Sinais e Sistemas
Renato Dourado Maia
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros
Fundação Educacional Montes Claros
Série de Fourier
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Lembremos da resposta de um sistema LTI dis-
creto a uma exponencial complexa: [ ] , , [ ] n j j nx n é um número complexo z e xz z n eω ω= → = =
Assim:
[ ] ( ) ny n H z z=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k
k k kzy n h k x n k h k h kz z
+∞ +∞ +∞− −
=−∞ =−∞ =−∞
= − = =∑ ∑ ∑
Tomando ( ) [ ] k
kz zH h k
+∞−
=−∞
= ∑
[ ] y[ ] ( )k kn
k kk k
knx n a n a Hz z z= → =∑ ∑
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Quando um sinal discreto é periódico?
Um sinal é discreto é periódico se existe uma constante positiva N, tal que:
[ ] [ ], x n x n N n= + ∀
O MENOR VALOR PARA N QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL – N0 .
00
2 [ ] é a frequência fundamental de x n em radianosNπω =
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Lembrando do conjunto de harmônicas para o ca-
so discreto:
(2 )[ ] , 0, 1, 2,...jk nk
Nn e kπφ = = ± ±
( )(2 ) (2 ) 2[ ] [ ]j k nN N Njk n nk kN
jn e e e nπ π πφ φ++ = = =
HÁ N HARMÔNICAS DISTINTAS!!!
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Analogamente ao caso contínuo:
0
0[ ] , jk nk
k Nx n a e é um sinal periódico com período Nω
=< >
= ∑
Representação em Série de Fourier para um sinal discreto periódico: Forma Exponencial
O somatório é feito num intervalo de “tamanho” N em função de haver N harmônicas distintas... O somatório pode ir de 0 até N-1,
de 3 até N+2, e assim sucessivamente.
k k Na a periodicidade+= →
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) DTFS de um Sinal Discreto Periódico
0
0
0
[ ]
1 [ ]
jk nk
k N
jk nk
n N
x n a e
a xN
n e
ω
ω
=< >
−
=< >
=
=
∑
∑
Equação de Síntese
Equação de Análise
{ } ka coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais→
Quantificam a contribuição de cada uma das N harmônicas.
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo
0[ ] ( )x n sen nω=
0 00
1 1[ ] ( )2 2
j n j nx n sen n e ej j
ω ωω −= = −Relação de Euler:
1
1
12
12
0, k
aj
aj
a para os demais coeficientes considerados no somatório
−
=
= −
=
Para sinais discretos periódicos reais: * −=k ka a
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS)
Exercício 1:
1 3[ ] 112 8
x n sen n ππ = + +
Aplicando-se a Relação de Euler:
3 38 8
81
2
0
3 38 8
81
2
1 12 2 2
1
1 12 2 2
0, 11 12
π πππ
π
π ππ
π
− −
−
−
= − = =
=
= = =
= − ≤ ≤
j jj j
j
j jj
j
k
e e ea ej e
a
e ea ej e
a k06/05/2016 8/25
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 1
0 5 10 15 20 250
1
2x[n]=x=1+sin(πn/12 + 3π/8)
x[n]
n
-15 -10 -5 0 5 10 150
0.5
1
|ak|
k
-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5
0
0.5
∠(a
k)
k
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 1
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 2
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 2
0
0
3 13
2 1
3 33 3
63
1 1[ ] [ ]6 6
1 2 2 1 26 6 6 6 3 21 26 3 3
jk njk nk
n n
jk jkjk jk
k
k
N
a x n e x n e
e ea e e
a cos k
π
π ππ π
ω
πω
π
−−
=− =−
−−
= → =
= =
+= + + = +
= +
∑ ∑
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 2
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Propriedades da DTFS As propriedades da DTFS são similares às da FS e
estão resumidas na tabela 3.2 (página 221 do livro Signals and Systems).
As propriedades são interessantes para facilitar a determinação dos coeficientes da DTFS de um sinal, evitando a realização de contas desneces-sárias.
Leiam sobre as propriedades, pois o livro apre-senta comentários interessantes, e estudem os e-xemplos 3.13, 3.14 e 3.15...
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Série de Fourier e Sistemas LTI Lembrando da resposta de sistemas LTI a expo-
nenciais complexas: ( ) , ( ) ( )s tstx t e é um número complexs y t H eso= → =
[ ] , [ ] ( )n nx n é um número complexo y nz zHz z= → =
Contínuo:
Discreto:
( ) ( ) ( ) ( )s jH h e d H j h e ds ωτ ττ τ τω τ+∞ +∞− −
−∞ −∞= → =∫ ∫
( ) [ ] ( ) [ ]k j j k
k kzH h zk H e h k eω ω
+∞ +∞− −
=−∞ =−∞
= → =∑ ∑
Resposta em Frequência, se s e z são considerados
complexo puro e de magnitude unitária, respectivamente.
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Série de Fourier e Sistemas LTI
0 0 00( ) ( ) ( )jk t jk t jk t
k k kk k k
x t a e y t a H jk e b eω ω ωω∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
= → = =∑ ∑ ∑0 0 0 0[ ] y[ ] ( )jk n jk n jk n jk n
k k kk N k N k N
x n a e n a H e e b eω ω ω ω
=< > =< > =< >
= → = =∑ ∑ ∑
Para entradas periódicas, pode-se determinar a saída de um sistema LTI por meio da resposta em frequência ao invés da
convolução... Posteriormente, essa análise será adaptada para permitir a análise com sinais aperiódicos – Transformada de Fourier.
(.) . !
H modifica as amplitudes e fases das diversas exponeciaiscomplexas da entrada E já sabemos que a frequência não muda
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Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo – Parte 1
11( ) ( )t
RCh t e u tRC
−
=
Resposta ao Impulso?
Determinar a resposta em frequência.
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Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo
1
1( ) ( 1 )
00
1( ) ( ) ( )
1 1 1 1( )1 1
j RC j
j j RCRC
H j h e d e u e dRC
RCH j e d eRC RC j RC j RC
ωτ τ ωτ
ω τ ω τ
ω τ τ τ τ
ω τω ω
+∞ +∞− − −
−∞ −∞
∞− ++∞ − +
= =
−= = =
+ +
∫ ∫
∫
2 2 2
1 1 11 ( )1 1 1 1
jRC H j jj
ω ωωω ω ω ω
− −= → = = = +
+ + + +
Normalmente, a resposta em frequência é apresentada em módulo e fase...
06/05/2016 18/25
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo – Parte 2
Para RC = 0,1, determinar a saída do circuito pa-
ra o sinal de entrada apresentado a seguir:
0 0 00
2 2 ( ) 1( ) ( ) 1, , 24k
T T Tsen ua sinc k sinc u TT T u T
π ω ππ
= = = = =
06/05/2016 19/25
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo – Parte 2
0 0 0
0( ) ( ) ( )jk t jk t jk tk k k
k k kx t a e y t a H jk e b eω ω ωω
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
= → = =∑ ∑ ∑
0 00 0 00 0
0 0
2 ( )( ) ( ) ( )jk t jk tk
k k
T sen k Ty t a H jk e H jk eT k T
ω ωωω ωω
∞ ∞
=−∞ =−∞
= =∑ ∑
00
1 1( ) ( )1 1RC RCH j H jk
j RC jk RCω ω
ω ω= → =
+ +
06/05/2016 20/25
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo – Parte 2
00
1 1( ) ( )1 1RC RCH j H jk
j RC jk RCω ω
ω ω= → =
+ +
00.1 , 2RC ω π= =
10( 2 )2 10
H j kj k
ππ
=+
0210 ( 2)( )2 10k
T sen ky tj k T k
ππ π
∞
=−∞
=+∑
06/05/2016 21/25
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Boa Notícia!
VOCÊS JÁ PODEM FAZER A QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS...
06/05/2016 22/25
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Exercícios Exercício 3.19 – Signals and Systems
Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RL mostrado a seguir:
a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. Considerando , determine a resposta em frequência. c. Determine a saída para .
( ) j tx t e ω=( ) ( )x t cos t=
06/05/2016 23/25
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Exercícios Exercício 3.20 – Signals and Systems
Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RLC mostrado a seguir:
a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. Considerando , determine a resposta em freqüência. c. Determine a saída para .
( ) j tx t e ω=( ) ( )x t sen t=
06/05/2016 24/25
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Exercícios Exercício 3.14 – Signals and Systems
Quando o trem de impulsos
é a entrada de um sistema LTI com resposta em
frequência , a saída é:
Determine os valores de para k = 0, 1, 2 e 3.
[ ] [ 4 ]k
x n n kδ∞
=−∞
= −∑
( )jH e ω
5[ ] .2 4π π = +
y n cos n
2( )jkH e π
06/05/2016 25/25