Propiedades de los Conjuntos Sean los conjuntos ,A ,B C dentro del universo U . Las seis propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las siguientes:
Operaciones con Conjuntos Dr. José Manuel Becerra Espinosa - Teoria de Conjuntos. http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/01.%20Teoria%20de%20Conjuntos.pdf 26/10/2012
Union La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:
Interseccion La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B . Esto es:
Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo:
Complemento El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como 'A . Esto es:
Diferencia La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:
Jerarquia de las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º.Calcular las potencias y raíces .
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.
Tipos de operaciones combinadas
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
1.1 Combinación de sumas y diferencias.
9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según
aparecen.
= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7
1.2 Combinación de sumas, restas y productos.
3 · 2 - 5 + 4 · 3 - 8 + 5 · 2 =
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15
1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 - 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos
porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10
1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 22 - 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 4 - 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 26
2. Operaciones combinadas con paréntesis
(15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 23)=
Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.
= (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )=
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18
3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 - (23 - 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 - (8 - 5 )] · [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 -3 ] · [5 + 2 ] - 3 + 2=
Operamos en los paréntesis.
= 12 · 7 - 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 - 3 + 2=
Restamos y sumamos.
= 83
4.Con fracciones
Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el
tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis .
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el
resultado.
Ejercicio de operaciones combinadas
14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los
paréntesis.
14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =
Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.
14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =
Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.
14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =
14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =
La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:
Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo su
signo los términos que contenga.
Si el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis hay
que cambiar de signo a todo los términos que contenga.
14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6
Notación matemática
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación
matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos
representan un concepto, una relación una operación, o una fórmula
matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse
abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.
Algunos principios básicos son:
Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva: , etc. Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda: ,
etc.; en lugar de no debe escribirse , porque eso representaría el producto en lugar del logaritmo neperiano.
Según la norma ISO 31 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales ( ), también se escriben con letra redonda: .[1]
Índice
[ocultar]
1 Teoría de conjuntos o 1.1 Conjuntos numéricos
1.1.1 Conjuntos numéricos especiales 2 Expresiones 3 Lógica proposicional, Álgebra de Boole
o 3.1 Operadores básicos o 3.2 Implicación o 3.3 Cuantificadores o 3.4 Teoría de números
4 Análisis matemático o 4.1 Análisis real
4.1.1 Límites 4.1.2 Derivadas
4.1.2.1 Derivadas ordinarias 4.1.2.2 Derivadas parciales
5 Misceláneos o 5.1 Funciones o 5.2 Tabla de Símbolos
6 Notas 7 Véase también 8 Enlaces externos
Teoría de conjuntos[editar · editar fuente]
Artículos principales: Teoría de conjuntos y Álgebra.
Sean un elemento y conjuntos
Relación Notación Se lee
pertenencia
x pertenece a A
inclusión
A está contenido en B
A está contenido en B o es igual que B
inclusión
A contiene a B
A contiene a B o es igual que B
Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo es
"x no pertenece a A";
Conjuntos numéricos[editar · editar fuente]
La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard
bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente
(podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles),
y su significado habitual en matemáticas:
TeX Unicode Uso en matemáticas
ℂ Números complejos
ℍ Cuaterniones
ℕ Números naturales
ℙ Números primos
ℚ Números racionales
ℝ Números reales
Esfera
ℤ Números enteros
Conjuntos numéricos especiales[editar · editar fuente]
Expresiones[editar · editar fuente]
Relación Notación Se lee
igualdad
x es igual a y
menor que
x es menor que y
mayor que
x es mayor que y
aproximado
x es aproximadamente igual a y
Notación Se lee
cuantificador universal
para todo x
cuantificador existencial
Existe por lo menos un x
cuantificador existencial con marca de unicidad
Existe un único x
tal que o bien x, tal que y
por lo tanto
x, por lo tanto y
Ejemplo:
Teorema de Weierstrass:
"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b],
donde a es estrictamente menor que b.
Se tiene que:
La función f está acotada. La función f alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo, no
necesariamente únicos."
Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:
"
".
Lógica proposicional, Álgebra de Boole[editar · editar
fuente]
Artículos principales: Cálculo lógico y Conectiva lógica.
Operadores básicos[editar · editar fuente]
Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y
la negación.
Sean y dos proposiciones
Operación Notación Se lee
Negación
no 'p'
Conjunción
'p' y 'q'
Disyunción
'p' o 'q'
Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las
declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.
Implicación[editar · editar fuente]
Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se
escribe o como abreviatura de . La declaración "
implica " es falsa siempre que sea verdad pero no necesariamente .
Si y , se escribe , que se lee " implica y es implicada
por ", o bien " si y sólo si ".
Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la
Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de
circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para
la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:
Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.
Conjunción|Salgo tarde no tengo vehículo llegaré tarde al trabajo.
Si decimos Aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación
expresada en nuestro hablar cotidiano entonces podríamos asegurar que Aquí
hay alguien.
Negación lógica| hay nadie Aquí hay alguien
Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez. (al autor: por
favor considera un ejemplo diferente. Parece ser que has introducido una
disyunción exclusiva referida a la disyunción lógica que pones en el siguiente
enlace)
Disyunción lógica| viajo en bus viajo en mi auto o lo uno o lo otro
Si mi empresa no produce nada quiere decir que mi empresa 'produce algo'.
Negación| produce nada Produce algo
Cuantificadores[editar · editar fuente]
Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades.
Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos
los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador
universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con
marca de unicidad. Aquí están los símbolos.
Nombre Notación Se lee
cuantificador universal
Para todo x...
cuantificador existencial
Existe por lo menos un x...
cuantificador existencial con marca de unicidad
Existe un único x...
Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma que
se leen "para todo , es verdad que " y "existe por lo menos un tal que es
verdad".
Estos dos últimos cuantificadores pueden usarse para lo mismo, ya que
dice lo mismo que dice . En palabras, decir "no es para todo que es
verdad" es igual que decir "existe tal que es falsa".
Teoría de números[editar · editar fuente]
Artículo principal: Teoría de números.
Análisis matemático[editar · editar fuente]
Artículo principal: Análisis matemático.
Análisis real[editar · editar fuente]
Límites[editar · editar fuente]
Para decir que el límite de la función es cuando tiende á , se escribe:
o bien .
Igualmente, para decir que la sucesión va á cuando tiende a la
infinidad, se escribe:
o bien .
Derivadas[editar · editar fuente]
Derivadas ordinarias[editar · editar fuente]
Se define la derivada de una función como el límite del cociente del cambio en la
ordenada y la abscisa. Hay varias notaciones para denotar la derivada de una
función de una sola variable:
Las derivadas serian:
Derivadas parciales[editar · editar fuente]
Si la función depende de dos o más variable, por ejemplo:
Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes:
Misceláneos[editar · editar fuente]
Funciones[editar · editar fuente]
Para decir que una función va desde el espacio al espacio , se
escribe .
Tabla de Símbolos[editar · editar fuente]
En matemática, existe un conjunto de símbolos que son frecuentemente
utilizados en la formación de expresiones matemáticas. Debido a que los
matemáticos están familiarizados con estos símbolos, los mismos no requieren
ser explicados cada vez que se utilizan.
En vista de esto, para beneficio de los matemáticos novatos, en el Anexo:Tabla
de símbolos matemáticos y Anexo:Constantes matemáticas se lista muchos de
estos símbolos comunes, junto con su nombre, pronunciación y el campo de las
matemáticas con el que se relacionan. Adicionalmente, la segunda línea contiene
una definición informal, mientras que la tercera provee un ejemplo breve.
Nota: Si algunos de los símbolos no se muestran correctamente en tu pantalla,
podría ser que tu navegador no implemente correctamente el estándar HTML 4
sobre codificación de caracteres o, alternativamente, que te falte instalar alguna
fuente requerida adicional.
Notas[editar · editar fuente]
1. ↑ Aunque en ocasiones, es complicado adherirse a esta regla. Considérese, por ej. que el TeX genera todas las letras individuales en cursivas; para que aparezcan en redondas, hay que efectuar el cambio de la fuente.
Anexo:Símbolos matemáticos De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde «Anexo:Tabla de símbolos matemáticos»)
Saltar a: navegación, búsqueda
Genéricos
Símbolo Nombre se lee como Categoría
igualdad igual a todos
x = y significa: x e y son nombres diferentes que hacen referencia a un
mismo objeto o ente.
1 + 2 = 6 − 3
definición se define como todos
x := y o x ≡ y significa: x se defene como otro nombre para y (notar, sin
embargo, que ≡ puede también significar otras cosas,
como congruencia)
P :⇔ Q significa: P se define como lógicamente equivalente a Q
cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A B) ¬(A B)
Aritmética
Símbolo Nombre se lee como Categoría
adición más aritmética
4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado,
es 10.
43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9
substracción menos aritmética
9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El
símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número
es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos
tres' son sumados, el resultado es 'dos'.
87 − 36 = 51
multiplicación por aritmética
7 x 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será
42.
4 x 6 = 24 ó 4 * 6 = 24 ó 4 · 6 = 24
división entre, dividido por aritmética
significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y
dos, cada pedazo será de tamaño siete.
sumatoria
suma sobre ... desde ... hasta ...
de aritmética
∑k=1n ak significa: a1 + a2 + ... + an
∑k=14 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
productorio
producto sobre... desde ... hasta
... de aritmética
∏k=1n ak significa: a1a2···an
∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360
Lógica proposicional
Símbolo Nombre se lee como Categoría
implicación material o en un
solo sentido
implica; si ..
entonces; por lo
tanto
lógica proposicional
A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también;
si B es verdadero entonces nada se dice sobre A.
→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para
denotar funciones, como se indica más abajo.
x = 2 ⇒ x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒ x = 2 es, en general, falso
(ya que x podría ser −2)
doble implicación
si y sólo si; sii,
syss[1] lógica proposicional
A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es
falsa.
x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y
conjunción
lógica o intersección en
una reja
y
lógica
proposicional, teoría de
rejas
la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de
otra manera es falsa.
n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 cuando n es un número natural
disyunción lógica o unión en
una reja o, ó
lógica
proposicional, teoría de
rejas
la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si
ambas son falsas, la proposición es falsa.
n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural
negación lógica no lógica proposicional
la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa.
una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado
a la izquierda.
¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔ ¬(x ∈ S)
Lógica de predicados
Símbolo Nombre se lee como Categoría
cuantificador universal
para todos; para
cualquier; para cada
lógica de
predicados
∀ x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x
∀ n ∈ N: n² ≥ n
cuantificador existencial
existe por lo menos
un/os
lógica de
predicados
∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.
∃ n ∈ N: n + 5 = 2n
cuantificador existencial con
marca de unicidad
existe un/os único/s lógica de
predicados
∃! x : P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.
∃! n ∈ N: n + 1 = 2
reluz tal que lógica de
predicados
∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.
∃ n ∈ N: n + 5 = 2n
Teoría de conjuntos
Símbolo Nombre se lee como Categoría
delimitadores
de conjunto el conjunto de ...
teoría de
conjuntos
{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c
N = {0,1,2,...}
notación constructora
de conjuntos
el conjunto de los elementos ...
tales que ...
teoría de
conjuntos
{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es
verdadera. {x | P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}.
{n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}
conjunto vacío conjunto vacío teoría de
conjuntos
{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.
{n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}
pertenencia de
conjuntos
en; está en; es elemento de; es
miembro de; pertenece a
teoría de
conjuntos
a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es
elemento del conjunto S
(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N
subconjunto es subconjunto de teoría de
conjuntos
A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B
A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B
A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
unión de conjuntos la unión de ... y ...; unión teoría de
conjuntos
A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y
también todos aquellos de B, pero ningún otro.
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
intersección de
conjuntos
la intersección de ... y ...;
intersección
teoría de
conjuntos
A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos
que A y B tienen en común.
{x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}
complemento de un
conjunto
menos; sin teoría de
conjuntos
A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos
de A que no se encuentran en B
{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}
Funciones
Símbolo Nombre se lee como Categoría
aplicación de función; agrupamiento de funciones
para aplicación de función: f(x) significa: el valor de la
función f sobre el elemento x
para agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del
paréntesis.
Si f(x) := x², entonces f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) =
8/2 = 4
mapeo funcional de ... a funciones
f: X → Y significa: la función f mapea el conjunto X al conjunto Y
Considérese la función f: Z → N definida por f(x) = x²
Números
Símbolo Nombre se lee como Categoría
números
naturales
N números
N significa: {1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturales para
una convención diferente.
{|a| : a ∈ Z} = N
números enteros Z números
Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...}
{a : |a| ∈ N} = Z
números
racionales
Q números
Q significa: {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}
3.14 ∈ Q; π ∉ Q
números reales R números
R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, el límite existe}
π ∈ R; √(−1) ∉ R
números
complejos
C números
C significa: {a + bi : a, b ∈ R}
i = √(−1) ∈ C
raíz cuadrada
la raíz cuadrada de; la principal raíz
cuadrada de
números
reales
√x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x
√(x²) = |x|
infinito infinito números
∞ es un elemento de la recta real extendida mayor que todos los
números reales; ocurre frecuentemente en límites
limx→0 1/|x| = ∞
valor absoluto valor absoluto de números
|x| significa: la distancia en la recta real (o en el plano complejo)
entre x y [[zero], se le llama también módulo]
|a + bi | = √(a² + b²)
Órdenes parciales
Símbolo Nombre se lee como Categoría
comparación es menor a, es mayor a órdenes parciales
x < y significa: x es menor a y; x > y significa: x es mayor a y
3 < 4 5 > 4
Símbolo Nombre se lee como Categoría
comparación es menor o igual a, es mayor o igual a órdenes parciales
x ≤ y significa: x es menor o igual a y; x ≥ y significa: x es mayor o igual
a y
x ≥ 1 ⇒ x² ≥ x
Geometría euclídea
Símbolo Nombre se lee como Categoría
pi pi Geometría euclideana
π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro.
A = πr² es el área de un círculo con radio r
Combinatoria
Símbolo Nombre se lee como Categoría
factorial factorial combinatoria
n! es el producto 1×2×...×n
4! = 24
Análisis funcional
Símbolo Nombre se lee como Categoría
norma norma de; longitud de análisis funcional
x es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado
x+y ≤ x + y
Cálculo
Símbolo Nombre se lee como Categoría
integración
integral desde ... hasta ... de ... con
respecto a ... cálculo
∫ab f(x) dx significa: el área, con signo, entre el eje-x y la gráfica de
la función f entre x = a y x = b
∫0b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3
derivación derivada de f; f prima cálculo
f '(x) es la derivada de la función f en el punto x, esto es,
la pendiente de la tangente en ese lugar.
Si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x y f ' '(x) = 2
gradiente del, nabla, gradiente de cálculo
∇f (x1, …, xn) es el vector de derivadas parciales (df / dx1, …, df / dxn)
Si f (x, y, z) = 3xy + z² entonces ∇f = (3y, 3x, 2z)
derivada parcial derivada parcial de cálculo
Con f (x1, …, xn), ∂f/∂xi es la derivada de f con respecto a xi, con todas
las otras variables mantenidas constantes.
Si f(x, y) = x²y, entonces ∂f/∂x = 2xy
Ortogonalidad
Símbolo Nombre se lee como Categoría
perpendicular es perpendicular a ortogonalidad
x y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es
ortogonal a y.
Álgebra matricial
Símbolo Nombre se lee como Categoría
perpendicular traspuesta matrices y vectores
(a,b) con al lado o a modo de potencia significa que el vector se
debe colocar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En
numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder
representar en un documento vectores verticales.
Teoría de rejas
Símbolo Nombre se lee como Categoría
fondo el elemento fondo teoría de rejas
x = significa: x es el elemento más pequeño.