RANGKUMAN MATERI
KELAS XI SMK
Tahun Ajaran 2011 / 2012
Rangkuman Kelas XII 85
MATERI 9
PROGRAM LINEAR
Program Linear adalah suatu cara untuk memecahkan kasalah tertentu dengan
menggunakan model matematika yang terdiri atas pertidakasamaan linear dengan
banyak penyelesaian.
Membuat Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidakasamaan Linear
Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan 2 peubah, dituliskan sbb :
ax+by ≤ c atau ax+by ≥ c, dengan a, b, c ∈ R
Jika diketahui pertidaksamaan, langkah-langkahnya :
1. Gambar grafik ax+by=c
2. Menentukan daerah HP (Himpunan Penyelesaian)
Contoh soal :
Tunjukan pada diagram cartesius himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x≥0;
y≥0; x+y≤4; dan 3x+8y≤24 dengan x, y ∈ R !
Jawab :
x+y≤4
x+y=4
Dimisalkan x=0 dan y=0
x=0 y=4 (0,4)
y=0 x=4 (4,0)
ambil titik uji yg mudah & terdekat
dengan garis singgung
(0,0) x+y ≤4
x+y-4 ≤0
-4 ≤0 (benar)
Jadi HP terletak di arah titik (0,0)
3x+8y≤24
3x+8y=24
Dimisalkan x=0 dan y=0
x=0 y=3
y=0 x=8
ambil titik uji
(0,0) 3x+8y ≤24
3x+8y-24 ≤0
-24 ≤0
(benar)
Jadi HP terletak di arah titik (0,0)
Gambar diagram cartesius
Jika diketahui daerah HP, tentukan persamaan garisnya terlebih dahulu.
Cara menentukan persamaan garis :
1. Persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan titik Q(x2,y2)
=
2. Persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan gradien m
y-y1 = m(x-x1)
3. Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan titik Q(0,b)
bx+ay = a∙b
Contoh soal :
8
4
3
4
HP
x
y
Rangkuman Kelas XII 86
Tentukan pertidaksamaan linear dari daerah yang diarsir pada digram cartesius
berikut :
Ambil titik (0,y) dan (x,0) pada masing-masing garis.
(0,5),(7,0)
5x+7y = 35 bx+ay = a∙b
Ambil titik uji yg terdapat didalam arsiran
(1,1) 5(1)+7(1) ...35
12 ≤ 35
5x+7y ≤ 35
(0,-4),(3,0)
-4x+3y = -12
(1,1) -4(1)+3(1) ...-12
-1 ≥ -12
-4x+3y ≥ -12
(0,-6),(-2,0)
-6x-2y = 12
(1,1) -6(1)-2(1) ... 12
-8 ≥ 12
-6x-2y ≥ 12
(0,4)
Y=4 konstan
Jadi, pertidaksamaan linearnya adalah 5x+7y ≤ 35 ; -4x+3y ≥ -12 ; -6x-2y ≥ 12 ;
dan Y=4
Menentukan Nilai Optimum Dari Sistem Pertidaksamaan Linear (Masalah
Program Linear)
Langkah-langkahnya :
1. Ubah soal ke model matematika (rumusan matematika dari penafsiran
masalah proglin, biasanya dalam bentuk pertidaksamaan linear)
2. Menentukan fungsi objektif maksimum/minimum
3. Menentukan titik pojok f(x,y), lalu gambar diagram carteciusnya
4. Menguji titik pojok untuk menentukan nilai max/min pada fungsi
objektif
Contoh soal :
Suatu pesawat udara memiliki tempat duduk tidak lebih dari 72 penumpang.
Penumpang kelas 1 boleh membawa bagasi 40 kg, sedang kelas ekonomi 20 kg.
Karena pesawat hanya mampu memuat bagasi tidak lebih dari 1800 kg. Jika
banyaknya penumpang kelas utama x dan ekonomi y orang, tentukanlah :
a. Model matemtika dari permasalahan tsb :
Jawab :
x≥0 ...(1)
y≥0 ...(2)
x+y ≤ 72 ...(3)
x+y = 72
-4
-6
HP
7 3
(3,0)
(0,-6)
(0,-4)
(7,0)
-2
5 4
(0,5) (0,4)
(-2,0) x
y
Rangkuman Kelas XII 87
x=0 y=72 (0,72)
y=0 x=72 (72,0)
40x+20y ≤ 1800 ...(4)
40x+20y = 1800
2x+y = 90
x=0 y=90 (0,90)
y=0 x=45 (45,0)
x + y = 72
2x + y = 90 –
-x = -18
x = 18
x + y = 72
18 + y = 72
y = 54 (18,54)
b. Banyak penumpang kelas utama dan ekonomi agar diperoleh keuntungan
maksimum, bila harga tiket kelas utama Rp 750.000,00 dan kelas ekonomi Rp
500.000,00 :
Jawab :
Uji titik pojok f(x,y) = 750.000x+500.000y
f(0,72) 750.000(0) + 500.000(72) = 36.000.000
f(18,54) 750.000(18) + 500.000(54) = 40.500.000
f(45,0) 750.000(45) + 500.000(0) = 33.750.000
jadi, keuntungannya akan maksimum pada titik (18,54), maka penumpang kelas
utam 18 orang dan ekonomi 45 orang
Menerapkan Garis Selidik
Langkah-langkah :
1. Tetapkan persamaan garis selidik ax+by = k , dengan k ∈ R
2. Buatlah garis // ax+by=k yang disebut garis selidik
3. Jika ax+by=k1 paling jauh dari titik pangkal, maka bentuk obyektif maksimum
4. Jika ax+by=k2 paling dekat dari titik pangkal, maka bentuk obyektif minimum
Contoh soal :
Gambarkan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut :
x+y≤6 ; 2x+y≥3 ; x≥1 ; x≤4 ; y≥0 ; x,y ∈ R gambar garis-garis yang sejajar
dengan garis 4x+y=0 , kemudian tentukan nilai minimum dan maksimum dari
4x+y !
90
72
45 72 0
9
9 90
HP
x
y
x+y ≤ 6
x+y = 6 ...(1)
x=0 y=6 (0,6)
y=0 x=6 (6,0)
2x+y ≥ 3
2x+y = 3 ...(2)
x=0 y=3 (0,3)
y=1 x=1 (1,1)
x≤4
x=4 ...(3)
x+y = 6
4+y = 6
Y = 2 (4,2)
1≤x≤4
y≥0
f(x,y) = 4x+y
(1,1) 4x+y = 4(1)+(1) = 5
4x+y = 8
x=0 y=8 (0,8)
y=0 x=2 (2,0)
(4,2) 4x+y = 4(4)+(2) = 18
Jadi, nilai maksimalnya adalah 18 pada titik (4,2)
nilai minimalnya adalah 5 pada titik (1,1)
1 2
8
4 6
6
3
HP
y
x
4x+y=5
4x+y=18
4x+y=8
Rangkuman Kelas XII 89
MATERI 10
FUNGSI
Produk Kartesius
Pasangan bilangan (x,y) dengan x=urutan dan pertama y=urutan kedua
disebut pasangan terurut.
Jika A dan B merupakan 2 himpunan yg tidak kosong, maka produk kartesius
himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x∈A
dan y∈B, dengan notasi :
AxB = {(x,y)|x∈A dan y∈B}
Contoh soal :
Misal A={1,2,3} dan B={a,b}, tentukan AxB, BxB dan banyaknya himpunan
masing-masing !
Jawab :
AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
n(AxB) = 3x2 = 6
BxB = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}
n(BxB) = 2x2 = 4
n(AxB) = n(A) ∙ n(B)
n(AxB) = banyak anggota himpunan (AxB)
n(A) = banyaknya anggota himpuan A
n(B) = banyaknya anggota himpuan B
Relasi
Misalkan AxB adalah produk kartesius himpunan A dan B, maka relasi atau
hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk
kartesius AxB, dengan notasi :
R = {(x,y)|x∈A dan y∈B}
Contoh soal :
Relasi dari himpunan A={1,2,3,4} ke himpunan B {0,1,2,3,4} yang ditentukan
oleh F={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)} dapat ditulis sebagai berikut :
F={(x,y)|y=x-1, x∈A dan y∈B}
Relasi juga dapat ditulis ke bentuk :
1. Diagram Panah
Contoh soal :
Tulis ke dalam bentuk digram
panah relasi
F={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)}
2. Grafik Kartesius
Contoh soal :
Tuliskan ke dalam bentuk
grafik kartesius relasi P={(4,-
2),(4,2),(1,-1),(1,1),(0,0)} !
1 2 3 4
01 2 3 4
2
1
0
-1
-2
1 2 3 4
Rangkuman Kelas XII 90
Fungsi (Pemetaan)
Relasi dari himpunan x ke himpunan y disebut fungsi / pemetaan jika dan
hanya jika tiap anggota himpunan x berpasangan tepat di anggota himpunan y,
dengan notasi
f: x y atau f(x) = y
ket :
f(x) = rumus / aturan untuk fungsi
x = variabel bebas
y = varibel tak bebas
perhatikan diagram panah :
- Daerah asal (domain) fungsi = himpunan A dilambangkan Df
- Daerah kawan (kodomain) fungsi = himpunan B dilambangkan Kf
- Daerah hasil (range) fungsi = himpunan semua peta A di B dilambangkan
Rf
Contoh soal :
1. Tentukan domain alami untuk fungsi ;
f(x) =
jawab :
syarat domain alami x≠0
x2 – 4x+3 ≠ 0 x≠3 V x≠1
(x-3)(x-1) ≠ 0
Jadi, Df = {x|x∈R dan x≠1 V
x≠3}
f(x) = log(2-10x)
jawab :
2 – 10x> 0
10x < 2
X <
Jadi, Df = { x|x∈R dan x<
}
f(x) = √
4x – 2 ≥ 0
4x ≥ 2
X ≥
jadi, Df = { x|x∈R dan x≥
}
2. Tentukan domain, kodomain, dan range dari grafik berikut :
Df = {x|-2≤x≤4, x∈R}
Rf = {y|-2≤y≤3, y∈R}
Kf = { y|-2≤y≤4, y∈R }
Beberapa Fungsi Khusus
1. Fungsi Konstan
Setiap anggota dalam himpunan
A hanya berkaitan dengan 1 buah
anggota himpunan B.
f : x c, c = konstan dan x∈R
2. Fungsi Identitas
Fungsi yang memetakan setiap
anggota ke dirinya sendiri.
f : x x , x∈R
x
F(x=y) A B
4
3
2
1
0
-1
-2
-2 -1 1 2 3 4
-3 -2 -1 0 1
4
1 2 3
3
2
1
0
3. Fungsi Genap
f(-x) = +f(x)
Contoh soal :
f(x) = x2 – 4
f(-x) = +(-x)2 – 4= x – 4
-f(x) = - (x2 – 4) = - x2 + 4
4. Fungsi Ganjil
f(-x) = -f(x)
Contoh soal :
f(x) = 2x
f(-x) = +(-2x) = -2x
-f(x) = -2x
5. Fungsi Tangga
Fungsi nilai bulat terbesar.
f : x [x]
Contoh soal :
Gambarlah grafik dari
pertidaksamaan berikut :
-2 ≤ x < -1 [x] = -2
-1 ≤ x < 0 [x] = -1
0 ≤ x < 1 [x] = 0
1 ≤ x < 2 [x] = 1
2 ≤ x < 3 [x] = 2, dst.
6. Fungsi Modulus (Harga
Mutlak)
Fungsi yang memasangkan setiap
bilangan real dari daaerah asal ke
unsur harga mutlaknya.
{ ≥
f : x |x|
Contoh soal :
Jika diketahui f(x)=|3-2x|+5=10,
x∈R. Tentukanlah nilai p agar
f(p)=10!
Jawab :
f(p) = |3 – 2p|+5 = 10
-2p = 2
p = -1
f(p) = -|3 – 2p|+5 = 10
-3+2p+5 = 10
2p = 8
P = 4
Jadi, p=4 hasil selalu yg positif
7. Fungsi Surjektif
f : A B, disebut fungsi surjektif
(onto/kepada) jika dan hanya jika
daerah hasil f sama dengan
himpunan B.
himpunan B
terpakai
selurunya
f : A B, disebut fungsi into (ke
dalam) jika dan hanya jika hasil f
merupakan himpunan bagian dari
B.
himpunan B tidak
terpakai
seluruhnya
Contoh soal :
Ditentukan A={1,2,3,4,5} dan
B={a,b,c,d}. Tentukan relasi
berikut termasuk fungsi onto atau
into !
Jawab :
- {(1,a),(2,a),(3,b),(4,c),(5,d)}
fungsi onto, karena kodomain
terpakai seluruhnya
- {(1,a),(2,a),(3,a),(4,b),(5,c)}
fungsi into, karena tidak
seluruh kodomain terpakai
8. Fungsi Injektif (Fungsi Satu-
satu)
Setiap domain
yg berbeda
memiliki hasil
yg berbeda
pula.
-2 -1 1 2 3
2
1
0
-1
-2
1 2 3 4
pqr
A B
1 2 3 4
pqr
A B
1 2 3 4
pqrs t
A B
Rangkuman Kelas XII 92
f : A B , jika dan hanya jika x1,
x2 ∈A dan x1≠x2 berlaku
f(x1)≠f(x2)
9. Fungsi Bijektif
Gabungan fungsi surjektif dan
injektif atau korespondensi satu-
satu. Jadi, seluruh kodomain terpakai
dan masing-masing domain dipasangkan
tepat satu anggota pada kodomain.
Fungsi Linear
persamaan garis lurus
Bentuk umum :
f : x ax+b
f(x) ax+b
y ax+b
f : x mx+c
f(x) mx+c
y mx+c
1. Persamaan garis lurus melalui 2 titik
PGL melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)
Contoh soal :
Buatlah persamaan garis lurus melalui titik P(2,2) dan Q(6,8)!
Jawab :
=
=
=
4y – 8 = 6x – 12
6x – 4y – 4 =0
3x – 2y – 2 = 0
PGL melalui titik potong sumbu x(a,0) dan sumbu y(0,b)
bx+ay=a∙b
Contoh soal :
Buatlah persamaan garis lurus melalui titik x(-5,0) dan y(0,2) !
Jawab :
bx+ay = a∙b
2x+(-5)y = -5 ∙ 2
2x-5y = -10
2x – 5y+10 = 0
1 2 3 4
pqrs
A B
α
l y
x 0
a b
Rangkuman Kelas XII 93
2. Persamaan garis lurus melalui sebuah titik dan gradien m
gradien jika diketahui 2 titik
m =
gradien pada bentuk persamaan
ax+by+c=0
m = -
gradien pada garis // (sejajar)
m1 = m2
gradien pada garis ┴ (tegak lurus)
m2 = -
PGL melalui titik (a,b) dan gradien m
y – b = m(x – a)
Contoh soal :
- Tentukan persamaan garis lurus melalui P(4,-3) // 2x – 3y=6 !
2x – 3y=6 a=2 dan b=-3
m = -
= -
=
persamaan garis lurus
y – b = m(x – a) (4,-3)
y – (-3) =
(x – 4)
y+3 =
x -
3y+9 = 2x – 8
2x – 3y – 17 = 0
- Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong antara garis
2x+y=4 dan garis x – 3y=9 yang tegak lurus x – 2y=4 !
Jawab :
misal k = 2x+y=4
l = x – 3y=9
m= x – 2y=4 menentukan titik potong k dan l
2x+y =4 x1 2x+y =4
x – 3y =9 x2 2x-6y =18 –
7y = -14
y = -2 substitusi nilai y
2x+y =4
2x – 2 =4
2x = 6
x =3
titik potongnya (a,b) = (3,-2)
gradien dari m= x – 2y=4
m1 = -
= -
=
m2 = -
=-
= -2
persamaan garis lurus
y – b = m(x – a) (3,-2)
y – (-2) =-2 (x – 3)
y+2 = -2x+6
2x+y-4 =0
PGL melalui (0,0) dan gradien m
y = mx
Rangkuman Kelas XII 94
PGL melalui (0,c) dan gradien m
y = mx+c
cat :
Jika m=0 maka grafik sejajar
sumbu x
Jika m>0 maka grafik condong
ke kanan
Jika m<0 maka grafik condong
ke kiri
Jika m=∞ maka grafik sejajar
sumbu y
3. Invers Fungsi Linear
Invers fungsi merupakan relasi dari himpunan
B ke A yg diperoleh dengan menukarkan tiap
pasangan terurut (a,b)∈f menjadi (b,a)
dengan notasi f-1 :
f-1 : B A diperoleh f-1(y) = x
Contoh soal :
Carilah rumus fungsi invers f jika diketahui f(x) =
!
Jawab :
misal f(x) =y
f(x) = y
= y
3x+5 = 2xy – 4y
4y +5 = x(2y – 3)
x =
jadi, f-1 adalah
Fungsi Kuadrat
f : x ax2+bx+c
f(x) = ax2+bx+c
y = ax2+bx+c
Diskriminan (D) = b2 – 4ac
Langkah-langkah membuat fungsi kuadrat :
1. Titik potong dengan sumbu x y=0
2. Titik potong dengan sumbu y x=0
3. Sumbu simetri : x = -
4. Nilai ekstrim : y = -
atau y = f (
)
y
x
y
x
y
x
y
x
A
x=f(y) y=f(x)
B
f-1
f
O
y
x1 x2
y=f(x)
sumbu simetri
x
Rangkuman Kelas XII 95
5. Titik puncak atau balik P(x,y) P(-
, -
) P(-
, f (
))
6. Titik lain jika diperlukan.
Contoh soal :
Tentukan titik pembuat nol dan titik puncak dari fungsi f(x) = 2x2 – 6x+4, x∈R
dengan domain {x|-3≤x≤3, x∈R} !
Jawab :
Dari bentuk ax2+bx+c a=2, b=-6, dan c=4
menentukan pembuat nol dengan f(x) = y = 0 2x2 – 6x+4 = 0 2x-4 = 0 V x-1 = 0
(2x-4)(x-1) = 0 2x = 4 V x = 1
x = 2 jadi, titik pembuat nol (2,0) dan (1,0)
sumbu simetri : x = -
-
=
= 1
nilai ekstrim y=f(x) dengan x=
y = 2x2 – 6x+4
f(x) = 2x2 – 6x+4
f(
) = 2(
)2 – 6(
)+4
= 2(
) - 9 + 4
=
=-
=-
Titik puncak (x,y) = (1
, -
)
Definit pada pada parabola :
Contoh soal :
Jika diketahui persamaan kuadrat y = px2+(p – 2)x+p adalah definit positif, maka
tentukan interval p !
Jawab :
Dari bentuk ax2+bx+c a=p, b=(p-2), dan c=p
D>0
a>0
D=0
a>0
D<0
a>0
D>0
a<0 D=0
a<0
D<0
a<0
Rangkuman Kelas XII 96
D < 0
b2 – 4ac < 0
(p-2)2 – 4∙p∙p < 0
p2-4p+4-4p2 < 0
-3p2-4p+4 < 0
(-3p+2)(p+2) < 0
-3p+2 = 0 V p+2 =0
-3p = 2 p = -2
p = -
jadi, intervalnya -2<p<-
Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak (xp,yp)
y = a(x – xp)2+yp
Contoh soal :
Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki titik puncak (2,-1) dan melalui titik
A(0,3) !
Jawab :
(xp,yp) (2,-1) xp=2 dan yp=-1
y = a(x – xp)2+yp
y = a(x – 2)2 – 1
y = a(x2 – 4x+4) – 1
masukkan nilai titik
3 = a(02 – 4∙0 +4) – 1 (0,3)
3 = 4a - 1
4a = 4
a = 1
substitusi nilai a
y = 1(x2 – 4x+4) – 1
= x2 – 4x+4 – 1
= x2 – 4x+3
Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak sumbu x(y=0)
yaitu (x1,0) dan (x2,0)
y = a(x – x1)(x – x2)
Contoh soal :
Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik A(-2,0), B(4,0), dan C(0,-8) !
(-2,0) x1=-2 dan (4,0) x2=-2
y = a(x – x1)(x – x2)
y = a(x+2)(x – 4)
masukkan nilai titik
-8 = a(0+2)(0-4) (0,-8)
-8 = -8a
a = 1
substitusi nilai a
y = a(x+2)(x – 4)
= 1(x2 – 4x+2x – 8)
= x2 –2x – 8
Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui bentuk y= ax2+bx+c
Penyebab ekstrim x = -
Nilai ekstrim : y = - –
Contoh soal :
Tinggi (s) dari sebuah bola yang dilempar vertikal ke atas setelah t(s) diberikan
persamaan gerak s = 19,6t – 4,9t2. Tentukan ketinggian maksimumnya !
Jawab :
Parabola vertikal, berarti a<0
Rangkuman Kelas XII 97
Dari s = 19,6t – 4,9t2 a=-4,9 dan b=19,6
menentukan penyebab maksimum
t = -
= -
= 2
substitusi t ke fungsi
s = 19,6t – 4,9t2
= 19,6(2) – 4,9(2)2
= 39,2 – 19,6
= 19,6
jadi, ketinggian maksimumnya adalah 19,6 meter
Fungsi Eksponen
fungsi yang memetakan x terhadap a
f(x) = ax a≠0, a>1 , a∈R
dengan, 0<a<1 monoton turun
a>1 monoton naik
Contoh soal :
Gambarlah dalam satu grafik fungsi f(x) = 2x dan g(x) =
x !
tabel koordinat f(x)
x f(x) = 2x
-1
0 1
1 2
2 4
tabel koordinat g(x)
x f(x) =
x
-1 2
0 1
1
2
sumbu x sebagai asimtot (garis yang
didekati kurva tetapi tidak pernah
memotong)
Penerapan fungsi eksponen :
Peluruhan y = f(x) = k ∙ a-x
Pertumbuhan y = f(x) = k ∙ ax
Contoh soal :
Di laboratorium terdapat 25 bakteri. Setelah 2 jam jumlahnya bertambah
menjadi 100 bakteri. Jika bakteri tersebut terus bertambah secara eksponensial
yang dirumuskan B(x) = kax, berapakah jumlah bakteri setelah 4 jam ?
Jawab :
pertambahan B(x) = kax
jumlah mula-mula = 25 menentukan nilai k
B(0) = 25
ka0 = 25
k∙1 = 25
k = 25
menentukan nilai a
B(x) = kax setelah 2 jam
B(2) = 25 ∙ a2 = 100
a2 = 4
a = 2
4
3
2
1
0 -1 1 2
y
x
Rangkuman Kelas XII 98
rumus fungsi pada t jam
B(x) = kax
B(t) = 25∙2t
jumlah bakteri setelah 4 jam
B(4) = 25∙24
= 25∙16
= 400
jadi, jumlah bakteri setelah 4 jam adalah 400 bakteri
Fungsi Logaritma
merupakan invers dari fungsi eksponen
f(x) = alog x
ket :
1. 1/a log x = dicerminkan terhadap sumbu x
2. alog (x+b) = bergeser ke kanan
3. alog (x-b) = bergeser ke kiri
4. (alog x) + b = bergeser ke atas
5. (alog x) – b = bergeser kebawah
6. - alog x = dicerminkan terhadap sumbu y
Contoh soal :
Gambarlah grafik fungsi logaritma dari f(x) = 4 log x pada intrval 1≤x≤16 !
Jawab :
X 1 4 16
f(x) = 4 log x 0 1 2
Penerapan Fungsi Logaritma
Contoh soal :
Dalam waktu penelitian intensitas I dari sumber sinar semakin berkurang
menjadi I setelah melalui jarak d meter dalam kabut dapat dapat ditentukan
oleh rumus I=Io e0,14d. Pada jarak berapakah intensitas tersebut berkurang
menjadi 0,01 dari intensitas semula ?
jawab :
I = Io ∙ e-0,14d
Io ∙ 0,01 = Io ∙ e-0,14d
log 0,01 = log e-0,14d
log 10-2 = log e-0,14d
-2 = -0,14d ∙ log e e=2,71283...
-2 = -0,14d ∙ log 2,71283
-2 = -0,14d ∙ 0,43 daftar 1
-2 = -0,0602d
d = 33,2 meter
jadi, agar berkurang menjadi 0,01 jarak intensitas adalah 33,2 meter
2
1
0 4 8 12 16
f(x)
x
Rangkuman Kelas XII 99
Fungsi Trigonometri
1. Fungsi Sinus
Bentuk umum
f(x) = a sin bx
f(x) = a sin bx + k
nilai maksimum = y = a+k
nilai minimum = y = -a+k
amplitudo = a
periode = |
| = |
|
fungsi baku adalah berbentuk f(x) = sinx dengan interval -1 ≤ sin x≤ 1
gambar grafik baku f(x) = sinx untuk 0o ≤ x ≤ 360o
Contoh soal :
Tentukan nilai maksimum, minimum, periode, dan amplitudo fungsi
trigonometri sin 2x + 5 !
jawab :
a=1, b=2, k=5
nilai maksimum = a+k = 1+5 = 6
nilai minimum = -a+k = -1+5 = 4
periode =
=
= 180o
amplitudo = 1
Translasi Fungsi Sinus
untuk f(x) = a sin bx+k
bergeser k satuan ke atas
bergeser
satuan ke kiri
untuk f(x) = a sin bx – k
bergeser k satuan ke bawah
bergeser
satuan ke kanan
Contoh soal :
Tentukan persamaan grafik jika diketahui f(x)=sin2x – 1 ditranslasikan sejauh
π ke kiri !
jawab :
f(x) = sin2x – 1
= sin 2(x+
) – 1 positif karena ke kiri
= sin (2x + π) – 1
Rangkuman Kelas XII 100
2. Fungsi Cosinus
Bentuk umum
f(x) = a cos bx
f(x) = a cos bx + k
nilai maksimum = y = a+k
nilai minimum = y = -a+k
amplitudo = a
periode = |
| = |
|
fungsi baku adalah berbentuk f(x) = cosx dengan interval -1 ≤ cos x≤ 1
gambar grafik baku f(x) = cosx untuk 0o ≤ x ≤ 360o
Contoh soal :
Tentukan nilai maksimum, minimum, periode, dan amplitudo fungsi
trigonometri f(x)=cos x – 4 !
jawab :
a=1, b=1, k=-4
nilai maksimum = a+k = 1-4 = -3
nilai minimum = -a+k = -1-4 = -5
periode =
=
= 360o
amplitudo = 1
Translasi Fungsi Cosinus
untuk f(x) = a cos bx+k
bergeser k satuan ke atas
bergeser
satuan ke kiri
untuk f(x) = a cos bx – k
bergeser k satuan ke bawah
bergeser
satuan ke kanan
Contoh soal :
Tentukan persamaan grafik jika diketahui f(x)=3 cos
x – 2 ditranslasikan
sejauh 1 satuan ke bawah !
jawab :
f(x) = 3 cos
x – 2
= 3 cos
x – 2 – 1 minus karena ke bawah
= 3 cos
x –3
Rangkuman Kelas XII 101
3. Fungsi Tangen
Bentuk umum
f(x) = a tan bx
f(x) = a tan bx + k
periode = |
| = |
|
fungsi baku adalah berbentuk f(x) = tanx dengan interval -~ < x < ~
tan tdk memiliki nilai maksimum dan minimum, karena intervalnya -~ < x < ~
gambar grafik baku f(x) = sinx untuk 0o ≤ x ≤ 360o
Contoh soal :
Tentukan nilai maksimum, minimum, periode, dan amplitudo fungsi
trigonometri f(x)=3 tan x – 4 !
jawab :
a=3, b=1, k=-4
nilai maksimum dan minimum = ~
periode =
=
= 180o
amplitudo = ~
Translasi Fungsi Tangen
untuk f(x) = a tan bx+k
bergeser k satuan ke atas
bergeser
satuan ke kiri
untuk f(x) = a tann bx – k
bergeser k satuan ke bawah
bergeser
satuan ke kanan
Contoh soal :
Tentukan persamaan grafik jika diketahui f(x)=
tan(x –
) ditranslasikan
sejauh π ke kiri !
jawab :
f(x) =
tan(x –
)
=
tan(x –
+π)
=
tan(x +
)
Rangkuman Kelas XII 102
MATERI 11
PELUANG
Kaidah Pencacahan
1. Kaidah Penjumlahan
adalah menjumlahkan banyaknya kemungkinan (cara) yang dapat dilakukan.
Banyak cara yang dapat dilakukan adalah
n1+ n2+ n3+...+nk
Contoh soal :
Pejalan kaki menuju ke suatu tempat. Dihadapannya ada 2 jalan beraspal, 1 jalan
berbatu, dan 2 jembatan gantung. Berapa banyak jalurkah yang dapat dipilih
pejalan tersebut?
Jawab:
2 (jalan beraspal) + 1 (jalan berbatu) + 2 (jembatan gantung) = 5 jalur
2. Kaidah Perkalian
Aturan pengisian tempat yang tersedia. Secara umum, pengisian tempat yang
tersedia adalah
k1 xk2xk3x...xkn
Dengan : k1 : banyak cara mengisi tempat pertama
k2 : banyak cara mengisi tempat kedua
kn : banyak cara mengisi tempat ke-n
contoh soal :
Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari huruf P,E,L,A,N,G,I jika:
a. Huruf pertama vokal
Banyaknya huruf vokal : 3
3 6 5 4 3 2 1
3x6x5x4x3x2x1 = 2160 cara
b. Huruf pertama konsonan
Banyaknya huruf konsonan : 4
4 6 5 4 3 2 1
4x6x5x4x3x2x1 = 2880 cara
Dari angka 0,1,2,3,4,5 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka. Berapa
bilangan yang dapat disusun jika:
a. Angka boleh berulang
5 6 6 3
5x6x6x3 = 540 susunan bilangan
b. Angka tidak berulang
5 4 3 3
5x4x3x3 = 180 susunan bilangan
c. Angka nol sebagai satuan
5 4 3 1
tempat pertama diisi 3 huruf vokal
tempat kedua diisi 6 huruf yang tersisa
Jumlah kolom ada 7 sesuai dengan jumlah total huruf soal
selanjutnya diisi 5 huruf yang tersisa, dst.
Jumlah kolom ada 4 sesuai dengan soal
tempat pertama diisi 5 angka, karena 0 tidak dapat menduduki nilai tempat puluhan,
ratusan, ribuan, dst.
Jumlah seluruh bilangan
Jumlah bilangan yang tersisa
Jumlah bilangan 0 cuma 1
Rangkuman Kelas XII 103
5x4x3x1 = 60 susunan bilangan
d. Angka nol tidak sebagai satuan
4 4 3 2
4x4x3x2 = 96 susunan bilangan
3. Faktorial
Untuk tiap n bilangan asli didefinisikan :
n! = nx(n-1)x(n-2)x(n-3)x ... x3x2x1 atau
n! = 1x2x3x ... x(n-3)x(n-2)x(n-1)xn
n! dibaca n faktorial
contoh soal :
a.
=
= 9∙7 = 63
b.
=
= n(n-1) = n2-n
Nyatakan dalam notasi faktorial!
c.
=
d. (n+2)(n+1)n(n-1) =
e. Tentukan harga n yang memenuhi persamaan :
4!(n+2)! = 3!(n+3)!
4∙3!(n+2)! = 3!(n+3)(n+2)!
4 = n+3
n = 1
Permutasi
Adalah penyusunan unsur-unsur dengan memperhatikan urutannya.
1. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah
nPr =
dimana r≤n
dan banyaknya permutasi n unsur adalah
nPn = n!
Contoh soal :
Tersedia 3 huruf yang disusun 2 huruf, maka permutasi 2 unsur dari 3 unsur
adalah...
3P2 =
=
=6
5P5 = 5! = 5x4x3x2x1 = 120
2. Permutasi yang memuat unsur-unsur yang sama
Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama,
dst. Ditentukan
=
Contoh soal :
1. Berapa huruf yang dapat dibentuk dari huruf T,E,R,C,E,C,E,R ?
n (jumlah semua huruf) =8, T=1, E=3, R=2, C=2
=
=
= 8x7x6x5 = 1680
2. Ada 6 bendera berwarna, keenam bendera itu akan disusun secara
berdampingan. Berapa banyaknya urutan warna yang dapat terbentuk, jika
6 bendera itu terdiri dari 3 berwarna hijau, 2 berwarna merah dan 1
berwarna biru.
Rangkuman Kelas XII 104
=
=
= 60
3. Permutasi siklis
Banyaknya permutasi siklis (berputar) dari n unsur adalah
P(s) = (n-1)!
Contoh soal :
Dalam suatu pertemuan yang diahdiri 3 orang Cina, 2 orang Arab, dan 4 orang
Belanda. n=1 , A(Arab)=2, B(Belanda)=4, C(Cina)=3
Tentukan :
1. Apabila duduk mengelilingi meja bundar, berapa cara untuk
menempati tempat duduk tersebut?
P(s) = (9-1)! = 8! = 40.320 cara
2. Apabila duduk mengelilingi meja bundar dan orang Belanda harus selalu
berdampingan, berapa cara untuk menempati tempat duduk tersebut?
P(s) = 4P4 ∙ (6-1)!
= 4! ∙ 5!
= 24 ∙ 120
= 2880 susunan
3. Apabila duduk mengelilingi meja bundar dan orang Cina harus selalu
berdampingan, berapa cara untuk menempati tempat duduk tersebut?
P(s) = 3P3 ∙ (7-1)!
= 3! ∙ 5!
= 6 ∙ 720
= 4320 susunan
Kombinasi
Adalah pemilihan satu atau lebih elemen-elemen dari suatu himpunan yang
diberikan tanpa memperhatikan urutannya. Banyaknya kombinasi r unsur yang
diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan dengan
nCr =
dimana r≤n
Contoh soal :
1. Dalam pelatnas bulu tangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 pemain
putri. Berapa banyak pasangan ganda yang dapat dipilih untuk :
- Ganda putra
10C2 =
=
= 45
- Ganda putri
8C2 =
=
= 28
- Ganda campuran
10C1 ∙ 8C1 =
∙
=
∙
=
∙
= 80
2. n+1C4 = nC3
=
B
B
B
B
A
A
C C
C
Dianggap 1 unsur Permutasi
Belanda
Permutasi
Cina
Rangkuman Kelas XII 105
=
= 1
n+1 = 4
n = 3
Peluang
- Peluang Suatu Kejadian
Titik sampel : hasil dari melakukan percobaan n(A)
Ruang sampel : semua kejadian yang mungkin terjadi dalam percobaan n(S)
Jika A adalah suatu kejadian dengan A ⊂ S, maka peluang kejadian A adalah
P(A) =
Peluang terbatas pada kisaran 0≤P(A)≤1 dan
Jika P(A) = 1 kepastian
Jika P(A) = 0 mustahil
Contoh soal :
Dua dadu (hijau dan ungu) dilempar secara bersama sebanyak satu kali.
Berapa prosen peluang keluarnya mata dadu yang sama dengan 7?
Jawab :
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (1,2) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (1,3) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (1,4) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (1,5) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (1,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
n(S) = (1,1)(1,2)...(6,6) = 36
n(A) = (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) = 6
P(A) =
=
=
x 100% = 67%
jadi, peluang munculnya dadu sama dengan 67%
Sebuah kotak berisi 4 kuning dan 5 biru. Tentukan peluang terambil 2 biru dan
1 kuning jika diambil 3!
A = kejadian terambil 2 biru dan 1 kuning
n(S) = 9C3
=
=
=
= 84
n(A) = 5C2 ∙ 4C1
=
∙
=
∙
= 10 ∙ 4 = 40
P(A) =
=
=
- Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Misal suatu percobaan dilakukan sebanyak N kali dengan peluang kejadian A
adalah P(A), maka frekuensi harapan kejadian A adalah
Fh(A) = N∙P(A)
Contoh soal :
Rangkuman Kelas XII 106
Tiga keping mata uang logam dilempar bersama sebanyak 32 kali. Tentukan
frekuensi harapan munculnya :
1. 3 gambar
P(3 gambar) =
Fh(3 gambar) = 32 ∙
= 4
2. 2 angka 1 gambar
P(2 angka 1 gambar) =
Fh(2 angka 1 gambar) = 32 ∙
= 12
- Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Contoh soal :
Dua buah dadu dilempar bersama, tentukan peluang munculnya jumlah mata
dadu yang bukan 7!
A = kejadian jumlah kedua dadu bukan 7
Ac = kejadian jumlah kedua dadu 7
P(Ac) =
P(A) = 1 - P(Ac)
= 1 -
=
- Peluang Gabungan Dua Kejadian
Jika A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka peluangnya :
P(A∪B) = P(A)+P(b)-P(A∩B)
Contoh soal :
Dua buah dadu (putih dan merah) dilempar bersama. Berapa peluang
munculnya mata dadu putih ≤ 3 dan mata dadu merah ≤ 2?
Jawab :
A = {(1,1),(1,2),...,(3,6)} dadu putih
n(A) = 18
P(A) =
B = {(1,1),(1,2),...,(6,2)} dadu merah
n(B) = 12
P(B) =
A∩B = {(1,2),(1,2),(2,1),(3,1),(3,2)}
n(A∩B) = 6
P(A∩B) =
P(A∪B) = P(A)+P(b)-P(A∩B)
=
+
-
=
=
- Peluang Gabungan Dua Kejadian Yang Saling Lepas
Jika A dan B adalah 2 kejadian yang saling lepas, maka peluang kejadian :
P(A∪B) = P(A)+P(B)
BAGAN 3 KEPING UANG LOGAM
A
A A
G
G A
G
G
A A
G
G A
G
AAA
AAG
AGA
AGG GAA
GAG
GGA
GGG
A
Ac
S Ac adalaha kejadian yang terjadi jika dan hanya jika A
tidak terjadi, maka
P(A)+P(Ac)=P(s)
P(A)+P(Ac)= 1
P(Ac) = 1-P(A)
Rangkuman Kelas XII 107
Contoh soal :
Sebuah dadu memiliki 6 mata dilempar sekali. Berapa peluang munculnya
mata dadu ≤ 2 atau ≥ 5 ?
n(S) = 6
A = {1,2} ≤ 2
n(A) = 2
P(A) =
B = {5,6} ≥ 5
n(B) = 2
P(B) =
P(A∪B) = P(A)+P(B)
=
+
=
=
- Peluang Dua Kejadian Yang Saling Bebas
Kejadian A dan B disebut saling bebas jika dan hanya jika
P(A∩B) = P(A)∙P(B)
Contoh soal :
Jika dua buah dadu (merah dan putih) dilempar, maka tentukanlah peluang
munculnya mata dadu merah ≤ 2 dan dadu putih >3!
n(S) = 6 dadu merah
A = {1,2} dadu merah ≤ 2
n(A) = 2
P(A) =
n(S) = 6 dadu putih
B = {4,5,6} dadu putih > 3
n(B) = 3
P(B) =
P(A∩B) = P(A)∙P(B)
=
∙
=
- Peluang Dua Kejadian Yang Bersyarat
Kejadian A dan B disebut bersyarat jika kejadian B dapat terjadi setelah
kejadian A terjadi.
P(
) = P(A)∙P(B)
Contoh soal :
Dalam sebuah kantong berisi 6 butir kelereng merah dan 4 butir kelereng
putih. Diambil 2 kelereng dengan cara mengambil 1 per 1 tanpa pengembalian.
Tentukanlah peluang terambilnya kelereng pertama merah dan kedua putih!
n(S) = 10 jumlah seluruh kelereng
A = kelereng merah
n(A) = 6
P(A) =
n(S) = 9 jumlah seluruh kelereng -1 setelah pengambilan pertama
B = kelerang putih
n(B) = 4
P(B) =
P(
) = P(A)∙P(B)
=
∙
=
Rangkuman Kelas XII 108
MATERI 12
DIMENSI 3 (BANGUN RUANG)
Unsur-Unsur Bangun Ruang
1. Sisi = bidang batas dari bangun ruang, ada 3 jenis sisi : alas, atas, dan tegak.
2. Rusuk = perpotongan garis dari 2 sisi.
3. Titik sudut = titik perpotongan beberapa rusuk / perpotongan 3 sisi.
4. Diagonal Sisi/Bidang = ruas garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang
berhadapan pada sisi.
5. Diagonal Ruang = ruas garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang
berhadapan pada bangun ruang.
6. Bidang Diagonal = bidang yang dibentuk oleh 2 diagonal sisi / 2 diagonal
ruang / 2 sisi yang berhadapan pada bangun ruang.
Rumus Umum Luas dan Volume Bangun Ruang
1. Kubus
Rusuk yg sejajar
AB//CD//GF//GH
AE//BF//CG//DH
AD//BC//FG//EH
Bidang yg sejajar
ABCD // EFGH ; ABFE // CDHG ; BCFG // ADHE
Garis Frontal (garis pada bangun
yg dilukis dengan ukuran yg
sebenarnya)
Horisontal = AB, CD, EF, GH
Vertikal = AE, DH, BF, CG
Garis Ortogonal (garis yg dilkis
tidak dengan ukuran sebenarnya,
tapi menggunak perbandingan
proyeksi)
AD , BC , EH , FG
Bidang Frontal
ABFE , CDHG
s = sisi kubus
Bidang ortogonal
ABCD , EFGH , ADHE , BCGF
Diagonal Sisi
AC, BD, AF, BE, BG, CF, CH, DG, AH,
DE, EG, FH
Ds = s√
Diagonal Ruang
AG, BH, CE, DE
Dr = s√
Bidang Diagonal
ABGH, BCHE, CDFH, ADFG, DBFH,
ACGE
L bd. diagonal = s2√
L tertutup = 6 ∙ s2
Volume = s3
s
s s
Rangkuman Kelas XII 109
2. Balok
Diagonal Sisi
ac = √
bg = √
be = √
Diagonal Ruang
bh = √
Luas Bidang Diagonal
abgh = p ∙ √
bche = l ∙ √
acge = t ∙ √
p = panjang
l = lebar
t = tinggi
L tertutup = 2 (pl+pt+tl)
Volume = p ∙ l ∙ t
3. Prisma
jika L alas ∆ :
1. L ∆ =
2. L ∆ =
∙ a ∙ b ∙ sin C
=
∙ a ∙ c ∙ sin B
=
∙ b∙ c ∙ sin A
3. L ∆ = √
4. L ∆ = 2R2 ∙ sin A ∙ sinB ∙ sinC
ket.
a = alas ∆
t = tinggi ∆
s =
∙ kell ∆
L selimut = kell alas ∙ t prisma
L tertutup = 2 (L alas) + L selimut
Volume = L alas ∙ t prisma
4. Tabung
L O = π ∙ r2
L selimut = kell O ∙ t
= 2 ∙ π r ∙ t
r = jari-jari tabung dan t = tinggi tabung
L tertutup = 2 L O + L selimut
= 2 (π ∙ r2) + (2 ∙ π r ∙ t)
Volume = L O ∙ t
= π ∙ r2 ∙ t
p
l
t
t
Rangkuman Kelas XII 110
5. Kerucut
L selimut = π ∙ r ∙ a
a = apotema
= √
L tertutup = L O + L selimut
= (π ∙ r2 )+ (π ∙ r ∙ a)
Volume =
∙ L O ∙ t
=
∙ π ∙ r2 ∙ t
Kerucut terpancung
L selimut = π ∙ a (r1+r2)
a = √
L alas = D = π ∙ r22
L tutup = A = π ∙ r12
r1 = jari-jari O atas
r2 = jari-jari O bawah
L tertutup = L alas + L tutup + L selimut
Volume =
∙ π ∙ t ∙ (r1
2 + r2 2 + r1 r2)
6. Limas
L alas = jika = p ∙ l
= jika = s2
= jika ∆ =
L selimut = jml L sisi tegak
L tertutup = L alas + L jml sisi tegak
Volume =
∙ L alas ∙ t prisma
Limas terpancung
L dasar = D
L atas = A
L selimut = jml L sisi tegak
L tertutup = D + A + L selimut
Volume =
∙ t (D+A+√ )
7. Bola
r = jari-jari bola
L bola pejal/padat = 4 π r2
Volume =
π r2
a
r2
r1
a t
A
D
Rangkuman Kelas XII 111
8. Euler
adalah sebuah rumus yg menyatakan relasi antara banyaknya :
S = sisi
T = titik sudut
R = rusuk
S+T = R+2
Contoh soal :
1. Perbandingan panjang rusuk ABCD.EFGH dengan kubus KLMN.PQRS adalah
1:3, jumlah luas permukaan kedua kubus adalah 240 cm2 . Hitunglah
perbandingan panjang diagonal ruang dan perbandingan volumenya!
jawab :
=
s2 = 3s1
L1 + L2 = 6 ∙ s12 + 6 ∙ s2
2
240 = 6 ∙ s12 + 6 ∙ (3s1)
2
240 = 6s12 + 54s1
2
240 = 60s12
s12 = 4
s1 = √
= 2 cm
s2 = 3s1
= 3∙2cm
= 6cm
diagonal ruang1 = s1√
= 2√ cm
diagonal ruang2 = s2√
= 6√ cm
d1 : d2 = 2√ : 6√
= 1 : 3
v1 = s13 = 23 = 8 cm3
v2 = s23 = 63 = 216 cm3
v1 : v2 = 8 : 216
= 1 : 27
2. Luas bidang diagonal sebuah balok yg memuat 2 buah rusuk tegak = √ cm3,
jika panjang balok 5cm dan tingginya 3 cm, tentukan lebar, luas, dan volume
balok !
jawab :
L bidang = t √
(√ )2 = (3 √ )2
369 = 9 (52 + l2) :9
25 + l2 =41
l2 = 16
l = √
= 4 cm
Luas balok = 2 (pl+pt+tl)
= 2 (5∙4 + 5∙3 + 3∙4)
= 2 (20+15+12)
= 2 ∙ 47
= 94 cm2
volume balok = p ∙ l ∙ t
= 5 ∙ 4 ∙ 3
= 60 cm3
3. Prisma segi-6 beraturan seperti gambar dengan rusuk alas 3 m dan rusuk
tegak 4 m. Tentukan :
a. Panjang diagonal sisi alas yg melalui pusat alas
t
l p
Rangkuman Kelas XII 112
b. Panjang diagonal sisi tegak
c. Luas prisma tsb
d. volume prisma tsb
jawab :
a. diagonal alas = 3m+ 3m=6m
b. diagonal sisi tegak = √
= √
= √
= 5m
L AOB =
∙ AO ∙ BO sin 60°
=
∙ 3 ∙ 3 ∙
√
=
√
L alas = 6 ∙ L AOB
= 6 ∙
√
=
√
L selimut = kell alas ∙ t
= 6 ∙ 3 ∙ 4
= 72
c. L prisma = 2 L alas + L selimut
= 2 ∙
√ + 72
= (27√ +72)cm2
d. volume = L alas ∙ t
=
√ ∙ 4
= 54√ cm3
4. Bidang 4 siku-siku dititik sudut B. Jika AB=BC=6 dan TA=8. Tentukan :
a. Gambar bidang 4
b. Luas bidang 4
jawab :
L ∆ABC =
∙ AB ∙ BC
=
∙ 6 ∙ 6
= 18 cm2
TB = √
= √
= √
= √
= 2√
L ∆TAB =
∙ AB ∙ TB
=
∙ 6 ∙ 2√
= 6√ cm2
AC = √
= √
= 6√
AE = EC = 3√
4
3
O F
E D
C
B A
T
C
A
B 6
8
E
Rangkuman Kelas XII 113
TE = √
= √ √
= √
= √
L ∆TAC =
∙ AC ∙ TE
=
∙ 6√ ∙ √
= 3 ∙ √ ∙ √ ∙ √
= 6√ cm2
L limas = L ∆ABC + L ∆TAC + 2 ∙ L ∆TAB
= 18 cm2 + 6√ cm2 + 2 ∙ 6√ cm2
= (12√ +6√ +18) cm2
Hubungan Titik, Garis, dan Bidang
1. Jarak titik ke titik
panjang garis lurus terpendek
contoh (perhatikan kubus) :
Jarak titik A ke B = a
Jarak titik C ke F = a√
Jarak titik D ke F = a√
Jarak titik H ke O =
√
Jarak titik O ke L = a
Jarak titik dari H ke L =
HL2 = OL2 + OH2
HL = √
√
= √
= √
= √
= a√
= a√
√ x
√
√
= √
=
a √
2. Jarak titik ke garis
dari titik tegak lurus ke garis
contoh (perhatikan kubus) :
Jarak titik A ke BC = AB = a
Jarak titik C ke BD = CL =
a√
Jarak titik B ke HF = BF = a
P
O
K
L A
E
D C
B
G
F
H
Rangkuman Kelas XII 114
3. Jarak titik ke bidang
dari titik tegak lurus ke bidang
contoh (perhatikan kubus) :
Jarak titik D ke EFGH = DH =
a
Jarak pertengahan CG (p) ke
BDHF = KP =
a√
Jarak K ke ADHE =
a
4. Jarak antara 2 garis
Garis k ┴ g dan k ┴ l, garis k
memotong g di A dan memotong l
di B maka jarak antara garis g
dan l adalah panjang AB
contoh (perhatikan kubus) :
Jarak AB ke FH = BF = a
Jarak DH ke BF = BD = FH =
a√
5. Jarak garis ke bidang
Garis l ┴ k dan memotong di P,
garis l ┴ bidang U , dan
memotong di Q maka jarak garis
k ke bidang U adalah panjang PQ
contoh (perhatikan kubus) :
Jarak AB ke EFGH = AE = BF
= a
Jarak EG ke ABCD = AE = CG
= OL = a
Contoh soal :
Diketahui bidang 4 beraturan dengan rusuk 4 satuan, tentukan tinggi bidang 4 tsb !
jawab :
CD2 = BC2 – BD2
CD2 = a2 – (
a) 2
CD = √
= √
= √
TE2 = CD2 – DT2
TE2 = CD2 –
CD2
TE2 = (√
)2 – (
√
)2
TE2 =
a2 -
∙
a2
TE2 =
a2 -
a2
TE2 =
a2
TE = √
=
a
k
A
B l
g
k
p
u
l
T
B
A
C
a
E
a a D
Rangkuman Kelas XII 115
Sudut-Sudut Dalam Ruang
1. Sudut antara 2 garis
ambil sudut terkecil
∠ (k,l) = ∠ (k’,l)
contoh (perhatikan kubus) :
a. ∠ (AB, CG) = ∠(AB,BF)
= ∠(AB,AE)
= 90o
b. ∠ (AC,DH) = ∠(AC,AE)
= ∠(AC,CG)
= 90o
c. tan ∠ (AG,AC) =
=
√
=
√
=
√
d. ∠ (BG,EG) = 60o (∆BEG sama sisi)
e. cos ∠ (BO,FH) = cos ∠ BOF
=
=
√
√
= √
√ √
=
√
2. Sudut antara garis dan bidang
∠ (k, bidang V) = sudut antara k dengan proyeksi ke bidang V
contoh (perhatikan kubus):
a. ∠ (AH, ABCD) = ∠ (AH,AD)
= 45o
b. sin ∠ (DF,EFGH) = ∠ (DF,FH)
=
=
√
=
√
3. Sudut antara 2 bidang
bidang U dan V berpotongan dengan garis potongnya (U,V) garis k ┴ (U,V)
pada bidang U dan garis l ┴ (U,V) pada bidang V, maka ∠ (U,V) = ∠ (k,l)
contoh (perhatikan kubus) :
a. ∠ (ADHE,EFGH) = ∠ (AE,EF)
= 90o
b. ∠ (BAH,ABCD) = ∠ (AH,AD)
= 45o
l
k’ k
OB2 = BF2 + OF2
OB2 = a2 + (
√ )2
OB2 = a2 +
a2
OB = √
= a√
√ x
√
√
=
a√
V
Q
k’
k
k
l
U (U,V)
V
A
E
D C
B
G
F
H
A
E
D C
B
G
F
H O
A
E
D C
B
G
F
H
Rangkuman Kelas XII 116
Contoh soal :
Tentukan besar sudut-sudut berikut dari kubus dibawah ini !
a. ∠ (BE,GE) = 60 °
b. ∠ (ED,DC) = 90 °
c. ∠ (AH,HC) = 60 °
d. ∠ (HF,EA) = 90 °
e. cos P =
=
√
√
= 1
f. sin Q =
=
√ =
√
g. tan ∠ DHB =
=
√
= √
h. tan ∠ ECA =
=
√ =
√
i. sin ∠ DHB =
=
√
√ =
√
√ x
√
√ =
√
j. sin ∠ (HF,CD) =
=
√ =
√
A
E
D C
B
G
F
H
P
Rangkuman Kelas XII 117
MATERI 13
VEKTOR
Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Seperti : kecepatan, gaya,
geseran, dsb.
A titik pangkal
B titik terminal (ujung)
Notasi “vektor dengan pangkal A dan ujung B diwakili a = = ”
Vektor yang sama, berlawanan, dan nol
1. Vektor yang sama jika kedua vektor memiliki besar dan arah sama.
2. Vektor yang berlawanan jika kedua vektor memiliki besar sama, tapi
berbeda arah.
3. Vektor nol vektor yang besarnya nol dan arahnya boleh kemana saja dan
dilambangkan 0.
Contoh soal :
Tentukan vektor manakah yang keduanya sama !
a.
b.
c.
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Ada 2 metode :
1. Metode Grafis
1. Metode Jajaran Genjang
Cara = 2 buah vektor yang akan dijumlahkan disatukan pangkalnya.
Kemudian dibuat jajaran genjang. Hasil penjumlahan vektornya
adalah diagonal jajaran genjang tsb.
a + b = b + a dan a - b ≠ b - a
2. Metode Segitiga
Cara = satukan kedua ujung vektor, buat vektor dengan pangkalnya di A
dan ujungnya di ujung B. Hasil penjumlahan adalah vektor yang baru
dibuat tsb.
A
B a
a a
a -a
a. Vektor p ≠ q (tidak sama)
b. Vektor a = b (sama)
c. Vektor r = -s (berlawanan)
p
q a b
r s
a
b
Rangkuman Kelas XII 118
3. Metode Poligon
Untuk menjumlahkan 3 vektor / lebih
Cara = satukan semua vektor dari ujung ke pangkal satu sama lain.
Kemudian buat vektor baru dengan pangkal di pangkal vektor
pertama dan ujung diujung vektor terakhir.
Contoh soal :
Sederhanakan bentuk berikut :
a. a + c + b = f
b. k + d + (-a) = 0
c. d + b + c = e
d. k + e =f
2. Metode Analitis
|a| baca besar a , |a+b| baca besar a+b
Contoh soal :
1. Diketahui besar vektor a adalah 3 dan besar vektor b adalah 4 yang
membentuk sudut 120°. Tentukan besar a – b !
Jawab :
|a|=3 , |b|=4 , dan α = 120°
|a–b|2 = |a|2+|b|2 –2|a||b| cos α
= 32 + 42 – 2 ∙ 3 ∙ 4 cos 120°
= 9 + 16 – 24 ∙ -
= 25 + 12
|a–b|2 = 37
|a–b| = √
Jadi besar a – b adalah √
2. Diketahui vektor r dan s , |r|=5 dan |r+s|=10, kedua vektor membentuk
sudut 60°, tentukan |s| !
|r+s|2 = |r|2+|s|2 +2|r||s| cos α
102 = 52 +|s|2 + 2∙5∙|s| cos 60o
100 = 25 +|s|2 + 10∙
|s|
75 = |s|2 + 5|s|
0 = |s|2 + 5|s| - 75
|s| = √
𝐅 = a + b
𝐅 = a + b + c + d
|a+b|2 = |a|2+|b|2+2|a||b| cos α
|a–b|2 = |a|2+|b|2 –2|a||b| cos α
a
b a+b
a
d c b
f
k d
e
a b
c
a a a
-b b
α α
Rangkuman Kelas XII 119
= √
= √
= √
= √
= √
|s| = √
gunakan yang positif
Perkalian Vektor Dengan Skalar
Jika suatu vektor ditulis dalam bentuk
koordinat kartesius :
a = (x1,y1) = (
) maka,
k∙a = k (
) = (
) , k ∈ R
contoh soal :
1. Diketahui r = ( ), s = (
), u = ( ), dan v = (
). Hitunglah 3(r-s)+2(u-v)!
Jawab :
3(r-s)+2(u-v) = 3[( )-(
)]+2[( )-(
)]
= 3( ) + 2(
)
= (
) + ( )
= (
)
2. Diketahui a ( ) dan b (
) yang berimpit. Tentukan nilai x !
Jawab :
a = m ∙ b
a = m ∙ b
( ) = m ∙ (
)
( ) = (
)
16 ∙ m = 2
m =
x = 72 m
= 72 ∙
= 9
Vektor Posisi, Besar Vektor, dan Vektor Satuan
1. Vektor Posisi
Adalah vektor yang pangkalnya di titik O(0,0)
Vektor dan vektor posisinya adalah
vektor a dan b
= + (- )
= -
= b – a
Jika A(x1,y1) dan B(x2,y2)
a
2a
-2a
a
b
A
B
0 x
y
Rangkuman Kelas XII 120
Maka = b – a
= (
) - (
)
= (
)
2. Besar Vektor
Besar vektor a dilambangkan |a|
|a| = √
|b| = √
| | = √
3. Vektor Satuan
Vektor satuan dilambangkan e. Vektor satuan dari vektor a adalah ea
ea =
=
(
)
√ ( )
=
=
(
)
√ ( )
Contoh soal :
Dikethui titik A(2,-1) dan B(5,3), tentukanlah :
1. Vektor posisi dan yang diwakili a dan b!
2. Vektor dan !
3. | | dan | |
4. ea > eb dan !
jawab :
1. = a = (
)
= b = ( )
2. = b – a
= ( ) - (
)
= ( )
= a – b
= (
) ( ) -
= (
)
3. | | = √
= √
= √
= √
= 5
| | = √
= √
= √
= √
= 5
4. ea =
= (
)
√
= (
)
√
= (
√
√
)
= (
√
√
)
eb =
= ( )
√
= ( )
√
= (
√
√
)
Rangkuman Kelas XII 121
= (
√
√
)
=
= ( )
= (
)
Vektor di Bangun Ruang (R3)
Vektor a di R3 dinyatakan dengan
a = (x1, y1, z1) i = ( )
= (
) = (
) (bentuk komponen) j = ( )
= x1i + y1j + z1k (bentuk linear) k = ( )
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor di R3
a+b+c = (
)
berlaku sifat :
komutatif a+b=b+a
assosiatif (a+b)+c = a+(b+c)
unsur identitas dari vektor 0 a+0=0+a=a
invers tambah a+b=0
contoh soal :
tentukan vektor invers tambah dari b=(
)!
Misalkan a=(
)
a+b = 0
= (
) + (
)=( )
= (
) =( )
a1+4 = 0
a1 = -4
a2-5 = 0
a2 = 5
a3+6 = 0
a3 = -6
jadi, invers tambahnya a=(
)
a-b = a+(-b) = (
)
Perkalian Vektor di R3
k∙a = k (
) = (
) , k ∈ R
y
x
z
-y
-x
-z
k
j
i
Rangkuman Kelas XII 122
Vektor Posisi
Jika A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2)
Maka = b – a
= (
)
= (x2 - x1)i + (y2 - y1)j + (z2 - z1)k
Besar Vektor
|a| = √
|b| = √
| | = √
Vektor Satuan
ea =
=
(
)
√ ( )
=
=
(
)
√ ( )
Contoh soal :
1. Diketahui koordinat A(5, -2, 3), B(-2, 1, 5) dan C(0, 6, -3). Tentukan vektor
posisi dan vektor linear dari , , !
Jawab :
Ubah koordinat ke vektor
a=(
) b=(
) c=(
)
Vektor posisi
= b-a = (
) - (
) = (
) -7i+3j+2k
= c-b = (
) - (
) = (
) 2i+5j-8k
= a-c = (
) - (
) = (
) 5i-8j+6k
2. Jika a=3i+4j-2k, b=3i+4k, c=4j+8k, mak tentukan masing-masing panjang
vektornya!
|a| = √ = √ = √
|b| = √ = √ = 5
|c| = √ = √ = √ = 4√
3. Diketahui ∆ABC dengan A(3, 5, -2), B(1, -3, 4), dan C(-3, 4, 1). Hitunglah
kelilingnya ! Menghitung panjang sisi ∆ dengan mengubah koordinat menjadi vektor posisi
= b-a = (
) - (
) = (
)
| | = √
= √
= 2√
Rangkuman Kelas XII 123
= c-b = (
) - (
) = (
)
| | = √
= √
= a-c = (
) - (
) = (
)
| | = √
= √
Kell ∆ = | | + | | + | |
= 2√ + √ + √
Pembagian Ruas Garis di R3 Dalam Vektor
1.
2.
3.
Contoh soal :
1. Diketahui titik A(3, 0, 6) dan B(0, 3, -3). Titik P membagi AB di dalam
dengan perbandingan AP:AB=1:2. Tentukan koordinat titik P!
Jawab :
A( ) dan B(
)
=
P =
=
( ) (
)
=
( ) (
)
=
( )
= ( ) jadi, koordinat P(1, 2, 0)
2. Diketahui titik P (1, -2, -8) dan Q(3, -4, 0). Titik R membagi PQ di luar
dengan perbandingan 3:1. Jika r adalah vektorposisi dari titik R, tentukanlah
koordinat R!
P(
) dan Q(
)
=
c =𝐧𝐚 𝐦𝐛
𝐦 𝐧
𝒎
𝒏
c =𝐧𝐚 𝐦𝐛
𝐧 𝐦 -
𝒎
𝒏
c =𝐦𝐛 𝐧𝐚
𝐦 𝐧 -
𝒎
𝒏
A B
n m
C
n m
B C A
n m
C B A
Rangkuman Kelas XII 124
R =
=
(
) (
)
=
(
) (
)
=
(
)
= (
) jadi, koordinat R(4, -5, 4)
3. Titik A(2, 3, 4), B(9, -11, 18) dan C(x, y, -10) segaris. Tentukanlah nilai x
dan y!
Jawab :
a=( ) b=(
) c=(
)
= k ∙ jika vektor segaris
(b-a) = k ∙ (c-b)
(
)-( ) = k ∙ [(
) (
)]
(
) = k ∙ (
)
menentukan nilai k
14 = -28 ∙ k
k = -
menentukan nilai x
7 = k (x-9)
7 = -
(x-9)
7 = -
+
=
X = -5
menentukan nilai y
-14 = k (y+11)
-14 = -
(y+11)
-14 = -
-
=
Y = 17 jadi nilai x adalah -5 dan y adalah 17
Perkalian Skalar 2 Vektor
a=(
) = a1i + a2j + a3k
b=(
) = b1i + b2j + b3k
a∙b = |a| |b| cos α
= a1∙b1 + a2∙b2 + a3∙b3
α
a
b
Cos α =
| || |
=
| || |
Contoh soal :
Tentukan nilai p agar vektor a=i+2j dan b=4i-pj+k saling tegak lurus !
Jawab :
a∙b = a1∙b1 + a2∙b2 + a3∙b3
= 1∙4 + 2(-p) + 0∙1
= 4-2p
a ┴ b pada a∙b = 0
a∙b = 0
4-2p = 0
-2p = 4
p = -2
jadi yang memenuhi adalah p=-2
Jika A(4, 3, 5), B(1, 1, 1), dan C(-1, 10, -2), tunjukan bahwa ∆ABC segitiga
siku-siku!
a=( ), b=(
) , c=(
)
= b-a = ( ) - (
) = (
) p
= c-b = (
) - ( )= (
) q
p∙q = (-3)(-2) + (-2)9 + (-4)(-3)
= 6-18+12
= 0
Cos α =
| || |
Cos α =
Cos α = 0
α = arc cos 0
α = 90° jadi ∆ABC adalah siku-siku
Diketahui jajaran genjang ABCD dengan |AB|=8, |AD|=6 dan ∠ABC=120°.
Jika u adalah vektor AB dan v adalah vektor AD, berapakah nilai u∙(u-v)?
|AB| = |u| = 8
|AD| = |v| = 6
u∙(u-v) = u∙u – u∙v
= |u| |u| cos 120° - |u| |v| cos 60°
= 8∙8∙-
– 8∙6∙
= -32 – 24
= -56
Perkalian Vektor 2 Vektor
a= a1i + a2j + a3k
b= b1i + b2j + b3k
s= vektor satuan yg tegak lurus dengan vektor a & b
A
C
B
A B
D C
60° 6
8
α
a b
s
Rangkuman Kelas XII 126
axb = |a||b| sin α ∙ s
= |
|
= (a2b3 – a3b2)i + (a3b1 – a1b3)j + (a1b2 – a2b1)k
Contoh soal :
Diketahui a=( ) dan b=(
). Tentukan axb dan bxa !
axb = |
| i|
| , j|
| , k|
|
= i|
| - j|
| + k|
|
= (2∙2 – 0∙4)i – (1∙2 – (-1)∙4)j + (1∙0 – (-1)∙2)k
= (4-0)i – (2+4)j + (0+2)k
= 4i – 6j + 2k
bxa = -4i + 6j - 2k dibalik (+) dan (-)
Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks merupakan gabungan bilangan real (nyata) dan imajiner
(khayal) yang dihubungkan dengan tanda penjumlahan atau pengurangan.
Notasinya : z = a+bi dengan
a, b ∈ R dan i= bilangan imajiner, dengan i=-1 i2 = -1
Bentuk bilangan kompleks ada 2 :
1. Bentuk Siku
Z = a+bi , dengan
a = r ∙ cos θ
b = r ∙ sin θ
2. Bentuk Polar
Z = a+bi
= r
Z = r ∠ θ , dengan
r = √
θ = arc tan
contoh soal :
Ubah z = 3 – 3i ke bentuk polar
a = 3 dan b = -3
r = √
= √
= √
= 3√
θ = arc tan
= arc tan
= arc tan -1
= 45°
= (360° - 45°) kuadran IV karna a
dan -b
= 315°
Jadi, z = 3√ ∠ 315°
Ubah z = 4 ∠ 135° ke bentuk siku
r = 4 dan θ = 135°
a = r ∙ cos θ
= 4 ∙ cos 135°
= 4 ∙ -cos 45°
= 4 ∙ -
√
= -2√
b
a
I
R
r
θ
b
a
Z=a+bi
0 Sumbu nyata
Sumbu imajiner
Rangkuman Kelas XII 127
b = r ∙ sin θ
= 4 ∙ sin 135°
= 4 ∙ sin 45°
= 4 ∙
√
= 2√
Jadi, z = -2√ + 2√ i
Operasi Hitung Bilangan Kompleks
Penjumlahan Bilangan Kompleks
- Jika keduanya bentuk siku
(a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+a2)+(b1+b2)i
Contoh soal :
2(4+2i)+(6-2i) = 8+4i+6-2i
= 14+2i
- Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku, maupun keduanya bentuk polar
Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi
hitung bilangan kompleks.
Contoh soal :
(4+6i) + 8 ∠ 30°
r = 8 dan θ = 30°
a = r ∙ cos θ
= 8 ∙ cos 30°
√
= 4√
b = r ∙ sin θ
= 8 ∙ sin 30°
= 4
(4+6i)+( 4√ +4i) = 4+4√ +10i
Pengurangan Bilangan Kompleks
- Jika keduanya bentuk siku
(a1+b1i)-(a2+b2i) = (a1-a2)+(b1-b2)i
Contoh soal :
(4+2i) – 5(6-2i) = 4+2i-30+10i
= -26+12i
- Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku, maupun keduanya bentuk polar
Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi
hitung bilangan kompleks.
Perkalian Bilangan Kompleks
- Jika keduanya bentuk siku
(a1+b1i)(a2+b2i) = a1a2 + (a1a2 + b1b2)i + (b1b2)2
Contoh soal :
6(6-2i)(4+2i) = 6(24+12i-8i-4i2) i2 = -1
= 6(24+12i-8i-4∙-1)
= 6(24+4i+4)
= 6(28+4i)
= 168+24i
- Jika keduanya bentuk polar
(r1 ∠ θ1) ∙ (r2 ∠ θ2) = r1 ∙ r2 ∠ (θ1+θ2)
Contoh soal :
6 ∠ 60° ∙ 3 ∠ 30° = (6∙3) ∠ (60°+30°)
= 18 ∠ 90°
Rangkuman Kelas XII 128
- Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku
Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi
hitung bilangan kompleks atau sebaliknya.
Pembagian Bilangan Kompleks
- Jika keduanya bentuk siku
=
x
perkalian sekawan
=
Contoh soal :
=
x
=
=
=
=
= 1 - i
- Jika keduanya bentuk polar
∠
∠ =
∠ (θ1- θ2)
Contoh soal : ∠
∠ =
∠ (90° - 60°)
= 3 ∠ 30°
- Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku
Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi
hitung bilangan kompleks atau sebaliknya.
Phasor
Phasor adalah kedudukan sesaat vektor yang berputar pada pangkalnya.
Notasi phasor P=r ∠ θ, dengan r = panjang phasor dan θ = sudut yang
dibentuk phasor dengan sumbu R positif.
Bentuk penulisan phasor ada 2, seperti
bilangan kompleks :
1. Bentuk Polar
P = r ∠ θ , dengan
r = √ θ = arc tan
2. Bentuk Siku
P = a+bi , dengan
a = r ∙ cos θ b = r ∙ sin θ
contoh soal :
Nyatakan phasor P=4 ∠ 60° ke bentuk siku!
r=4 dan θ=60°
a = r ∙ cos θ
= 4 ∙ cos 60°
= 4 ∙
= 2
b = r ∙ sin θ
= 4 ∙ sin 60°
= 4 ∙
√
= 2√
Jadi, P=2+2√ i
θ
r
R
I
r ∠θ
Nyatakan phasor P=4+3i dalam bentuk polar !
a=4 dan b=3
r = √
= √
= √
= 5
θ = arc tan
= arc tan
= arc tan 0,75 daftar III
= 36,87°
Jadi, P= 5 ∠ 36,87°
Operasi Hitung Pada Phasor
Penjumlahan dan Pengurangan Phasor
- Jika keduanya bentuk siku
Penjumlahan (a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+a2)+(b1+b2)i
Pengurangan (a1+b1i)-(a2+b2i) = (a1-a2)+(b1-b2)i
- Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku, maupun keduanya bentuk polar
Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi
hitung bilangan kompleks, dan diubah menjadi bentuk polar kembali.
Contoh soal :
Tentukan hasil dari 12,73 ∠ 225° + 5,2 ∠ -30° !
Jawab :
Diubah ke bentuk siku
12,73 ∠ 225°
a = r ∙ cos θ
= 12,73 ∙ cos 225°
= 12,73 ∙ -cos 45° daftar III
= 12,73 ∙ -0,7071
= -9
b = r ∙ sin θ
= 12,73 ∙ sin 225°
= 12,73 ∙ -sin 45°
= 12,73 ∙ -0,7071
= -9
P1 = -9-9i
5,2 ∠ -30°
a = r ∙ cos θ
= 5,2 ∙ cos -30°
= 5,2 ∙ cos 30° daftar III
= 5,2 ∙ 0,8660
= 4,5
b = r ∙ sin θ
= 5,2 ∙ sin -30°
= 5,2 ∙ -sin 30°
= 5,2 ∙ -0,5
= -2,6
P2 = 4,5-2,6i
P1+P2 = -9-9i+4,5-2,6i
= -4,5-11,6i
Diubah ke polar lagi
r = √
= √
= √
= √
= 12,44
θ = arc tan
= arc tan
= arc tan 2,5778
= 248,8°
Jadi, hasilnya adalah 12,44 ∠
248,8°
Rangkuman Kelas XII 130
Perkalian dan Pembagian Phasor
- Jika keduanya bentuk siku
Perkalian (a1+b1i)(a2+b2i) = a1a2 + (a1a2 + b1b2)i + (b1b2)2
Pembagian
=
x
perkalian sekawan
=
- Jika keduanya bentuk polar
Perkalian (r1 ∠ θ1) ∙ (r2 ∠ θ2) = r1 ∙ r2 ∠ (θ1+θ2)
Pembagian ∠
∠ =
∠ (θ1- θ2)
Contoh soal :
6 ∠ 40° ∙ 2 ∙ 10° = 6 ∙ 2 ∠ (40°+10°)
= 12 ∠ 50°
12 ∠ 50° : 2 ∙ 10° = 12 : 2 ∠ (50°-10°)
= 6 ∠ 40°
- Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku
Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi
hitung bilangan kompleks atau sebaliknya.
Rangkuman Kelas XII 131
MATERI 14
IRISAN KERUCUT
Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang memiliki jarak sama
terhadap titik tertentu.
Bagian-Bagian Lingkaran
OA = OB = OC = jari-jari (r)
AB = diameter (d) = 2r
PQ = tali busur ∩ PQ (garis lengkung)
Daerah I = tembereng
Daerah II = juring
OT = apotema (garis tinggi)
Berlaku :
∠
∠ =
∩
∩ =
Contoh soal :
1. Sebuah busur lingkaran panjangnya 121 cm, jika jari-jari lingkaran 35 cm,
tentukan besar sudut pusat busur tsb!
Jawab :
∩=121 cm dan r=35 cm ∠
∠ =
∩
∠
=
∠
=
220∙∠pusat = 242π
∠ pusat = 1,1 ∙ 180°
= 198°
2. Tentukan keliling plat tsb ! ∠
∠ =
∩
=
∩
=
∩
6 ∙ ∩AB = 88
∩ AB =
= 14
∩ CD = ∩ AB = 14
Kell plat = AD + CD + BC + AB
= 15+14
+15+14
= 59
cm
P Q
O
I
II
C
A B
T
60° 60°
r=14 cm
r=14 cm
Rangkuman Kelas XII 132
Persamaan Lingkaran
1. Di pusat (0,0) dan jari-jari r
x2 + y2 = r2
Contoh soal :
1. Diketahui persamaan lingkaran 2x2+2y2-32=0, tentukan pusat dan jari-jarinya!
Jawab :
2x2+2y2 = 32
x2+y2 = 16
Jadi, lingkaran di pusat (0,0) dan
jari-jari 4
r2 = x2+y2
r2 = 16
r = √
= 4
2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) yang melalui titk (0,-5) !
Jawab :
(0,-5) x2 + y2 = r2
02 + (-5)2 = r2
r = √
= 5 jadi, persamaan garis x2 + y2=5
2. Di pusat (a,b) dan jari-jari r
(x-a)2 + (y-b)2 = r2
Contoh soal :
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
(x+2)2 +
(y-1)2 – 9 =0 !
Jawab :
(x+2)2 +
(y-1)2 = 9
(x+2)2 + (y-1)2 = 27
[x-(-2)]2 + [y-1]2 = 27
Pusat (a,b) (-2,1)
r2 = 27
r = √
= 3√
2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (1,-2) melalui titik (4,0) !
Jawab :
(a,b) (1,-2)
(x-a)2 + (y-b)2 = r2
(x-1)2 + (y-(-2))2 = r2
: 2
x3
b a
P(x,y)
x
y
r
(0,0)
x a
b r P(a,b)
y
Rangkuman Kelas XII 133
(4,0) (x-1)2 + (y+2)2 = r2
(4-1)2 + (0+2)2 = r2
9 + 4 = r2
r2 = 13
persamaan garis :
(x-1)2 + (y+2)2 = 13
3. Di pusat (a,b) dan jari-jari r dalam bentuk umum
Merupakan penjabaran dari (x-a)2 + (y-b)2 = r2 , menjadi :
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
ket :
A = -2a a = -
A
B = -2b b = -
B
C = a2 + b2 – r2
Pusat (a,b) (-
A, -
B)
r = √
Contoh soal :
Diketahui persamaan lingkaran x2+y2-4x+8y-29=0. Tentukan pusat dan jari-
jarinya!
Jawab :
x2+y2-4x+8y-29=0
A = -4 , B=8, C=-29
Pusat (a,b) (-
A, -
B)
(-
∙ -4, -
∙ 8)
(2, -4)
r = √
= √
= √
= √
= √
= 7
Garis Singgung Lingkaran
1. Di pusat (0,0) dan jari-jari r
Dari persamaan x2 + y2 = r2 menjadi
x1 ∙ x + y1 ∙ y = r2
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari x2+y2=20 dititik (4,2)!
Jawab :
(4,2) x1∙x + y1∙y = r2
4x + 2y = 20
P(x,y)
x
y
r
(0,0)
l
Rangkuman Kelas XII 134
2y = 20 – 4x
y = 10 – 2x
2x+y-10 = 0
2. Di pusat (a,b) dan jari-jari r
Dari persamaan (x-a)2 + (y-b)2 = r2 menjadi
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b) = r2
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari (x+2)2+(y-4)2=45 dititik
(4,1)!
Jawab :
(x+2)2+(y-4)2 = 45
(x1+2)(x+2) + (y1-4)(y-4) = 45 (4,1)
(4+2)(x+2) + (1-4)(y-4) = 45
6x+12 +-3y+12 = 45
6x-3y = 21
2x – y = 7
2x – y – 7 = 0
3. Di pusat (a,b) dan jari-jari r dalam bentuk umum
Dari persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 menjadi
x1∙x + y1∙y +
A(x1+x) +
B(y1+y) + C = 0
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari x2+y2+4x+2y-8=0 dititik
(-5,-3)!
Jawab :
x2+y2+4x+2y-8=0 A=4, B=2, dan C=-8
x1∙x + y1∙y +
A(x1+x) +
B(y1+y) + C = 0 (-5,-3)
(-5)∙x + (-3)∙y +
∙ 4[(-5)+x] +
∙ 2[(-3)+y] – 8 = 0
-5x-3y-10+2x-3+y-8 = 0
-3x-2y-21 = 0
3x+2y+21 = 0
4. Di pusat (0,0) , jari-jari r , dan gradien m
Dari persamaan x2 + y2 = r2 , gradien m dari y=mx+n, dan syarat D=0
y = mx ± r√
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari x2+y2=4 dan bergradien 2!
Jawab :
x2+y2 =4 , m=2
r2 = 4
r = √
= 2
y = mx ± r√
y = 2x ± 2√
y = 2x ± 2√
2x-y+2√ =0 V 2x-y-2√
5. Di pusat (a,b) , jari-jari r , dan gradien m
Dari persamaan (x-a)2 + (y-b)2 = r2 dan gradien m dari y=mx+n
y-b = m (x-a) ± r√
:3
Rangkuman Kelas XII 135
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari (x-2)2+(y+3)2 = 25 dan
bergradien -1 !
Jawab :
(x-2)2+(y-(-3))2 = 25 a=2 dan b=-3
r2 = 25 m=-1
r = √
= 5
y-b = m (x-a) ± r√
y – (-3) = -1 (x-2) ± 5√
y+3 = -x+2 ± 5√
y = -x – 1 ± 5√
x+y+1+5√ V x+y+1-5√
6. Garis Singgung Persekutuan Luar
|AB| = √
Contoh soal :
Dua lingkaran berjari-jari 5 cm dan 3 cm. Jarak kedua kedua pusat lingkaran
adalah 17 cm. Tentukan garis singgung persekutuan luar !
Jawab :
GSPL = √ r r
= √
= √
= √
7. Garis Singgung Persekutuan Dalam
|AB| = √
Contoh soal :
Dua lingkaran berjari-jari 5 cm dan 3 cm. Jarak kedua kedua pusat lingkaran
adalah 17 cm. Tentukan garis singgung persekutuan luar !
Jawab :
GSPL = √ r r
= √
= √
= √
= 15
Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik
tertentu (fokus) sama dengan jaraknya ke garis tertentu.
P Q
A
B
P Q
A
B
Rangkuman Kelas XII 136
Persamaan Parabola
1. Di puncak (0,0)
y2 = 4px
Komponen parabola :
Puncak (0,0)
Fokus (p,0)
Garis Direktrik x=-p
Sumbu simetris sumbu x atau y=0
Latus Rectum = 2 ∙ y
Kurva membuka ke kanan/kiri
- y2 = 4px kanan
- y2 = -4px kiri
Latus Rectum garis yang melalui fokus dan tegak lurus sumbu simetri
x2 = 4py
Komponen parabola :
Puncak (0,0)
Fokus (0,p)
Garis Direktrik y=-p
Sumbu simetris sumbu y atau x=0
Latus Rectum = 2 ∙ x
Kurva membuka ke atas/bawah
- x2 = 4py atas
- x2 = -4py bawah
Contoh soal :
1. Tentukan titik fokus, persamaan sumbu simetri, garis direktrik, dan latus rectum
dari :
- y2 = 12x membuka kanan
y2 = 4px
4p = 12
p = 3
Puncak (0,0)
Fokus (p,0) (3,0)
Garis Direktrik x=-p x=3
Sumbu simetris sumbu x atau y=0
Fokus (3,0) y2 = 12x
y2 = 12 ∙ 3
y = √
= 6
Latus Rectum = 2 ∙ y = 2 ∙ 6 =
12 satuan
- x2 = -8y membuka bawah
x2 = 4py
4p = -8
p = -2
Puncak (0,0)
Fokus (0,p) (0,-2)
Garis Direktrik y=-p y=2
Sumbu simetris sumbu y atau x=0
Fokus (0,-2) x2 = -8y
x2 = -8 ∙ -2
x = √
= 4
Latus Rectum = 2 ∙ x = 2 ∙ 4 =
8 satuan
2. Tentukan persamaan parabola di puncak (0,0) dengan fokus :
- (3,0) y2 = 4px
y2 = 4 ∙ 3x
y2 = 12x
\
- (0,-3) x2 = 4py
x2 = 4 ∙ -3 y
x2 = -12y
O
X
F(p,0)
Y
X=-p
y2=4px
O
X
F(0,p)
Y
y=-p
x2=4py
Rangkuman Kelas XII 137
3. Tentukan persamaan parabola di puncak (0,0) dengan garis direktrik :
- x = -4
x = -p
p = 4
fokus (4,0) y2 = 4px
y2 = 4 ∙ 4x
y2 = 16x
- y =5
y = -p
p =-5
fokus (0,-5) x2 = 4py
x2 = 4 ∙ -5y
x2 = -20y
2. Di puncak (a,b)
(y-b)2 = 4p(x-a)
Komponen parabola :
Puncak (a,b)
Fokus (a+p, b)
Garis Direktris x = a-p
Sumbu simetris y=b
Kurva membuka ke kanan/kiri
- (y-b)2 = 4p(x-a) kanan
- (y-b)2 = -4p(x-a) kiri
Latus Rectum = antara y1 hingga y2
(x-a)2 = 4p(y-b)
Komponen parabola :
Puncak (a,b)
Fokus (a, b+p)
Garis Direktris y = b-p
Sumbu simetris x=a
Kurva membuka ke atas/bawah
- (x-a)2 = 4p(y-b) atas
- (x-a)2 = -4p(y-b) bawah
Latus Rectum = antara x1 hingga x2
Contoh soal :
1. Tentukan titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, garis direktrik, dan
latus rectum dari :
- y2 + 6y – 6x – 9 = 0
y2 + 6y + 32 = 6x +9 + 32 ditambah bilangan kuadrat untuk mengetahui faktornya
(y+3)2 = 6x+18
(y+3)2 = 6(x+3)
(y-b)2 = 4p(x-a)
a =-3 titik puncak (a,b)(-3,-3)
b =-3
4p = 6
p =
=
titik fokus (a+p, b) (-3+
, -3)
(-
, -3)
Persamaan sumbu simetri y=b y=-3
Garis direktrik x = a-p = -3 -
= -
Fokus (-
, -3) (y+3)2 = 6(x+3)
(y+3)2 = 6(-
+3) cuma pake x-nya
(y+3)2 = -9+18
y+3 = ±√
y = ±3 – 3 y1 = 0 V y2 = -6
Latus rectum = 6 satuan
O
X
F(a+p,b)
Y
X=a-p
(y-b)2=4p(x-a)
a
b
Rangkuman Kelas XII 138
- x2 – 8x – 4y + 4 = 0
x2 – 8x +(-4)2 = 4y - 4+(-4)2 ditambah bilangan kuadrat untuk mengetahui faktornya
(x-4)2 = 4y +12
(x-4)2 = 4(y+3)
(x-a)2 = 4p(y-b)
a = 4 titik puncak (a,b)(4,-3)
b =-3
4p = 4
p = 1 titik fokus (a, b+p) (4,-3+1) = (4, -2)
Persamaan sumbu simetri x=a x=4
Garis direktrik y = b-p = -3-1 = -4
Fokus (4, -2) (x-4)2 = 4(y+3)
(x-4)2 = 4(-2+3) cuma pake y-nya
(x-4)2 = 4
x-4 =±√
x =±2 +4 x1 = 6 V y2 = 2
Latus rectum = 4 satuan
2. Tentukan persamaan parabola dari :
- Puncak (4,6) dan fokus (6,6)
M (4,6) a=4 dan b=6
F (a+p, 6)
F (4+p, 6) F(6,6)
4+p = 6
p = 2
(y-b)2 = 4p(x-a)
(y-6)2 = 4 ∙ 2(x-4)
y2-12y+36 = 8x – 32
y2-12y-8x+68 = 0
- Puncak (-4,5) dan fokus(-4,2)
M (-4,5) a=-4 dan b=5
F (-4, b+p)
F (-4, 5+p) F(-4,2)
5+p = 2
p = -3
(x-a)2 = 4p(y-b)
(x+4)2 = 4 ∙ -3(y-5)
x2 +4x+16 = -12y+60
x2 +4x+12y-44=0
Garis Singgung Parabola
1. Di puncak (x1, y1)
Dari persamaan y2 = 4px menjadi
y1y = 2p(x+x1)
Dari persamaan x2 = 4py menjadi
x1x = 2p(y+y1)
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung parabola dari :
- y2 = 4x yang melalui titik (4,4)
y2 = 4px
4p = 4
p = 1
y1y = 2p(x+x1) (4,4)
4y = 2 ∙ 1 (x+4)
4y = 2x + 8
2x-4y +8 = 0
x-2y+4 = 0
- x2 = 3y yang melalui titik(-3,3)
x2 = 4py
4p = 3
p =
Rangkuman Kelas XII 139
x1x = 2p(y+y1) (-3,3)
-3x = 2 ∙
(y+3)
-3x =
y +
-6x = 3y + 9
6x+3y+9 =0
2x+y+3=0
2. Di puncak (a,b)
Dari (y-b)2 = 4p(x-a) menjadi
(y1-b)(y-b) = 2p(x+x1 – 2a)
Dari (x-a)2 = 4p(y-b)
(x1-a)(x-a) = 2p(y+y1 – 2b)
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung parabola dari :
- (y+1)2 = 2(x-4) melalui titik
(6,1)
(y-b)2 = 4p(x-a)
a=4, b=-1, dan 4p = 2
p =
(y1-b)(y-b) = 2p(x+x1 – 2a)
(6,1)
(1+1)(y+1) = 2 ∙
(x+6 – 2
∙ 4)
2y + 2 = x – 2
X – 2y – 4 = 0
- (x-2)2 = 4(y+1) melalui titik
(6,3)
(x-a)2 = 4p(y-b)
a=2, b=-1, dan 4p = 4
p = 1
(x1-a)(x-a) = 2p(y+y1 – 2b)
(6,3)
(6-2)(x-2) = 2 ∙ 1(y+3 – 2
∙ -1)
4x – 8 = 2y + 10
4x – 2y – 18 = 0
3. Di puncak (0,0) dan gradien m
Dari persamaan y2 = 4px dan gradien m dari y=mx+n
y = mx +
Dari persamaan x2 = 4py dan gradien m dari y=mx+n
y = mx – pm2
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung parabola dari :
- y2 = -8x bergradien 3
y2 = 4px
4p = -8
P = -2
y = mx +
m=3
y = 3x +
3y = 9x – 2
9x – 3y – 2 =0
- x2 = 2y bergradien 4
x2 = 4py
4p = 2
P =
y = mx – pm2 m=4
y = 4x -
∙ 42
y = 4x – 8
4x – y – 8 =0
4. Di puncak (a,b) dan gradien m
Dari persamaan (y-b)2 = 4p(x-a) dan gradien m dari y=mx+n
y-b = m(x-a) +
Dari persamaan (x-a)2 = 4p(y-b) dan gradien m dari y=mx+n
y-b = m(x-a) – pm2
Rangkuman Kelas XII 140
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung parabola dari :
- (y+3)2 = -6(x-1) bergradien 4
(y-b)2 = 4p(x-a)
a=1, b=-3
4p = -6
P = -
y-b = m(x-a) +
m=4
y+3 = 4(x-1) +
y+3 = 4x – 4 -
y = 4x -
32x – 8y – 59 = 0
- (x-2)2 = 8(y+3) bergradien -2
(x-a)2 = 4p(y-b)
a=2, b=-3
4p = 8
P = 2
y-b = m(x-a) – pm2 m=-2
y+3 = -2(x-2) – 2 ∙ (-2)2
y+3 = -2x+4 – 8
y = -2x – 7
2x+y+7 = 0
Ellips
Ellips adalah himpunan titik yang jumlah jaraknya terhadap titik tertentu
(fokus) adalah tetap.
Bagian-Bagian Ellips
F1(c,0) dan F2(-c,0) adalah fokus ellips
dengan pusat (0,0)
2a = panjang sumbu mayor (panjang)
2b = panjang sumbu minor (pendek)
2c = jarak fokus
Persamaan Ellips
1. Di pusat (0,0)
+
= 1 , dengan a>b
Komponen ellips
Pusat ellips (0,0)
Fokus ellips F1(-c,0) dan F2(c,0) dengan b2=a2 – c2
2a = panjang sumbu mayor
2b = panjang sumbu minor
Puncak ellips (a,0), (-a,0), (0,b), dan (0,-b)
Sumbu simetri = sumbu x dan y
Nilai eksentrisitet e =
Persamaan Direktrik x = -
dan x =
x
y
(0,b)
(0,-b)
0
F1(c,0) F2(-c,0)
(-a,0) (a,0)
Rangkuman Kelas XII 141
+
= 1 , dengan a>b
Komponen ellips
Pusat ellips (0,0)
Fokus ellips F1(0,-c) dan F2(0,c) dengan b2=a2 – c2
2a = sumbu mayor
2b = sumbu minor
Puncak ellips (0,a), (0,-a), (b,0), dan (-b,0)
Sumbu simetri = sumbu x dan y
Nilai eksentrisitet e =
Persamaan Direktrik x = -
dan x =
Contoh soal :
Diketahui ellips dengan persamaan
+
= 1, tentukan :
a. Titik puncak
b. Titik fokus
c. Panjang sumbu mayor dan minor
d. Nilai eksentrisitet
e. Persamaan direktrik
Jawab :
Bentuk ellips
+
= 1 , dengan a>b 25>16
a2 =25
a = √
= 5
b2 = 16
b = √
= 4
c2 = a2 – b2
c2 = 25 – 16
c2 = 9
c = √
= 3
a. Titik puncak (a,0), (-a,0), (0,b), dan (0,-b)
(5,0), (-5,0), (0,4), dan (0,-4)
b. Titik fokus F1(-c,0) dan F2(c,0)
F1(-3,0) dan F2(3,0)
c. Sumbu mayor = 2a = 2 ∙ 5 = 10
Sumbu minor = 2b = 2∙ 4 = 8
d. Nilai eksentrisitet e =
=
= 0,6
e. Persamaan direktrik x = -
dan x =
x = -
dan x =
X = -
dan x =
2. Di pusat (p,q)
+
= 1 , dengan a>b
Komponen ellips
Pusat ellips (p,q)
2a = sumbu mayor
2b = sumbu minor
Fokus ellips F1(p+c,q) dan F2(p-c,q)
Puncak ellips (p+a, q), (p-a, q), (p, q+b), dan (p, q-b)
Persamaan Direktrik x = p±
Nilai eksentrisitet e =
+
= 1 , dengan a>b
Komponen ellips
Pusat ellips (p,q)
2a = sumbu mayor
2b = sumbu minor
Fokus ellips F1(p, q+c) dan F2(p, q-c)
Puncak ellips (p, q+a), (p, q-a), (p+b, q), dan (p-b, q)
Persamaan Direktrik x = q±
Nilai eksentrisitet e =
Contoh soal :
Diketahui ellips dengan persamaan
+
= 1, tentukanlah :
a. Titik pusat, titik puncak, dan titik fokus ellips
b. Panjang sumbu mayor dan minor
c. Nilai eksentrisitet
d. Persamaan direktrik
Jawab :
Bentuk ellips
+
= 1 , dengan a>b 36>25
P=2 dan q=-1
a2 = 36 b2 = 25 c2 = a2-b2
a = 6 b = 5 c = √
= √
a. Titik pusat (p,q)
(2,-1)
Titik fokus F1(p+c,q) dan F2(p-c,q)
F1(2+√ , -1) dan F2(2-√ , -1)
Titik puncak (p+a, q), (p-a, q), (p, q+b), dan (p, q-b)
(2+6, -1), (2-6, -1), (2, -1+5), dan (2, -1-5)
(8, -1), (-4, -1), (2, 4), (2,-6)
b. Sumbu mayor 2a = 2 ∙ 6 = 12
Sumbu minor 2b = 2 ∙ 5 = 10
Rangkuman Kelas XII 143
c. Nilai eksentriset e =
e =
√
=
√
d. Persamaan direktrik x = p±
x = 2 +
√ = 2 +
√
x = 2 –
√ = 2 -
√
Garis Singgung Ellips
1. Di pusat (0,0)
Dari
+
= 1 di titik (x1,y1) menjadi
+
= 1
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung ellips pada ellips
+
= 1 di titik (2,1)!
Jawab :
a2 = 8, b2 = 2
+
= 1 (2,1)
+
= 1
2x+4y = 8
x+2y-4 = 0
2. Di pusat (p,q)
Dari
+
= 1 di titik (x1,y1) menjadi
+
= 1
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung pada ellips
+
= 1 dititik (-3,1) !
Jawab :
a2 = 6, b2 = 3, p = -1, q=2
+
= 1 (-3,1)
+
= 1
+
= 1
+
= 1
-2x-2-2y+4 = 6
2x+2y+4 = 0
X+y+2 = 0
3. Di pusat (0,0) dan gradien m
Dari
+
= 1 dengan a>b dan gradien m dari y=mx+n
y = mx ± √
Rangkuman Kelas XII 144
Dari
+
= 1 dengan a>b dan gradien m dari y=mx+n
y = mx ± √
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis isnggung pada ellips
+
= 1 yang bergradien
!
Jawab :
Bentuk ellips
+
= 1 dengan a>b 25>16
a2=25, b2=16, dan m=
y = mx ± √
y =
∙ x ± √ (
)
y =
x ± √
y =
x ± √
y =
x ± 5
5y = 3x ± 5
3x-5y±5 = 0
Jadi, persamaan garis singgung 3x-5y+5=0 dan 3x-5y-5=0
4. Di pusat (p,q) dan gradien m
Dari
+
= 1 dan gradien m
(y-q) = m(x-p)± √
Dari
+
= 1 dan gradien m
(y-q) = m(x-p) ± √
Contoh soal :
Tentukan persamaan gais singgung pada ellips
+
= 1 bergradien 1 !
Jawab :
Bentuk ellips
+
= 1
a2=16, b2=9, p=-2, q=3, m=1
(y-q) = m(x-p)± √
(y-3) = 1(x+2)±√
(y-3) = x+2 ± √
y-3 = x+7
y = x+10
y-3 = x-3
y = x
jadi, persamaan garis singgung x-y+10=0 dan x-y=0
Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua
titik tertentu (fokus) adalah tetap.
Persamaan Hiperbola
y B1(0,b)
B2(0,-b)
0 F1(c,0) F2(-c,0) A2(-a,0) A1(a,0) x
Rangkuman Kelas XII 145
1. Di pusat (0,0)
-
= 1, dengan a>b
Komponen hiperbola :
Pusat O(0,0)
Puncak (a,0) dan (-a,0)
Fokus (c,0) dan (-c,0) dengan b2 = c2 – a2
Eksentrisitet e =
Persamaan direktrik x = ±
Asimtot y = ±
x
Sumbu utama (nyata) = sumbu x
Sumbu sekawan (imaginer) = sumbu y
-
= 1, dengan a>b
Komponen hiperbola :
Pusat O(0,0)
Puncak (0,a) dan (0,-a)
Fokus (0,c) dan (0,-c) dengan b2 = c2 – a2
Eksentrisitet e =
Persamaan direktrik y = ±
Asimtot y = ±
x
Sumbu utama (nyata) = sumbu x
Sumbu sekawan (imaginer) = sumbu y
Contoh soal :
Diketahui hiperbola dengan persamaan
-
= 1, tentukan koordinat titik
puncak, titik fokus, persamaan direktrik, dan persamaan asimtotnya !
Jawab :
Bentuk
-
= 1 dengan a>b 16>9
a2 = 16 b2 = 9 c2 = b2+a2
a = 4 b = 3 c2 = 16+9
c = 5
koordinat titik puncak (a,0) dan (-a,0)
(4,0) dan (-4,0)
Titik fokus (c,0) dan (-c,0)
(5,0) dan (-5,0)
Persamaan direktrik x = ±
x =
dan x = -
Persamaan asimtot y = ±
x y =
x dan y = -
x
2. Di pusat (p,q)
-
= 1, dengan a>b
Komponen hiperbola :
Rangkuman Kelas XII 146
Pusat O(0p,q)
Puncak (p+a, q) dan (p-a, q)
Fokus (p+c, q) dan (p-c, q) dengan b2 = c2 – a2
Eksentrisitet e =
Persamaan direktrik x = p±
Asimtot y-q = ±
(x-p)
-
= 1, dengan a>b
Komponen hiperbola :
Pusat O(0p,q)
Puncak (p, q+a) dan (p, q-a)
Fokus (p, q+c) dan (p, q-c) dengan b2 = c2 – a2
Eksentrisitet e =
Persamaan direktrik y = p±
Asimtot y-q = ±
(x-p)
Contoh soal :
Diketahui hiperbola
-
= 1 tentukan koordinat pusat, puncak,
fokus, persamaan direktrik, dan asimtotnya !
Jawab :
Bentuk hiperbola
-
= 1 dengan a>b 16>9
a2 = 16 b2 = 9 c2 = b2 + a2 p=2, dan q=-1
a = 4 b = 3 c2 = 9+16
c = 5
koordinat pusat (p,q) (2,-1)
Puncak (p+a, q) dan (p-a, q) (2+4, -1) dan (2-4, -1)
(6,-1) dan (-2, -1)
Fokus (p+c, q) dan (p-c, q) (2+5, -1) dan (2-5, -1)
(7,-1) dan (-3,-1)
Persamaan direktrik x = p±
x = 2+
=
x = 2-
= -
Asimtot y-q = ±
(x-p)
y+1 =
(x-2)
Y+1 =
x -
4y+4 = 3x – 6
3x – 4y – 10 = 0
y+1 = -
(x-2)
y+1 = -
x +
4y+4 = -3x + 6
3x+4y – 2 = 0
Garis Singgung Hiperbola
1. Di pusat (0,0) melalui (x1, y1)
Dari
-
= 1 melalui titik (x1,y1) menjadi
-
= 1
Rangkuman Kelas XII 147
Contoh soal :
Tentuksn persamaan garis simggung pada hoperbola
-
= 1 di titik (3,
) !
Jawab :
Bentuk
-
= 1
a2 = 8, b2 = 2
-
= 1 (3,
)
-
= 1
3x – 2y = 8
3x – 2y – 8 =0
2. Di pusat (p,q) melalui (x1,y1)
Dari
-
= 1 melalui titik (x1,y1) menjadi
= 1
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola
-
= 1 di titik (2,-3) !
Jawab :
a2 = 12, b2 = 48, p=-2, dan q=1
= 1 (2,-3)
= 1
= 1
16x+32-(-4y+4) = 48
16x+32+4y-4 = 48
16x + 4y-20 = 0
4x + y – 5 = 0
3. Dengan gradien
Dari
-
= 1 dan gradien m
y = mx ± √
Dari
-
= 1 dan gradien m
y = mx ± √
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis isnggung hiperbola
-
= 1 yang bergradien 4 !
Jawab :
Bentuk
-
= 1
a2 = 16, b2 = 6, dan m=4
y = mx ± √
y = 4x ± √
= 4x ± √
= 4x ± √
= 4x ± 5√
Jadi, persamaan garis singgungnya 4x-y+5√ dan 4x-y-5√