PROYECTO FIN DE CARRERA
SIMULACIÓN DE LOS PARES TORSIONALES EN UN
TURBOGENERADOR COMO CONSECUENCIA DEL ARRANQUE
DIRECTO DE UN GRAN MOTOR ASÍNCRONO PRÓXIMO
AUTOR: Manuel Pinilla Martín MADRID, Junio de 2005
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO INDUSTRIAL
1
Introducción………………………………………………………………...página 2
Introducción al problema y motivación del proyecto……………………….3
Métodos numéricos usados en las técnicas de simulación…………………..7
Modelado……………………………………………………………………………11
Máquina síncrona……………………………………………………………12
Motor de inducción……………………………………………………….…42
Red eléctrica…………………………………………………………………43
Líneas y transformadores……………………………………………………45
Turbinas y control primario………………………………………………....47
Eje del turbogenerador………………………………………………………56
Análisis……………………………………………………………………………...64
Propagación de perturbaciones entre la máquina y la red……………….…..65
Análisis del arranque de una máquina síncrona como máquina de
inducción…………………………………………………………………….71
Par debido a los devanados amortiguadores en condiciones de desequilibrio
constructivo entre éstos…………………………………………………...…78
Análisis del efecto de la resistencia añadida al devanado de campo………..87
Análisis del conjunto de masas acopladas al eje del turbogenerador….…….96
Análisis de la interacción torsional durante el arranque…………………...110
Particularización y simulación……………………………………………………..112
Particularización de los parámetros a los de la instalación en estudio….…113
Resultados obtenidos en las simulaciones…………………………………125
Análisis de resultados y conclusiones………………………………………….….140
Análisis de los resultados obtenidos en las simulaciones…………….……141
Conclusiones………………………………………………………….……149
Bibliografía……………………………………………………………………….154
2
PARTE 1:
INTRODUCCIÓN
3
1. Introducción al problema y motivación del proyecto
Tal y como dice el título el objetivo principal de éste proyecto es la simulación de un
hecho concreto. Se puede entender en este caso por simulación la resolución
numérica de ecuaciones diferenciales cuya variable independiente es el tiempo. El
hecho concreto a simular son los pares que aparecen en el eje de un turbogenerador,
como puede ser el de una central térmica, cuando un gran motor asíncrono próximo
arranca de forma directa.
1.1 Arranque de un gran motor asíncrono próximo a un turbogenerador
Se tomará como precedente una experiencia del personal técnico de la Central
Nuclear de Cofrentes, en la provincia de Valencia (España), casi lindando con la
provincia de Albacete. En determinados momentos, y coincidiendo con la puesta en
marcha de una central de bombeo cercana, como es la de La Muela, se escuchaban
ruidos procedentes de la zona de turbinas. Estos ruidos se interpretó que estaban
asociados a deformaciones experimentadas por el eje. Las deformaciones eran de
tipo torsional. El fenómeno parecía que podía venir motivado por la interacción de
alguna perturbación que creara la máquina de la central de bombeo al arrancar con el
propio eje del turbogenerador. El objetivo es simular esa interacción, y explicar
exactamente lo que ocurre.
Para la simulación es preciso modelar todos y cada uno de los elementos presentes.
Evidentemente existen modelos implementados de prácticamente todo lo que se
necesite, pero otro de los objetivos del proyecto es el de conocer a fondo los modelos
dinámicos de las máquinas eléctricas y los dispositivos mecánicos de interés, por lo
que todo lo que se use será implementado para la ocasión. El proceso de modelado e
implementación de cada uno de los elementos se puede ver en la parte del proyecto
que se dedica al modelado.
La instalación a modelar se puede ver en la figura 1.1, y consta de:
4
-Alternador de la central térmica, unido a través de une eje a los distintos cuerpos de
turbinas.
-Conexión eléctrica de éste alternador a un nudo de la red eléctrica, compuesta de
transformador y línea.
-Alternador/motor de la central de bombeo. Tal y como se dice en el título del
proyecto el arranque es de un motor asíncrono. No existen motores asíncronos de un
tamaño suficiente como para que su interacción con una central térmica cercana sea
apreciable. Pero si hay un caso que es el de una central de bombeo que arranca de
forma directa su motor. En régimen permanente el motor (durante el bombeo) o
alternador (cuando está turbinando agua) funciona como síncrono. Pero para arrancar
la máquina en régimen motor de una central de bombeo es necesario, o bien
conectarla eléctricamente a otra máquina que genere energía eléctrica a frecuencia
variable, desde cero hasta la de sincronismo (lo que se suele conocer como un
arranque back-to-back), o bien arrancar la máquina en modo asíncrono, en base a su
funcionamiento como máquina de inducción, posibilitado por la existencia de
devanados amortiguadores en la máquina, o por cualquier corriente que pueda
circular por el rotor de ésta. Naturalmente la máquina debe ser tal que los devanados
rotóricos interaccionen con el estátor creando el par suficiente para conseguir
arrancar, superando la carga mecánica que supone arrastrar su propia inercia, la de la
bomba, y mover el fluido presente en ésta. Para éste arranque típicamente se incluye
una resistencia en el circuito de excitación de la máquina. De esta forma se limitan
las corrientes que aparecen en ese devanado, que pudieran producir calentamientos
excesivos. Si por otra parte el circuito quedara abierto se podría poner en peligro la
integridad de los aislantes, por la magnitud de las fuerzas electromotrices inducidas.
La resistencia que se incluye es variable, constituida por semiconductores, similar en
cuanto a concepto a la que se pueda usar en las autoválvulas, usadas para derivar
grandes sobretensiones a tierra en cualquier instalación eléctrica. La resistencia en
este caso usada será constante, no dependiente de la tensión a la que se sometan sus
extremos.
5
-Unión de la máquina de la central de bombeo al mismo nudo de red que la central
térmica. La proximidad de una máquina a la otra se traduce en que las dos máquinas
se unen a la red de transporte en un mismo nudo, lo cual significa que eléctricamente
están sólo separadas por aquellos elementos existentes entre las máquinas y el nudo.
-La red eléctrica. Dado que se va a realizar un análisis dinámico es necesario
modelarla de tal forma que responda dinámicamente. Para esto se considerará que la
red es infinita en cuanto a frecuencias, pero no en cuanto a tensiones, modelándose
mediante una reactancia de salida.
Fig. 1.1
Por tanto se puede resumir que la motivación del proyecto es conocer más a fondo lo
que ocurre en un caso muy concreto presente en la realidad de las redes eléctricas
como es el arranque directo de un motor asíncrono de grandes dimensiones. No se
espera solucionar el problema si es que se llegara a la conclusión de que es realmente
un problema sino sólo analizarlo, simularlo, y comprenderlo.
El método de trabajo empleado será el de analizar todo lo que ocurre comenzando
desde la máquina que arranca, pasando por la interconexión de ambas máquinas, por
el alternador del turbogenerador, y concluyendo en el eje del propio turbogenerador.
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1.2 Estado del arte. La simulación en la ingeniería eléctrica
A lo largo de los últimos años la forma de abordar los problemas dinámicos en el
campo de la ingeniería eléctrica ha cambiado considerablemente. Si antes era
necesario aproximar las ecuaciones que representaban la dinámica para obtener
resultados más o menos precisos, o usar centros de cálculo enteros, en la actualidad
con un computador personal es factible modelar la dinámica de prácticamente
cualquier sistema. Esto no quiere decir que las técnicas analíticas hayan perdido
interés para el ingeniero eléctrico, ya que en muchos casos proporcionan respuestas
no sólo cuantitativas sino también cualitativas y generalizables, sino que las técnicas
numéricas sirven de apoyo a conclusiones a las que se llega por vía analítica. Lo
mismo ocurre en cualquier parte de la ingeniería y de la ciencia en general. Si en
sistemas lineales se puede estudiar de forma mas o menos sencilla un fenómeno, esto
adquiere mucha mayor complejidad en sistemas no lineales. Es en esos donde la
simulación es incluso más importante. Por tanto se puede concluir que la simulación
ha aportado precisión a los cálculos que pueda ser preciso realizar para diseñar o
analizar una instalación o sistema eléctrico determinado. La realidad es que aunque
se pueda simular con una precisión casi infinita sobre las ecuaciones diferenciales,
éstas nunca representarán plenamente el mundo físico existente, por lo que siempre
existirá la incertidumbre de conocer si lo que se ha obtenido en una simulación se
corresponde a lo que verdaderamente ocurre. Eso le da un punto de emoción a la
profesión de ingeniero, y de romanticismo a la vida misma, donde afortunadamente
nunca el ser humano será capaz de modelar la realidad tal como es. Dado que la
física del problema aquí propuesto está muy estudiada y se ha profundizado mucho y
a lo largo de muchos años sobre ella se espera que el parecido entre lo obtenido en
las simulaciones y la propia realidad sea muy alto.
7
2. Métodos numéricos usados en las técnicas de simulación
Para la simulación de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales que
modelan el problema se usan distintos métodos de resolución aproximada (por esto
es simulación, si fuera exacta sería resolución analítica). Estos problemas simulados
son de valor inicial, donde se conoce en el primer instante de la simulación el valor
de las variables de estado del sistema. Todos los métodos tienen su propia aplicación
tanto a ecuaciones diferenciales como a sistemas de ecuaciones diferenciales.
Dentro de los métodos de resolución numérica de ecuaciones diferenciales se pueden
hacer varias clasificaciones. La más común es la siguiente:
-Métodos de Taylor. Se basan en la obtención del valor de la variable en el instante
inmediatamente posterior usando un desarrollo en serie. Para esto por tanto es
preciso conocer el valor de la variable y de al menos su primera derivada.
Si sólo se usa la primera derivada, y por tanto se hace una aproximación lineal entre
un instante y el inmediatamente siguiente de la solución de la ecuación diferencial el
método se suele conocer como método de Euler. Por tanto en él se aproximará la
curva integral de la ecuación diferencial por su tangente. Este método se usa poco
por no ser suficientemente preciso.
Si se usan para el desarrollo en serie términos de orden superior al primero el método
se conoce como de Taylor de orden k en general. Al ir aumentando el orden aumenta
la carga computacional, ya que requieren muchas derivadas de la función. Por otra
parte si se toma un orden bajo será necesario usar un paso de integración muy
pequeño, lo cual hace que el proceso de cálculo sea muy costoso.
-Métodos de Runge-Kutta. Pretenden mejorar la aproximación del método de Taylor
de orden 1 pero sin tener que calcular derivadas mas allá de la primera. Esto es que
por ejemplo usan el valor de la derivada en un instante determinado, y de la derivada
8
estimada por el método de Euler en el instante siguiente. Este sería el método de
Runge-Kutta de orden 2. El más usado por lo eficiente desde el punto de vista
computacional es el de orden 4. Su implementación responde a las siguientes
expresiones:
)(6 43211 kkkkh
yy ii ++++=+
donde h es el paso de integración, iy es el valor de la curva integral en el instante i, f
es el valor de la derivada de la curva integral real en el instante i, y además:
( )ii ytfk ,1 =
++= 12 2,
2k
hy
htfk ii
++= 23 2,
2k
hy
htfk ii
( )24 , hkyhtfk ii ++=
-Métodos multipaso. No sólo usan el valor de la derivada de la curva integral en un
punto, sino en varios puntos previos al que se quiere calcular. Por tanto es necesario
calcular los valores de la propia curva integral en los n pasos anteriores para poder
calcularlo en el paso i-ésimo. Dentro de éstos aparecen los métodos de Adam-
Bashforth, que usan un polinomio interpolador de orden r para obtener el incremento
de la variable dependiente entre un paso y el siguiente. Para obtener este polinomio
interpolador es necesario conocer r+1 puntos definidos por el valor de la variable
dependiente y la independiente, que serán el actual, i, y los r anteriores. Así se suelen
usar los métodos de este tipo hasta el de orden 4.
Dentro de los métodos multipaso aparecen con bastante relevancia los de predicción-
corrección, que usan dos métodos multipaso de forma combinada. Se basan en la
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existencia de un polimonio interpolador, pero utilizan como uno de los puntos para
determinar el polinomio el propio que se quiere obtener. De esta forma se convierte
en un método explícito, ya que aparece el propio valor a predecir en la expresión
para obtenerlo. Para ello se calcula por algún método de los anteriores una
estimación de ese valor a predecir, y usando éste resultado se vuelve a estimar, ahora
si en el método implícito, el valor corregido de la variable en el paso siguiente. Las
predicciones pueden ser sucesivas aplicando varias veces la fórmula correctora, lo
cual aportará mayor precisión al cálculo.
Todos estos métodos son generalizables a los sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias, donde habrá varias variables dependientes y una independiente.
Conceptualmente son exactamente iguales, ya que se pasa de trabajar de forma
escalar a trabajar de forma vectorial, existiendo un paralelismo total entre el método
aplicado a ecuaciones y aplicado a sistemas.
Por tanto la precisión de un método y la carga computacional que éste lleve asociado
suelen aumentar de forma conjunta, pero hay algoritmos más eficientes que
consiguen la misma precisión con menos carga. La precisión debe elegirse dentro de
valores apropiados determinados por lo necesario de un resultado muy ajustado. En
el caso de variables periódicas, como las que en el problema de simulación presente
aparecerán, una forma de elegir el paso de integración es hacerlo en relación al
período de esas variables. De esta forma, dado que el período es de 20 milisegundos,
correspondiente a los 50Hz del sistema eléctrico, una solución con poco error se
podrá conseguir con un paso de integración de 1 milisegundo. Esto por supuesto se
debe comprobar que es así, y que no altera el resultado en caso de que aparezcan
variaciones en las variables de frecuencia superior, tal y como se hizo por otra parte,
llegándose a la conclusión de que 1 milisegundo era un paso de integración
adecuado, ya que por una parte permitía precisión en los resultados y no
sobrecargaba de operaciones y resultados el computador. También se podría usar un
paso de integración variable en virtud del valor de las derivadas de las variables de
estado del sistema, lo cual podría optimizar el resultado. Esta opción se desechó ya
10
que será necesario usar técnicas para el análisis de los resultados como pueden ser la
transformada discreta de Fourier, que requieren frecuencia de muestreo de los datos
constante, o lo que es equivalente en este caso, paso de integración constante. El
algoritmo de integración usado fue el de Runge-Kutta de orden 4.
Por supuesto la implementación de uno de éstos algoritmos es muy costosa e
innecesaria cuando se dispone de herramientas matemáticas que lo llevan
implementado. Es el caso del Simulink de Matlab, que ofrece toda una gama de
algoritmos de integración numérica entre los que está el que se ha decidido usar, y
varios de los antes expuestos.
11
PARTE 2:
MODELADO
12
1.Modelado de la máquina síncrona
1.1Hipótesis de trabajo
Para el modelado de la máquina síncrona presente en la instalación se recurrió a la
teoría de vectores espaciales, con todas las limitaciones que ésta tiene, como son:
-Los devanados estatóricos están senoidalmente distribuidos a lo largo del
entrehierro en cuanto a efectos sobre el rotor se refiere, por lo que crearán una fuerza
magnetomotriz de distribución senoidal en el espacio a lo largo del entrehierro. Esto
es una hipótesis fundamental en la teoría de vectores espaciales. En la realidad esto
nunca se cumple del todo, de tal forma que la distribución de estos devanados será de
una manera determinada que creará una fuerza magnetomotriz periódica en el
espacio. Si consideramos el primer armónico de esta distribución periódica el
resultado se aproximará bastante al que se refiere a considerar todos los armónicos, y
su simplicidad en la obtención será mucho mayor. Al no modelar más que éste
primer armónico estamos despreciando una fuente de oscilaciones que afectará a la
máquina en forma de par, y por tanto ruido y vibración, y de pérdidas en el hierro,
incluso en su funcionamiento síncrono de régimen permanente. Aunque el objetivo
del proyecto es simular precisamente el efecto de una perturbación de tipo pulsatorio,
y por tanto pudiera tener efecto sobre el resultado final el hecho de considerar estos
armónicos superiores en la fuerza magnetomotriz, hay razones para creer que ésta
pulsación será suficientemente pequeña como para despreciarla. La razón
fundamental es que la máquina concreta que se modelará es de tal importancia y
tamaño que su diseño y construcción serán de tal calidad que la distribución de la
fuerza magnetomotriz apenas distará de la senoidal.
-Las ranuras dónde se sitúan los devanados estatóricos no causan variación
apreciable de la reluctancia magnética vista desde el rotor en unas posiciones y otras.
Esto quiere decir que por un lado las autoinducciones de todos los devanados
rotóricos se mantienen constantes sea cual sea la posición del rotor, así como las
inducciones mutuas entre unos devanados rotóricos y otros, y que las inducciones
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mutuas rotor-estátor variarán de la misma forma que lo hace la fuerza
magnetomotriz, es decir, senoidalmente. Es una suposición razonable, basada
también en la calidad del diseño de la máquina, que debe reducir al máximo
cualquier causa de variabilidad de este tipo colocando los devanados de una forma u
otra.
-No se consideró la histéresis magnética de los ferromagnéticos presentes, lo cual
hace que el modelo no recoja pérdidas en el hierro por este efecto. Esto quizás
interesara más modelarlo para un modelo de régimen permanente, ya que en este
caso el objeto del modelado es el efecto de unas perturbaciones determinadas que
van superpuestas al régimen permanente, donde determinados parámetros no
interesarán, como puedan ser calentamientos de los materiales o pérdidas de
rendimiento.
-Linealidad entre campos magnéticos H y B. La relación será siempre constante, por
lo que no se alterará el valor de inductancias en ninguna condición de
funcionamiento, como pudiera ser en caso de sobreexcitación, o al someter la
máquina a tensiones instantáneas más elevadas de lo que está diseñada para soportar
a efectos de flujo magnético. Ésta hipótesis es correcta hasta cierto punto, ya que las
máquinas pueden estar diseñadas para trabajar en saturación. El efecto de la
saturación sobre las perturbaciones de una variable como pueda ser la tensión
superpuestas al valor natural puede ser de filtrado, lo cual significa que atenuará el
efecto de éstas. La complejidad del modelado hace que no sea interesante de cara a
abordar la solución del problema planteado, aunque si pudiera tener algún efecto
sobre las soluciones obtenidas, pero es de esperar que éste sea pequeño.
-Se despreciará cualquier capacidad entre unos conductores y otros, al considerar
despreciables las conductancias que se derivarán de ellas a las frecuencias utilizadas
en comparación con los efectos inductivos.
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Por otra parte, y dado que el modelado debe representar los efectos transitorios,
debemos incluir en el modelo la presencia de aquellos elementos que sean fuente de
par, no sólo en régimen permanente, sino los que lo produzcan fuera de éste régimen.
Éste efecto lo será conocido como efecto amortiguador, y se basa en la inducción de
fuerzas electromotrices en el rotor en condiciones de no sincronismo, que harán
aparecer corrientes las cuales crearán un campo que interaccione con los demás de tal
forma que intente devolver al sincronismo a la máquina. Puede venir dado de dos
formas:
-Por la presencia de devanados amortiguadores, con disposiciones
constructivas similares a las del rotor de una máquina de inducción. Su presencia es
más frecuente en caso de máquinas de polos salientes.
-Por la inducción de corrientes en el hierro del rotor. Corrientes de
torbellino que harán el mismo efecto amortiguador, y que desde el punto de vista del
modelado, y desde el exterior a la máquina se comportarán exactamente igual que las
otras, y por tanto en adelante no se hará distinción sobre la proveniencia del efecto
amortiguador presente.
1.2 Ecuaciones fundamentales de la máquina síncrona
Con las hipótesis expuestas en el apartado anterior se puede comenzar a modelar la
máquina síncrona. Basta con relacionar electromagnéticamente unos circuitos y
otros. Estas relaciones vienen expresadas en forma de inducción mutua, que
representa el flujo creado por un devanado que concatena a otro y de inductancia de
dispersión, que representa el flujo creado por un circuito y que no concatena más que
a ese mismo circuito, que por tanto es una autoinducción.
Algunos de estos parámetros dependerán de la posición del rotor en caso de
máquinas de polos salientes. Debido a las hipótesis realizadas esta variación será
senoidal.
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Por otra parte y como es habitual al usar vectores espaciales se usarán los ejes d-q,
siendo el eje d el que se encuentra en misma dirección que el eje magnético del
devanado de excitación del rotor de la máquina, y el eje q rotado 90º eléctricos
respecto de éste.
Sea θ el ángulo que representa la posición del eje d del rotor respecto al eje
magnético de la fase a.
Autoinducciones de los devanados estatóricos:
θ2cos20 ⋅+= aaaaaa LLl
−⋅+=3
22cos20
πθbbbbbb LLl
+⋅+=3
22cos20
πθcccccc LLl
Se puede ver que hay un término constante y uno que varía con el doble del ángulo
que representa la posición, ya que desde el punto de vista de la autoinducción del
estátor es igual el polo magnético norte que el sur, ambos sobre el eje d. Además
aquí se incluye la inductancia de dispersión de estos devanados, que también tiene un
término constante y uno periódico. En condiciones ideales pero nada alejadas de la
realidad se cumple que los coeficientes correspondientes al término constante y al
periódico son iguales para las tres fases, por lo que será lo considerado a partir de
ahora.
Inducciones mutuas entre los devanados estatóricos:
)3
2cos(20
πθ +⋅−−= ababab LLl
)2cos(20 πθ −⋅−−= ababbc LLl
)3
2cos(20
πθ −⋅−−= ababac LLl
Bajo la hipótesis de simetría entre las tres fases se cumple que los coeficientes de los
términos de frecuencia cero y del primer armónico son iguales en los tres devanados.
16
Naturalmente las autoinducciones recíprocas son exactamente iguales, ya que
representan el efecto del flujo ligado.
Inducciones mutuas entre estátor y rotor:
Devanado de campo con fase a:
θcosafdafd Ll =
Devanados amortiguadores con fase a:
θcosakdakd Ll =
θsinakqakq Ll −=
Devanado de campo con fase b:
−=3
2cos
πθbfdbfd Ll
Devanados amortiguadores con fase b:
−=3
2cos
πθakdakd Ll
−−=3
2sin
πθakqakq Ll
Devanado de campo con fase c:
+=3
2cos
πθcfdcfd Ll
Devanados amortiguadores con fase c:
+=3
2cos
πθckdckd Ll
+−=3
2sin
πθckqckq Ll
Supuesta la igualdad de coeficientes de cada uno de los devanados respecto de todas
las fases, como en todos los casos hasta ahora. Naturalmente habrá tantos devanados
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amortiguadores como se precise, y cada uno de ellos tendrá sus propias
características en lo que a inducciones mutuas se refiere.
Esto significa que los flujos que concatenan cada una de las fases del estátor son:
[ ]
θθ
θπθ
πθθ
senLiLi
LiLLi
LLiLLi
akqkqakdkd
afdfdaaabc
aaabbaaaaaa
⋅⋅−⋅⋅+
⋅⋅+
−⋅+⋅
+
+⋅+⋅+⋅+⋅−=Ψ
cos
cos)3
2cos(
)3
2cos(2cos
20
2020
[ ]
−⋅⋅−
−⋅⋅
+
−⋅⋅+−⋅+⋅
+
−⋅+⋅−
+⋅+⋅=Ψ
3
2
3
2cos
3
2cos)2cos(
)3
2(2cos
32cos
20
2020
πθπθ
πθπθ
πθπθ
senLiLi
LiLLi
LLiLLi
akqkqakdkd
afdfdaaabc
aaaabaaabab
[ ]
+⋅⋅−
+⋅⋅
+
+⋅⋅+
+⋅+⋅
−−⋅+⋅+
−⋅+⋅=Ψ
3
2
3
2cos
3
2cos
3
22cos
)2cos(3
2cos
20
2020
πθπθ
πθπθ
πθπθ
senLiLi
LiLLi
LLiLLi
akqkqakdkd
afdfdaaaac
aaabbaaabac
Por otra parte los flujos que concatenan cada uno de los devanados rotóricos son:
para el devanado de campo
+⋅+
−⋅+⋅−⋅+⋅=Ψ3
2cos
3
2coscos
πθπθθ cbaafdkdfkdfdffdfd iiiLiLiL
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y para cada uno de los amortiguadores presentes con su eje magnético sobre el eje d
o sobre el eje q
+⋅+
−⋅+⋅−⋅+⋅=Ψ3
2cos
3
2coscos
πθπθθ cbaakdkdkkdfdfkdkd iiiLiLiL
+⋅+
−⋅+⋅+⋅=Ψ3
2
3
2 πθπθθ seniseniseniLiL cbaakqkqkkqkq
Como se puede ver desde el punto de vista del rotor la inductancia vista del estátor es
constante para cualquier posición relativa entre ambos. Además el flujo rotórico
debido a las corrientes estatóricas parece componerse de la proyección de éstas sobre
el eje d y el eje q del rotor, lo cual sugiere ya la forma de la transformación de Park,
como cambio de sistema de referencia para incluir los efectos de las corrientes
estatóricas sobre el rotor de una forma mucho más simple. Además ésta simplificará
también las expresiones de los flujos que ligan las espiras estatóricas.
La forma usada para la transformación es la siguiente:
+−−−−
+−
⋅=
c
b
a
q
d
X
X
X
sensensen
X
X
X
2
1
2
1
2
1
)3
2()
3
2(
)3
2cos()
3
2cos(cos
3
2
0
πθπθθ
πθπθθ
Donde el 2/3 se puede sustituir por otro valor arbitrariamente elegido, pero que se
usa éste en concreto porque hace que los valores de pico de las variables dq0
coincidan con los de las variables abc.
Por tanto, transformando en las relaciones anteriores los flujos y las intensidades,
desarrollando y simplificando las expresiones obtenidas, tenemos que:
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akdkdafdfdabaaaadd LiLiLLLi ⋅+⋅+
++⋅−=Ψ 020 2
3
akqkqabaaaaqq LiLLLi ⋅+
+−⋅−=Ψ 020 2
3
[ ]0000 2 abaa LLi −⋅−=Ψ
afddfkdkdffdfdfd LiLiLi2
3⋅−⋅+⋅=Ψ
akddkkdkdfkdfdkd LiLiLi2
3⋅−⋅+⋅=Ψ
akqqkkqkqkq LiLi2
3⋅−⋅=Ψ
Aquí se pueden definir algunos parámetros muy usados de la máquina de cara a su
caracterización en régimen permanente, como son la inductancia en eje directo y en
eje transverso:
++= 020 2
3abaaaad LLLL
+−= 020 2
3abaaaaq LLLL
Como se puede ver la relación entre flujo e intensidades es constante desde el punto
de vista de éste nuevo sistema de referencia. Esto hace que el sistema de ecuaciones
que describe el estado de la máquina relacionando las variables involucradas sea
mucho más sencillo, ya que será de coeficientes constantes, y computacionalmente
mucho más asequible en caso de querer simular su comportamiento como en este
texto se plantea.
Hay que destacar que no sólo se le debe otorgar una ventaja matemática a esta
transformación, sino que también debe dársele un significado físico. Éste es que al
20
estar ahora las corrientes referidas a un sistema de referencia fijo con el rotor, las
fuerzas magnetomotrices que éstas crean actúan en caminos de permeancia
constante, ya que no cambia ésta a lo largo del tiempo, por lo que las inductancias
asociadas a esos caminos, y que a la postre representan la relación entre la corriente y
el campo que crea ésta, son constantes.
Por tanto, las ecuaciones de estado electromagnéticas de la máquina son las
siguientes:
daqdd iRe ⋅−⋅−= θψψ &&
qadqq iRe ⋅−⋅+= θψψ &&
000 iRe a ⋅−=ψ&
fdfdfdfd iRe ⋅+=ψ&
kdkdkd iR ⋅+= ψ&0
kqkqkq iR ⋅+=ψ&0
con tantos devanados amortiguadores en cada eje como sea preciso para el modelado
correcto de los procesos transitorios en la máquina. En cada una de las ecuaciones
del estátor se pueden ver dos tipos de términos que involucran a los flujos, que son el
término que representa el efecto transformador, donde aparecen dψ& y qψ& , y que
deben su valor a la variación del flujo en sí misma, y el término que representa el
voltaje de velocidad, que es θψ &⋅− q y θψ &⋅d , que debe su valor a la propia existencia
de un flujo y al movimiento relativo de éste respecto a las bobinas estatóricas.
Por otra parte, a efectos del modelado mecánico de la máquina debemos saber que el
par electromagnético desarrollado por ésta es, en función de las nuevas variables dq0
el siguiente:
( )2
º
2
3 polosniiT dqqdelec ⋅⋅−⋅⋅= ψψ
21
1.3 Unitarias y otras consideraciones
Para el uso más cómodo y a la postre más práctico del modelo es necesario que sea
implementado en magnitudes por unidad, ya que es la forma en la que habitualmente
se encuentran los parámetros definitorios de las máquinas.
Para esto tenemos que, para el estátor:
Tensión base……………………………………valor de pico fase-neutro
Intensidad base…………………………….valor de pico de la intensidad
Frecuencia base………………..….…frecuencia sincrónica de la red (Hz)
Velocidad base……………………….pulsación eléctrica de la red (rad/s)
Velocidad mecánica base………..la de la máquina en sincronismo (rad/s)
Impedancia base…………………..……cociente tensión/intensidad base
Inductancia base……………………cociente impedancia/velocidad base
Flujo base…………………….….producto inductancia x intensidad base
Potencia base………………...3/2 del producto tensión x intensidad base
Par base……………………..cociente potencia/velocidad mecánica base
Tiempo base…………………………….…1segundo (se usará en reales)
Para escoger el sistema de unitarias del rotor se debe seguir en primer lugar el
criterio de igualdad de potencias base entre todos los circuitos de rotor y estátor. Esto
hace que las inductancias mutuas entre circuitos rotóricos y estatóricos se conserven
iguales en magnitudes por unidad, interesante para simplificaciones posteriores de las
ecuaciones.
Por tanto debe cumplirse la siguiente relación entre las tensiones e intensidades base
de todos los circuitos presentes:
sbasesbasekqbasekqbasefdbasefdbasekdbasekdbase IUIUIUIU ⋅=⋅=⋅=⋅2
3
22
Al expresar las variables rotóricas en unitarias se consigue el mismo efecto que al
referir las variables del rotor al estátor.
Por tanto se tendrá un valor de intensidad base para cada circuito rotórico:
sbase
afd
adfdbase I
L
LI ⋅=
sbase
akd
adkdbase I
L
LI ⋅=
sbase
akq
aq
kqbase IL
LI ⋅=
Y la tensión base del circuito de excitación:
fdbase
basefdbase
I
SU =
Lo cual significa que el valor en unitarias de la tensión de excitación no se
corresponderá con el que típicamente se hubiera usado eligiendo como base para esta
tensión la que corresponde a la excitación en vacío.
Por otra parte, el valor de los flujos en eje d y e eje q en todos los circuitos dispuestos
sobre esos ejes es casi igual en todos ellos, salvo por el flujo disperso, que sólo
atravesará a cada uno de ellos. Es por esto por lo que a efectos prácticos se considera
una inductancia común a todos los circuitos en cada uno de los ejes, y se le añade a
ésta una de dispersión propia de cada circuito, de tal forma que relacione la corriente
que por él circula con un flujo disperso adicional al común a todos los circuitos. Por
tanto:
lmdd LLL +=
lmqq LLL +=
23
fmdff LLL +=
kdmdkkd LLL +=
kqmqkkq LLL +=
(con tantos devanados amortiguadores como hubiera)
De esta manera los parámetros que definen la máquina pasan a ser las inductancias
en eje directo y transverso, mdL y mqL , la inductancia de dispersión del estátor, lL , la
inductancia de dispersión del devanado de campo fL , y las de dispersión de cuantos
amortiguadores existiesen kdL y kqL . Esto es bastante útil una vez implementado, ya
que si se quiere eliminar el efecto de alguno de los devanados, por ejemplo de los
amortiguadores, basta con dar a su inductancia de dispersión un valor muy alto.
Una vez hechos estos cambios, así como el paso a unitarias, tenemos que, las nuevas
ecuaciones de estado del sistema son:
daqd
base
d iRe ⋅−⋅−= ωψψω
&1
qadq
base
q iRe ⋅−⋅−= ωψψω
&1
000
1iRe a
base
⋅−= ψω
&
fdfdfd
base
fd iRe ⋅+= ψω
&1
kdkdkd
base
iR ⋅+= ψω
&1
0
kqkqkq
base
iR ⋅+= ψω
&1
0
24
siendo ω la velocidad eléctrica del sistema de referencia respecto del estátor, que al
ser solidario con el rotor coincide con la velocidad eléctrica del propio rotor, que en
unitarias es igual a la velocidad mecánica de éste, y por tanto de la máquina.
Además las relaciones entre las corrientes y cada uno de los flujos existentes queda
de la siguiente manera:
[ ] mdkdmdfdlmddd LiLiLLi ⋅+⋅++⋅−=Ψ
[ ] mqkqlmqqq LiLLi ⋅++⋅−=Ψ
000 Li ⋅−=Ψ
[ ] mddmdkdfdmdfdfd LiLiLLi −⋅++⋅=Ψ
[ ] mddkdmdkdmdfdkd LiLLiLi ⋅−+⋅+⋅=Ψ
[ ] mqqkqmqkqkq LiLLi ⋅−+⋅=Ψ
Por otra parte en unitarias la ecuación que liga las variables eléctricas con el
comportamiento mecánico de la máquina es:
dqqdnéticoelectromag iiM ⋅−⋅= ψψ
siendo néticoelectromagM el par electromagnético, fruto de la interacción entre corrientes
y campos magnéticos.
Aunque en el apartado dedicado al modelado del eje de la máquina se desarrollará un
modelo más complejo, a priori se puede considerar el siguiente modelo del conjunto
de masas acopladas:
elecmecmec MM
dt
dI −=ω
resultado de la particularización
de la ley de Newton para sistemas rotativos. Donde por tanto se está haciendo la
hipótesis de infinita rigidez del eje, considerándose todas las masas reducidas a una
sola, siendo I el momento de inercia del conjunto, y mecM el par mecánico que se le
25
entrega a ese conjunto de masas, en caso de un alternador de signo positivo.
Habitualmente se usa en magnitudes por unidad, quedando ésta como
elecmecc MM
dt
dH −=ω
2 con todas las variables en
unitarias y siendo base
basemec
S
IH
2
2
1 ω⋅⋅= la constante de inercia, con dimensiones de
tiempo.
1.4 Implementación del modelo
Para la implementación del modelo se hizo uso de Simulink, perteneciente al entorno
de trabajo de Matlab, y herramienta muy útil por ser un entorno gráfico de cómodo
uso y fácil aprendizaje.
Para esto se desarrollaron varios “bloques” que representan cada una de las partes a
modelar, anteriormente expuestas, que son:
-Transformación de referencia rotativa a referencia trifásica y viceversa
-Ecuaciones electromagnéticas de la máquina
-Ecuación del par electromagnético
-Ecuación mecánica de la máquina
A continuación será explicado el funcionamiento de cada uno de estos bloques.
1.4.1 Bloques de cambios de referencia
Hay dos, uno para transformar las variables de entrada a la máquina, que en este caso
son las tres tensiones del nudo del sistema al que esté conectada, y otro para
transformar las variables de salida, que serán las intensidades inyectadas a la red por
parte de la máquina.
26
Dado que la máquina está modelada en ejes solidarios a su rotor para convertir las
tensiones en referencia trifásica a una referencia solidaria al rotor debemos conocer
la posición de éste, para poder así hallar la proyección del vector espacial tensión
sobre cada uno de los ejes del nuevo sistema. Por tanto la operación realizada es la
transformada de Park, tal y como se definió en el apartado anterior. Y las variables
de entrada son las variables a convertir y la posición del eje d respecto del eje
magnético de la fase a del estátor. En ocasiones la implementación, con el objetivo
de reducir operaciones y cálculos al computador, y por tanto aprovechar más su
capacidad (aunque esto ya no sea un problema habitualmente) se usan como
variables de entrada las tensiones trifásicas y adicionalmente una señal bidimensional
cuyas componentes son el seno y el coseno del ángulo antes mencionado. Esto se
puede ver implementado en la librería Power System Blockset de Simulink, que fue
el bloque utilizado para éste propósito.
Para la transformación de las variables de salida a referencia trifásica se requiere
también conocer la posición del sistema de referencia rotórico. Ya que la
transformación es la inversa de la de Park, su implementación matemática será
mediante la matriz inversa de la matriz que representaba la transformación de Park.
Como se ha comentado las variables de salida usadas son las intensidades, pero
podrían ser otras, como los flujos, en cuyo caso valdría exactamente igual.
Fig. 1.1 cambios de referencia usados, de la librería Power System Blockset
27
1.4.2 Bloque electromagnético de la máquina
Se desarrolló un bloque cuyas variables de entrada eran las tensiones referidas a los
ejes solidarios al rotor de la máquina, la tensión aplicada al devanado de campo, y la
velocidad de la máquina, todo ello en magnitudes por unidad. En cuanto a las
variables de salida son simplemente las necesarias para la simulación que se llevará a
cabo, es decir, intensidades en referencia rotórica y flujos mutuos en eje d y en eje q,
que serán necesarios para el cálculo del par electromagnético.
El modelo responderá exactamente a las ecuaciones en p.u. de la máquina antes
comentadas. Se representarán dos devanados amortiguadores en eje d, y tres en eje q,
que una vez se vaya a particularizar para una máquina concreta se podrá omitir su
uso dándole valores elevados a las inductancias de dispersión y a las resistencias de
cada uno de esos devanados, que anulen la intensidad que circule por ellos, de tal
forma que su efecto sea nulo. Por otra parte, y como se explicará más adelante se
tendrá como opción incluir una resistencia en el devanado de campo, que se usará en
caso de querer simular un arranque con una resistencia adicional en éste. Además se
podrá incluir el efecto de la reactancia de algún elemento acoplado en serie entre la
máquina y la red, como pudiera ser una línea o un transformador, lo cual también
será explicado en apartados posteriores. La apariencia externa del modelo se puede
ver en la Fig. 1.2 a), y el esquema interno en la 1.2 b).
Fig. 1.2 a)
28
Fig 1.2 b)
En la Fig 1.2 b) se puede ver en la parte superior izquierda la entrada de las variables,
que son las tensiones, a las cuales se le suman los voltajes de velocidad, que
requieren el valor de la velocidad en cada momento por tanto, por lo que se precisa
como variable de entrada. A continuación se pasan estas variables a un bloque que
las integre. Para esto se usa un formato de espacio de estado en el que las variables
de estado son los flujos en cada uno de los devanados.
Si u es el vector de entradas, x es el vector de estado, e y es el de salidas, tenemos
que:
xy
BuAxx
=+=&
donde:
29
( )( )
⋅⋅
⋅⋅−
⋅⋅+
=
0
0
0
0
0
0
0
basefd
base
basedq
baseqd
e
e
e
e
u
ωω
ωωψωωψ
Donde B es la matriz identidad de dimensiones 9x9, y A es la matriz por la que
multiplicaremos los flujos para obtener las caídas de tensión en los devanados, por lo
que debe relacionar los flujos con las intensidades, y a continuación multiplicar cada
una de éstas por la resistencia del devanado correspondiente.
Sea I_F la matriz que relaciona las intensidades con los flujos, definida a partir de las
relaciones el apartado anterior, pero ampliando la consideración a tres devanados
amortiguadores en eje q y dos en eje d, y será por tanto cuadrada de 9x9 con la
siguiente configuración:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
+−+−
+−+−
+−+−
−+−
+−
=
qkmdmdmdmq
mdqkmdmdmq
dkmdmdmdmd
mdmdqkmdmq
mddkmdmdmd
mdmdfdmdmd
l
mqmqmqlmq
mdmdmdlmd
LLLLL
LLLLL
LLLLL
LLLLL
LLLLL
LLLLL
L
LLLLL
LLLLL
FI
3
2
2
1
1
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000000
00000
00000
_
Sea F_I la matriz inversa de la anterior, que multiplicada por el vector flujos da el
vector intensidades. A su vez éste se debe multiplicar por las resistencias, y cada una
de ésas caídas de tensión por baseω , por lo que la matriz A debe ser la siguiente:
30
⋅
⋅
= IF
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A
qk
qk
dk
qk
dk
fd
a
a
a
base
base
base
base
base
base
base
base
base
_
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
3
2
2
1
1
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
De esta forma la salida del espacio de estado será el valor del flujo en cada instante.
A continuación se calculan las intensidades multiplicando éste vector de flujos por la
matriz F_I, obteniendo así el vector que contiene los valores instantáneos de cada
una de las nueve intensidades.
1.4.3 Ecuación del par
El par electromagnético viene dado en magnitudes unitarias por la relación
dqqdnéticoelectromag iiM ⋅−⋅= ψψ , por lo que la implementación es muy sencilla,
habiéndose desarrollado el bloque sin problema reseñable, terminando con el
siguiente aspecto:
Fig. 1.3
31
1.4.4 Ecuación mecánica de la máquina
Primero se desarrolló un modelo que suponía concentradas como si fueran una todas
las masas acopladas al eje. Más tarde, y como se explicará en el apartado que se
refiere al modelado del eje, se desarrolló un modelo en el que se considera cada masa
separada de las demás y unidas entre sí por ejes, de tal forma que se pueda simular,
como es el objetivo del proyecto, los pares en cada uno de los segmentos del eje.
Para el modelado, se realizó de tal forma que las variables de entrada fueran el par
mecánico proveniente del conjunto de turbinas y el par electromagnético,
proveniente de la interacción entre rotor y estator. Por otra parte las de salida son la
velocidad del conjunto, y como integración suya el ángulo girado, que dará la
posición del rotor, y que por tanto será fundamental a la hora de los cambios de
sistema de referencia. En la Fig.1.4 se puede ver el aspecto de éste bloque. Está
configurado de tal forma que se pueda dar la inercia tanto en magnitudes reales como
en magnitudes unitarias, por medio de la constante de inercia H. Incluye además un
rozamiento viscoso que se opone al movimiento con una par proporcional a la
velocidad que en ese momento lleva la máquina.
Fig. 1.4
1.5 Validación del modelo
Dado que el objeto final del modelo de la máquina síncrona es una simulación
bastante precisa y compleja, es deseable comprobar que el funcionamiento se ajusta
32
correctamente a lo que del modelo se espera. Para validarlo se realizaron distintas
pruebas de funcionamiento, que ayudaron a detectar errores que hubieran adulterado
e invalidado por completo los resultados. De estas se obtuvieron resultados que en
algunos casos se podía comprobar cuantitativamente su corrección, y en otros
cualitativamente. Estos ensayos fueron:
-Funcionamiento en régimen permanente de la máquina síncrona
-Cortocircuito trifásico a tierra
-Cortocircuito fase-tierra en bornas de la máquina
-Respuesta dinámica ante cambios en la tensión de excitación
-Comportamiento del modelo ante armónicos de tensión
A continuación se mostrarán los resultados obtenidos en cada uno de ellos y se
evaluará el modelo en virtud de ellos.
1.5.1 Funcionamiento en régimen permanente
El primer punto de funcionamiento analizado fue el de excitación correspondiente a
la excitación en vacío, con la cual para P=0 la intensidad es prácticamente nula al no
haber generación ni consumo de activa ni de reactiva.
Precisamente por no haber intensidad la reacción de inducido debe ser nula, por lo
que la f.e.m. interna de la máquina debe coincidir con la tensión de la red. Esto nos
posibilita hallar la relación entre la intensidad de excitación y esta f.e.m. interna.
Además la tensión de excitación, en régimen permanente, se relaciona con la
intensidad de excitación a través de la resistencia del devanado de campo. Esta
intensidad de excitación será además la intensidad de excitación en vacío.
Una vez conocida esta tensión de excitación que proporciona la intensidad de
excitación en vacío ya se puede controlar el valor de ésta para ensayos a distintas
33
potencias. Por tanto, a partir de la componente activa de la intensidad, que
conocemos dado que la potencia mecánica del alternador es conocida (y en p.u.
coinciden), a partir de la tensión en bornas, impuesta por la red, que será de 1 p.u. en
todos los ensayos, y a partir de la intensidad de excitación, proporcional a la f.e.m.
interna de la máquina 0E , podemos hallar el valor del ángulo de carga, de la
componente reactiva de la intensidad (y por tanto de la intensidad total), y de las
componentes d y q de ésta, sin más que trabajar sobre el diagrama vectorial usual, tal
y cómo se puede ver en la Fig.1.5. En régimen permanente y despreciando el par de
reluctancia es conocido que:
θsenX
UEP
s
⋅= 0
siendo U la tensión en bornas, 0E la f.e.m. interna, sX la reactancia síncrona, y P la
potencia activa transmitida a la red, y θ el desfase entre estas dos tensiones. Aunque
no tiene en cuenta el efecto de la asimetría en caso de ser una máquina de polos
salientes aproximará el valor del ángulo de carga, y servirá para estimarlo. En la Fig.
1.5 se puede ver el ángulo de carga como el que forman los fasores U y 0E calculado
de forma más precisa, ya que sí cuenta con el efecto de la asimetría del rotor.
34
Fig.1.5
Los resultados obtenidos en las simulaciones concuerdan plenamente con los teóricos
obtenidos de forma similar a lo que se ve en la Fig. 1.5, por lo que parece que en
cuanto al régimen permanente el comportamiento del modelo es impecable.
Quedaría por reseñar que el límite estático de entrega de potencia de la máquina es:
sX
UEP
⋅= 0
max
Se puede comprobar que esto es también correcto, ya que trabajando cerca de éste
limite la máquina funciona de forma estable y a partir de entregarle una potencia
mecánica por el eje superior a éste límite de la potencia eléctrica que es capaz de
evacuar la máquina pierde sincronismo, una vez su ángulo de carga supera los 90º y
35
entra en su zona inestable de funcionamiento. En la figura 1.6 se puede ver la
evolución del ángulo de carga en este supuesto.
Fig. 1.6
Aunque este ensayo del límite de estabilidad no muestra exactamente el límite
dinámico, salvo que se haga con escalones de par muy pequeños partiendo de pares
que hagan trabajar a la máquina muy cerca de 90º, si muestra que la dinámica del
modelo es cualitativamente igual a la esperada para él.
Este ensayo se repitió con éxito para otros valores de potencia mecánica y de
excitación, resultando en todos los casos muy cercanos los valores simulados y los
calculados, por lo que el modelo pasó exitosamente esta prueba de funcionamiento
estático en carga.
36
1.5.2 Cortocircuito trifásico en bornas
El objeto de éste era comprobar la respuesta fuera del régimen permanente del
modelo, y para ello la prueba más extrema a la que se le puede someter es un
cortocircuito en bornas. Para su simulación basta con cambiar las variables de
entrada, que son las tensiones, del valor que tengan en ese momento a cero. Se puede
comprobar que la respuesta es tal y como se debiera esperar, coincidiendo los valores
de la intensidad con los que se pueden estimar para el régimen transitorio y
subtransitorio, dados por los valores de las reactancias transitorias y subtransitorias,
que derivan de la reactancia operacional, dada por las relaciones entre corrientes y
flujos en eje d y en eje q, en el dominio de Laplace. En las siguientes figuras 1.7, 1.8,
y 1.9 se puede ver la evolución de la corriente de las fases a, b, y c respectivamente.
Se aprecia que la componente unidireccional es distinta en las tres fases, ya que
depende de la posición del rotor en el momento del corto. Se comprobó que
realmente esto era así, de tal forma que cambia el valor de la corriente unidireccional
en cada fase en función de la posición relativa entre el rotor y el eje magnético de la
fase en cuestión.
Fig. 1.7
37
Fig. 1.8
Fig. 1.9
Por tanto el modelo respondió satisfactoriamente a esta prueba.
38
1.5.3 Cortocircuito fase-tierra en bornes de la máquina
La corriente de corto en este caso es tres veces la componente homopolar del sistema
trifásico de intensidades, y depende por tanto de manera fundamental de la
impedancia de puesta a tierra del neutro de nuestra máquina. En nuestro caso, y
como se puede ver en las ecuaciones, concretamente en la ecuación de la
componente homopolar, la resistencia vista por una corriente homopolar es la misma
que por otra componente cualquiera (directa o inversa), lo cual significa que la
impedancia de puesta a tierra es nula. En caso de que no sea así deberíamos incluir
los términos oportunos, no sólo de resistencia, sino de cualquier otro elemento que
relacione la Io y Uo, o tensión de neutro. Para no entrar en complicaciones y no tener
que alterar el modelo sustancialmente sólo consideraremos la posibilidad de colocar
una resistencia uniendo el neutro y tierra. Si la máquina tiene el neutro rígidamente
unido a tierra se pueden ver las corrientes de falta en la fase de la falta y la
componente homopolar en las figuras 1.10 y 1.11
Fig. 1.10
39
Fig. 1.11
Se puede ver cómo la corriente de la fase en falta es aproximadamente tres veces la
homopolar. Para reducir éstas corrientes se puede incluir una resistencia de puesta a
tierra, que en el modelo se reflejará en el incremento del valor de la resistencia que
ve la componente homopolar, que dejará de ser distinta de la que ven las demás
fases. Si se incluyera una reactancia bastaría con sumar el valor de ésta al valor de la
reactancia de dispersión de la máquina en lo que a la secuencia homopolar se refiere.
En la Figura 1.12 se puede ver el valor menor de la intensidad homopolar añadiendo
una resistencia de puesta a tierra, tal y como debe ocurrir.
40
Fig. 1.12
Se puede ver también en este caso cómo el modelo satisface las expectativas y se
comporta reflejando los resultados tal y cómo se esperaba.
1.5.4 Respuesta dinámica ante cambios en la tensión de excitación
La respuesta esperada ante una solicitación de este tipo es el reajuste del ángulo de
carga, para mantener la potencia activa transferida, y la variación de la potencia
reactiva entregada o consumida, que a efectos de intensidad se puede ver como una
variación en la componente reactiva de ésta, y por tanto en el módulo de la
intensidad. Dependiendo de lo amortiguado que esté el modelo, tanto desde el punto
de vista mecánico como electromagnético la evolución será cualitativamente distinta.
Si está poco amortiguado puede incluso haber sobrepaso al evolucionar el ángulo de
carga. No es propósito de este texto pero el comportamiento es asimilable a un
sistema de segundo orden. Por tanto el modelo también respondió correctamente a
ésta prueba.
41
1.5.5 Comportamiento del modelo ante armónicos de tensión
Dado que el propósito del modelo es el de estudiar su comportamiento ante ciertas
perturbaciones de frecuencias distintas a la fundamental se verá si responde
adecuadamente ante ellas. En primer lugar se usará una red cuyas fases son un
sistema trifásico equilibrado, al que se le añadirá otro de amplitud sensiblemente
menor (del orden de la décima parte), de frecuencia cinco veces la fundamental, y de
secuencia inversa. Esto simulará la existencia de quinto armónico en un sistema
trifásico equilibrado. Se espera que el resultado de esto sea la aparición de una
componente oscilatoria en el par de régimen permanente de la máquina, en este caso
de 300Hz, por ser ésta la diferencia de frecuencias de giro entre el rotor, que se
espera que siga a la secuencia directa y el ampo creado por la inversa, que girará a
250Hz pero en sentido contrario. Esto se confirma en la figura 1.13.
Fig.1.13
42
Conclusiones sobre el modelo implementado para la máquina síncrona
El modelo ha respondido satisfactoriamente a todas las pruebas a las que se vio
sometido, por lo que parece fiable de cara a obtener resultados válidos y correctos en
simulaciones posteriores. Por tanto esta fase del proyecto finalizó con éxito.
2. Modelado del motor de inducción
El modelado de un motor de inducción, dada la parecida naturaleza de éste con la de
la máquina síncrona, es muy similar al de ésta. Se puede pensar en colocar la
referencia de los ejes d-q solidaria al rotor como en el caso de la máquina síncrona, o
al campo giratorio creado por el estátor. Dado que el caso particular a analizar se
refiere a una máquina síncrona arrancada en forma asíncrona gracias al efecto de sus
devanados amortiguadores, y por tanto los valores de los parámetros disponibles
vendrán dados en la forma usual de la máquina síncrona, se usará un modelo con
referencia situada solidaria el rotor, y que no se diferenciará en nada del modelo
usado para la máquina síncrona. Además el modelo debe responder adecuadamente a
un transitorio muy concreto, como es el arranque, con lo que la ventaja que pudiera
aportar otro modelado en caso por ejemplo de querer estudiar un régimen
permanente de máquina de inducción no es motivo suficiente como para que sea
necesario un modelado distinto al que se va a usar. Por tanto, en virtud de lo aquí
expuesto, el modelo de máquina de inducción será el mismo que el de máquina
síncrona. La única particularización adicional introducida será la de la colocación de
una resistencia en el devanado de campo de la máquina, así como que la tensión de
excitación aplicada a éste sea nula hasta que se alcance la velocidad de cuasi-
sincronismo después del transitorio de arranque. El objeto de colocar ésta resistencia,
así como el resultado de hacerlo se valorará en secciones posteriores dedicadas al
arranque en modo asíncrono de máquinas síncronas.
43
3. Modelado de la red eléctrica
Para modelar el comportamiento de la red durante esta simulación no se puede hacer
la suposición de que sea infinita, ya que las altas intensidades presentes lo
imposibilitan. Esa hipótesis implicaría que la tensión mantuviera su módulo
constante. Es sabido que el arranque de una máquina de inducción lleva aparejado
altas intensidades, sobretodo por el alto consumo de potencia reactiva para crear el
campo en el interior de la máquina. No es por tanto un problema de potencia activa,
sino de reactiva. Para modelar la caída de tensión en la red debida a esta gran
intensidad se usará una reactancia de salida de la red, o equivalente de Thévenin de
lo que hay en la red. Esta reactancia vendrá expresada, como es habitual, en forma de
potencia de cortocircuito.
Para la implementación en Simulink de una reactancia de salida de la red hay ciertos
problemas, ya que es necesario conocer las variables de salida, o intensidades, del
elemento que es alimentado por la red para conocer las variables de entrada al mismo
elemento. Esto plantea un lazo que si es demasiado complejo es difícil de resolver
para el algoritmo usado por el programa, pero esto sólo ocurre en caso de tratar por
separado todas las variables. Si se usan señales multidimesionales, en este caso tres
dimensiones, una por fase, este problema desaparece. Una vez superado este pequeño
inconveniente se desarrolló un modelo de la red en unitarias que da una señal de
tensión tridimensional, siendo cada una de sus dimensiones el valor instantáneo de la
tensión en cada una de las fases, de secuencia directa, a las que se añade la caída de
tensión debidas a las intensidades de salida de los elementos que se unen a ella.
Como los elementos se modelaron con criterio generador la caída de tensión se suma
a la tensión de la red, obteniéndose así la tensión en el nudo al que se conectan los
elementos.
El valor de la caída de tensión en la reactancia de salida equivalente será el siguiente:
44
dt
diLU
up
base
uccp
up
...... ⋅=
ω
Siendo ..uccpL el valor de la inductancia equivalente a la reactancia de cortocircuito de
la red, a la frecuencia eléctrica utilizada, que en unitarias se cumple que:
.... uccpuccp XL =
Y el valor de ésta segunda se puede obtener como:
2.... uredp
cc
baseuccp U
S
SX ⋅=
Siendo baseS el valor base de la potencia de la red, típicamente y en todas las
simulaciones aquí realizadas de 100MVA, ccS el valor de la potencia de corto en
MVA, y 2..uredpU el cuadrado del módulo de la tensión de la red en ese punto, en
unitarias, que como es lógico rondará la unidad, y así será en todas las simulaciones.
El aspecto que resulta tener el bloque de Simulink que representa la red será el que
aparece en la figura 3.1.
Fig. 3.1
45
4. Modelo de líneas y transformadores
La descripción de la topología de la instalación, como se explicó previamente es:
-Dos máquinas, una síncrona y otra asíncrona unidas por líneas y/o
transformadores a un nudo común de la red. Estas líneas y transformadores se
representan por sus reactancias serie.
-La red infinita unida a este mismo nudo por otra línea o reactancia de
salida del equivalente de Thévenin como se comentó en apartados precedentes.
En este apartado se trata de modelar las líneas y/o transformadores que unen las dos
máquinas con el nudo de la red eléctrica. No existe al respecto mayor problema,
puesto que podemos reducir sus reactancias a los ejes d-q de la máquina, incluyendo
por tanto éstos elementos como si fueran parte de la propia máquina rotativa. El
procedimiento es tan sencillo como un cambio de base de las matrices que relacionan
tensiones e intensidades en la línea.
Se cumple que:
[ ] [ ] [ ] [ ]maqseriemaqred Idt
dLUU ⋅+=
Siendo [ ]redU el vector tridimensional tensión al lado opuesto de la máquina, [ ]maqU
el vector tensión en el lado de la máquina, [ ]maqI el vector de intensidades, y [ ]serieL
la matriz trifásica de inductancias, que tendrá en su diagonal los valores de la
inductancia para cada una de las fases, es decir:
[ ]
=
c
b
a
serie
L
L
L
L
00
00
00
Típicamente cba LLL == para situaciones de equilibrio constructivo entre las tres
fases. Si así no fuera el desequilibrio será suficientemente pequeño como para no
considerarlo, dada la poca longitud de las líneas presentes, y el buen diseño que se le
supone a los transformadores en una instalación de este tipo. Todas éstas variables
trifásicas están referidas a un sistema de referencia fijo con el estátor de la máquina.
46
Si las referimos al rotor, usando la transformación de Park, representada por la matriz
[ ]sA , tenemos que:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]maqseriesmaqDQredDQmaqseriesmaqsreds Idt
dLAUUI
dt
dLAUAUA ⋅⋅+==⋅⋅+⋅=⋅ 00
Por otra parte
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]
⋅−⋅=⋅⋅=⋅⋅ maqsmaqsseriemaqsseriemaqseries IAdt
dIA
dt
dLI
dt
dALI
dt
dLA
Lo cual es igual a
[ ] [ ]
⋅−
⋅
+⋅0
0 dserie
qserie
rmaqDQserie iL
iL
Idt
dL ω , siendo rω la velocidad relativa entre el sistema
de referencia usado en el modelo de la máquina y el estátor, que en este caso
coincide con la velocidad de rotación de la máquina.
Lo cual significa que se pueden integrar los valores qserie iL ⋅ dserie iL ⋅− y como flujo
q y flujo d de la línea, ya que aparecen tal y como lo hacen en las ecuaciones, en
forma de voltajes de efecto transformador, y de voltajes de velocidad. Eso significa
que basta con cambiar los valores de las inductancias en eje d y en eje q de la
máquina y añadirle serieL . Dado que el modelo de la máquina desarrollado es en
magnitudes unitarias es necesario tomar la precaución de que esta inductancia esté en
unitarias y en la misma base que la propia máquina.
Si a partir de aquí se quisieran conocer las tensiones en bornas de la máquina bastaría
con restar las caídas de tensión correspondientes a las intensidades en referencia
trifásica en las inductancias de valor serieL . Si se quisiera modelar algún sistema de
control como el regulador de tensión puede que este tome su medida en bornas de la
máquina, por lo que se usaría esa tensión. Por tanto, cualquier línea o transformador
a la salida de la máquina se incluirá en esta, pudiéndose a partir de ahí tratar todo el
conjunto como una sola cosa.
47
5.Modelo de turbinas y control primario
El turbogenerador aquí utilizado utiliza la energía almacenada en un flujo de vapor
de agua a alta presión y temperatura y lo transforma primero en energía mecánica y
luego en eléctrica. El modelado de la respuesta dinámica de la turbina aquí usado es
el que se suele utilizar para estudios dinámicos de sistemas de energía eléctrica,
como pudieran ser estudios de estabilidad. Por tanto es un modelo muy sencillo, que
simplifica hasta el extremo los fenómenos físicos como no podía ser de otra manera,
pero que ofrece resultados bastante precisos, lo suficiente como para que no sea
necesario complicar más el modelo.
Para la explicación de todo lo concerniente al modelo se usará el caso particular en
este proyecto estudiado, sin perder generalidad por otra parte en los desarrollos
teóricos.
Un esquema de la instalación a modelar es el visto en la figura 5.1
Fig. 5.1
48
Como se puede ver el sistema de turbinas que funciona cediendo energía mecánica al
alternador a través del eje consta de tres cuerpos, uno de alta, y dos de baja presión.
Esto es una configuración muy habitual en centrales nucleares del tipo PWR
(Presure Water Reactor). Además de las turbinas tenemos elementos de control de
flujo, como son:
-Válvula de control, en el esquema aparece como VC. Sirve para la regulación
primaria, y por tanto sigue consignas del control primario. Se encuentra ubicada de
tal forma que almacena una cierta cantidad de vapor, algo que es muy importante
para el modelado como se verá más adelante.
-Válvulas de intercepción (VI). Una para cada turbina de baja presión, antes de éstas.
La respuesta de las turbinas de baja presión ante cambios en la consigna de la válvula
de control es muy lenta, lo cual hace necesario situar dos válvulas antes de éstas. La
utilización de estas válvulas se restringirá a situaciones extremas, como actuación de
las protecciones, y habitualmente estarán totalmente abiertas dejando circular
libremente el flujo de fluido.
Por otra parte hay otros dos elementos, en el croquis llamados SHR, acrónimo de
Separador de Humedad Recalentador, cuya misión es la de separar el agua ya
condensada, y de paso devolver el vapor a la temperatura con la que salió de la
caldera, o en éste caso del reactor. Estos elementos son muy importantes para el
modelado ya que en ellos, de gran volumen, se almacena una gran cantidad de vapor,
lo cual se traducirá en inercias y retardos.
El objeto de éste apartado es conseguir por tanto un modelo sencillo pero
representativo de la respuesta dinámica de todos estos elementos.
5.1 Volumen de vapor
Sea un volumen de control definido por paredes infinitamente rígidas, lo que quiere
decir que su volumen no cambia sea cual sea la presión interior, y al que llegan dos
49
conductos, uno de entrada y otro de salida. La ecuación de continuidad de la
mecánica de fluidos aplicada a este volumen dice que:
( )dt
dVQQV
dt
dsaleentra
ρρ ⋅=−=⋅
Donde V es el volumen, ρ es la densidad y t es el tiempo.
Sea además la hipótesis de que el caudal que sale es proporcional a la presión
existente en el volumen de control, linealizando a partir del punto de funcionamiento
nominal de la siguiente manera:
PP
QQsale ⋅=
0
0
Sea además la temperatura constante, por lo que:
dt
dP
dP
d
dt
d ⋅= ρρ
Por tanto:
dt
dQ
Q
P
dP
dVQQ sale
saleentra ⋅⋅=−0
0ρ
Donde dP
dρ viene dado en las tablas termodinámicas del fluido empleado, interesando
usar el valor correspondiente al punto de funcionamiento nominal, definido por una
presión y temperatura determinadas. En el dominio de Laplace esta ecuación tendrá
el siguiente aspecto:
salesaleentra QsQ
P
dP
dVQQ ⋅⋅⋅=−
0
0ρ
50
Si 0
0
Q
P
dP
dVTvolumen ⋅= ρ
es la constante de tiempo ya está definida la función de
transferencia entre los caudales de entrada y salida de fluido al volumen de control
bajo las hipótesis anteriormente realizadas, siendo:
volumenentra
sale
TsQ
Q
⋅+=1
1
Sobre las hipótesis realizadas cabe decir que la rigidez del contorno del volumen de
control puede considerarse cierta si no hay variaciones demasiado grandes de la
presión, que el caudal que sale es proporcional a la presión es cierto alrededor del
valor nominal del caudal, ya que suponiendo que aguas abajo hay una turbina de
vapor la relación entre salto de presiones y caudal en ésta no es lineal, aunque cerca
del punto normal de funcionamiento si se puede aproximar por su tangente, que es lo
que aquí se hace. Por otra parte implícitamente se está haciendo la hipótesis de que
no hay ningún fluido disuelto en el de trabajo, lo cual introduciría una nueva
complicación al poder precipitar una parte al aumentar la presión, o al depender su
densidad de la presión de distinta manera que en el otro. Esta hipótesis es correcta, ya
que por ejemplo la presencia de gases no condensables es pequeña, al eliminarse en
el desaireador y en los eyectores del condensador. Esto, al igual que la elasticidad del
contorno hubieran introducido nuevas constantes de tiempo, complicando la función
de transferencia.
5.2 Etapa de turbina
La hipótesis fundamental en este punto para determinar el comportamiento de cada
uno de los cuerpos de turbinas es que el par desarrollado es proporcional al caudal.
Una vez más esto es correcto alrededor del punto de trabajo nominal, allá donde se
pueda aproximar la curva Par-Caudal de la turbina por su tangente. Por tanto:
QKTmec ⋅=
51
5.3 Válvulas
Típicamente la relación entre flujo másico y apertura no es lineal. Además el tipo de
curva depende del tipo de válvula o regulador de caudal utilizado. Se puede
considerar el flujo másico proporcional al área de paso que deja la válvula al fluido.
En válvulas de control interesa que el área de paso varíe poco al cambiar la apertura
alrededor del punto de funcionamiento, que es lógicamente el de totalmente abierta,
para poder regular con más precisión el caudal. A pesar de esto se considerará que
las válvulas tienen una característica lineal, ya que la importancia de la precisión del
funcionamiento de esta parte es reducida, ya que si que jugará un papel necesario,
pero no condicionará la aparición de oscilaciones en el eje debido a otras causas.
El caudal que deje pasar la válvula en cualquier caso será el producto entre el área de
paso que deja ésta y la diferencia de presiones aguas arriba y aguas abajo. Dado que
en un régimen no demasiado extremo la presión aguas abajo no crecerá demasiado en
ocasiones se considerará proporcional sólo a la presión aguas arriba.
Por otra parte las válvulas llevaran asociado un volumen de vapor, contenido en el
volumen de control que concierne a la válvula y espacios anejos a éste, por lo que
aparecerá una constante de tiempo y la válvula llevará implicada una respuesta de
sistema de primer orden.
5.4 Modelo del conjunto de turbinas
Para integrar todos los elementos que aparecen en el esquema sólo hay que ir paso a
paso con las relaciones desarrolladas.
De esta forma, si tenemos una presión de alta determinada el caudal que llegará al
volumen de control en que se encuentra la válvula será:
presiónAPpasodeAreaQentra ⋅=
52
La presión de alta (AP) se considerará perfectamente constante, ya que la determina
la bomba de circulación que manda el fluido líquido al evaporador. Las dinámicas
de control de estas bombas, así como las de la caldera son de un rango temporal
mucho mayor que no interesa modelar ya que no aportan nada a la simulación de la
que es objeto el modelo.
Por otra parte el caudal que dejará pasar la válvula coincide con el anterior en el
régimen permanente, pero no será instantáneo debido a la compresibilidad del gas,
como se explicó en 5.1. Por tanto:
VCentra
sale
TsQ
Q
⋅+=1
1
Los valores de las constantes de tiempo asociadas a este tipo de válvulas de control
suelen ser de una pocas décimas de segundo.
A continuación hay una turbina, donde el par desarrollado será proporcional a este
caudal, con una constante u otra en función de la fracción de la potencia desarrollada
en el cuerpo de alta de la turbina.
A continuación el vapor, a una presión media llega al recalentador. El caudal que
sale de la etapa anterior es el que entra aquí. Además la presión en el recalentador,
que evolucionará según la diferencia de caudales entrantes y salientes, será
proporcional al caudal saliente, a través del producto entre ésta presión y la posición
de la válvula de intercepción, que en éste caso siempre permanecerá abierta. Por
tanto el diagrama de bloques de esta función de transferencia queda reflejado en la
figura 5.2.
53
Fig. 5.2
Siendo en este caso Trh la constante de tiempo del recalentador, que en este caso
vale:
⋅=dP
dVTrh
ρ
El valor de Trh es de algunos segundos, dependiendo del tamaño del recalentador
fundamentalmente. El modelo implementado queda constituido en un bloque con el
aspecto de la figura 5.3. Por último, el par desarrollado por las turbinas de baja
presión es proporcional al caudal que sale de los recalentadores.
Todo lo aquí expuesto se desarrolla en magnitudes por unidad, de tal forma que la
entrada al modelo será un valor entre 0 y 1, siendo 0 la válvula totalmente cerrada y
1 totalmente abierta, y la salida el par en magnitudes unitarias.
54
Fig. 5.3
5.5 Control primario
El control primario es el que regula la potencia entregada por la máquina a la red.
Sus señales de entrada son la potencia de referencia, que es la que se quiere que se
entregue, y la velocidad en cada instante. La señal de velocidad se multiplica por la
ganancia del control, determinada por la curva de estatismo del generador, que da la
variación de la consigna de potencia en función del error de velocidad. Por tanto el
control considerado es de tipo proporcional. En otros casos pueden incluirse
adelantos o retrasos de fase dependiendo de las prestaciones que se desee que tenga
el control y de lo limitada que esté la estabilidad. En régimen permanente este error
de velocidad será nulo, por lo que será en los transitorios donde el control pueda
intervenir para frenar o acelerar la máquina. El mecanismo de control se modelará
como sistema de primer orden, con una constante de tiempo de varias centésimas de
segundo. Por otra parte hay que modelar el sistema electromecánico que moverá la
válvula propiamente dicha. Estos sistemas cuentan con un amplificador hidráulico,
son servomecanismos, por lo que su función de transferencia será una integración, y
cuentan con un bucle de realimentación para hacer el funcionamiento estable. La
velocidad a la que es capaz de moverse el sistema electromecánico está limitada
obviamente, así como sus posiciones extremas, entre 0 y 1, que será la que
corresponda a la válvula de control. El diagrama de bloques que representa el
funcionamiento puede verse en la figura 5.4.
55
Fig. 5.4
Las constantes de tiempo asociadas al servomecanismo son de algunas décimas, por
lo que la repuesta de la turbina será la que más retardo introduzca en la respuesta del
sistema conjunto control mas turbina. El aspecto del bloque implementado en
Simulink es el de la figura 5.5.
Fig. 5.5
56
6.Modelado del eje del turbogenerador
Para el desarrollo de un modelo dinámico de cualquier sistema elástico es necesario
conocer dos parámetros fundamentales, que son la rigidez y la inercia. La rigidez
relaciona las deformaciones con los esfuerzos, al igual que lo hace el módulo de
elasticidad, mientras que la inercia es la oposición al cambio de velocidad. Para
modelar con total exactitud es necesario contar con cada elemento infinitesimal, que
aportará su rigidez e inercia, por lo que la masa estará distribuida a lo largo de toda la
longitud. En el modelo de un eje trabajando a torsión cada sección tendría su propio
momento de inercia y su rigidez a torsión como se explicará a continuación.
Sea un sólido de sección circular de dimensiones pequeñas comparadas con su
longitud sometido a un esfuerzo de torsión variable o no en el tiempo. Sea una
sección de espesor diferencial dz de este mismo, donde z es por tanto la coordenada
longitudinal, que recorre todo el eje del sólido. El valor del momento torsor a ambos
lados de la sección escogida será:
lado a: T
lado b: dzdz
dTT ⋅+
Como es sabido el momento total de las fuerzas actuando sobre un sólido cualquiera
es igual al producto del momento de inercia del sólido respecto del eje en que se
sitúa ese momento por su aceleración angular, es decir:
2
2
02
2
0dt
dI
dz
dT
dt
ddzITdz
dz
dTT
θρθρ ⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=−⋅+
57
Donde 0I es el momento de inercia polar de la sección (respecto de su eje), y ρ es
la densidad del material que constituye el sólido en cuestión. Además es sabido que
el ángulo girado se relaciona con el momento torsor de la siguiente manera:
2
2
00 dz
dIG
dz
dT
IG
T
dz
d θθ ⋅⋅=⇒⋅
=
Siendo G el módulo de elasticidad transversal.
Por lo que uniendo las dos expresiones tenemos que:
2
2
2
2
2
2
02
2
0dz
dG
dt
d
dz
dIG
dt
dI
θθρθθρ ⋅=⋅⇒⋅⋅=⋅⋅
Por lo que el ángulo girado respecto de la posición de equilibrio cumple la ecuación
de ondas, es decir, se propaga periódicamente en el tiempo y en el espacio, siendo el
espacio la dimensión longitudinal del sólido. Además las características de ésta
propagación, es decir la velocidad, sólo dependen del material del que esté
compuesto, y no del tamaño de la sección, aunque esta ecuación es menester decir
que sólo es válida para secciones circulares, caso típico en ejes de transmisión de
potencia, en los cuales la rigidez es proporcional al momento de inercia polar.
Si se resuelve esta ecuación de ondas para unas condiciones determinadas se hallarán
los infinitos modos de vibración y, en este caso particular, de torsión del eje. Será
necesario conocer en cada punto el valor de la densidad media y del módulo de
elasticidad transversal. Si éstos fueran constantes la resolución de la ecuación de
ondas podría ser sencilla, ya que sólo hay una dimensión espacial. Con ésta solución
se obtendrían las infinitas formas de respuesta natural del eje, o modos de torsión.
Pero solucionar esto no es viable, ni necesario. El eje se puede simplificar y escoger
un modelo de masas concentradas, donde las inercias estarán situadas en un número
finito de puntos. Esto nos dará como solución tantos modos de torsión como masas
58
se hayan escogido, al igual que antes se obtenían infinitos, por haber escogido
infinitas masas. Esto no debe ser una preocupación, pues los modos obtenidos son los
de menor frecuencia, que a la postre son los que nos interesan, ya que las frecuencias
excitadas serán bastante bajas. Es por este motivo por el que escoger un modelo de
masas concentradas es factible desde el punto de vista de la validez de los resultados.
Hay que señalar que las frecuencias de los modos obtenidas con masas concentradas
no serán exactamente las mismas que las obtenidas con un sistema de masas
distribuidas, precisamente porque en un caso estamos variando la distribución real de
inercias, aunque los valores numéricos si se aproximarán bastante. Más en este caso,
en el que no sólo se hace la hipótesis de que la masa esté concentrada, sino que en
realidad la masa se encuentra situada en ciertos puntos mas que en otros. Estos
puntos naturalmente son cada uno de los cuerpos acoplados al eje, es decir, turbinas,
alternador, y excitatriz si la hubiera.
Para el desarrollo del modelo, tal y como se ha escogido que éste sea, sólo es preciso
conocer los siguientes parámetros:
-Topología del eje
-Inercia de cada uno de los cuerpos
-Rigidez en cada tramo entre dos cuerpos
En un tramo de eje, entre dos cuerpos, la transmisión del esfuerzo será instantánea,
aunque se pudiera aproximar introduciendo un retardo, obtenido conociendo la
longitud del tramo del eje y la velocidad de propagación de la onda de torsión en ese
material. Lo que ocurre es que este retardo será tan pequeño que no merece la pena
tenerlo en cuenta, ya que no aportará nada a las soluciones obtenidas.
En este caso la topología usada será particularizada a la del conjunto de turbinas
modelado en el apartado anterior, y por tanto dispondrá de cuatro cuerpos, a saber, y
por éste orden: alternador, turbina de alta presión, turbina de baja presión, y otra
turbina de baja presión.
59
El par transmitido por un eje sometido a torsión es proporcional al ángulo que ese eje
se torsiona, dentro por supuesto del campo de la deformación elástica. La relación
entre el ángulo y el par es la que será conocida en adelante como rigidez del eje, K.
Por otra parte la velocidad de un cuerpo se relaciona a través de su derivada con el
par resultante de todos los que afectan a ese cuerpo. Y la velocidad es derivada del
ángulo.
Atendiendo a esto, y teniendo en cuenta que podemos usar como referencia la
velocidad de sincronismo, el ángulo cero corresponderá a la referencia sincrónica
rotativa de la red a la que esté unido el alternador, y a partir de ahí la diferencia entre
ángulos será la que proporcione el par. En el primero de los cuerpos, es decir, el
alternador, se tiene que:
éticoelectomagnaltTAPTAPaltalt
alt TKdt
dI −−⋅=⋅ − )( δδω
cronismoaltalt
dt
dsinωωδ
−=
Siendo altI el momento de inercia del rotor del alternador, y éticoelectomagnT el par de
origen electromagnético existente en ese instante.
Si generalizamos la notación de tal forma que el cuerpo 1 sea el alternador, el 2 la
turbina de alta presión y así sucesivamente el conjunto de ecuaciones se puede
expresar como:
elecTKdt
dJ −−⋅= )( 1212
11 δδω
60
APTKKdt
dJ +−⋅+−⋅−= )()( 23231212
22 δδδδω
1343423233
3 )()( BPTKKdt
dJ +−⋅+−⋅−= δδδδω
234344
4 )( BPTKdt
dJ +−⋅−= δδω
011 ωωδ
−=dt
d
022 ωωδ
−=dt
d
033 ωωδ
−=dt
d
044 ωωδ
−=dt
d
Para adimensionalizar éstas ecuaciones, para así usar magnitudes por unidad, se
deben elegir la potencia y velocidades base. El tiempo seguirá expresándose en
magnitudes reales, congruentemente con lo que se usa en modelos de otros
componentes de la instalación. Como potencia base se puede usar la que se desee.
Hay dos opciones, usar la que se usará en el conjunto de componentes, o usar la
potencia nominal de la máquina. El modelo fue implementado usando la potencia
base nominal de la máquina, pero al integrarlo en la instalación es necesario por tanto
reajustar las bases de los pares transmitidos.
61
Por tanto, las inercias en segundos ahora serán:
baseS
J
H
202
1 ω=
Siendo cronismocabasemecáni sin0 ωωω == que en el caso particular de un solo par de polos
y a 50Hz eléctricos será π100 rad/s. El par base será el cociente entre potencia y
velocidad base. Por tanto, las ecuaciones, una vez adimensionalizadas quedan, para
el caso del alternador:
elecTKdt
dH −−=
∆⋅⋅ )(2 1212
11 δδω
011 ωωδ
⋅∆=dt
d
Donde todas las variables están en p.u. excepto el tiempo, los ángulos en radianes, y
la rigidez es de unidades p.u./rad, obtenida adimesionalizándola con el par base.
Además se incluirá un amortiguamiento D en forma de par, de tal forma que actúe
proporcionalmente a la desviación de la velocidad respecto de la de sincronismo,
salvo en el cuerpo correspondiente al alternador, donde ya se modeló con mayor
precisión cualquier fenómeno de éste tipo. En los cuerpos de turbinas corresponde al
generado por las pérdidas de carga adicionales que aparecen en ésta cuando la
velocidad cambia respecto de la nominal de la turbina, que no es otra que la de
sincronismo. Se considerará igual para todas las turbinas.
Generalizando esto a todos los cuerpos, y expresándolo en forma matricial:
62
−
+
∆∆∆∆
⋅
−−
+−−
+−−
−
=
∆∆∆∆
+
0
0
0
0
0000000
0000000
0000000
000000022
002
000
22
)23(
200
200
022
)(
200
20
0022
0000
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
0
0
0
0
4
34
4
34
4
3
34
3
34
3
23
3
2
23
2
2312
2
12
2
1
12
1
12
4
3
2
1
4
3
2
1
BP
BP
AP
elec
T
T
T
T
H
K
H
K
H
D
H
K
H
KK
H
K
H
D
H
K
H
KK
H
K
H
D
H
K
H
K
δδδδ
ωωωω
ωω
ωω
δδδδ
ωωωω
&
&
&
&
&
&
&
&
Lo cual por tanto tiene estructura de espacio de estado con:
vector de entradas:
−
0
0
0
02
1
BP
BP
AP
elec
T
T
T
T
vector de variables de estado:
∆∆∆∆
4
3
2
1
4
3
2
1
δδδδ
ωωωω
y vector de salidas por ejemplo, y dado que lo que nos interesa es el
par en cada tramo del eje:
63
∆∆∆∆
−−
−=
4
3
2
1
4
3
2
1
3434
2323
1212
3
2
1
000000
000000
000000
δδδδ
ωωωω
KK
KK
KK
y
y
y
El modelo fue implementado en Simulink, obteniéndose un bloque con un aspecto
como el que muestra la figura 6.1
Fig. 6.1
Se comprobó que su funcionamiento era el correcto tanto en régimen permanente
como sometido a perturbaciones. El análisis de sus características torsionales será
abordado el apartado dedicado a ello de este mismo proyecto.
64
PARTE 3:
ANÁLISIS
65
1.Propagación de perturbaciones entre la máquina y la red
Las perturbaciones existentes sobre el funcionamiento perfectamente senoidal y
equilibrado de un sistema eléctrico en general se propagan en dos sentidos, de la red
a las máquinas, y de las propias máquinas a la red. Si la red sólo se compone de
elementos pasivos y se omiten fenómenos como la saturación de transformadores el
origen de las perturbaciones estará en las propias máquinas u otros elementos activos
unidos a la red. En éste caso es de especial interés comprobar cómo se relacionan las
distintas variables que caracterizarán una perturbación vista desde la red, como son la
frecuencia o la amplitud con dicha perturbación vista desde la máquina,
concretamente desde una máquina rotativa, ya sea síncrona o asíncrona, dado que es
necesario realizar este análisis para ambas al ser los dos tipos de máquinas de interés
para este proyecto.
1.1Perturbación transmitida de la red a la máquina
Sea un sistema trifásico de tensiones senoidales y perfectamente equilibradas. A ese
sistema se le pueden añadir dos tipos de lo que se llamará a partir de aquí
perturbaciones:
-De la misma frecuencia del sistema, en cuyo caso la forma de analizarlo es haciendo
uso de las componentes simétricas, descomponiendo el sistema en una secuencia
directa, una secuencia inversa, y una secuencia homopolar. Las tres ondas de tensión
serán senoidales pero en general de distinta amplitud y con desfases diferentes a 120º
entre las tensiones de dos fases.
-De distinta frecuencia de la del sistema, pero equilibrado de secuencia directa. Las
tres ondas de tensión no son senoidales, pero son iguales a lo largo del tiempo con
desfases de un tercio de período de su frecuencia fundamental. El análisis de Fourier
es una herramienta muy útil, de tal forma que al ser variables periódicas por la propia
naturaleza oscilatoria del sistema se puede descomponer cada onda en suma de
66
infinitas ondas senoidales. Éstas ondas serán de frecuencia múltiplo de la frecuencia
fundamental de la perturbación, que si es en este caso n Hz el segundo armónico será
de 2n Hz y los desfases de dicho armónico entre las fases hacen que sea de
secuencia inversa, el tercero de 3n Hz homopolar, el cuarto directo, el quinto de
nuevo inverso y así sucesivamente.
Para analizar el efecto de éstas perturbaciones es necesario pensar en el modelo
realizado de la máquina, que representa la propia realidad, en el cual las ondas de
tensión se refieren al rotor haciendo uso del teorema de Ferraris según en cual tienen
un vector espacial rotativo asociado. Según esto el efecto de cada una de las
perturbaciones será el siguiente:
-En el primer tipo de perturbación la secuencia directa, supuesta que ésta es la
mayor, será la que marque el sentido de giro de la máquina, y será responsable de
corrientes de secuencia directa, y por tanto de flujos, que se convertirán en
interacciones electromagnéticas que creen un par constante dentro del régimen
permanente. Desde el punto de vista del rotor todas las componentes directas de las
variables se verán como constantes. En cuanto a la secuencia inversa el vector
espacial asociado a ésta girará en sentido contrario al rotor con una velocidad relativa
del doble de la velocidad de sincronismo, ya esté funcionando la máquina tanto de
forma síncrona como asíncrona. Esto hará que aparezca una componente de
intensidad y de flujo de ésta misma frecuencia respecto del rotor, lo cual aparte de
introducir pérdidas en el hierro por histéresis y corrientes inducidas generará una
componente alternativa de par en caso de una máquina síncrona al interaccionar
alternativamente con el flujo de excitación, o restará par en caso de una máquina
asíncrona, ya que esa componente funcionará en modo de freno, al tener un
deslizamiento superior a la unidad. En cuanto a las componentes homopolares
crearán un par alternativo de frecuencia igual a la velocidad de la máquina en ese
momento, además de pérdidas en el hierro.
67
-En cuanto al segundo tipo de perturbación cada armónico se comporta exactamente
igual que en el anterior en función de la secuencia de éste, teniendo en cuenta que
una secuencia inversa de f Hz se corresponderá a un campo que girará a f Hz en
sentido contrario al de la secuencia directa, que respecto del rotor son fo+f Hz en
caso de funcionar en sincronismo, siendo fo la frecuencia eléctrica de la red. En
cuanto a los armónicos de secuencia directa si es de frecuencia f, desde el punto de
vista del rotor se verá como si fuera de frecuencia f-fo, lo cual significa que
aparecerán componentes de par de varias frecuencias como se explicará a
continuación.
Por tanto las perturbaciones que pudiera haber en la red sean como sean entre las dos
anteriores desde el rotor de la máquina se ve de una frecuencia cada una de ellas. Si
por ejemplo se vieran desde el propio rotor éstas perturbaciones como de frecuencias
F1, F2 y F3, además del valor normal que será de frecuencia cero, teniendo en cuenta
que habrá intensidades y flujos de esas mismas frecuencias, también referidos al
rotor de la máquina, y que el par viene dado por el producto entre intensidades y
flujos, una vez más desde el punto de vista del rotor, se tiene que las frecuencias del
los pares que aparecerán serán producto de la suma y resta de las frecuencias de cada
una de las componentes con todas las demás. Es decir, la interacción de las
perturbaciones de frecuencia F1 y F2 hará que aparezca una componente en el par de
frecuencia F1+F2 y otra de frecuencia F1-F2.
Por tanto el conjunto de frecuencias presentes en la composición del par será:
0 F1 F2 F3
0 0 F1 F2 F3
F1 - 0 y 2F1 F1-F2 y F1+F2 F1-F3 y F1+F3
F2 - - 0 y 2F2 F2-F3 y F2+F3
F3 - - - 0 y 2F3
68
La amplitud y por lo tanto la importancia de estos pares dependerá evidentemente de
la amplitud de las perturbaciones, y en muchos casos estas frecuencias ni siquiera
serán apreciables, pero estarán ahí, o pueden anularse al componerse el par como una
resta dqqde iiT ⋅−⋅= ψψ . Si una de las restas de frecuencias como las de la tabla
fuera negativa se toma el valor absoluto de esa frecuencia, ya que ese signo indicará
simplemente un desfase de 180º.
Los pares de frecuencia cero que aparecen en la tabla son el síncrono, cuando la
máquina trabaja en sincronismo y respecto del rotor todas las variables son
constantes, y los pares de tipo asíncrono, como ya se comentó antes con la secuencia
inversa, que hacía que la máquina trabajara en régimen de frenado visto por esa
secuencia, pudiendo trabajar en cualquier parte de la curva característica Par-
velocidad de las máquinas de inducción, incluso aportando energía a esa
perturbación.
Las experiencias realizadas con distintas máquinas modeladas concluyen que la
componente de par más importante en cuanto a amplitud de una perturbación, de
frecuencia vista desde el rotor f-fo, suele ser la que deriva de la interacción con la
componente fundamental, desde el rotor vista como continua, y que por tanto la
componente oscilatoria principal del par es de frecuencia f-fo. Evidentemente esto no
es una generalidad, cada caso será distinto.
1.2 Perturbación transmitida de la máquina a la red
Si en el caso anterior una distorsión en la tensión de alimentación a la máquina
llegaba a interaccionar con ésta a través de su eje, en éste ocurre lo opuesto, es decir,
una interacción mecánica en la máquina llega a la red en forma distorsión en la onda
de tensión. Incluso sin existir una perturbación mecánica la máquina puede
“contaminar” la red debido a su diseño no perfecto, introduciendo armónicos como
consecuencia de que la distribución de fuerza magneto motriz en el entrehierro no
69
sea perfectamente senoidal. Esto se asume que ocurre en todas las máquinas, e
incluso se usa en algunos sistemas de protección de alternadores. Pero estas
particularidades no se incluyen en el modelo, que supone las fuerzas
magnetomotrices perfectamente senoidales. De todas formas éstas son
suficientemente pequeñas como para no considerarlas, y aparecerán de forma
permanente, mientras la simulación y análisis del fenómeno a analizar pertenecen a
un régimen transitorio y muy particular.
Es por tanto cuestión ver cómo se transmite una perturbación a la red eléctrica. Si por
ejemplo apareciera en el eje de la máquina un par alternativo de frecuencia f
superpuesto al de funcionamiento normal, contínuo, aparecerá en la velocidad una
oscilación de mayor o menor amplitud, pero de frecuencia f, dada la linealidad de la
relación entre las distintas variables mecánicas. El problema cambia
conceptualmente a partir de aquí, ya que el modelo de la máquina no es lineal, al
igual que no lo es la propia realidad, y no por parte de la saturación magnética por
ejemplo, no considerada aquí, sino del propio modelo desarrollado. Las ecuaciones
que describen el estado de cualquier variable involucrada en una máquina eléctrica
son prácticamente lineales, salvo los voltajes de velocidad, desde el punto de vista
del rotor, donde se fijará la referencia. Pero desde el punto de vista externo a la
máquina estas ecuaciones no lo son, dado que la propia transformación de Park
introduce productos entre variables. Esto significa que el sistema a tratar es un
sistema no lineal. Algo que distingue a los sistemas no lineales de los que lo son es
que las respuestas pueden cambiar cualitativamente, y no sólo de forma cuantitativa
al cambiar ciertos parámetros que configuran el sistema. A esos puntos se les suele
conocer como bifurcaciones, y el valor de un solo parámetro o variable de todos los
presentes puede ser el que provoque la bifurcación. En el caso que aquí interesa, que
es el transitorio de arranque de una máquina, el cual introduce una serie de
perturbaciones en la red, aparece una oscilación en la velocidad, cuyo origen será
analizado más adelante. Esta oscilación será de una frecuencia determinada. La
matriz de paso de la referencia dqo solidaria al rotor a referencia abc incluye senos y
cosenos del ángulo que representa la posición del rotor. Éste ángulo evoluciona
70
linealmente en caso de que la velocidad fuera constante, puesto que es su integral,
pero en caso de tener un término oscilatorio ese ángulo evolucionará de forma no
lineal, y presentará una oscilación superpuesta. En condiciones de sincronismo estos
senos y cosenos lo serán de una variable lineal, y por tanto evolucionarán como
senos y cosenos, pero en caso de aparecer una nueva componente para determinar el
ángulo también aparecerán nuevos términos al realizar las proyecciones del cambio
de referencia. Esto hará que en las variables eléctricas en referencia abc aparezcan
oscilaciones con frecuencias distintas a la fundamental. Por otra parte el valor de la
frecuencia de éstas oscilaciones dependerá de dos parámetros, que son la frecuencia
de las oscilaciones de velocidad, y la amplitud de éstas, dado que el sistema no es
lineal.
Dada la complejidad que supone trabajar analíticamente sobre estos modelos no
lineales se observará lo que ocurre con el modelo implementado en este proyecto
para comprobar la forma de propagación hacia la red de las perturbaciones que en el
rotor pudieran aparecer. El origen de las perturbaciones será discutido cuando el
arranque de la máquina de inducción sea analizado.
Las experiencias realizadas indican que ante una perturbación de frecuencia f en el
rotor se transmite a la red de forma simétrica a lo que ocurre en el caso de
perturbaciones que van de la red al rotor. Esto induce a pensar que aparecerá con
frecuencia o bien f+fo, o bien fo-f, siendo fo la frecuencia fundamental de la red.
Que sea una u otra depende de cómo sea el efecto de la perturbación respecto del
rotor.
Por tanto se puede concluir que, a efectos prácticos, la transmisión de perturbaciones
se lleva a cabo de la siguiente manera:
-Perturbación de frecuencia f en la red: se ve desde el rotor como de
frecuencia fo-f, o como fo+f si giran en sentido opuesto.
71
-Frecuencia f1 en el rotor: se ve desde la red como de frecuencia fo-f1 o como
fo+f1
Sin duda y dada la no linealidad del sistema aparecerán modos de propagarse las
perturbaciones más complejos, como se vio que había en caso de las perturbaciones
de la máquina hacia la red, pero su importancia es muy inferior a ésta, como se
constató en todas y cada una de las pruebas realizadas.
2. Análisis del arranque de una máquina síncrona como máquina de inducción
Dado que el proyecto será particularizado para el arranque de una máquina síncrona
en modo asíncrono es menester analizar cómo se producirá y las implicaciones que
éste tendrá. En el caso del arranque de una máquina síncrona como máquina de
inducción se usarán los devanados amortiguadores del rotor a semejanza del uso que
se da a los devanados rotóricos de una máquina asíncrona. Estos que se llaman
devanados amortiguadores en los modelos dinámicos de máquinas síncronas
representan varios fenómenos:
-El de los devanados realmente existentes, con disposiciones similares a un rotor de
jaula de ardilla.
-El efecto del hierro. Las corrientes inducidas en él se comportan como las inducidas
en un devanado amortiguador cualquiera. El efecto amortiguador será menor si el
hierro del rotor está laminado, ya que las corrientes que circularán por él serán
menores. Será distinto en un eje que en otro por la distinta cantidad de hierro visto
desde uno y otro.
Además de este efecto amortiguador tipo máquina de inducción tendremos otros
efectos a considerar ya que producirán pares de naturaleza oscilatoria, que serán
72
perturbaciones tal y como se analizaron en el apartado anterior que se reflejarán en la
red que alimenta la máquina. Los efectos que se deben tener en cuenta son los
siguientes:
-Par de reluctancia. Es un efecto a considerar que distingue las máquinas síncronas
de las asíncrona y debido a la disposición del rotor. En caso de una máquina de polos
salientes es evidente que hay caminos de distinta reluctancia para el campo
magnético. Es por esto por lo que aparecerá un par de reluctancia, que además no
depende de que la máquina esté excitada, por lo que será un par sincronizante (quiere
decir que trata de sincronizar, no que lo consiga) que no se podrá evitar su presencia,
aún cuando la máquina esté en régimen asíncrono. La peculiaridad de este par
sincronizante es que no distingue polaridades del rotor como ocurre con el par debido
a la corriente de excitación, lo cual a efectos prácticos se traduce en que varia como
seno del doble del ángulo de carga. Esto significa que en cualquier velocidad de
funcionamiento en la que el par electromagnético sea uno dado por los devanados
amortiguadores, existirá una componente de par oscilatoria, de frecuencia doble al
deslizamiento, debida al llamado par de reluctancia. Esto a su vez hará que sea
imposible alcanzar un régimen de velocidad constante en la máquina funcionando
como máquina de inducción, aunque si se llegará a un régimen estabilizado, en cuyo
caso habrá una componente constante de velocidad y otra de carácter oscilatorio.
Lógicamente durante el transitorio de arranque esto también sucede, y se puede ve
que la velocidad oscila alrededor de una determinada. Estas oscilaciones de
velocidad son más o menos importantes en función de lo distinta que sea la
reluctancia del eje directo y del eje en cuadratura, que determinaran el par de
reluctancia, y en función de la inercia de la máquina.
-Devanado de campo. Existe otra causa que hará oscilatorio el par, y es la propia
presencia del devanado de campo, que supone una diferencia en sí mismo de un eje
al otro. La corriente inducida creará un campo magnético alternativo, el cual tenderá
a alinearse con el giratorio creado por el estátor. Lógicamente el hecho de que este
campo sea alternativo hace que el par resultante sea también alternativo. El efecto de
73
éste, dado que durante el arranque este devanado no está sometido a la tensión de
excitación, es similar al de cualquiera de los devanados amortiguadores. Por supuesto
hará que exista una asimetría entre ejes d y q. Esta asimetría provocará que además
de la componente continua del par aparezca una componente de frecuencia doble al
deslizamiento en cada instante. Se analizará más profundamente el efecto de los
amortiguadores conjuntamente con el devanado de campo más adelante.
-Par amortiguador. La única componente útil del par será la debida a la presencia de
los devanados amortiguadores, que crearán un campo giratorio que tratará de seguir
al campo estatórico, y que por tanto dará lugar a la única componente continua que
tenga el par total. También se analizará con más rigor en apartados posteriores. Hay
una situación un tanto especial y es al principio del transitorio de arranque de la
máquina, momento en el cual el par amortiguador es oscilatorio de frecuencia igual
al deslizamiento. Esto es lo que ocurre al comienzo de un transitorio de arranque de
una típica máquina de inducción. Esta oscilación desaparece tras unos cuantos ciclos.
Por tanto el par variará su frecuencia durante todo el proceso de arranque con
frecuencia doble al deslizamiento, en este caso desde 100Hz hasta 0Hz en el
momento en que la máquina sincronice con la red. Por otra parte al principio del
transitorio aparece una componente de frecuencia igual al deslizamiento. Esta se verá
a que se debe en este mismo apartado.
En un supuesto arranque de máquina de polos salientes aparecerán todas las
anteriores componentes, la de reluctancia, la que se debe a la presencia del devanado
de campo, y la del par amortiguador. Dado que en el caso particular del proyecto se
tiene el arranque de una máquina de una central de bombeo, típicamente lentas y de
polos salientes, el análisis nos interesa plenamente.
La velocidad de la máquina evoluciona como muestra la figura 2.1.
74
Fig. 2.1
Ampliando la zona inicial de la simulación se puede ver la figura 2.2.
Fig. 2.2
75
Esto es, aparecen oscilaciones de carácter más marcado que en el resto del transitorio
(exceptuando el final de este). La frecuencia de estas oscilaciones es
aproximadamente de 50Hz, realmente lo que coinciden con la frecuencia de
deslizamiento. Se deben a la oscilación del par de origen amortiguador al comienzo
del transitorio.
Ampliando algo más adelante, cuando la velocidad es aproximadamente 0.4p.u. en la
figura 2.3.
Fig. 2.3
La frecuencia en este caso se puede ver que en la figura 2.3 es de 60 Hz, en un
momento en que la velocidad vale 0.4 p.u., y por tanto el deslizamiento es 0.6p.u. y
la frecuencia de deslizamiento 30Hz. Obsérvese que una es el doble que la otra, tal y
como se esperaba que ocurriera.
76
La evolución del propio par a lo largo del arranque es la que se puede ver a
continuación en la figura 2.4.
Fig. 2.4
En los primeros instantes el par se dispara. Esta gran oscilación del par es de
frecuencia 50Hz. Esto justifica la oscilación en la velocidad al comienzo del
transitorio. A continuación el par evoluciona como si de una máquina de inducción
se tratase, al menos en cuanto a su valor medio, describiendo la típica curva par
velocidad, aunque en este caso es dinámica, pero semejante a la estática.
A continuación se justificará esta oscilación inicial del par. El par en el modelo, y en
la realidad aparece como interacción de corrientes y flujos, que a su vez oscilan con
una frecuencia igual al deslizamiento durante el periodo transitorio. Por tanto parece
que el producto debería ser de frecuencia doble. Esto supone un error, y es el que se
deriva de olvidarse de la componente continua de estos flujos e intensidades. Es el
producto de los valores medios el que da la mayor parte del que aquí se ha llamado
77
par amortiguador, y es el producto de cada uno de los valores medios por la
componente de frecuencia igual al deslizamiento la que da la componente oscilatoria
del par de frecuencia igual al deslizamiento. Es necesaria por tanto una componente
continua para justificar las frecuencias iguales al deslizamiento. Además la
predominancia de esta componente continua se da en los primeros instantes, donde
las intensidades y por tanto los flujos vistos desde la referencia dqo fija al rotor son
mayores debido al cambio brusco de condiciones al que se somete la máquina. Como
en cualquier transitorio, y desde el punto de vista de la red, es decir en referencia abc
existe una componente unidireccional y además la componente alterna crece. Estas
mismas dos desde el punto de vista del rotor, y dado que su velocidad en ese
momento es en la práctica nula, se verán respectivamente como una componente de
frecuencia nula, y otra alternativa de la misma frecuencia que la red. Es al principio
donde aparecen valores medios muy importantes. De hecho es una evolución similar
a la de un cortocircuito.
Se puede hacer el análisis desde el punto de vista del modelo. Sean las ecuaciones de
la máquina desarrolladas en la primera parte de este mismo proyecto. En un instante
inicial la corriente, tanto en d como en q es nula por lo que la derivada del flujo en
cada uno de estos ejes es igual a la tensión aplicada, al no existir los voltajes de
velocidad por ser ésta nula. Por tanto el flujo evolucionará cumpliendo estas
ecuaciones como si de una bobina sometida a un transitorio se tratase (que en el
realidad es lo que es), con una componente continua inicial y una alternativa
superpuesta. Por otra parte este flujo estará creado por unas corrientes cuya acción
conjunta creará el flujo, por lo que tendrán su correspondiente valor medio.
Es por tanto esta aparición de una componente continua al comienzo del transitorio la
que justifica, en su interacción con la alternativa de frecuencia igual al deslizamiento
(vista desde el rotor) el par alternativo de frecuencia igual al deslizamiento al
comienzo del transitorio.
78
Por tanto:
-Las oscilaciones sobre el valor medio del par de frecuencia doble del deslizamiento
aparecen cuando arrancamos una máquina síncrona como máquina de inducción, y se
deben a la distinta reluctancia en los dos ejes del rotor, y a la existencia del devanado
de campo, cuya existencia es una asimetría en sí misma al aparecer en un eje y no en
otro.
-Las oscilaciones sobre el valor medio del par que aparecen al comienzo del
arranque de cualquier máquina de inducción se deben a que las variables como son
flujos e intensidades se deben adaptar transitoriamente, desde su valor inicial cero
hasta el valor del régimen permanente nuevo, apareciendo componentes
unidireccionales o continuas en estos flujos e intensidades además de las alternativas.
Esas oscilaciones son de frecuencia igual al deslizamiento.
3. Par debido a los devanados amortiguadores en condiciones de
desequilibrio constructivo entre éstos.
En caso de una máquina síncrona, el efecto de la existencia de devanados
amortiguadores hará que aparezca un par sincronizante (ya que trata de llevar la
máquina a condiciones de sincronismo) siempre y cuando la velocidad a la que
funciona la máquina sea distinta de la de sincronismo. Este par se debe a la inducción
de corrientes en estos devanados y a la interacción del campo magnético creado por
el estátor con esas corrientes. Pero en una máquina síncrona existe en general un
devanado de campo. Este devanado al fin y al cabo es uno más, ya que las
condiciones en las que nos interesa analizarlo es en ausencia de excitación, que será
como funcione durante el arranque. Por tanto, podría darse el caso de tener un
devanado con su eje magnético en el eje q, y otros dos con su eje magnético en d,
que son el amortiguador propiamente dicho y el de campo. A partir de este momento
vamos a analizarlos como si de uno sólo se tratase, ya que suponiendo la linealidad
79
del material ferromagnético presente bastaría con superponer los resultados
obtenidos para cada uno de ellos.
Para empezar vamos se supondrá un flujo magnético, sin considerar la influencia que
tenga la propia disposición del rotor, sus características, y sus parámetros definitorios
sobre la existencia de este flujo y el valor de éste (ya que es un flujo total que es
creado por las corrientes circulantes por el rotor y por las del estátor, y que tendrá un
efecto sobre el propio estátor y como se analizará aquí sobre el rotor). Este flujo será
giratorio, de tal forma que lo podemos expresar como: θjestest e⋅Φ=Φ
r , lo cual
significa que su componente sobre el eje d solidario al rotor, que representa el valor
del flujo que concatena el devanado que tiene su eje magnético en d, y su
componente en q serán:
[ ] θcosRe ⋅Φ=Φ=Φ estestestD
r
y [ ] θsenestestestQ ⋅Φ=Φ=Φr
Im
Las fuerzas electromotrices inducidas en cada uno de estos dos devanados serán las
siguientes:
dt
dsen
dt
d
dt
dfem estest
estDD
θθθ ⋅⋅Φ=⋅Φ−=Φ−= cos
dt
d
dt
dsen
dt
dfem estest
estQ
Q
θθθ ⋅⋅Φ−=⋅Φ−=Φ
−= cos
siendo slipdt
d ωθ = , la velocidad de deslizamiento.
Por otra parte estos devanados se caracterizan, independientemente de las f.e.m. (que
representan la inductancia mutua con otros devanados) por su inductancia de
dispersión, que reflejará el efecto que tiene la corriente del propio rotor sobre él
80
mismo, y por la resistencia que presenta al paso de la corriente. Por tanto cada uno de
los circuitos en eje d y en eje q los podemos caracterizar respectivamente por
dd RL , y por qq RL , . Por tanto las ecuaciones que ligan las distintas variables en cada
uno de estos circuitos quedan:
( )dd
ddslipslipest RI
dt
dILtsen ⋅+⋅=⋅⋅⋅Φ ωω
q
qslipslipest RIdt
dILt ⋅+⋅=⋅⋅⋅Φ− ωωcos
Desarrollando esta última expresión:
( )slipslipestqq
q
qslipslipest tsenRIdt
dILt ωπωωω ⋅
−⋅⋅Φ=⋅+⋅=⋅⋅⋅Φ−2
cos
Expresando esto fasorialmente tenemos las siguientes relaciones:
ddddslip
jslipest
IRILjerr
⋅+⋅⋅=⋅⋅Φ −
ωω π
2
2
qqqqslip
slipestIRILjrr
⋅+⋅⋅=⋅Φ
ωω2
Lo cual significa que, despejando las intensidades tenemos:
( )dslipd
slipest
dLjR
jI
ωω
+⋅⋅Φ⋅−
=2
r
81
( )qslipq
slipest
qLjR
Iω
ω+⋅⋅Φ
=2
r
Cabe señalar que desde el momento en que entramos en el uso de fasores todo el
análisis se limitará al régimen permanente, sin perder por otra parte la posibilidad de
analizar los resultados para sacar conclusiones de tipo cualitativo que se puedan
referir a un régimen transitorio bajo determinadas hipótesis.
Por otra parte el par electromagnético sobre el rotor se puede comprobar fácilmente
que responde a la siguiente expresión:
ϕsenPar aest ⋅Φ⋅Φ∝
siendo aΦ el flujo magnético creado por el rotor, proporcional a las corrientes a
través de las inductancias de dispersión. Evidentemente el seno aparece debido a que
la expresión deriva del producto vectorial del campo estB y de las corrientes
rotóricas, proporcionales a aΦ , y por tanto responde al desfase espacial entre los dos
flujos.
Vamos a ver que ocurre con estas intensidades en algunos casos concretos:
a) 0== qd RR
Desarrollando las expresiones anteriores tenemos que:
d
estd
LI
⋅Φ−=2
r y
q
estq
L
jI
⋅Φ⋅−=
2
r
por lo que las dos componentes de aΦr
serán:
82
2est
aD
Φ−=Φ y
2est
aQ
j Φ⋅−=Φ
Esto significa que:
-El flujo en eje D debido a las corrientes del rotor se encuentra en oposición de fase
respecto del flujo inductor. Esto no es más que aplicación directa de la ley de Lenz,
que dice que la aparición de la f.e.m. es tal que se opone a las condiciones que la
crean. Por tanto tenemos el flujo inductor, a continuación el fasor f.e.m. en d, con 90º
de retraso, y a continuación el fasor de intensidad, con 90º de retraso respecto de la
f.e.m.
-Lo mismo ocurre en el eje Q
-Debido a las dos anteriores crean un campo magnético giratorio que siempre está en
oposición al campo inductor. Esto además significa que los desfases temporales se
convierten en desfases espaciales en virtud del teorema de Ferraris.
-El par es nulo, puesto que los dos flujos están alineados (el seno del desfase es nulo)
(si bien es cierto es un equilibrio inestable, idéntico al que hay entre dos imanes con
sus polos iguales enfrentados).
-El ángulo entre la f.e.m. y la intensidad depende de la relación entre parte real e
imaginaria de la impedancia, y por tanto el par dependerá de esto. (ver apartado
siguiente).
b) 0≠= qd RR y 0≠= qd LL
En este caso el desfase entre la f.e.m y la intensidad será igual en ambos ejes, por lo
que basta con analizar lo que ocurre en uno de ellos.
83
Éste desfase será
⋅
d
dslip
R
Lωarctan en ambos devanados. Por tanto el nuevo desfase
entre el flujo inductor estDΦ y el flujo inducido aDΦ será de:
2
arctanπω
ϕ +
⋅=
d
dslip
R
L
y lo miso ocurrirá con las proyecciones de los flujos sobre el devanado con el eje
magnético en Q. Estos desfases temporales, como ya se comentó anteriormente
responden a un desfase espacial del mismo valor, y por tanto el par cambiará al
variar estos.
Usando algunas relaciones trigonométricas básicas se puede llegar a:
222dslipd
d
LR
Rsen
⋅+=
ωϕ
Por otra parte se puede ver que
2222 dslipd
slipest
dddaaQaD
LRLIL
⋅+⋅
⋅Φ⋅=⋅=Φ=Φ=Φ
ω
ωrrrr
Por lo que:
( )222222222 22 dslipd
dslipest
dest
dslipd
d
dslipd
slipest
destaestLR
RL
LR
R
LRLsenPar
⋅+⋅⋅⋅Φ
⋅⋅Φ=⋅+
⋅⋅+⋅
⋅Φ⋅⋅Φ=⋅Φ⋅Φ∝
ωω
ωω
ωϕ
Por tanto ya es conocida la expresión de algo proporcional al par. Si asignamos
algunos valores a cada uno de los parámetros y hacemos variar el deslizamiento entre
0 y 1 obtendremos algo proporcional a la curva par-deslizamiento de la máquina.
Como se ve el par es proporcional al cuadrado del flujo magnético. Si Rd=0.01 y
84
Ld=0.05 tenemos la curva proporcional a la de par-deslizamiento que muestra la
figura 3.1.
Fig. 3.1
c) 0,0,0,0 ≠≠≠≠ qdqd LLRR
En este caso se tiene que el campo creado por el rotor será giratorio, pero no de
módulo constante, sino que el extremo del vector espacial que lo representa recorrerá
una elipse. Por otro lado si el factor de potencia de ambos devanados no es el mismo
el desfase espacial entre el campo inductor y el inducido será diferente. Estas son las
dos causas de oscilación en el par.
Los desfases temporales entre las corrientes en eje d y en eje q respecto del flujo
inductor en cada uno de los devanados resultan ser:
2arctan
πωϕ +
⋅=
d
dslip
dR
L
2arctan
πωϕ +
⋅=
q
qslip
qR
L
85
Estos desfases temporales, teniendo en cuenta un desfase de 2
π en adelanto para el
flujo que atraviesa el devanado cuyo eje magnético está en d, son de:
⋅−
⋅+
q
qslip
d
dslip
R
L
R
L ωωπarctanarctan
2
El campo magnético creado por el rotor tendrá una componente giratoria (que sería
única si el desfase fuera de 90º) y se le superpondrá una componente adicional
alternativa a su paso por cada uno de los dos ejes, lo cual justifica que el lugar
geométrico del extremo del vector espacial campo creado por el rotor sea una elipse.
Las dimensiones de esta elipse dependerán del modulo de la impedancia de cada
devanado, que hará valer una cosa u otra el módulo de la corriente y por tanto el
campo magnético que esta crea.
Cuando el campo inductor ha recorrido un ángulo dϕ respecto del eje d el valor del
flujo en eje d del campo rotórico es máximo, pero el campo creado por el devanado
rotórico en q no es nulo en general (salvo que el desfase entre ambos campos fuera
de 90º). Esto hace que los ejes d-q no sean los ejes de la elipse que recorre el extremo
del vector espacial, sino ejes conjugados de la misma. Por tanto el desfase espacial
entre el flujo inductor y el inducido no coincidirá ni con dϕ ni con qϕ , sino que será
oscilatorio y dependerá tanto de los factores de potencia de cada uno de los
devanados como del módulo de la impedancia del devanado, que limita el valor del
campo que pueda crear al limitar las corrientes (este hará que los ejes de la elipse se
alejen más o menos de los ejes d-q en función de que un devanado tenga menor
impedancia que el otro, o que su factor de potencia sea muy distinto al del otro).
Es por esto, ateniéndonos a que ϕsenPar aest ⋅Φ⋅Φ∝ , que éste tiene una
componente pulsatoria superpuesta al valor medio. Esta componente pulsatoria será
mayor cuanto mayor sea la excentricidad de la elipse antes mencionada.
86
Si por otra parte y de manera un tanto burda pero cualitativamente interesante
usamos la expresión anterior de tal forma que:
( )
⋅+
+⋅⋅+⋅=⋅Φ⋅Φ∝ θ
ϕϕθϕ 2cos
22cos DsenCBAsenPar
qd
aest
considerando que al variar elípticamente el valor del flujo inducido ésta variación es
de frecuencia doble sobre su valor medio, y lo mismo con el desfase medio (de
alguna forma serían los dos primeros términos de un desarrollo en serie de cosenos).
Esto indica que aparecerá una pulsación de par de frecuencia doble al deslizamiento,
ya que slipdt
d ωθ = , como era de esperar.
Si no nos encontráramos en un desequilibrio normal sino el que pudiera constituir la
existencia del devanado de campo el análisis es el mismo, simplemente conociendo
el valor de la resistencia de éste devanado y el de la inductancia de dispersión. Si por
otra parte se interpone una resistencia en éste devanado de campo con la intención de
reducir la intensidad que circula por éste, dado que
( )dslipd
slipest
dLjR
jI
ωω
+⋅⋅Φ⋅−
=2
r
su módulo es
2222 dslipd
slipest
d
LRI
⋅+⋅
⋅Φ=
ω
ωr
Se puede ver cómo al aumentar la resistencia el módulo de la corriente se reduce. En
realidad el valor de la intensidad se reduce sobretodo a partir del punto de
87
deslizamiento máximo en la curva correspondiente de par deslizamiento. Esto quiere
decir que para reducir el valor de forma apreciable hay que usar resistencias que
hagan lo mayor posible el deslizamiento máximo. El valor de éste deslizamiento se
obtiene como
0=ddR
dPar
despejando de la expresión resultante se obtiene que:
d
dslip
L
R=ω
Para que éste deslizamiento valga la unidad, lo cual significa que el par seria máximo
en el arranque, debe ocurrir que dd LR = , valor de la resistencia por tanto a partir del
cual la reducción del módulo de la corriente será más apreciable. El problema es que
si éste valor aumenta mucho el par debido a la interacción del flujo inductor y de la
componente sobre el eje d del flujo inducido se reducirá, lo cual significa que el
valor medio del par lo hará, y aumentará la componente pulsatoria. Esto es un riesgo
porque en caso de querer reducir demasiado ésta corriente haremos que la máquina
se quede lejos del sincronismo, pudiéndose no completar el arranque que luego
permita, bajo un deslizamiento muy pequeño, realizar la sincronización a la red
mediante la alimentación del devanado de excitación con una corriente continua.
4. Análisis del efecto de la resistencia añadida al devanado de campo
Como ya se ha comentado, para realizar el arranque directo de una máquina síncrona
como máquina de inducción se interpone en el devanado de campo una resistencia.
En primer momento podría parecer que esta resistencia tiene un efecto claro de
reducir la corriente que circule por el devanado en caso de que este estuviera en
cortocircuito, ya que no se podría dejar el circuito abierto por riesgo evidente de
88
sobretensiones. Pero esto no es así exactamente, ya que como se pudo ver en el
apartado precedente la disminución de la corriente que circulará por el devanado se
da sólo a partir de ciertos valores de resistencia, que lleven el punto de máximo
deslizamiento más allá del deslizamiento unidad. Todo esto conlleva lo siguiente:
-Introducción de una asimetría en la máquina que se manifestará en componentes
oscilatorias del par.
-En algunos casos, y si el efecto amortiguador de los devanados no es suficiente por
sí solo puede producir una reducción del par medio, que puede hacer que a máquina
no consume su arranque, quedándose muy lejos del sincronismo. Esto depende
también del par mecánico que tenga que vencer la máquina.
Para comprobar que estos fenómenos ocurren se partirá de una máquina
perfectamente equilibrada respecto de d y q y se irá añadiendo unos elementos y
otros para ver su influencia, para luego profundizar en el análisis de lo que ocurre
con el devanado de campo.
Como caso inicial tomemos el de una máquina de inducción cualquiera, en la que no
existe ninguna diferencia desde el punto de vista constructivo ni electromagnético
entre los ejes d y q. En este caso durante el arranque tendremos la componente
oscilatoria del par al comienzo del transitorio, de frecuencia coincidente con el
deslizamiento en ese momento. Se puede ver en la figura 4.1.
89
Fig. 4.1
Sólo hay una perturbación al comienzo del transitorio, es decir, cuando hay un par
oscilatorio, y al final, cuando el par vuelve a ser oscilatorio dado que la máquina
supera la velocidad de sincronismo por momentos debido a las inercias de carácter
electromagnético. Ese par oscilatorio aparecerá en cualquier máquina arrancada de
forma directa, y es inevitable por tanto su existencia.
Si a la máquina le añadimos la existencia del devanado de campo, aunque
manteniendo total simetría entre d y q para todo lo demás (reluctancia, y efecto
amortiguador) podemos ver que aparece ya durante todo el transitorio una
componente oscilatoria del par, que como se trató en ocasiones anteriores será de
frecuencia doble al deslizamiento en cada instante, como se puede ver en la figura
4.2.
90
Fig. 4.2
Veamos que ocurriría si no existiera la asimetría debida al devanado de campo. En
ese caso el par será oscilatorio durante el arranque en caso de que haya una diferente
reluctancia entre los dos ejes de referencia situados en el rotor. Pero con una
impedancia en eje d y una en eje q distintas entre sí, lo normal en lo que puede ser
una máquina de polos salientes convencional (una relación de 1.5 a 1 por ejemplo),
la oscilación registrada, de nuevo de frecuencia doble al deslizamiento, será de muy
pequeña amplitud como se puede ver en la gráfica siguiente de la figura 4.3.
91
Fig. 4.3
Esta simulación no tiene demasiado sentido, ya que da la misma importancia para el
devanado amortiguador en ambos ejes, lo cual no suele ocurrir salvo casualidad en
caso de que constructivamente el rotor sea distinto en un eje y otro. Si incluimos esta
apreciación, dando distinta importancia a los devanados amortiguadores las
corrientes que circulen por el rotor crearán un campo magnético giratorio, pero no de
módulo constante, como ya se explicó anteriormente. En realidad si representamos el
vector espacial del campo creado por el rotor a lo largo de una vuelta de éste respecto
del propio rotor encontraremos que los extremos de los vectores se sitúan en una
elipse, haciendo que el par tenga superpuesta sobre la componente continua una
componente pulsatoria. Se puede ver en la figura 4.4 la oscilación del par incluyendo
esta última apreciación, pudiendo concluir que es mucho mayor la importancia de la
asimetría de los devanados amortiguadores que la distinta reluctancia en eje d y en
eje q.
92
Fig. 4.4
No sólo es importante como pudiera parecer la variación de inductancias de
dispersión entre un eje y otro, sino las distintas resistencias que presenten estos. En la
medida que se incremente la resistencia del devanado amortiguador equivalente el
par de arranque será mayor, por el mismo motivo que se hace mayor al incrementar
el valor de la resistencia rotórica en una máquina de inducción, siempre y cuando el
valor del deslizamiento máximo sea menor a uno. Si por otra parte las resistencias
referidas a ambos ejes son distintas serán estas las que hagan aparecer un par
oscilatorio de una magnitud muy considerable. Esto se debe a que la presencia de la
resistencia hace que la corriente que circule por ese devanado tenga un desfase
mayor con la f.e.m. inducida en él. Si la resistencia es nula la f.e.m inducida hará que
aparezca una corriente que a su vez esté en fase con el flujo que lo creó, por lo que el
par al interactuar los dos flujos será nulo. Por esto cuanto mayor sea la resistencia
mayor será el desfase entre ambos flujos, y mayor el par resultante de la interacción
entre ellos. Por otra parte el distinto valor de las resistencias en un eje y otro
93
implicará una asimetría en el par debido al conjunto de los dos devanados, que tendrá
una componente continua y una componente oscilatoria.
Una vez analizada la importancia cuantitativa de cada una de las causas de
oscilación del par es momento de estudiar como se ve esta oscilación afectada por la
añadidura de una resistencia al devanado de campo. Antes de esto es preciso decir
que la importancia durante el arranque del devanado de campo es mucho menor que
la de los amortiguadores, ya que éste suele tener una mayor inductancia de
dispersión, aunque menor resistencia, lo que hace que hace que aporte poco. Si se
incrementa el valor de la resistencia del devanado de campo, supuesta su existencia
como única asimetría, en varios órdenes de magnitud (mil veces mayor de la
existente) el par evoluciona según la figura 4.5 b), comparativamente con la
evolución sin la resistencia adicional, vista en 4.5 a).
Fig. 4.5 a) y b)
94
Tiene por tanto dos efectos, reducir el tiempo de arranque, es decir, aumentar la
componente media del par de arranque, y por otra parte reducir la componente
pulsatoria de frecuencia doble que la frecuencia de deslizamiento durante todo el
transitorio. Las oscilaciones al final del transitorio son de mayor amplitud si no está
presente, al igual que es mayor el sobrepaso respecto de la velocidad de sincronismo.
En este caso al aumentar su valor ha reducido una de las causas de asimetría de los
devanados respecto de d y de q por lo que la componente oscilatoria es menor.
A medida que esta resistencia aumente se reducirá el tiempo de arranque, pero para
una misma carga mecánica se acercará menos al sincronismo, ya que precisará un
mayor deslizamiento para dar el mismo par electromagnético. Pero dado que la
influencia es pequeña este efecto no es considerable, ya que los devanados
amortiguadores son suficientes por si solos para concluir el arranque.
En una máquina no simétrica como la que aquí interesa (de polos salientes) los pares
sin y con resistencia adicional en el devanado de campo evolucionan como muestra
la figura 4.6 a) y b) respectivamente.
95
Fig. 4.6 a) y b)
El hecho de incluir esta resistencia debe disminuir el módulo de la corriente que
aparecerá en el devanado de campo lo cual parece interesante de cara a evitar
calentamientos excesivos. Sin esta resistencia la corriente inducida es la que muestra
la figura 4.7 a), mientras que al añadirla es la que muestra la 4.7 b).
Fig. 4.7 a) y b)
Pero en realidad lo que interesa desde el punto de vista de calentamientos excesivos,
motivo por el que se pone una resistencia adicional es la energía degradada por
efecto Joule en el devanado, que debiera ser menor con la resistencia adicional, pero
que no lo es ya que la corriente se reduce sólo un orden de magnitud, mientras que la
resistencia aumenta tres, y la potencia degradada va con el cuadrado de la intensidad
y con la resistencia. El análisis de esto no corresponde al alcance de este texto, pero
si evitar un sobrecalentamiento es el propósito no se consigue.
Se pueden extraer varias conclusiones de lo todo lo aquí expuesto:
96
Hay dos causas para las oscilaciones del par durante el proceso de arranque. Una de
ellas es la existencia del devanado de campo. Este devanado, cuyo eje magnético es
el d, y es ahí donde crea el flujo, en condiciones normales creará una oscilación
relativamente pequeña. Si el arranque de la máquina lo realizamos situando una
resistencia en el devanado de campo, como aquí se ha explicado, el desfase temporal
entre el flujo inductor (creado por el estátor) y el inducido (el que aparece en el
devanado) aumenta, y hace que el par medio debido a este flujo aumente. Además
habrá una componente que oscilará a frecuencia doble de la de deslizamiento en cada
instante. En realidad es el efecto conjunto de este devanado de campo y el devanado
amortiguador en eje q (así como el devanado amortiguador en eje d) el que
contribuye a la creación del par total. Por esto se reduce el tiempo de arranque. La
segunda causa de oscilaciones, en ausencia de devanado de campo, es la distinta
configuración de los devanados amortiguadores en ambos ejes, y la explicación es la
misma que en el caso anterior. En cuanto al par pulsatorio aparecido por la pura
variación de reluctancia entre los dos ejes hay que decir que es muy pequeño. Este
siempre irá asociado a una asimetría en los devanados amortiguadores del rotor, que
son lo que realmente originará la oscilación de par apreciable al arrancar una
máquina de polos salientes en modo asíncrono. El efecto de la resistencia en el
devanado de campo es aumentar el valor medio del par, por lo que el arranque es más
rápido. El hecho de incluir esta resistencia debe disminuir el módulo de la corriente
que aparecerá en el devanado de campo.
5. Análisis del conjunto de masas acopladas al eje del turbogenerador
Para analizar lo que ocurrirá en el eje se puede ir por dos caminos cuyos resultados y
conclusiones deben ser totalmente iguales, pero que son complementarios. El
primero y más importante de esos caminos es el análisis modal. Esta técnica
matemática se desarrolla a partir de la teoría más básica de los sistemas lineales de
ecuaciones diferenciales, y aporta gran volumen de información, no sólo cuantitativa,
sino cualitativa de lo que ocurre en el sistema. El segundo camino que se seguirá será
97
el análisis sobre el modelo implementado, que por tanto será una técnica más
empírica, que aportará precisión cuantitativa al análisis y servirá para contrastar los
resultados obtenidos con el análisis modal.
La matriz de estado del sistema ya se desarrolló en el apartado dedicado al modelado
de éste, y es la siguiente:
−−
+−−
+−−
−
=
+
0000000
0000000
0000000
000000022
002
000
22
)(
200
200
022
)(
200
20
0022
0000
0
0
0
0
4
34
4
34
4
3
34
3
2334
3
23
3
2
23
2
2312
2
12
2
1
12
1
12
ωω
ωω
H
K
H
K
H
D
H
K
H
KK
H
K
H
D
H
K
H
KK
H
K
H
D
H
K
H
K
A
Es una matriz de dimensiones 8x8, ya que son ocho las variables de estado. En
general, con n cuerpos acoplados al eje la matriz sería de dimensiones 2nx2n. Dado
que es un sistema físico todos los términos de ésta son números reales, lo cual
implica que todos sus autovalores complejos aparecen a la par que sus conjugados e
inseparablemente.
Si iφ es el autovector derecho asociado al autovalor iλ , y iψ es el autovector
izquierdo, cumpliéndose que:
0=⋅ ij φψ si ij ≠ (ortogonalidad)
1=⋅ ii φψ
Se tiene que la respuesta libre, ante las condiciones iniciales del sistema y en
ausencia de entradas, cumple que:
xAx ⋅=&
98
Por lo que cada cambio en una variable de estado se podrá expresar como
combinación lineal de las demás variables. Es posible hacer un cambio de base
usando la matriz [ ]nφφ .......1=Φ , cuyas columnas son los autovectores derechos de la
matriz de estado, por lo que se obtiene:
zzzx ⋅Ω=⇒⋅Φ= & ,
donde Ω es una matriz diagonal que contiene a los autovalores en el mismo orden en
que se colocaron sus autovectores respectivos en la matriz Φ . De esta forma,
respecto de la nueva base la matriz de estado es diagonal, y el sistema está
desacoplado, dependiendo cada variable sólo de sí misma, en lo que se refiere a
respuesta natural o libre del sistema, es decir:
t
iiiiiietztzzz
λλ ⋅==⇒⋅= )0()(&&
Naturalmente de la naturaleza del autovalor concreto determina la forma de la
solución, pudiendo ser éste de parte real positiva, en cuyo caso la solución será
creciente, o negativa, decreciente, y siendo la parte imaginaria la pulsación de la
oscilación de la respuesta natural. Por otra parte unas condiciones iniciales
cualesquiera para las variables de estado originales x serán combinación lineal de los
autovectores derechos de la matriz de estado, ya que éstos constituyen una base del
espacio vectorial. Como Ψ=Φ −1 donde Ψ es la matriz cuyas filas son los
autovectores izquierdos de la matriz de estado A, tal y como se definieron éstos
anteriormente, se cumple que:
t
iji
n
i
jietzx
λ⋅=⋅Φ=∑=
)0(1
y como iii ctxtz ==⋅== )0()0( ψ , desarrollando se llega a que:
99
t
njn
t
jjnecectx
λλ ⋅⋅Φ++⋅⋅Φ= ...........)( 111
Por lo que la respuesta a las condiciones iniciales, sean éstas cuales sean, es
combinación lineal de n modos dinámicos, uno por cada autovalor existente. Por
tanto, si unas condiciones iniciales determinadas sólo fueran combinación lineal de
un autovector derecho significaría que sólo se excitaría el modo al que se refiere ese
autovector, con una pulsación igual a la parte imaginaria del autovalor
correspondiente. Si por otra parte un autovector no participa en la formación de una
condiciones iniciales determinadas el modo a él asociado no se excitará con ellas.
Por otra parte, es sabido que además de que el conjunto de soluciones de un sistema
lineal homogéneo de ecuaciones tiene estructura de espacio vectorial, que es lo que
se ha analizado hasta el momento, el conjunto de soluciones del sistema completo
tiene estructura de espacio afín respecto del espacio vectorial de las soluciones
homogéneas. Eso significa que cualquier solución del sistema completo será una
solución particular de éste, más una combinación lineal de soluciones del
homogéneo. El sistema estudiado es completo, ya que existe un vector de entradas.
Por tanto la solución del estado del sistema en cada instante vendrá dada por la
superposición de una solución particular de la completa y la general de la
homogénea. El sistema evolucionará de tal forma que aparezcan en él uno o varios
modos dinámicos dados por la matriz de estado. Las respuestas naturales serán de
frecuencia muy cercana a los puntos de respuesta máxima, es decir, a las respuestas
resonantes. Por esto la determinación de los modos es importante de cara a
caracterizar el sistema, ya que determina por completo la respuesta ante las
condiciones iniciales y además está muy presente en las respuestas forzadas del
sistema.
Ahondando un poco más en el análisis del sistema se puede ver como se alterarán los
parámetros que determinan su respuesta en función de cada uno de los términos
presentes en la matriz de estado. De alguna forma sería la sensibilidad de un modo
100
determinado ante un cambio de la topología del sistema. Si kja es el término kj de la
matriz de estado A se cumple que:
jiik
kj
i
aΦ⋅Ψ
∂∂λ
En virtud de lo aquí expuesto se desarrollará el análisis del comportamiento del eje
en los siguientes apartados.
5.1Análisis modal
Particularizando la matriz de estado para los valores siguientes:
sH 2.11 = , sH 14.02 = , sHH 2.143 == , 7012 =K , 5023 =K , 2034 =K , D=2,
srad /5020 ⋅⋅= πω se obtiene que los autovalores son:
-3.39 + 377.84i
-3.39 - 377.84i
-0.42 +99.07i
-0.42 - 99.07i
-1.07
-0.00
-0.48 +54.70i
-0.48 - 54.70i
Se observa que hay tres modos oscilatorios, de pulsación 377.84, 99.07, y 54.70
rad/s, que corresponden a 60.13, 15.76 y 8.70 Hz respectivamente.
101
Cuando el sistema es excitado con una respuesta cercana a alguno de estos modos su
respuesta será máxima, entendiendo por máxima la mayor relación entre las
amplitudes de salida y de entrada. Los demás autovalores, que son dos, ya que
también aparecen los conjugados de los anteriores, representan las formas del
sistema de evolucionar sin pulsar, de manera puramente exponencial. Por otra parte
la combinación lineal de autovectores derechos no sólo da como se conforman unas
condiciones iniciales como superposición de unos modos y otros, sino que da la
forma de cada modo.
El autovector derecho asociado al modo de 60.13 Hz es:
-0.0525 + 0.0009i
0.7662
-0.0375 + 0.0006i
0.0007 - 0.0000i
0.0011 + 0.0437i
-0.0057 - 0.6370i
0.0008 + 0.0312i
-0.0000 - 0.0006i
Del cual es interesante la parte real de sus cuatro primeras componentes, que son las
asociadas a las velocidades, es decir [-0.0525,0.7662,-0.0375,0.0007] si lo dividimos
por la mayor de todas ellas (0.7662) queda: [-0.0685,1.0000, -0.0489, 0.0009]. Esto
significa que la forma de oscilación cuando se le excita con esta frecuencia es la
siguiente: el alternador oscila en oposición respecto a la turbina de alta presión, y
esta a su vez en oposición a la primera turbina de baja presión, y esta en oposición a
la segunda de baja presión. Además la máxima amplitud en la oscilación se alcanza
en el cuerpo de alta presión (el segundo). Esto se puede ver de otra manera, que es
que si inicialmente diéramos giros proporcinales a éstos términos el sistema
evolucionaría oscilando a 60.1347 Hz (las condiciones iniciales sólo serían
102
combinación lineal de este autovector, y por tanto sólo evolucionarían según este
modo).
El siguiente modo es el de 15.76Hz, y su autovector derecho asociado es:
0.0006 - 0.1552i
-0.0000 + 0.0111i
-0.0010 + 0.2419i
0.0004 - 0.0880i
-0.4921 + 0.0003i
0.0351 - 0.0000i
0.7670
-0.2790 + 0.0000i
Los valores que interesan son, normalizados, los que se muestran a continuación
[ -0.5588, 0.03921, 1, -0.3627 ]. Esto significa que en este modo la oscilación se
produce de tal forma que el alternador oscila contra la turbina de alta presión, que a
su vez va con (no contra) la primera turbina de baja, la cual va contra la segunda de
las de baja presión.
La última de las tres frecuencias características presentes es 8.7064Hz. El autovector
correspondiente es:
0.0014 + 0.0979i
0.0009 + 0.0659i
0.0005 + 0.0176i
-0.0011 - 0.1232i
-0.5622 + 0.0031i
-0.3786 + 0.0016i
-0.1013 + 0.0018i
0.7077
103
Por tanto nos interesa [0.0014, 0.0009, 0.0005, -0.0011], que queda al “normalizarlo”
como [1, 0.64, 0.35, -0.785]. Esto significa que las oscilaciones de alternador, turbina
de alta presión, y turbina primera de baja presión van en contra de la segunda turbina
de baja presión.
A medida que ha bajado la frecuencia del modo el sistema ha evolucionado de forma
más conjunta. Esto es normal ya que las inercias propician que a medida que
aumenta la frecuencia de la perturbación sea más difícil seguirla para unas rigideces
dadas. De esta forma cuanto mayor es la frecuencia cada cuerpo tiene más
dificultades para seguir al anterior. En el modo de menor frecuencia se observa que
uno oscila en contra de todos los demás. Esto es porque las rigideces en esa parte de
oscilación conjunta son suficientes para que eso así ocurra. En cambio al aumentar la
frecuencia el efecto de la inercia de cada uno de estos cuerpos se hace más patente, y
la rigidez de los tramos de eje entre medias se hace insuficiente como para que le dé
tiempo a un cuerpo a seguir al que está a su lado.
5.2 Sensibilidad de la respuesta del sistema respecto de sus características
El interés de esto a efectos puramente numéricos no tiene valor alguno, al menos en
este caso, ya que el sistema es suficientemente pequeño como para calcular los
nuevos autovalores en caso de una pequeña variación de alguno de los términos de la
matriz de estado. Pero si tiene valor para comprender mejor el funcionamiento del
sistema, y cómo se ve condicionado por sus características, o como se pudiera
comportar ante modificaciones que se le pudieran introducir, en el caso por ejemplo
de que interesara aumentar o reducir la frecuencia de un modo determinado.
Como ya se ha comentado jiik
kj
i
aΦ⋅Ψ=
∂∂λ
Veamos por ejemplo la sensibilidad del modo de 8.70Hz ante variaciones en un
parámetro fundamental como es la rigidez. Haciendo una analogía con un sistema
típico en el que una masa está unida a un muelle la pulsación del modo de oscilación
104
natural debe aumentar si aumenta la rigidez (recuérdese que m
k=ω ) y reducirse si
lo hace la inercia. Haciendo uso de la sensibilidad del autovalor respecto de los
términos de la matriz de estado se tiene que:
21
1267712
1
125771
1
6,1
6,1
7
1
5,1
5,1
7
1
7
22 H
K
H
K
H
a
aH
a
aH ⋅⋅Φ⋅Ψ−
⋅⋅Φ⋅Ψ=
∂∂
⋅∂∂
+∂∂
⋅∂∂
=∂∂ λλλ
Que particularizando para este caso resulta ser
0.1008 - 8.5360i
Lo cual significa que la parte imaginaria del modo se reducirá en 8.53rad/s (1.35Hz)
por cada segundo que se modifique la inercia del cuerpo del alternador, tal y como se
dijo que debía ser.
Por otra parte, si cambiamos el valor de la rigidez entre los dos primeros cuerpos
12K el cambio en éste mismo modo será:
1
6771
1
577112
6,1
6,1
7
12
5,1
5,1
7
12
7
2
1
2
1
HHK
a
aK
a
aK ⋅⋅Φ⋅Ψ+
⋅⋅Φ⋅Ψ−=
∂∂
⋅∂∂
+∂∂
⋅∂∂
=∂∂ λλλ
Que en este caso es
-0.0017 + 0.1464i
Y que por tanto el cambio de la rigidez entre los dos primeros cuerpos en 1 p.u./rad
incrementa la pulsación del modo de 54rad/s en 0.14 rad/s. Aunque la sensibilidad es
menor hay que tener en cuenta que el valor inicial de la rigidez es 70 p.u./rad. Para
un cambio similar al que se obtenía al cambiar en un segundo la inercia del primer
cuerpo es necesario que la rigidez cambie en 58 p.u./rad, lo cual significa que un
105
cambio en la inercia del 83% equivale a un cambio en la rigidez en un 82%, es decir
la dependencia relativa respecto de cada uno de los parámetros es similar.
Parece que estos datos, por ser cualitativamente como se esperaban, confirman la
dependencia de los modos respecto de los parámetros que determinan el
comportamiento del eje es que aumenta la pulsación modal al aumentar la rigidez y
se reduce al aumentar la inercia.
5.3 Análisis del eje mediante el modelo implementado
Una vez implementado el modelo existe la posibilidad de analizar su
comportamiento mediante simulaciones y pruebas varias. Una de esas pruebas que
permite ver el comportamiento a lo largo de todo el espectro de frecuencias es el
tradicional diagrama de Bode. Concretamente se escogerá como entrada al sistema el
par proporcionado al eje por el alternador, ya que en principio será el que transmita
las perturbaciones al eje como se explicó en el apartado dedicado a ello. Como salida
se pueden escoger cualquiera de las variables de interés.
Tomando como salida la velocidad del alternador el diagrama de bode es el que
muestra al figura 5.1.
106
Fig. 5.1
Como se puede ver hay tres picos de respuesta en lo que a amplitud se refiere, que
corresponden a los modos del sistema: Tal y como se esperaba esos son los puntos de
respuesta máxima. Dado que los ángulos son integral de las velocidades se esperan
en esos mismos puntos los picos de respuesta de éstos, y por tanto los picos de
respuesta del par. Las fases correspondientes a las frecuencias de los modos están
todas alrededor de -180º, concretamente:
Modo Fase
8.7 Hz -180º
15.7 Hz -182º
60.2 Hz -209º
Tomando como salida la velocidad en el primer cuerpo de turbinas, la turbina de alta
presión el diagrama de Bode es el de la figura 5.2.
107
Fig.5.2
En este caso las fases en cada uno de los modos son las siguientes:
Modo Fase
8.7 Hz -180º
15.7 Hz -345º
60.2 Hz -360º
Si como salida se toma la velocidad en el primer cuerpo de baja presión se tiene que
el Bode es el representado en la figura 5.3.
108
Fig. 5.3
Las fases observadas son las siguientes:
Modo Fase
8.7 Hz -184º
15.7 Hz -360º
60.2 Hz -540º
En cuanto a la velocidad de la segunda turbina de baja presión como salida el bode es
el de la figura 5.4.
109
Fig. 5.4
En cuanto a las fases:
Modo Fase
8.7 Hz -360º
15.7 Hz -541º
60.2 Hz -720º
El motivo de que las fases de las oscilaciones de velocidad en cada uno de los
cuerpos sean interesantes es que pueden aportar luz sobre la forma del modo. Sea por
ejemplo el primero de los modos, de 8.7Hz, en él las fases que aparecen son las
siguientes: [-180,-180,-180,-360], lo cual significa que la oscilación de los tres
primeros cuerpos es en fase, al unísono, mientras que a del cuarto es en contrafase.
Este resultado corrobora aquel que ofrecían la parte real de los cuatro primeros
términos del autovector, que como se explicó decía que el alternador, turbina de alta,
y primera turbina de baja oscilaban contra la segunda de baja. En el modo de 15.7 Hz
las fases son [-180,-345,-360,-541] lo cual significa que las fases de alternador y
110
segunda turbina de baja presión son iguales, y opuestas a las de turbina de alta y
primera de baja. Una vez más corrobora el análisis modal al coincidir plenamente las
conclusiones obtenidas. Por último el modo de 60.2Hz presenta las siguientes fases
[-209,-360,-540,-720], habiendo por tanto 180º entre la fase de la velocidad de cada
cuerpo y los contiguos, lo cual significa que cada cuerpo oscila contra los que tiene a
ambos lados. Coincide con la existencia de signos alternativamente positivos y
negativos en la parte real de los cuatro primeros términos del autovector asociado.
Por otra parte el valor de las amplitudes en cada uno de los modos debe estar
relacionado con el valor de la parte real del autovector. Esta comprobación tiene
interés cuantitativo en lo que se refiere a la respuesta del sistema, y no de tipo
cualitativo que pueda llevar a una mejor comprensión de lo que en el ocurre al
introducir una perturbación, por lo que es menos interesante, mas aún cuando se va a
realizar una simulación y no una valoración sobre el papel.
Por tanto el sistema responde en los modos y sus cercanías con mayor amplitud en
las oscilaciones que fuera de esos modos, y por tanto a priori y para igualdad de
amplitudes de la perturbación será en ellos donde presente mayores giros en cada
tramo de eje, y por tanto mayores pares. Además cuanto más alto sea el modo mas
“inversiones” presenta, queriendo decir con inversiones aquellos tramos del eje
donde un cuerpo oscila contra otro. Como se ha visto en el modo más bajo hay una,
en el segundo hay dos, y en el de mayor frecuencia hay tres.
6. Análisis de la interacción torsional durante el arranque
Ahora que ha sido analizada la forma en que una máquina puede transmitir una
perturbación a la red, y llegar de ésta a otra máquina, y también se ha analizado que
perturbaciones transmitirá la máquina síncrona que arrancará en el caso particular
aquí estudiado como asíncrona, así como la forma en las que éstas afectarán a la
máquina síncrona cercana a la que crea la perturbación, y por tanto al eje donde estén
111
dispuestos los cuerpos de turbina que se acoplan a la máquina, se puede decir lo
siguiente:
-Todos los pares electromagnéticos que aparecen en la máquina que arranca en modo
asíncrono se reflejan de la misma forma en el par electromagnético de la máquina
síncrona cercana.
-Los pares transmitidos serán de frecuencias entre 100 y 0Hz, ya que son de
frecuencia doble al deslizamiento.
-Los pares que aparecerán en cada tramo del eje serán proporcionales al giro de cada
segmento que será mayor si la frecuencia de excitación coincide con un modo de
torsión del eje. Por tanto se excitarán todos los modos de torsión existentes de
frecuencia inferior a 100Hz.
Todo esto se confirmará con los resultados de las simulaciones, y se valorará no sólo
cualitativa sino cuantitativamente.
112
PARTE 4:
PARTICULARIZACIÓN
Y
SIMULACIÓN
113
1.Particularización de los parámetros a los de la instalación en estudio
1.1Parámetros eléctricos de las máquinas
El formato en el que se obtuvieron los parámetros fue en el de reactancias de régimen
permanente, transitorias y subtransitorias, y de las constantes de tiempo
correspondientes en magnitudes unitarias tomando la potencia base la nominal de
cada máquina. Estos datos son:
Alternador de central térmica “Cofrentes”:
sT d 6.7' 0 =
sT d 041.0'' 0 =
sT q 44.0' 0 =
sT q 106.0'' 0 =
H=3.74s (inercia total de alternador y turbinas)
011.2=dX
9.1=qX
435.0' =dX
63.0' =qX
325.0'''' == qd XX
24.0=aX
MVASbase 1083=
Alternador de central de bombeo “La Muela”:
sT d 99.9' 0 =
sT d 041.0'' 0 =
sT q 0624.0'' 0 =
H=3.95s (inercia total de alternador y bomba)
114
948.0=dX
624.0=qX
251.0' =dX
171.0'''' == qd XX
16.0=aX
MVASbase 233=
La conversión de estos parámetros así expresados a la expresión equivalente de los
parámetros de la máquina implementados en el modelo se realiza a través de la
llamada reactancia operacional, que relaciona en el dominio de Laplace el flujo en
cada uno de los ejes d y q con la intensidad que en ese momento recorre el estátor de
la máquina, también expresada en referencia dq. El valor de esta reactancia es
dependiente de la variable de Laplace, y por tanto de la frecuencia. Particularizando
para frecuencia infinita se obtendrá la reactancia subtransitoria, que es la que se ve
desde el exterior de la máquina al comienzo de un transitorio, cuando el efecto de los
devanados amortiguadores tadavía está presente. Si eliminamos las constantes de
tiempo, también en el caso particular del límite cuando s (variable de Laplace) tiende
a infinito, referidas a los circuitos amortiguadores se convertirá en la reactancia
subtransitoria. En régimen permanente, es decir, s=0 la impedancia operacional
coincide con la de régimen permanente (de ahí su nombre), y sirve para los cálculos
fasoriales habituales en máquinas eléctricas.
La conversión por tanto se hace en virtud de las expresiones siguientes:
Constante transitoria de circuito abierto en eje d:
( )mdfd
f
d XXR
T +⋅⋅
=0
0
1'
ω
Constante transitoria de cortocircuito en eje d:
115
+⋅
+⋅⋅
=amd
amdfd
f
dXX
XXX
RT
0
1'
ω
Constante subtransitoria de circuito abierto en eje d:
+⋅
+⋅⋅
=fdmd
fdmd
kd
kd
dXX
XXX
RT
00
1''
ω
Constante subtransitoria de cortocircuito en eje d:
+⋅
+⋅⋅
=amd
amdkd
kd
dXX
XXX
RT
0
1''
ω
Constante subtransitoria de circuito abierto en eje q:
( )mqkq
kq
q XXR
T +⋅⋅
=0
0
1''
ω
Constante del devanado amortiguador del eje directo:
kd
kd
kdR
XT
⋅=
0ω
Reactancia síncrona en eje d: mdad XXX +=
Reactancia transitoria en eje d: 0'
''
d
d
ddT
TXX ⋅=
Reactancia subtransitoria en eje d:
116
kdfkdmdfmd
kdfmd
a
dd
dd
ddXXXXXX
XXXX
TT
TTXX
+++=
⋅⋅
⋅=00 '''
'''''
Reactancia síncrona en eje q: mqaq XXX +=
Reactancia subtransitoria en eje q:
kqmq
kqmq
a
q
q
qqXX
XXX
T
TXX
++=⋅=
0''
''''
Además debemos añadir una hipótesis sobre el valor de la resistencia de los
arrollamientos, que será R=0.003p.u. en la base propia de la máquina, igual en
ambas.
Si además convertimos los parámetros a unos en la base común que se usará para las
simulaciones y que no es otra que 100MVA, resulta que los parámetros que
definitivamente serán usados en las simulaciones son los siguientes:
C.N. Cofrentes:
1635.0=dX
1532.0=qX
02216.0=lX
000277.0=estatorR
02023084.0=fdX
0000769.0=fdR
01391.0=kdX
002477.0=kdR
117
008271.0=kqX
004847.0=kqR
H= 40.5042segundos (total)
C. Bombeo La Muela:
3381.0=dX
199.0=qX
06866.0=lX
004291.0=estatorR
04412.0=fdX
0001218.0=fdR
0053703.0=kdX
00335751.0=kdR
004835.0=kqX
010403.0=kqR
Por otra parte están las líneas y transformadores que unen cada una de las máquinas
con el nudo común a ellas, que a su vez se une al resto e la red. Suponiendo que a
reactancia de corto de cada uno de los trafos es de 0.1p.u. en sus bases propias
respectivas, que son las mismas que las de las máquinas, se obtiene, que en base
100MVA la reactancias son:
Transformador C.N.Cofrentes 0.0078425 p.u.
Transformador La Muela 0.03636 p.u.
Por último, el punto de funcionamiento de la máquina síncrona de la central térmica
será entregando una potencia activa de 974 MW, y el ángulo de carga en ese régimen
será, respecto del nudo de la red al que está conectado, de 34º. La excitación
118
necesaria para que esto ocurra así es 0.0015 p.u., y la potencia aparente entregada en
ese régimen es 1200 MVA, algo superior a los de la máquina, si bien la componente
reactiva de la potencia no es en este caso de interés.
1.2Parámetros mecánicos
Éstos son los que se refieren a inercias de cada uno de los cuerpos del eje del
turbogenerador, a la rigidez en cada tramo de eje, y a la inercia del conjunto de
masas de la central de bombeo. Por otra parte hay que dar un valor al
amortiguamiento en cada uno de los cuerpos de la turbina, y un par resistente para la
máquina que lleva a cabo el arranque, diferente según el proceso sea con la bomba
cebada o no.
Las características mecánicas del eje del turbogenerador en unitarias se pueden ver
en la figura 1.1.
Fig.1.1
119
El conjunto de datos es puramente hipotético, se obtuvo por comparación con los
parámetros de otros conjuntos mecánicos similares, imponiendo siempre que la
inercia total fuera la que debía ser, ya que si se contaba con ese dato, que es H=3.74
segundos en base propia de la máquina. Evidentemente la inercia de la turbina de alta
presión será mucho menor que las de baja, por estar el vapor a mayor presión y por
tanto tener un menor volumen específico. La inercia del alternador pudiera ser
similar a las de baja. En cuanto a las rigideces se estimaron de manera similar, por
comparación con otras conocidas de ejes similares. De todas formas a priori no es un
parámetro crucial, ya que como se verá se excitarán todas las frecuencias entre 0 y
100Hz en el eje, por lo que sea cual sea el valor de las frecuencias de los modos,
condicionado por el valor de inercias y rigideces, se excitarán todos ellos. En cuanto
a los amortiguamientos en cada uno de los cuerpos de turbina se deberá a la variación
de velocidad respecto de la de diseño, y se dará por tanto en unidades de
par/velocidad siendo la velocidad de interés la diferencia entre la velocidad del
cuerpo en cuestión y la de sincronismo, que será en este caso 3000 r.p.m. En
unitarias ese amortiguamiento será de 2 p.u./p.u., y se considerará igual en cada uno
de los cuerpos.
En cuanto a la central de bombeo la inercia será, en base propia de la máquina de
3.95 segundos.
1.3Parámetros hidráulicos
En este apartado no se pretende modelar el comportamiento de la turbomáquina
hidráulica de la central de bombeo que se está tratando, sino simplemente buscar un
par resistente al arranque que se pueda parecer al que realmente tenga que vencer la
máquina.
Es necesario hacer algunos apuntes sobre la puesta en funcionamiento de las bombas
en general, y por tanto de la máquina a estudiar concretamente. En primer lugar, hay
que decir que dado la reversibilidad de que se quiere dotar a la instalación, con
120
capacidad para bombear y turbinar agua, la máquina hidráulica podría ser de tipo
Francis.
Para que fluido ascienda hasta la parte superior del embalse es necesario que en su
funcionamiento como bomba de una altura igual a la que debe vencer, que será la
referida a la cota geodésica del embalse al que bombea, y a las pérdidas de carga,
tanto primarias por la fricción en la tubería de impulsión como secundarias en caso
de codos u otros en esta tubería, o por degradación de la energía cinética del fluido al
entrar en el embalse. Mientras la bomba no dé esa altura el agua no llegará hasta
arriba.
A su vez la altura suministrada por la bomba es menor cuanto menor sea la velocidad
de la bomba, dependiendo del cuadrado de ésta. Pero esto ocurre cuando el rodete de
la bomba está sumergido en el fluido de trabajo. Si no lo estuviera, la bomba
comenzará el arranque, entregando una altura que depende de igual manera de la
velocidad que en el caso anterior, ya que la altura es energía por unidad de masa,
pero estará impulsando el aire que esté presente en el rodete. De esta forma el agua
presente en el embalse desde el cual se bombea subirá por la tubería de aspiración
hasta una altura máxima que es la determinada por la diferencia de presiones entre la
atmosférica y la depresión creada por la bomba en el tubo de aspiración. Si esa
depresión es suficiente, el agua llegará al rodete y se comenzará a bombear, en ese
caso se produce un autocebado. Naturalmente la instalación estará diseñada para que
esto así ocurra. En el momento en que el agua entra en el rodete el funcionamiento es
el mismo que cuando el rodete está lleno de agua. Otra opción es la de cebar la
bomba, en cuyo caso desde el primer momento trabajará con el agua como fluido.
Una vez la velocidad de la máquina haga que para condiciones de caudal nulo la
altura supere a la que la máquina debe vencer, el caudal comenzará a crecer, hasta
que se iguale la altura requerido por la instalación, que ahora crecerá al aumentar el
caudal y por tanto la pérdida de carga en las tuberías, con la entregada por la bomba
(véase figura 1.2).
121
Por tanto hay dos situaciones de interés para modelar:
-Arranque de bomba sin cebado. En este caso al comienzo del arranque el par
entregado por la máquina dependerá del cuadrado de la velocidad y por supuesto del
valor de la densidad del aire presente en el rodete. En el momento en que el par
entregado a caudal cero haga que la altura sea suficiente para que el agua del embalse
inferior sea aspirada por la bomba el par entregado por la máquina se multiplicará
por la relación entre las densidades entre agua y aire, y seguirá evolucionando con el
cuadrado de la velocidad. Por tanto a partir de ese punto se producirá un salto en el
par entregado por la máquina, y el arranque será más lento. Es importante decir que
entregando un caudal nulo, ya sea de aire o de agua, el par entregado se convierte
íntegramente en pérdidas por fricción del fluido con los elementos de la instalación,
siendo la energía entregada al fluido nulo, aunque no la energía entregada a la
turbomáquina por el accionamiento que la mueve.
-Arranque de bomba cebada. En este caso el agua inundará todo el cuerpo de la
bomba, y la altura del fluido comenzará a ascender. El cebado es necesario realizarlo
mediante una bomba auxiliar (de una forma similar a lo explicado anteriormente,
bombeando aire hasta que el agua inunde el rodete un virtud de la diferencia de
presiones entre éste y la atmósfera). Una vez comience el arranque y desde un primer
momento el par será el referido al agua como fluido de trabajo, y por tanto mayor
que en el caso anterior en los primeros instantes. Esto hará que el arranque sea más
lento.
El método de arranque que se elija, o la existencia de otros más sofisticados,
dependerá de consideraciones que se escapan al alcance de este proyecto. Para las
simulaciones se supondrá que la bomba está cebada por simplicidad. Como el efecto
de que el par sea mayor o menor en principio no afectará más que al tiempo de
arranque de la máquina, y no a las perturbaciones que ésta introducirá a la red éste no
será un dato relevante.
122
La turbomáquina en su funcionamiento como bomba se caracteriza por la curva que
relaciona el caudal y la altura que proporciona a cada una de las velocidades de
funcionamiento. En la figura 1.2 se puede ver una característica de este tipo a dos
velocidades para una posible bomba en esta instalación. La de velocidad w=0.83 p.u.
es la de velocidad a la cual comienza a llegar fluido al embalse superior, y a w=1 p.u.
es a la velocidad nominal, que corresponde a la de sincronismo de la máquina que la
acciona. Además se puede ver una supuesta curva de la instalación a la que está
alimentando la bomba.
Al arrancar se supondrá el caudal nulo, y por tanto la bomba funcionará
evolucionando por el eje de ordenadas, hasta que la velocidad es tal que la altura a
caudal nulo es igual a la precisada por la instalación, a partir de donde el caudal
dejará de ser cero. A partir de ese punto es preciso hallar, para cada velocidad, el
punto de funcionamiento que será donde el caudal y la altura requeridos por la
instalación sean iguales a los que suministra la bomba. Y para esa velocidad y ese
caudal hay que hallar el par requerido. Para el cálculo del par se partirá de una curva
Par-Caudal a velocidad nominal típicamente. Para conseguir las nuevas relaciones
caudal-altura y par-altura a distintas velocidades se hace uso de las leyes de
semejanza de las turbomáquinas.
123
Fig. 1.2
Trabajando a modo de ejemplo con la bomba cuya curva característica es la de la
figura 1.2 se tiene que:
20299.0280 QH ninstalació ⋅+=
22 02.0400 QwH bomba ⋅−⋅=
22 00001.0004275.02 QQwwParbomba ⋅−⋅⋅+⋅=
con H en metros, Q en s
m3, w p.u. y Par en p.u.
En éste caso en el punto de funcionamiento nominal el par requerido por la bomba es
de 2.2 p.u. y el rendimiento de ésta aproximadamente del 80%.
Para el caso concreto a tratar las curvas características que se supondrán para la
instalación y la bomba serán:
124
2015.0100 QH ninstalació ⋅+=
22 01.0150 QwH bomba ⋅−⋅=
22 00001.0002.056.0 QQwwParbomba ⋅−⋅⋅+⋅=
A partir de ellas se determina que la velocidad a partir de la cual al agua fluirá al
embalse es ..816.00
upH
Hw
bombaQ
emb ===
Si la velocidad es mayor se tiene que
despejando entre las dos primeras:
025.0
100150 2 −⋅= wQ
Que llevado a la expresión de par junto con la velocidad darán el par requerido por la
bomba.
Estas características que son las que se usarán para la simulación han sido estimadas,
sin concretarse en valores reales por no ser necesario, ya que no es un componente
fundamental que pueda condicionar los resultados obtenidos y las conclusiones que
de ellos se deriven.
1.4Parámetros eléctricos de la red
El principal parámetro a considerar es la potencia de cortocircuito. En éste caso se ha
supuesto que su valor es 15000MVA. Éste dato es el que corresponde a la potencia
de cortocircuito del nudo de la red eléctrica en el que se sitúan las centrales en
estudio. También se debe determinar la tensión en ese nudo, aunque esto es menos
relevante desde el punto de vista de las perturbaciones estudiadas, ya que está más
relacionado con estudios asociados a la potencia reactiva en juego. Se supondrá que
su valor es 1p.u.
125
2.Resultados obtenidos en las simulaciones
En este apartado se presentan los resultados obtenidos en las simulaciones. Se
representarán solamente las variables consideradas de interés. El análisis de éstos
resultados queda para la siguiente parte del proyecto donde se mostrarán
conjuntamente con las conclusiones.
Dado que ya han sido definidos todos y cada uno de los componentes del sistema
simulado en la figura 2.1 se puede ver el esquema resultante en formato Simulink al
interconectar todos ellos.
Fig. 2.1
El arranque se producirá a los 5 segundos del comienzo de la simulación, que se
prolongará hasta los 50 segundos para que el transitorio haya concluido por
completo. Cuando el propio arranque haya concluido se procede a alimentar el
devanado de campo de la máquina para hacer que sincronice con la red eléctrica.
126
Esta parte no será simulada por carecer de interés a efectos de excitación de algún
modo de torsión, ya que será una perturbación muy pequeña comparado con la que se
produce durante el propio arranque. Se presentarán los resultados de dos
simulaciones que pueden ser de interés, que son una sin uso de resistencia en el
devanado de excitación de la máquina que arranca y otro con ella. El valor escogido
para esta resistencia es de 0.01 p.u., que es aproximadamente 100 veces la del propio
devanado y que hace que la intensidad que circula por él durante el arranque no
exceda la de funcionamiento nominal en condiciones de sincronismo.
2.1 Simulación sin resistencia en el devanado de campo
En la siguiente figura, la 2.2 se puede ver la evolución de la velocidad y el par de la
máquina de inducción durante el transitorio. También se muestra el caudal que llega
al embalse, aunque esta variable no tenga interés real en la simulación.
Fig. 2.2
127
Por otra parte se puede ver la intensidad consumida por la máquina de la central de
bombeo durante el transitorio en la figura 2.3
Fig. 2.3
En cuanto al par electromagnético en la máquina síncrona, perturbado por la
aparición de una corriente como la que se acaba de mostrar, se puede ver en la figura
2.4
128
Fig. 2.4
Otra variable de interés será el ángulo entre el rotor y la red, que aumentará al caer la
tensión en el nudo común a las dos máquinas. Éste se ve en la figura 2.5.
129
Fig. 2.5
A partir de aquí las variables de mayor interés son las que propiamente se refieren al
eje, es decir, lo pares transmitidos en cada instante por cada uno de los segmentos de
eje, cuya obtención era el objetivo de este proyecto. Se pueden ver los pares entre
alternador y turbina de alta presión, entre ésta y la primera de baja presión, y entre
las dos de baja presión respectivamente en las figuras 2.6, 2.7, y 2.8.
130
Fig. 2.6
Fig. 2.7
131
Fig. 2.8
A continuación en la figura 2.9 se puede ver el par desarrollado por cada uno de los
cuerpos de la turbina. Esto justifica el modelado de ésta y del control primario, ya
que es capaz de controlar la velocidad e incluso responde ante las perturbaciones de
menor frecuencia.
132
Fig. 2.9
Todos los resultados obtenidos se comentarán en la parte del proyecto dedicada a
ello, que es la que viene a continuación, donde también se expondrán las
conclusiones.
2.2 Simulación con resistencia en el devanado de campo
A continuación se pueden ver velocidad, par y caudal en la figura 2.10. Como se
observa no se llega a alcanzar un régimen permanente, sino uno estabilizado
alrededor de una velocidad media. Esto significa que la presencia del devanado de
campo tiene una cierta influencia en la composición del par de origen asíncrono de la
máquina, y que su inexistencia (como en este caso cuyo efecto se ve reducido al
incluir la resistencia) provoca un pequeño desequilibrio que hará el par algo más
oscilatorio.
133
Fig. 2.10
En este caso la corriente de la máquina durante el arranque es la que se puede ver en
la figura 2.11. La intensidad oscila ente dos valores una vez se alcanza el régimen
estabilizado.
134
Fig. 2.11
Las oscilaciones observadas se deben a que la máquina no es capaz de sincronizar
sólo con el par de reluctancia, y se precisa la conexión de la excitación para esto.
Alcanza un régimen estabilizado alrededor de una velocidad media a la que se le
superpone una componente oscilatoria, motivada por la asimetría de los devanados
presentes.
En la figura 2.12 se puede ver el par electromagnético en la máquina síncrona
cercana, al que se puede observar que se superponen las perturbaciones debidas al
arranque de la asíncrona cercana.
135
Fig. 2.12
En cuanto al ángulo entre red y rotor del alternador se puede ver en la figura 2.13
136
Fig. 2.13
En las figuras 2.14, 2.15, y 2.16 se puede observar como es el par en cada uno de los
tres segmentos del eje.
137
Fig. 2.14
Fig. 2.15
138
Fig. 2.16
Por último en la figura 2.17 se puede ver el par desarrollado por cada una de las
turbinas, que viene condicionado por la actuación del control primario.
139
Fig. 2.17
Una vez presentados los resultados éstos serán comentados y analizados en la
siguiente sección del proyecto.
140
PARTE 5:
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Y
CONCLUSIONES
141
1. Análisis de los resultados obtenidos en las simulaciones
1.1 Pares obtenidos en cada tramo del eje y sus efectos
El objetivo final del proyecto es simular los pares que aparecen en cada una de las
partes del eje del turbogenerador como consecuencia del arranque en modo asíncrono
de una máquina síncrona cercana. Como se expuso en la parte de análisis estos pares
se espera que sean de la misma frecuencia que los que aparecen en la propia máquina
que arranca, es decir, que se reproduzca en una máquina lo que ocurre en la otra. Y
éstos son fundamentalmente de frecuencia doble al deslizamiento en cada momento,
lo cual viene motivado como también se analizó por diferencias en los devanados
amortiguadores de una máquina en un eje y otro, por diferencias de reluctancia en los
circuitos magnéticos que concatenan el rotor, y por la presencia del devanado de
excitación. Por otra parte se vio que la amplitud de las oscilaciones de un cuerpo
respecto de otro, y por tanto de los pares en el segmento del eje que concatena a
ambos, depende de la respuesta a cada frecuencia del propio eje, dada por el
diagrama de Bode típicamente, y cuyos máximos corresponden a los modos de
torsión. Esto significa que la amplitud de una oscilación de par sobre el par nominal
viene determinada por dos variables:
-La amplitud de la oscilación de par en la máquina asíncrona próxima;
-La frecuencia de esta oscilación.
La amplitud y la frecuencia de la oscilación en cada uno de los tramos de eje son
importantes desde el punto de vista mecánico por dos motivos:
-El hecho de que el par tenga una componente oscilatoria puede provocar
fatiga en el eje. Este es un caso típico de torsión pulsatoria. Por otra parte la
máxima tensión tangencial debida a la torsión será en la superficie, lugar
donde pueden comenzar procesos de éste tipo, con la parición de microgrietas
142
que pudieran propagarse hacia el interior. Dado que esta situación no se
producirá de forma frecuente (el arranque de la máquina cercana, al menos en
éste caso, no es probable que ocurra más de una vez al día) puede que el
efecto de la fatiga sea nulo. Si bien es cierto que una media de 300 arranques
al año durante 30 años de vida útil de la central son un total de 9000
arranques. Si cada arranque conlleva consigo unos 500 ciclos de fatiga (unos
10 segundos con una oscilación entre 100 y 0 Hz, por termino medio unos 50
ciclos por segundo), se tiene que el eje, debido sólo al arranque de la central
de bombeo próxima sufrirá a lo largo de su vida 4.5 millones de ciclos de
torsión alternativa, aunque no todos ellos de misma frecuencia ni por
supuesto de misma amplitud.
-Por otra parte como se puede ver en las simulaciones hay oscilaciones de
muy alta amplitud. Estas oscilaciones provocan, por una parte, que haya un
semiperiodo en el que el eje transmita un par inferior al que transmite en
condiciones nominales y que, por otra parte, haya otro semiperíodo en el que
el par transmitido supera ampliamente al nominal, lo cual evidentemente es
un peligro si el eje no fue dimensionado con un margen de seguridad
suficientemente amplio. Los efectos de la amplitud del par son por tanto más
evidentes y por supuesto inmediatos que los de la fatiga. En realidad estos dos
efectos no están del todo separados, ya que un pico de par puede hacer
aparecer grietas en el eje, especialmente en su periferia, las cuales a su vez
pueden propagarse ayudadas por el proceso de fatiga, o al revés, microgrietas
aparecidas en virtud de un proceso de fatiga y envejecimiento del eje pueden
propagarse al verse sometido el eje a pares superiores a lo normal gracias a la
intensificación de tensiones en los extremos de estas grietas.
Los pares máximos a los que se ve sometido el eje a lo largo del proceso de arranque,
con y sin resistencia en el devanado de campo de la máquina que arranca, son los
siguientes:
143
Con resistencia Sin resistencia
Alternador-Alta Presión -12.01 p.u. -12.85 p.u.
Alta P.-1ª Baja P. -9.13 p.u. -10.02 p.u.
1ª Baja P.-2ª Baja P. -5.78 p.u. -5.46 p.u.
Se puede ver que en ambos casos los pares máximos son cercanos, y se producen a
aquella frecuencia tal que reúne una amplitud en la excitación es alta así como una
respuesta del propio eje que también lo es. A partir de aquí se usarán los resultados
procedentes del arranque sin resistencia, aunque todo lo que se diga es válido para
los dos, dada la similitud entre ambos.
Es necesario tener en cuenta que el valor del par en el régimen utilizado para la
simulación en la central térmica hace que los pares existentes en el eje sean de 9.74
p.u., 6.82 p.u., y 3.41 p.u. en los tres tramos (en el mismo orden que en el cuadro
anterior). Eso significa que el sobrepaso respecto del valor nominal es, en el caso sin
resistencia, de:
Sobrepaso (%)
Alternador-Alta Presión 31.9
Alta P.-1ª Baja P. 46.9
1ª Baja P.-2ª Baja P. 60.1
Como se puede ver el sobrepaso es aproximadamente 3 p.u en los tres casos, lo cual
hace que en proporción al par transmitido en condiciones normales sea bastante
mayor en el último tramo del eje. Es por esto por lo que ese tramo será el que sufra
más mecánicamente hablando.
Por otra parte, es de interés confirmar aquello que se dijo en la parte del proyecto
dedicada al análisis. Para empezar en lo que se refiere a la introducción de
perturbaciones en la red. Para ello se puede ver en la figura 1.1 el espectro en
frecuencia del par electromagnético en la máquina que realiza el arranque, y en la
144
figura 1.2 el de la intensidad de cualquiera de las fases de la máquina durante su
propio arranque directo. Como se ve, aparecen ruidos a todas las frecuencias entre 0
y 50Hz. Se puede incluso ver una componente de frecuencia nula que corresponde a
la corriente unidireccional, la cual provoca entre otras una componente de par de
50Hz. Como ya se anticipó todos los pares existentes entre 100 y 0Hz se reflejan en
la red en forma de intensidades de una frecuencia 50Hz diferente (teniendo en cuenta
que si la frecuencia queda negativa se toma su valor absoluto, ya que lo único que
cambiará será la fase). Los pares cercanos a 100Hz estarán asociados a corrientes
cercanas a 50Hz, y los cercanos a 0Hz también a corrientes cercanas a 50Hz. Todos
los pares entre 0 y 100Hz aparecerán relacionados con corrientes entre 0 y 50Hz.
Naturalmente se ve la componente fundamental de la intensidad de 50 Hz.
Evidentemente el espectro en frecuencia de todas estas señales es continuo (dentro de
la discretización impuesta por que el algoritmo de resolución es numérico) debido a
que les señales sometidas al análisis espectral no son periódicas en el tiempo.
Fig. 1.1
145
Fig. 1.2
A su vez éstas intensidades se propagarán por la red. En el caso simulado esta
propagación es muy sencilla, ya que la red se reduce a un nudo. Éstas intensidades
harán que la tensión del nudo contenga las perturbaciones de sus mismas frecuencias,
y a su vez es a este nudo al que se conecta la máquina síncrona de la central térmica.
La propagación de la perturbación en la red se debe transmitir tal y cómo se dijo al
analizarlo, por lo que los pares electromagnéticos que aparezcan como consecuencia
de esto en la máquina síncrona unida al conjunto de turbinas deben tener un espectro
de alguna forma similar al del otro par. Aunque, tal y cómo se explicó, el par se
compone de forma algo más compleja al interaccionar unas intensidades y otras, y
además este espectro vendrá distorsionado por la enorme componente media del par
dada por la gran componente de 50 Hz de las intensidades. Éste espectro se puede
ver en la figura 1.3.
146
Fig. 1.3
Como se puede ver, el par varía entre 0 y 100Hz, como se esperaba que ocurriera al
“reflejarse” el de una máquina en la otra. Por otra parte, para componer el par no sólo
hay que tener en cuenta las frecuencias de la tensión de alimentación, sino el efecto
de las propias oscilaciones del rotor de la máquina. Éstas serán preferentemente de la
frecuencia de oscilación de cada uno de los modos de torsión. En la figura 1.4 se
puede ver el espectro de la velocidad del alternador perteneciente al turbogenerador
ampliado en la zona de interés.
147
Fig. 1.4
Como se puede ver las oscilaciones de ésta velocidad son principalmente de 8.7 y
15.7 Hz, que son los dos primeros modos de oscilación. El tercero no aparece por ser
de menor amplitud. El otro máximo apreciable es cerca de 1.5 Hz, y se debe a que en
esa zona la respuesta en frecuencia del eje es bastante buena, es decir, de gran
amplitud, y que además la perturbación es de una amplitud más considerable. Estas
oscilaciones influirán por tanto en la composición del par. Desde el punto de vista del
sistema de referencia dq0 las oscilaciones de velocidad provocarán oscilaciones de la
misma frecuencia en las corrientes vistas desde éste sistema de referencia solidario al
rotor, y por tanto aparecerán pares de frecuencias relacionadas con las de esas
corrientes, tal y como se puede ver en la figura 1.3, donde hay dos máximos en el
espectro correspondientes a 8.7 y 15.7 Hz.
Por tanto la existencia de los propios modos de torsión como formas de oscilar
preferentes retroalimenta el funcionamiento de la máquina y hace que el propio par al
que se somete uno de los cuerpos unidos al eje, en éste caso el rotor del alternador,
148
tenga componentes de la misma frecuencia que esos modos. Ese par debe ser
amortiguador, y tratar de compensar las oscilaciones, por lo que la máquina eléctrica,
además de ser la que introduce las perturbaciones que hacen oscilar al sistema, es la
que trata de amortiguarlas, naturalmente de forma conjunta con el propio
amortiguamiento de los demás cuerpos tal y como se modeló. El efecto del control
primario es nulo en frecuencias de este orden, ya que no es suficientemente rápido.
Mas allá de los análisis espectrales es interesante comprobar que éstas cosas se
cumplen en el tiempo. Tomando un instante dado, que puede ser por ejemplo a los 8
segundos del comienzo de la simulación, se tiene que en ese momento el par de la
máquina asíncrona es pulsatorio de 83.33Hz. Si ésta pulsación es de frecuencia doble
a la de deslizamiento ésta debe ser 41.66 Hz, y por tanto el deslizamiento será 0.83, y
la velocidad en p.u. 0.16. Sobre la simulación, la velocidad es de 0.193, que difiere
algo de la esperada por tanto, y que se debe o bien a imprecisiones en el algoritmo de
integración, o bien a algún error en el análisis cualitativo realizado a priori. En ese
mismo momento en el turboalternador el par que aparece será 83.33 Hz, es decir, el
mismo exactamente que el que existe en la máquina que está realizando el arranque,
lo cual confirma que el par oscilatorio que aparece en una también aparece en la otra.
1.2 Justificación de los elementos y procesos no tenidos en cuenta
No fue modelado el momento de la sincronización de la máquina, que será cuando se
conecte el sistema de excitación. No es una parte del proceso de interés, ya que el
proceso oscilatorio que sufrirá la máquina no será relevante comparado con el que
sufrió durante el propio arranque en modo asíncrono, y por tanto ocurrirá lo mismo
con los pares de naturaleza oscilatoria que pudieran aparecer en el eje del
turbogenerador. Tampoco es de interés el modelado de la excitatriz y el control de
tensiones de la máquina síncrona unida al turbogenerador, ya que éste sólo es
relevante en caso de querer analizar el problema reactivo asociado a éste, que sin
duda es relevante, pero no de interés para este proyecto. En casos como el simulado
las tensiones pueden caer hasta en un 20% en el nudo en el que están conectadas las
149
centrales de bombeo, lo cual sin duda hará que el control de tensiones del
turboalternador actúe intentando estabilizar los niveles de tensión. Pudiera tener
algún efecto si se dispusiera de un dispositivo tipo PSS (“Power system stabilizer”)
alimentado con el error de velocidad de la máquina, en la zona final del transitorio,
que es cuando las oscilaciones de velocidad son suficientemente lentas como para
que éste dispositivo pudiera ser suficientemente rápido como para tener efecto sobre
las propias oscilaciones. Como los máximos pares no aparecen en esa zona en la que
las oscilaciones son de muy baja frecuencia parece que el efecto de un PSS no será
importante a este efecto.
Por otra parte el modelado de la turbomáquina hidáulica como se ha visto no
pretendía ser tal, sino que simplemente se buscaba una carga mecánica lógica con la
instalación modelada. Esto no es un detalle importante, ya que no tendrá un efecto
directo sobre los pares aparecidos, que dependen fundamentalmente de la
configuración de la máquina que la arrastre. En todo caso influirá en el tiempo que
tarde ésta en arrancar.
2. Conclusiones
Al tratarse este proyecto de la realización de un análisis y simulación las
conclusiones deben referirse a la explicación del fenómeno presente y a las
consecuencias que pudiera tener. A lo largo de la parte del proyecto dedicada al
análisis se han expuesto diversas ideas sobre lo que cualitativamente pudiera ocurrir,
ideas que como se ha visto se han confirmado con los resultados de las simulaciones.
Sintetizando éstas se puede decir que:
-El caso de un arranque directo de una máquina de inducción de grandes dimensiones
en régimen motor se produce en casos muy precisos como pueda ser aquel en el que
una central de bombeo no tenga capacidad para arrancar de otra manera, y utilice la
150
capacidad de su máquina síncrona para funcionar como asíncrona en virtud de las
corrientes que se puedan inducir en su rotor.
-Este arranque directo tiene dos problemas asociados a él. Un subproblema reactivo,
ya que la altísima cantidad de potencia reactiva que consumirá la máquina provocará
una caída de la tensión en la red a partir del nudo al que esté conectada la máquina.
Este problema reactivo no interesa desde el punto de vista de este proyecto. En
cuanto al otro subproblema es el activo, que analiza como afecta a la potencia activa
este arranque. La potencia activa requerida es muy alta, pero es asumible
perfectamente por la red. El problema es que la solicitación de potencia activa no se
limita a una sola frecuencia, la fundamental de la red, sino a otras frecuencias, que se
propagarán por la red en forma de perturbaciones.
-Si la máquina a tratar fuera, salvo por el tamaño, una máquina de inducción normal,
la frecuencia única que aparecería en las corrientes absorbidas por la máquina
durante el arranque sería de 50Hz, salvo por la componente unidireccional que
aparecerá al comienzo del transitorio. Pero en éste caso las asimetrías constructivas
en la máquina respecto de los ejes d y q hacen que haya oscilaciones en el par que se
traducen en frecuencias de las corrientes absorbidas distintas a los 50Hz.
-El origen de éstas asimetrías está en la asimetría del efecto amortiguador entre los
dos ejes, la diferente reluctancia, y la presencia del devanado de campo, cuyo eje
magnético es el d.
-La inclusión de una resistencia en el devanado de campo de la máquina reduce el
valor de la corriente durante el arranque, y reduce, aunque de forma casi irrelevante,
la oscilatoriedad del par.
-El par electromagnético que aparece la máquina síncrona de la central térmica
cercana es el que desarrollen las turbinas unidas al alternador superpuesto a un par
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pulsatorio que es fiel reflejo del que aparece en la máquina que está realizando el
arranque en ese mismo momento.
-Este par produce giros relativos de unos cuerpos acoplados al eje del turbogenerador
respecto de otros. Éstos giros son deformaciones elásticas que sufre el propio eje,
siempre y cuando no se sobrepase el límite elástico. La amplitud de éstos giros
depende de la amplitud de la componente pulsatoria del par y de la frecuencia de
ésta, ya que el eje responde de manera distinta en función de la frecuencia de la
excitación a la que se le someta.
-Existen algunas frecuencias ante las que el eje responde de forma particularmente
peligrosa, que se corresponden a las frecuencias de los modos de torsión. Si en un eje
hay n cuerpos acoplados habrá n-1 modos de torsión. Los más bajos son los que más
hay que tener en cuenta. Además la respuesta a frecuencias bajas, aún fuera de uno
de éstos modos, es bastante amplia, como se pudo ver en el diagrama de Bode.
-La pulsación de par que tiene origen en la máquina que arranca es de frecuencia
doble al deslizamiento en cada momento, salvo la pulsación de frecuencia igual al
deslizamiento debida a la componente unidireccional de la corriente.
-Se excitan todos los modos de torsión del eje, al recorrer la pulsación de par todas
las frecuencias entre 100 y 0Hz.
-El eje puede resultar dañado, bien por fatiga, bien por los picos de par que sufre
cuando la frecuencia de la excitación coincide con la de algún modo de oscilación.
Especialmente crítico es el tramo del eje que une los dos cuerpos de baja de la
turbina de vapor, donde se llega a sobrepasar el par nominal en un 60%.
En función de las conclusiones aquí expuestas se podría proponer alguna forma de
filtrar las perturbaciones si fuera un modo de torsión en concreto el que fuera
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peligroso, pero excitarse todos los modos y todas las frecuencias en un rango
determinado no tiene sentido intentar hacer esto. Si se demostrara que los pares
aparecidos en el eje del turbogenerador son realmente dañinos sería necesario
replantear el modo de arranque de la central, y pasar a un método menos drástico
para las instalaciones que rodean la central, como pudiera ser un back-to-back. Salvo
esto no se puede proponer nada para intentar solucionar el problema.
Por tanto han sido satisfechos todos los objetivos del proyecto, que a continuación se
resumen:
-Familiarización con los modelos dinámicos más comunes de máquinas
eléctricas de corriente alterna.
-Desarrollo de uno de estos modelos.
-Desarrollo de un modelo dinámico para el eje de un generador unido a una
turbina de vapor.
-Integración de los modelos en una instalación concreta.
-Modelado de esta instalación.
-Obtención de resultados que se asemejen a la realidad de este caso particular.
Aunque no se dispuso de medidas concretas que pudieran confirmar la
semejanza, los resultados parecen muy cercanos a lo que realmente pudiera
ocurrir.
-Propuesta de actuaciones.
Además de los objetivos planteados a priori, que como se ve se referían al modelado
matemático y el desarrollo de los modelos fundamentalmente, se han desarrollado
analíticamente los conceptos que justifican todo lo que en la instalación ocurre
durante el proceso de arranque, por lo que se ha llegado a una comprensión del
problema superior a lo que se esperaba al comenzar el proyecto.
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Madrid, a 21-5-2005
Manuel Pinilla Martín
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Bibliografía utilizada
“The general theory of alternating current machines”, B.Adkins & R.G. Harley,
Chapman and Hall, 1975
“Power System Stability and Control”, Prahba Kundur, Electric Power Research
Institute, editado por Neal J. Balu, Mark G. Lauby (1994)
“Apuntes de teoría general de máquinas eléctricas”, Luis García Tabarés, ETSII
Upco
“Análisis y operación de sistemas de energía eléctrica” coordinador Gómez Expósito,
McGraw Hill, 2002
“Cálculo II, teoría y problemas de funciones de varias variables”, Alfonsa García,
Antonio López, Gerardo Rodríguez, Sixto Romero, Agustín de la Villa, editorial
Clagsa, 1996
“Resistencia de Materiales” L. Ortiz Berrocal, McGraw Hill, 2002
“Resistencia de Materiales II”, Prof. Ramón Gavela, Departamento de Ingeniería
Mecánica Upco
“Introducción al análisis de rotura por fatiga”, UPCO-ICAI Departamento de
Ingeniería Mecánica
“Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas” Claudio Mataix, Ediciones ICAI, 1986