determine P(a1), se P(a2) = 1/3, P(a3) = 1/6 e P(a4) = 1/4.
b) Determine P(a1) e P(a2), se P(a3) = P(a4) = 1/4 e P(a1) = 3.P(a2).
5) Uma moeda é viciada de forma que as caras (K) têm o dobro da probabilidade de ocorrer
do que as coroas (c). Determine P(K) e P(c).
6) (fonte: HAZZAN, S.) Considere o espaço amostral = {a1, a2, a3, a4} e a distribuição de
probabilidades, tal que: p1= p2 = p3 e p4= 0,1. Calcule:
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129
a) p1, p2, e p3.
b) Seja A o evento A = {a1, a3}. Calcule P(A).
c) Calcule P(___A ).
d) Seja B o evento B = {a1, a4}. Calcule P(B).
e) Calcule P(AB), P(AB), P(________
BA ) e P(________
BA ).
7) Os homens h1 e h2, e as mulheres m1, m2, e m3 disputam um torneio frescobol. Os
elementos do mesmo sexo têm igual probabilidade de vencer, mas cada homem tem o dobro
da probabilidade de ganhar do que qualquer mulher.
a) Determine a probabilidade de que uma mulher vença o torneio.
b) Sabendo que m2 e h2 são casados determine a probabilidade de um deles vencer.
8) Duas cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Determine a
probabilidade p em cada caso:
a) Ambas as cartas sejam de espadas.
b) Uma carta seja de espadas e a outra de copas.
9) Três computadores são escolhidos aleatoriamente dentre 15 computadores, dos quais 5
são defeituosos. Determine a probabilidade p em cada caso:
a) Nenhum seja defeituoso.
b) Exatamente um seja defeituoso.
c) Pelo menos um seja defeituoso.
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130
UNIDADE 24
Objetivo: Aplicar conhecimentos da unidade anterior.
Aplicações de probabilidades
1) Seis casais estão numa sala. Se 2 pessoas são escolhidas aleatoriamente, determine a
probabilidade de que:
a) Sejam casadas.
b) Uma seja do sexo masculino e outra do feminino.
Resolução:
Tem-se
2
12
= 66 maneiras de escolher 2 pessoas das 12.
a) São 6 casais e, portanto, p = 111
666
.
b) São 6 maneiras de escolher uma pessoa do sexo masculino e 6 maneiras de escolher
uma do sexo feminino. Portanto p = 116
6666
x.
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131
2) Em uma turma há 10 homens e 20 mulheres. Metade dos homens e metade das mulheres
tem olhos castanhos. Determine a probabilidade de que uma pessoa escolhida
aleatoriamente seja homem ou tenha olhos castanhos.
Resolução:
Sejam A o conjunto dos homens e B o conjunto das pessoas que têm olhos castanhos.
Deve-se calcular P(A U B). Nesse caso, tem-se P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB) =
32
61
21
31
.
3) Um ponto de um círculo é selecionado aleatoriamente. Determine a probabilidade desse
ponto estar mais próximo do centro do círculo que da sua circunferência.
Resolução:
Sejam S o conjunto dos pontos dentro do círculo de raio r, e A o conjunto dos pontos dentro
do círculo concêntrico de raio 2r
. Sejam X a área de S e Y a área de A. A será o conjunto
dos pontos de S que estão mais próximos do centro do círculo do que de sua circunferência.
Assim:
p = 41
.
)2
(2
2 r
r
YX
.
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132
1) Seis casais estão numa sala. Se 4 pessoas são escolhidas aleatoriamente, determine a
probabilidade de que:
a) 2 casais sejam escolhidos.
b) Nenhum casal seja escolhido.
c) Exatamente um casal seja escolhido.
2) Considere os pontos do plano cartesiano R2. Seja X o subconjunto dos pontos de R2
para os quais ambas as coordenadas são inteiras. Uma moeda de diâmetro 1/2 é lançada
aleatoriamente sobre esse plano. Determine a probabilidade de a moeda cobrir um ponto
de R2.
3) Três pontos, A, B e C são selecionados aleatoriamente da circunferência de um círculo.
Determine a probabilidade dos pontos pertencerem a um semicírculo.
4) Um dado é lançado 100 vezes e
a tabela ao lado relaciona os
números com a frequência da
ocorrência de cada elemento.
Determine a frequência relativa de
cada evento:
a) Ocorrência do número 4.
b) Ocorrência do número 6.
Número 1 2 3 4 5 6
Frequência 1
6
1
7
1
5
2
0
1
8
1
4
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133
c) Ocorrência de um número par.
d) Ocorrência de um número primo.
5) Três torres de sinal de celular e três torres de rádio estão em fila do mesmo lado de uma
avenida. Determine cada probabilidade.
a) As torres de sinal de celular serem instaladas consecutivamente.
b) Três torres de sinal de celular e as três torres de rádio serem instaladas alternadamente.
6) Dos 120 estudantes de uma turma, 60 estudam francês, 50 espanhol e 20, francês e
espanhol. Se um estudante for premiado aleatoriamente, determine a probabilidade em
cada caso.
a) Ele estuda francês ou espanhol.
b) Ele não estuda nem francês nem espanhol.
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134
UNIDADE 25
Objetivo: Apresentar o conceito de processo estocástico e de família de conjuntos.
Apresentar a simbologia de probabilidade condicional.
Processo estocástico
Uma sequência finita na qual cada experimento tem um número finito de resultados com a
sua atribuição de probabilidade, é chamada de processo estocástico finito.
Diagrama de árvore
Diagrama de árvore é uma forma de descrever um processo estocástico e calcular a
probabilidade de um evento. Usa-se a multiplicação de probabilidades para calcular a
probabilidade de ocorrência de cada resultado representado pelos ramos da árvore.
Exemplo:
São dadas três caixas como a descrição a seguir.
A caixa I tem 20 lâmpadas, das quais 8 são defeituosas.
A caixa II tem 12 lâmpadas, das quais 2 são defeituosas.
A caixa III tem 16 lâmpadas, das quais 6 são defeituosas.
Seleciona-se aleatoriamente uma caixa e retira-se uma lâmpada de forma também aleatória.
Determine a probabilidade de a lâmpada sorteada ser defeituosa.
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135
Resolução:
Realiza-se uma sequência de dois experimentos:
1º) Seleciona-se uma das três caixas.
2º) Seleciona-se uma lâmpada defeituosa (D) ou não defeituosa (N).
O diagrama de árvore a seguir descreve o processo e dá a probabilidade de cada ramo.
A probabilidade de ocorrer um caminho
nessa árvore é igual ao produto das
probabilidades dos ramos que descrevem
os caminhos. A probabilidade de selecionar
a caixa 1 e uma lâmpada defeituosa é:
152
52
31 xx
. Por serem três caminhos
mutuamente exclusivos que levam a uma lâmpada defeituosa, a soma das probabilidades
destes caminhos dá a probabilidade desejada, que é:
p = 360113
83
31
61
31
52
31
xxx.
Família de conjuntos
Em algumas situações os elementos de um conjunto também são conjuntos. Nessas
situações se utiliza o termo classe ou família para esse tipo de conjunto. Também podem ser
utilizados os termos subclasse e subfamília.
Exemplos:
1) Os elementos da classe {{a}, {1,2}, {3, b}} são os conjuntos {a}, {1,2} e {3, b}.
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136
2) Considerando um conjunto A qualquer, o conjunto das partes de A [representado por P(A)]
é a classe de todos os subconjuntos de A. Se A = {1, 2, 3}, tem-se:
P(A) = {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, Ø}.
Observação:
Se A é um conjunto finito e tem n elementos, P(A) = tem 2n elementos.
Partição de um conjunto
Partição de um conjunto X é uma subdivisão deste em subconjuntos não vazios e disjuntos,
cuja união resulta no próprio X. Com isso forma-se uma classe de subconjuntos não vazios
de X, tal que cada aX pertence a um único subconjunto. Os subconjuntos da partição
recebem o nome de partes.
Exemplo:
Considere as seguintes classes de subconjuntos de X = {a, b, c, d, e, f, g}:
a) {a, c, e} {b, d}, {f, g} é uma partição (verifique a partir da definição).
b) {a, c}, {b, e}, {d, f} não é uma partição, pois gX e não pertence a qualquer das partes.
c) {a, b, c}, {a, e, f}, {d, g} não é uma partição, pois apesar de ser elemento de X, a pertence
simultaneamente a duas partes.
Família indexada de conjuntos
A notação de classe indexada de conjuntos {Ai / iI} (ou {Ai}) significa que para cada iI
existe um conjunto Ai, onde I é chamado de conjunto de índices. Nesse caso diz-se que os
conjuntos Ai são ditos indexados por i. Se o conjunto dos índices for o conjunto IN dos
números naturais, classe indexada {A1, A2, A3, ... } é chamada de sequência de conjuntos.
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137
O conjunto de elementos que pertencem a pelo menos um dos Ai é a união dos Ai,
simbolizada por U Ii Ai,(ou UiAi) e o conjunto dos elementos que pertencem a todos os Ai, é
a interseção dos Ai, simbolizada por iIi A (ou ii A ). Simbolicamente, tem-se:
...3211
AAAAii
para a união de uma sequência de conjuntos e...321
1AAAAi
i
para a interseção de uma sequência de conjuntos.
Simbologia
O tema probabilidade condicional já foi visto, mas é necessário
voltar agora para ver como um símbolo é utilizado pelos
especialistas e autores de livros.
Seja A um evento em um espaço amostral , com P(A) > O. A
probabilidade de ocorrer um evento B uma vez que A tenha ocorrido (ou probabilidade
condicional de B dado que A tenha ocorrido) é simbolizada como P(B│A).
A probabilidade condicional P(B│A) é calculada pela razão: P(B│A) = )()(
APBAP
.
A partir do diagrama de Venn acima, P(B│A) tem o sentido de probabilidade relativa de B a
partir da redução do espaço amostral ao conjunto A. Particularmente, se é um espaço
amostral finito e equiprovável, a notação A representa o número de elementos em um
evento A. Dessa forma,
BA
BAP )(, ou seja,
A
AP )(, ou ainda P(B│A) =
)()(
APBAP
.
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138
Exemplo:
Lança-se um par de dados não viciados e sabe-se que a soma dos resultados é 6. Determina
a probabilidade de ter ocorrido o número 4 em um dos dados.
Resolução:
Neste caso não serve qualquer resultado e sim apenas aqueles em que a soma é 6. Assim,
={(x, y) / x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {(1, 5), (2,4) (3, 3), (4, 2), (5, 1)} e B=
{(x, y) / x = 2 ou y = 2. AB = {(2,4), (4, 2)}. A probabilidade condicional P(B│A) é calculada
pela razão P(B│A) = )()(
APBAP
= 52
.
A probabilidade condicional e a regra da multiplicação
Dado que P(B│A) = )()(
APBAP
, a resolução da proporção acima leva a:
P(AB) = P(B│A).P(A).
Essa propriedade, por indução, pode ser estendida da seguinte forma:
Para os eventos A1, A2, A3, ... , An, tem-se:
P(A1A2A3 ...An)=P(A1).P(A2│A1).P(A3│A1A2).....P(An│A1A2A3 ...An-1).
Exemplo:
Em um lote de 24 celulares, 8 apresentaram defeitos. Seis deles foram retirados
aleatoriamente e em sequência. Calcule a probabilidade de nenhum dos aparelhos
apresentarem defeito.
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139
Resolução:
A probabilidade de o primeiro aparelho ser não defeituoso 32
2416
, pois 8 dos 24 aparelhos
são defeituosos. Se o primeiro aparelho não é defeituoso, a probabilidade do próximo não
ser defeituoso é 2315
, pois 15 dos 23 aparelhos restantes não são defeituosos. Como os dois
primeiros não são defeituosos, a probabilidade do último não ser defeituoso é 117
2214
, pois
14 dos 22 aparelhos restantes não são defeituosos. A partir disso, pela multiplicação das
probabilidades: p = 24370
11231752
117
2315
32
xxxxxx
.
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140
1) (fonte: LIPSCHUTZ, S.) Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das
crianças, um menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser também um
menino, se a) sabe-se que a outra criança é mais nova. b) nada se sabe sobre a outra
criança.
2) (fonte: LIPSCHUTZ, S.) Lança-se uma moeda viciada tal que P(K) = 2/3 e P(C) = 1/3. Se
der cara, um número de 1 a 9 é selecionado de forma aleatória. Se der coroa, um número
de 1 a 5 é selecionado de forma aleatória. Calcule a probabilidade de selecionar um
número par.
3) (fonte: LIPSCHUTZ, S.) Uma caixa tem três moedas: uma não é viciada, a outra tem
duas caras e a terceira é viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é 1/3. Uma
moeda é selecionada aleatoriamente e lançada. Encontre a probabilidade de ocorrer cara.
4) (fonte: LIPSCHUTZ, S.) Temos três urnas: A urna A contém 3 bolas vermelhas e 5
brancas. A urna B contém 2 bolas vermelhas e 1 branca. A urna C contém 2 bolas
vermelhas e 3 brancas. A urna é escolhida aleatoriamente e uma bola é retirada. Se a bola
for vermelha, qual é a probabilidade dela ter vindo da urna A?
5) (fonte: LIPSCHUTZ, S.) A caixa A contém nove cartas numeradas de 1 a 9 e a caixa B
contém cinco cartas numeradas de 1 a 5. Uma A caixa é escolhida aleatoriamente e uma
carta é retirada. Se o número é par, encontre a probabilidade de a carta ter vindo da caixa
A.
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141
UNIDADE 26
Objetivo: Apresentar o teorema de Bayes e sua relação com a partição de conjuntos.
As partições de conjuntos e a probabilidade condicional
Suponha que os eventos A1, A2, A3, ... , An formam
uma partição em um espaço amostral . Os eventos
Ai são mutuamente exclusivos. Seja também um
evento qualquer B em . Dessa forma, B = B =
(A1A2A3 ...An) B, onde AiB também são
mutuamente exclusivos. A situação descrita pode ser
visualizada no diagrama ao lado. Dessa forma:
P(B) = P(A1) . P(B│A1) + P(A2) . P(B│A2) + P(A3) . P(B│A3) + ... + P(An) . P(B│An).
Para qualquer i a probabilidade condicional de Ai dado que ocorre B é calculada: P(Ai │B)
= )()(
BPBAP i
.
Teorema de Bayes
Suponha que A1, A2, A3, ... , An é uma partição de um espaço amostral e B seja um evento
qualquer em . Para qualquer i, tem-se:
P(Ai) . P(B│ Ai)
P(A i │B) = ______________________________________________________
P(A1) . P(B│A1) + P(A2) . P(B│A2) + P(A3) . P(B│A3) + ... + P(An) . P(B│An)
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142
Exemplo:
Considere que três linhas de montagem M1, M2 e M3 produzem respectivamente 40%, 35% e
25% do total de placas de computador em uma fábrica de componentes eletrônicos. As
percentagens de defeitos na produção dessas linhas são 1%, 2% e 3%. Se uma placa é
sorteada aleatoriamente. Suponha que uma placa sorteada aleatoriamente seja defeituosa.
Determine, com a utilização teorema de Bayes, a probabilidade de ela ter sido produzida pela
máquina A.
Resolução:
O que é pedido é a probabilidade P(B│X). Nesse caso, tem-se:
Essa probabilidade será igual a:
34,04716
1175400
01175,0004,0
00075,0007,0004,0004,0
)03,0()25,0()02,0)(35,0()01,0()40,0()01,0()40,0(
xx
x
ou 34%.
P(A) . P(X│ A)
P(A │X) = ___________________________________
P(A) . P(X│A) + P(B) . P(X│B) + P(C) . P(X│C)
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143
1) Em uma urna estão 14 bolas verdes e 6 bolas amarelas. Cinco dessas bolas são
sorteadas uma após a outra. Determine a probabilidade das três primeiras serem verdes e
as suas últimas serem amarelas.
2) Em uma pós-graduação, 25% dos estudantes foram reprovados em Matemática, 15% em
Metodologia da Pesquisa e 10% nas duas disciplinas. Um estudante é sorteado
aleatoriamente. Determine cada probabilidade a seguir.
a) Se ele foi reprovado em Metodologia, qual é a probabilidade dele ter sido reprovado em
Matemática?
b) Se ele foi reprovado em Matemática, qual é a probabilidade dele ter sido reprovado em
Metodologia?
3) Três máquinas extratoras de suco engarrafam, respectivamente, 50%, 30% e 20% do
total em uma fábrica. As porcentagens de garrafas defeituosas que saem dessas máquinas
são, respectivamente, 3%, 1% e 2%. Uma garrafa é selecionada aleatoriamente pelo
controle de qualidade e é defeituosa. Determine a probabilidade de a garrafa ter saído da
máquina que dá 1% de defeito.
4) Em uma prestadora de serviços, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais do que
1,65 m de altura. Sabe-se que 60% dos funcionários são mulheres. Um funcionário foi
selecionado ao acaso e tem mais que 1,65 m de altura. Determine a probabilidade de a
pessoa selecionada ser mulher.
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144
UNIDADE 27
Objetivo: Apresentar os conceitos de variável aleatória, esperança de uma variável.
Aleatória.
Recordando um conceito
Esta unidade inicia com a recordação de um conceito: o de função. Sejam A e B conjuntos
quaisquer.
Suponha que a cada a de A está associado um e somente um elemento de B. O conjunto f
formado por essas associações entre elementos de A e B é denominada função de A em B e
representa-se:
f : A→B.
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145
Os elementos de B associados aos de A por meio de f são chamados de imagens dos
elementos de A por meio de f. O diagrama de uma função pode ser visto ao lado. Os
elementos de A formam o domínio da função. Os elementos de B relacionados aos de A
formam a imagem da função.
A inversa da função f (representada por f -1) consiste basicamente em inverter o domínio de f
pela sua imagem e vice-versa. Assim, tem-se f -1 de B para A, ou seja,
f -1: B →A.
Seja o espaço amostral de um experimento. Os resultados do experimento não precisam
ser números. Entretanto, deve-se atribuir um número ao resultado de cada experimento, para
determinar a probabilidade da sua ocorrência. Essa associação é chamada de variável
aleatória. Mais precisamente, uma variável aleatória X em um espaço amostral é uma
função de no conjunto IR dos números reais, tal que a imagem inversa de cada intervalo
de IR seja um evento de .
Se X e Y são variáveis aleatórias no mesmo espaço amostral , então X + Y, X + k, kX e XY
(k IR) são funções em .
Seja X uma variável aleatória num espaço amostral com contradomínio finito. X={x1, x2, x3,
..., xn}. Se cada ponto x, de X( ) for definida sua probabilidade como P(X= x1), ou seja, uma
f(x), tem-se um espaço de probabilidade. Essa função é chamada de distribuição ou função
de probabilidade.
Uma fdp pode ser dada pela tabela com que está ao lado.
Se X é uma variável aleatória com uma função de probabilidade a média ou esperança (ou
valor esperado) de X, representado por E(X) ou x ou E ou , é definido pelo somatório:
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146
= )(
1ii
n
xfx, como já definido anteriormente, ou seja, uma média ponderada dos
possíveis valores de X ponderados por suas probabilidades.
Exemplo:
Uma moeda viciada de modo que P(K)= 32
e P(C)= 31
. Se a moeda for lançada três vezes, as
probabilidades dos pontos do espaço amostral é:
={KKK, KKC, KCK, CKK, CCC, CCK, CKC, KCC}.
Têm-se as seguintes probabilidades:
P(KKK)= 278
32
32
32
xx P(KKC)= 27
431
32
32
xx P(KCK)= 27
432
31
32
xx
P(CKK)= 274
32
32
31
xx P(CCC)= 27
131
31
31
xx P(CCK)= 27
232
31
31
xx
P(CKC)= 272
31
32
31
xx P(KCC)= 27
432
32
31
xx
Suponha que cada ponto da variável aleatória X seja associado ao maior número de caras
sucessivas que ocorrem. Assim:
P(KKK)=3; P(KKC)=2; P(KCK)=2; P(CKK)=2; P(CCC)=0; P(CCK)=1; P(CKC)=1; P(KCC)=1.
O conjunto imagem de X é X ( ) ={0, 1, 2, 3}. Calculando a função de probabilidade f de X:
x1 x2 ... xn
f(x1) f(x2) ... f(xn)
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147
f(0)= P(CCC) = 271
f(1)= P({KCK, KCC, CKC, CKK}) = 2710
272
272
272
274
f(2)= P({KKC, CKK}) = 278
274
274
f(3)= P({KKK) = 27
8.
Colocando os valores em uma tabela, tem-se:
A média de X será: 0. 271
+1. 2710
+2. 278
+3. 278
= 2750
= 1,85.
Variância e desvio padrão
A média de uma variável aleatória X mede o valor “médio” de X. A variância de X de que
forma essa variável está “espalhada” ou “dispersa”. Seja X uma variável aleatória com a
distribuição dada na tabela ao lado. A variância de X [representada por var (X)] é definida
pela relação:
var(X) =
)(1
2)( ixfn
i ix
= E(X2) -
2 , onde é a média de X. O desvio-padrão de X,
representado por X é a raiz quadra da (não negativa) da var (X). X = )var(X .
Exemplo:
Dois dados são lançados, obtendo o espaço finito equiprovável formado pelos possíveis
pares ordenados de números naturais de 1 a 6. = {(l, 1), (1,2), ... , (6, 6)}. X associa a
cada ponto (a, b) de o maior desses números, isto é, X(a, b) = máx(a, b). Dessa forma, X
xi 0 1 2 3
f(xi) 271
2710
278
278
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148
é uma variável aleatória e seu conjunto imagem é X( ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calculando a
distribuição f de X, tem-se:
f(1)=P(X=1) = P[{(1, 1)}] = 361
f(2)=P(X=2) = P[{(2, 1), (2, 2), (1, 2)}] = 363
f(3)=P(X=3) = P[{(3, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 3), (1, 3)}] = 365
f (4)=P(X=4) = P[{(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (3, 4), (2, 4), (1, 4)}] = 367
f (5)=P(X=5) = P[{(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (4, 5), (3, 5), (2, 5), (1, 5)}] = 369
f (6)=P(X=6)=P[{(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (4, 6), (3, 6), (2, 6), (1, 6)}]= 3610
Colocando-se os dados na tabela, tem-se:
Calculando a média X, tem-se:
= )( ii xfx 1. 361
+2. 363
+3. 365
+4. 367
+5. 369
+6. 3610
= 36161
= 4,47.
Calculando E(X2), tem-se:
E(X2) = )(2ii xfx = 12. 36
1+22. 36
3+32. 36
5+42. 36
752. 36
9+62. 36
10= 36
791= 21,97.
A var(X) será:
xi 1 2 3 4 5 6
f(xi) 361
363
365
367
369
3610
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149
E(X2) - 2 = 21,97 – 19,98 = 1,99.
Dessa forma:
X = 99,1 1,4.
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150
UNIDADE 28
Objetivo: Apresentar exercícios resolvidos e atividades sobre probabilidades.
Exercícios resolvidos
1) (fonte: LIPSCHUTZ, S. - modificada) Determine a
variância e o desvio padrão para a seguinte distribuição:
Resolução:
= )(
1ii
n
xfx =
.461.11
21.3
31.2
→
)(1
2)( ixfn
i ix
= .26
61.11
21.3
31.2 222
→
→2 =
)(1
2)( ixfn
i ix
= 26 – 16 = 10. → .2,310
2) (fonte: LIPSCHUTZ, S. - modificada) Lança-se um dado não viciado. Seja X o dobro do
número ocorrido, e Y igual a 1 ou 3, conforme ocorra um número ímpar ou par,
respectivamente. Ache a variância e desvio-padrão de X.
Resolução:
O espaço amostral é = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e cada número ocorre com probabilidade 1/6. X(1)
= 2, X(2) = 4, X(3) = 6, X(4) = 8, X(5) = 10, X(6) = 12. Então X(S) = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e cada
número tem probabilidade 1/6. Assim a distribuição de X é:
xi 2 3 11
f (xi) 1/3 1/2 1/6
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151
xi 2 4 6 8 10 12
f (xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Dessa forma: )(
1ii
n
xfx=
.7642
61.12
61.10
61.8
61.6
61.4
61.2
→
→
)(1
2)( ixfn
i ix
= .7,60
6364
61.12
61.10
61.8
61.6
61.4
61.2 222222
→
→ x2 =
)(1
2)( ixfn
i ix
= 60,7 – 72 = 11,7. → .4,37,11 x
3) (fonte: LIPSCHUTZ, S. - modificada) Desenham-se círculos concêntricos de 1 e 3
centímetros de raio num alvo circular de 5 cm de raio. Um homem ganha 10, 5 ou 3 pontos,
conforme atinja o alvo no círculo menor, no do meio ou no de fora, respectivamente.
Suponhamos que atinja o alvo com probabilidade 1/2 e que os pontos do alvo sejam
igualmente prováveis. Ache o número esperado E de pontos que ele obtém, cada vez que
atira.
Resolução:
A probabilidade de obter 10, 5, 3 ou 0 pontos é a seguinte:
f (10) = 501
)5()1(.
21
2
2
; f (5) = 508
)5()1()3(.
21
2
22
;
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152
f (3) = 5016
)5()3()5(.
21
2
22
; f (0) = 21
.
Assim, o número de pontos esperado é E = .96,1
5098
21.0
5016.3
508.5
501.10
1) (fonte: LIPSCHUTZ, S. - modificada) Determine a variância e o desvio padrão para a
seguinte distribuição:
2) (fonte: LIPSCHUTZ, S. - modificada) Lança-se um dado não viciado. Seja X o dobro do
número ocorrido, e Y igual a 1 ou 3, conforme ocorra um número ímpar ou par,
respectivamente. Ache a variância e desvio-padrão de Y.
3) Um jogador lança duas moedas não viciadas. Ganha R$ 10,00 ou R$ 20,00, caso ocorra
uma ou duas caras e perde R$ 50,00 caso não ocorra cara. Determine o valor esperado
para o jogador nesse jogo. O jogo é favorável ao jogador?
4) Um jogador lança dois dados não viciados. Ele ganha R$ 15,00 se ocorrerem 2 números
pares, R$ 12,00 se ocorrer um número par e R$ 11,00 se não ocorrer número par.
Determine o valor esperado para o jogador nesse jogo. O jogo é favorável ao jogador?
xi 5 4 1 2
f (xi) 1/4 1/8 1/2 1/8
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153
UNIDADE 29
Objetivo: Apresentar a distribuição normal das probabilidades.
Introdução
Considere repetições independentes do mesmo experimento com dois resultados: sucesso e
insucesso (ou fracasso ou falha) como já foi visto. Sejam p a probabilidade de sucesso e q =
1 - p a probabilidade de fracasso. Se for buscado o número de sucessos e insucessos, mas
não em uma determinada ordem, aplica-se a distribuição binomial da probabilidade (já vista).
Exemplo:
Um dado não viciado é lançado 8 vezes. Nesse caso, o sucesso será a ocorrência de 3 ou 5.
Determine a probabilidade do 3 ou o 5 ocorrer exatamente 5 vezes.
Resolução:
n = 7; k = 5; p (A) = P({3, 5}) = 31
62
e p( A ) = q = 1 – p = 32
311
.
Aplicando a distribuição binomial das probabilidades, tem-se:
→
58
. ( 31
)8 - 5. ( 32
)5, que dá 65611792
243273278
24332
271
123678
xxxxx
xxxx
ou
0, 27 ou 27%.
A distribuição binomial também é chamada de distribuição
Bernoulli. Os ensaios independentes com dois resultados
chamados ensaios de Bernoulli. A distribuição binomial tem
propriedades descritas na tabela ao lado.
Média =n.p Variância 2 = n.p.q
Desvio padrão
qpn ..
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154
Exemplo:
Um dado não viciado é lançado 200 vezes. O número esperado de repetições do número 6 é
3061.180
. O desvio padrão desse ensaio é qpn .. = 65.
61.180
= 5.
Distribuição normal
A distribuição ou curva normal (ou de Gauss) é definida pela função
Nessa expressão, tanto como são constantes arbitrárias e positivas. Os diagramas a
seguir mostram as mudanças no gráfico de f quando e variam. Particularmente, as
duas curvas em forma de sino são simétricas em torno de x = .
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155
A distribuição normal tem as seguintes propriedades:
Uma distribuição normal com média e variância 2 é
abreviadamente representada por N( ,2 ). Feita a substituição de
)(
xt
na fórmula (I), obtém-se a fórmula
da distribuição ou curva normal padrão, que é:
A curva normal padrão tem média = 0 e
variância 2 = 1. O gráfico dessa
distribuição está na figura abaixo. No
intervalo -1 t 1 tem-se 68,2% da área
sob a curva. Para -2 t 2 obtém-se
95,4% da área sob a curva.
Se X é variável aleatória contínua com distribuição normal ela é dita normalmente distribuída.
Calcula-se a probabilidade de X estar entre os valores a e b P(a X b) transformando a e b
nas unidades padrões a’ = a
e b’ = b
, respectivamente. Assim, P(a X b) =
P(a’ X* b’) = A (A é a área sob a curva normal padrão entre a’ e b’ e X* é a variável
aleatória padronizada que corresponde a X). X* tem distribuição normal padrão B (0, 1).
A distribuição binomial P(k) = b(k, n, p) é aproximada
pela distribuição normal quando n é grande e
quando p e q não são próximos de zero. Esta
propriedade é ilustrada no diagrama seguinte com a
distribuição binomial (extraída de LIPSCHUTZ, S.)
que correspondente a n = 8 e p = q = 4.
Média
Variância 2
Desvio
Padrão
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156
K 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P(k) 2561
2568
25628
25656
25670
25656
25628
2568
2561
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é definida pela fórmula:
Nessa fórmula, >0 é uma constante. Esta distribuição é infinita enumerável. Ela quantifica
fenômenos como o número de chamadas telefônicas por minuto em uma central, o número
de erros de impressão por página em texto grande e o número de partículas α emitidas por
uma substância radioativa.
Na distribuição de Poisson têm-se os seguintes elementos:
Média
Variância 2 =
Desvio
padrão =
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157
UNIDADE 30
Objetivo: Apresentar o conceito de cadeia de Markov.
Vetores de probabilidades
Um vetor
v = (v1, v2, v3, ... , vn ) é chamado vetor de probabilidade se:
1º) Suas componentes são não negativas.
2º) Essas componentes somam 1.
Exemplos:
Considere os seguintes vetores a seguir.
1) O vetor
21,
41,
41
é de probabilidade.
2) O vetor
41,
31,
31,
43
não é de probabilidade, pois uma coordenada é negativa.
3) O vetor
1,
31,
32
não é de probabilidade, pois a soma das suas coordenadas não é 1.
4)
v = (0, 1, 2, 3, 4) não é vetor de probabilidade. A soma de suas componentes é 0 + 1 + 2 +
3 + 4 = 10. Porém, as coordenadas dele não são negativas. Nesse caso, ele tem um único
múltiplo escalar
v , IR , que é um vetor de probabilidade. Esse pode é obtido
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158
multiplicando cada componente de
v pelo inverso da soma de suas componentes. Assim,
104,
103,
102,
101,
100
101 v
é um vetor de probabilidade.
Matriz estocástica
Uma matriz quadrada
nxnijmM é matriz estocástica se cada linha é um vetor de
probabilidade.
Exemplos:
1) A =
2121
21
não é matriz estocástica por causa do número negativo na segunda linha.
2) B =
21
41
41
021
21
31
31
31
é matriz estocástica.
3) C =
032141
41
41
41
00100001
não é matriz estocástica por causa da soma da última linha.
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159
Observações:
1) Se duas matrizes A e B são estocásticas o produto AB será uma matriz estocástica e toda
potência de A na forma An também é matriz estocástica.
2) Uma matriz estocástica A é regular se todos os elementos das linhas das potências na
forma An são positivos.
Exemplos:
1) A matriz estocástica A =
21
21
10
é regular, pois A2 =
43
41
21
21
.
2) A matriz estocástica A =
41
43
01
não é regular, pois toda potência An terá o vetor
(1, 0) como primeira linha.
Cadeia de Markov
Considere uma sequência de ensaios cujos resultados, x1, x2, x3, ... , satisfazem as
propriedades:
1ª) Cada resultado pertence a um conjunto finito de resultados (a1, a2, a3, ... , an)
denominado espaço dos estados do sistema. Se o resultado da enésima tentativa é ai, o
sistema se encontra no estado a no instante n.
2º) O resultado de qualquer ensaio depende, no máximo, do resultado do ensaio
imediatamente anterior (não de qualquer outro ensaio precedente). A cada par de estados
(ai, aj) está associada a probabilidade pij em que aj ocorre imediatamente após ai ter
ocorrido.
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160
Um processo estocástico com as propriedades acima é chamado de Cadeia Finita de
Markov. Os números pij são chamados de probabilidades de transição e podem ser
dispostos segundo uma matriz. A matriz P =
nnnnn
n
n
n
pppp
pppppppppppp
..................
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
recebe o nome de
matriz de transição.
A cada estado corresponde a iésima linha (pi1, p i2, p i3, ... , p in) da matriz de transição P.
Se o sistema está no estado a1, esse vetor-linha representa as probabilidades de todos os
possíveis resultados do próximo ensaio, de modo que é um vetor de probabilidade.
Conseqüentemente a matriz de transição P da cadeia de Markov é uma matriz estocástica.
Exemplo:
Uma coordenadora de uma escola é obrigada a se comunicar com os professores por celular
ou telefone fixo. Ela o telefone fixo 2 vezes seguidas. Se usa o celular, na chamada seguinte
é tão provável que usa o telefone fixo quanto o celular. O espaço de estados do sistema é
{t(telefone fixo), c(celular)}.
Resolução:
O processo estocástico será uma cadeia de Markov porque o resultado em
qualquer chamada depende somente do que acontece na chamada anterior. A matriz de
transição dessa cadeia de Markov é dada na figura ao lado. A primeira linha corresponde ao
fato dela não usar o telefone fixo duas vezes seguidas. Ela utiliza o celular após usar o
telefone fixo. A segunda linha corresponde ao fato de na ligação seguinte à feita por celular
ela usar novamente o celular ou usar o telefone fixo com probabilidades iguais.
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161
Três professores A, B e C telefonam um para o outro. A sempre telefona para B e B
sempre telefona para C. Porém é tão provável que C telefone para B quanto para A. Seja
X, a enésima pessoa que telefona. O espaço de estado do sistema é {A, B, C} e trata-se
de uma cadeia de Markov, pois a pessoa que telefona em dado instante não é
influenciada pelas que telefonaram anteriormente. Escreva a matriz de transição da
cadeia de Markov para esse caso.
Probabilidade de transição em várias etapas
O elemento pij na matriz de transição P da cadeia de Markov é a probabilidade do sistema
passar do estado ai para o estado aj em uma passagem ai→aj.
Qual é a probabilidade, representada por pij(n) d o sistema passar de um estado ai para o
estado aj em exatamente n etapas na seqüência:
ai→ak1 →ak 2 →ak 3 ... ak 1n → ak→aj.
Observação:
Se P é a matriz de transição da cadeia de Markov, a matriz de transição em n etapas é igual
a enésima potência de P.
Exemplo:
Retornando à matriz do caso em que a coordenadora usa dois tipos de telefones. Chamando
de P a matriz do exemplo, tem-se:
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162
P =
Como P2 = P.P, tem-se:
P4 = P2. P2 =
43
41
31
21
.
43
41
31
21
=
1611
165
85
83
.A probabilidade do sistema passar do estado a
para o estado b em exatamente 4 etapas é 85
(representa-se por )4(
abp = 85
. Analogamente:
)4(aap
= 83
, )4(
bap =165
e )4(
bbp =1611
.
Distribuição estacionária de uma cadeia regular de Marcov
Suponha que uma cadeia de Markov seja regular (ou seja, sua matriz de transição P seja
regular). A sequência das matrizes de transição em n etapas converge para uma matriz cujas
linhas são iguais ao único vetor de probabilidade fixo (t de P). A probabilidade P ij )(n de que
aij ocorre quando n é suficientemente grande independe do estado inicial a1 e é
aproximadamente igual à componente tj de t.
Dito de outra forma suponha que a matriz de transição P, de uma cadeia de Markov seja
regular. Para n suficientemente grande a probabilidade de que qualquer estado aj ocorra é
aproximadamente igual à correspondente tj do único vetor fixo t de P de probabilidade para
todo j.
O efeito do estado (ou da distribuição) inicial do processo desaparece conforme o número de
etapas aumente. Toda sequência de distribuição de probabilidade converge para o vetor fixo
de probabilidade t de P, denominado distribuição estacionária da cadeia de Markov.
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163
Exemplos:
1) Considere novamente a cadeia de Markov do exemplo dos dois tipos de
telefones, cuja matriz de transição é
P =
O único vetor fixo de probabilidade da matriz é ( 32,
31
) e após um número grande de dias a
coordenadora utilizará o telefone convencional trem com probabilidade 31
e usará o celular
com probabilidade 32
.
2) Considere a cadeia de Markov da atividade da unidade anterior. O único vetor fixo de
probabilidade de tal matriz é ( 52,
52,
51
). Dessa forma, após um número grande de etapas a
ligação para A tem probabilidade 0,2 e para B e C com probabilidade 0,4.
Estados absorventes
Em uma cadeia de Markov um estado é chamado absorvente se o
sistema permanece no estado a1 desde que este tenha sido visitado.
O estado aj. é chamado absorvente se somente se a iésima linha da
matriz P de transição tem i na diagonal principal e zeros nas demais
posições.
Exemplo:
Suponha que a matriz ao lado seja matriz de transição de uma cadeia de Markov. Os
estados a2, a3e a4 são absorventes porque a segunda a terceira e a quarta linhas têm um 1
na diagonal principal e zero nos demais elementos.
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1) Encontre um número apropriado para obter um vetor de probabilidade a partir dos vetores
dados.
a) (1,2) b) (1, 0, 3) c) (9, 7, 5, 3) d) (1, 0, 3, 0, 6)
2) Os turnos de trabalho em uma siderúrgica são os seguintes: se alguém trabalha no 3º
turno, tem 70% de certeza que não trabalha no 3º turno do dia seguinte. Porém, se trabalhar
no 3º turno de um dia, tem 60% de certeza de que não trabalhará no 3º turno do dia
seguinte. Com que frequência alguém trabalha numa seqüência grande de dias?
3) Um técnico verificou os seguintes detalhes a respeito do funcionamento de robôs
submetidos a uma rotina de experiências: para qualquer ensaio particular, 80% dos robôs
que se moveram para a direita no experimento anterior, se moverão para a direita no
próximo experimento. Também se tem que 60% dos que se moveram para a esquerda no
experimento anterior, se moverão para a direita no próximo experimento. Se 50% dos robôs
se moveram para a direita no primeiro experimento, o responda:
a) O que pode ser previsto para o segundo experimento?
b) O que pode ser previsto para o terceiro experimento?
c) O que pode ser previsto para o milésimo experimento?
4) As probabilidades de transição da cadeia de Markov
podem ser representadas por um diagrama chamado
diagrama de transição (um grafo direcionado) no qual uma probabilidade positiva pij é
representada por uma flecha, direcionada do estado ai para o estado aj. Determine a matriz
de transição de cada um do diagrama ao lado.
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Atividades dissertativas
Acesse sua sala de aula, no link “Atividade Dissertativa” e faça o exercício proposto.
Bons Estudos!
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GLOSSÁRIO Caso haja dúvidas sobre algum termo ou sigla utilizada, consulte o link glossário em sua sala
de aula, no site da ESAB.
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BIBLIOGRAFIA COPI, I. M. Introdução à lógica. 2 ed. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
FEITOSA, H. A.; PAULOVICH, L. Um prelúdio à lógica. São Paulo: Unesp, 2005.
HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar volume 5. 5 ed. São Paulo: Atual,
1991.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar volume 1. 6 ed. São
Paulo: Atual, 199.
LIPSCHUTZ, S. Probabilidade. 3 ed. São Paulo: Mc Graw-Hill do Brasil, 1979.
MACHADO, A. S. Matemática Temas e Metas volume 1. São Paulo: Atual, 1992.
MACHADO, N. J. Matemática por assunto volume 1. São Paulo: Scipione, 1988.
NÉRICI, I. G. Introdução à lógica. 9ed. São Paulo: Nobel, 1992.