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Revisão sobre Transformada de Laplace
• A transformada de Laplace é definida como:
2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência
0
)()()]([ dtetfsFtfL st
em que: s = σ + jω é uma variável complexa.
Objetivo: Função de TransferênciaEntrada Saída
Sistema
Entrada SaídaSubsistemaSubsistema Subsistema
• O limite inferior da integral significa que, mesmo que f(t) seja descon-tínua em t=0, pode-se começar a integração antes da referido limite, desde que a integral convirja.
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência
• A transformada inversa de Laplace é é dada por:
j
j
stdsesFj
tutfsFL
)(
2
1)()()]([1
onde u(t) = 1, p/ t > 0 ou u(t) = 0, p/ t < 0. (função degrau unitário)
Algumas funções representativas
)(t
)(tu
)(tut n
1
s
1
1
!ns
n
)(tf )(sF )(tf )(sF
)(tue at
as 1
)(sin ttu 22 s
)(cos ttu 22 s
s
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Problema:
2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência
Obter a transformada de Laplace de )()( tuAetf atSolução: como a função f(t) não contém impulsos, pode-se substituir o limite inferior por 0, então:
0
)(
00)()( dteAdteAedtetfsF tasstatst
as
Ae
as
A tas
|0
)(
Teoremas da Transformada de Laplace Teorema da linearidade
)()]([ skFtkfL
)()()]()([ 2121 sFsFtftfL
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência
Teorema do deslocamento de freqüência
)()]([ asFtfeL at
Teorema do deslocamento no tempo
)()]([ sFeTtfL sT
Teorema do fator de escala
a
sF
aatfL
1)]([
Teorema da derivação
n
k
kknnn
n
fssFsdt
fdL
1
1 )0()(
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência
Teorema da integração
s
sFdfL
t )(])([
0
Teorema do valor final
)(lim)(0
ssFfs
Teorema do valor inicial
)(lim)0( ssFfs
Problema:Obter a transformada inversa de Laplace de 2
1 )3/(1)( ssFSolução: utilizando o teorema do deslocamento da freqüência:
)()]([ asFtfeL at
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência
Solução: e que 2/1)]([ sttuL Pode-se concluir que a transformada de:
2)/(1)]([ asttueL at
assim; )()( 31 ttuetf t
Expansão em Frações Parciais
• Para obter a transformada inversa de Laplace de funções mais complicadas, pode-se convertê-la em uma soma de termos simples, cujas transformadas são conhecidas.
Se F(s) = N(s)/D(s), onde a ordem de N(s) é inferior a ordem de D(s), então é possível fazer um expansão em frações parciais.
Se N(s) possuir ordem superior a ordem de D(s), deve-se dividir N(s) por D(s), sucessivamente, até que o resto tenha um numerador, com ordem inferior ao denominador.
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Expansão em Frações Parciais
Por exemplo, se:
5
762)(
2
23
1
ss
ssssF
Efetua-se a divisão de N(s) por D(s), o que resulta em:
5
21)(
21
ssssF
Aplicando-se a tabela de transformada inversa de Laplace:
5
2)(
)()(
21
1 ssLt
dt
tdtf
O termo restante pode agora ser expandido em frações parciais com será apresentado a seguir.
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Caso 1: Raízes reais e distintas
2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência
Considere:)2)(1(
2)(
sssF
A função F(s) em frações parciais como:
)2()1()2)(1(
2)( 21
s
k
s
k
sssF
onde k1 e k2 são denominados de resíduos da expansão.
Para obter k1, multiplica-se F(s) por (s+1), ou seja:
)2(
)1(
)1(
)1(
)2)(1(
)1(2)( 21
s
sk
s
sk
ss
ssF
Agora, fazendo s = -1, 2)21(
21
k
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 1: Raízes reais e distintas
Analogamente para k2, 2)12(
22
k
Substituindo k1 e k2 em F(s) e aplicando a Tabela da transformada de Laplace, obtém-se que:
)()22()( 2 tueetf tt
Generalizando,
))...()...()((
)(
)(
)()(
21 nm pspspsps
sN
sD
sNsF
)(...
)(...
)()( 2
2
1
1
n
n
m
m
ps
k
ps
k
ps
k
ps
k
Se a ordem de N(s) for inferior à ordem de D(s).
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 1: Raízes reais e distintas
Para calcular cada um dos resíduos, faz-se:
))...()...()((
)()()()(
21 nm
mm pspspsps
sNpssFps
)(
)(......
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
n
nmm
mm
ps
kpsk
ps
kps
ps
kps
Fazendo s = -pm, o termo km pode ser determinado como:
mpsnm
m kpspspsps
sNpsm
|
))...()...()((
)()(
21
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Problema
Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y(t) utilizando Laplace. Admita condições iniciais nulas.
)(3232122
2
tuydt
dy
dt
yd
Solução: aplicando Laplace, obtém-se,
)3212(
32)(
32)(32)(12)(
22
ssssY
ssYssYsYs
Conseqüentemente:
)8()4()8)(4(
32
)3212(
32)( 321
2
s
k
s
k
s
k
sssssssY
onde, 1)8)(4(
32 |01
sssk 22 k 13 k, e
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência
Solução: portanto,
)()21()()8(
1
)4(
21)( 84 tueety
ssssY tt
Caso 2: Raízes reais e repetidas
Seja: 2)2)(1(
2)(
sssF
A expansão da função F(s) em frações parciais é
)2()2()1()2)(1(
2)( 3
221
2
s
k
s
k
s
k
sssF
Na expressão acima, k1 = 2 pode ser obtido da forma convencional. K2 pode ser obtido como segue:
)2(
)2(
)2(
)2(
)1(
)2(
)2)(1(
)2(2 23
2
22
21
2
2
s
sk
s
sk
s
sk
ss
s
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 2: Raízes reais e repetidas
O que resulta em:
Genericamente:
)2()1(
)2(
)1(
232
21
skks
sk
s
fazendo s = -2, obtém-se k2 = -2. Para obter k3, deriva-se a expressão acima em relação a s,
321
2 )1(
)2(
)1(
2k
s
ssk
s
atribuindo s = -2; k3 = -2. Desta forma:
ttt eteesss
L 222
1 222)2(
2
)2(
2
)1(
2
))...(()(
)(
)(
)()(
21 nr pspsps
sN
sD
sNsF
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 2: Raízes reais e repetidas
Ou seja:
Para determinar k1 a kr, determina-se F1(s) dada por:
)(...
)(...
)(...
)()( 2
1
11
1
2
1
1
n
nrrrr ps
k
ps
k
ps
k
ps
k
ps
k
rr
nr
r
kpskpskpskpspsps
pssN 113
21211
21
1 )(...)()())...(()(
))((
)()(
)(...
)(
)(1
1
2
11 sFps
psk
ps
psk
n
rn
rr
k1 pode ser determinado, fazendo s = -p1. k2 a kr é obtido por:
1!0;,...,2,1)(
)!1(
1 |1
11
1
rids
sFd
ik
psi
i
i
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias
Seja:
Esta função pode ser expandida como:
k1 é obtido pelo método habitual, ou seja; k1 = 3/5. Para obter k2 e k3, faz-se:
)52(
3)(
2
ssssF
)52()52(
32
3212
ss
ksk
s
k
sss
)52(
)52()()52(
)52(
)52(32
232
21
2
2
ss
sssksk
s
sssk
sss
sss
Substituindo k1 = 3/5 e simplificando as frações, obtém-se:
3
5
6
5
33 3
22 sksk ,0
5
32
k 0
5
63
k
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias
Desta forma; k2 = -3/5 e k3 = -6/5. Assim,
)52(
2
5
35/3
)52(
3)(
22
ss
s
sssssF
22)(
)(]cos[
as
asAtAeL at
Adicionando os dois termos:
Por Tabela, obtém-se que:
22)(]sin[
as
BtBeL at
22)(
)(]sincos[
as
BasAtBetAeL atat
Reescrevendo F(s) como:
22 2)1(
)2)(2/1()1(
5
35/3)(
s
s
ssF
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias
Comparando com a expressão anterior, obtém-se que:
ttetf t 2sin
2
12cos
5
3
5
3)(
Fazendo: e ,
Utilizando-se identidades trigonométricas,
ttetc t 2sin
)2/1(1
2/12cos
)2/1(1
1)2/1(1
5
3
5
3)(
2222
22
cos)2/1(1/1 22 sin)2/1(1/)2/1( 22
ttetc t 2sinsin2coscos)2/1(15
3
5
3)( 22
ou onde)2cos(671.06.0)( tetc t 57.265.0tan 1
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias
Generalizando:
Forma alternativa:
...)()()...)((
)(
)(
)()(
232
1
12
1
bass
ksk
ps
k
bassps
sN
sD
sNsF
)21(21)52(
3)( 321
2 js
k
js
k
s
k
ssssF
k1 e k2 são determinados na forma convencional e k3 é o complexo conjugado de k2, ou seja:
21
2
21
2
20
35/3)(
js
j
js
j
ssF
donde, tjtj ejejtf )21()21( )2()2(20
3
5
3)(
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias
Como: e
Pode-se reescrever f(t) como,
cos2
jj ee
Utilizando as definições de cosseno e seno acima,
onde:
j
eeeeetf
tjtjtjtjt
22
24
20
3
5
3)(
2222
sin2
j
ee jj
)2cos(671.06.02sin2
12cos
5
3
5
3)(
tettetf tt
57.265.0tan 1 É importante observar que os resíduos da expansão são números complexos.
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Função de Transferência
Considere a representação de sistema mostrada a seguir:
onde c(t) é a saída e r(t) é a entrada. Por Laplace,
)...( 01
1 bsbsb mm
mm
)(...)()(
)(...)()(
01
11
01
11 trb
dt
trdb
dt
trdbtca
dt
tcda
dt
tcda
m
mm
m
mm
n
nn
n
nn
)(sR
)...( 01
1 asasa nn
nn
)(sC
A forma geral da Eq. diferencial de ordem n linear e invariante no tempo,
)(...)()( 0
11 sCasCsasCsa n
nn
n termos de condição inicial de c(t)
)(...)()( 0
11 sRbsRsbsRsb m
mm
m termos de condição inicial de r(t)
Admitindo-se, condições iniciais nulas:)()...()()...( 0
110
11 sRbsbsbsCasasa m
mm
mn
nn
n
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Função de Transferência
Escrevendo a saída C(s) em função de R(s), obtém-se:
A relação de polinômios acima G(s), denomina-se de Função de Transferência e o seu cálculo é feito com condições iniciais nulas.
)...(
)...()(
)(
)(
01
1
01
1
asasa
bsbsbsG
sR
sCn
nn
n
mm
mm
Solução: Aplicando Laplace,
Problema:Obter a função de transferência representada por:
)()(2)(
trtcdt
tdc
2
1
)(
)()()()(2)(
ssR
sCsGsRsCssC
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Resposta do Sistema a partir da Função de Transferência
Solução: Aplicando Laplace,
Problema:Obter a resposta de c(t), a uma entrada r(t) = u(t) de:
)()(2)(
trtcdt
tdc
)2(
1)()()(
sssGsRsC
Expandindo em frações parciais, obtém-se
2
2/12/1)(
sssC
Finalmente, aplicando a transformada inversa de Laplace,
tetc 2
2
1
2
1)(
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedâncias
Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga Impedância Admitância
Resistor
Indutor
Capacitor
t
odi
Ctv )(
1)(
dt
tdvCti
)()( )(
1)( tq
Ctv
sC
1sC
)()( tRitv )(1
)( tvR
ti dt
tdqRtv
)()( R
R
1
dt
tdiLtv
)()(
t
odv
Lti )(
1)( 2
2 )()(
dt
tqdLtv sL
sL
1
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Problema: Método das Malhas
Obter a função de transferência Vc(s)/V(s) do circuito abaixo
+-v(t)
L R
C+
-vC(t)
i(t)
Solução: Somando as tensões,
t
diC
tRidt
tdiLtv
0
)(1
)()(
)(
Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas:
)(1)()(
)(2
2
tqCdt
tdqR
dt
tqdLtv
Como q(t)= CvC(t),
)()()(
)(2
2
tvdt
tdvRC
dt
tvdLCtv C
CC
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
Resulta em:
1
1
)(
)()(1)(
22
RCsLCssV
sVsVRCsLCssV C
C
Método da Transformada de Laplace
+-V(s)
sL R
+
-VC(s)
I(s)
sC1__
)(1
)( sIsC
RLssV
Resolvendo em função de I(s)/V(s),
sCRLssV
sI1
1
)(
)(
como:1
1
)(
)(1)()(
2
RCsLCssV
sV
sCsIsV C
C
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
+-V(s)
sL R
+
-VC(s)
I(s)
sC1__
0)()(
/1
)(
LsR
sVsV
sC
sV CC
Método dos Nós
1 2
0
Solução: Somando as correntes:
Circuitos complexos: Malhas
1. Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias.
2. Substituir as fontes pelas suas respectivas no domínio s.
3. Arbitrar o sentido das correntes.
4. Escrever as leis de Kirchhoff das tensões para cada malha.
5. Resolver o sistema de equações.
6. Elaborar a função de transferência.
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT I2(s)/V(s)
v(t) L+- C
+
-vC(t)
i (t)1 i (t)2
R1 R2
Solução: Resolvendo as malhas,
)()()()( 2111 ssLIssLIsIRsV
)(1
)()(0 2222 sIsC
sIRssLI
)(1 ssLI
• Combinando os termos:
)()()()( 211 ssLIsIsLRsV
)()1
()(0 221 sIsC
RsLssLI
• Na forma matricial, resulta em:
)(
)(1
0
)(
2
1
1
1
sI
sI
sCRsLsL
sLsLRsV
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT I2(s)/V(s)
Usando a regra de Cramer
onde:
Assim a FT é dada por:
)(0
)(
)(
1
2
ssLVsL
sVsLR
sIV(s) sL+- 1/sC
+
-VC(s)
I (s)1 I (s)2
R1 R2
sCRsLsL
sLsLR1
1
1
sL
sV
sIsG
)(
)()( 2
1212
21
2
)()( RsLCRRLCsRR
LCs
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Padrão de Solução:
1/sL sC+
-
VC(s)
G1
G2
V(s)G1
VL (s) Solução: Resolvendo os nós,
)(1
)()( 11 sVsL
sVGGsV LL
)]()([2 sVsVG CL
)]()([)(0 2 sVsVGssCV CLC
Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT VC(s)/V(s)
Soma dasimpedâncias da
malha 1
Soma dasimpedânciascomuns asmalhas 1 e 2
Soma dastensões da
malha 1I1(s) I2
(s)= -
Soma dasimpedâncias da
malha 2
Soma dasimpedânciascomuns asmalhas 1 e 2
Soma dastensões da
malha 2I1(s) I2
(s)= - +
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacionais: Características
-
+
A
+V
-V
v0(t)
+v1(t)
+v2(t)
1. Entrada diferencial, v2(t)-v1(t).
2. Elevada impedância de entrada.
3. Baixa impedância de saída.
4. Elevado ganho de amplificação
A saída vo(t) é dada por:
))()(()( 120 tvtvAtv Amplificador operacional inversor
-
+
AV0 (s)V1(s)
gnd
Z2(s)
Z1(s)
I1(s)
I2(s)Vi (s)
Pela lei de Kirchhoff,
)()(0)()()( 2121 sIsIsIsIsIa
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador operacional inversor
-
+
AV0 (s)V1(s)
gnd
Z2(s)
Z1(s)
I1(s)
I2(s)Vi (s)
Como o ganho A é elevado,
)(
)()(0)(
111 sZ
sVsIsV i
Igualando as duas correntes,
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
20
12
0
sZ
sZ
sV
sV
sZ
sV
sZ
sV
i
i
Amplificador operacional não inversor-
+
AV0 (s)
V1(s)
gnd
Z2(s)
Z1(s)
Vi (s)A tensão de saída Vo(s) é dada por:
))()(()( 10 sVsVAsV i
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
)()()(
)()( 0
21
11 sV
sZsZ
sZsV
Amplificador operacional não inversor
-
+
AV0 (s)
V1(s)
gnd
Z2(s)
Z1(s)
Vi (s)
Usando a divisão de tensão,
Substituindo na Eq. anterior,
))()(/()(1)(
)(
211
0
sZsZsAZ
A
sV
sV
i
Para valores elevados de A, resulta em:
)(
)()(
)(
)(
1
210
sZ
sZsZ
sV
sV
i
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação
Componente Força-velocidade Força-deslocamento Impedância
t
odvKtf )()( )()( tKxtf K
)()( tvftf vdt
tdxftf v
)()( vsf
dt
tdvMtf
)()(
2
2 )()(
dt
txdMtf Ms2
Mola
x(t)
f(t)
Amortecedor
x(t)
f(t)
x(t)
M
Massaf(t)
Relações força-velocidade, força-deslocamento e impedância
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação
Problema: Obter a FT X(s)/F(s) do sistema abaixox(t)
M
fv
K
f(t) M
X(s)
F(s))(sXsfv
)(sKX
)(2 sMXs
Solução: Utilizando a Lei de Newton,
)()()()(2
tftKxdt
tdxf
dt
txdM v
Aplicando Laplace para condições iniciais nulas,
)()()()()()()( 22 sFsXKsfMssFsKXsXsfsMXs vv
Consequentemente, a FT é KsfMssF
sX
v
2
1
)(
)(
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação
Problema: Obter a FT X2(s)/F(s) do sistema abaixo
Solução: Fazendo o diagrama de forças de cada bloco,
fv2
f(t)K2
K1
K3
x (t)1 x (t)2
fv1
fv3 M2M1
M1 M2
)()( 121 sXKK
)()( 232 sXffs vv )(sF)(11
2 sXMs
)(22 sXK
)(23 sXsfv )(13 sXsfv
)(12 sXK
)(222 sXMs
)()( 131 sXffs vv )()( 232 sXKK
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação
Escrevendo as equações de cada massa, obtém-se que:
)()()()()]()([ 2231213112 sFsXKsfsXKKffsMs vvv
0)()]()([)()( 2323222
123 sXKKffsMssXKsf vvv
A matriz que relaciona a entrada com as saídas é dada por:
)]()([)(
)()]()([
323222
23
23213112
KKffsMsKsf
KsfKKffsMs
vvv
vvv
)(
)(
)()( 232 Ksf
sF
sXsG v
Conseqüentemente, a FT requerida é:
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Problema: Escrever, mas não resolver o sistema abaixo.
fv4
f(t)
K2K1
x (t)1 x (t)2
fv1
M2
M3
fv3
M1
fv2
x (t)3
Escrevendo as equações de cada massa, obtém-se que:
0)()()()]()([ 33221213112 sXsfsXKsXKKffsMs vvv
)()()(])([)( 34224222
12 sFsXsfsXKffsMssXK vvv
0)()]([)()()()( 34332
2413 sXffsMssXssfsXssf vvvv
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Rotação
Componente Força-velocidade Força-deslocamento Impedância
t
odKtT )()( )()( tKtT K
)()( tDtT dt
tdDtT
)()(
sD
dt
tdJtT
)()(
2
2 )()(
dt
tdJtT
Js2
Relações torque-velocidade, torque-deslocamento e impedância
Mola
T(t) (t)
Amortecedor
(t)T(t)
Inércia
J
(t)T(t)
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Rotação
Problema: Obter a FT θ2(s)/T(s) do sistema abaixo
Solução: Escrevendo as expressões para o torque:
)()()()( 21112 sTsKsKsDJs
0)()()( 2222
1 sKsDJssK
A partir das Eqs. Acima, obtém-se que:
K
sT
ssG
)(
)()( 2
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Rotação
KsDJsK
KKsDJs
222
112Em que:
Problema: Escrever, mas não resolver o sistema abaixo.
Escrevendo as equações para cada massa, obtém-se que:)()(0)()()( 32111
2 sTssKsKsDJs 0)()()()( 32222
21 ssDsKsDJssK
0)()]([)()(0 32332
221 sDDsJsssDs
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Considere o sistema com engrenagens abaixo:
Com base na Fig. ao lado:
2211 rr ou
2
1
2
1
1
2
N
N
r
r
Admitindo que o sistema é conservativo,
1
2
2
1
1
22211 N
N
T
TTT
Portanto, os torques são diretamente proporcionais à relação do número de dentes das engrenagens.
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Considere o sistema com engrenagens abaixo:
O torque pode ser refletido para outro lado da engrenagem, como mostrado na Fig. (b)
As impedâncias mecânicas, também podem ser refletidas para o lado oposto ao da engrenagem, mediante a relações dos dentes das engrenagens.
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Generalizando, pode-se afirmar o seguinte:
• As impedâncias mecânicas de rotação podem ser refletidas por meio de trens de engrenagens, multiplicando-se as mesmas por:
Número de dentes daEngrenagem do eixo destino
Número de dentes daEngrenagem do eixo origem
2
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico
Considere o diagrama esquemático do motor CC dado por:
• Em que a f.e.m. é dada por:
dt
tdKtv m
bb
)()(
Por Laplace,
)()( ssKsV mbb
• A relação ia/ea é dada por:
)()()()( sVsIsLsIRsE baaaaa
• O torque produzido pelo motor,
)(1
)()()( sTK
sIsIKsT mt
aatm
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico
Substituindo o valor de Ia e Vb em Ea, obtém-se que
)()()(
)( ssKK
sTsLRsE mb
t
maaa
A relação torque x deslocamento angular é dado por:
)()()( 2 ssDJssT mmmm
O que resulta em: )()())((
)(2
ssKK
ssDJssLRsE mb
t
mmmaaa
consequentemente, )()()( sEssKDsJK
Rambmm
t
a
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico
Manipulando a expressão anterior, obtém-se que:
A expressão acima pode ser reescrita como:
Para utilização do modelo acima é necessário determinar K e :
a
btm
m
mat
a
m
RKK
DJ
ss
JRK
sE
s
1
)//(
)(
)(
)()(
)(
ss
K
sE
s
a
m
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico
Para isso, deve-se obter, inicialmente, Jm e Dm, como:
e
Escrevendo a expressão acima, em termos dos seus valores médios,
)()()()()()( tKtTK
RtessKsT
K
RsE mbm
t
aambm
t
aa
2
2
1
N
NJJJ Lam
2
2
1
N
NDDD Lam
As constantes elétricas, podem ser obtidas com um dinamômetro, com La = 0, ou seja, Ea = cte.
aa
tm
a
btmmbm
t
aa e
R
K
R
KKTKT
K
Re
A equação acima descreve uma reta em função da velocidade.
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico
Essa reta descreve o comportamento do torque-velocidade da máquina, cujo extremos são:
b
am K
e
• Torque de partida: Tbloq
aa
tbloq e
R
KT )0( m
• Velocidade em vazio: vazio
consequentemente,
a
bloq
a
t
e
T
R
K e
m
ab
eK
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Linearização
Algumas não linearidades
1. Reconhecer o componente não linear (Eq. diferencial).2. Linearizar o sistema para pequenos sinais em torno do equilíbrio.3. Aplicar a transformada de Laplace na Eq. Linearizada.
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Linearização
• Se o sistema deve operar no ponto A,
)()]()([ 00 xxmxfxf a
de onde: xmxf a )(e portanto,
)()()( 00 xxmxfxf a
onde o novo conjunto de eixos, x e f(x) são criados no ponto A.
xmxf a )( 0
Procedimento: considere o gráfico abaixo:
ou
!1
)(|)()( 0
0 0
xx
dx
dfxfxf xx
...!2
)(|
20
2
2
0
xx
dx
fdxx