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MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2
SEQUÊNCIAS INFINITAS
A importância de sequências infinitas e séries em cálculo surge da ideia de Newton de representar funções como somas de séries infinitas. Por exemplo, para encontrar áreas ele frequentemente integrava uma função expressando-a primeiro como uma série e integrava cada termo da série. Muitas das funções que surgem em física, matemática e química são definidas como somas de séries. Uma sequência é uma sucessão de elementos dispostos em uma ordem definida. Exemplo de uma sequência numérica infinita: A sequência é infinita: Notação: e cada número é um termo da sequência. Assim, cada termo terá um sucessor . A sequência também pode ser escrita como ou
Exemplo: a sequência tem como o seu n-ésimo termo:
A sequência é ordenada pois existe um primeiro termo, , um segundo termo, , e, se denota um número inteiro positivo arbitrário, um n-ésimo termo . Definição: Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos, pois para cada inteiro positivo , existe um número correspondente . Uma função é uma correspondência que associa a cada número do domínio exatamente um número do contradomínio (conjunto de números reais).
f: sequência infinita. Domínio de f =
Domínio de ( ... ... A sequência é a função com para todo inteiro positivo . Exemplos:
Sequência n-ésimo termo Termos da sequência Décimo termo
(0.1)
2.0000000001
, ...}
2
Gráfico de uma sequência :
Exemplo:
Uma sequência pode ter a seguinte propriedade: A medida que cresce, se aproxima de um número real L, ou seja, se é suficientemente grande!!
Exemplo:
Primeiros termos desta sequência : 1.5, 2.25, 1.875, 2.0625, 1.96875, 2.015625, ...
Os termos se aproximam de 2 quando cresce!!
Para todo inteiro positivo ,
Logo, o número
pode tornar-se arbitrariamente próximo de 0, DESDE QUE seja suficientemente
grande!! Definição 1: Uma sequência converge para o limite L, se, para todo , existe um inteiro
positivo (possivelmente dependente de ) tal que sempre que .
ou quando
Sequência convergente: converge para um limite. Sequência divergente: Se tal número não existe, a sequência não tem limite, ou diverge!
No exemplo acima, a sequência tem por limite 2, ou converge para 2:
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f(n)
n
f(n)=n/(n+1)1
3
Gráfico de uma sequência para o caso específico em que :
Sequência divergente: não converge para um limite. Casos de divergência: --> o número cresce sem limite quando aumenta. --> o número decresce sem limite quando aumenta. --> Quando a sequência não se aproxima de um limite e os termos oscilam. Exemplos: determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem. 1) A sequência é: O que se observa? os termos estão ficando cada vez menores a medida que se aumenta o valor de ! Para suficientemente grande, podemos fazer tão pequeno quanto quisermos.
Pela definição 1: a sequência converge para o limite 0.
2) A sequência é: O que se observa? os termos oscilam entre -1 e 1. Logo, não se aproxima de um limite e, portanto, a sequência diverge!
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f(n)
n
f(n)= 2+(-1.0/2.0)^n 2
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f(n)
n
f(n)=10^(1-n)0
4
.....
Propriedades dos limites de sequências: Supor uma sequência convergindo para o limite A e uma outra sequência convergindo para o limite B, e uma constante. 1. LIMITE DE UMA CONSTANTE
2. LIMITE DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CTE
3. LIMITE DA SOMA
4. LIMITE DA SUBTRAÇÃO
5.
LIMITE DA MULTIPLICAÇÃO
6.
, se para todos os inteiros positivos e .
7.
, , se é uma constante positiva.
8. se (converge para 0)
e se (diverge)
9. se e
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f(n)
n
f(n)= (-1)^n
TEOREMA 1: Convergência de sequências e funções
Sejam: : a função definida no intervalo , : a sequência definida por para cada inteiro positivo . Supor que exista para todo número real , CONVERGÊNCIA: Se DIVERGÊNCIA: Se
5
Exemplos: Use o Teorema 1 e as propriedades dos limites para determinar se cada sequência converge (neste caso, determinar o seu limite) ou se diverge.
1.
Fazer
e considerar
para
Sabe-se que
A sequência converge para 1!!
2.
Fazer
e considerar
∀
logo:
A sequência diverge pois o limite não existe!
3.
A função
∀ , é uma indeterminação da forma quando . Pode-se
aplicar a regra de L'Hôpital :
=0 Logo,
.
A sequência converge para 0.
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f(n)
n
f(n)=1+(1.0/n)f(x)=1+(1.0/x)
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f(n)
n
f(n)= ((1.0/4.0)*(n**2))-1.0f(x)= ((1.0/4.0)*(x**2))-1.0
6
Obs: nos exercícios que seguem seria interessante que vocês também representassem graficamente para facilitar o entendimento do comportamento das sequências. Exercícios: (considerar o Teorema 1 e as propriedades dos limites) 1- Calcule os primeiros seis termos de cada sequência e determine se a sequência converge ou diverge (justifique os resultados).
a. b.
c.
d.
e.
f.
R: a) Diverge b) Converge para 0 c) Converge para 0 d) Converge para 2 e) Converge para 0 (propriedade 8 dos limites) f) Diverge (propriedade 8 dos limites). 2- Determinar se cada sequência converge ou diverge. Verificar as propriedades dos limites. Caso convirja, calcule o seu limite. (Dica: usar L'Hôpital quando necessário). Justifique através das propriedades e do Teorema 1.
a. b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k. l.
m.
n. o.
p.
q. r. s.
t.
Respostas: a) Diverge b) Converge para c) Converge para 0 d) Converge para e) Converge para 0 f) Diverge g) Converge para 0 h) Diverge i) Converge para 0 j) Converge para 0 k) Converge para 1 l) Diverge m) Converge para 0 (propriedade 8) n) Diverge o) Diverge p) Diverge q) Converge para 1. r) Converge para 0. s) Converge para 1.
Resolução do item r :
diz-se que igual a para n suficientemente grande! Para provar que o limite é 0 fazemos:
Portanto,
3- Encontre a expressão do termo geral de cada sequência (n-ésimo termo).
a.
. {
}
c. { } d.
7
e. {
} f. {
}
g. h. {
}
i.
A sequência está entre as sequências e .
Exemplo: Determine o limite da sequência
Resolução:
,
Aplicando a propriedade 8 dos limites, com
,
=
=0.
Do Teorema 2,
.
Como
Exemplo: Discuta a convergência da sequência
onde
Resolução: Quando , tanto o numerador quanto o denominador se aproximam do infinito.
Não podemos usar L'Hopital pois não é definido quando não é inteiro! O que acontece com quando torna-se maior?
TEOREMA 2: Teorema do "sanduíche" para sequência (ou Teorema do Confronto)
Se são sequências e e Se
8
Parece que os termos estão decrescendo e se aproximando de 0.
PARA PROVAR, fazer
O que se observa é que a expressão em parênteses é no máximo 1, pois o numerador é menor (ou
igual) ao denominador. Assim:
.
Pelo Teorema 2, como
quando , quando
Exemplo: Supor que o n-ésimo termo de uma sequência seja
PROVAR que Resolução: Os termos da sequência são alternados, positivo e negativo. Os sete primeiros termos da
sequência:
Como
, do Teorema 3,
Exercício. Provar que utilizando o Teorema 3. Informar também os 4 primeiros termos da sequência.
a.
b.
Definição 2: Sequências crescentes e decrescentes Uma sequência é crescente se , . (
Uma sequência é decrescente se , . (
Uma sequência é monótona (ou monotônica) se ela é crescente ou decrescente. Uma sequência é não-monótona caso contrário. Exemplo: Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona.
a.
e
Para qualquer valor de :
TEOREMA 3: Termos alternados
Seja uma sequência que alterna os sinais positivo e negativo,
se
9
Se é um inteiro positivo, então ( e , logo: ; então, . Portanto, a sequência é decrescente!
b.
A sequência:
Sequência não-monótona pois repete sempre o ciclo
c.
Fazendo
e
para
é uma função decrescente no intervalo . se verifica para todo inteiro positivo , ou seja, a sequência dada é decrescente !! Exercício: Determine se cada sequência é crescente, decrescente ou não-monótona. Justifique.
a.
b.
Resposta: a) Decrescente b) Decrescente. Definição 3: Sequências limitadas, cota superior e inferior Um número é denominado cota inferior de uma sequência se , .
Um número é denominado cota superior de uma sequência se , . Sequência limitada inferiormente - possui uma cota inferior. Sequência limitada superiormente - possui uma cota superior. Sequência limitada - limitada inferiormente e superiormente.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1 2 3 4 5 6
f(n)
n
f(n)=(2*n+1)/(3*n-2)
10
Logo, uma sequência é limitada, ou cotada, se e somente se existe um número real positivo M tal que , .
Exemplo: a sequência:
é MONOTÔNICA (pois os termos são crescentes) PROVA Verificação que a sequência é crescente:
para qualquer valor de n:
=
Se é um inteiro positivo, então ( e , logo: ; então, . Portanto, a sequência é CRESCENTE! De acordo com a Definição 2. Uma outra forma de verificação seria através da derivada da função em . é LIMITADA (1 é uma cota superior (todo termo é < 1) e 0 é uma cota inferior (todo termo > 0)). PROVA
Verificar o limite da função:
De acordo com a Definição 3.
Exemplo: Determine se a sequência
é limitada superiormente ou inferiormente.
Resolução:
Como
e a sequência é limitada tanto superiormente quanto inferiormente. A sequência é também não-monotônica devido a alternância entre os sinais positivos (valores pares de ) e negativos (valores ímpares de ).
Exemplo: Use o Teorema 4 para mostrar que a sequência é convergente.
1.
Primeiro passo: da definição 2 (Sequências crescentes e decrescentes)
,
para . Logo, é DECRESCENTE em .
TEOREMA 4: Convergência de sequências monótonas e limitadas
Toda sequência CRESCENTE limitada SUPERIORMENTE é convergente. Toda sequência DECRESCENTE limitada INFERIORMENTE é convergente.
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Verifica-se também que para todo inteiro positivo , ou seja, a sequência
é
decrescente.
Segundo passo: da definição 3 (Sequências limitadas) Todos os seus termos são positivos e ela é limitada inferiormente pelo número 0.
PROVA:
Aplicando L´Hôpital:
Logo,
Terceiro passo: do Teorema 4
A sequência converge, pois sequência é decrescente e limitada inferiormente.
2.
Primeiro passo: da definição 2 (Sequências crescentes e decrescentes) Primeiros 4 termos da sequência (3 casas decimais): 1.667, 1.389, 0.772, 0.322, ... Assim, a sequência DEVE ser decrescente. PARA PROVAR, mostrar que:
ou seja,
ou
A sequência é mesmo decrescente para qualquer inteiro positivo.
Segundo passo: da definição 3 (Sequências limitadas)
Observa-se que todos os termos da sequência são positivos. Logo, 0 é uma cota inferior.
PROVAR
Quando , tanto o numerador quanto o denominador se aproximam do infinito.
Não podemos usar L'Hopital pois não é definido quando não é inteiro! O que acontece com quando torna-se maior?
Observa-se que a expressão (
tende a 0 quando e a expressão
tende a quando
Logo, quando Terceiro passo: do Teorema 4 Como a sequência é DECRESCENTE e LIMITADA INFERIORMENTE, ela CONVERGE.
Exercícios (Justifique as respostas: verifique os exemplos fornecidos anteriormente) 1- Determine: - Se cada sequência é crescente, decrescente ou não monótona (Definição 2), - Se é limitada superiormente ou inferiormente (Definição 3), - Indique se a sequência é convergente ou divergente (Teorema 4).
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a.
b. c.
d.
e.
f.
g.
h. a) Crescente, limitada e convergente b) Crescente, limitada inferiormente, mas não superiormente, divergente c) não-monótona, limitada e divergente d) não-monótona, limitada e divergente e) Decrescente, limitada superiormente, mas não inferiormente, divergente f) não-monótona, limitada e convergente. g) Decrescente, limitada inferiormente e convergente. h) não-monótona, limitada, divergente. Resolução dos itens (e), (f) e (h):
e.
Primeiro passo: da definição 2 (Sequências crescentes e decrescentes)
para ,
logo é DECRESCENTE em (1,∞). (OBS: Cálculo da derivada: )
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f(n)
n
f(n)=sin (nPI/4)/n
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f(n)
n
f(n)=(1.0/(2*n+3))
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Segundo passo: da definição 3 (Sequências limitadas)
A função
∀ , é uma indeterminação da forma quando .
Pode-se aplicar a regra de L'Hôpital :
.
Portanto:
A sequência NÃO É LIMITADA INFERIORMENTE. Terceiro passo: do Teorema 4
Sequência DECRESCENTE mas não LIMITADA INFERIORMENTE, portanto, é DIVERGENTE.
f.
Sequência não-monotônica: Numerador: o limite não existe (não é finito nem infinito) pois quando n cresce indefinidamente, fica sempre seguindo um padrão: 0.7, 1, 0.7, 0, -0.7, -1, -0.7, 0, 0.7, 1, 0.7, 0, -0.7, -1, -0.7, 0, ... Denominador: limite infinito quando n tende a infinito. Limitada e convergente: Aplicação do Teorema 2 - Teorema do confronto:
Sabemos então que
Logo,
Como
temos
Portanto,
h.
Este limite não existe (não é finito nem infinito) pois quando n cresce indefinidamente,
fica
variando indefinidamente: 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, ... Assim, a sequência é não-monotônica.
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É Limitada pois
Limite inferior: -1 e Limite superior: 1.
Divergente - Caso 3 da divergência: Quando a sequência não se aproxima de um limite e os termos oscilam. Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência nos casos a seguir: 1. 2. 3. 4. 5. 1. D; 2. D; 3. Converge para 0; 4. Converge para 1; 5. Diverge. 3. Definir a. O que é uma sequência? Uma sequência é uma lista ordenada de números. Pode também ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. b. O que significa dizer que Que os termos tendem a 8 quando torna-se grande. c. O que significa dizer que Que os termos tornam-se grandes torna-se grande. 4. Definir a. O que é uma sequência convergente? Dê dois exemplos. b. O que é uma sequência divergente? Dê dois exemplos. c. O que é uma sequência monotônica? Dê dois exemplos. 5. Liste os 7 primeiros termos de cada sequência:
a. b.
c.
d. e. f.
6. Liste os 5 primeiros termos de cada sequência e determine se a sequência converge ou diverge. Caso convirja, encontre o seu limite.
a) b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) g)
7. Use um gráfico de sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Stewart)
a)
b)
c)
15
Bibliografia: 1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis 3- Cálculo. Vol. 2. James Stewart.
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Apêndice - Resumo dos teoremas: TEOREMA 1: Convergência de sequências e funções Sejam: : a função definida no intervalo , : a sequência definida por para cada inteiro positivo . Supor que exista para todo número real , CONVERGÊNCIA: Se DIVERGÊNCIA: Se
TEOREMA 2: Teorema do Confronto Se são sequências e e Se TEOREMA 3: Termos alternados Seja uma sequência que alterna os sinais positivo e negativo, Se TEOREMA 4: Convergência de sequências monótonas e limitadas
Toda sequência CRESCENTE limitada SUPERIORMENTE é convergente. Toda sequência DECRESCENTE limitada INFERIORMENTE é convergente.
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Apêndice - Limites de funções: Formas indeterminadas
Vamos ver alguns exemplos de tratamento de formas indeterminadas do tipo:
a) Formas do tipo
Se e são duas funções tais que e , então a função tem a forma indeterminada em .
Por exemplo, a fração
possui uma indeterminação da forma
para . Ou seja,
e . A solução é calcular o limite desse tipo de fração através da fatoração do numerador e do denominador.
Exemplos:
1)
(Resolvido por simplificação algébrica)
2)
(Resolvido pela multiplicação pelo conjugado)
3)
(Resolvido pela Regra de L'Hôpital)
4)
(Resolvido pela Regra de L'Hôpital)
5)
Regra de L'Hopital:
Suponha que
tenha associado a ele a forma indeterminada
para e que
exista.
Então
. Nesta regra, a fração é obtida diferenciando-se, separadamente, o
numerador e o denominador da fração
.
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b) Formas do tipo
Esta indeterminação pode ser entendida como
, ou seja, pode ser reduzida à forma
.
c) Formas do tipo
Para determinarmos escrevemos como
ou
o que conduz
à forma
ou
d) Formas do tipo Se e então o limite é chamado forma indeterminada do tipo . Devemos tentar converter a diferença em quociente, usando um denominador comum ou racionalizando, ou colocando em evidência um fator comum a fim de termos uma forma
indeterminada do tipo
ou
.
Exemplos:
1)
2)
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