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RESOLUÇÃO COMENTADA PROVA UEFS – 2011.1 41. A. 1 gota de sangue: 1 mm3 –––––––– 5 000 000 g.v. = 5×106g.v
1 litro de sangue: 1 dm3 = 1.000 000 mm3 = 106 mm3
4,5 litros de sangue: 4,5×106 mm3
Números de glóbulos vermelhos: 5×106×4,5×106 = 22,5×1012 = 2,25×1013
OBS.: Segundo o texto, o número de glóbulos vermelhos vale a × 10k, para a Î [1, 10[ e k Î Z.
Logo a = 2,25 e k = 13
a + k = 2,25 + 13 = 15,25
42. A. Média = 11288
112817313548218213067=
++++++++++ = 26,18
43. D.
f(x) = ,pnx
mx++
para – 1 £ x £ 3
f(0) = pon
m0+×
+ = – 1 ® m = – p
f(2) = pn2
m2+×
+ = 0 ® 2 + m = 0 ® m = – 2 , logo: p = 2
f(– 1) = ( ) p1nm1+-×
+- = – 3 ® – 1 – 2 = – 3(– n + 2) ®
33
--
= – n + 2 ® n = 1
(n – m)×p = (1 – (– 2)) × 2 = 3 × 2 = †
44. B.
r: y = ax + b
(0, – 2) Î r ® – 2 = a × 0 + b ® b = – 2
(1; 0) Î r ® 0 = a × 1 – 2 ® a = 2
r: y = 2x – 2
s: y = ax2 + bx + c
(1, 0) Î s: a × 12 + b × 1 + c = 0 ® a + b + c = 0 •
xv = 2
31a2b
2xx
a2b 21 +
=-
®+
=-
= ® b = – 4a ‚
Substituindo ‚ em •, temos:
a – 4a + c = 0 ® c = 3a ƒ
yv = a4D-
= – 2 ® b2 – 4ac = 8a „
Substituindo ‚ e ƒ em „, temos:
(– 4a)2 – 4 × a × 3a – 8a = 0 ® 16a2 – 12a2 – 8a = 0
4a2 – 8a = 0( )( )V2a
F0a
==
Se a = 2, temos c = 6 e b = – 8
s: y = 2x2 – 8x + 6
6
p: r Ç sïî
ïíì
+-=
-=
6x8x2y
2x2y2
® 2x2 – 8x + 6 = 2x – 2 ® 2x2 – 10x + 8 = 0
se x = 1 ® y = 0 ® (1, 0)
se x = 4 ® y = 6 ® (4, 6)
P(4, 6) ® 4 × 6 = 24
45. C. f(x) = ( ) { 32143421cb
2
a
4m2x4x1m2 +--+ ÷øö
çèæ -
¹21
m
raízes reais com x1 < x2 < 1, temos:
· D > 0 ® b2 – 4ac > 0
(– 4)2 – 4 × (2m + 1)(– 2m + 4) > 0
16 – 4(– 4m2 + 8m – 2m + 4) > 0
16 + 16m2 – 24m – 16 > 0 (¸ 8)
2m2 – 3m > 0
21-
23
23
46. B.
f(t) = 2t+2 + C1
(0,79) Î f ® f(0) = 2+2 + C1 = 79 ® 4 + C1 = 79 ® C1 = 75, logo: f(t) = 2t+2 + 75
g(t) = 2t+1 = C2
(0,141) Î g ® g(0) = 20+1 + C2 = 141 ® 2 + C2 = 141 ® C2 = 139, logo: g(t) = 2t+1 + 139
f(t) = g(t)
2t+2 + 75 = 2t+1 + 139
2t × 22 – 2t × 21 = 139 – 75
2t × (4 – 2) = 64
2t = 32
2t = 25 « t = 5 anos
· x1 < x2 < 1 ® x2 – x1 > 0 e x2 < 1
x2 – x1 = aa2
ba2
b D=÷
÷ø
öççè
æ D---
D+-
Como D > 0, então a > 0, daí:
2 m + 1 > 0 ® m > 21-
Resolução da inequação
Zero da função:
2m2 – 3m = 0
m(2m – 3) = 0
23
m
0m
=
=
x1 = 1 ou x = 4
7
1
1
1
121
21
2
-2
-2
-11
1
-1
0 2
2
2-2
-2
1
-1
-1
1
47. D. (1 – logab) × =*
ba clog Mudança de base
= (1 – logab) × =÷÷ø
öççè
æ- blogalog
clog
aa
a
= (1 – logab) × =÷÷ø
öççè
æ- blog1
clog
a
a
= logac
48. E. |x| + |y| £ 2 |x| + |y| ³ 1
x y
0 0 2
– 2 1
– 1 1
– 1
2 – 2 0 0 1
– 1 – 1 1
Gráfico final
|x| + |y| £ 2 e |x| + |y| ³ 1
AF = A1 – A2
AF = 8 – 2
AF = 6 u.a.
49. D.
ïï
î
ïï
í
ì
=®=
+=®-==++
5b4
sb%80s
60bc60cb
900csb
Substituindo ‚ e ƒ em •, temos:
b + 90060b5b4
=++
5b + 4b + 5b + 300 = 4500
14b = 4200
b = 300
* blogalog
clog
balog
clogclog
aa
a
a
a
ba -
==
x y
0 0 1
– 1
21
21-
21
21-
1 – 1 0 0
21
21-
21-
21
A1 = 2
442
dd 21 ×=
× = 8 u.a. A2 =
222
2
dd 21 ×=
× = 2 u.a.
· se b = 300, então s = 5300.4
® s = 240
· se b = 300, então c = 300 + 60 ® c = 360
Preço da câmera (c) em relação ao do aparelho de som (s)
240 ––––– 100%
360 ––––– x%
x = 240
100360 ×
x = 150%
• ‚
ƒ
8
50. E. logax = 3 « x = a3 • (Condição de existência da base: 0 < a ¹ 1)
P.A (1, a, x) Þ a = 2
x1+ Þ x = 2a – 1 ‚
Substituindo • em ‚, temos:
a3 = 2a – 1 ® a3 – 2a + 1 = 0 Como a soma dos coeficientes da equação do 3o grau é zero, temos a1 = 1 como raiz da equação.
Regra de Briott-Ruffini
® a3 – 2a + 1 = ( )( )434213210
2
0
1aa1a -+- = 0
a – 1 = 0 ou a2 + a – 1 = 0
a = 1 D = 1 + 4 = 5
a =
251
a
251
a
251
3
2
--=
+-=
±-
Pela condição de existência da base, temos:
0 < a ¹ 1, logo: a1 = 1 (F)
a2 = 2
51+- ® a2 =
22,21+-
= 0,6 (V)
a3 = 2
51-- ® a3 =
22,21--
= – 1,6 (F)
51. B. 1000 álcool ® 1a retirada: 200 L de álcool
48476 2001000
álcool800-
+ 200 água:
1000800
álcool: 54
álcool na mistura
2a retirada: 20054× mistura Þ 200
54× = 160 L de álcool
48476 160800
álcool640-
+ 360 água:
1000640
álcool: 2516
álcool na mistura
3a retirada: 2002516
× mistura Þ 2002516
× = 128 L de álcool
48476 128640
álcool512-
+ 488 água:
1000512
álcool: 12564
álcool na mistura
4a retirada: 20012564
× mistura Þ 5
512200
12564
=× @ 102 L de álcool
Total das retiradas de álcool: 200 + 160 + 128 + 102 = 560 L de álcool
Quanto resta de álcool aproximadamente: 1000 – 590 = 410 L
40
1 0 – 2 1
a1 = 1 1 1 – 1 0
terça parte do log
9
A B
CD
x
O’x
x
x
a - x
a - x
x E x2a- 0
2a
52. A. Permutação circular ® Pcn = (n – 1)! n = números de elementos
Pc5 = (5 – 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
A
C
B
D
E
A
C
B
E
D
A
D
B
C
E
A
D
B
E
C
A
E
B
C
D
A
E
B
D
C
A
B
C
E
D
A
B
C
D
E
A
D
C
B
E
A
E
C
B
D
A
D
C
E
B
A
E
C
D
B
A
B
D
C
E
A
B
D
E
C
A
C
D
B
E
A
C
D
EB
A
E
D
BC
A
E
D
CB
A
B
E
C
D
A
B
E
D
C
A
C
E
BD
A
C
E
DB
A
D
E
BC
A
D
E
CB
53. D. P ® cabelos pretos: 40% = 52
NP ® cabelos de outra cor: 60% = 53
1a possibilidade: NP NP NP NP ® =××××==53
53
53
53
1!4!4
P44
62581
2a possibilidade: P NP NP NP ® =×=××××==62554
453
53
53
52
4!1!3
!4P 3,1
4 625216
3a possibilidade: P P NP NP ® =×=××××==62536
653
53
52
52
6!2!2
!4P 2,2
4 625216
PF = P1 + P2 + P3 625513
625216
625216
62581
=++=
54. B. ® 22
'2
' EOEOOO +=
( )2
22
x2a
xa2a
x ÷øö
çèæ -+-=÷
øö
çèæ +
x2 + 2x × 4
a2a 2
+ = a2 – 2ax + x2 + 4
a 2
– 2 × 2
ax + x2
x2 – ax – ax – 2ax + a2 = 0
x2 – 4ax + a2 = 0
D = (– 4a)2 – 4 × 1 × a2 = 12a2
x = ( ) ( )( ) ( )V32ax
F32ax
23a2a4
2
1
-=
+=±
permutação com repetição
Como trata-se de alianças a cada duas figuras abaixo na verdade representa uma única aliança. Veja a figura colorida.
R: 12 alianças.
10
N
12
12 M
A
B12E C
ab
c
OBS.: Como x < a, então x = a × (2 + 1,71) ® x = 3,71 a (F)
Como x < a, então x = a × (2 – 1,71) ® x = a × (0,29) (V)
55. C.
AM é uma mediana e
AB é uma mediana, logo N é o baricentro do triângulo
AB31
BN ×=
1231
BN ×=
BN = 4 cm
56. . l1 = 5x – 5 l2 = 3x – 2 l3 = x + 4
4x04x3
2x02x3
1x05x5
->®>+
>®>-
>®>-
x > 1
x = 2 ® 645321 lll
(F) pois o triângulo não é obtusângulo 62 > 52 + 42.
x = 3 ® 10 7 7 (F) pois o triângulo não é escaleno e sim isósceles.
x = 4 ® 15 10 8 (V)
x = 5 ® 20 13 9 (V)
x = 6 ® 25 16 10 (V)
x = 7 ® 30 19 11 (F) a partir de x = 7 não atende a condição de existência do triângulo.
57. E. Área total do paralelogramo = 2(ab + ac + bc) = 184
ïïî
ïïí
ì
===
===
=++
k15bc
k5ac
k3ab
k15bc
5ac
3ab
92bcacab
3k + 5k + 15k = 92 ® k = 2392
® k = 4, logo:
®=®=®=
k15bc
k5ac
k3ab
ïïï
î
ïïï
í
ì
®=
=®=
=®=
60bca20
c20ac
a12
b12ab
Substituindo • e ‚ em ƒ, temos:
®=× 60a20
a12
a2 = 42a
2a
-==
Se a = 2, então b = 6 e c = 10
d = 352d1062dcba 222222 =®++=®++ cm
•
‚
ƒ
(F)
11
R
R
A C
B
R R54 -
R
R53 -
58. C. A(9, 1), B(4, 11) e C(1, 5)
dAB = ( ) ( ) 55d125d11149 ABAB22 =®=®-+-
dAC = ( ) ( ) 54d80d5119 ACAC22 =®=®-+-
dBC = ( ) ( ) 53d45d51114 BCBC22 =®=®-+-
O triângulo ABC é retângulo em A, pois dA2B = dA2C + dB2C
R54R5355 -+-=
2 R = 52
R = 5 cm
Outra forma de resolução da questão 58
A(9,1), B(4, 11) e C(1,5)
dAB = 55105 22 =+
dAC = 5448 22 =+
dBC = 5363 22 =+
semi-perímetro ® p = 2
535455 ++
p = 56p2
512=®
A = p × r ® 30 = 5r5
5
56
30rr56 =®×=®×
59. A. Z1 = sen 40º + i × cos 40o
Como sen 40o = cos 50o e cos 40o = sen 50o, temos:
Z1 = cos 50º + i × sen 50o
Z2 = cos 40º – i × sen 40º
Como cos(40º) = cos(– 40º) e – sen(40º) = sen(–40º), temos:
Z2 = cos(– 40º) + i × sen(– 40o)
Z1 × Z2 = C1 × C2[cos(q1 + q2) + i × sen(q1 + q2)]
Z1 × Z2 = 1 × 1[cos(50º – 40º) + i × sen(50º – 40º)]
Z1 × Z2 = cos10º + i × sen 10º, logo o argumento principal é 10º.
ADABC = 15111
9149
21×
ADABC = ×21
|99 + 20 + 1 – 45 – 11 – 4|
ADABC = 21
|120 – 60|
ADABC = 2
60
ADABC = 30
´ ´ ´ A C B D
D
12
60. E. P(x) = x3 – 14x2 + 63x – 90
D(– 90) = 4444444444 34444444444 21possíveisracionaisraízes
90;45;30;18;15;10;9;6;5;3;2;1 ±±±±±±±±±±±±
1
90 2 2
45 3 3,6
15 3 9,18
5 5 5, 10, 15, 30, 45, 90
1
AD = ( )( )( )321 xpxpxpp --- (p ® semi-perímetro do D)
p = 2
653 ++ ® p = 7
AD = ( )( )( )6757377 ---
AD = 1247 ×××
AD = 142
Outra forma de resolução da questão 60
Relações de Girard ®
ïïï
î
ïïï
í
ì
=-
=××
==++
=-
=++
90ad
xxx
63ac
xxxxxx
14ab
xxx
321
323121
321
AD = ( )( )( )321 xpxpxpp ---
AD = ( )( )321212 xpxxpxpxpp -+--
AD = ( )32132312
3212
22
13 xxxpxxpxxpxpxxpxpxpp -++-+--
AD = ( ) ( ) 43421444 3444 21443442190
321
63
3231212
14
3213 ]xxxpxxxxxxpxxxp[p -+++++-
AD = ( )9076371477 23 -×+×-
AD = ( )904416863437 -+-
AD = 87 × ® AD = 142
1 – 14 63 – 90
x1 = 3 1 – 11 30 0
x2 – 11x + 30 = 06x
5x
3
2
==
P(x) = { { { {dc
2
b
3
a
90x63x14x1 -+-
p = ®++
2xxx 321
214
p =
p = 7
divisores inteiros