Sinteza mecanismelor cu came Sinteza mecanismelor cu came are ca scop definirea geometrică a mecanismelor tip camă-tachet astfel încât să se asigure condițiile funcționale impuse, adică să se realizeze transmiterea mișcării cu un raport de transmitere impus prin tema de proiectare.
Elemente caracteristice ale unui mecanism camă-tachet Un mecanism cu camă e constituit din 3 elemente principale: cama, tachetul și elementul fix. Pe lângă acestea există și alte elemente teoretice care apar într-un mecanism cu camă, acestea fiind prezentate în Fig.1:
Fig.1 Elemente ale unui mecanism cu camă
Profilul teoretic – este profilul care rezultă în urma procesului de proiectare al camei Profilul real – este curba înfășurătoare produsă de periferia tachetului când centrul acestuia se
mișcă pe profilul teoretic al camei. Cercul de baza - este cercul cu centrul în centrul camei cu raza până la profilul real Cercul de referință - este cercul cu centrul în centrul camei, cu raza până la profilul teoretic Unghiul de presiune – este unghiul dintre normala la profilul teoretic și directia de translatie a
tachetului (momentană).
Sinteza mecanismelor cu camă Sinteza mecanismelor cu camă are ca scop stabilirea dimensiunilor geometrice caracteristice ale camei (profilul camei) la un tachet de profil dat, astfel încât mișcarea acestuia să se realizeze după o lege dată. Sinteza mecanismelor comportă următoarele faze:
1. stabilirea legii de mișcare pentru tachet 2. determinarea gabaritului camei 3. determinarea profilului camei
4. cinetostatica și calculul de rezistență al mecanismului care se face în vederea asigurării contactului camă-tachet, stabilirea dimensiunilor transversale și a consumului energetic în vederea funcționării corecte a mecanismului
Alegerea legii de mișcare a tachetului Legea de mișcare a tachetului materializează modul în care cama, prin intermediul profilului, controlează mișcarea tachetului. În general, profilul unei came se poate impărți în zone unde se comandă urcarea, coborârea sau staționarea tachetului așa cum se arată și în Fig.2.
Fig.2 Împărțirea în zone a unei came
Se consideră că mișcarea începe de la unghiul 0, cama din Fig.2 are 4 zone, fiecare cu legea ei de mișcare, după cum urmează:
1. Urcare 2. Stationare superioară 3. Coborâre 4. Stationare inferioară
Dacă se trasează o diagramă a cursei de tachetului (ciclograma) în funcție de unghiul de rotație al camei s-ar obține un grafic asemănător cu cel din Fig.3. Se menționează că graficul din Fig.3 nu corespunde camei din Fig.2 din punct de vedere al lățimii zonelor de urcare, coborâre și respectiv staționare.
Fig.3 Zonele caracteristice ale mișcării tachetului unui mecanism cu camă
Pentru cama din Fig.2 este valabilă relația:
2360 0
4321
Dacă se consideră cama în mișcare, atunci aceasta are o viteză unghiulară cunoscută și constantă ct deci se pot scrie relațiile:
i
i
t
, unde it este timpul de parcurgere al zonei i (i=1..4), de unde rezultă
iit , i și fiind cunoscute
Astfel se poate ridica diagrama cursei tachetului (ciclograma) în funcție de timp, obținându-se un grafic asemănător cu cel din Fig.4
Fig.4 Fazele caracteristice ale mișcării tachetului unui mecanism cu camă
Se notează cu T durata unui rotații complete (perioada) pe care o efectuează cama:
4321 ttttT
Fig.5 Mecanism cu camă a) cu tachet în translație
b) cu tachet oscilant Se notează cu
)(tss legea de mișcare liniară pentru un tachet în translație (Fig.5a)
)(t legea de mișcare unghiulară pentru un tachet în oscilație (Fig. 5b)
)(tff legea de mișcare generalizată, se transformă în )(tss sau )(t după caz
Se definesc următoarele: Cursa tachetului – spațiul străbătut (unghiul măturat) de tachet între cele două poziții extreme Cursa directă – cursa efectuată sub acțiunea camei Cursa inversă – cursa consumată sub actiunea inversă a arcului (sau a altui dispozitiv de aducere) astfel încât tachetul să rămână în contact cu cama Cursa de lucru – cursa în decursul căreia se efectuează un lucru mecanic util. Cursa în gol – cursa pe care o face tachetul pentru a ajunge într-o poziție determinată. Pentru cursele de lucru legea de mișcare nu se alegeci se impune de către procesul de lucru realizat de mașina în cadrul căreia se include mecanismul. La cursele în gol unde ne interesează deplasarea între două puncte extreme alegerea legii de mișcare se face pe baza unor criterii cum ar fi timp de revenire minim, acceleratie constantă, acceleratie minimă etc
Alegerea propriuzisă a legii de mișcare se face presupunând o anumită variație a acesteia - )(tf și a
derivatelor sale:
)(tfdt
sdn
n
1 2
)(...n
dttfs
Există 3 categorii de funcții pentru legea de mișcare:
1. )(tf - funcție polinomială
2. )(tf - funcție armonică – trigonometrică
3. )(tf - funcție mixtă
1. Lege de mișcare polinomială a) Lege de mișcare cu viteză continuă pe întreaga perioadă de urcare/coborâre Pentru cazul unui mecanism cu camă și tachet în translație se scriu relațiile:
1cv - unde 1c este valoarea (constantă) a vitezei
dar dt
dsv
rezultă 1cdt
ds , de unde dtcds 1 (1)
Dacă se integrează ecuația diferențială (1) și se obține:
dtcds 1 (2)
adică 21 ctcs (3)
funcția generală a spațiului în funcție de timp pentru mișcarea tachetului Pentru a obține funcția particulară a spațiului, se impun unele condiții asupra funcției generale, anume timpul și spațiul de start și de oprire. Astfel, din diagrama t-s, Fig.6 se observă că la
0t , 0s (4)
1tt , hs unde h este cursa tachetului (5)
cu alte cuvinte, la începutul mișcării, cursa este 0, iar la sfârșitul mișcării cursa este h.
Fig.6 Legea de mișcare cu viteză constantă
Înlocuind în relația (3) datele din (4) și (5) se obține
000 221 ccc
și vt
hctchctch
1
111211
Faptul că, la începutul mișcării se trece de la viteză 0 la viteză v,în mod instantaneu, înseamnă apariția unei accelerații infinit de mari (Fig6 diagrama t-a), accelerație care dacă se introduce în formula pentru forța de inerție
maFi
conduce la o forță de inerție infinit de mare și ulterior la vibrații, care conduc la distrugerea profilului camei odată cu utilizarea acesteia
În mod analog, la sfârșitul mișcării, se trece de la viteză v la viteză 0, în mod instantaneu, fapt ce conduce la apariția une accelerații infinit de mari (lucru ce conduce la întreruperea contactului dintre tachet și camă, tachetul revenind sub acțiunea forței de revenire – elastice, gravitationale etc), fapt ce conduce la deteliorarea profilului camei.
Există legi de mișcare mai sofisticate, care limitează apariția accelerațiilor infinite pe perioada de funcționare a mecanismului cu camă și prelungesc durata de viață a unui mecanism cu camă. Cu toate acestea, legea de mișcare cu viteză constantă se poate utiliza dacă se realizează o porțiune de racordare a profilului, limitându-se astfel valoarea accelerației de început și sfârșit de mișcare. b) Lege de mișcare cu accelerație constantă (Lege de mișcare parabolică) Având în vedere că o fază de mișcare (urcare sau coborâre) este limitată de porțiuni de staționare (accelerație zero) legea de mișcare pe zona respectivă trebuie să fie compusă din două etape, prima cu accelerație constantă pe durata
11t și cea de-a doua cu decerelație constantă pe durata 12t
iar 11211 ttt
După cum se observă și din diagrama t-v din Fig.7 tachetul are
viteza v=0 la momentul t=0 și viteza v=0 la momentul t=t1
Se scrie relația
1ca (6)
din care, prin integrare rezultă:
21 ctcv (7)
32
2
12
1ctctcs (8)
funcțiile generale ale mișcării.
Se impun condiții asupra mișcării pe prima etapă ( 110 t )
- la 0t , 0s și înlocuind în (8) rezultă 03 c
- la 0t , 0v și înlocuind în (7) rezultă 02 c
- la 0t , 1aa și înlocuind în (6) rezultă 11 ac
Fig. 7 Lege de mișcare cu
accelerație constantă
Se notează cu 2
1
a
a , raportul accelerațiilor în ideea că nu este necesar ca acestea să aibă valori egale,
doar să fie constante (dacă 1 atunci 21 aa )
Se impune condiția ca viteza atinsă la terminarea etapei de accelerare să fie aceeași cu viteza de unde
începe decelerarea 1211 vv
1112
1
2
12
11122111
12212
11111 1tt
a
a
t
ttata
tav
tav
dar
1
1 1111111111111211
tttttttttt și
1
112
tt
Se scriu legile spațiului pentru cele două etape:
122
2
12
11
2
1
2
1
2
1222
2
1111 1
2
12
1
hht
t
a
a
h
h
tah
tah
dar
1
1 111121
hhhhhhhhhh și
12
hh
Se pot scrie astfel expresiile celor două accelerații care compun faza de mișcare (urcare sau coborâre)
2
1
12
1
2
2
11
11
11
1 t
ha
t
h
t
ha
(9)
2
1
22
1
2
2
2
12
22
11
1 t
ha
t
h
t
ha
(10)
Folosind relațiile (9) și (10) se pot impune accelerațiile specificând cei trei parametri:
h - cursa tachetului
1t - timpul alocat zonei de mișcare (urcare/coborâre)
- coeficientul de împărțire al celor două etape (accelerare/decelerare)
Folosind aceste date, legea spațiului devine:
12
2
2
1
11
2
2
1
,0,1
2
1
,0,1
2
1
tttt
hs
tttt
hs
c) Lege de mișcare polinomială de gradul 5 (Polinomiala 3-4-5) Legea spațiului este o ecuație polinomială de gradul 5, legea vitezei și a accelerației se obțin prin derivarea acesteia:
01
2
2
3
3
4
4
5
5 ctctctctctcs
12
2
3
3
4
4
5 2345 ctctctctcv
23
2
4
3
4 261220 ctctctca
Se impun unele condițile de inițializare:
la 0t , 0s , 0v și 0a rezultă 0210 ccc
la 1tt , hs , 0v și 0a rezultă 3
1
3 10t
hc ,
4
1
4 15t
hc ,
5
1
5 6t
hc
Rezultă astfel legea spațiului având coeficienții determinați
3
3
1
4
4
1
5
5
1
10156 tt
ht
t
ht
t
hs unde parametrul 1,0 tt
2. Lege de mișcare armonică a) Lege de mișcare cosinusoidală În acest caz accelerația are forma:
)cos( 21 tcca (11)
iar prin integrare se obține:
32
2
1 )sin( ctcc
cv
(12)
4322
2
1 )cos( ctctcc
cs
(13)
Pentru determinarea coeficienților ci (i=1..4) se impun condițiile inițiale:
la 0t , 0v și înlocuind în (12) rezultă 03 c
la 0t , 0s și înlocuind în (13) rezultă
22
14
c
cc (14)
la 2
1tt , 0a și înlocuind în (11) rezultă
0)2
cos( 121
tcc dar 01 c
0)2
cos( 12
tc
)0arccos()
2cos(arccos 1
2
tc
1
21
222 t
ct
c
Fig. 8 Lege de mișcare
cosinusoidală
la 1tt , hs și înlocuind în (13) relația (14) rezultă
41
1
4 cos ctt
ch
de unde 42ch 2
4
hc
Din (14) rezultă 2241 ccc
2
1
12
t
hc
2
1
12
t
hc
Înlocuind coeficienții în legile de mișcare rezultă:
t
tt
ha
1
2
1
cos2
t
tt
hv
11
sin2
t
t
hs
1
cos12
b) Lege de mișcare sinusoidală (Besthorn) În acest caz accelerația are forma:
)sin( 21 tcca (15)
iar prin integrare se obține:
32
2
1 )cos( ctcc
cv
(16)
4322
2
1 )sin( ctctcc
cs
(17)
la 0t , 0v și înlocuind în (16) rezultă 2
13
c
cc
la 0t , 0s și înlocuind în (17) rezultă 04 c
la 2
1tt , 0a și înlocuind în (15) rezultă
1
21
2
2
2 tc
tc
ht
c2
1
1
2
1
3t
hc
Fig. 8 Lege de mișcare
sinusoidală
Înlocuind coeficienții în legile de mișcare rezultă:
t
th
ta
1
2
1
2sin
2
t
tt
hv
11
2cos1
t
tt
ths
11
2sin
2
11
Tabel comparativ între legile de mișcare
Lege de mișcare cu viteză constantă
Lege de mișcare cu accelerație constantă
Lege de mișcare cu acceletație
cosinusoidală
Lege de mișcare cu acceletație sinusoidală
Șocuri 2 șocuri dure 3 șocuri moi 2 șocuri moi 0 șocuri
maxv 1t
h
1
2
t
h
12t
h
1
2
t
h
maxa 12
2
1t
h
2
1
2
2 t
h h
t 2
1
2
Determinarea gabaritului camelor
Stabilirea gabaritului camelor plane Prin gabaritul camei se înțelege spațiul pe care îl ocupă cama în funcționarea sa. Așa cum rezultă din Fig. 9, gabaritul camei este cu atât mai mic cu cât raza cercului de bază Rb este mai mică, la o aceeași cursă a tachetului h
Fig.9 Camă în rotație și tachet în translație
După cum rezultă din Fig.9, cilindrul de rază Re determină gabaritul camei.
be RRh
de unde hRR be
deci putem concluziona că gabaritul camei depinde de raza de bază și de cursa tachetului. Raza de bază trebuie aleasă astfel încât să fie mai mare decât raza arborelui pe care se montează cama, dar trebuie să se țină cont și de mărimea unghiului de presiune (între camă și tachet) pentru a evita blocarea mecanismului.
Determinarea gabaritului camelor plane în mișcare de rotație Se consideră mecanismul cu camă și tachet oscilant din Fig.10. În vederea stabilirii razei minime a cercului de bază pentru care condiția ca unghiul de presiune să fie mai mic decât unghiul de presiune critic:
cr
este satisfăcută se procedează astfel: se trasează poligonul vitezelor rabătute (rotite cu 90o) în sensul lui , cu polul ales chiar în punctul B conform ecuației:
11 BBBB vvv
unde CBB lv 2 este viteza punctului B al tachetului, care rabătută are direcția perpendiculară pe
direcția de translație
sABB kABlv 11 11 este viteza punctului B1 aparținând camei și rabătută are direcția
razei vectoare r
1BBv este viteza relativă care rabătută este paralelă cu normala n-n
Fig. 10 Determinarea razei minime a camelor cu tachet oscilant
Alegând segmentul reprezentativ al vitezei punctului B1 chiar segmentul BA rezultă că scara vitezelor este:
ssB
v kAB
kAB
AB
vk
1
11
Se observă că dreapta care unește vârful vectorului viteză rabătută 1BBv cu centrul camei formează cu
direcția CB complementul unghiului de presiune
2
numit și unghi de transmitere.
Fig.11 Construirea zonelor pentru delimitarea locului acceptabil al centrului camei
Pentru poziția prezentată în Fig.11 (derivată din Fig.10), se presupune că cr , deci este
satisfăcută condiția de funcționare a mecanismului, poziția punctului A (centrul camei) fiind
corespunzătoare. Dacă se trece la limită, atunci cr și rezultă cele două linii de separare ED1 și ED2
pe care se poate afla punctul A Dacă cr poziția punctului A va fi în zona de blocare (deasupra
liniilor ED1 și ED2), mecanismul nemai putând funcționa. Această condiție trebuie satisfăcută în orice poziție pe care ia mecanismul, rezultând astfel hodograful vitezelor reduse rabătute la scara
Fig.12 Hodograful vitezelor reduse rabătute la scara pentru tachet în oscilație
În Fig.12 sunt construite câteva poziții ale tachetului oscilant, pentru care se reprezintă vectorul viteză
1BBv , iar prin vărful fiecărui vector se trasează o dreaptă la unghiul cr
2
. Aceste drepte
delimitează domeniul D în care se poate amplasa centrul camei A fără ca să existe pericolul blocării mecanismului. Fiind o metodă grafo-analitică există relația:
rRABk bs " ,
unde sk este scara de reprezentare a spațiului, "AB - lungimea segmentului, bR - raza de
bază a camei, r - raza rolei tachetului
Dacă punctul C , traiectoria punctului B va degenera într-o dreaptă, tachetul executând o mișcare de translație. În acest caz, hodograful se va reprezenta ca în Fig. 13
Fig.13 Hodograful vitezelor reduse rabătute la scara pentru tachet în translație
Lungimea segmentului B’B” este cursa, iar direcția dreptei B’B” este direcția de translație a tachetului. Se notează cu e (excentricitate) distanța dintre direcția de translație a tachetului și poziția cuplei de rotație a camei.
Determinarea gabaritului camelor plane în mișcare de translație Fie mecanismul cu camă în mișcare de translație și tachet în mișcare de translație din Fig 14. Pentru acesta se dorește determinarea lungimii l a camei astfel încât să nu se depășească valoarea maximă admisibilă pentru unghiul de presiune și în același timp să se realizeze și cursa tachetului.
Fig. 14 Determinarea lungimii minime a camei în mișcare de translație
Se consideră sistemele de coordonate xos fixat de camă și XOY legat de elementul fix, între acestea existând legătura:
xX 0 și (18)
ssY 0 unde 0s este înălțimea de start a camei (19)
xss funcția care descrie profilul camei
Pentru cursa de ridicare, viteza camei, presupusă constantă, este:
1
0
t
l
dt
dx
dt
dXvc (20)
cu alte cuvinte, viteza momentană a camei în XOY este egală si de semn schimbat cu viteza momentană
a camei în xos și este egală cu viteza medie a camei în elementul XOY. Se notează cu 1t timpul de urcare.
Viteza tachetului se poate exprima sub forma:
tgvdt
dx
dx
ds
dt
ds
dt
dYvv cT (21)
unde tgdx
ds - panta curbei de profil în punctul de contact T
Dacă relația (19) se derivează rezultă:
v
dt
ds
dt
ssd
dt
dY
0
Relațiile (20) și (21) sunt restricționate de condiția cr rezultă unghiul de presiune maxim pentru
cursa de ridicare:
cr
c
tg
t
l
v
v
vtg
1
maxmaxmax
din această expresie rezultă lungimea minimă teoretic necesară pentru evitarea fenomenului de autoblocare
1max
min ttg
vll
cr (22)
Determinarea gabaritelor minime ale camelor spațiale
Prin desfășurarea unei came cilindrice de tipul celei din Fig.15 se obține o camă plană în mișcare de translație, cu viteza egală cu viteza periferică de rotație a cilindrului:
Rvc , unde este viteza unghiulară
R este raza cilindrului iar lungimea aferentă porțiunii de urcare/coborâre va fi:
Rl i unde i este unghiul de ridicare/coborâre
Înlocuind relația lungimii în relația (22) rezultă:
1max
1 ttg
vR
cr sau
1
1max
t
tg
vR
cr
Fig. 15 Camă cilindrică
Trasarea profilului camelor plane După determinarea razei de bază, pasul următor în sinteza unui mecanism cu camă este determinarea profilului pentru ca, în final, aceasta să poată fi produsă. Definirea profilului se face pornind de la legea de mișcare a tachetului și cunoscând tipul mecanismului, starea de mișcare a camei și zona de contact a tachetului. Determinarea profilului camei se poate face grafic sau analitic.
Fig.16 Trasarea profilului unei came plane rotative cu tachet în translație
Mecanismul este de tipul celui prezentat în Fig. 16a, iar legea de mișcare (pentru simplificare s-a
ales doar porțiunea de urcare) este dată prin diagrama ss din Fig.16b. Se presupune că viteza
unghiulară a camei c este constantă și are sensul din figură.
Se alege în planul tachetului un punct de referință denumit punctul caracteristic al tachetului, în cazul nostru vârful tachetului notat M
Pentru trasarea profilului p al camei se imprimă întregului mecanism o viteză unghiulară c în
jurul centrului camei, aceasta devine fixă iar tachetul execută o mișcare în jurul camei cu viteza
unghiulară c cuplată cu mișcarea sa de translație după direcția d (tangentă la cercul de centru A0 și
rază e numit cerc de excentricitate) Fig.16c Faza următoare este poziționarea centrului camei A0 pe foaie, după care se trasează cercul de bază a cărui rază este Rb și cercul de excentricitate e. Se trasează direcția de translație d0 (din Fig.16c) aceasta corespunde direcției de translație d (din Fig.16a) Se determină poziția punctului M0 astfel încât acesta să se afle la intersecția dreptei d0 cu cercul
de bază. Prin acest punct se trasează direcția O (orizontală) a sistemului cartezian Os . Punctul M0
corespunde poziția 0 în mișcarea punctului caracteristic M al tachetului după legea de mișcare din Fig.16c. Zona de urcare (sau coborâre, după caz) a legii de mișcare – Fig. 16b este împărțită în mai multe
intervale egale i , 4 în cazul de față iar fiecare punct trebuie transpus pe camă – Fig.16c. Pentru aceasta
se trasează dreptele di la unghiurile i , tangente la cercul de excentricitate. Prin punctele i de pe legea
de mișcare – Fig.16b se duc paralele la O , acestea intersectează d0 după care sunt rotite după un arc
de cerc cu centrul în A0 până se intersectează cu di rezultând astfel punctele Mi care descriu profilul camei. Pentru cazul particular când excentricitatea este zero (e=0), directia d de translație a tachetului va trece prin centrul camei iar, în consecință, si dreptele di vor trece prin acest punct.
Trasarea profilului camelor plane în mișcare de rotație cu tachet oscilant Se consideră mecanismul din Fig 17b (asemănător cu cel din Fig.10) pentru care se cunosc: lungimea tachetului l, distanța a dintre centrul de rotație A al camei și cel de oscilație B al tachetului precum și
legea de mișcare a tachetului - Fig.17a
Fig.17 Trasarea profilului unei came plane rotative cu tachet oscilant
După ce s-a determinat raza de bază a camei, se poziționează centrul camei A, cel al tachetului B și se intersectează cercul de bază cu un arc de cerc cu centrul în B și rază egală cu lungimea l a tachetului,
rezultă astfel punctul M0. Unghiul AB0M0 notat 0 marchează poziția inferioară a tachetului de la care
va începe mișcarea acestuia. Pentru simplificarea desenului se consideră doar una dintre faze (urcare/coborâre) care va fi împărțită în
mai multe intervale egale (4 în cazul de față). Prin imprimarea mișcării inverse (cu c ) punctul B se va
deplasa pe un cerc cu centrul în A și rază ABa . La momentul 1 punctul B se va afla la poziția 1 iar
tachetul va forma unghiul 10 cu linia centrelor, 1 fiind citit din diagrama de mișcare Fig 17b.
Luând pe direcția tachetului astfel stabilită lungimea l se obține un punct (M1) al profilului teoretic al camei. Pentru momentele 2, 3 ... se procedează în mod identic rezultând profilul teoretic al camei format din mai multe puncte de tip M0, M1, M2, M3, M4.