¿Que son las ondas gravitacionales?Squeezed States
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Squeezed light and the detection ofGravitational Radiation
Sergio Lobo1
1Departamento de Fısica
Seminario de Optica Cuantica, 2017
Sergio Lobo Squeezed light and the detection of Gravitational Radiation
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1 ¿Que son las ondas gravitacionales?Segun la Relatividad General...¿Que efectos producen?
2 Squeezed StatesOscilador ArmonicoEstados de combinaciones linealesSqueezed StatesEn Ligo
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Segun la Relatividad General...¿Que efectos producen?
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Segun la Relatividad General...¿Que efectos producen?
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Segun la Relatividad General...¿Que efectos producen?
Comenzamos con las ecuaciones de campo de Einstein
Rµν = −8πG(Tµν −1
2gµνT
λλ ) (1)
Hacemos uso de la aproximacion de campo debil, (Por que?)
gµν = ηµν + hµν (2)
a primer orden en h el tensor de Ricci es
Rµν =∂
∂xνΓλλµ −
∂
∂xλΓλµν +O(h2) (3)
y los coeficientes de la conexion
Γλµν =1
2ηλρ [hρν,µ + hρµ,ν − hµν,ρ] +O(h2) (4)
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Segun la Relatividad General...¿Que efectos producen?
Usando lo anterior, las ecuaciones de campo quedan de la siguientemanera:
�2hµν −∂2
∂xλ∂xµhλν −
∂2
∂xλ∂xνhλµ +
∂2
∂xµ∂xνhλλ = −16πGSµν (5)
Existe una libertad de invarianza gauge que se puede resolvermediante la imposicion de un sistema de coordenadas armonicos, esdecir,
gµνΓλµν = 0 → ∂
∂xµhµν =
1
2
∂
∂xνhµµ (6)
Dando como resultado
�2hµν = −16πGSµν (7)
y cuya solucion es
hµν(x, t) = 4G
∫d3x’
Sµν(x’, t− |x− x’|)|x− x’|
(8)
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Segun la Relatividad General...¿Que efectos producen?
Plane wave solution
La solucion a la ecuacion de onda homogenea
hµν(x) = eµν exp(ikλxλ) + e∗µν exp(−ikλxλ) (9)
De tal forma que para que cumpla la ecuacion de onda y la condicionde coordenadas armonicas debe cumplirse que
kµkµ = 0 (10)
kµeµν =
1
2kνe
µµ (11)
e es conocido como el tensor de polarizacion.
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Segun la Relatividad General...¿Que efectos producen?
’The proper separation between two freely falling particles willoscillate even if their coordinate separation remain constant’
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Oscilador armonico
Comenzamos por definir los operadores de creacion y destruccion
a = (x+ ip)/√
2 a+ = (x− ip)/√
2 (12)
De tal forma que
a|n〉 =√n|n− 1〉 a+|n〉 =
√n+ 1|n+ 1〉 (13)
Escribiendo x y p en terminos de los operadores creacion ydestruccion encontramos que
〈x〉 = 〈p〉 = 0 (14)
〈x2〉 = 〈p2〉 = n+ 1/2 (15)
var(p) = var(x) = (n+ 1/2)2 (16)
Siendo el estado de vacio, n = 0, uno de mınima incertidumbre.
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Figure: Magnitud del estado vacıo vs posicion.
Estacionario, de mınima incertidumbre paquete de onda con anchoconstante.
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El numero de estado forma un conjunto ortonormal completo:
ψ(x, t) =
∞∑n=0
cn(t)|n〉 (17)
En donde los cn(t) son numeros complejos y el estado |n〉 contiene ladependencia de x. La evolucion temporal de los cn(t) esta gobernadapor la ecuacion de Schrodinger.
Hcn(t)|n〉 = (n+ 1/2)cn(t)|n〉 (18)
id
dtcn(t) =
(n+
1
2
)cn(t) (19)
cuya solucion escn(t) = cn(0)ei(n+1/2)t (20)
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Podemos calcular 〈x〉 como
〈x〉 =√
2Re(e−it〈ψ|a|ψ〉) (21)
Comparando esto con la representacion en fasores de una cantidadque oscila
〈x〉 = 2Re(Ae−it) (22)
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Estados Coherentes
Un estado coherente |α〉 es aquella combinacion lineal de estados |n〉cuyos coeficientes al cuadrado |cn|2 representan la probabilidad dedetectar n partıculas en una distribucion de Poisson con numeromedio de partıculas |α|2. Estados coherente producen estados demınima incertidumbre, ∆p∆x = 1/4 (estados de producto mınimo).Un estado coherente |α〉 en un estado propio de a:
a|α〉 = α|α〉 (23)
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La definicion anterior deja de ser tan oscura cuando calculamos laprobabilidad de encontrar n cuantos en el oscilador (o equivalente,una energıa de n+ 1/2).
Pn = |cn|2 = e−|α|2
[(|α|2)n
n!
](24)
Es decir, Pn es la probabilidad de detectar n eventos independientesen un periodo dado de tiempo si 〈n〉 = ||2 es el numero medio deeventos por intervalo de tiempo. Ademas,
var(x) = var(p) = 1/2 (25)
i.e. Todos los estados coherentes son estados de producto mınimo convarianza igual la del estado de vacıo.
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Figure: Paquete de ondas oscilando en varios tiempos*
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Figure: Estado coherente con 5 cuantos en promedio
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Un estado se dice que esta ”squeezed” si sus varianzas oscilan y sevuelven mas pequenas que las del estado de vacıo. Si el valor mınimodel producto es 1/4, entonces el estado se llama:”minimun-uncertainty squeezed state”. Para obtenerlos, comenzamosdefiniendo:
b = µa+ νa+ (26)
b+ = µ ∗ a+ + ν ∗ a (27)
Un estado squeezed |β〉 es un estado propio de b
b|β〉 = β|β〉 (28)
Expresando |β〉 como una combinacion lineal de |n〉 e igualandocoeficientes, se encuentra una relacion de recursion para cn.
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Figure: Comparacion de valores*
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Figure: los paquetes de onda ”respiran”*
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Figure: Coeficientes en t= 0 (no-Poisson)*
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Figure: Varianzas vs tiempo*
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Irregularidad en la llegada de fotones al detector (shot noise)
Presion de Radiacion
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Figure: Esquema del Interferometro usado en LIGO
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Figure: Mejoramiento de Ligo
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Figure: Interferometro usado en LIGO
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The end
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For Further Reading I
Henry, Richard W and Glotzer, Sharon CA squeezed-state primer, 1988.American Journal of Physics.
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