RESISTANCE DESMATERIAUX (1b)
Référence:Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.John T. DeWolf
Notes de cours:J. Walt OlerTexas Tech University
Contrainte et déformation– Chargement axial
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Contrainte & déformation: Chargement Axial
• Le bon fonctionnement d’une structure peut autant dépendre des déformations dans la structure que des contraintes induites par les chargements. L’analyse statique seule n’est pas suffisante.
• Considérer que les structures sont déformables permet de déterminer les forces dans les éléments ainsi que les réactions qui sont statiquement indéterminées.
• La détermination de la distribution des contraintes dans un élémentdemande aussi de considérer les déformations dans l’élément.
• Ce chapitre est consacré à la déformation d’un élément de structure soumis à un chargement axial.
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Principe de Saint-Venant• Les chargements transmis à travers
les plaques rigides induisent une distribution uniforme de la contrainte et de la déformation.
• Le principe de Saint-Venant :La distribution des contraintes peut être considérée indépendante du mode de chargement sauf au voisinage immédiat des points de chargement.
• Les distributions de contraintes et de déformations deviennent uniformes àune distance relativement petite des points d’application du chargement.
• Les chargements concentrés induisent des fortes contraintes proche du point d’application du chargement.
Note : σave = σmoy
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Contrainte normale
L
AP
AP
δε
σ
=
==22
LL
AP
δδε
σ
==
=
22strain normal
stress
==
==
L
AP
δε
σ contrainte
déformation normale
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Déformations sous chargement axial
AEP
EE ===
σεεσ
• D’après la loi de Hooke :
• D’après la définition de la déformation :
Lδε =
• Ainsi, pour la déformation,
AEPL
=δ
• Pour des variations de chargement, de section ou de propriétés du matériau,
∑=i ii
iiEALPδ
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Problème 2.1
Une barre rigide BDE est suspendue àdeux tiges AB et CD.
La tige AB est faite d’aluminium (E = 70 GPa) et a une section de 500 mm2. La tige CD est faite d’acier (E = 200 GPa) et a une section de (600 mm2).
Pour une force de 30-kN, déterminer le déplacement a) de B, b) de D, et c) de E.
SOLUTION:
• Appliquer une analyse de corps libres à la barre BDE pour trouver les forces exercés par les tiges AB et DC.
• Évaluer la déformation des tiges ABet DC ou les déplacements de B et D.
• Reprendre la géométrie pour trouver le déplacement en E connaissant le déplacement en B et D.
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Déplacement de B:
( )( )( )( )
m10514
Pa1070m10500m3.0N1060
6
926-
3
−×−=
××
×−=
=AEPL
Bδ
↑= mm 514.0BδDéplacement de D:
( )( )( )( )
m10300
Pa10200m10600m4.0N1090
6
926-
3
−×=
××
×=
=AEPL
Dδ
↓= mm 300.0Dδ
Corps libre : Barre BDE
( )
( )ncompressioF
F
tensionF
F
M
AB
AB
CD
CD
B
kN60
m2.0m4.0kN300
0M
kN90
m2.0m6.0kN300
0
D
−=
×−×−=
=
+=
×+×−=
=
∑
∑
SOLUTION:
Problème 2.1
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Déplacement de E:
( )
mm 7.73
mm 200mm 0.300mm 514.0
=
−=
=′′
xx
xHDBH
DDBB
↓= mm 928.1Eδ
( )
mm 928.1mm 7.73
mm7.73400mm 300.0
=
+=
=′′
E
E
HDHE
DDEE
δ
δ
Problème 2.1
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Coefficient de Poisson
• Pour une barre mince soumise à un chargement axial :
0=== zyxx E σσσε
• L’allongement dans la direction x est accompagnée par une contraction dans les autres directions. En supposant que le matériau est isotrope (pas de dépendance directionnelle),
0≠= zy εε
• Le coefficient de Poisson est défini par
xz
x
y
εε
εεν −=−== axiale ndéformatio
latérale ndéformatio
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Loi de Hooke généralisée
• Pour un élément soumis à un chargement multi-axial, les composantes de la déformation axiale résultante, peuvent être déterminées par le principe de superposition. Ce qui implique :
1) La déformation est linéairement dépendante de la contrainte 2) les déformations sont et restent petites
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
σνσνσε
νσσνσε
νσνσσε
+−−=
−+−=
−−+=
• Avec ces restrictions:
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Déformation en cisaillement
• Un élément cubique soumis à une contrainte cisaillante va se déformer en rhomboèdre. La déformation en cisaillement correspondante est quantifiée en termes de changement d’angle entre ses faces,
( )xyxy f γτ =
• Une courbe représentant la contrainte de cisaillement / déformation en cisaillement est similaire à la courbe de la contrainte normale / déformation normale, sauf que les valeurs de résistance sont approximativement divisées par deux. Pour de petites déformations,
zxzxyzyzxyxy GGG γτγτγτ ===
où G est le module de rigidité ou module de cisaillement.