Octobre 2011 Roland Charnay 1
RESOLUTION DE PROBLEMES ET CALCUL
au cycle 2
Octobre 2011 Roland Charnay 2
L’enseignement du calcul, une question complexe
• Quart d’heure de calcul mental• Soustraction posée ou non au
CE1
Souvent ramenée à celle de la
maîtrise du calcul mental et des
techniques opératoires (cf. débats récents)
Mais qui englobe d’autres aspects…
Octobre 2011 Roland Charnay 3
Maîtriser une opération
Procédures, techniquesRésultats
à mémoriser, automatiserà savoir élaborer
Langage, évocationanalogique
verbalsymbolique
JustificationsPropriétés
Problèmes
Exemple du triple code : petits nombres
42011 - Roland Charnay
5cinq
Exemple du triple code : numération décimale
52011 - Roland Charnay
173cent soixante-treize
2011 - Roland Charnay
Exemple du triple code multiplication
6
3 x 44 x 3
Trois fois quatre
Quatre multiplié par trois
Produit de trois par quatre
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Qu'est-ce que savoir calculer ?
• traduction d’une situation en termes mathématiques
• Interprétation des résultats
Etre capable de rendre des situations
calculables
• de façon automatisée ou raisonnée • pour aboutir à un résultat exact ou
approché
Etre capable de traiter des
calculs, soi-même
• Calculatrice• Tableur au collège
Etre capable d'organiser un calcul pour le
rendre exécutable par une machine
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PLAN
Les problèmes arithmétiquesLes moyens de calcul
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LES PROBLÈMES ARITHMÉTIQUES
DifficultésModalités de
résolutionPistes de travail
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Exemple au CE1 (d’après Cap Maths)
Combien y a-t-il d’enfants sur le
bateau ?
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Ce qui peut faire difficulté
• Prendre les informationsLire
• Comprendre, interpréterSe construire une
représentation mentale de la
situation• Raisonner• Faire appel au sens des concepts
Imaginer une résolution possible
• Gérer des calculs, une schématisation…
La mettre en œuvre, la mener à son terme
• Trouver la réponse à partir des traitements
Interpréter les traitements réalisés
• Selon une forme adaptée ou demandée
Communiquer la réponse
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Mais aussi… l’idée que les élèves se font de
l’activité « Résoudre un problème »
• C’est trouver la bonne opérationRésoudre un problème
• C’est utiliser une opération étudiée récemment
Résoudre un problème
• C’est chercher des mots « qui aident » dans l’énoncé
Résoudre un problème
• C’est inventer, explorer…Résoudre un problème
Roland Charnay - 2011 13
Schéma d’analyse sommairedes sources de difficulté
Connaissances et compétences
en lecture (ordre des informations,
place de la question)
sur le contexte
sur les concepts mathématiques
(sens, expertise pour certains problèmes)
raisonnement
en calcul
Connaissances
sur ce qui est
attendu
sur ce qui est
permis
sur ce qui marche souvent
sur "l'accueil
" des erreurs
A la bonne place (éva début CE2)
Roland Charnay - 2011 14
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.
367 582 309
300
400 500 600
300 309 400 367 500 582 60
0
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Quelles résolutions possibles (le bateau)
A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
B
25 + 5 = 30 + 30 = 60
5 + 30 = 35
C 2 5+ . . 6 0
D60 – 25 = 35
E
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Différentes modalités de résolution
Résolution dans la réalité
Résolution par simulation de la réalité, plus ou moins schématisée (par des objets, par un dessin, par des objets « symboliques » : traits, croix…), puis recours au comptage
Résolution par une série de calculs proches de « l’action »
Résolution utilisant une opération connue (ou plusieurs)
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Quelle représentation de la tâche ?
Trouver la bonne opération
• Statut du brouillon• Acceptation de
modalités différentes de résolution
• Exploitation de la diversité des modalités
Elaborer un
moyen de
répondre à la
question
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Aider à la représentation de la situation
L’énoncé écrit n’est qu’une façon de présenter un problème
L’image est en est une autre La simulation une autre encore Le problème posé à partir d’une
expérience doit prévaloir au cycle 2
Au cycle 2, l’abus de travail sur fiches nuit gravement aux apprentissages mathématiques
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Schéma pour des situations d’apprentissage
RéelFavorise
l’appropriation de la situation et du
problème
Anticipation
Incite à l'expérience mentale
Permet la validation de la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des procédures
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Difficultés pour identifier les opérations pertinentes
L’opération en jeu n’est pas toujours un bon critère
Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8 billes de plus que le matin. Pourtant, la journée avait mal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes. Que s'est-il passé l'après-midi ?
21 % de réponses exactes (entrée 6e)
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Difficultés pour identifier les opérations pertinentes
La concordance avec le sens « primitif » du concept intervient fortement La soustraction pour « le bateau » est un cas
de discordance D’où la nécessité d’apprendre que la résolution
« par soustraction » est équivalente à la résolution « par complément »
La taille des nombres intervient également Soustraire 28 de 31 est plus difficile que
« Combien ajouter à 28 pour avoir 31 » ?
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Aider à progresser…
Prise de conscience au cours de la mise en commun
Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes
Choix des variablesExemple : 100 passagers, 5 adultes
Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2 « résolutions » (ici validation expérimentale)
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Quels problèmes au cycle 2 ?La plupart des problèmes qui seront
« un jour » résolus par addition, soustraction, multiplication ou division peuvent être proposés tout au long du
cycle 2Ils sont d’abord résolus par des modes
de résolution personnels
Puis, par des modes de résolution experts, lorsque ceux-ci sont enseignés au cycle 2 ou au
cycle 3
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LES MOYENS DE CALCUL
Différents moyens
Etat des lieuxPistes de travail
25Octobre 2011 Roland Charnay
Les moyens de calcul
CALCUL AUTOMATISE
CALCUL REFLECHI OU RAISONNE
Résultat exact Résultat approché
Calcul mental
RésultatsProcédures
Procédures construiteschoix des arrondis
Calcul écrit
Techniques opératoires
Procédures construiteschoix des arrondis
Calcul instrumenté
Calculs usuels
Ex : passer de 23 à 100 avec
x2 et +1
26Octobre 2011 Roland Charnay
Quelques résultats à l’entrée au CE2
24 + 6 83 %36 + 11 79 %32 + 9 77 %10 x 9 68 %
45 + 15 64 %21 x 2 55 %48 - 11 52 %51 - 30 49 %43 - 5 49 %
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QUELQUES REPÈRES POUR LES CALCULS ADDITIFS ET
SOUSTRACTIFS(CALCUL MENTAL)
Trois catégories de procédures
Appui sur l’aspect cardinal Quantités réelles ou évoquées (doigts, jetons,
dessins…) Appui sur l’aspect ordinal
File numérique : avancer de 4 au-delà de 8 Ou avancer de 2, puis de 2
Appui sur le calcul (connaissances numériques) 8 et 2 et encore 2 8 plus 4 mémorisé
2011 - Roland Charnay 28
8 + 4
Des repères mentaux et figuratifs pour les nombres
Le subitizing (jusqu’à 3 ou 4)
2011 - Roland Charnay 29
Les relations avec 5 et 10 Doigts Avec la constellation
Passage à 7, à 3… Idem avec 10 (comme 2 fois 5)
Passage de 7 à 10 Passage de 10 à 12
File numérique
2011 - Roland Charnay 30
1 2 3 4 5 6 7
Les relations avec les doubles
2011 - Roland Charnay 31
2011 - Roland Charnay 32
Comment aider les élèves
à mémoriser les tables ?
2011 - Roland Charnay 33
Qu’est-ce qu’avoir mémorisé ?Exemple avec 6 +7
6 + 7 et 7 + 6 sont égaux à 13Pour aller de 6 à 13, il y a 7Pour aller de 7 à 13, il y a 613 – 6 = 7 et 13 – 7 = 613 se décompose, entre autres, en 6 +
7 et en 7 + 6
Addition et multiplicationDes conditions différentes
Addition Mémorisation complète Mémorisation partielle et reconstruction
instantanée Multiplication
Mémorisation complète
2011 - Roland Charnay 34
Des points de repèrepour la mémorisation
Pour le domaine additif Aperçu pour le domaine muktiplicatif
2011 - Roland Charnay 35
Comprendre aide à mémoriser
(référence, contrôle) Addition sous le double aspect Cardinal : réunion ou augmentation de
quantités Ordinal : avancer sur une piste
numérotée Multiplication sous un triple aspect
Itération de quantités Organisation « rectangulaire » de
quantités Addition itérée (fois)
2011 - Roland Charnay 36
Possibilité de construire ou de retrouver
des résultats inconnus ou oubliés
Répertorier et organiser aide à les mémoriser
Rassembler des résultats en vrac (affiche)
Chercher à les organiser Compléter avec ceux qui manquent
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Organisation sous forme de listes (CP, CE1)
5 6 7 8 …0 + 51 + 42 + 33 + 24 + 15 + 0
0 + 61 + 52 + 43 + 34 + 25 + 16 + 0
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Organisation sous forme de tableau(à partir du CE2)
2 3 4 52 4 6 8 103 6 9 12 154 8 12 16 205 10 15 20 25
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Points d’appui pour la mémorisation
Commutativité S’appuyer sur des régularités ou des
propriétés Ajouter ou soustraire 1 : dire le suivant ou
le précédent De 3 en 3 dans la table de 3… Alternance de 0 et de 5 dans la table de 5
S’appuyer sur des résultats connus Doubles, compléments à 10… Voisins
2011 - Roland Charnay 40
Etapes de la mémorisation(par zones numériques pour
l’addition)0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789
2011 - Roland Charnay 41
Etapes de la mémorisation(par tables pour la multiplication)
Tables de 2 et de 5 Tables de 4 et de 8 (doubles à partir de celle
de 2) Tables de 3 et de 6 Table de 9 avec ses particularités
4 x 9 = 36 3 + 6 = 9
Table de 7 (ne reste que 7 x 7 !)
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- 1
Autres conditions
S’entraîner, répéter (jeux de calcul…) Savoir ce qu’on sait et ce qui reste à
apprendre Lien entre conditions de mémorisation
et possibilités de « rappel » éviter la récitation des tables Interroger sur sommes, différences,
compléments, décompositions
2011 - Roland Charnay 43
2011 - Roland Charnay 44
Le cas du calcul réfléchi
Octobre 2011 Roland Charnay 45
Le calcul réfléchi se caractérise par…
La diversité des procédures
Exemple de 32 + 9 2 + 9 = 11 30 + 11 = 41 32 + 8 = 40 40 + 1 41 31 + 9 = 40 40 + 1 = 41 32 + 10 = 42 42 – 1 = 41 31 + 1 + 9 = 31 + 10 = 41Etc.
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Le calcul réfléchi se caractérise par…
La recherche d’une stratégie
Réfléchir un calcul, c'est raisonner pour le remplacer par un calcul souvent plus long, mais plus simple, ce qui nécessite l'appui sur des connaissances.
Octobre 2011 Roland Charnay 47
Exemple : calcul d'une différence
100 – 97
Remplacé par 97 pour aller à 100
(Equivalence complément –
soustraction)
100 – 3
Remplacé par "reculer de 3" (sens primitif de la soustraction)
Utilisation de 10 – 3(implicite : 90 + 10 – 3)
Octobre 2011 Roland Charnay 48
Le calcul réfléchi se caractérise par…
Le fait qu'aucune procédure n'est à privilégier : le calcul réfléchi est un calcul personnel
L'importance de l'explicitation et de l'échange
Octobre 2011 Roland Charnay 49
L'APPRENTISSAGE DU CALCUL MULTIPLICATIF
Différents langagesLe répertoire
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Au départ : même démarche Des problèmes vers le calcul
Problème des tours (Cap maths, CE1)
Combien de tours, toutes pareilles, peut-on construire avec ces 30 cubes ? Trouvez toutes les possibilités. Il faut utiliser chaque fois tous les cubes.
Problème présenté oralement, les cubes sont présents dans une boîte, mais non disponibles. ..
Octobre 2011 Roland Charnay 51
Des procédures variées
•Recensement des réponses3 tours de 10 cubes 5 tours de 6 cubes 10 tours de 3 cubes 15 tours de 2
cubes…
•Expression des procédures et contrôle des réponses
Dessin
Comptage de n en n
Ecriture additive
Expression avec « fois »
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L'écriture 3 x 10 est rattachée… À des réalisations "concrètes" (tours)
À une expression orale significative avec le mot "fois", déjà installée
Au comptage de 10 en 10 ou de 3 en 3
A l'addition répétée