5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
1/47
ING. RAL G. MATOS ACUA
CICLO 2013-III Mdulo: II
Unidad: 2 Semana: 2
ELECTRICIDAD INDUSTRIAL
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
2/47
CIRCUITOS RLC - FASORIAL
Circuito: , R, L, C. tt cos)( max
RMK
Fasor
Nmero
complejoEcuacin Diferencial de 2 orden:
dt
dICdt
dIRdt
IdL
12
2
Solucin con dos
parmetrosSolucin 1 Solucin 2
)cos()(max
tItIC, impedancia
ZZ
CA=CC+C
NO SI
Fasor
Ley de Ohm
Valores eficaces
Nmero
complejo
: Defasaje ZI maxmax
ZI
Ohm
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
3/47
ORIENTACIONES
El tutorial est dividido en varios puntos. Cada punto est explicadoen el tutorial mediante una primera parte en la que se hace unaintroduccin terica y una segunda parte en la que se presenta alusuario un breve test o autoevaluacin que le servir para evaluarsus conocimientos. A lo largo del tema aparecen una serie deaplicaciones interactivas que van a permitir al alumno aplicar susconocimientos y variar diversos parmetros para ver los efectos que
se producen.
El estudiante para lograr los objetivos especficos de la unidad 2debe conocer y estar entrenado en temas previos, unidad 1.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
4/47
CONTENIDOS TEMTICOS
CIRCUITO RLC - FASORES
1.-IMPEDANCIA
2.-EL CIRCUITO RLC EN SERIE3.-FASORES
4.-RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLCSERIE
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
5/47
INTRODUCCIN
En este tutorial, estudiamos los circuitos RC y RL en alterna, y elcomportamiento de un circuito RLC conectado en serie a una
fuente de voltaje alterno. Calcularemos las corrientes, voltajes y desfasajes entrediferentes puntos de los circuitos utilizando la representacinfasorial de las impedancias.
En este captulo se estudiar el fenmeno de la resonancia, quees la condicin que existe en todo sistema fsico cuando una
excitacin de amplitud constante produce una respuesta deamplitud mxima. Comenzaremos analizando la resonancia para el caso del
circuito RLC en paralelo, luego analizaremos el caso en serie yobservaremos que existen algunas relaciones que son vlidaspara ambas configuraciones de circuitos.
El estudiante para lograr los objetivos especficos de la unidad 2debe conocer y estar entrenado en temas previos, unidad 1.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
6/47
MOTIVACION 1
www.youtube.com/watch?v=Pv85cEEDJYc
cmo se genera la corriente alterna?
http://www.youtube.com/watch?v=rjH0bSf5uMU
Ing. Ral Matos Acua
http://www.youtube.com/watch?v=Pv85cEEDJYchttp://www.youtube.com/watch?v=rjH0bSf5uMUhttp://www.youtube.com/watch?v=rjH0bSf5uMUhttp://www.youtube.com/watch?v=Pv85cEEDJYc5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
7/47
Real
Imag.
JXL
JXC
z
z
Inductiva
Henrios
Capacitiva
Faradios
IMPEDANCIA
R = resistencia hmica ()XL (bobina) = inductancia o reactanciainductiva = .L ()XC (condensador) = capacitancia oreactancia capacitiva = 1/ .C ()Z = impedancia ()
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
8/47
Circuito RC en serie (repaso)
Todos los elementos tienen la misma corriente elctrica: I = Ip Cos(wt)
R
C
I
)()( tIpCosRVr
)2/()( tIpCosXcVc
Impedancias RZ
)/1( CXcZ
Xr
XC
Fasores de Impedancias
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
9/47
Circuito RL en serie (repaso)
Todos los elementos tienen la misma corriente elctrica: I = Ip Cos(wt)
R
L
I
)()( tIpCosRVr
ImpedanciasRZ
LXZ L
)2/()( tIpCosXV LLXR
XL
Fasores de Impedancias
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
10/47
R
C
I
)(. tIpCosRVr
)2/()( tIpCosXcVc
)2/()( tIpCosXV LL
R
XC
XL
Fasores de Impedancias
)/1( CXc
LXL
Impedancias
Todos los elementos tienen la misma corriente elctrica: I = Ip Cos(t)
Circuito de corriente alterna RLC en serie
V
L
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
11/47
CIRCUITO RLC
Tensiones Parciales. ImpedanciaDe los estudios de los circuitos R, L y C, se tiene:
Ing.
RalMa
tosAcua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
12/47
Lo que permite realizar el diagrama vectorial de tensiones del circuito, y el tringulocorrespondiente, del que se obtiene dividiendo sus lados por la intensidad I, el tringulode impedancias, y multiplicando sus lados por la intensidad I el tringulo de potencias.
Ing.
RalMa
tosAcua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
13/47
Circuito RLC en serie
dtdILRI
Cqtcoso
Derivando con respecto al tiempo
2
2
o
dt
IdL
dt
dIR
C
Itens
ngulo de faseR
tg CL
Corrientemxima ZR
I o2
CL2
oo
CL Reactancia total
2CL
2RZ Impedancia
Esta ecuacin es una ecuacin diferencial,con dos constantes de integracin, cuyasolucin se puede escribir de la forma
)tcos(II o constantes:,Io
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
14/47
Notacin fasorialLa relacin entre corriente y voltaje en una bobina o en un condensador puede
representarse mediante vectores bidimensionales llamados fasores.
Podemos representar la cada de potencial enuna resistencia como un vector de mdulo IoR,que forma un ngulo con el eje X
El valor instantneo de la cada de tensin es lacomponente x del vector VR, que gira en sentidoantihorario con una velocidad .
A cos( t- ) Fasor A A
B cos( t- ) Fasor B B
BAC
Uso de los fasoresCualquier funcin A cos( t- ), ser la componente xde un fasor que forma un ngulo ( t- ) con el eje x
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
15/47
La representacin fasorial la llevamos en elplano complejo
r
a
b
Re
Im
Coordenadas cartesianas jbaz
Coordenadas polares rz
Frmula de Euler senjrcosrre j
Cambio de
coordenadas
Cartesianas a polares
a
btgarc
bar 22
Polares a cartesianassenrb
cosra
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
16/47
Nmeros Complejos
Img.
Realx
y
Rectangular: x +jy
PolarMagnitud
ngulo
22 yxz
x
ytg
1
zz
z
Para convertir de polar a rectangular:
ysenzxz
.cos. (Real)
(Imaginarios)
Para sumar o restar deben estar en rectangulares.
Para multiplicar o dividir deben estar en polares
)()(
)(
)())((
21
2
1
22
11
21212211
z
z
z
z
zzzz
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
17/47
Dominio del tiempo Dominio de la Frecuencia
)cos( tA
)( tAsen
A
2A
Convertir a fasores
AtsentiVttv
)120377(12)()45377cos(24)(
901202/12
452/24
I
V
75102016
IV
del dominio de la frecuencia al dominio deltiempo si la frecuencia es de 1k Hz.
)752000cos(210)(
)202000cos(216)(
tti
ttv
2000
)2(1kHz
Convertir los fasores a f(t)
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
18/47
Representacin compleja de elementos de CAVamos a reproducir las corrientes encontradas en circuitos de corriente alterna
utilizando el formalismo de los nmeros complejos. Representaremos por e ilas tensiones y corrientes, teniendo en cuenta que las magnitudes de intersfsico sern Re( ) y Re(i). As, los circuitos de corriente alterna se puedenresolver considerando la ley de Ohm con el formalismo de los nmeroscomplejos.
Fuente de tensin o )cos()Re( to)t(j
oe
Resistencia RZRCorriente y tensin estn enfase.
CondensadorC
jZC
Corriente adelantada /2respecto de la tensin.
Induccin jLZLCorriente atrasada /2respecto de la tensin.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
19/47
I. Corriente alterna compleja en una resistencia
RZ
e
R
tjo
Aplicando la ley de Ohm
tjo
ReRZi tcosR)iRe(I o
II. Corriente alterna compleja en un condensador
C
jZ
e
C
tjo
Aplicando la ley de Ohm
)/t(jotjo
C
e
C/
e
C/jZ
i 2
1
)/tcos(
C/
)iRe(I o 2
1
Ing.
RalMatosAcua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
20/47
III. Corriente alterna compleja en una bobina
jLZ
e
L
tjo
Aplicando la ley de Ohm
)/t(jotjo
L
eL
ejLZ
i 2 )/tcos(
L)iRe(I o 2
0RZ 2/CXXc2/LXXL
Z = R XL = jL XC = -j/C
Impedancias complejas (fasorial):
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
21/47
Diagramas fasoriales
Los fasores pueden representarse en el plano complejo.
A menudo su representacin es til en la resolucin deproblemas.
En un circuito serie tomamos la corriente como origen defases (comn a todos los elementos).
En un circuito paralelo tomamos la tensin como origen de
fases (comn a todos los elementos).
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
22/47
Aplicacin 1: Circuito RL de corriente alterna
Hallar el voltaje pico Vab en funcin de L , R , e Ip
L
Vab
i
VL Vab= Ip Zab
VR
a
b
ZabXL
XL = L ; ZR = R
R
XL
Vab= Ip [R2
+ (L)2
]1/2
R
22
LXRz
R
Xtg L1
LJXRz zz
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
23/47
C
Vab
i
VC
VR
a
b
XC
XC = 1/C ; ZR = R
R
XC
Vab= Ip [R2
+ (1/C)2
]1/2
R
Vab= Ip Zab
Aplicacin 2: Circuito RC de corriente alterna
Hallar el voltaje pico Vab en funcin de C , R , e Ip
Zab
22
LXRz
R
Xtg L
1
LJXRz zz
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
24/47
Circuito RLC en serie
)XX(jR)C
L(jRZ
e
CLT
tjo
1
tj
CL
o
T e)XX(jRZi
R
XXtan CL
22 )XX(RI
CL
oo
)tcos(I)iRe(I o
Multiplicando numerador ydenominador por el conjugado,se obtiene :
)t(j
CL
o
T
e)XX(RZ
i22
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
25/47
Para una impedancia cualquiera y un circuito que no sea RLC en serie,
tendremos, suponiendo que el voltaje no tiene fase inicial, magnitudes deltipo:
j
tjo
eZZ
eVv
Para calcular la corriente compleja aplicamos la ley de Ohm de forma que,operando con fasores podemos escribir:
)t(jo eZ
V
Z
vi
)tcos(Z
V)iRe(I oCon lo cual:
)ZRe(
)ZIm(tan
Z
VI oo
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
26/47
Diagramas en un Circuito en Serie R-L-C
Diagrama de Tensn e Intensidad Diagrama de Impedancias
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
27/47
La Impedancia total Z como fasores de R, XL y XC
R
C
L
I
Impedancia total : Z
XL - XC
XL = L ;
XC = 1/C
2/LX
2/CX
0R
0R
Z
90C
X
90L
X
V
22 )(CL
XXRz
R
XXtg CL
1
)( CL XXJRz zz
Aplicacin 3: Circuito RLC en serie de corriente alterna
ZIV .
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
28/47
Diagrama de Tensiones
Diagrama de Potencias
Observando la figura tambin se verifica que:P = V I Cos ; Q = V I sen
Ing.
RalM
atosAcua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
29/47
Diagrama de los Valores Instantneos
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
30/47
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
31/47
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
32/47
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
33/47
Operaciones con Impedancias
Ing.
RalMatosAcua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
34/47
Resonancia en serie
En un circuito RCL en serie, tanto la corriente mxima como la diferencia de
fase dependen de la frecuencia angular .
Respues ta mxim a del cir cu ito
Frecuencia natural de oscilacinLa frecuencia de la fuerza impulsora(fem alterna) coincide con estafrecuencia natural
R
XXtan CL
22
oo
C
1LR
I
En este caso la impedanciaalcanza su valor mnimo y lacorriente su valor ms alto
Circuito en resonancia
vale cero y el factor depotencia vale 1
Io ser mxima cuando CL XX Frecuencia de
resonanciao
LC
1
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
35/47
Curvas de resonancia Representan la potencia media suministrada porel generador al circuito en funcin de lafrecuencia del generador.
La potencia media es mxima cuando = o.Cuando R es pequea, la anchura de la curvatambin lo es, mientras que se ensancha amedida que R aumenta.
Anchura deresonancia
= Diferencia entre losdos puntos de la curva enque la potencia es lamitad de su valor mximo
Factor de calidad
R
LQ o Q alto implica curva de
resonancia estrechaoQ
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
36/47
Resonancia en paralelo
La admitancia Y de este circuito es :
Una red esta en resonancia cuando el voltaje y la corriente de entrada de lared estn en fase, es decir cuando la admitancia Y es no reactiva; as, laresonancia se da cuando el trmino imaginario es cero.
(rad/s)
Factor de Calidad Q. es una medida de la capacidad de almacenamiento deenerga de un circuito en relacin con su capacidad de disipacin de energa
Para el caso de resonancia en paralelo:
Ing.
RalMa
tosAcua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
37/47
Circuitos de una sola malla
V(t)
i(t)
+ V1 - +
V2
-
21
11
21
2
2
zz
zVV
zz
zVV
voltajedeDivisorSuma fasorial
Circuitos de un solo par de nodos
i(t)21
21
zzzzzeq
21
21
VVV
III
21
12
21
21
zz
zII
zz
zII
CorrientedeDivisor1I 2I+
-
+
-
1z 2z
1z
2z 21 zzzeq
21 VVV
21 III
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
38/47
V(t)
6
mH8?)(
)301000cos(200)(
ti
ttV
8
)1000)(8(
JX
mHJX
LJX
L
L
L
302/200
13.531086ImRe
V
zJz
agalz
AI
I
z
VI
13.232/20
5310
302/200
Atti )13.231000cos(20)(
Ejemplos1. Sea un circuito RL en serie, cuyos datos se muestran en el grfico.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
39/47
FcmHL
R
250108 ).1000cos(120)( ttV
4)10*250)(10(
10)10*10)(10(
63
33
JJ
X
JJX
C
L
68
)410(8
Jz
Jz
JXRz
02/120
87.3610
V
z
87.362/12
87.3610
02/120
I
z
VI
Atti )87.361000cos(12)(
Ejemplos2. Sea un circuito RLC en serie, cuyos datos son:
; calcular la corriente I en forma fasorial y en el tiempo.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
40/47
a) Representar el circuito en el dominio de la frecuencia.b) Calcular i(t)
Ejemplos
3.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
41/47
Calculando i(t):
.
.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
42/47
Ejemplos
4. Utilizar los diagramas vectoriales para encontrar el valor de laresistencia R, de forma que la corriente a travs de la resistencia Ir estretrasada 45 respecto a la corriente de la fuente Is.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
43/47
En el diagrama fasorial se puede ver comola longitud de IR debe ser igual a 3Vm.
Por lo tanto:3/1R
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
44/47
Ejemplos
a) Representar el circuito en el dominio de la frecuencia.b) Calcular v(t), i1(t), i2(t) e i3(t)
5.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
45/47
Calculando v(t) y las corrientes:
.
.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
46/47
CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE INVESTIGACINSUGERIDAS
En la clase practica se desarrollarn aplicaciones de circuitos decorriente alterna con RLC. El estudiante debe revisar los problemaspropuestos.
Se sugiere que el alumno revise los links y/o videos del tutorial.
La prxima tutora tratar sobre potencia compleja, factor depotencia y circuito estrella tringulo. El estudiante debe revisar lostutoriales de la semana 3.
Ing. Ral Matos Acua
5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial
47/47
GRACIAS