TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas son dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que han de
verificarse a la vez
Se escribe
''' cybxa
cybxa
Se llaman coeficientes
Se llaman términos independientes
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Una SOLUCIÓN del sistema
''' cybxa
cybxa
es cualquier pareja de valores (x, y)que verifique las dos ecuaciones
Dos sistemas son EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones
14
32
yx
yx
2.1- 5 = -3
4.1- 5 = -1
Ejem
plo
El par (1, 5) es una solución de este sistema
porque:
1x
5y
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''' cybxa
cybxa
• Si ''' c
c
b
b
a
a SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO
Infinitas soluciones
• Si
• Si
''' c
c
b
b
a
a SISTEMA INCOMPATIBLE
No tiene solución
'' b
b
a
a
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Tiene una única solución
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS
TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN-Se despeja una incógnita en una ecuación-Se sustituye esa expresión en la misma incógnita de la otra ecuación
Ejemplo
643
82
yx
yx
yx 28
64)28(3 yy 3y
328 x
2x
-Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Se resuelve ésta.-El valor de esa incógnita se sustituye en la expresión donde estaba despejada la otra incógnita.
TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE RESOLUCIÓN DESISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE IGUALACIÓN-Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones-Se igualan esas dos expresiones
Ejemplo
643
82
yx
yx yx 28
3
4628
yy
3y328 x 2x
-Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Se resuelve ésta.-El valor de esa incógnita se sustituye en cualquiera de las dos expresiones, para calcular el valor de la otra.
3
46 yx
yx 28
TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE RESOLUCIÓN DESISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE REDUCCIÓN (Eliminación de una incógnita)-Se multiplican una o las dos ecuaciones por números de manera que los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos
Ejemplo
643
82
yx
yx
3y832 x 2x
-Se suman esas dos ecuaciones, eliminando así una de las incógnitas
-Se resuelve la ecuación resultante.
643
2463
yx
yx 3por
3010 y
-Se sustituye ese valor en cualquiera de las dos ecuaciones para calcular el valor de la otra incógnita.
TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE RESOLUCIÓN DESISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE DOBLE REDUCCIÓN-Consiste en aplicar el método de reducción a ambas incógnitas
Ejemplo
643
82
yx
yx
3y
2x
b
643
2463
yx
yx 3por
3010 y
643
82
yx
yx
643
1642
yx
yx2por
x5 10
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y gastó en total $ 84.00. Si la diferencia en el costo del cuaderno y del plumón es de $ 6.00.
¿Cuánto le costó cada cuaderno y cada plumón?
¿Qué harías para resolver este problema?
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Si leíste con atención el problema, sabrás que hay 2 incógnitas: el costo de cada cuaderno y el costo de cada plumón.Si representamos con:
p costo de un plumón
c costo de un cuaderno
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c - p = 6 (diferencia entre el costo del cuaderno y del plumón)
Esta información la podemos traducir al lenguaje de las ecuaciones.
5c + 4p = 84 (5 cuadernos + 4 plumones = 84.00)
El resultado es: un Sistema de Ecuaciones
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Un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 consiste en dos ecuaciones de
primer grado con dos variables cada una.
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Resolver un sistema de ecuaciones
significa encontrar los valores de las variables que satisfacen
simultáneamente dichas ecuaciones.
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Para resolverlo existen varios métodos:
Por determinantes
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De sustituciónDe igualación
De suma y resta o Reducción
Gráfico
Con calculadora
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Veamos cómo resolver el problema anterior utilizando algunos de ellos.
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Haz < clic > en cualquiera de las opciones
Gráfico
De sustitución
De igualación
De suma y resta o Reducción
Salir
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Escribimos el sistema de ecuaciones
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Como su nombre lo indica, consiste en despejar una variable de una ecuación y sustituir en la
otra.
5c + 4p = 84 ..........
ecuación 1
c - p = 6 .......... ecuación
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a)Despejamos la variable “c” (incógnita) de la ecuación 2 utilizando las propiedades de la igualdad. (Se puede despejar cualquier variable de cualquiera de las 2 ecuaciones). c – p = 6
c = 6 + p ...... ecuación 3
5 (6 + p) + 4p = 84
b) Sustituimos la ecuación 3 en la ecuación 1
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c) Resolvemos la ecuación resultante.
SimplificamosReducimos
Despejamos
p = 6
5 (6 + p) + 4p = 84 30 + 5p + 4p = 84
30 + 9p = 84 9p = 84 – 30 9p = 54 p = 54 9
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d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación 3.
c = 6 + pc = 6 + 6
c = 12
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e) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo los valores encontrados por las variables en las ecuaciones 1 y 2. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos.
Ecuación 1 Ecuación 2
20
5c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = 84 60 + 24 = 84
84 84
c + p = 612 + 6 = 6 6 6
Nota Idéntico a
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Esto quiere decir que a Luis le costó $ 12.00 cada cuaderno y $ 6.00 cada plumón.De manera general:Para resolver un sistemas de ecuaciones por el método de sustitución se hace lo siguiente.
1) Se despeja cualquiera de las variables
en cualquiera de las ecuaciones,
generalmente la más sencilla. 21
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2) Se sustituye la variable despejada
en la otra ecuación.3) Se resuelve la ecuación que
se obtuvo para encontrar el valor de
una variable.4) Una vez encontrado ese valor
se sustituye en la ecuación
despejada y se encuentra el valor de la otra
variable.5) Se comprueba el resultado
obtenido sustituyendo los valores en
las ecuaciones originales. 22Haz <clic aquí> para volver al menú Haz <clic aquí> para salir
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MÉTODO DE IGUALACIÓN
Consiste en despejar una misma variable de las dos ecuaciones, igualar ambas para obtener una ecuación con una sola variable y resolverla.
Tomaremos como referencia el problema de
Luis.
23
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a) Escribimos las dos ecuaciones.
5c + 4p = 84 ....... ecuación 1 c - p = 6 ........ ecuación 2
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c - p = 6 c = 6 + p ............... ecuación 4
b) Despejamos la variable (incógnita) “c” en las 2 ecuaciones.
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5c + 4p = 84 5c = 84 – 4p c = 84 – 4p ............. ecuación 3 5
ecuación 1
ecuación 2
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c) Se igualan las 2 expresiones.
84 – 4p = 6 + p 5
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d) Resolvemos la ecuación.
84 – 4p = 6 + p 5 84 – 4p = 5(6 + p) 84 – 4p = 30 + 5p-4p – 5p = 30 – 84
-9p = -54
p = -54 -9
p = 627
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c = 6 + pc = 6 + 6
e)Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones despejadas (inciso b). Generalmente la más sencilla.
28
c =c = 12
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Nota
f) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo en las ecuaciones originales estos valores. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos.
Ecuación 1 Ecuación 2
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5c + 4p = 845(12) + 4(6) = 84 60 + 24 = 84 84 84
c + 4 = 612 + 6 = 6 6 6Idéntico
a
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Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00 cada cuaderno y $6.00 cada plumón.
Para resolver un sistema 2x2 de ecuaciones lineales por el método de igualación seguimos estos pasos.
De manera general:
30
1) Despejamos la misma variable en cada
ecuación.
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5) Se comprueban los resultados
sustituyéndolos en las ecuaciones
originales.
2) Igualamos las expresiones que resultan.
3) Se resuelve la ecuación para obtener
el valor de una variable.4) Se sustituye el valor anterior
en cualquiera de las 2 ecuaciones
que se despejaron para encontrar el valor
de la otra variable.
31Haz <clic aquí> para volver al menú Haz <clic aquí> para salir
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Se suman o se restan ambas ecuaciones de modo que la expresión resultante tenga una sola variable, se resuelve y se comprueba.
MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE REDUCCIÓN.
Tomando como referencia el problema de Luis, tenemos:
32
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a) Escribimos el sistema de ecuaciones.
5c + 4p = 84 ....... ecuación 1
c – p = 6 ....... ecuación 2
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b) Analizamos las 2 ecuaciones para buscar qué variable es más fácil eliminar, por suma o por resta. Como en este caso la variable “p” tiene signos opuestos, multiplicamos la ecuación 2 por 4 para obtener un sistema equivalente al original en el que se pueda sumar ambas ecuaciones:
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5c + 4p = 844c - 4p = 24
c – p = 6 /x44c – 4p = 24
ecuación 2 por 4
Entonces
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
d) Resolvemos la ecuación resultante para obtener el valor de la incógnita “c”
c) Cancelamos “p” al sumar miembro a miembro las 2 ecuaciones.
5c + 4p = 844c - 4p = 249c = 108
9c = 108 c = 108 9
c = 12
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e) Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales (generalmente la más sencilla) y resolvemos.
c - p = 6 12 - p = 6 - p = 6 - 12 - p = - 6 -1 (-p = - 6)
sustituimos en la ecuación 2resolvemos
37
p = 6
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f) Comprobamos las 2 soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones originales. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son correctos.
Ecuación 1
Ecuación 2
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5c + 4p = 845(12) + 4(6) = 84 60 + 24 = 84 84 84
c - p = 612 - 6 = 6 6 6
Nota Idéntico a
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En el siguiente diagrama se señalan los pasos para resolver un sistema de 2 ecuaciones por el método de suma y resta o reducción.
Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00 cada cuaderno y $6.00 cada plumón.
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De manera general:
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INICIO
Observa los coeficientes de las variables.
¿Alguna variable tiene
coeficientes simétricos?
Suma las ecuaciones.
Resuelve la ecuación que resulte para encontrar el valor de una variable.Sustituye la variable conocida por su valor en una de las ecuaciones originales y encuentra el valor de la otra variable.
FIN
¿Alguna variable tiene
coeficientes iguales?Resta las
ecuaciones.
Multiplica una o ambas ecuaciones por un número para obtener coeficientes simétricos en alguna de las variables.
NO
SÍ NO
SÍ
¡Es muy fácil! Sólo sigue las
flechas y encontrarás la
solución
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** El método gráfico se utiliza generalmente para sistemas con soluciones enteras, por motivos de precisión.
MÉTODO GRÁFICO
Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con 2 variables significa encontrar el punto (x, y) en el cual se intersectan las 2 rectas. Ese punto (x, y) es la solución.
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Compró 5 cuadernos y 4 plumones pagando $84.00. La diferencia de costos entre un cuaderno y un plumón es de $6.00. ¿Cuánto costó cada artículo?
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Para ver este método recordaremos el problema de Luis:
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a)Traducimos a lenguaje algebraico esta
información. (en este caso x = costo de un cuaderno, y = costo de un plumón).
5x + 4y = 84 ...... ecuación 1 x - y = 6 ...... ecuación 2
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x - y = 6 -y = 6 – x (-y = 6 – x) (-1) y = -6 + x
b) Despejamos “y” en las 2
ecuacionesEcuación 1 Ecuación 2 5x + 4y = 84 4y = 84 – 5x y = 84 – 5x 4
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Ecuación 2
y = - 6 + x
c) Asignamos valores a la “x” en ambas ecuaciones y tabulamos. Se construye una tabla para cada ecuación.
Ecuación 1 y = 84 – 5x 4
45
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y = 84 – 5(16)/4 = 84 – 80/4 = 4/4 =
1
Ecuación 1 y = 84 – 5x 4
x y
613.5
8 11
10 8.5
12 6
14 3.5
16 1
46
y = 84 – 5(6)/4 = 84 – 30/4 = 54/4 =
13.5y = 84 – 5(8)/4 = 84 – 40/4 = 44/4
= 11y = 84 – 5(10)/4 = 84 – 50/4 = 34/4
= 8.5y = 84 – 5(12)/4 = 84 – 60/4 =
24/4 = 6y = 84 – 5(14)/4 = 84 – 70/4 = 14/4
= 3.5
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Ecuación 2
y = - 6 + x
x y
6 0
8 2
10 4
12 6
14 8
16 10 y = -6 + 16 = 1047
y = - 6 + 6
= 0y = -6 + 8 =
2y = -6 + 10 =
4y = -6 + 12 =
6y = -6 + 14
= 8
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Intersección
Punto (12, 6)
d) Situamos las parejas de cada ecuación en el mismo plano cartesiano.
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Ecuación 1
Ecuación 2
8
9
10
11
12
13
141516 y
x48
TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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El punto de intersección es (12, 6), esto significa que x=12 y y=6; por lo tanto el costo de un cuaderno (x) es $ 12.00 y el costo de un plumón (y) es $ 6.00.
TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser:
1)Determinado o compatible La solución es un punto (x, y), en
que las rectas se cortan. Como el caso anterior.
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y
x51
Ecuación 1
Ecuación 2
x + y = 4
x + y = 6
ec. 1
ec. 2
2) Incompatible No tiene solución, es decir, no hay intersección porque las rectas son paralelas.
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3) Indeterminado o dependiente. Tiene infinitas soluciones, pues las rectas coinciden en todos los puntos.
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
-3
-2
-1-1
x - y = 3
2x - 2y = 652
x - y = 3
2x - 2y = 6
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