Dérivés actions: risques – un (rapide) aperçu
Lorenzo Bergomi
Equity Derivatives Quantitative ResearchSociété Géné[email protected]+33 1 42 13 32 95
Lorenzo Bergomi 1
Introduction - le Dow Jones 1920-2006 (1)
Dow Jones Industrial Average
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
1/5/1920 1/5/1940 1/5/1960 1/5/1980 1/5/2000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lin
Log
Lorenzo Bergomi 2
Introduction - le Dow Jones 1920-2006 (2)
Densité cumulée des returns
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-20 -15 -10 -5 0
x
LOG
[ P
(ret
urn/
vol
< x)
]
DJ IA
Student mu = 3
Gaussienne( )
21
2
21
1µ
µ
xxρ +
−+
∝
Lorenzo Bergomi 3
Risques des produits dérivés (1 – le portage)
• Un petit exercice de comptabilité: P&L (profit & loss) entre t=0 et la maturité de l’option – à taux
nuls pour simplifier:
����On peut réécrire le P&L total comme une somme de petits P&Ls journaliers: on sait dire si l’on perd/gagne de l’argent sans attendre la maturité.
� Il suffit de s’intéresser au P&L élémentaire sur un intervalle [t, t+δt]
En intégrant l’effet des taux:
( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )∑ ∑
∑∑
∑
−−−−=
−+−−=
−∆+−−=
+++
+++
+
iii
i i
iiii
iii ii
iiii
iii
iT
SSdS
dPStPStP
SSdS
dPStPStP
SSSLP
111
111
1
,,
,,
&
PrimePayoff
( ) ( )( )[ ] ( )tδrSSδtδrStPSδStδtPLP −∆+++++−= 1,,&
Lorenzo Bergomi 4
Risques des produits dérivés (1 – le portage)
• Un petit développement limité :
- Risque sur le sous-jacent - ordre dominant : Gamma
- Est-ce un gros risque ?
- Imaginons que le prix P est calculé avec le modèle Back-Scholes avec σP
- Stdev typique de la somme de ces P&Ls sur la durée de vie d’une option
avec un hedge en delta journalier ? Dans Black-Scholes?
Dans la réalité ?
- Exemple d’un Call 1 an, vol = 20%
( ) ( )( )[ ] ( ) L+−
∆+−−=−∆+++++−= 22
2
2
11,,& S
dS
PdtrSrP
dt
dPtrSStrStPSSttPLP δδδδδδδ
2
22
2
2 dS
PdS
dS
dPrSrP
dt
dP Pσ−=
+−
−
−= tS
SS
dS
PdLP Pδσδ 2
22
2
2
2
1&
2
22
dS
PdS=Γ
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-6% -4% -2% 0% 2% 4% 6%
tδσ tδσ
Lorenzo Bergomi 5
Risques des produits dérivés (2 – le mark-to-market)
• La fonction de pricing fait intervenir d’autres paramètres :
• Sensibilités aux paramètres ?
• En règle générale, pour un payoff sur S
• Maturités longues : sensibilité par rapport aux paramètres de la dynamique
• Maturités courtes : sensibilité par rapport aux conditions initiales des sous-jacents
( ) ( )[ ] L+−
++−−=∆+−+++++− 2
2
2
21
,,,,,,,, SδdS
Pdδ
d
dPrδ
dr
dPδσσd
dPtδ
dt
dPSδrσStPδrδrδσσSδStδtP div
divdivdivdiv
Call K=100 Maturité = 1 an
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
60 70 80 90 100 110 120 130 140
Sensi vol: 1%
Sensi taux: 0.5% de variation
Gamma: variation relative de 1%
Sensi taux de dividende: 0.5% de variation
Call K=100 Maturité = 1 semaine
-0.03
-0.01
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
0.11
0.13
0.15
60 70 80 90 100 110 120 130 140
Sensi vol: 1%
Sensi taux: 0.5% de variation
Gamma: variation relative de 1%
Sensi taux de dividende: 0.5% de variation
Lorenzo Bergomi 6
Risques des produits dérivés (3 – le mark-to-market)
• Comment calibre-t-on les paramètres de pricing? Doit-on vraiment calibrer ?
• A priori non: pricing avec coût de couverture. On couvre le risque sur un paramètre p en traitant un instrument O de telle sorte à annuler ce risque :
Le prix donné au client pour l’option P est ajusté pour tenir compte du prix de marché de l’instrument de couverture
• Alors quel avantage de la calibration ?
• Nous assure que le modèle price bien tous les instruments de couverture: aucun coût supplémentaire n’est encouru au moment où
l’on se couvre.
� essentiel de calibrer le modèle sur un choix pertinent d’ instruments
• Autres raisons :
Standardisation du pricing
Prix « en ligne avec la concurrence »
Bénéfice psychologique
• Quid des paramètres non couvrables ?
dp
dOλ
dp
dP =
( ) ( ) ( )( )( )Market
MarketPrix
ppP
pOpOλpP
=≈
−+= ˆˆ
Lorenzo Bergomi 7
Risques des produits dérivés (4 – le mark-to-market)
• Paramètres typiques pour les dérivés actions
• Volatilités
• Dividendes
• Taux
• Corrélations
• Volatilités des taux de change / corrélation avec les sous-jacents action
• Volatilité des taux / corrélations avec les sous-jacents action
• Volatilité/smile forward
• Volatilité de la volatilité
• …
• Indépendamment du modèle de pricing utilisé, il faut (1) caractériser et (2) mesurer les risques sur ces paramètres
• Pertinence de : risque de modèle
( )....div,,,,, rσStP⇒
( )....div,,,,, rσStP
Lorenzo Bergomi 8
Volatilités (1)
Exemple de l’Eurostoxx 50 – on a tous les jours une matrice complète (K, T) de volatilités implicites
Vols implis au 8 /1 /2008 Historique des volatilités ATM 1 mois (bleu) et 5 ans (rouge)
Historique de la différence des vols implicites 3 mois K= 95% et K = 105%
- Comment décrire de façon économique la variation journalière de la nappe de vols implicites ?
2008200720062005200420032002
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
31-Mar-14
2-Apr-12
5-Apr-10
7-Apr-0850 80 90
100
105
115
135
165
200
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Smile 3 mois K = 95 - K= 105
0
1
2
3
4
5
6
7
2/5/2001 2/5/2002 2/5/2003 2/5/2004 2/4/2005 2/4/2006 2/4/2007 2/4/2008
Volatilités (2) – mesure des risques
• Solution 1: translater uniformément les volatilités implicites
Est-ce une bonne idée? Modes propres de déformation des surfaces de volatilité implicite les plus « importants ».
Critère : fraction de la variance des variations de volatilité implicites expliquée :
Translation 90 – 95%
Torsion en maturité 2 – 5 %
Torsion en strike 1 – 2 %
• Pb: un book d’options est en général structuré de façon telle que
- exemple d’un Call Spread 90/110 3 mois
- sensibilité à une translation des vols implis: on ne voit pas de risque
- & sensibilité à un changement de pente du smile autour du strike 100%
Lorenzo Bergomi 9
Sensibilité d'un Call spread 90/110 3 mois à une translation des volatilités
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
60 70 80 90 100 110 120 130 140
Sensibilité d'un Call spread 90/110 3 mois à une pentification du smile
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
60 70 80 90 100 110 120 130 140
( )∑
∑
==
==
=
kk
tk
t
jiij
i
i
ii
i
VTωVMVP&Lδ
δσδσMσd
dPV
δσVP&Lδ
22
00 ≈VTt
90 100 110
Lorenzo Bergomi 10
Dividendes (1)
• Au moment où un dividende est versé
- l’action baisse exactement du montant du dividende
- le prix de l’option est inchangé :
• Les dividendes prochains sont connus avec une bonne précision
• Ceux versés plus tard dans le futur sont estimés Sur les indices: div swaps
- Risque sur leur montant
- Risque sur le modèle de dividendes
Div. en cash
Div. en yield
Autres …
( )( ) ( )( )SDSTPSTP
SDSSTT
−=
−=+−
−+
,,
( )( ) SµSD
DSD
==
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
110.00
120.00
Jan-02 Apr-02 Jun-02 Sep-02 Dec-02 Mar-03 Jun-03 Sep-03 Dec-03 Mar-04 Jun-04 Sep-04 Dec-04 Mar-05 Jun-05 Sep-05
Y2002 Y2003 Y2004 Y2005 Y2006 Y2007 Y2008 Y2009 Y2010 Y2011 Y2012 Y2013
Y2014 Y2015
Lorenzo Bergomi 11
Dividendes (2)
• Vols implis des vanilles dépendent du modèle de dividende utilisé � risque de modèle
• Un cas intéressant: le Call sur max
- Bien couvert en Vega par Calls vanille de même maturité
- Pas d’impact des divs proches de la maturité
- Faible sensibilité intrinsèque au modèle de dividende
- Forte sensibilité au modèle de dividende
Vols implis vanille
15%
20%
25%
50 100 150 200
Yield
Cash
+−= )max(Payoff KSττ
Lorenzo Bergomi 12
La saga récente des produits multi sous-jacents (1) 1997 - 2006
� Produits multi sous-jacents de distribution à capital garanti
� Everest 1997 10 ans / 12 actions �
� Altiplano 10 ans / 12 actions Si au cours des 5 dernières années, aucune action < 60% de sa valeur intiale
� 300%
sinon �
� Kilimanjaro 6 ans / 12 actions Coupon annuel de 6% tant qu’aucune action du basket < 60% de sa valeur initiale;
les actions qui traversent la barrière sont successivement éliminées du basket
A maturité � 100%
� Atlas 6 ans / 16 actions Non garanti
A maturité on enlève les actions ayant connu les 3 meilleures et les 3 pires
performances � 105% du basket equipondéré des 10 restantes
+
j
jT
S
S
0
min%100i
i
+
−+ ∑
jj
jT
S
S
N1
1%100
0
Lorenzo Bergomi 13
La saga récente des produits multi sous-jacents (2) 1997 - 2005
� Emeraude 2004 10 ans / 20 actions Chaque année, l’action dont la performance depuis t = 0 est la plus élevée est figée à son niveau, avec un minimum de 200% de son niveau initial.
A maturité � 100% + la performance maximale par rapport à t = 0 du panier
equipondéré, floorée à 0.
� Produits à sortie anticipée – à capital garanti
� Oxygène 2003 6 ans / 3 indices A la fin de la 3ème année, sortie possible si la moyenne trimestrielle de la
performance du basket depuis t = 0 dépasse 125% � 125%
Si on reste dans le produit, à maturité :
�Min( 125% , 100% + moyenne trim. de la perf. depuis t=0, sur 6 ans)
� Titanium 2003 8 ans / 16 actions Coupon annuel
Dès que la somme des coupons versés dépasse 30%, on reçoit chaque année un
coupon supplémentaire de 10%
… Et tous les produits hybrides Equity/Forex/Fixed Income/Commodity imaginables
−∑
−
0,%16,1min1
max1
jjτ
jτ
S iS
S
N
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Corrélations (1)
• Une écrasante majorité des dérivés actions sont multi sous-jacents
- Leur prix fait intervenir des hypothèses de corrélation. Ex : cadre Black-Scholes
- Comment mesure-t-on des corrélations ?
- Les corrélations sont-elles stables dans le temps ? Exemple d’un basket mondial
- Que se passe-t-il lorsque corrélation implicite et réalisée diffèrent ?
( ) ( )K,ˆ,ˆ,ˆˆˆ21 2
ijiijiij
jijiiji i
iii SPrPdSdS
PdSS
dS
dPSqr
dt
dP ρσσσρ =+−+ ∑∑
∑
−−=
ijjiij
ji
ji
ji
ji tδσσρSS
SδSδ
dSdS
PdSSLP ˆˆˆ
2
1&
2
Lorenzo Bergomi 15
Corrélations (2)
• Comment se couvrir sur la corrélation réalisée ?
- le correlation swap
- Stabilité de la couverture en corrélation?
• Comment mesurer le risque de corrélation ?
- Comment « déformer » une matrice de corrélation ? Ex.
• Risque de modèle sur la corrélation ?
( )
−−
= ∑≠
ρρNN ji
ij ˆ1
1Payoff ( ) ( )
== −
∑∑
∑122
lnτ
i
τ
iτ
i
τ
τ
jτ
τ
i
τ
τ
jτ
i
ij S
Sx
xx
xxρ
Sensibilité à la corrélation - pour 1pt de correl
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
Call K = 100
Call K = 150
Everest
ijρd
dP
( ) ( )Histo 1Histo ij
ijρ
λd
ρdλρλρ −−=−+= 1
ˆ1ˆ
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Risque de modèle (1)
• Un modèle rustique de pricing d’option
- Modèle simple de « dynamique » du sous-jacent : sous-jacent gelé
Equivalent à pricer en BS à vol nulle
• Un modèle un peu moins rustique : Black Scholes
( ) ( )[ ]
( ) 2
2
2
2
2
2
2
2
12
1
2
1,,&
SδKSδ
SδdS
Pd
SδdS
Pdtδ
dt
dPSδStPSδStδtPLP
−−=
−=
−−=∆+−++−=
( )+−== KSPdt
dP0
K
60
70
80
90
100
110
120
0 50 100 150 200 250
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25S
P&L
2
22
2
2
ˆ
dS
PdS
σ
dt
dP −=
−−= t
S
S
dS
PdSLP δσδ 2
2
2
2
22 ˆ
2
1&
60
70
80
90
100
110
120
0 50 100 150 200 250
-5
0
5S
P&L
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Risque de modèle (2)
• A nouveau de la comptabilité - avec quelques paramètres supplémentaires – pas de taux pour simplifier
En utilisant une fonction de pricing P issue du modèle Black-Scholes :
le P&L se réécrit comme :
( ) ( )[ ]
K+
−+−
−−−
+−−=∆+−++++−=
σδpδσdpd
PdσδSδ
σdSd
PdpδSδ
dSdp
Pd
σδσd
Pdpδ
dp
PdSδ
dS
Pdpδ
dp
dPσδ
σd
dPtδ
dt
dPSδpσStPpδpσδσSδStδtPLP
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ2
1ˆ
ˆ,ˆ,,,ˆˆ,,&
222
2
2
22
2
22
2
2
2
22
2
2
ˆ
dS
PdS
σ
dt
dP −=
K+
−+−
−−
−−
+= σδpδ
σdpd
PdσδSδ
σdSd
PdpδSδ
dSdp
Pdσδ
σd
Pdpδ
dp
Pdtδσ
S
Sδ
dS
PdSpδ
dp
dPσδ
σd
dPLP ˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ2
1ˆ
2ˆ
ˆ&
2222
2
22
2
22
2
2
2
22
Termes d’ordre 1: couvrables en delta
Gamma / ThetaGammas
Theta ??
Lorenzo Bergomi 18
Risque de modèle (3) – le modèle de volatilité locale
• A une nappe de volatilités implicites donnée correspond une surface de volatilité locale qui redonne les prix de marché des options vanille.
• En quoi ce modèle diffère-t-il de Black Scholes ?
• Quelle dynamique jointe du spot / des vols implis implique-t-il ?
Est-elle plus/moins raisonnable ?
( )( )
( ) tSdWtSrSdtdS
tTSKdK
CdK
dKdC
KqrqCdTdC
tS
,
2,
2
22
2
σ
σ
+=
==
−++=
S
KSK
dK
σd
dS
σd2≈=
10
12
14
16
18
20
3/1/2006 3/31/2006 4/30/2006
3500
3600
3700
3800
3900
4000
Vol impli ATM 3m
Vol impli ATM 5y
Eurostoxx50
Eurostoxx 50 - mat 1 an
10
15
20
25
80 90 100 110 120
Smile original
Smile S = 105%
Smile S = 95%
Lorenzo Bergomi 19
Risque de modèle (4) – l’exemple de la digitale américaine
• Digitale americaine – paye 1€ dès que le sous-jacent passe en dessous de la barrière
Maturité 1 an, limite = 80%
Dans le cadre B.S. Gamma / Vega bien couverts par la digitale Européenne double:
• A la traversée de la limite, on revend la digitale Européenne
Risques résiduels :
- valeur du skew le jour où on traverse la limite
- risque de gap
� modèles différents impliquent dynamiques du smile différentes � prix différents
Gamma
0
2
4
6
8
10
12
14
16
80 90 100 110 120
Euro double
Americaine
Vega
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
80 90 100 110 120
Euro Double
Americaine
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
80 85 90 95 100 105 110 115 120
Euro double
Americaine
Lorenzo Bergomi 20
Risque de modèle (5) – la volatilité forward – les cliquets
• Exemple: Call ATM forward paye à t= T2
• Dans le modèle B.S. la fonction de pricing s’écrit:
- fait intervenir la volatilité forward, , les taux, pas le sous-jacent
- pas de delta à t=0 – trader en vacances jusqu’à T1
- dynamique des arguments de la fonction de pricing: pas pricée par le modèle � indice d’un sérieux risque / problème de modèle
• Dans le modèle de volatilité locale la fonction de pricing fait explicitement apparaître S et produit un delta non-nul à t = 0
- est-ce une meilleure solution ?
� Le cliquet est en réalité une option sur , pas sur S: attention à ne pas se tromper de sous-jacent !!
+
−1
1
2
T
T
S
S t 1T 2T
12σ̂
12σ̂
( )L,,ˆ12 rσP
rσ ,ˆ12
( )L,,ˆ,ˆ,21
rσσSP KT
KT
12σ̂
Lorenzo Bergomi 21
Risque de modèle (5) – la volatilité forward – l’exemple du Napoléon
• Napoléon
- on observe chaque année les 12 performances mensuelles de l’Eurostoxx50
- on paye en fin d’année un coupon fonction de la plus basse de ces performances
Risk Magazine: juillet 2002
• Risque de modèle:
- dynamique des vols implis forward
- dynamique jointe vols implis forward / sous-jacent
Risk Magazine: février 2004Eurostoxx vol ATM 5y
10
15
20
25
30
35
40
01/01/02 01/01/03 01/01/04 12/31/04 12/31/05
( ) 1min%81
−=++=−i
iiii S
Srr Coupon
0ˆ 2
2
ˆˆ >=Γσd
Pdσσ 0
ˆ
2
ˆ <=ΓσdSd
PdσS
Lorenzo Bergomi 22
Conclusion
• Risques
-Mesure macroscopique au niveau d’un book
-Méthodologie de mesure d’un risque doit refléter :
- sa pertinence au regard des occurrences historiques
- sa matérialité : impact sur le book
• Risque de modèle:
- Peut – souvent – être detecté même dans un modèle fruste
-Questions de base :
- Quels sont les vrais sous-jacents sur lesquels porte l’option ? Leur dynamique est-elle pricée par le modèle ?
- Quels sont les instruments de couverture? Leur dynamique est-elle correctement pricée par le modèle ?
- Si impossibilité de se couvrir: les niveaux de portage des paramètres sont-ils raisonnables ?
- Le modèle condense-t-il des risques de nature différente en un seul paramètre ? (ex. vol-of-vol & forward skew)
- Réponses à ces questions s’apprécient produit par produit
- Ne pas « subir » le modèle – choisir