Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 1
Adicijske formule
Formule dvostrukog kuta
Formule polovičnog kuta
Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
2 2sin cos 1x x
sin
cos
xtgx
x
cos
sin
xctgx
x
1tgx ctgx Projektna nastava
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 2
Formule :
yxyxyx sincoscossinsin yxyxyx sincoscossinsin
yxyxyx sinsincoscoscos yxyxyx sinsincoscoscos
tgxtgy
tgytgxyxtg
1
tgxtgy
tgytgxyxtg
1
Ad
icijs
ke fo
rmul
e :
ctgxctgy
ctgxctgyyxctg
1
ctgxctgy
ctgxctgyyxctg
1
xxx cossin22sin xxx 22 sincos2cos
xtg
tgxxtg
21
22
xctg
xctgxctg
2
12
2
Fo
rmul
e
dvo
stru
kog
i
tost
ruko
g ku
ta:
sin sin sin3 3 4 3x x x cos cos cos3 4 33x x x
2
cos1
2sin
xx
2
cos1
2cos
xx
For
mul
e
polo
vičn
og
kuta
:
x
xxtg
cos1
cos1
2
x
xxctg
cos1
cos1
2
2cos
2sin2sinsin
yxyxyx
yxyxyx coscos
2
1sinsin
2sin
2cos2sinsin
yxyxyx
yxyxyx sinsin
2
1cossin
2cos
2cos2coscos
yxyxyx
yxyxyx sinsin
2
1sincos
Pre
tvar
anje
sum
e(ra
zlik
e) u
pro
dukt
i o
brnu
to:
2sin
2sin2coscos
yxyxyx
yxyxyx coscos
2
1coscos
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 3
Riješeni primjeri zadataka :
1. Odredi vrijednosti dvostrukog kuta ostalih trigonometrijskih funkcija ako je
2
3,
3
1sin
2. Primjenom formula na početku izračunaj:
a) Ako je zadano 45 2, tg odredi tg tg
,2
bez određivanja
vrijednosti kutova. Kutovi se nalaze u prvom kvadrantu.
b) Odredi 2
cos,2
sin,2
xxxctg bez određivanja vrijednosti kuta aki je zadano
sin , ,x x 4
5
3
22
c) Odredi yxtg i xsin 2 bez određivanja vrijednosti kutova ako je
,
2,
5
4sin xx i
2,2
3,
13
12cos yy
3. Dokaži:
a)sin sin
sin
cos cos
cos
3 33 33
x x
x
x x
x
b)1 2 2
1 2 2
cos sin
cos sin
x x
x xtgx
4. Pojednostavi korištenjem adicijskih formula izraz:
xxctgxtg
2cos
2
32
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 4
Rješenja primjera:
1. a) 2
3,
3
1sin
Ako pogledamo formule dvostrukih kutova na početku vidimo da nam trebaju vrijednosti svih trigonometrijskih funkcija da bi izračunali vrijednosti dvostrukih kutova.
Kako je kut trećeg kvadranta ostale funkcije izračunavamo pomoću formula:
2sin1cos predznak cosinusa u trećem kvadrantu je – pa od predznaka ispred korijena u formuli uzimamo samo njega.
3
22
3
24
9
8
9
11
3
11cos
2
Tangens i kotangens izračunamo pomoću formula:
22
1
3
223
1
cos
sin
tg
Racionaliziramo nazivnik : 4
2
22
2
2
2
22
12
tg
22
22
111
tg
ctg
Sad možemo izračunati sve vrijednosti trigonometrijskih funkcija dvostrukog kuta:
9
24
3
22
3
12cossin22sin
xxx
9
7
9
1
9
8
3
1
3
22sincos2cos
22
22
xxx
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 5
7
24
28
216
16
142
2
16
2162
2
16
21
2
2
4
21
4
22
1
22
22
xtg
tgxxtg
24
7
24
18
222
122
2
12
22
ctgx
xctgxctg
Racionalizacija nazivnika: 8
27
24
27
2
2
24
72
2
xctg
2. a) Ako je 2,45 tg odredi tg tg
,2
bez određivanja vrijednosti
kutova. Kutovi se nalaze u prvom kvadrantu.
Iz zadanih podataka možemo izračunati tg
2
/45
tg
tg
11
45
tgtg
tgtg
tgtg
uvrstimo umjesto 2tg
tgtg
tg21/1
21
2
tgtg 212 212 tgtg
1tg
Kako je
cos1
cos1
2
tg potrebno je najprije izračunati cos
21
1cos
tg kut je prvog kvadranta, pa uzimamo predznak +, ispred
korijena.
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 6
2
1
11
1cos
2
pa je:
12
12
12
12
12
12
2
122
12
2
11
2
11
2 2
2
tg
2251
1222
2
2
tg
2.b) Odredi 2
cos,2
sin,2
xxxctg bez određivanja vrijednosti kuta ako je zadano
sin , ,x x 4
5
3
22
Kad pogledamo formule za tražene vrijednosti polovičnog kuta:
2
cos1
2sin
xx ,
2
cos1
2cos
xx ,
x
xxctg
cos1
cos1
2
vidimo da iz sinx, moramo izračunati cosx.
xx 2sin1cos , kao je x iz četvrtog kvadranta, ostavljamo samo + ispred
korjena
5
3
25
9
25
1625
25
161
5
41cos
2
x
pa sad možemo izračunati:
( ispred korijena zadržavamo predznak + za 2
sinx
, predznak – za2
cosx
, predznak
- za 2
xctg , jer je
2,2
3x pa je
,4
3
2
x a to je kut drugog kvadranta )
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 7
5
5
5
5
5
1
5
1
25
2
25
31
2
cos1
2sin
xx
5
52
5
5
5
2
5
4
25
8
25
31
2
cos1
2cos
xx
24
5
25
8
5
31
5
31
cos1
cos1
2cos
x
xx
2. c) Odredi yxtg i xsin 2 bez određivanja vrijednosti kutova ako je
,
2,
5
4sin xx i
2,2
3,
13
12cos yy
Pogledajmo formule za ono što se traži:
tgxtgy
tgytgxyxtg
1
, xxx cossin22sin
iz kojih je očito da treba izračunati cosx, tgx, tgy, siny
xx 2sin1cos Uzimamo predznak – jer je x u drugom kvadrantu
5
3
25
9
5
41cos
2
x
3
4
5
35
4
cos
sin
x
xtgx
xx 2cos1sin Uzimamo predznak – jer je x u četvrtog kvadrantu
13
5
169
25
13
121sin
2
x
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 8
12
5
13
1213
5
cos
sin
y
ytgy
Sad možemo izračunati:
56
33
9
1412
11
9
51
12
516
12
5
3
41
12
5
3
4
1
tgxtgy
tgytgxyxtg
169
120
13
12
13
52cossin22sin
xxx
3. a) sin sin
sin
cos cos
cos
3 33 33
x x
x
x x
x
Pojednostavljivanjem lijeve strane trebali bi dobiti 3 koji je na desnoj strani:
3cos
3coscos
sin
3sinsin 33
x
xx
x
xx
koristimo formule:cos cos cos3 4 33x x x sin sin sin3 3 4 3x x x i dobijemo:
3cos
)cos3cos4(cos
sin
sin4sin3sin 3333
x
xxx
x
xxx
3cos
cos3cos4cos
sin
sin3sin3 333
x
xxx
x
xx
3cos
cos3cos3
sin
)sin1(sin3 32
x
xx
x
xx
3cos
)1cos(cos3)sin1(3
22
x
xxx
3)1cos(3)sin1(3 22 xx
3)1cossin1(3 22 xx
3)1cossin1(3 22 xx
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 9
3)1)cos(sin1(3 22 xx
3)111(3
3=3
3. b) 1 2 2
1 2 2
cos sin
cos sin
x x
x xtgx
Da bi dokazali jednakost treba pojednostavniti izraz na lijevoj strani jednakosti. Pri tome koristimo formule:
xxx cossin22sin xxx 22 sincos2cos
i dobijemo:
tgxxxxx
xxxx
cossin2sincos1
cossin2)sin(cos122
22
tgxxxxxxx
xxxxxx
cossin2sincoscossin
cossin2sincoscossin2222
2222
tgxxxx
xxx
cossin2cos2
cossin2sin22
2
tgxxxx
xxx
)sin(coscos2
)cos(sinsin2
tgxx
x
cos
sin
4. a) Pojednostavi korištenjem adicijskih formula izraz:
?2
cos2
32
xxctgxtg
Primijenimo adicijske formule za tangens, kotangens i kosinus: yxyxyx sinsincoscoscos
tgxtgy
tgytgxyxtg
1
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 10
ctgxctgy
ctgxctgyyxctg
1
xxctgxctg
ctgxctg
tgxtg
tgtgxsin
2sincos
2cos
2
3
12
3
21
2?
xctgx
tgxxx
ctgx
ctgx
tgx
tgxsin
1
1sin1cos0
0
10
01
0
xtgxxtgxtgx sin2sin
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 11
Zadatci za vježbu:
1. Odredi vrijednosti dvostrukog kuta ostalih trigonometrijskih funkcija ako je:
a)2
3,
5
3sin
xx
b) xx
2,
13
5cos
c)2
3,
12
5 xtgx
d) xctgx
2,
20
21
e) xx
2,
29
21sin
f) 2
2
3,
65
16cos xx
g)2
3,
16
153
xtgx
h)2
3,
4
3 xctgx
Ove zadatke je moguće riješiti pomoću primjera 1 i prvog dijela osnova trigonometrije, primjeri pod 3.
2. Primjenom formula na početku izračunaj:
a) Ako je zadano 2,135 tg odredi 2
, tgtg bez određivanja
kutova. Kutovi se nalaze u prvom kvadrantu.
b) Ako je 4
3 , 2
,8
73cos koliko je sin ?
c) Odredi 2
cos,2
sin,2
xxxtg bez određivanja vrijednosti kuta ako je zadano
cos ,x x 4
5
3
2
d) Odredi 2
,2
xctg
xtg bez određivanja vrijednosti kuta, ako je zadano
cos ,x x 3
5
3
22
.
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 12
e) Odredi 2
sin,2
,2
xxctg
xtg bez određivanja vrijednosti kuta, ako je zadano
xx
2,
13
5sin .
f) Odredi 2
,2
,2
sinx
tgx
ctgx
bez određivanja vrijednosti kuta, ako je zadano
xx
2,
13
5cos .
g) Odredi 2
cos,2
sin,2
xxxctg bez određivanja vrijednosti kuta aki je zadano
,
2
3,
29
20sin xx
h) Odredi yxtg ako je ,
2,
3
2sin xx i
2,2
3,
4
3cos yy
i) Izračunaj sin i sin ako je sin , . 3
5II i
cos , . 5
13IV
j) Za kutove
02
02
, , , zadano je sin ,cos 4
5
2
10. Odredi
sin bez računanja vrijednosti kutova.
k) Neka je sin ,cos , ,x y x y 3
5
3
4 2
3
22
.Odredi ctg x y
l) Ako je
,2
,2
,014
33cos
14
35sin yxyx izračunaj:
)sin( yx , yxtg , x2sin , 2
cosx
Zadatak 2. a i b)) može se riješiti pomoću rješenja primjera 2. a)Zadatak 2. c), d) , e), f) i g) mogu se riješiti pomoću rješenja primjera 2. b)Zadatak 2. h) , i), j), k i l)) mogu se riješiti pomoću rješenja primjera 2. c)
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 13
3. Dokaži:
a) 1 2 2 2 cos cosx x
b) 1 2 22 sin cosx x
c)1
2 22
cos
cosx x
d) xctgxcos
xcos 2
21
21
e) cos sin cos4 4 2x x x
f)1 2
2
sin
cos
sin cos
cos sin
x
x
x x
x x
g) xtgxx
xx 242
42
cos42sin
sin42sin
h)tttt
t
cos
1
2cossinsin
2sin
i) xx
ctg
xctg
sin
21
22
2
Zadatak 3. a), b) , c), d), e), f), g), h) i i) mogu se riješiti pomoću rješenjaprimjera 3. a) i b).Dapače, oni su značajno jednostavniji u odnosu na predznanje učenika od kojih se očekuje da ih riješe.
4. Pojednostavi korištenjem adicijskih formula slijedeće izraze:
a) )6
sin(
x
b) )3
cos( x
c) )4
(
xtg
d) )4
3( xctg
e) tg x ctg x x
2
3
2cos
f)
2cos
44
xxctgxtg
g) sin cos sin sinx x x x
3
22
2
h)
2sincossin
2cos
xxxx
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 14
i)
x
xctgx
2
3sin
2
5cos
Rj. xx cossin
Zadatak 4. a), b) , c), d), e), g), h)i i) mogu se riješiti pomoću rješenja primjera 4. a) .Dapače, oni su značajno jednostavniji u odnosu na predznanje učenika od kojih se očekuje da ih riješe.
Zadatci za nadobudne:
1. Izračunaj:
8
13
8
17
18
9
8
5
ctgctg
ctgctg
Rj. -1
2. Izračunaj:
145sin35sin125sin55sin
162sin12sin108sin282sin
Rj.2
3
3. Izračunaj: 12
23sin
12
41sin
Rj.2
2
4. Svedi na što jednostavniji oblik: xxx
xxx
3sin2sinsin
3cos2coscos
(uputa: grupirati 2
pribrojnika i primijeniti formulu pretvorbe)
5. Izračunaj:
41cos1
53sin37sin2
Rj. 2
Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Mira MIhajlović Petković 15
6. Napiši u obliku umnoška:
6
5cos
3cos 22
Rj.
62sin
7. Izračunaj:xx
xxxx22 cos3cos
sin3coscos5sin
8. 14. Izračunaj: cos24
43cos
24
85
Rj. 2