Solicitación por Torsión Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos
El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Gabriel Pujol
Año de edición 2016
Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
SOLICITACIÓN POR TORSIÓN 3
PLANTEO DEL PROBLEMA DEL TORSIÓN 3 TENSIONES PRINCIPALES 4 TORSIÓN CIRCULAR RECTA 5 MÓDULO DE ELASTICIDAD TRANSVERSAL 6 ECUACIÓN DE DEFORMACIÓN 6 ECUACIÓN DE RESISTENCIA 7 CÁLCULO DE ÁRBOLES DE TRANSMISIÓN 7 CÁLCULO DEL ÁRBOL EN FUNCIÓN DEL ÁNGULO DE TORSIÓN 8 TORSIÓN DE ELEMENTOS DE SECCIÓN NO CIRCULAR 17 ENERGÍA POTENCIAL DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA EN TORSIÓN 18
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 28
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Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12
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Solicitación por Torsión
Planteo del Problema del Torsión
Una sección está solicitada por torsión cuando, al reducir a su baricentro los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido, sólo se obtiene un par que yace en el plano de la sección.
En este caso, las condiciones de equivalencia planteadas a partir del equilibrio de un sólido de alma llena resultan ser:
1
0
0
0
0
0
F
F
F
xzxyT
F
xz
F
xy
F
dFy
dFz
dFyzM
dF
dF
dF
Desarrollando las soluciones correspondientes a secciones para las cuales es válida la hipótesis de Coulomb, a saber:
Sección circular llena.
Sección circular hueca.
Secciones tubulares de pared delgada, simple y múltiplemente conexas.
La hipótesis de Coulomb establece que:
Las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí mismas, luego de la deformación por torsión.
Luego de la deformación, las secciones mantienen su forma.
Como corolario de lo anterior resulta que las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida.
Finalmente, al girar las secciones manteniéndose planas, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices de paso muy grande.
Admitamos por un momento la existencia de tensiones normales, o sea: x 0, de ser ello cierto, la
distribución de las tensiones normales sobre la sección no podría ser uniforme, porque en tal caso resultaría:
00 F
xx dFcte
y no se satisfaría la primera de las ecuaciones (1). Para que ello ocurra, x debería ser variable, su
distribución simétrica con respecto al centro de la sección y, además tendría que haber cambio de signo
de las tensiones. Pero, de ser así, las deformaciones específicas no serían constantes, la sección se
alabearía y no cumpliría con la primera de las premisas de la hipótesis de Coulomb. Por ello, deberá
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cumplirse que: x = 0. Con ello, la primera, quinta y sexta de las ecuaciones (1) resultan idénticamente
nulas.
Sea ahora una sección circular de un sólido prismático de radio R solicitado por un par torsor MT. Hemos visto que en la sección sólo se originan tensiones tangenciales que deberán satisfacer las ecuaciones (1). Para ello, es necesario que exista una distribución antimétrica de las tensiones a lo largo de los diámetros de la sección.
Admitamos por un momento una distribución de tensiones a lo largo de un diámetro como la que muestra la figura (a).
De acuerdo con esta hipótesis sobre la cara superior del cubo infinitésimo en correspondencia con el
punto B del diámetro considerado, actúa una tensión, de dirección oblicua con respecto al radio.
Dicha tensión puede descomponerse en xy normal al radio y xz dirigida según éste último. Pero, de
acuerdo con el teorema de Cauchy, esta tensión daría origen a una tensión zx en la cara externa del
cubo, debiendo ser: xzzx .
Ahora bien, como por hipótesis la superficie exterior del cilindro se encuentra libre de cargas exteriores, el equilibrio del sistema exige que:
xyxzzx 0
es decir que, para el punto B la tensión tangencial debida al par torsor debe ser normal al radio. En consecuencia, en el elemento inmediato y en todos los sucesivos, las tensiones tangenciales necesariamente deben ser normales al radio.
De lo visto, llegamos a que:
Sólo existen tensiones tangenciales.
Su distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica.
Su dirección es normal al radio.
Tensiones Principales
Sea un cubo elemental ubicado en el borde de una sección circular sujeta a torsión cuyo eje coincide con el eje coordenado x. De acuerdo a lo que hemos visto, en las caras superior e inferior existen tensiones
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xy que originan, conforme al teorema de Cauchy en las caras laterales las correspondientes tensiones
yx, encontrándose libres de tensiones las caras anterior y posterior.
Esta situación se repite para todos los puntos de la superficie del
cilindro, pero con valores ij
decrecientes para los puntos ubicados sobre cilindros interiores concéntricos. Es decir, que todos los puntos del cilindro se encuentran sujetos al estado plano de tensión que se denomina de resbalamiento simple y que se caracteriza por:
xyyx
zx
0
Para este estado de tensiones, las tensiones principales resultan iguales en valor absoluto y de signo contrario, e iguales al valor común de las tensiones tangenciales, o sea:
xyyx 21 y actúa en planos a 45º con los planos de las secciones. (Ver punto 6. “Relación entre Tensiones y Deformaciones” del TP N° 2 “Estados de Tensión y Deformación”).
Torsión Circular Recta
Un sólido trabaja a torsión simple si las fuerzas exteriores situadas a la izquierda de una sección S se reducen a una cupla situada en el plano S. El momento MT de la cupla se denomina momento torsor.
Los árboles de transmisión, los árboles motores de máquinas, etc. Son ejemplos de piezas sometidas a torsión. En lo que sigue limitaremos el estudio de la torsión a la torsión circular recta, es decir a secciones que cumplen con las hipótesis de Coulomb.
Bajo la acción del momento torsor MT se constata que:
El eje geométrico sigue recto.
Las restantes fibras longitudinales se transforman en hélices.
Cualquier sección recta S permanece plana y perpendicular al eje geométrico. Solamente experimenta, en conjunto, una rotación en trono del centro O.
Consideramos que aislamos de una barra torsionada una tajada de longitud unitaria. El ángulo de giro
relativo entre ambas secciones será θ, y como la separación entre las secciones es la unidad, a este
ángulo la denominaremos “ángulo específico de torsión”. Podemos observar que:
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1'AA
además:
RR
RRBB
RR
RR 1'
El ángulo resulta ser el “ángulo de distorsión” de la sección. Debemos tener presente que si el ángulo
θ es pequeño entonces los arcos se confunden con las tangentes, lo que permite establecer ≈ tg .
De acuerdo a la ley de Hooke:
GGR
G R
Se puede apreciar que las tensiones tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección:
RG max
En determinadas circunstancias interesa conocer el valor de la rotación relativa de las secciones extremas
de una barra circular sujeta a torsión. Este ángulo φ se denomina “ángulo de torsión” y resulta ser la
suma de todos los ángulos específicos de torsión entre todas las tajadas elementales de la pieza.
l
Módulo de Elasticidad Transversal
La deformación manifiesta la presencia de fuerzas tangenciales y conforme a resultados
experimentales, puede establecerse entre las deformaciones por torsión y tensiones de corte , una
proporcionalidad lineal:
2 GG
El coeficiente G (kg/cm2) se denomina módulo de elasticidad transversal. Los coeficientes G y E están vinculados por la siguiente relación:
aceroelpara3,0con385,0
12
E
EG
Las tensiones de torsión son proporcionales a la distancia al
centro de la sección; por consiguiente adquiere su máximo valor
en las fibras exteriores del sólido y es nula en el centro.
Ecuación de Deformación
Consideremos un elemento de área dA situado a la distancia
del centro de la sección. La fuerza interior que actúa en él vale
. dA y su momento respecto de O1 es . . dA.
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Para equilibrar el momento torsor MT debe ser:
dAM
dA
dAT
:Momento
:Fuerza
con = G. . θ
torsión)de (ángulo
pero
0
0
0
22
JG
MJGM
JdAdAGdAGM
TT
T
Ecuación de Resistencia
Reemplazando en la ecuación (2), el valor del ángulo de torsión () se tiene:
00 J
M
JG
MGG TT
ecuación sólo válida para secciones circulares, y siendo:
32
4
0
DJ
(Momento Polar para secciones circulares llenas)
se tiene:
44
232
R
Mó
D
M TT
La máxima tensión de torsión corresponde a la capa de fibras exteriores, o sea para 2
D , luego:
3max3max
216
R
Mó
D
M TT
o bien:
RGóDG
maxmax2
Cálculo de Árboles de Transmisión
En la transmisión de fuerza por medio de árboles la torsión resulta del antagonismo entre la cupla motora y la cupla resistente. Así será:
33
1616
Adm
TTAdm
MD
D
M
que fija el diámetro mínimo para resistir un momento torsor MT. Si la potencia (N) se expresa en HP y la frecuencia (n) en rpm, será:
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seg
radny
seg
cmkgNP
307500
y siendo:
n
NPMMP TT 71620
cmn
ND
Adm
37162016
Para árboles huecos resulta:
44
44
0
32
32 dDG
My
dDJ T
D
dmcon
m
MDy
mD
M
Adm
TT
3
443max1
16
1
16
Cálculo del Árbol en función del Ángulo de Torsión
A raíz de las vibraciones que produce la torsión en árboles largos, es necesario impedir la resonancia. La práctica demuestra que se logra mantener bastante altas las frecuencias de las oscilaciones propias
evitando que el ángulo de torsión exceda 1º/4 por cada metro de longitud.
cm
º
400
1º
para introducir esta limitación y evitar problemas de resonancia, debemos proceder como sigue:
º180
º
º360
º
2
y siendo:
000
180º
º180
º
JG
M
JG
M
JG
M TTT
introduciendo el valor de y despejando J0 se tiene:
32
180400 4
00
DJcomoy
G
MJ T
42
18040032
G
MD T
y para G = 800.000 kg/cm2, resulta:
rpmn
HPNcon
n
ND 412
Para árboles huecos será:
D
dmcon
mG
MD
mDJ T
4
42
44
01
18040032
32
1
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Problemas de aplicación
Ejercicio I: Dado la barra cilíndrica de acero sometida a torsión simple, mostrada en la figura cuyos datos se indican, se solicita:
1. Determinar la tensión tangencial máxima y el ángulo de torsión total.
2. Determinar mediante la circunferencia de Mohr los planos principales y sus respectivas tensiones
para un punto del contorno externo de la sección.
Datos: adm = 9 KN/cm2; D = 5 cm; L = 250 cm; MT = 185 KN/cm2; G = 8x103 KN/cm2
Resolución:
1) Determinación de la tensión tangencial máxima (max) y del ángulo de torsión ()
a) Calculo de la tensión tangencial máxima (max)
La tensión tangencial máxima se determina mediante la siguiente expresión:
16
2
32
2
con34
00
0
max
D
D
D
D
JW
W
MT
Siendo:
MT = momento torsor
W0 = módulo resistente polar
D = diámetro de la sección de la barra
J0 = momento de inercia polar
Reemplazando valores se tiene:
233
0
max 54,75
1851616
cm
kN
cm
cmkN
D
M
W
M TT
b) Calculo del ángulo de torsión ()
El ángulo de torsión total para una longitud L de la barra será:
180
0 GJ
LMT
Reemplazando valores se tiene:
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425
180
10832
5
250185180
32 2
3
44
cm
kNcm
cmcmkN
GD
LMT
Las magnitudes calculadas se muestran en la figura:
2) Determinar mediante la circunferencia de Mohr los planos principales y sus respectivas
tensiones (I y II) para un punto del contorno externo de la sección.
Practicando un corte como el indicado puede observarse lo siguiente:
Las tensiones para un punto tal como el A para esos dos planos ortogonales serán:
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2max2max 54,7y54,7cm
kN
cm
kNzttz
La circunferencia de Mohr se muestra en la figura:
Como puede observarse, los planos principales son bisectores (0 = 45°) respecto de los planos principales de corte, que son los de referencia. Además en valor absoluto se cumple que:
2maxmax 54,7cm
kNtzztIII
Ejercicio II: Calcular un árbol de transmisión como el de la figura, con dos apoyos y tres poleas. La polea 2 recibe 100 HP, mientras que la polea 1 toma 40 HP y la polea 3 toma 60 HP. El número de revoluciones es de 175 rpm. Adoptar una tensión
admisible Adm = 120 kg/cm2 y un valor de G = 840.000 kg/cm2.
Resolución:
Los momentos serán:
cmkgn
NM 400.1671620
1
11
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Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 12 Estabilidad IIB – 64.12
cmkgn
NM
cmkgn
NM
600.2471620
000.4171620
3
33
2
22
siendo el tramo más solicitado el tramo de la derecha, tomaremos para dimensionar N = 60 HP y M3 = 24600 kg.cm
cmM
DAdm
1016
33
y siendo:
cm
rad
DG
M
cm
kgG
DJ
JG
MT
000029,032
000.840;32
;
4
3
2
4
0
0
Ejercicio III: Las dos barras de la figura están vinculadas por dos engranajes E1 y E2 en sus extremos “B” y “C”. La barra AB tiene aplicado un momento torsor en su extremo “A” y está soportada verticalmente e “E” y “F”. Estos apoyos le permiten girar libremente alrededor de su eje. La barra CD está empotrada espacialmente en el extremo “D”. Los diámetros de cada una de las barras es de 1” (d = d1 = d2 = 1” = 25,4 mm). Se pide determinar:
a) El ángulo de torsión del punto o extremo “A”.
b) La reacción en el extremo “D”.
Resolución:
a) Cálculo de las reacciones de vínculo:
El engranaje B del eje conductor AB transmite, por medio de la rueda B, al engranaje C del eje conducido CD una fuerza F que podemos calcular como sigue:
1
1R
MFRFM t
t
y el par transmitido al eje conducido será:
2
1
2 RR
MMRFMM t
DDC
b) Cálculo del ángulo torsión absoluta del punto A:
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Estabilidad IIB – 64.12 hoja 13 Curso: Ing. Gabriel Pujol
El ángulo de torsión absoluta lo obtenemos calculando el ángulo de torsión absoluta del eje AB, el giro que transmite la rueda B a la rueda C y el ángulo de torsión absoluta del eje conducido CD.
Así, el ángulo de torsión absoluta del eje CD resulta:
24
2
2
0
4
2
24
20
0
2
32
32
32
2
LdG
M
dxdG
M
dJ
dxJG
M
D
L
D
D
el giro que transmite la rueda C a la B es:
1
2211122
R
RRR
el ángulo de torsión absoluta del eje conductor AB será:
14
10
4
14
10
0 3232,
32
1
LdG
Mdx
dG
M
dJ
dxJG
M
tAB
L
tAB
tAB
por lo que el ángulo de torsión absoluta del punto A resulta ser:
14
1
2
1
3
2
1
3232L
dG
ML
ddG
M tDAABA
Ejercicio IV: De acuerdo con los datos indicados en la figura y para la relación K establecida, se desea
reemplazar un árbol de sección circular maciza por otro de sección anular (anillo circular) del mismo material, que sea capaz de transmitir el mismo momento torsor MT. Se solicita determinar:
1) La relación entre ambos diámetro exteriores (De/D).
2) La economía de material (peso) que se logra.
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Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 14 Estabilidad IIB – 64.12
Resolución:
1) Cálculo de la relación entre los diámetros exteriores (De/D)
a) Para la sección circular maciza será:
16
2
32
2
con34
00
0
max
D
D
D
D
JW
W
MT
Siendo:
MT = momento torsor
W0 = módulo resistente polar de una sección circular maciza
D = diámetro de la sección maciza
J0 = momento de inercia polar
b) Para la sección anular (anillo circular) será:
4
3
4
3
max
11
16
1
16
KD
M
D
DD
M
e
T
e
ie
T
Siendo:
MT = momento torsor
De = diámetro exterior de la sección anular
Di = diámetro interior de la sección anular
K = relación de diámetros (De/D)
Para poder reemplazar una sección por otra, debe cumplirse que ambas secciones tengan las mismas tensiones tangenciales máximas:
adm
e
TT
KD
M
D
M
4
3
3max
11
1616
Reemplazando valores:
0217,10217,19375,01
1
3
3
34
3
D
DD
D
K
DD e
e
2) Cálculo de la economía del material
a) Área de la sección maciza:
4
2DFM
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b) Área de la sección anular:
222
222 11
41
44 K
D
D
DDDDF e
e
ieieA
y siendo: 0217,1
D
De
2221
14
0217,1
K
DFA
y la relación entre áreas resulta:
2773,11
10217,1
1
11
4
0217,1
42
2
222
2
KK
D
D
F
F
A
M
Lo que nos dice que:
%71,21ahorro%29,787829,02773,1 MAMAAM FFFFFF
Ejercicio V: Para el sistema de la figura se pide calcular:
a) Reacciones de vínculo.
b) Diagrama de tensiones tangenciales máximas.
c) Diagrama de los ángulos absolutos de torsión.
d) Diagrama de momentos torsores.
Resolución:
a) Cálculo de las reacciones de vínculo:
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:
ETTA
EATT
T
MMMM
MMMM
M
21
210
0
Además, el ángulo absoluto de torsión para el punto C deberá ser el mismo viniendo tanto por derecha como por izquierda, por ello resulta:
EC
TEETAAAC dx
JG
MMdx
JG
Mdx
JG
MMdx
JG
M
2
2
21
1
1 0000
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas MA y ME.
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Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 16 Estabilidad IIB – 64.12
Ejercicio VI: Sea un acoplamiento para conectar dos ejes macizos como se observa en la figura cuyos diámetros D son iguales. En dicho acoplamiento se emplean cuatro pernos de diámetro d repartidos en una circunferencia de radio Rc. De acuerdo con los datos se solicita calcular la potencia N que puede transmitir este mecanismo cuando gira a una velocidad n siendo la tensión tangencial admisible de los
pernos adm.
Datos: adm = 7 KN/cm2; D = 10 cm; d = 19 cm; RC = 10 cm; n = 150 rpm
Resolución:
a) Cálculo de la potencia N que puede transmitir el mecanismo
En la sección transversal del mecanismo se tienen tensiones
tangenciales zt distribuidas en cada uno de los cuatro pernos de diámetro d. Es decir, los mismos estarán sometidos a un esfuerzo de corte Q como se muestra en la figura.
Partiendo de:
admzt
Se tendrá en cada perno una fuerza de corte Q dada por:
admadm
dQ
dFFQ
44con
22
Siendo MT el momento torsor que producen dichas fuerzas Q para el total de los cuatro pernos:
CadmCadmTCT RdRd
MRQM
2
2
444
Por otra parte el monemto torsor MT que puede transmitir el eje, relacionado con la potencia N y el número de revoluciones n, está dado por la siguiente expresión:
CadmT Rd
n
N
rpmn
cvN
cv
rpmcmKNM
220,71620,716
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cv
rpmcmcm
KNcm
nRdN Cadm 166
20,716
1501079,1
20,716
2
2
2
Torsión de elementos de sección no circular
1. Sección rectangular
Las secciones en barras de sección no circular, durante la torsión no permanecen planas, sino que se curvan (alabean).
Si el alabeo no es restringido, entonces en las secciones transversales no aparecen tensiones normales. Esta torsión se denomina torsión pura o libre.
El cálculo de las tensiones tangenciales en las barras de sección no circular representa un problema que se resuelve por los métodos de la Teoría de la Elasticidad (tema de Estabilidad III). Exponemos a continuación los resultados fundamentales para barras de sección rectangular cuando a > b.
Si la teoría desarrollada por Coulomb para la torsión circular fuera válida para la rectangular, en un punto como el A (ver figura) debería existir una tensión
tangencial A perpendicular al radio vector rA, lo que
daría componentes zx y xy no nulas, apareciendo
tensiones xz y yz exteriores que contradicen la
hipótesis de torsión simple (superficie lateral descargada). La hipótesis de Coulomb no es entonces aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieren al circular.
En la figura se indica la ley de variación de las tensiones tangenciales, pudiendo apreciarse que la tensión tangencial máxima tiene lugar en el centro del lado mayor.
Las tensiones tangenciales máximas y el ángulo específico de torsión pueden calcularse en función del módulo resistente de la sección trasversal de la barra a
la torsión (WT) y del momento de inercia de la sección trasversal de la barra a la torsión (JT) mediante las siguientes expresiones.
maxmaxmax;;
32 zyzxT
T
TT
T
Tzy
Gba
M
GJ
M
ba
M
W
M
Los coeficientes , y , que son funciones de la relación de lados a/b, pueden leerse de la tabla:
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Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 18 Estabilidad IIB – 64.12
En el caso de secciones circulares, JT coincide con J0 (momento de inercia polar de la sección) y WT coincide con el cociente entre J0 y en radio R de la sección. Para otras secciones distintas de las circulares, estos valores vienen tabulados.
2. Secciones abiertas de paredes delgadas
Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la “Analogía de la Membrana”, propuesto por Prandtl (tema de Estabilidad III) y que dice: “las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del cobntorno de la sección, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello, y en el caso de espesor constante t = cte se podrían aplicar las mismas ecuaciones que para el caso de sección rectangular y como:
3
1
3
1
tsm
Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento torsor correspondiente Mt. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión, por lo que se puede plantear:
Gba
Mb
ba
M
ii
Ti
jj
T
i
33
max
3
1;
3
1
Energía Potencial de la Deformación Elástica en Torsión
La energía potencial de la deformación elástica acumulada en la barra durante la torsión se calcula con la siguiente expresión:
dxJG
MU
T
T
2
2
Problemas de aplicación
Ejercicio VII: Para el sistema de la figura se pide calcular:
a) Construir el diagrama de momentos torsores.
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Estabilidad IIB – 64.12 hoja 19 Curso: Ing. Gabriel Pujol
b) La tensión tangencial máxima (max).
c) El ángulo de giro absoluto de la sección A respecto de la C (φA-C).
Datos: d = 4 cm; a = 40 cm, G = 8x105 kgf/cm2; φB-C = 1°
Resolución:
a) Construimos el diagrama de momentos torsores:
Para ello calculamos en el momento empotramiento MC:
MMMMMMM CCT 20320
b) Calculamos el valor del momento torsor (M):
Del ángulo de giro de la sección B respecto de la C se obtiene:
CBCBCB TTT
CBradianesCBJG
aM
JG
aM
JG
aM
32
1801801
180
Como se trata de un tramo donde la sección es cuadrada, de tablas se obtiene para:
444
333
096,364141,0
312,134208,0
141,0
208,01
cmcmdJ
cmcmdW
badba
CB
CB
T
T
y el momento será:
cmkgfcm
cmcm
kgf
a
JGM CBT
4200
401803
096,36108
1803
4
2
5
Por su parte, para el tramo de sección circular será:
3
33
0
4
44
0
566,1216
4
16
2
133,2532
4
32
cmcmd
d
JW
cmcmd
JJ
BA
BA
T
T
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Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 20 Estabilidad IIB – 64.12
c) Calculamos de la tensión tangencial máxima (max):
La sección más comprometida serán las correspondientes al tramo de sección circular dado que es la que soporta el momento torsor máximo MTmax=3M y posee un módulo resistente de la sección trasversal de la barra a la torsión (WT) menor. Por lo tanto será:
23
maxmax 1003
566,12
420033
cm
kgf
cm
cmkgf
W
M
W
M
BABA TT
T
d) Calculamos del ángulo de giro de la sección A respecto de la C (φA-C):
El ángulo de giro de la sección A respecto de la C lo calculamos como sigue:
87,387,21180
133,25108
402420031
180231
4
2
5
cmcm
kgf
cmcmkgf
JG
aM
CA
T
BACBCA
BA
Ejercicio VIII: Dadas dos barras de acero que poseen igual área, siendo una de ellas e sección circular y la otra de sección rectangular, las cuales soportan pares torsores equivalentes y cuyos datos se indican en la figura, se solicita determinar:
1. Las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas.
2. Los ángulos de rotaciones específicos y las relaciones entre los mismos.
3. Las tensiones tangenciales máximas que ocurren en el lado menos de la sección rectangular.
Datos: D = 4 cm; MT = 60 KN.cm; G = 8x103 KN/cm2
Resolución:
1) Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas
a) Barra de sección circular maciza
La tensión tangencial máxima será:
Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 21 Curso: Ing. Gabriel Pujol
23max3max 77,44
601616
cm
KN
cm
cmKN
D
MCC
T
b) Barra de sección rectangular maciza (h = 2b)
Siendo ambas barras de igual área será:
cmh
cmb
Dbbb
DFF RC
5
5,2
82
4
22
En este caso la tensión tangencial máxima max(R) ocurrirá en el punto medio R del contorno externo del lado mayor h como se observa en la figura:
*max
T
T
W
MR
Siendo WT
* el módulo resistente polar equivalente
2* bh
WT
Siendo un coeficiente que depende de la relación (h/b) y que se obtiene de tablas:
Para h/b = 2 será:
795,0
37,4
07,4
y reemplazando valores:
23*max
3
2
*
81,768,7
60
68,707,4
5,25
cm
KN
cm
cmKN
W
M
cmcmcm
W
T
T
T
R
c) Relación entre ambas tensiones
64,1
77,4
81,7
2
2
max
max
cm
KN
cm
KN
K
C
R
Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 22 Estabilidad IIB – 64.12
Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) la tensión tangencial máxima en la sección rectangular es aproximadamente un 64% superior a la correspondiente a la sección circular.
2) Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre ambos
a) Barra de sección circular maciza
El ángulo de torsión específico será:
cm
rad
cmcm
KN
cmKN
DG
M
JG
M TTC
3
4
2
34
0
102984,0
4108
603232
b) Barra de sección rectangular maciza (h = 2b)
*
t
TR
JG
M
Siendo JT
* el módulo de inercia polar equivalente
3* bh
JT
Siendo un coeficiente que depende de la relación (h/b) y que se obtiene de tablas y reemplazando valores:
cm
rad
cmcm
KN
cmKN
JG
M
cmcmcm
J
T
TR
T
3
4
2
3*
4
3
*
104195,0
88,17108
60
88,1737,4
5,25
c) Relación entre ambos ángulos de torsión específicos
41,1
102984,0
104195,0
3
3
cm
rad
cm
rad
KC
R
Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) el ángulo de torsión específico en la sección rectangular es aproximadamente un 41% superior a la correspondiente a la sección circular.
3) Cálculo de la tensión tangencial máxima en el lado menor de la sección rectangular
Como se observa en la figura, la tensión tangencial
máximamax(K) en el lado menor b de la sección rectangular está ubicado en el punto medio K y está dado por la siguiente relación:
Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 23 Curso: Ing. Gabriel Pujol
*maxmax
T
T
W
MRK
y reemplazando valores:
23max 21,668,7
60795,0
cm
KN
cm
cmKNK
Ejercicio IX: Dos barras de acero de iguales dimensiones, las cuales están construidas con un anillo circular de pequeño espesor, siendo una de ellas de contorno cerrado y la otra abierta, se encuentran sometidas a pares torsores equivalentes según se observa en la figura. Se solicita determinar en ambos casos:
1. Las tensiones tangenciales y las relaciones entre las mismas
2. Los ángulos específicos de torsión y sus relaciones
Datos: Rm = 10 cm; e = 1 cm; MT = 200 KN.cm; G = 8x103 KN/cm2
Resolución:
1) Cálculo de las tensiones tangenciales
a) Barra de contorno abierto
La tensión tangencial máxima será:
22max
2max
55,918,62
2003
8,621022siendo3
cm
kN
cmcm
cmkN
cmcmRSeS
M
A
A mT
b) Barra de contorno cerrado
Siendo el área encerrada por el contorno medio; la tensión tangencial máxima será:
Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 24 Estabilidad IIB – 64.12
22max
222
max
3185,013142
200
31410siendo2
cm
KN
cmcm
cmKN
cmcmRe
M
C
C mT
2) Relaciones entre ambas tensiones tangenciales máximas
La relación entre ambas tensiones tangenciales será:
30
3185,0
55,9
2
2
max
max
cm
kN
cm
kN
KC
A
3) Cálculo de los ángulos específicos de torsión
a) Barra de contorno abierto
Siendo S la longitud del contorno medio de la sección; el ángulo específico de torsión será:
cm
rad
cmcmcm
kN
cmkN
cmcmRSeSG
M
A
mT
A
3
3
2
3
3
10194,1
18,62108
2003
8,621022siendo3
b) Barra de contorno cerrado
Siendo el área encerrada por el contorno medio de la sección; la tensión tangencial máxima será:
cm
rad
cmcmcm
kN
cmkN
eRG
M
e
R
RG
M
RSRS
e
G
M
C
m
Tm
m
TC
mmT
C
3
3
2
3
342
2
2
10004,0
1101082
200
2
2
4
2ysiendo4
4) Relaciones entre ambos ángulos específicos de torsión
La relación entre ambos ángulos específicos de torsión será:
30057,298
10004,0
10194,1
3
3
cm
rad
cm
rad
KC
A
Como se observa, para el problema planteado max (A) es 30 veces superior a max (C), mientras que (A) es
300 veces superior a (C). Como conclusión, a igualdad de condiciones, la rigidez de a la torsión de un
Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 25 Curso: Ing. Gabriel Pujol
anillo circular cerrado es notablemente superior al caso en que el mismo estuviese abierto, es decir, con una pequeña ranura a lo largo de su generatriz. Se deduce, entonces, la conveniencia de utilizar secciones anulares cerradas en lugar de abiertas.
Ejercicio X: Dado el perfil de hacer que se observa en la figura, el cual se encuentra empotrado en su
extremo izquierdo y cargado en el derecho con la carga P actuante en el punto A. Se solicita determinar por efecto del par torsor:
1. Las tensiones tangenciales máximas que se general en las alas y en el alma del mismo.
2. El ángulo de torsión total ().
3. Asumiendo la misma longitud para el contorno medio y que tanto el par torsor como el ángulo total
de torsión sean los oportunamente calculados en los puntos (1) y (2), determinar la magnitud del
espesor e del perfil en el caso que el mismo fuese constante (e1 = e2 = e3 = e).
Datos: h = 26 cm; b1 = 18 cm; b2 = 14 cm; e1 = 1 cm; e2 = 0,4 cm; e3 = 0,8 cm; l = 80 cm; P = 5 KN; G = 8x103 KN/cm2
Resolución:
1) Cálculo de las características geométricas de la sección
a) Cálculo del baricentro de la sección:
Con referencia a la figura se tiene:
333222111 ;;;;; yxGyxGyxG
cmh
cmeehh
6,24
4,0126
3
213
2
111 18118 cmcmcmebF
2
222 6,54,014 cmcmcmebF
2
333 68,198,06,24 cmcmcmebF
2
321
3
1
28,43 cmFFFFFi
i
Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 26 Estabilidad IIB – 64.12
cmcmb
ebx 2,222
188,014
2
1321
cmcme
hy 5,252
126
2
11
cmcmb
x 72
14
2
22
cmcme
y 2,02
4,0
2
22
cmcme
bx 6,132
8,014
2
323
cmcmeh
y 7,124,02
6,24
22
33
b) Cálculo de xG:
cmcmcmcm
cmcmcmcmcmcmx
FFF
xFxFxF
F
xF
x
G
i
i
i
ii
G
32,1668,196,518
6,1368,1976,52,2218222
222
321
332211
3
1
3
1
c) Cálculo de yG:
cmcmcmcm
cmcmcmcmcmcmx
FFF
yFyFyF
F
yF
y
G
i
i
i
ii
G
41,1668,196,518
7,1268,192,06,52,2518222
222
321
332211
3
1
3
1
d) Cálculo del contorno medio:
cmSSSSS
cmcmcm
cmee
hS
cmcm
cme
bS
cmcm
cme
bS
i
i 50,56
3,252
4,0
2
126
22
6,132
8,014
2
6,172
8,018
2
321
3
1
213
322
311
Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 27 Curso: Ing. Gabriel Pujol
e) Cálculo del momento de inercia polar equivalente:
4
333
*
3
33
3
22
3
11
3
1
3
*
47,103
8,03,254,06,1316,17
33
cmcmcmcmcmcmcm
J
eSeSeSeS
J
t
i
ii
t
2) Cálculo del momento torsor
cmkNM
cmcmcmcmkNxbebPM
t
Gt
40,74
32,16188,0145132
3) Cálculo de las tensiones tangenciales máximas
a) Ala superior del perfil
241*1max 11,7147,10
40,74
cm
kNcm
cm
cmkNe
J
M
t
t
b) Ala inferior del perfil
242*2max 84,24,047,10
40,74
cm
kNcm
cm
cmkNe
J
M
t
t
c) Alma del perfil
243*3max 68,58,047,10
40,74
cm
kNcm
cm
cmkNe
J
M
t
t
4) Cálculo del ángulo de torsión total
404
18007106,0
07106,0
47,10108
8040,74
4
2
3*
radrad
rad
cmcm
kN
cmcmkN
JG
lM
t
t
5) Cálculo del espesor e constante
Siendo:
cm
radcmcm
kN
cmcmkN
SG
lMe
eSG
lMeSJ
JG
lM
t
tt
t
t
82,0
07106,050,56108
8040,7433
3resulta
3con
3
2
3
3
3
3*
*
Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 28 Estabilidad IIB – 64.12
Bibliografía Recomendada
Estabilidad II - E. Fliess
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros
Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials")
El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler
Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros
Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko