- 2 -
ЗАДАТАК
Одредити: 1. аналитичким поступком координате положаја тежишта хомо-
гене раванске фигуре, 2. графичким поступком координате положаја тежишта хомоге-
не раванске фигуре, 3. аналитичким поступком координате положаја тежишта хомо-
гене раванске линије, 4. графичким поступком координате положаја тежишта хомоге-
не раванске линије и 5. применом Папос-Гулдинових теорема:
а) површине тела која се добијају обртањем хомогене ра-ванске линије око x и око y координатне осе и
б) запремине тела која се добијају обртањем хомогене ра-ванске фигуре око x и око y координатне осе.
Хомогене раванске фигуре и хомогене раванске линије су задате помоћу шифрарника.
ШИФРАРНИК
Ред.бр. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Шифра 2.01.02 3.02.03 4.03.04 5.04.05 6.05.06 2.06.07 3.07.08 4.08.09 5.09.10Ред.бр. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Шифра 6.10.01 2.03.02 3.04.03 4.05.04 5.06.05 6.07.06 2.08.07 3.09.08 4.10.09Ред.бр. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. Шифра 5.07.10 6.08.01 2.09.02 3.10.03 4.02.04 5.03.05 6.04.06 2.05.07 3.06.08Ред.бр. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. Шифра 4.07.09 5.08.10 6.09.01 2.10.02 3.05.03 4.06.04 5.04.05 6.01.06 2.04.07Ред.бр. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Шифра 3.06.08 4.01.09 5.02.10 6.03.02 2.05.03 3.08.04 4.05.05 5.06.07 6.07.09Ред.бр. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. Шифра 2.07.10 3.10.02 4.08.03 5.09.04 6.10.05 2.09.06 3.01.07 4.07.08 5.08.02
ПРИМЕР ПРИМЕНЕ ШИФРАРНИКА Нпр. шифра
2.01.02. има значење:
2.
a= 2 cm
01.
фигура Ф01
02.
линија Л02
- 3 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ
Ф01
a=____cm
РР©2013.
1 2 3A A A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A x A x A xxA A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A y A y A yyA A A
Елементарне фигуре
iA 2(cm )
ix
(cm)
iy
(cm)
i iA x 3(cm )
i iA y 3(cm )
Правоугли троугао
142
a aA
1 3ax a
14
3ay
____
____
Право-угаоник
2
2 4A a
2 2ax a
2 2y a
____
____
Половина круга
2
34
2aA
3823
ax a
3 2y a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix A x A
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy A y A
_____/_____ ____ cmCy
- 4 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ
Л01
a=____cm
РР©2013.
1 2 3 4L L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4C
L x L x L x L xxL L L L
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4C
L y L y L y L yyL L L L
Елементарне
линије iL
(cm)
ix
(cm)
iy
(cm)
i iL x 2(cm )
i iL y 2(cm )
Коса линија
2
1 17L a
1 2ax
1 2y a
____
____
Водоравна линија
2 2L a
2x a
2 0y
____
____
Половина кружнице
34
2aL
342 ax a
3 2y a
____
____
Водоравна линија
4L a
4 2ax a
4 4y a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix L x L
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy L y L
_____/_____ ____ cmCy
- 5 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ
Ф02
a=____cm
РР©2013.
1 2 3A A A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A x A x A xxA A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A y A y A yyA A A
Елементарне фигуре
iA 2(cm )
ix
(cm)
iy
(cm)
i iA x 3(cm )
i iA y 3(cm )
Правоугли троугао
21 2A a
122
3ax a
122
3ay a
____
____
Четвртина круга
22A a
2823
ax a
2823
ay a
____
____
Половина круга
23 2A a
3 2x a
3823
ay a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix A x A
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy A y A
_____/_____ ____ cmCy
- 6 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ
Л02
a=____cm
РР©2013.
1 2 3L L L L
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
L x L x L xxL L L
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
L y L y L yyL L L
Елементарне
линије iL
(cm)
ix
(cm)
iy
(cm)
i iL x 2(cm )
i iL y 2(cm )
Коса линија
2
1 8L a
1x a
1y a
____
____
Четвртина кружнице
24
4aL
242 ax a
242 ay a
____
____
Половина кружнице
34
2aL
3 2x a
342 ay a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix L x L
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy L y L
_____/_____ ____ cmCy
- 7 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ
Ф03
a=____cm
РР©2013.
1 2 3A A A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A x A x A xxA A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A y A y A yyA A A
Елементарне фигуре
iA 2(cm )
ix
(cm)
iy
(cm)
i iA x 3(cm )
i iA y 3(cm )
Квадрат
21 4A a
1x a
1y a
____
____
Правоугли троугао
22 2A a
222
3ax a
222
3ay a
____
____
Половина круга
23 2A a
3 2x a
3823
ay a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix A x A
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy A y A
_____/_____ ____ cmCy
- 8 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ
Л03
a=____cm
РР©2013.
1 2 3 4L L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4C
L x L x L x L xxL L L L
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4C
L y L y L y L yyL L L L
Елементарне
линије iL
(cm)
ix
(cm)
iy
(cm)
i iL x 2(cm )
i iL y 2(cm )
Вертикална линија
1 2L a
1 0x
1y a
____
____
Водоравна линија
2 2L a
2x a
2 0y
____
____
Коса линија
2
3 8L a
3 3x a
3y a
____
____
Половина кружнице
44
2aL
4 2x a
442 ay a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix L x L
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy L y L
_____/_____ ____ cmCy
- 9 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ
Ф04
a=____cm
РР©2013.
1 2 3A A A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A x A x A xxA A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A y A y A yyA A A
Елементарне фигуре
iA 2(cm )
ix
(cm)
iy
(cm)
i iA x 3(cm )
i iA y 3(cm )
Правоугли троугао
21A a
122
3ax a
1 23ay a
____
____
Правоугли троугао
22 4A a
244
3ax a
222
3ay a
____
____
Четвртина круга
23A a
3823
ax a
3823
ay a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix A x A
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy A y A
_____/_____ ____ cmCy
- 10 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ
Л04
a=____cm
РР©2013.
1 2 3 4 5L L L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5C
L x L x L x L x L xxL L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5C
L y L y L y L y L yyL L L L L
Елементарне линије
iL
(cm)
ix
(cm)
iy
(cm)
i iL x 2(cm )
i iL y 2(cm )
Вертикална линија
1L a
1 2x a
1 32ay a
____
____
Коса линија
2
2 5L a
2x a
2 22ay a
____
____
Коса линија
2
3 20L a
3 2x a
3y a
____
____
Вертикална линија
4 2L a
4 4x a
4y a
____
____
Четвртина кружнице
54
4aL
542 ax a
542 ay a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix L x L
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy L y L
_____/_____ ____ cmCy
- 11 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ
Ф05
a=____cm
РР©2013.
1 2 3A A A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A x A x A xxA A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A y A y A yyA A A
Елементарне фигуре
iA 2(cm )
ix
(cm)
iy
(cm)
i iA x 3(cm )
i iA y 3(cm )
Право-угаоник
21 3A a
13
2ax
1 32ay a
____
____
Правоугли троугао
2
29
2aA
233
3ax a
233
3ay a
____
____
Половина круга
2
3 2aA
3433
ax a
3 3y a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix A x A
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy A y A
_____/_____ ____ cmCy
- 12 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ
Л05
a=____cm
РР©2013.
1 2 3 4 5L L L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5C
L x L x L x L x L xxL L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5C
L y L y L y L y L yyL L L L L
Елементарне линије
iL
(cm)
ix
(cm)
iy
(cm)
i iL x 2(cm )
i iL y 2(cm )
Вертикална линија
1L a
1 0x
1 32ay a
____
____
Коса линија
2
2 18L a
23
2ax
23
2ay
____
____
Вертикална линија
3 2L a
3 3x a
3y a
____
____
Половина кружнице
42
2aL
423 ax a
4 3y a
____
____
Водоравна линија
5 3L a
53
2ax
5 4y a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix L x L
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy L y L
_____/_____ ____ cmCy
- 13 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ
Ф06
a=____cm
РР©2013.
1 2 3A A A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A x A x A xxA A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A y A y A yyA A A
Елементарне фигуре
iA 2(cm )
ix
(cm)
iy
(cm)
i iA x 3(cm )
i iA y 3(cm )
Половина круга
2
1 2aA
143
ax a
1 3y a
____
____
Половина круга
2
2 2aA
243
ax a
2y a
____
____
Правоугли троугао
2
312
2aA
33
3ax a
34
3ay
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix A x A
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy A y A
_____/_____ ____ cmCy
- 14 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ
Л06
a=____cm
РР©2013.
1 2 3 4L L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4C
L x L x L x L xxL L L L
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4C
L y L y L y L yyL L L L
Елементарне
линије iL
(cm)
ix
(cm)
iy
(cm)
i iL x 2(cm )
i iL y 2(cm )
Половина кружнице
12
2aL
12 ax a
1 3y a
____
____
Половина кружнице
22
2aL
22 ax a
2y a
____
____
Водоравна линија
3 3L a
33
2ax a
3 0y
____
____
Коса линија
2
4 25L a
43
2ax a
4 2y a
____
____
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix L x L
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy L y L
_____/_____ ____ cmCy
- 15 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ
Ф07
a=____cm
РР©2013.
1 2 3A A A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A x A x A xxA A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A y A y A yyA A A
Елементарне фигуре
iA 2(cm )
ix
(cm)
iy
(cm)
i iA x 3(cm )
i iA y 3(cm )
Половина круга
2
1 2aA
1423
ax a
1 3y a
____
____
Половина круга
2
24
2aA
2823
ax a
2 2y a
____
____
Квадрат
2
3 4A a
3x a
3y a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix A x A
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy A y A
_____/_____ ____ cmCy
- 16 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ
Л07
a=____cm
РР©2013.
1 2 3 4 5L L L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5C
L x L x L x L x L xxL L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5C
L y L y L y L y L yyL L L L L
Елементарне линије
iL
(cm)
ix
(cm)
iy
(cm)
i iL x 2(cm )
i iL y 2(cm )
Половина кружнице
12
2aL
122 ax a
1 3y a
____
____
Половина кружнице
24
2aL
242 ax a
2 2y a
____
____
Водоравна линија
3 2L a
3x a
3 0y
____
____
Вертикална линија
4 2L a
4 0x
4y a
____
____
Водоравна линија
5 2L a
5x a
5 2y a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix L x L
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy L y L
_____/_____ ____ cmCy
- 17 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ
Ф08
a=____cm
РР©2013.
1 2 3A A A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A x A x A xxA A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A y A y A yyA A A
Елементарне фигуре
iA 2(cm )
ix
(cm)
iy
(cm)
i iA x 3(cm )
i iA y 3(cm )
Правоугли троугао
2
1 2aA
1 23ax a
1 23ay a
____
____
Четвртина круга
2
24
4aA
2823
ax a
2823
ay a
____
____
Правоугли троугао
2
38
2aA
34
3ax
322
3ay a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix A x A
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy A y A
_____/_____ ____ cmCy
- 18 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ
Л08
a=____cm
РР©2013.
1 2 5 6...L L L L L
1 1 2 2 5 5 6 6
1 2 5 6
...
...CL x L x L x L xx
L L L L
1 1 2 2 5 5 6 6
1 2 5 6
...
...CL y L y L y L yy
L L L L
Елементарне
линије iL
(cm)
ix
(cm)
iy
(cm)
i iL x 2(cm )
i iL y 2(cm )
Вертикална линија
1L a
1 2x a
1 32ay a
____
____
Четвртина кружнице
24
4aL
242 ax a
242 ay a
____
____
Коса линија
2
3 20L a
3 2x a
3y a
____
____
Вертикална линија
4 2L a
4 0x
4y a
____
____
Водоравна линија
5L a
5 2ax
5 2y a
____
____
Коса линија
2
6 2L a
6 2ax a
6 22ay a
_______
____
____
( ) /( )C i i ix L x L
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy L y L
_____/_____ ____ cmCy
- 19 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ
Ф09
a=____cm
РР©2013.
1 2 3A A A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A x A x A xxA A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A y A y A yyA A A
Елементарне фигуре
iA 2(cm )
ix
(cm)
iy
(cm)
i iA x 3(cm )
i iA y 3(cm )
Половина круга
2
1 2aA
143
ax a
1 3y a
____
____
Право-угаоник
2
2 3A a
23
2ax a
2 22ay a
____
____
Правоугли троугао
2
36
2aA
334
3ax a
322
3ay a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix A x A
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy A y A
_____/_____ ____ cmCy
- 20 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ
Л09
a=____cm
РР©2013.
1 2 3 4 5L L L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5C
L x L x L x L x L xxL L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5C
L y L y L y L y L yyL L L L L
Елементарне линије
iL
(cm)
ix
(cm)
iy
(cm)
i iL x 2(cm )
i iL y 2(cm )
Половина кружнице
12
2aL
12 ax a
1 3y a
____
____
Коса линија
2
2 13L a
2 22ax a
2y a
____
____
Вертикална линија
3 3L a
3 4x a
3 2ay a
____
____
Водоравна линија
4 3L a
4 22ax a
4 3y a
____
____
Вертикална линија
5L a
5x a
5 32ay a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix L x L
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy L y L
_____/_____ ____ cmCy
- 21 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ
Ф10
a=____cm
РР©2013.
1 2 3A A A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A x A x A xxA A A
1 1 2 2 3 3
1 2 3C
A y A y A yyA A A
Елементарне фигуре
iA 2(cm )
ix
(cm)
iy
(cm)
i iA x 3(cm )
i iA y 3(cm )
Половина круга
2
14
2aA
1 2x a
1823
ay a
____
____
Правоугли троугао
2
22
2aA
222
3ax a
2 23ay a
____
____
Правоугли троугао
2
34
2aA
322
3ax a
322
3ay a
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix A x A
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy A y A
_____/_____ ____ cmCy
- 22 -
ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ
Л10
a=____cm
РР©2013.
1 2 3 4L L L L L
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4C
L x L x L x L xxL L L L
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4C
L y L y L y L yyL L L L
Елементарне
линије iL
(cm)
ix
(cm)
iy
(cm)
i iL x 2(cm )
i iL y 2(cm )
Половина кружнице
14
2aL
1 2x a
142 ay a
____
____
Коса линија
2
2 5L a
2x a
2 22ay a
____
____
Вертикална линија
3 3L a
3 2x a
3 2ay a
____
____
Коса
линија
2
4 8L a
4 3x a
4y a
____
____
____
____
_______
____
____
( ) /( )C i i ix L x L
_____/_____ ____ cmCx
( ) /( )C i i iy L y L
_____/_____ ____ cmCy