SEMANA 1 – ARITMÉTICA - “TEORÍA DE CONJUNTOS” Y “SISTEMAS DE NUMERACIÓN”
1. Lorena estudia y/o juega todos los días en el mes de febrero (año no bisiesto), a excepción de 2 días. Si estudió 18 días y jugó 15 días. ¿Cuántos días estudió y jugó en el mismo día?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
SOLUCIÓN
El total de días de febrero que realiza estas actividades son: 28 – 2 = 26
Al sumar 18 + 15 = 33 se observa que el exceso es de: 33 – 26 = 7, lo cual corresponde a la intersección de ambos conjuntos, que es lo solicitado.
RESPUESTA: C
2. Dado los conjuntos unitarios: A= {(m - p); 2}; B= {(m + p); 10}. Si C= {2; 2p-m; m; p}, hallar el número de elementos del Conjunto Potencia de C.
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
SOLUCIÓN
Si los conjuntos A y B son Unitarios, significa que tienen un solo elemento, por lo que se puede deducir, que los dos elementos que se indican para cada uno de ellos, son iguales:
→ m + p = 10 → m = 6 y p = 4 → C = {2; 2.4-6; 6; 4} → C= {2; 6; 4}
m - p = 2
→ n (C) = 3 → n [P(C)]= 23 = 8 RESPUESTA: D
3. Si A = {x3-1/ xϵZ y, -2< x ≤2}. ¿Cuál es la suma de los elementos del conjunto A?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 16
SOLUCIÓN:
Para poder realizar la suma solicitada, hay que determinar el conjunto A por extensión x: -1; 0; 1; 2
Elevando al cubo y luego restando 1 a cada elemento “x”, se tendrán los elementos del conjunto A= {-2; -1; 0; 7} → Suma= 7 - 3 = 4 RESPUESTA: A
4. De los asistentes a una fiesta, 30 parejas se encuentran bailando, siendo los hombres que no bailan 1/3 de los que bailan y, las mujeres que no bailan, el doble de los hombres que no bailan. ¿Cuántos son los asistentes a dicha fiesta?
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 95
SOLUCIÓN: H M
Bailan
No bailan
Total 40 + 50 = 90
RESPUESTA: D
5. Hallar 2a – b, si aba(5) = 119
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
SOLUCIÓN:
Por divisiones sucesivas encontramos el equivalente de 119 en Base 5.
RESPUESTA: A
6. Hallar “m” si 443(m) = 353(9)
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
119 5 19 23 5 4 3 4
∴aba (5)= 434(5) → 2a – b = 8 – 3 = 5
30 30
10 20
SOLUCIÓN:
Aplicando la descomposición polinómica tenemos:
4m2 + 4m + 3 = 3.81 + 45 + 3 → 4m(m + 1) = 288 → m(m + 1) = 72 = 8 . 9
∴ m = 8 RESPUESTA: D
7. Un numeral N de la base decimal, convertido a base “n”, resulta ser el mayor número de 3 cifras, y en base “2n”, es el mayor número de 2 cifras. ¿Quién es el número N?
A) 60 B) 63 C) 70 D) 77 E) 80
SOLUCIÓN:
Simbólicamente estos mayores números son:
(n−1 ) (n−1 ) (n−1 )(n) = (2n−1)(2n−1)(2n). Convertidos a base 10:
→ n3 – 1 = (2n)2 – 1 → n3 = 4n2 → n2 (n – 4) = 0 → n = 4 ∴ 333(4) = 77(8)
Expresando N en base 10 : N= 63 RESPUESTA: B
8. De un libro se perdieron las 120 primeras páginas. ¿Cuántas páginas quedaron, si se emplearon 1332 cifras al enumerar todo el libro?
A) 480 B) 360 C) 380 D) 280 E) 260
SOLUCIÓN:
Conociendo el total de cifras empleadas en la enumeración del libro, podemos encontrar el número de páginas N del libro:
(N + 1) 3 – 111 = 1332 → N = 14433
−¿ 1 = 480
→ Se perdieron: 480 – 120 = 360 páginas RESPUESTA: B
9. Si los cardinales de los conjuntos A; B y C son números enteros consecutivos. Además:n[P(A)] + n[P(B)] + n[P(C)] = 1792 Entonces el valor de: E= n(A) + n(B) + n(C)
A)26 B)27 C)28 D)29 E)30
SOLUCION
n(A)= a; n(B)= a+1; n(C)= a+2
2a + 2a+1 + 2a+2 = 1792
2a (1+2+22) = 1792; 2a = 256
2a=28; a=8; a+1=9; a+2=10
8+9+10=27 (RPTA B)
10. Consideremos el conjunto N={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}
Determinar por extensión el conjunto T={nЄN/n2 ЄN}
Dar la suma de elementos de T.
A)86 B)42 C)30 D)24 E)6
SOLUCION
n2={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9:10}
n=0; 1;√2; √3; 2; √5; √6;√7;√8; 3; √10 Pero n Є N → n: 0;1;2;3
T={0;1;2;3} → suma de Es de T
1+2+3 = 6 (RPTA E)
11. En una reunión hay 3 mujeres por cada 5 asistentes. Si la cuarta parte de las mujeres no habla inglés y la tercera parte de los hombres sí. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión? Considera que 75 personas no hablan inglés.
A)120 B)150 C)180 D)165 E)210
SOLUCION
T= m+h = 5k; mT
= 35
m= 3k; T= 5k; h= 2k
m No inglés 3k4
h SI ingles 2k3
h NO ingles 2k❑
- 2k3
= 4 k3
DATO. h NO + m NO = 75
→ 3k4
+4 k3
=¿ 75
→k =36; pide T
5K =5.36 = 180 (RPTA C)
12. La clase del primer año de la facultad de ciencias de la salud de la UNSM está formada por 200 estudiantes, de estos 80 son mujeres; 146 estudian biología y 24 son mujeres que no estudian biología ¿Cuántos hombres no estudian biología?
A)45 B)38 C)32 D)30 E)25
SOLUCION
h = 120
m = 80
TOTAL
Estudian biología
90 56 146
No estudian biología
30 24 54
TOTAL 120 80 200
Hombres que no estudian biología son 30 (RPTA D)
13. Calcule “k”, sabiendo que en la base 12 existen 38880 numerales de “k” cifras, tales que todas sus cifras son pares.
A)11 B)9 C)7 D)6 E)5
SOLUCION
N =abc …………. X(12)
200…………. 0
422…………. 2
644…………. 4
866…………. 6
1088………… 8
1010…… ..10
5. 6. 6 ……… 6 = 38880
5. 6n = 5 × 65
→ “N” Tiene 6 cifras (RPTA D)
14. Hallar un número tal que al convertirlo a 2 sistemas de numeración de bases pares consecutivos se representan como 46 x; 12 x1, si la suma de la base menor y la cifra “x” es menor de 12.
A)207 B)303 C)307 D)404 E)407
SOLUCION
46 X (2n + 2) = 12 X 1(2n)
DATO: 2n + x ¿ 12
2n + 2 > 6
Podemos deducir:
6 < 2n + 2 < 12
“n”: 3; 4 cumple para n = 3
46 x (8) = 12 x1(6)
4. 64 + 6. 8 + x = 216 + 2. 36 + 6X + 1
304 + X = 289 + 6X
X = 3
En sistema decimal 304 + x
304 + 3 = 307 (RPTA C)
15. En cierto sistema de numeración, de todos los números que se escriben en 4 cifras, hay 42 que son capicúas ¿Cuántos no son capicúas?
A)7200 B)6300 C)3420 D)2870 E)2016
SOLUCION
Abb a(n) ab cd (7)
1 0 1 0 0 0
2 1 2 1 1 1
3 2 . 2 2 2
. 3 . . . . .
. . 6 . . .
. . . 6 6 6
. . 6.7. 7. 7 = 2058
. .
6×7 n = 42
↘ n = 7
No capicúas 2058 – 42 = 2016 (RPTA E)
16. Al enumerar la tercera parte de las primeras páginas de un libro, se utilizó 972 cifras. ¿Cuántas cifras empleó en todo el libro?
A)2800 B)2970 C)3213 D)3312 E)4312
SOLUCION
#cifras = (N + 1). K – 111… ..11⏟
“k” unos
Hallando total de páginas
972 = (N3
+1¿. 3 – 111
N = 1080
TOTAL CIFRAS = (1080 + 1). 4 -1111
3213 (RPTA C)
SEMANA 02. CUATRO OPERACIONES – DIVISIBILIDAD CICLO 2013 - I (ACELERADO)
1. Se tiene un numero de 2 cifras, donde el duplo de la cifra de las decenas restado de la cifra de las unidades
es mayor que 5 y la diferencia de 14 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es menor que 112.
Indique cuál es la diferencia de cifras.
A) 1 B) 7 C) 4 D) 3 E) 2
Solución: Sea el #: ab
b-2a >5… (I)
14b – a < 112…(II)
De (I)
b > 2a+5
como “b” es un dígito la única posibilidad es que a = 1
b > 7 ; b = 8 , 9
si b = 8, en la expresión (II) se tiene
14 (8) – 1 < 112
111 < 112 cumple
Si b = 9 , en (II)
14 (9) – 1 < 112
125 < 112 ; no cumple
Entonces: ab = 18
Luego b – a = 7
RESPUESTA: “B”
2. Se suman los complementos aritméticos de los números de tres cifras en el sistema quinario; entonces, la
suma de cifras de dicho resultado en el sistema decimal es.
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
Solución:
Los números en base 5 : 100(5 ; 101(5 ; 102(5 ; …..; 444(5
Sus complementos respectivos son:
CA [100(5] = 400(5 = 100
CA [101(5] = 344(5 = 99
CA [102(5] = 343(5 = 98
CA[444(5] = 1(5 = 1
Suma en base 10 = 1+2+3+4+……..+98+99+100
S ¿100 (101 )2
= 5050
Luego suma de cifras = 5+0+5+0 =10
RESPUESTA: “B”
3. Halle a+b: si 1(5)+2(6)+3(7)+…+a(b) = 3710
A) 40 B) 44 C) 50 D) 36 E) 52
Solución: 1(1+4)+2(2+4)+3(3+4)+…+a(a+4) = 3710
(12+22+32+…+a2)+4(1+2+3+…+a) = 3710
a (a+1 )(2a+1)6
+ 4 [a(a+1)2
¿ = 3710
a = 20 ˄ b = 24
luego a+b = 44
RESPUESTA: “B”
4. Hallar “a”, si 55a (a+1) =9o
A) 8 B) 9 C) 10 D) 7 E) 6
Solución: 5+5+a+(a+1) = 9o
11+2a = 9o
9+2+2a = 9o
2+2a = 9o
Se cumple cuando a = 8
RESPUESTA: “A”
5. En un barco donde iban 100 personas ocurre un naufragio, de los sobrevivientes se sabe que la doceava
parte eran mujeres y que la quinta parte de los muertos eran casados. ¿Cuántos murieron?
A) 30 B) 40 C) 50 D)60 E)70
Solución:
# de mujeres =112
(sobrevivientes) sobrevivientes = 12o
# casados = 15
(muertos) muertos = 5o
Como: Sobrevivientes + Muertos = 100
12o + 5o = 100
60 + 40 = 100
Luego # de muertos = 40
RESPUESTA: “B”
SEMANA #03 ARITMETICA: NUMEROS PRIMOS Y MCD – MCM CICLO 2013-I(ACELERADO)
1. Calcular la suma de los divisores comunes de 23760 que sean PESI con 572.A ¿180 B ¿240 C ¿300 D ¿325 E ¿360 Solución: 23760=24 x33 x5 x11
572=22 x11 x 13 Para PESI eliminamos lo que repite no importa la potencia y se toma solo lo que queda del primer número.24 x33 x5 x1122 x11 x 13
=33 x513
Se toma solo 33 x5=135
SD135=( 34−12 )( 52−14 )=240
RESPUESTA: “B” 2. El producto de los divisores de un número (N) es 236 x 312 x 524. Hallar en cuantos ceros termina N!.
A ¿190 B ¿180 C ¿168 D ¿148 E ¿140 Solución:
PDN=236 x 312 x 524=(23 x3 x 52 )12=600
Se hace divisiones sucesivas de 600 entre el factor mayor de la base en este caso “5”.
4
55
5
120
600
24
No importa residuos, se suma los cocientes:120+24+4=148 RESPUESTA: “D”
3. ¿Cuantos terrenos rectangulares diferentes existen, cuya área sea860m2 y sus dimensiones miden un numero entero de metros?A ¿14 B ¿12 C ¿6 D ¿8 E ¿10 Solución:
860=22 x 51 x 431 DN=(2+1 ) (1+1 ) (1+1 )=12
FDN=DN2
=6
RESPUESTA: “C”
4. Al aplicar el algoritmo de Euclides para hallar el MCD de dos números se obtienen como cocientes sucesivos 3; 4; y 3; si la diferencia de dichos números es 580; entonces el menor de los números es: A ¿420 B ¿380 C ¿340 D ¿260 E ¿240 Solución:
42d−13d=29d→29d=580→d=20 Menor 13d=260 RESPUESTA: “D”
5. Las dimensiones de un terreno rectangular son 712 y 336m. Se desea parcelarlo en terrenos cuadrados de tal modo que no sobre nada y se obtenga el menor número de parcelas ¿Cuantas parcelas cuadradas resultaran? A ¿3738 B ¿2432 C ¿872 D ¿640 E ¿516 Solución:
Hallamos MCD (712;336 )=8El # de terrenos cuadrados es: 712x 3368x 8
=3738
RESPUESTAA 6. Hallar el número de divisores compuestos que tiene N = 12n . 15m, sabiendo que tiene en total 75
divisores.A)69 B) 70 C) 71 D) 72 E) 73
3 4 342d 13d 3d d
3d d 0
Solución:
N = 12n . 15m = 22n . 3n . 3m . 5m = 22n. 3n+m. 5m → Hay 3 divisores primos→ N° de divisores simples: 3 + 1 = 4∴ N° de divisores compuestos= 75 – 4 = 71
RESPUESTA: “C”
7. El producto de los divisores de un número es 236 x 324 x 712. Hallar cuántos divisores múltiplos de 21 tiene dicho número.A)8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15
Solución:
Hallar la suma de dos números cuya diferencia es 135, su MCD es 45 y su MCM es 1 260.A)384 B) 495 C) 521 D) 611 E) 730
SOLUCIÓN:
RESPUESTA: “A”8. La diferencia de dos números es 135 y su mcm de las mismal es 1260; hallar la suma de los
numero A – B = 135; d = 45; m = 1 260 ; A + B = d(α + β) = ¿?A)430 B)495 C)510 D)535 E)545
Solución:
RESPUESTA: “B”
9. Si el MCD de (77A; 44A; 11A) es 33, hallar su MCM.A)308 B) 520 C) 683 D) 924 E) 1 100
Solución:
El MCD de estos 3 numerales es 11A = 33 → A = 3∴ MCM = 3 x 11 x 7 x 4 = 924
RESPUESTA: “D”
10. Al hallar el MCD de 2 números por el algoritmo de Euclides, se obtuvo como cocientes: 1; 2; 1; 19 y 4. ¿Quién es el número menor si la diferencia de ambos es 324?.A)320 B) 415 C) 509 D) 738 E) 956
Solución: Después de llenar la Tabla a partir de los datos del problema:
P = 236. 324. 712 = (23 x 32 x 7)12= = (23 x 32 x 7)24/2
N
CD(N) = 4 x 3 x 2 = 24
N = 3 . 7 (23. 3) → CD( ) 4 x 2 = 8
A – B = d( α – β) = 45 x 3 → α – β = 3 α = 7
m = d . α . β = 1 260 = 45 x 28 → α . β = 28 β = 4
∴ A + B = 45( 7 + 4) = 495
1 2 1 19 4320d 239d 81d 77d 4d d
81d 77d 4d d 0
320d – 239d = 324 → d = 32481
= 4
Menor número: 239 x 4 = 956
RESPUESTA: “E”11. Determinar la cantidad de divisores compuestos de N = 243 . 212
A) 184 B) 180 C) 176 D) 189 E) 183
Solución:
N = (23 . 3)3 . (3 . 7)2
= 29 . 35 . 72
CD (N) = (9 + 1)(5 + 1)(2 + 1) → CD (N) = 180
D (primos) = 3 → 180 = 1 + 3 CD (Compuestos)CD (Compuestos) = 176
RESPUESTA:”C”
12. Determinar el valor de “n”; si el número: N = 15 . 18n, tiene 144 divisores.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 7Solución:
N = (3 . 5) . (2 . 32)n
= 3 . 5 . 2n . 32n→ 2n . 32n+1 . 51
CN (n) = 144
Luego:
(n + 1)(2n + 2)(1 + 1) = 144(n + 1)2(n + 1)(2) = 144 (n + 1)2 = 36 n = 5RESPUESTA: “C”
13.¿Cuántos ceros hay que agregar a la derecha de 275 para que el número resultante tenga 70 divisores?
A) 5 B) 11 C) 3 D) 4 E) 7
Solución:
N = 275000…00
“n”
N = 275 . 10n → N = 52 . 11 . (2 .5)n → N = 2n .5n+2 . 11
Como CD(N) = 70 → (n + 1)(n + 3)(2) = 70 → (n + 1)(n +3) = 35
1 2 1 19 4320d 239d 81d 77d 4d d
81d 77d 4d d 0
320d – 239d = 324 → d = 32481
= 4
Menor número: 239 x 4 = 956
(n + 1)(n +3) = 5.7 n = 4
RESPUESTA:”D”14. Si MCD (3A ; 24C) = 18N y MCD (2C ; B) = 2N. Calcule N si MCD (A ; 4B ; 8C) es 21000.
A) 10500 B) 21000 C) 13500 D) 12200 E) 12400
Solución:
(3A ; 24C) = 18N MCD(A ; 8C) = 6N ………. (1)
MCD (2C ; B) = 2NMCD (8C ; 4B) = 8N ………(2)
De (1) y (2):
MCD (A ; 4B ; 8C) = MCD (6N ; 8N) = 2N
Intervienen los tres números. Nos piden:
MCD (A ; 4B ; 8C) = 21000 = 2N → N = 10500
15. La suma de dos números A y B es 651, el cociente entre su MCM y su MCD es 108. Halle (A - B).
A) 108 B) 216 C) 713 D) 483 E) 438
Solución:
A = dq1 ; B = dq2 ; donde: dq1 y dq2 son números primos.
Luego: MCM (A ; B) = D . q1 . q2
MCM (A ;B)MCD(A ; B)
=q1 . q2=22 .33
q1 = 33 ^ q2 = 22
A + B =d(q1 + q2) = 651 → d(27 + 4) = 651 → d = 21
(A – B) = d(q1 - q2) = 21 . 23 = 483
Luego: (A – B) = 483
RESPUESTA:”D”
16. Determinar la cantidad de divisores compuestos de N = 243.212
A) 180 B) 177 C) 176 D) 194 E) 175
Solución:
CD(N) = CD compuestos + CD primos +1 …(I)
N = (23.3 )3 (3.7)2 = 29.35.72
En (I) : (10)(6)(3) = CD compuestos +3+1
176 = CD compuestos
RESPUESTA: “C”
17. ¿Cuántos divisores impares tiene 37 800?
A) 36 B) 48 C) 52 D) 72 E) 24
Solución: 37 800 = 23.33.52.71
Para calcular divisores impares tarjamos base prima dos
CD(impares) = (4) (3) (2) = 24
RESPUESTA: “E”
18. ¿cuántos de los divisores de 396 000 son divisibles por 3 pero no por 5?
A) 24 B) 36 C) 18 D) 72 E) 48
Solución: 396 000 = 25.32.53.11 Divisores 3o pero no 5o
3o 15o 5o
24 72 36
CD(3o) = 3 [25.3.53.11] = (6)(2)(4)(2) = 96
CD(5o) = 5 [25.32.52.11] = (6)(3)(3)(2) = 108
CD(15o) = 15 [25.3.52.11] = (6)(2)(3)(2) = 72
Luego la cantidad de divisores múltiplos de 3 pero no de 5 será: 96 – 72 = 24
RESPUESTA: “A”
19. Hallar el producto de los divisores del número: N = 124.203. Dar como respuesta el menor exponente de
su descomposición canónica.
A) 4200 B) 1200 C) 900 D) 450 E) 840
Solución:
N = 214.34.53
CD(N) = (15)(5)(4) = 300
PD(N) = √ (214 .34 .53 )300 = √24200 .31200 .5900=22100 .3600 .5450
Luego el menor exponente es: 450
RESPUESTA: “D”
20. ¿ Cuál es el exponente de 2 en la descomposición canónica de 212!
A) 511 B) 1023 C) 2047 D) 4095 E) 8191
Solución: Para hallar el exponente de 2 bastará dividir sucesivamente 212 entre 2 y sumar los cocientes.
212 2
0 211 2
210 2
29
.
.
22 2
2 2
1
Luego exponente de dos es: 1+2+22+23+…+211 = 212 – 1 = 212 – 1 = 4095 2 - 1
RESPUESTA: “D”
SEMANA 04 ARITMETICA: CICLO 2013-I1. Hallar una fracción propia e irreductible de denominador 90 que este comprendido entre ¼ y 1/5.
A ¿17/90 B ¿18 /90 C ¿19 /90 D ¿21/90 E ¿23/90
SOLUCION:15< N90
< 14
; multiplicando por 90
905
< 90N90
< 904
, 18<N<22,5 → N :19 ;20;21 ;22
para F.P.I tenemos: N=19
f=1990
………………….
RESPUESTA “C”2. A un alambre de 380m de longitud se le han dado 2 cortes de manera que la longitud de cada trozo
sea igual al anterior aumentado en su mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo mas largo?A ¿90 B ¿120 C ¿160 D ¿180 E ¿195 SOLUCION:
x (x+ x2 ) [(x+ x
2 )+ 12 (x+ x2)]
x+3 x2
+ 9 x4
=380→x=80
Mayor: 9 x4
=9.804
=180m
RESPUESTA “D”3. Se deja caer una pelota de tenis desde 432cm de altura, si en cada rebote se eleva 2/3 de su altura
anterior. Después de cuantos rebotes se elevara 128cm.A ¿2 B ¿3 C ¿ 4 D ¿5 E ¿6 SOLUCION:
( 23 )n
x 432=128 → Simplificando
( 23 )n
= 827
→ ( 23 )n
=( 23 )3
→n=3
RESPUESTA “B” 4. La media proporcional de 2 números es 35. Si la proporción continúa que se forma, tiene por razón
S/7. Hallar la media diferencial de los términos extremos.A ¿21 B ¿22 C ¿23 D ¿24 E ¿25 SOLUCION:
a35
=35b
=k →k=57
a35
=57
→a=25
35b
=57
→b=49
b−a=49−25=24 RESPUESTA “D”
5. En una proporción geométrica continua los términos extremos están en la relación de 9 a 16. Si la diferencia de los antecedentes es 15. Hallar la suma de los consecuentes. A ¿80 B ¿120 C ¿140 D ¿150 E ¿160 SOLUCION:
ab=b
c=k →
ac= 916
→ a=9k y c=16k
b=√9k .16k→b=12k
c k2
c= 916
→k2= 916
→k=34
dato : b−a=15 ; (12−9 ) k=15→k=5
∑ consecuentes :b+c=(12+16 ) k→28.5=140
RESPUESTA “C” 6. Aumentar 90 en sus 2/9.
A) 109 B) 95 C) 119 D) 110 E) 105SOLUCION:
Toda cantidad contiene sus 9/9. Si a esta cantidad se le agrega 2/9 se obtendrá 11/9. Bastará calcular 11/9 de 90.¡11/9 de 90 = 11.(90/9) = 110
7. En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D, sabiendo que el total de votos ha sido de 15400. Los votos obtenidos por el candidato D es:A) 4200 B) 4600 C) 5500 D) 14320 E) 1080
SOLUCION:A: (3/11)15400 → 4200 votosB: (3/10)15400 → 4600 votosC: (5/14)15400 → 5500 votos4200 + 4620 + 5500 = 14320D: 15400 – 14320 = 1080 votosRESPUESTA: “E”
8. La media diferencial de una proporción es 24. Determinar la razón de la proporción, si el primer extremo es el doble del segundo.A) 6 B) 8 C) 10 D) 16 E) 12
SOLUCION:a – b = c – da – m = m - da - 24 = 24 - d2X - 24 = 24 - X → 3X = 48 →X = 16 24 – 16 = 8
RESPUESTA “: “B”9. En una fábrica embotelladora, se tienen 3 máquinas (A, B y C). Por cada 7 botellas que produce la
máquina A, la máquina B produce 5 y, por cada 3 botellas que produce la máquina B, la máquina C produce 2. En un día, la máquina A produjo 4400 botellas más que C. ¿Cuántas botellas produjo la máquina B ese día? A) 2000 B) 4000 C) 6000 D) 3000 E) 8000
SOLUCION:
A B C7p 5p
3q 2q
(4400 + X) ? XAC
=7 p2q
= 72q ( 35 q )=2110=4400+X
X
→ 5p = 3q2110
=4400+XX
21X = 4400 + 10X → 11X = 4400 → X = 400B = 15x 15.400 = 6000RESPUESTA “C”
10. Se deja caer una pelota desde cierta altura. Calcular esta altura, sabiendo que cada rebote que da alcanza los ¾ de la altura anterior y que en el tercer rebote alcanza 81 cm.
A) 190 B) 191 C) 192 D) 195 E) 197SOLUCION:
34H
H (34
)2H
(34
)3H
(34) 3H = 81
27H64
= 81
H = 192RESPUESTA “C”
11. Se deja caer una pelota desde 20, 48 m; cada rebote que da alcanza ½ de la altura anterior. ¿Cuántos rebotes ha dado si la última altura que alcanzo es de 0; 04m?A) 10 B) 8 C) 12 D) 9 E) 5
SOLUCION:
h(no) = (ab).nH
0; 04 = (12)n (20,48)
N = 9RESPUESTA “D”
12. Una piscina esta llena hasta sus 3/5 partes. Si se sacara 2000l quedaría llena hasta sus 4/7 partes. ¿Cuántos litros falta para llenarla? A) 30 000l B) 25 000l C) 20 000l D) 4000l E) 28 000l
SOLUCION: falta
2/5 n De la figura
n2000 l35n35n−47n = 2000
47n n = 70 000 litros
luego falta para llenarla 25
(70 000) = 28 000 litros
RESPUESTA “E”13. A y B pueden hacer una obra en 4 días, B y C en 6 días y A y C en 8 días ¿En cuántos días
puede hacer la A trabajando solo?
A)435
B) 485
C) 525
D) 495
E) 395
SOLUCION:En un día hacen:
A+B = 14
… (I)
B+C = 16
… (II)
A+C = 18
… (III)
2(A+B+C) = 14
+ 16
+ 18
2(A+16
) = 6+4+324
A = 548
( en 1 hora )
“A” lo hace todo en: 485
días
RESPUESTA “B”14. La suma de los cuadrados de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es
igual a 7225. Calcular la media proporcional si la diferencia de los extremos es 75.A) 18 B)19 C) 20 D) 80 E) 22SOLUCION:
ab
= bc
; dato a – c = 75
a2+2b2+c2 = 7225 b2 = a.c
a2+2ac+c2 = 7225 (a+c)2 = 7225 a + c = 85 a – c = 75 2a = 160 a = 80 c = 5
Piden: b2 = a.c b¿√80(5)
b = 20RESPUESTA “C”
15. SI 5; b; 20; d; e, forman una sucesión de razones iguales continua.Hallar d + e – bA) 110 B) 100 C) 90 D) 40 E) 80
SOLUCION:5b
= b20
= 20d
= de
5b
= b20
; b = 10
b20
= 20d
; d = 40
20d
= de
; e = 80
Piden d + e – b = 40 + 80 – 10 = 110RESPUESTA “A”
16. Dos obreros deben pintar las instalaciones del CPU-T; al trabajar solos, demorarían 12 y 24 días respectivamente. ¿Cuánto tiempo demorarían al trabajar juntos?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11SOLUCION:En 1 día:A realiza: 1/12 de obra; B realiza 1/24 de obra.
A + B realizan: 112
+ 124
= 2+124
= 324
de obra
→ tiempo: 243
= 8 días RESPUESTA “B”
17. Pedro resultó premiado en un juego de azar, gastando 1/3 del dinero ganado en comprarse ropa; 2/5 del resto en cenar en un lugar elegante; 1/3 de lo que le quedó ahorró, dándole el saldo a su madre, que fue de S/. 500. ¿Cuánto fue lo que ganó?A) 3 000 B) 4 800 C) 1 875 D) 2 136 E) 5 000
SOLUCION:Gastó Le queda:
Ropa: 13
D → 23
D
Cena: 25
. 23
D → 35
. 23
D = 25
D
Ahorra: 13
. 25
D → 23
. 25
D = 415
D = 500 → D = 1 875
RESPUESTA “C”
18. La suma de los 4 términos de una proporción aritmética continua es 80. ¿Cuál es el valor de su media diferencial?A)16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
SOLUCION:En : a – b = b – c; a + 2b + c = 80 ….. (1) ; b = ¿?→ a + c = 2b …. (2)De (1) y (2): 2b + 2b = 80 → b = 20 RESPUESTA “E”
19. La suma de 4 números que son proporcionales a 2; 3; 4 y 5 es 6 300; hallar el número mayor.A)2 250 B) 2 300 C) 3 000 D) 3 500 E) 4 100
SOLUCION:a2
= b3
= c4
= d5
= k → a+b+c+d2+3+4+5
= k → 630014
= 450 = k
→ d = 5k = 5 x 450 = 2 250 RESPUESTA “A”
20. En una progresión geométrica continua la suma de los antecedentes es 60. Hallar la media proporcional. A)50 B) 42 C) 23 D) 10 E) 15
SOLUCION:ab
= bc
= k → b = c.k; a = ck2
→ a + b = ck2 + ck = c . k ( k + 1 ) = 60 = 10 . 6 ↓ ↓ ↓ 2 5 6
→ b = c . k = 2 . 5 = 10 RESPUESTA “D”
SEMANA Nº 04 – ARITMETICA “DIVISIBILIDAD” CICLO 2012-III
1. ¿Cuántos números terminados en 6 son múltiplos de 7 entre 720 y 8542?
a) 98 B) 112 C) 118 D) 156 E) 172
Solución:
7=7k=.. . . .. .6⇒K=…8 720<7 k<8542⇒102,8<k<1220,2
103 ;104 ;105 ;………….;1220 K :108 ;118 ;128 ;……….;1218
n=1218−9810
⇒n=112
RESPUESTA: “B”
2. Si 615abc=13+3; hallar el menor valor de abc ; siendo a; b y c diferentes y mayor que cero.
a) 123 B) 124 C) 126 D) 128 E) 129
Solución:
615=(13+4)→ dividimos “4” a una potencia cada vez mayor, entre 13.
4 ° 41 42 43 44 45 46 47 48
13 13 13 13 13 13 13 13 131 4 3 12 9 10 1 4 3
Contando antes que se repita el “1” en este caso ⇒G=6
(13+4)abc=13+3→abc se relaciona con Gaussiano (G)
abc=6 Se ubica en 13+3⇒ 48=46+2=13+3
Por lo tanto abc=6+2=6 k+2⇒abc=6×21+2=128
RESPUESTA: “D”
3. Por S/. 918 se compraran 120 prendas de vestir entre pantalones calzoncillos y polos; si los precios unitarios de cada uno son; S/. 40; S/. 5 y S/. 8 respectivamente. ¿Cuántos polos se compró?
a) 12 B) 25 C) 37 D) 48 E) 71
Solución:
Pantalones = x Calzoncillos = y Polos = Z5 ( x+ y+ z )=120×5→ (1 )→MUltiplicamos por 540 x+5 y+8 z=918→(2)Restando los 2 queda: 35 x+3 z=318 a este dividimos entre 32 x=3→x=335.3+3 z=318→z=71
RESPUESTA: “E”
4. Hallar el mayor valor del producto de a . b tal que a y b cumplan con la siguiente relación:
5 .7ab+6ab=30+a+b
a) 32 B) 30 C) 28 D) 24 E) 21
Solución:
5(6+1)ab+6 (5+1)ab=30+a+b
30+5+30+6=30+a+b
a+b=119+2→9.2=18
GAUSSIANO
8+3→8.3=247+4→7.4=286+5→6.5=30 (Mayor)
RESPUESTA: “B”
5. Si: N=aabb y además “a” es el doble de “b”; entonces “N” siempre va a ser multiplicado de:
a) 7 B) 17 C) 67 D) 101 E) 203
Solución:
N=aabb→a=2b
Reemplazando:
N= (2b ) (2b )bb
2000b+200b+10b+b=2211b¿3×11×67⇒67
RESPUESTA: “C”
6. Demostrar que siendo “n” un entero cualquiera, la suma:
3.52n+1+23n+1 es divisible por 17.
A) m6 B) m7 C) m17 D)m25 E) m2
Solución:
Si demostramos que este número es múltiplo de 17, será divisible por 17.
Operando los exponentes:
N = 3 . 25n . 5 + 8n . 2 = 15(17 +8)n + 8n . 2 = 15(m17 + 8n) + 8n . 2 = m17 + 15 . 8n + 8n . 2 = m17 + 8n (15 + 2) = m17 + 8n . m17 = m17RESPUESTA: “C”
7. Hallar a y b si: 30ab60=m 99
A) b = 9 ; a = 0 B) b = 18 ; a = 9 C) b = 18 ; a = 0 D) b = 9 ; a = 3E) b = 18 ; a = 3
Solución:m9
30ab60=m 99 m11
Aplicando divisibilidad entre 9:9 (1)
3 + 0 + a + b + 6 + 0 =m9 → a + b 18 (2)
Aplicando divisibilidad entre 11: 0 (3)
b – (6 + a + 3) = b – 9 – am11 (4)
Sólo (1) y (3) cumplen condiciones.
b = 9 ; a = 0
RESPUESTA: “A”
8. El número de niños que va a un nido es menor que 265 y mayor que 95. Si se observa que los 2/7 del total usan mandiles celestes y los 5/13 del total usan mandiles amarillos, ¿Cuál es la suma de las cifras del número que indica la cantidad de niños que no usan ni mandil celeste ni mandil amarillo?
A) 2 B) 7 C) 5 D)6 E) 8
Solución:
Sea “n” el número de niños:
95 < n < 265 (1)
(2/7)n = # entero → n = m7
Usan mandiles amarillos:
(5/13)n = # entero → n = m13
Entonces: n = m7.m13 = m91 = 91k
Reemplazando en (1)
95 < 91k < 265; k Є Z+
(95/91) < k < (265/91)
1(4/91) < k < 2(83/91) → k = 2
Entonces: n = 91(2) = 182
Usan mandil celeste: (2/7)182 = 52Usan mandil amarillo: (5/13)182 = 70
No usan mandil amarillo ni celeste:
182 – (52 + 70) = 60
Luego: 6 + 0 = 6 RESPUESTA: “D”
9. A un número de 4 dígitos, cuyas 3 últimas cifras son iguales se le ha restado otro, que se obtuvo al invertir el orden de las cifras del primero. Si la diferencia es múltiplo de 7, hallar la diferencia.
A) 8111 B) 1118 C) 6993 D) 9222E) 3993
Solución:
El número es la forma: ammmPor condición: ammm + mmma = 7̇Ahora calculando esta diferencia:1000a + 111m - 1110m - a = 7̇999a - 999m = 7̇999 (a - m) = 7̇
→ a - m = 7̇ 8 1 (1) ó 9 7 (2)
De (1) : 8111 - 1118 = 6993De (2) : 9222 - 2229 = 6993
Luego la diferencia es: 6993 RESPUESTA: “C”
10. Un vendedor tiene 6 cestas que contienen huevos. En algunas cestas hay huevos de gallina y en las otras de paloma. El número de huevos de cada cesta es 8, 12, 21, 23, 24 y 29. El vendedor dice: “Si vendo esta cesta, me quedaría el cuádruple de huevos de gallina de paloma”. ¿A qué cesta se refiere el vendedor?
A) 8 B) 12 C) 21 D) 23 E) 24
Solución:
Cantidad total de huevos: 8 + 12 + 21 + 23 + 24 + 29 = 117 (1)Sea “n” el número de huevos que hay en la cesta que piensa vender. Al vender la cesta quedaría:
(117 - n) huevos
Se sabe que: “Si una cantidad es el cuádruple de otra, la suma de estas será 5 veces la menor”. Según esto podemos establecer que el número de huevos de paloma es:
117 - n = m5
De donde se infiere que n termina en 2 ó en 7 (3)
De (3) y (1) se deduce que: n = 12 huevos
RESPUESTA: “B”
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11. En una academia hay 690 alumnos, se observa que los 58
de las mujeres son menores de
17 años, los 311
de las mismas usan jeans y los 25
de ellas postulan a la UNI.
¿Cuántos hombres hay en la academia?A) 440 B) 250 C) 360 D) 300 E) 490
Solución:Por dato: H+M = 690…IAdemás, de las mujeres se sabe que:
Menores de 17 años: 58
(M) M= °8
Usan jeans:311
(M) M = °11
Postulan a la UNI: 25
(M) M = °5
Luego Mujeres = MCM (8, 11.5) = 440Mujeres = 440Hombres =690 - 440 = 250Hombres = 250
RESPUESTA: “B”
12. ¿Cuál es el residuo de dividir: 222…222 entre 9 50 cifras
A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 0
Solución:
2+2+2+2+… +2+2+2 = °9
2(50) = °9
100 = °9
100 = °9
+ 1
RESPUESTA: “B”
23
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13. ¿Cuántos de los números de 3 cifras son divisibles por 2 y 3 a la vez, pero no por 5 A) 110 B) 115 C) 120 D) 124 E) 150
Solución:
N= ¿¿
abc= °30
=30K
100 < ¿¿
abc<1000
100 < 30k < 1000
3,3 < k < 33,3
K = 30 términos (múltiplos de 2, 3 y 5)
N= ¿¿
abc=°6=6 k
100 < ¿¿
abc<1000
100 < 6k < 1000
16,6 < k < 166,6 K = 150 términos (múltiplos de 2 y 3 a la vez)
Luego son divisibles por 2 y 3 a la vez, pero no por 5 = 150 – 30 = 120RESPUESTA: “C”
14. En una lancha hay 150 personas, ocurre un accidente y muere un grupo de ellas. De los
sobrevivientes los 29
son solteros y los 1314
son peruanos. ¿Cuántos murieron?
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
Solución: Sobrevivientes: N
N = 29
(solteros) N = °9
N = 1314
(peruanos) N = °14
N = MCM (9; ,14) = 126
N = 126 (los que viven)Mueren = 150 – 126 = 24Mueren = 24
24
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RESPUESTA: “E”
25
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15. ¿Cuántos números de la forma ¿¿
a (a+b )b son múltiplos de 8?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Solución:
a (a+b )b=°8
4 2 1
4a+2(a+b)+b= °8
32a+b = °8
2a + b = °8
1 6 2 4 3 2 4 0 7 2 8 0Luego existen 6 números
RESPUESTA: “B”
16. Cuántos números de la forma 1ab1ab son divisibles por 35?A)2 B) 5 C) 10 D) 15 E) 20
Solución:
Si N = 11Equation Section (Next)22Equation Section (Next) → N = y . Si N = → b = 0 ó 5 → 2 opciones
Si N = = → -2 – 3a –b +2 +3a +b = 0 =
Observamos que “a” puede tomar cualquier valor para ser múltiplo de 7, entonces utilizando la combinatoria:
26
1ab1ab 2 3 1 2 3 1
1ab1ab 0 0 1 5 2 ⋮ 9 10 x 2 = 20
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17. ¿Cuántos números menores o iguales que 280 no son divisibles por 5 ni por 7?A)135 B) 192 C) 199 D) 200 E) 202
Solución:Utilizando una gráfica de conjuntos:
280 - (48 + 8 + 32) = 192
RESPUESTA: “B”
18. De los 490 estudiantes de 5° de secundaria de una institución educativa, los 5/8 de los varones postulará en diciembre a una carrera universitaria, los 2/5 postulará a una carrera técnica, los 3/7 esperará a marzo para postular. ¿Cuántos varones no postularán en marzo?
A)100 B) 170 C) 160 D) 280 E) 210
Solución:De los varones:
- Postularán en Dic. a la U.: 58 V → V = V = = = 280
- Postularán en Dic. a un I.S.:25 V → V = → No postularán en marzo:
- Postularán en Marzo: 37 V → V =
47 V =
47 . 280 = 160 varones
RESPUESTA: “C”
19. ¿Cuántos números de 3 cifras terminados en “3” son ?A)8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
27
RESPUESTA: “E”
U = 2802805
= 56 números
2807
= 40 números
28035
= 8 números
→ x = 280 - (56+32)
X = 192
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Solución:
Si N = ab3 = → 11k = …3 → k = …3100 ≤ 11k < 1000 → 9,09 ≤ k < 90,9 → k : 13; 23; 33; 43; … ; 83 → # N = # k = 8
RESPUESTA: “A”
20. Hallar el residuo de dividir (7739)33 : 8.A)7 B) 6 C) 5 D) 3 E) 1
Solución:
(7739)33 : 8 = ( + 3)33 : 8 = ( + 333) : 8
333 = 332. 3 = (32)16. 3 = ( + 1)16. 3 = ( + 1)3 = + 3 → r = 3
RESPUESTA: “D”
PROBLEMAS SOBRE DIVISIBILIDAD
1.- Demostar que siendo “n” un entero cualquiera, la suma:
3.52n+1+23n+1 es divisible por 17.
A) m6 B) m7 C) m17 D)m25 E) m2
Solución:
Si demostramos que este número es múltiplo de 17, será divisible por 17.
Operando los exponentes:
N = 3 . 25n . 5 + 8n . 2 = 15(17 +8)n + 8n . 2 = 17(m17 + 8n) + 8n . 2 = m17 + 15 . 8n + 8n . 2 = m17 + 8n (15 + 2) = m17 + 8n . m17 = m17 Rpta. : C
2.- Hallar a y b si: 30ab60=m 99
A) b = 9 ; a = 0 B) b = 18 ; a = 9 C) b = 18 ; a = 0 D) b = 9 ; a = 3
28
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E) b = 18 ; a = 3
Solución:m9
30ab60=m 99 m11
Aplicando divisibilidad entre 9:9 (1)
3 + 0 + a + b + 6 + 0 =m9 → a + b 18 (2)
Aplicando divisibilidad entre 11: 0 (3)
B – (6 + a + 3) = b – 9 – am11 (4)
Sólo (1) y (3) cumplen condiciones.
b = 9 ; a = 0
Rpta: A
3.- El número de niños que va a un nido es menor que 265 y mayor que 95. Si se observa que los 2/7 del total usan mandiles celestes y los 5/13 del total usan mandiles amarillos, ¿Cuál es la suma de las cifras del número que indica la cantidad de niños que no usan ni mandil celeste ni mandil amarillo?
A) 2 B) 7 C) 5 D)6 E) 8
Solución:
Sea “n” el número de niños:
95 < n < 265 (1)
(2/7)n = # entero → n = m7
Usan mandiles amarillos:
(5/13)n = # entero → n = m13
Entonces: n = m7.m13 = m91 = 91k
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Reemplazando en (1)
95 < 91k < 265; k Є Z+
(95/91) < k < (265/91)
1(4/91) < k < 2(83/91) → k = 2
Entonces: n = 91(2) = 182
Usan mandil celeste: (2/7)182 = 52Usan mandil amarillo: (5/13)182 = 70
No usan mandil amarillo ni celeste:
182 – (52 + 70) = 60
Luego: 6 + 0 = 6
4.- A un número de 4 dígitos, cuyas 3 últimas cifras son iguales se le ha restado otro, que se obtuvo al invertir el orden de las cifras del primero. Si la diferencia es múltiplo de 7, hallar la diferencia.
A) 8111 B) 1118 C) 6993 D) 9222E) 3993
Solución:
El número es la forma: ammmPor condición: ammm + mmma = 7̇Ahora calculando esta diferencia:1000a + 111m - 111m - a = 7̇999a - 999m = 7̇999 (a - m) = 7̇
→ a - m = 7̇ 8 1 (1) ó 9 7 (2)
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De (1) : 8111 - 1118 = 6993De (2) : 9222 - 2229 = 6993
Luego la diferencia es: 6993 Rpta: C
5.- Un vendedor tiene 6 cestas que contienen huevos. En algunas cestas hay huevos de gallina y en las otras de paloma. El número de huevos de cada cesta es 8, 12, 21, 23, 24 y 29. El vendedor dice: “Si vendo esta cesta, me quedaría el cuádruple de huevos de gallina de paloma”. ¿A qué cesta se refiere el vendedor?
A) 8 B) 12 C) 21 D) 23 E) 24
Solución:
Cantidad total de huevos: 8 + 12 + 21 + 23 + 24 + 29 = 117 (1)Sea “n” el número de huevos que hay en la cesta que piensa vender. Al vender la cesta quedaría:
(117 - n) huevos
Se sabe que: “Si una cantidad es el cuádruple de otra, la suma de estas será 5 veces la menor”. Según esto podemos establecer que el número de huevos de paloma es:
117 - n = m5
De donde se infiere que n termina en 2 ó en 7 (3)
De (3) y (1) se deduce que: n = 12 huevos
Rpta: B
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