Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente Matemáticas I
7 Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones en un punto genérico. ¿Qué condiciones debe verificar este punto?
, , Condiciones
, 2
2
0
, 3 2
10
10
0
, 1 1 0
, 0 0
, 2 2 21
2 21
0
, 0 0
, ⁄1 ⁄
1⁄1 ⁄ 0
1⁄1 ⁄
⁄1 ⁄ 0 0 0
, 2
2
0
, 4
4
0
, , , , , ,
Condiciones
, , cos 0
| |2
2
, , , ,
, , cos cos cos sen , ,
Página 1
Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente. Matemáticas I
8 Calcular el vector gradiente de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible, en el punto que se indica:
, 1,1
,1
,1
,
1
1 1,111
, 1,0
,1
2
,1
2
,
12
12
1,01
21
2
, 0,1
,
,1 , 1 0,1 0
, 0,
, cos, cos
, coscos
, 0, 11
, , 1,1,1
, , , , , ,
, ,
1,1,1200
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Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente. Matemáticas I
, , 2 1,1,1
, , 2 2
, , 2 2
, , 2 2 1
, ,
2 2
2 2
2 2
1,1,1
√2 24
√2 24
√2 22
, , 1,1,1
, , 2
, , 2
, , 2
, ,
2
2
2
1,1,1
12
12
12
, , , 1,1,1,1
, , , , , , , , , , , ,
, , , 1,1,1,11001
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Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.
9. Calcular el vector gradiente y la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible, en el punto P que se indica:
, 1,1
Derivadas de primer orden:
,3 2 4
,3 2 4
,
4
4 1,111
Derivadas de segundo orden:
,4
,4 8 2 2 4 4 12
, 12 5 2 2 4
9 9
,4
, 5 12 2 2 4 9 9
,8 4 2 2 4 12 4
,
4 12 9 9
9 9 12 4 1,1 1 0
0 1
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Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.
, 1,0
Derivadas de primer orden:
,
, , ,
1,001
Derivadas de segundo orden:
, ,
, 1
, , 1
,
,
, 11
1,0 0 11 1
, 2 0,2
Derivadas de primer orden:
, 2
,2
2
0 ,2
0,2
0
10
Derivadas de segundo orden:
, 2 , 0
,2
21
, ,
1
,
,0
1
1 0,2
0
2
20
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Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.
, 1,2
Derivadas de primer orden:
, 2
,
, ,
2
1,2
2 2 2 2 2
2 2
21
Derivadas de segundo orden:
, 2
, 2 2 2
, 2 2
,
, 2 2
,
, ,
4 2 2 2
2 2
1,2
11 1
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Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.
, , 0,1, 1
Derivadas de primer orden:
, ,1
, ,
, ,1
, ,
1
0,1, 1 1 2⁄1 4⁄1 4⁄
Derivadas de segundo orden:
, ,1
, , 0
, ,1
, ,1
, ,
, ,1
, ,2 2
, ,2 2
, ,
, ,1
, ,2
, ,2 2
2
, ,
01 1
1 2 2
1 2 2
0,1, 1
01
414
14
14
014
014
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Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.
, , 1,1,2
Derivadas de primer orden:
, , 1 1
, , 1
1
,
, ,1
, ,
1
1
1
1,1,2 1 2⁄1 2⁄1 2⁄
Derivadas de segundo orden:
, , 1
, ,1
, ,1
, , 0
, ,1
, ,1
, ,1
,
, , 0
, ,1
, , 0
, , 0
, ,1
, ,
1 10
1 10
0 01
1,1,2
14
14
01
41
40
0 014
Página 8