ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
Regulátory a vlastnosti regulátorů Jak již bylo uvedeno, vlastnosti regulátorů určují kvalitu regulace. Při volbě regulátoru je
třeba přihlížet i k přenosovým vlastnostem regulované soustavy. Cílem je, aby se přenos
řízení v co nejširším frekvenčním pásmu blížil jedné a přenos poruch nule. Na tomto principu
provádíme návrh (syntézu) konkrétního regulačního obvodu, známe-li přenosové vlastnosti
regulované soustavy (byla-li provedena identifikace soustavy). Syntézu můžeme provádět
čistě matematicky na základě blokové algebry nebo tuto metodu kombinujeme s grafickou
syntézou, nejlépe pomocí logaritmických frekvenčních charakteristik nebo modelování na
počítači.
Dále probereme základní typy spojitých lineárních regulátorů s ohledem na jejich dynamické
přenosové vlastnosti.
Proporcionální regulátor Regulátor P pouze zesiluje regulační odchylku e, přičemž zesílení je v širokém frekvenčním
rozsahu konstantní. Teprve na vysokých frekvencích, které nejsou pro danou regulovanou
soustavu podstatné, jeho přenos vlivem setrvačností klesá. Jde tedy o proporcionální člen s
konstantním reálným přenosem mnohem větším než jedna. Tento regulátor snadno vytvoříme
stejnosměrným invertujícím zesilovačem, který je symbolicky znázorněn na obr. 5.1. U
ideálního zesilovače předpokládáme nekonečný vstupní odpor, nulový výstupní odpor a
nekonečné zesílení A bez zpětné vazby.
Obr. 5.1. Ideální invertující stejnosměrný zesilovač
Pro takový zesilovač můžeme psát:
U2 = -A U1
Jeho přenos je v zapojení dle obr. 5.2. roven G(p) = -R0 /R1.
Ideální zesilovač můžeme dobře nahradit skutečným operačním zesilovačem s použitým
invertujícím vstupem. Problematika operačních zesilovačů bude probrána později. Pro
vysvětlení vlastností regulátorů budeme pracovat se zjednodušeným ideálním zesilovačem
podle obr. 5.1. Jeho zesílení můžeme velice jednoduše nastavit pomocí záporné zpětné vazby.
Schéma proporcionálního regulátoru je na obr. 5.2. Záporné znaménko vyjadřuje, že použitý
zesilovač obrací fázi (invertuje).
R0
Obr. 5.2. Základní zapojení proporcionálního regulátoru
ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
Jestliže zdroj vstupního signálu nemá nulový vnitřní odpor RG , musíme jeho velikost přičíst k
R1:
Přenos proporcionálního regulátoru je tedy určen poměrem odporů ve zpětné vazbě a ve
vstupu.
Skutečné proporcionální regulátory nemají přenos ideálně konstantní, tedy nezávislý na
frekvenci. Základním znakem těchto regulátorů však je, že se jejich přechodová
charakteristika v relativně krátkém čase ustálí na hodnotě K.
Integrační regulátor Regulátor I jako jediný umožňuje úplné odstranění regulační odchylky e, neboť taje
regulátorem integrována. K jejímu úplnému nulování dochází až za určitý čas. Regulátor I se
tedy hodí tam, kde poruchy nejsou příliš časté nebo regulovaná soustava má velkou
setrvačnost (velkou odolnost proti krátkodobým poruchám).
C
Obr. 5.3. Základní zapojení integračního regulátoru
Integrační regulátor lze rovněž snadno realizovat pomocí stejnosměrného invertujícího
zesilovače. Na obr. 5.3. je základní zapojení tohoto regulátoru. Podobně jako u
proporcionálního regulátoru můžeme i zde vyjádřit přenos jako poměr zpětnovazební
impedance a vstupního odporu. Zpětnovazební impedancí je u regulátoru I kapacitní
reaktance velikosti:
V Laplaceově transformaci má reaktance hodnotu:
Vyjádříme-li poměr reaktance a odporu, získáme přibližnou hodnotu přenosu integračního
regulátoru:
Činnost takového integračního regulátoru je v praxi velmi uspokojivá. Parazitní setrvačnosti
se totiž uplatňují až při vyšších frekvencích, kdy je přenos regulátoru I již stejně velmi malý.
Velká amplituda přenosu se požaduje při stejnosměrném signálu a střídavých signálech s
ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
velmi nízkými frekvencemi. Amplitudová frekvenční logaritmická charakteristika má v
oblasti nízkých sklon -20 dB/dek a protíná úroveň 0 dB při frekvenci ω> = 1/RC. Fázovou
frekvenční charakteristikou je v tomto pracovním rozsahu přímka v úrovni -90°. Přechodová
charakteristika je přímka z počátku, jejíž strmost je nepřímo úměrná časové konstantě RC
zpětnovazebního děliče. Pro RC = 1 s se shoduje s již dříve uvedenou lineární funkcí.
Derivační regulátor Ideální regulátor D nelze realizovat. Způsobují to parazitní setrvačnosti, které potlačují přenos
při vysokých frekvencích, tj. v oblasti, v níž má být přenos regulátoru největší. Na obr. 5.4. je
základní zapojení derivačního regulátoru. Ideální přenos určuje opět poměr odporu ve zpětné
vazbě a impedance ve vstupu:
kde Td = RC je derivační časové konstanta.
R
Obr. 5.4. Základní zapojení derivačního regulátoru
Pokud bychom chtěli vyjádřit přenos skutečného derivačního členu, musíme výraz násobit
přenosem parazitního setrvačného členu s časovou konstantou T.
Amplitudová frekvenční charakteristika protíná úroveň 0 dB při frekvenci ω = l /RC a roste se
sklonem 20 dB/dek až do frekvence ω 1 = 1 /T, kde regulátor přestává derivovat v důsledku
parazitní setrvačnosti s časovou konstantou T. Fáze je v rozsahu derivování +90°. Přechodová
charakteristika v důsledku setrvačnosti vrcholí na hodnotě RC/T a klesá se strmostí určenou
velikostí časové konstanty T (obr. 5.5.).
Obr. 5.5 Přechodová charakteristika skutečného derivačního regulátoru
ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
Derivační regulátor má při konstantním vstupu (tj. nulová frekvence, stejnosměrný signál)
nulový přenos. Vyplývá to jak průběhu amplitudové charakteristiky, tak z průběhu
přechodové charakteristiky. Samotný derivační regulátor nezesiluje regulační odchylku, a
musí být proto vždy kombinován s proporcionálním, popř. integračním regulátorem. V této
kombinaci derivační regulátor zrychluje regulaci a zvyšuje stabilitu, což má velký význam pro
odstranění krátkodobých a četných poruch.
Uvedené základní typy regulátorů jsou dynamickými členy s velkým přenosem v
požadovaném frekvenčním pásmu. Jejich přenosy a charakteristiky byly podrobně probrány
ve 2. kapitole. Amplitudové charakteristiky regulátorů musí ležet nad úrovní 0 dB.
Nyní se zaměříme na kombinace základních typů, které umožňují dosáhnout vyšší kvality než
jednoduché regulátory. Tyto kombinované regulátory realizujeme v zásadě třemi způsoby:
a) paralelním řazením regulátorů výchozích typů - dosahuje se tak nejlepších výsledků,
je však nutný značný počet zesilovačů;
b) použitím korekčních členů - využívají zpravidla pouze jeden zesilovač, kvalita je však
nižší;
c) zpětnovazebním zapojením - využívají zpravidla pouze jednoho zesilovače, kvalita je
vyhovující. Nevýhodou je, že k nastavování různých konstant regulátoru se používají
stejné prvky, a to někdy vede ke vzájemnému ovlivňování konstant a může to
znemožnit použití daného regulátoru.
Proporcionálně integrační regulátor PI Regulátor PI vznikne v elektronické verzi paralelním spojením regulátoru P a I, jak je
znázorněno na obr. 5.6., kde K je přenos regulátoru P a KV je rychlostní konstanta regulátoru
I. Někdy se zavádí tzv. integrační časová konstanta Ti = RC = 1/KV. Přenos regulátoru lze psát
pomocí blokové algebry ve tvaru:
P
Obr. 5.6. Vytvoření regulátoru PI
Výsledné logaritmické frekvenční charakteristiky jsou na obr. 5.7. Pokračující amplitudová
charakteristika protíná úroveň 0 dB při frekvenci, kdy amplituda přenosu se rovná jedné, tedy
při ω0= KV. Lom charakteristiky je určen průsečíkem integrační větve se sklonem -20 dB/dek
a proporcionální větve v úrovni 20 log K. K tomu dochází při frekvenci:
ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
Obr. 5.8. Přechodová charakteristika regulátoru PI
Přechodová charakteristika na obr. 5.8. vznikne součtem obou dílčích přechodových
charakteristik. Principiální zapojení regulátoru PI je na obr. 5.9. Součet signálů se provádí v
invertujícím sumátoru (sčítačce), který tvoří tři stejné rezistory Rs a invertující zesilovač.
Výstupní signál u je určen vztahem:
kde y1 a y2 jsou výstupní signály dvou vstupních regulátorů. Sumátor musí být invertující
proto, že jednotlivé regulátory na jeho vstupu obracejí fázi o 180°, neboť jsou rovněž
vytvořeny invertujícími zesilovači. Požadujeme-li, aby invertující sumátor zesiloval např.
desetkrát, zvětšíme odpor jeho zpětnovazebního rezistoru rovněž desetkrát, takže jeho
velikost bude 10 RS. Na vysokých frekvencích má kondenzátor zanedbatelnou reaktanci, a
proto se neuplatňuje. V některých případech postačí zjednodušený regulátor PI, u kterého je
integrační složka nahrazena setrvačností s velkou časovou konstantou T. Použije se pasivní
ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
korekční člen znázorněný na obr. 5.10. ve spojení s neinvertujícím stejnosměrným
zesilovačem.
Obr. 5.9. Zapojení regulátoru PI
R1
Obr. 5.10. Korekční člen pro zjednodušený regulátor PI
Přenos proporcionální části členu je pak určen přenosem odporového děliče:
Odpory rezistorů volíme tak, aby přenos K byl v rozmezí 1/20 až 1/5. Při nízkých frekvencích
se uplatňuje kondenzátor tvořící s oběma rezistory setrvačný člen s časovou konstantou:
Obr. 5.11. Logaritmické frekvenční charakteristiky korekčního členu a regulátoru Pl po
zesílení signálu akorát (čárkovaně)
ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
Logaritmické frekvenční charakteristiky korekčního členu jsou na obr. 5.11. Čárkovaně je
vyznačena amplitudová charakteristika regulátoru po doplnění korekčního členu zesilovačem
se zesílením A. Na obr. 5.12. je přechodová charakteristika. Porovnáme-li obě charakteristiky
s charakteristikami dokonalého regulátoru PI, vidíme, že amplituda přenosu nedosahuje u
zjednodušeného regulátoru pro ω = 0 nekonečné velikosti, takže tento regulátor zcela
neodstraňuje regulační odchylku e. Pouze ji v porovnání s proporcionálním regulátorem více
potlačuje.
Obr. 5.12. Přechodová charakteristika korekčního členu PI
Obr.5.13. Zpětnovazební regulátor PI
Proporcionálně integrační regulátor můžeme vytvořit i zpětnovazebním způsobem. Na obr.
5.13. je zesilovač se zápornou zpětnou vazbou. Ve zpětnovazební větvi je zapojen člen, který
má pro nízké frekvence charakter derivačního členu a pro vysoké frekvence proporcionální
charakter. Protože je člen ve zpětné vazbě zesilovače, bude mít celý obvod opačný, tedy
proporcionálně integrační charakter. Přenos tohoto regulátoru je dán vztahem:
kde
Abychom vyloučili vzájemné ovlivňování (interakci), nastavujeme K změnou R1 a KV
změnou C.
Proporcionálně integrační regulátory mají oproti integračnímu regulátoru větší přenos na
vyšších frekvencích, takže rychleji odstraňují nárazové poruchy. Tento typ regulátoru je často
používán pro své výhodné vlastnosti (velké, popř. úplné potlačení regulační odchylky a
uspokojivé odstraňování náhlých poruch).
ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
strana 8
Proporcionálně derivační regulátor PD
Regulátor PD vznikne paralelním spojením regulátoru P a D (obr. 5.14.), kde K je přenos
regulátoru P a Td = RC je derivační časová konstanta. Přenos regulátoru PD je:
Logaritmické frekvenční charakteristiky jsou na obr. 5.15. Čárkovaně je naznačen průběh
amplitudové charakteristiky samotné derivační složky se strmostí +20 dB/dek. Tato
charakteristika protíná úroveň 0 dB při frekvenci. Frekvence lomu je určena vztahem ω0=
K/Td.
Obr. 5.14. Vytvoření regulátoru PD
Obr. 5.16. Přechodová charakteristika ideálního regulátoru PD
ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
strana 9
Přechodová charakteristika na obr. 5.16. znázorňuje odezvu ideálního regulátoru PD na
jednotkový skok. Skutečný regulátor zatížený setrvačností s časovou konstantou T má
přechodovou charakteristiku na obr. 5.17.
Vznikla sečtením přechodové charakteristiky proporcionálního regulátoru. Principiální
zapojení regulátoru PD je na obr. 5.18.
Použijeme-li korekční člen na obr. 5.19. ve spojení s neinvertujícím stejnosměrným
zesilovačem, získáme zjednodušený regulátor PD. Na nízkých frekvencích má kondenzátor C
velkou reaktanci, a proto se neuplatní. Přenos proporcionální části členu je pak určen
přenosem odporového děliče:
Obr. 5.17. Přechodová charakteristika skutečného regulátoru PD
Odpory rezistorů volíme podobně jako u regulátorů PI tak, aby přenos K byl v rozmezí 1/20
až 1/5. Při vysokých frekvencích se začne uplatňovat kondenzátor C, čímž se zvětší přenos
členu. Derivační složka členu se začne projevovat od frekvence, při které se reaktance
kondenzátoru rovná odporu rezistoru R1, z toho plyne:
Obr. 5.19. Korekční člen pro zjednodušený regulátor PD
ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
strana 10
Obr. 5.20. Frekvenční charakteristiky korekčního členu PD a regulátoru PD po zesílení
signálu akorát (čárkovaně)
Na obr. 5.20. jsou frekvenční charakteristiky korekčního členu, z nichž vyplývá, že jeho
přenos se rovná nejvýše jedné (0 dB). Úhlová frekvence, při které se amplitudová
charakteristika podruhé lomí, určuje převrácenou hodnotu časové konstanty T setrvačného
členu, který zatěžuje derivační složku. Její velikost je dána vztahem:
Čárkovaně je vyznačena amplitudová charakteristika po doplnění korekčního členu
zesilovačem se zesílením A, neboť regulátor musí dostatečně zesílit stejnosměrnou regulační
odchylku.
Obr. 5.21. Zpětnovazební regulátor PD
Regulátor PD můžeme také realizovat frekvenčně závislým členem zapojeným v obvodu
záporné zpětné vazby. Tento způsob je uveden na obr. 5.21. Ve zpětnovazební větvi je
zapojen setrvačný člen, který signály nízkých frekvencí a stejnosměrné signály přenáší
proporcionálně. Frekvence vyšší než je frekvence lomu, zeslabuje o 20dB/dek. Celý obvod
pak bude mít (vzhledem k umístění v záporné zpětné vazbě) opačný charakter, bude se tedy
chovat jako regulátor PD s přenosem:
ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka
Automatizace – Dynamické vlastnosti členů – členy a regulátory
strana 11
Kde přenos regulátoru je dán vztahem:
a derivační konstanta
Abychom vyloučili vzájemné ovlivňování (interakci), nastavujeme K změnou R0 a hodnotu
Td změnou C.
Proporcionálně derivační regulátory mají oproti proporcionálním regulátorům větší přenos na
vyšší frekvencích. Používají se při četných poruchách, protože je velmi rychle potlačují,
stejně jako tlumené kmity vznikající v regulovaných soustavách vyšších řádů. Trvalou
regulační odchylku stejně jako regulátory P zcela neodstraňují, pouze ji zmenšují. Tyto
případy nejsou příliš časté, takže regulátory PD používáme poměrně zřídka.
Proporcionálně integračně derivační regulátor PID
Regulátor PID vznikne paralelním spojením regulátorů P, I a D (obr. 5.22.). Přenos regulátoru
PID je:
Obr. 5.22. Vytvoření regulátoru PID
strana 12
Obr. 5.23. Zapojení regulátoru PID
Principiální zapojení regulátoru PID je na obr. 5.23.
Logaritmické frekvenční charakteristiky jsou na obr. 5.24. Amplitudová frekvenční
charakteristika je tvořena větví integrační části se sklonem -20 dB/dek, jejíž prodloužení
(čárkovaně) protíná osu 0 dB při úhlové frekvenci, která se rovná rychlostní konstantě Kv
integračního regulátoru. Dále je tvořena větví proporcionální části s úrovní 20 log K, kde K je
přenos proporcionálního regulátoru, a konečně větví derivační části se sklonem 20 dB/dek.
Prodloužení této větve (čárkovaně) protíná osu 0 dB při frekvenci, která se rovná převrácené
hodnotě derivační konstanty neboli 1/Td.
Přechodová charakteristika (obr. 5.25.) vznikne součtem přechodových charakteristik dílčích
regulátorů. Setrvačný člen s časovou konstantou T ovlivňuje derivační regulátor.
Zjednodušený regulátor PID využívá korekčního členu znázorněného na obr. 5.26. a
stejnosměrného neinvertujícího zesilovače. Kondenzátor C1 vytváří derivační složku.
Kondenzátor C2 tvoří s rezistory R1 a R2 setrvačný člen, který v určitém frekvenčním rozsahu
nahrazuje integrační člen. Pro správnou činnost je třeba zajistit, aby hodnota součinu C1R1
strana 13
byla mnohem menší než C2R2. Současně musí být zajištěn značný dělící poměr
K=R2/(R1+R2), aby se mohl dostatečně uplatnit vliv derivace a integrace na přenos regulátoru.
Tento požadavek vyplývá i z frekvenčních charakteristik korekčního členu (obr. 5.27.).
Zjednodušený regulátor PID s korekčním členem není schopen zcela odstranit regulační
odchylku ani nemá ideálně derivační charakter. Ideální regulátor PID by musel mít
amplitudovou charakteristiku s větvemi pokračujícími bez lomu, jak je v obr. 5.27. naznačeno
čárkovaně.
Obr. 5.25. Přechodová charakteristika regulátoru PID
Obr. 5.26. Korekční člen pro zjednodušení regulátoru PID
strana 14
Regulátor PID vytvořený zpětnovazebním způsobem je na obr. 5.28. Předpokládáme-li přenos
regulátoru PID ve tvaru:
a zanedbáme-li vzájemné působení (interakci) členů R1-R2-C1-C2, pak přibližně platí:
Ve skutečnosti však regulátor pracuje s konstantami:
kde i je tzv. činitel interakce.
Aby byla interakce menší, volíme R2 mnohem menší než R1. Nepříjemným důsledkem
interakce je nemožnost nastavení libovolných hodnot konstant regulátoru, zvlášť poměru
Td/Ti . Obecně lze shrnout, že regulátory PID používáme pro jejich větší složitost méně často.
Použití je opodstatněné jen v případě, kdy požadujeme úplné odstranění, popř. větší potlačení
trvalé regulační odchylky a rychlou kompenzaci poruch nebo vlastních tlumených kmitů
regulované soustavy.