Referentin: Mandy Peter Stetige Kleinste-Quadrate-
Approximation
Folie 2
Ausblick 1. Wiederholung 2. Stetige
Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es? 2.2.
Polynomapproximation + Beispiel 2.3. Approximation mit
verallgemeinerten Polynomen 2.4. Harmonische Analyse + Beispiel 3.
Literatur
Folie 3
1. Wiederholung Diskrete Kleinste-Quadrate-Approximation
Funktion f(x) nur an diskreten Stellen bekannt Approximation des
funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe Nherungsfunktion Gesucht: Das
Minimum der Funktion
Folie 4
Zugehriges Gleichungssystem, welches zu berechnen ist:
Folie 5
2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es?
Konkreter funktionaler Zusammenhang y=f(x) bekannt Ziel: Funktion
f(x) durch Nherungsfunktion P(x) zu ersetzen
Folie 6
2.2. Polynomapproximation Gesucht ist das jenige Polynom, dass
im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate mglichst gut den
funktionalen Zusammenhang im vorgegeben Intervallapproximiert.
Gesucht: Minimum der Funktion
Dieses Gleichungssystem lsst sich in der blichen Form linearer
Gleichungssysteme aufschreiben, wenn man die Vektoren und die
Matrixwie folgt definiert ist:
Folie 9
Satz: Es sei gegeben und es gelte. Dann besitzen die
Normalengleichungen eine eindeutige Lsung.
Folie 10
Beispiel Man approximiere die Funktion auf dem Intervall durch
ein Polynom zweiten Grades. Damit ist gesucht, fr das gilt:
Folie 11
Das Gleichungssystem, was es zu lsen gilt, lautet:
Folie 12
2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen Sei ein
System von n+1 stetigen Funktionen gegeben, die auf dem Intervall,,
linear unabhngig sind. Satz: Es sei ein Polynom vom Grad k. Dann
sind auf jedem beliebigen Intervall,, linear unabhngig.
Folie 13
Definition: Eine integrierbare Funktion heit Gewichtsfunktion
auf dem Intervall, falls gilt: fr und auf jedem Teilintervall von.
Zweck: Teilabschnitte vom Intervall knnen hervorgehoben werden, auf
denen die Approximation besonders genau erfolgen soll.
Folie 14
Verallgemeinertes Polynom: Gesucht: Minimum der Funktion
Folie 15
Notwendige Bedingungen fr ein Minimum: Normalengleichungen
Folie 16
Definition: Ein System stetiger Funktionen heit orthogonal auf
dem Intervall bezglich der Gewichtsfunktion, falls: Gilt des
weiteren, dann nennt man das Funktionensystem orthonomiert.
Folie 17
Definition: Die Zahl heit die Norm der Funktion auf dem
Intervall.
Folie 18
Satz:
Folie 19
2.4. Harmonische Analyse Sei orthonormiertes Funktionensystem
auf dem Intervall mit den Funktionen
Folie 20
Sei eine stetige periodische Funktion mit der Periode auf dem
Intervall. Dann lautet das verallgemeinerte Polynom: Die Summanden
heien Harmonische.
Folie 21
Gesucht: Minimale Abweichung des Polynomsvon der Fkt. im Sinne
der Methode der Kleinsten Quadrate. Koeffizienten sind nach der
Formel zu bestimmen: Man erhlt: Die Koeffizienten und heien
trigonometrische Fourierkoeffizienten
Folie 22
Fall 1: f(x) ist gerade Funktion Dann:
Folie 23
Fall 2: f(x) ist ungerade Funktion Dann:
Folie 24
Bildet man nun im Trigonometrischen Fourierpolynom den
Grenzbergang, so ergibt sich die trigonometrische Fourierreihe:
mit,, Die Darstellung einer Funktion durch ihr trigonometrisches
Fourierpolynom nennt man die harmonische Analyse dieser
Funktion
Folie 25
Sgezahnschwingung
Folie 26
Lsung der Harmonischen Analyse Ungerade Funktion -> reicht
aus b zu berechnen
Folie 27
Lsung der Harmonischen Analyse
Folie 28
Beispiel Man bestimme das allgemeine trigonometrische Polynom,
das nach dem Kleinsten-Quadrate-Prinzip die Funktion bestmglich
approximiert. Gerade Funktion -> b fllt weg: Zu berechnen