Matemática
15
Pregunta N.º 20Sea p(x) el polinomio de grado n, donde n es el menor posible y cuya gráfica se representa a continuación.
Encuentre el residuo al efectuar la división de p(x) con q(x)=x – 3.
A) – 6
B) – 4
C) – 1
D) 1
E) 4
SoluciónTema
Gráfica de funciones polinomiales
Referencias
Para la solución del problema se necesita conocer:
• Gráfica de una función polinomial.
• Teorema del resto.
Análisis y procedimiento
Plan de resoluciónI. A partir de la gráfica, hallar la regla de
correspondencia de p(x).
II. Aplicar el teorema del resto.
Ejecución del planI.
p(x)=k(x – 1)2a(x – 2)2b – 1;
a, b ∈ Z+
Como el grado de p(x) es el menor posible, entonces
a=1 y
b=1
Luego, tenemos
p(x)=k(x – 1)2(x – 2)
De la gráfica
p(0)=2
p(0)=k(–1)2(–2)
p(0)=2
→ k=–1
Luego
p(x)=–(x – 1)2(x – 2)
II. Aplicando el teorema del resto tenemos
p xx
( )− 3
→ R(x)=p(3)
p(3)=–(2)2(1)
∴ p(3)=– 4
Respuesta
El residuo de dividir p(x) entre x – 3 es – 4.
Alternativa B
Matemática
16
Pregunta N.º 21
En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de
lado 2R, además BC es diámetro de la semicircun-
ferencia de centro O y radio de longitud R. Si T es
un punto de tangencia entonces m TOA es
A) 7,5
B) 8
C) 10
D) 10,5
E) 12,5
Solución
Tema
Circunferencia
Referencias
En la pregunta nos piden la medida de un ángulo;
entonces, debemos ubicarlo en una figura donde
se puede obtener dicha medida; por ejemplo,
un triángulo; además, como se observa una
semicircunferencia debemos aplicar los teoremas
que se cumplen en la circunferencia.
Análisis y procedimiento
En el gráfico,
nos piden x.
Como ABCD es un cuadrado
→ BC=CD=2(BO)=2(OC)=2R
Trazamos OD → OD: Bisectriz del CDT
Luego, OCD (not. 532
º):
m CDO=532
º y
m ODT=532
º
En TOCD: inscriptible
→ m BOT=m CDT
m BOT=53º
OBA (not 532
º)
→ m BAO=532
º
En OBA
53º+x+532
º=90º
x= 212
º
→ x=10,5º
Respuesta
La medida del ángulo TOA es 10,5º.
Alternativa D
Matemática
17
Pregunta N.º 22ABC es un triángulo rectángulo. Exteriormente a los catetos se construyen los triángulos equiláteros ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE, BC y DC respectivamente. Si el área de la región triangular ABC es 32 cm2, entonces el área de la región triangular PQR (en cm2) es
A) 4 B) 6 C) 8
D) 12 E) 16
SoluciónTema
Área de regiones triangulares
Referencias
Para relacionar las áreas de dos regiones trian-gulares, se busca la relación entre los elementos de ambos triángulos (lados, alturas, medida de ángulos, etc.).
Análisis y procedimiento
Piden APQR: área de la región triangular PQR.
Dato A ABC: área de la región triangular ABC. (A ABC=32)
Por ser P, Q y R puntos medios, se determinan bases medias en los triángulos BEC y DBC.
QR // DB
→ m RQC=150º y RQ=BD2
PQ // EC
→ m PQC=120º y
PQ=EC2
Luego
m PQR=90º
En el gráfico,
PQR ~ ABC (caso LAL de razón 1/2)
Por áreas de regiones semejantes
A
APQR
ABC=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
razón desemejanza
2
Reemplazamos
A PQR
3212
2
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
→ APQR=8
Respuesta
El área de la región triangular PQR (en cm2) es 8.
Alternativa C
Pregunta N.º 23Indique la secuencia correcta después de determi-nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectas
diferentes que se intersectan, entonces dichos planos también se intersectan.
II. El lugar geométrico que determinan los pies de los segmentos oblicuos de longitudes iguales trazadas desde un punto exterior a un plano es una circunferencia.
Matemática
18
III. Toda recta es perpendicular a un plano, si es ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas contenidas en dicho plano.
A) VVF B) VFVC) FFVD) VVV E) FFF
SoluciónTema
Geometría del espacio. Rectas y planos
Referencias
En este tipo de preguntas debemos hacer una comparación entre los conceptos teóricos y los casos posibles que plantean las proposiciones. De esta manera, determinamos la veracidad o falsedad de la proposición dada.
Análisis y procedimiento
Esta pregunta consta de tres proposiciones.I. En el espacio, solo se admiten dos posiciones
relativas entre dos planos: son paralelos o son secantes.
• En la fig.1, los planos son paralelos si son
perpendiculares a una misma recta. • En la fig. 2, los planos son secantes si son
perpendiculares a dos rectas que se interse-can (proposición de la pregunta).
Entonces, la proposición es verdadera.
II.
• Como el punto Q es exterior al plano, traza-mos QQ' de modo que Q' sea la proyección ortogonal de Q sobre el plano W.
• En el gráfico, los triángulos rectángulos AQ'Q; BQ'Q y DQ'Q son congruentes entre sí.
• Luego, m=n=p=…
• Además, el punto Q' equidista de A, B, C, D, …
Por lo tanto, el lugar geométrico que deter-minan A, B, C y D es una circunferencia de centro Q'.
Entonces, la proposición es verdadera.
III. En el gráfico, para que una recta sea perpendicular a un plano, debe ser perpendicular a dos rectas no paralelas contenidas en dicho plano.
Entonces, la proposición es verdadera.
Respuesta
La secuencia correcta después de analizar las proposiciones es VVV.
Alternativa D
Matemática
19
Pregunta N.º 24
En la figura mostrada, ABCD es un trapecio
rectángulo tal que CD=BC=2AB=2a. Si PQ es
perpendicular al plano del trapecio tal que PQ=a
y los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-CDP
son iguales, calcule el volumen de la pirámide
Q-BCP.
A) 12
3a B) 38
3a
C) 45
3a
D) 78
3a E) 59
3a
Solución
Tema
Geometría del espacio. Pirámide
Referencias
En preguntas donde piden el cálculo o la relación
de volúmenes, conviene hacer un análisis de las
longitudes de las alturas o de las relaciones de
las bases. Generalmente, para el cálculo del área
de la base se emplean capítulos anteriores de
geometría plana.
Análisis y procedimiento
Piden Volumen de la pirámide Q-BCP:
V Ax BCP PQ= [ ]13
[ ] (I)
Del gráfico tenemos PQ=a (II)Como los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-PCD son iguales, al tener la misma altura, las áreas de sus bases son también iguales.Entonces, AABP=ACPD=4A.
En el plano de la base
Del dato de áreas iguales → AP=2(PD)Por relación de áreas, el área de la región trapecial:
18
22
2A = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
a aa( )
→ =A
a2
6
Matemática
20
Luego,
ABCP=10A=5
3
2a (III)
Reemplazamos (II) y (III) en (I)
→ Vx= 13
53
59
3 3aa
a⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =( )
Respuesta
El volumen de la pirámide Q-BCP es 59
3a
Alternativa E
Pregunta N.º 25La altura de un prisma recto mide 1 u, su base es
una región limitada por un rombo cuyo lado mide
2 u y su ángulo agudo mide 30º. Por un lado de
la base se traza un plano que interseca al prisma
y está inclinado un ángulo de 60º con respecto
de la base, luego el área de la sección (en u2) que
resulta en el prisma es:
A) 2 3 B) 53
C) 43
D) 33
E) 23
Solución
Tema
Prisma
Referencias
Al trazar planos secantes a un sólido, este determina
secciones planas, que varían de acuerdo al ángulo
de inclinación y el lugar por donde interseca. Así,
un plano secante en un prisma puede determinar
una sección triangular, cuadrangular, ...
y para poder aprovechar el ángulo de inclinación
es preciso asociarlo con el teorema de las tres
perpendiculares.
Análisis y procedimiento
Graficamos el prisma según las condiciones
planteadas.
D
D' C'
B'
AA''
S60º
2u2u
30º
MS'
1u1uC2 u2 u
30º
2 u2 u B
2 u2 u
3 u
1 u1 u N
hh
HAA
donde ABCD es un rombo de lado 2 u y la
m ABC=30º.
Si trazamos
CH ⊥ AB ... 1.a ⊥
SS' ⊥ CH ... 2.a ⊥
→ S'H ⊥ AB ... 3.a ⊥
Sea S'H=h.
Como la altura del prisma es 1 u → S'S=1 u
Luego, en el S'SH:
hsen60º=1 u
→ h = 23
u
Matemática
21
Luego, el área de la sección ABMN, que es una
región paralelográmica, se calcula multiplicando
AB y h.
A ABMN= AB h( ) = ( )⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
223
u u
A ABMN = 43
2u
Respuesta
El área de la sección en u2 es 43
.
Alternativa C
Pregunta N.º 26
Se tiene un polígono convexo de 8 lados circuns-
crita a una circunferencia, si las longitudes de sus
lados están en progresión geométrica de razón r.
Determine r2+3r.
A) 1 B) 4 C) 10
D) 18 E) 28
Solución
Tema
Polígonos circunscritos a una circunferencia:
Teorema de Pithot generalizado
Referencias
En un cuadrilátero circunscrito o circunscriptible,
se cumple el teorema de Pithot, es decir, la suma de
longitudes de lados opuestos son iguales.
En un polígono circunscrito o circunscriptible se
cumple que la suma de longitudes de lugar par
es igual a la suma de longitudes de lugar impar,
es considerado para un cuadrilátero, hexágono,
octógono, ..., en polígonos cuyo número de lados
es par.
Análisis y procedimiento
Piden r2+3r.
Las longitudes de los lados del polígono convexo
de 8 lados están en progresión geométrica de
razón r.
ar7
a ar
ar2
ar3
ar4
ar5
ar6
H D
B
A C
E
F
G
además
AB=´1, BC=´2, CD=´3, DE=´4, EF=´5,
FG=´6, GH=´7 y HA=´8,
En el octógono circunscrito por el teorema de Pithot
general, tenemos:
´1+´3+´5+´7=´2+´4+´6+´8
→ a+ar2+ar4+ar6=ar+ar3+ar5+ar7
Factorizamos
a(1+r2+r4+r6)=ar(1+r2+r4+r6)
→ r=1
Respuesta
El valor de r2+3r es 4.
Alternativa B
Pregunta N.º 27
Se da un triángulo ABC cuyos lados AB y BC
miden 8 m y 6 m respectivamente. Sobre AB
se toma el punto D. Si m BAC=m BCD.
Entonces AD es:
Matemática
22
A) 3,5 B) 4 C) 4,5
D) 5 E) 5,5
Solución
Tema
Semejanza de triángulos
Referencias
Cuando en un triángulo se desea relacionar las longitudes de lados y segmentos determinados por una ceviana, se puede recurrir a la teoría de semejanza, y más aún si la medida de un ángulo es igual al ángulo determinado por dicha ceviana y un lado; por ejemplo:
�
�
A
B
b
m
C
M
x
Teorema:
En el ABC
m BAC=m MBC=θ
→ x2=bm
Análisis y procedimiento
��
8 6D
B
A C
Piden AD
Datos:AB=8, BC=6m BAC=m BCD
ABC: Por teorema de semejanzatenemos: (BC)2=(AB)(BD) (I )también BD=8 – ADReemplazamos: 62=8(8 – AD) → AD=3,5
Respuesta
Entonces, AD es 3,5.
Alternativa A
Pregunta N.º 28En figura, AB y AC con diámetros, CT es tan-
gente al arco AB, AB=BC=2r y ET=4. Calcule r.
A) 2 3 B) 2 2 C) 3
D) 6 E) 3 3
SoluciónTema
Semejanza de triángulos
Referencias
En el problema nos piden calcular el radio de la semicircunferencia menor, para ello debemos rela-cionar el dato numérico con la variable, utilizando
Matemática
23
los teoremas que se cumplen en circunferencias tangentes interiores. Luego, para obtener el valor del radio debemos establecer una operación que relacione la incógnita con los datos.
Análisis y procedimiento
�
�
� �
A B C
D
E
T
4
4
r r 2r
222
24
Trazamos BT
→ m BTA=90º
Por teorema
ET=TA=4
Trazamos AD
→ AT es bisectriz del DAC
m DAT=m TAC=α
Luego
m ECD=m DAE=α
En AEC: Teorema de semejanza
(EC)2=(8)(4)
→ EC = 4 2
AEC: Teorema base media
→ TB = 2 2
ATB: (2r)2=42+ 2 22( )
r = 6
Respuesta
El valor de r es 6.
Alternativa D
Pregunta N.º 29
En un triángulo ABC se cumple AB=2 m y AC=32 m. Halle el perímetro del triángulo en metros, sabiendo que es un número entero y el ángulo en A es obtuso.
A) 65 B) 66 C) 67D) 68 E) 69
Solución
Tema
Clasificación de triángulos:
Triángulo obstusángulo.
Referencias
Para realizar el cálculo del perímetro, es necesario conocer BC, el cual, por dato, debe ser entero. Como las longitudes de los otros dos lados son conocidas, podemos restringir a BC mediante el teorema de existencia; pero como la medida de un ángulo interior es mayor de 90º (obtuso), se puede realizar la restricción de BC por la naturaleza del triángulo.
Análisis y procedimiento
Por dato del problema tenemos
AB=2,
AC=32 y
m BAC>90º
Piden
2P ABC=2+32+BC=34+BC.
B
2
A 32C
Matemática
24
En el ABC: Existencia de triángulos
32 – 2 < BC < 32+2 (I)
• Como m BAC>90º
322+22 < BC2
32,06 < BC (II)
• Luego, relacionamos las restricciones (I) y (II).
32,06 < BC < 34 (III)
• 2P ABC=34+BC
Como el perímetro es entero, entonces, BC es
entero.
• Luego, de la expresión (III) obtenemos
BC=33
∴ 2P ABC=67
Respuesta
El perímetro de la región triangular ABC en metros
es 67.
Alternativa C
Pregunta N.º 30
En la figura se tiene una pirámide inscrita en un
cilindro circular oblicuo. La base de la pirámide
es un triángulo equilátero. El volumen de la
pirámide es 27 3
π cm3. Calcule el volumen del
cilindro (en cm3).
A) 27π
B) 54π
C) 108π
D) 54 E) 108
Solución
Tema
Sólidos geométricos
Referencias
Para calcular el volumen de una pirámide se ne-cesita conocer el área de su base y la altura de la pirámide, mientras que para calcular el volumen del cilindro se requiere conocer el área de su base y su altura. Como el cilindro es circular oblicuo, su base es un círculo, mientras que la base de la pirámide es un triángulo equilátero.
Análisis y procedimiento
Del gráfico que nos dan como dato podemos no-tar que ambos sólidos tienen la misma altura y el triángulo de la base de la pirámide está inscrita en la circunferencia que limita la base del cilindro.Denotemos los vértices de la base de la pirámide como A, B y C, y r el radio del círculo de la base del cilindro.
rO
A
C
B
rr
Graficando el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia tenemos:
Matemática
25
2rA C
B
30º 30º
r r
r
120º120º
O'
r
En el AO'C:
AO=r=OC
m AOC=120º
→ AC=r 3=AB=BC
Ahora podemos calcular el volumen de la pirá-
mide.
VO-ABC=13
(Abase)×h=13
r
h3 34
2( )⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ×
VO-ABC=rh
2 34
27 3⋅ =π
cm3
De aquí podemos despejar las variables y obte-nemos:
πr 2 · h=108 cm3 (I)
Ahora calculamos el volumen del cilindro
Vcilindro=A base×h
Vcilindro=πr 2×h
De (I):
Vcilindro=108 cm3
Respuesta
El volumen del cilindro en cm3 es 108.
Alternativa E
Pregunta N.º 31
En un polígono convexo equiángulo ABCDEF se
tiene AB=7, CD=6 y DE=8. Calcule BF.
A) 72
3 B) 7 C) 5 3
D) 7 2 E) 7 3
Solución
Tema
Polígonos
Referencias
Dentro del grupo de los polígonos tenemos al polígono equiángulo, que se caracteriza por que sus medidas angulares internas y externas son, respectivamente, iguales.Como se conoce que la suma de las medidas angulares de un polígono convexo es 180º(n – 2) y n es el número de lados, entonces, la medida de un ángulo interior será:
in
n= −( )180 2º
Análisis y procedimiento
Según el dato del problema, el polígono equián-
gulo es ABCDEF, es decir, tiene seis lados (n=6);
entonces,
i 6180 6 2
6120( ) = −( )
=ºº.
Grafiquemos el hexágono con las condiciones del
problema:
AB=7, CD=6 y
DE=8.
Matemática
26
60º
60º60º
M F E Na 8
a
A
B C
D
8a8
60º 60º
60º
120º
120º
120º
x120º
7 6
Al prolongar los lados BA, EF y CD, las medidas de
los ángulos externos en A, F, E y D es 60º, además,
se forman los triángulos AFM y DEN; estos, a la
vez, forman el triángulo isósceles MBCN, donde
MB=CN.
Como
DE=8
→ DN=EN=8.
Así también si
AF=a
→ AM=MF=a.
Luego
a+7=6+8
∴ a=7
Por lo tanto, en el triángulo notable BAF tenemos
120º
A
7 7
F Bx
Entonces, BF=7 3.
Respuesta
La longitud de BF es 7 3.
Alternativa E
Pregunta N.º 32
El ángulo de desarrollo de un cono circular recto
mide 120º. Si la altura del cono mide 4 cm,
entonces el radio (en cm) del cono es:
A) 2
2 B) 2 C) 3
D) 2 2 E) 2 3
Solución
Tema
Cono circular recto
Referencias
Al desarrollar la superficie lateral de un cono
circular recto, resulta un sector circular cuyos
elementos se asocian con los del cono dado.
OO
h
B A
V
g g
r
�
g
A
B2 r�
En el gráfico α es la medida del ángulo de
desa-rrollo.
Sea θ su medida en radianes.
→ θ πα=180º
Luego, la longitud del arco ABA se asocia con el
radio de la base del cono.
Matemática
27
´ABA
=2πr
´ABA
=θ×g
∴ θ π= 2 rg
Análisis y procedimiento
Nos dan como dato α=120º y h=4 cm; entonces,
podemos calcular θ y encontrar una relación entre
r y g.
→ θ π π=( )
=120180
23
ºº
Luego
rg
= 13
ó g=3r
Como nos piden el radio de la base en cm, re-
currimos al teorema de Pitágoras para relacionar
r, g y h.
En el AVO: g 2=r 2+h2
Reemplazamos valores:
(3r)2=r 2+(4)2
∴ r= 2
Respuesta
El radio del cono en centímetros es 2.
Alternativa B
Pregunta N.º 33En un nuevo sistema de medición angular, un
ángulo de α grados sexagesimales mide α – 3. Si
un ángulo de π radianes mide 120 en el nuevo
sistema, halle α – 3.
A) 3 B) 6 C) 9
D) 12 E) 15
SoluciónTema
Sistemas de medición angular
Referencias
La equivalencia entre los grados sexagesimales y el número de radianes de un ángulo es π rad=180º.
Análisis y procedimiento
• Nuevo sistema de medición angular (X), donde 1X denota un grado en el sistema X.
• Condiciones:
αº=(α – 3)X
π rad=120X
Empleamos el método del factor de conversión:
α α ππ
º ( )º= − ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟3
180XX
rad
120 rad
α αº ( )
º
= − ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
332
2α=3α – 9
α=9
Se busca calcular
(α – 3).
Respuesta
El valor de (α – 3) es 6.
Alternativa B
Pregunta N.º 34
En la figura ab
= 32
y el área de la región sombreada
es 5 veces el área del sector circular OPQ.
Determine la relación ´
´SR
BA
.
Matemática
28
A) 23
B) 1627
C) 32
D) 4516
E) 103
SoluciónTema
Longitud de arco y área del sector circular
Referencias
• Longitud de arco (´)
r
� rad � �= � r
• Área de un sector circular (A)
r
� rad� rad A r=�2
2
Análisis y procedimiento
Condición 1
ab
a kb k
===
32
32
Incógnita: ´
´SR
BA
3k
2k
O
C
A
B
D
S
R
Q
PP
�� ��
Pero ´SR
k= α( )5
´
BAk= θ( )3
´
´SR
BA
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
53
αθ
(I)
Condición 2El área sombreada es igual a cinco veces el área
del sector OPQ.
12
512
3 532
2 22
θ θ α( ) ( )
( )k k
k− =⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
162
452
2 2θ αk k=
1645
= αθ
(II)
Al reemplazar (II) en (I) se obtiene:
´
´SR
BA
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
53
1645
´
´SR
BA
= 1627
Respuesta
La relación ´
´SR
BA
es 1627
.
Alternativa B
Matemática
29
Pregunta N.º 35Un punto M=(x; y) dista de un punto C=(2; 5),
10 unidades. La pendiente de la recta que pasa
por M y A=(7; 5) es 1/2. Determine el punto M
de mayor abscisa.
A) (–1; 4) B) (–1; 6) C) (1; 8)
D) (3; 2) E) (5; 4)
SoluciónTema
Geometría analítica
Referencias
• Distancia entre dos puntos
• Ecuación de una recta
Análisis y procedimiento
De la condición tenemos
• C(2; 5)
M x y( ; )
10
Por distancia entre dos puntos se cumple que
10 2 52 2= −( ) + −( )x y
Elevando al cuadrado, tenemos
(x – 2)2+(y – 5)2=10 (I)
• Dato mL
= 12
A(7; 5)
L
M
Calculamos la ecuación de la recta L .
y – 5=mL
(x – 7)
y – 5=12
(x – 7) (II)
Reemplazamos (II) en (I)
(x – 2)2+ 12
7 102
x −( )⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
(x – 2)2+14
(x – 7)2=10
Reduciendo, tenemos
x2 – 6x+5=0x – 5x – 1
x=5 ∨ x=1Piden el punto M de mayor abscisa< enton-ces, x=5.Reemplazamos en (II)
y – 5=12
(5 – 7)
y=4Entonces, M=(5,4).
Respuesta
El punto M de mayor abscisa es (5,4).
Alternativa E
Pregunta N.º 36En el círculo trigonométrico de la figura, se tiene CM DM= . Entonces el área de la región triangular ABM es:
Matemática
30
A) 238
tanπ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
B) 12
38
tanπ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
C) 234
tanπ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
D) 12
34
tanπ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
E) 247
tanπ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
SoluciónTema
Circunferencia trigonométrica (C. T.)
Referencias
• Ubicación de arcos en la C. T.• Resolución de triángulos rectángulos.• Cálculo del área de una región triangular.
Análisis y procedimiento
Dato: CM DM CM DM= → = =m mπ4
además, m mBM BM= + → =π π π2 4
34
.
A
B
M
X
Y
�
88
33
2
2
H22
22
�
4
33 C
D
En el gráfico se observa que AB= 2 y AM=BM,
entonces, AH=HB=2
2.
Calculamos la altura MH en el triángulo AHM.
MH = 2
238
tanπ
Luego
S
AB MH= ( )( )2
S =
( )⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟2
22
38
2
tanπ
Por lo tanto,
S = 12
38
tanπ
.
Respuesta
El área de la región triangular ABM es igual a 12
38
tanπ
.
Alternativa B
Pregunta N.º 37
Simplificando la siguiente expresión K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A,se obtiene
A) 6cos22A B) 6cos2A C) 8sen2AD) 12senAE) 12cos22A
Solución
Tema
Identidades trigonométricas de arcos múltiples
Matemática
31
Referencias
• Empleamos las identidades auxiliares del arco
triple
sen3θ=senθ(2cos2θ+1)
cos3θ=cosθ(2cos2θ – 1)
• Empleamos la identidad del arco doble relacio-
nada con el coseno.
cos2θ=2cos2θ – 1
Análisis y procedimiento
K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A
entonces
K
AA
AA
A= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+sensen
coscos
cos3 3
2 42 2
Ahora aplicamos las identidades del arco triple.
K=(2cos2A+1)2+(2cos2A – 1)2+2cos4A
Desarrollando los binomios y aplicando la identi-
dad del arco doble, obtenemos
K=2(4cos22A+1)+2(2cos22A – 1)
→ K=12cos22A
Respuesta
Entonces, K es igual a 12cos22A.
Alternativa E
Pregunta N.º 38
Sea f xx xx x
x k( ) = ++
≠sen tancos cot
, .π2
Entonces podemos afirmar que
A) f(x) toma valores positivos y negativos.B) f(x) toma un número finito de valores negativos.C) f(x) toma solamente valores negativos.D) f(x) toma solamente valores positivos.E) f(x) es constante.
Solución
Tema
Funciones trigonométricas
Referencias
Para reducir la expresión aplicaremos identidades
trigonométricas.
tan
sencos
xxx
=
cotcossen
xxx
=
Análisis y procedimiento
f x
x xx x
x K( )sen tancos cot
= ++
≠ π2
cosx+cotx ≠ 0
cosx(1+1/senx) ≠ 0
cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ – 1
→ x ≠ (2n+1) π2
f xx
xx
xxx
( )sen
sencos
coscossen
=+
+
f xx
xx
xx
x
( )sen
coscos
cossen
sen
=
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
1
f x
x x
x x( ) = +( )
+( )sen cos
cos sen
2
21
1
senx > – 1
→ 1+senx > 0
cosx > – 1
→ 1+cosx > 0Entonces, se deduce que f(x) es positivo.
Respuesta
f(x) toma solamente valores positivos.
Alternativa D
Matemática
32
Pregunta N.º 39Dado el sistema
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
43
1
π
sec sec
el valor de cos(x – y) es:
A) − 14
B) − 13
C) − 12
D) 14
E) 12
SoluciónTema
Sistemas de ecuaciones trigonométricas
Referencias
Transformaciones trigonométricas.
cos cos cos ·cosx y
x y x y+ = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
22 2
Identidad de arco doble.
cos2x=2cos2x – 1
Análisis y procedimiento
De la condición
secx+secy=1
2 · (cosx+cosy)=2(cosx · cosy)
2 22 2
×+ −
= + + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
( ) ( )·cos ·cos cos cosx y x y
x y x y
Por dato sabemos que
x y+ = 43π
.
4
12 2
12
22
12−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−cos cosx y x y
→ 42
42
3 02·cos cosx y x y−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− =
2
23 2
21 0cos · cos
x y x y−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
cos
cos
x y
x y
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −
212
232
o
La ecuación admite para
cos
x y−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=2
12
Luego, debido a que
cos cosx y
x y−( ) = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−22
12
Por lo tanto
cos x y−( ) = − 1
2
Respuesta
El valor de cos(x – y) es − 12
.
Alternativa C
Pregunta N.º 40En las circunferencias tangentes de la figura, son datos r0 (radio) y α. Determine el radio R.
Matemática
33
A) 1
0−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
coscos
αα
r
B) cos
cosα
α1 0−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
r
C) 11 0
−+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
coscos
αα
r
D) 1
0+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
coscos
αα
r
E) 11 0
+−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
coscos
αα
r
SoluciónTema
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Referencias
Definición del coseno de un ángulo agudo.
cos α = cateto adyacente
hipotenusa
Análisis y procedimiento
�
R
r0
R
Por definición tenemos
cos α =
+R
R r0
Rcosα+r0cosα=R
r0cosα=R(1 – cosα)
R
r=−0
1coscos
αα
R r=
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
coscos
αα1 0
Respuesta
Entonces, el radio R, en términos de r0 y α, es
coscos
αα1 0−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
r
Alternativa B