Propagazione degli Errori e regressione lineare
Note e consigli d’uso
-Termine covariante -- estrapolazione e/o interpolazione
Quando devo usare il termine di covarianza nella propagazione ?
Quando l’errore delle variabili x, y, .. non è indipendente tra loro, quando cioè una
sovrastima o sottostima di x implica una sovrastima o sottostima di y allora la
relazione di propagazione degli errori, nell’ipotesi di una funzione a due variabili x e
y, diventa:
))((1
Covarianza
2),(),(),(),(
,
2
2
,
2
2
,
xxyyN
dove
y
yxq
x
yxq
y
yxq
x
yxq
iixy
xy
yyxx
y
yyxx
x
yyxx
q
Quando devo usare il termine di covarianza nella propagazione ?
La covarianza xy stima in che proporzione “x” fluttua assieme a “y”.
- Se le osservabili fluttuano in modo indipendente il prodotto degli scarti si
annulla (posto che N sia sufficientemente grande)
- Se le osservabili non fluttuano in modo indipendente il prodotto degli scarti ha
segno definito così da rendere σ2xy non nulla e, a volte, non trascurabile
rispetto a σ2x e σ2
y
- nel caso in cui N (numero di misure) sia piccolo allora val la pena fare una prova
(fatelo nelle relazioni non nello scritto a meno che non sia richiesto)
- Calcolo ipotizzando la non correlazione
- Calcolo ipotizzando la massima correlazione
- e’ chiamato errore massimo
- Se la massima correlazione modifica il risultato della propagazione allora vale
la pena di considerare il termine covariante
xxyy
Niixy
1Covarianza
Nota:
Se ci fosse la massima correlazione tra le incertezze delle osservabili allora
Le incertezze quindi si sommano !
Si può dimostrare quindi che vale sempre questa disuguaglianza
y
yyxx
x
yyxx
q
yx
yyxx
y
yyxx
x
yyxx
q
yxxy
y
yxq
x
yxq
y
yxq
x
yxq
y
yxq
x
yxq
,,
,
2
2
,
2
2
,
),(),(
2),(),(),(),(
Covarianza
b
bb
a
aa
qb
baq
a
baq
00
),(),(
Quindi:
Calcolo ipotizzando la non correlazione
Calcolo ipotizzando la massima correlazione (errore massimo)
Nel caso ci fosse una differenza sostanziale tra i due valori allora il contesto fisico e/o la analisi dati
specifica mi dirà se posso ritenere i dati correlati o in generale cosa riportare come errore sperimentale
2
2
,
2
2
,
),(),(y
yyxx
x
yyxx
qy
yxq
x
yxq
y
yyxx
x
yyxx
qy
yxq
x
yxq
,,
),(),(
Cannelli pag. 111
Nota Importante
Nella propagazione degli errori posso usare sia la deviazione standard che la
deviazione dalla media.
Il risultato sarà ovviamente una deviazione standard o una deviazione dalla Media
Il contesto e/o l’obiettivo dell’operazione di propagazione errori vi dirà cosa usare.
Ovviamente il risultato ottenuto avrà un significato completamente differente
Posso stimare se gli errori su a e b sono indipendenti tra loro ?
1) Calcolate la covarianza
2) Riflettete sulla fisica del sistema che state studiando
- Esempio:
- Avete una serie di coppie dati sperimentali che devono seguire un andamento
lineare (i.e. la lunghezza del pendolo L e il suo periodo al quadrato T2)
- Avete estratto dai dati sperimentali i coefficienti di una retta (coefficiente
angolare a±a e termine noto b ±b (ad esempio con una regressione lineare)
y = ax + b ad esempio L = a T2 + b
- Volete estrapolare il valore della retta yo nel punto xo e volete anche avere
una stima dell’errore sulla vostra estrapolazione
- ad esempio la lunghezza che deve avere un pendolo per oscillare con un
periodo di 5 s
- Notate che ora le variabili con incertezza sono a e b non x e y
Allora il valore della variabile yo è dato da
y0 = a x0 + b ad esempio L = 25 a + b
L’errore si dovrà calcolare con la propagazione degli errori
In questo caso però le osservabili a e b (termine noto e coefficiente angolare) sono
correlate perche estratte da dati sperimentali, in altra parole se cambia una deve
cambiare anche l’altra opportunamente per riprodurre i dati sperimentali.
La relazione per la deviazione standard su yo
Attenzione quindi che la covarianza si calcola a partire dai dati sperimentali con i
quali avete estratto il parametro a (coefficiente angolare) e b (termine noto). Nel
caso del pendolo a partire dai periodi e dalle lunghezza misurate.
Quindi:
2
0
222 20 abbaoy xx
Estrapolazione - Interpolazione
La procedura di calcolo della variabile Y (non misurata) è detta interpolazione
quando il valore della x è compreso tra due valori di X misurati. E’ detta invece
estrapolazione quando il valore della X è all’esterno dei valori misurati Il valore della Y estrapolata/interpolata si ottiene applicando la relazione lineare
Più complessa risulta l’estrazione dell’incertezza della osservabile
interpolata/estrapolata Y infatti:
- Il punto di partenza sono le coppie di misure (xi,yi)
- da queste coppie di misure sono stati estratti i parametri a, a, b, b
- da questi parametri vogliamo ora estrarre una Y0 (interpolata o estrapolata) a
partire da una determinata xo
- da questi parametri vogliamo ora estrarre la corrispondente y
- posso usare la propagazione degli errori
- Attenzione che stavolta l’errore di a e quello di b sono correlati perche sono
estratti da un medesimo dataset.
abxy
Estrapolazione - Interpolazione
Devo usare il termine di covarianza nella relazione di propagazione degli errori
Eseguendo un certo ammontare di conti si arriva alla relazione più semplice:
Quindi, come già preannunciato, l’errore sulla Y interpolata/estrapolata NON è la y
estratta dai dati sperimentali o dalla regressione lineare ma qualcosa di più
complesso
);cov(22
2
2
2
00
0ba
b
y
a
y
b
y
a
y
abxy
bay
N
i
iybay xx
x
abxy
1
2022
0
2 20