Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 1
Statystyka aktuarialna i teoria ryzykaLITERATURA
Bowers N. i in. (1986 lub 1997) Actuarial mathematics,
Hossak J.B., Pollard J.H. (1983 lub 1990), Introductory statisticswith applications in general insurance, Cambridge UniversityPress.
Otto W. (2004), Ubezpieczenia majątkowe; t. I - Teoria ryzyka,WN-T, Warszawa.
Zarządzanie ryzykiem w ubezpieczeniach, red. Ronka-ChmielowiecW., Wyd. AE we Wrocławiu, Wrocław 2000.
Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., Denuit, M. (2001), ModernActuarial Risk Theory, Kluwer Academic Publishers, Boston.
Kowalczyk P., Poprawska E., Ronka-Chmielowiec W. (2006), Me-tody aktuarialne, zastosowania matematyki w ubezpieczeniach,PWN, Warszawa.
Klugman S., Panjer H., Willmot G. (1998 lub 2008) Loss Models,From Data to Decisions, Wiley
Buhlmann H. i Gisler A. (2005), A Course in Credibility Theoryand its Applications, Springer
Niemiro Wojciech Teoria ryzyka w ubezpieczeniach,http://www-users.mat.umk.pl/ wniem/Ryzyko/RyzykoUB.pdf
Wuthrich M.V., Merz M. (2008), Stochastic claims reserving me-thods in insurance, Wiley
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 2
Ubezpieczenie - urządzenie gospodarcze zapewniające pokrycieprzyszłych potrzeb majątkowych, wywołanych u poszczególnychjednostek przez zdarzenia losowe, w drodze rozłożenia ciężaru tegopokrycia na wiele jednostek, którym te same zdarzenia zagrażają.
Umowa ubezpieczeniowa (polisa) - umowa między ubezpie-czanym (ubezpieczającym) a ubezpieczycielem (zakładem ubezpie-czeń) w której• ubezpieczany zobowiazuje się uiścić opłatę - składkę ubezpie-czeniową (jednorazowo lub ratalnie) na rzecz zakładu ubezpie-czeń,• zakład ubezpieczeń zobowiązuje się do wypłacenia w razie zaj-ścia wypadku ubezpieczeniowego określonego w polisie lub w ściśleokreślonym terminie sumy ubezpieczenia, wartości ubezpieczenia,odszkodowania na rzecz określonych w ubezpieczeniu osób.
Reasekuracja - ubezpieczenie jednego zakładu ubezpieczeń winnym na wypadek zbyt dużych roszczeń
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 3
Wskaźniki:
• ekonomiczno - ubezpieczeniowe:
B
Y
gdzie B - suma składek, Y - dochód narodowy
Bm
Om
gdzie Bm - suma składek na ubezpieczenia majątkowe, Om - sumao jaką zwiększyły się oszczędności, wskaźnik mówi o skłonności dozawierania ubezpieczeń;
wskaźnik powszechności =liczba ubezpieczonych
pole ubezpieczeń
wskaźnik pełności =odszkodowania wypłaconesuma rzeczywistych szkód
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 4
• wskaźniki techniczno-ubezpieczeniowe:
wskaźnik szkodowości losowej =S
Ugdzie S - suma odszkodowań wypłaconych, U - suma ubezpieczenia
szkodowość (szkodowość finansowa) =S
B
stopa zmiany szkodowości =szkodowość
oczekiwana szkodowość− 1
wskaźnik kosztów =KosztyB
wskaźnik częstości = c =N
ngdzie N - liczba wypadków, n - liczba ubezpieczonych
wskaźnik rozszerzalności =liczba szkód
N
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 5
Rozkład gęstość f(x) F (x) EX V arX
bin(n, θ)(nx
)θx(1− θ)n−x nθ nθ(1− θ)
θ ∈ (0, 1) x = 0, 1, . . . , nPoiss(λ) e−λλ
x
x! λ λλ > 0 x = 0, 1, 2, . . .
bin−(r, p) Γ(r+x)x!Γ(r) p
r(1− p)x r(1−p)p
r(1−p)p2
r > 0, p ∈ (0, 1) x = 0, 1, 2, . . .Beta(α, β) Γ(α+β)xα−1(1−x)β−1
Γ(α)Γ(β) B(α, β, x) αα+β
αβ(α+β)2(α+β+1)
α, β > 0 x ∈ (0, 1) x ∈ (0, 1)
N(µ, σ2) 1√2πσ
exp(−(x−µ)2
2σ2
)Φ(x−µσ ) µ σ2
σ > 0wykładniczy θe−θx 1− e−θx 1
θ1θ2
Ex(θ) θ > 0 x > 0Gamma(α, β) βα
Γ(α)xα−1e−βx Γ(α, βx) α
βαβ2
α, β > 0 x > 0IGamma βα
Γ(α)x−α−1e−
βx Γ(α, βx) β
α−1β2
(α−1)2(α−2)
α, β > 0 x > 0
TGamma βατΓ(α)x
ατ−1e−βxτ
Γ(α, βxτ) Γ(α+ 1τ )
Γ(α)β1τ
EX2 = Γ(α+ 2τ )
Γ(α)β2τ
α, β, τ > 0 x > 0
LG(α, β) βα(lnx)α−1
xβ+1Γ(α) Γ(α, β lnx)(
ββ−1
)α (ββ−2
)α−(
ββ−1
)2α
α, β > 0 x > 0 β > 1 β > 2Pareto(θ, λ) λθθ
(λ+x)θ+1 1− λθ
(λ+x)θλθ−1
λ2θ(θ−1)2(θ−2)
λ, θ > 0 x > 0 θ > 1 θ > 2
LN(µ, σ) exp[− 12 (ln x−µσ )2]
xσ√
2πΦ( lnx−µ
σ ) eµ+ 12σ2
e2µ+σ2(eσ2 − 1)
µ ∈ R, σ > 0 x > 0
Burr(θ, λ, τ) τθλθ xτ−1
(λ+xτ )θ+1 1−(
λλ+xτ
)θ Γ(θ− 1τ )Γ(1+ 1τ )
λ−1τ Γ(θ)
EX2 =
τ, λ, θ > 0 x > 0 τθ > 1 λ2τ Γ(θ− 2τ )Γ(1+ 2τ )
Γ(θ)
τθ > 2
Weibull(c, τ) cτxτ−1e−cxτ
1− e−cxτ Γ(1+ 1τ )c1/τ
Γ(1+ 2τ )−Γ(1+ 1τ )c2/τ
c, τ > 0 x > 0GPareto Γ(θ+τ)λθxτ−1
Γ(θ)Γ(τ)(λ+x)θ+τ B(τ, θ, u) λτθ−1
λ2τ(θ+τ−1)(θ−1)2(θ−2)
(θ, λ, τ) u = xx+λ θ > 1 θ > 2
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 6
ILE JESTEŚMY SKŁONNI ZAPŁACIĆ ZA UBEZPIECZENIE
u - funkcja użyteczności,
awersja do ryzyka - u′ > 0, u” < 0
PRZYKŁAD:u(w) = lnw, u(w) = − exp(−βw), u(w) = w − βw2
Rozważmy ubezpieczenie pełne majątku w narażonego na stratęlosową X , wtedy maksymalna opłata H za ubezpieczenie spełnia
E (u(w −X)) = u(w −H)
Przy u odpowiadającej awersji do ryzyka H spełnia H > EX .
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 7
ZADANIE 1.
Dwa zakłady ubezpieczeniowe A i B posługują się funkcją uży-teczności u(w). Zakład A dysponuje kapitałem 108ECU, zakładB kapitałem 6 · 107ECU. Zakłady A i B otrzymały ofertę ubez-pieczenia statku o wartości 2 · 107ECU od całkowitego zniszczenia(zatonięcia). Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe q.1. Wyznacz składkę minimalną jaką powinny ustalić zakłady pra-cująca) oddzielnie (każdy sam ubezpiecza cały statek)b) wspólnie ( dwa przypadki: koasekuracja po równo, koasekuracjaproporcjonalna do majątku).Przyjmij
q = 0.1, 0.01, 0.009, 0.001
u(w) =12√w
2. Wyznacz maksymalne akceptowane składki dla ubezpieczają-cego się, gdy wartość jego całkowitego majątku jest równa
21 · 106, 60 · 106, 100 · 106, 200 · 106, 500 · 106, 1000 · 106
Rozważ dwie funkcje użyteczności
u(w) =12√w u(w) = lnw
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 8
GENEROWANIE ZMIENNYCH LOSOWYCH O USTALONYMROZKŁADZIE
Wieczorkowski R., Zieliński R. (1997), Komputerowe generatoryliczb losowych, WNT, Warszawa.
• Funkcja LOS() - generuje zmienną U ∼ U(0, 1)
• X - zmienna o rozkładzie dyskretnym
X w1 w2 . . . wkP (X = wi) p1 p2 . . . pk
gdzie ∑pi = 1.
Niechf0 = 0, fi = fi−1 + pi, i = 1, 2, . . . , k
ALGORYTM:1. generuj U ∼ U(0, 1);2. jeśli U ∈ (fi−1, fi], to X := wi.
• X - zmienna o rozkładzie ciągłym i ściśle rosnącej dystrybuancieF
LEMAT.
Jeżeli X ∼ F i F jest ciągłą i ściśle rosnącą dystrybuantą, tozmienna F (X) ma rozkład jednostajny U(0, 1).
DOWÓD. Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej F (X) w punkcie z
P (F (X) ¬ z) = P(X ¬ F−1(z)
)= F (F−1(z)) = z
dla z ∈ (0, 1).
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 9
ALGORYTM:1. generuj U ∼ U(0, 1);2. X := F−1(U).
ZADANIE. Wygeneruj po n = 50 wartości zmiennych losowych orozkładach:1. zero-jedynkowym P (X = 1) = 0, 1;2. równomiernym o wartościach 1, 2, 3, 4, 5;3. Ex(2); Gamma(2, 4);4. Pareto(3, 2);5. N(0, 1); N(2, 9).Wyznacz EX , V arX oraz odpowiedniki próbkowe. Zadanie po-wtórz dla n = 200.
•Wykorzystywanie własności i zależności między zmien-nymi
1. PROCEDURA log and trig - generuje zmienne z rozkładu no-malnego
Jeżeli U , V sa niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładuU(0, 1), to
X =√−2 lnU cos(2πV )
Y =√−2 lnU sin(2πV )
są niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu N(0, 1).
ZADANIE. Wygeneruj po 50 wartości zmiennych losowych o roz-kładach N(2, 9) i N(4, 5) korzystając z procedury log and trig.
2. Jeżeli X ∼ Ex(c), to Y = X1τ ma rozkład Weibulla o
gęstościf (x) = cτxτ−1 exp(−cxτ ).
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 10
3. Jeżeli X1, X2, . . . , Xk są i.i.d. z rozkładu N(0, 1), to Z =∑ki=1Xi ma rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody
4. Jeżeli X0, X1, X2, . . . są i.i.d. z rozkładu Ex(1) to
N = minj :
j∑i=0Xi > λ
jest zmienną losową o rozkładzie Poissona o wartości oczeki-wanej λ.
DOWÓD.
k∑i=0Xi ∼ Gamma(k + 1, 1)
P (N = k) = P (N ¬ k)− P (N ¬ k − 1)
= P
k∑i=0Xi > λ
− Pk−1∑i=0
Xi > λ
∫ +∞λ
1k!xke−xdx−
∫ +∞λ
1(k − 1)!
xk−1e−xdx
całkując przez części otrzymujemy
P (N = k) =− 1k!xke−x
+∞
λ= e−λ
λk
k!
ALGORYTM:1. N := −1; S := 0;2. dopóki S ¬ λ powtarzajgeneruj X ∼ Ex(1); S := S + X ; N := N + 1;3. zwróć N .
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 11
•Wykorzystanie rozkładów granicznych do generowania zmiennejo rozkładzie Poissona
Z CTG: jeżeli N ∼ Poiss(λ) i λ −→ +∞, toN − λ√
λ−→ N(0, 1)
ALGORYTM:1. generuj Z ∼ N(0, 1);2. N :=
√λZ + λ.
Aproksymacja Anscombe
jeżeli N ∼ Poiss(λ) i λ −→ +∞, to
P (N ¬ k) −→ Φ (Aλ(k))
gdzie
Aλ(k) =32
k +58
23λ−
16 − 3
2
√λ +
124√λ
ALGORYTM:1. generuj Z ∼ N(0, 1);2.
N := (Z + b)32a− c,
gdzie
b = 1, 5√λ− 1
24√λ, a =
√√√√√ 827
√λ, c =
58
ZADANIE. Wygeneruj po 50 wartości zmiennych losowych z roz-kładów Poiss(1), Poiss(2), Poiss(20), Poiss(100).
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 12
PODZIAŁ RYZYKA (RODZAJE POLIS)
strata, wypadek ubezpieczeniowy (loss), roszczenie(claim) X , S - zmienna losowa
odszkodowanie (indemnity) I(X) - zmienna losowa,
0 ¬ I(X) ¬ X
• - ubezpieczenie pełne
I(X) = X
Wtedy EI(X) = EX i V arI(X) = V arX
• - pokrycie częściowe
0 ¬ I(X) < X
U = X − I(X) - udział ubezpieczonego w szkodzie
PRZYKŁAD:
Wartość szkody x 0 2 4 9Odszkodowanie I(x) 0 0,4 2 6
P (X = x) 0,8 0,1 0,06 0,04
Wyznacz EX , V arX , EI(X), V arI(X)
EX = 0, 8 V arX = 3, 96
EI(X) = 0, 4 V arI(X) = 1, 536
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 13
1. Kontrakt proporcjonalny
I(X) = aX a ∈ (0, 1)
2. Polisa z franszyzą integralną (warunkową)
I(X) = 0 gdy X < d
X gdy X d
3. Polisa z udziałem własnym d (z franszyzą redukcyjną - bezwa-runkową , stop-loss, deductible)
I(X) = 0 gdy X < d
X − d gdy X d
4. Polisa z udziałem własnym d i górnym limitem odpowiedzial-ności M
I(X) =
0 gdy X < d
X − d gdy d ¬ X ¬M
M − d gdy X > M
5. Polisa z indywidualną franszyzą redukcyjną (ubezpieczenie czę-ściowe z udziałem własnym)
I(X) = 0 gdy X < d
a(X − d) gdy X da ∈ (0, 1)
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 14
6. Ubezpieczenie częściowe warstwy ograniczonej górnym limitemodpowiedzialności M i udziałem własnym d
I(X) =
0 gdy X < d
a(X − d) gdy d ¬ X ¬M
a(M − d) gdy X > Ma ∈ (0, 1)
7. Ubezpieczenie ze znikającą franszyzą redukcyjną
I(X) =
0 gdy X < d
X − d gdy d ¬ X ¬M
X gdy X > M
8. Ubezpieczenia na ”pierwsze ryzyko” (first loss)
I(X) =X gdy X < d
d gdy X d
9. Ubezpieczenia na pierwsze ryzyko z udziałem własnym i pełnympokryciem strat w granicach ustalonych limitów
I(X) =
0 gdy X < d
X − d gdy d ¬ X ¬ m
X gdy m < X < M
M gdy X M
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 15
TWIERDZENIE o optymalnym ubezpieczeniuJeżeli pewien decydent1. posiada początkowy zasób majątku w2. przejawia awersję do ryzyka3. narażony jest na stratę X4. gotów jest przeznaczyć kwotę P na zakup ubezpieczenia i0 ¬ P ¬ (1 + θ)EX
oraz rynek ubezpieczeniowy oferuje wszystkie możliwe kon-trakty I takie, że
0 ¬ I(X) ¬ X
o ustalonej EI(X) po cenie (1 + θ)EI(X),to decydent osiągnie max oczekiwanej użyteczności zakupująckontrakt
I∗(X) = 0 gdy X ¬ d∗
X − d∗ gdy X > d∗
gdzie P = (1 + θ)EI∗(X).
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 16
SKŁADKA
S - zmienna losowa równa wysokości odszkodowań (świadczeń za-kładu w pewnej grupie ryzyka) w przyszłości zdyskontowaną namoment zawierania umowy
B - składka brutto, H składka (premium) H > ES
B = H + K H = Π + R(S)
Π = ES - składka netto (czysta składka), równa oczekiwanej wy-płacie, nie odzwierciedla ryzyka związanego z ubezpieczeniem, wy-znaczana w drodze analiz aktuarialnych;
R(S) - składka na ryzyko związane z losowością szkód oraz z popy-tem i podażą (narzut związany z ryzykiem), wyznaczana w drodzeanaliz aktuarialnych i ekonomicznych;
K - składka na pokrycie kosztów, wyznaczana w drodze analizfinansowo-księgowych, często wyrażana jako K = βB, wtedy
B =H
1− β
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 17
PRAKTYCZNE ZASADY USTALANIA SKŁADEK
Niech S oznacza wielkość odszkodowań, ryzyko
A) zasada równoważności (zasada czystej składki)
H = Π = ES
B) zasada wartości oczekiwanej
H = (1 + a)ES
C) zasada wariancji
H = ES + αV arS
D) zasada odchylenia standardowego
H = ES + β√V arS
E) zasada percentyli - H spełnia warunek
P (S > H) = ε
Liczby a, α, β, ε ustalane przez zakład ubezpieczeniowy.
H − ES - narzut bezpieczeństwa
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 18
TEORETYCZNE METODY USTALANIA SKŁADKI
• zasada zerowej użyteczności
u - funkcja użyteczności ubezpieczycielaW - majątek ubezpieczyciela
u(W ) = Eu(W + H − S)
ZADANIE. Wyznacz składkę odpowiadającą funkcji
u(x) =1− e−cx
c
F) składka wykładnicza
H =1c
lnE(ecS
)
POŻĄDANE WŁASNOŚCI SKŁADKI
1) H ES
2) H ¬ max odszkodowanie
3) H(S + c) = H(S) + c
4) S1 i S2 ryzyka niezależne, to H(S1 + S2) = H(S1) + H(S2)
5) H(H(S|Y )) = H(S)
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 19
ZADANIE. Sprawdź, które własności posiadają wymienione skład-ki
własność A B C D E F1 + + + + - +2 + - - - + +3 + - + + + +4 + + + - - +5 + - - - - +
ZADANIE 2. Wygeneruj szkody dla polis z kolejnych lat wgrozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbąszkód z jednej polisy. Wygeneruj wartości X szkód wg rozkładuP (X = 100) = 0, 5, P (X = 200) = 0, 25, P (X = 500) = 0, 25.Szkody o wartości 500 są regulowane w roku następnym szkody opozostałych wartościach w roku zajścia. Wylicz składki na każdyrok w następujący sposób:składka I: w latach 1980-1981 składka po 25, w latach następ-nych składka=średnia ze szkód wypłaconych w roku poprzednimrazy częstość szkód w roku poprzednim razy 1,1składka II: w latach 1980-1981 składka po 25, w latach następ-nych - w roku n - składka=średnia ze szkód zaistniałych w rokun− 2 razy częstość szkód w roku n− 2 razy 1,1
Którą z metod uważasz za rozsądniejszą i dlaczego.Uwaga: Średnia ze szkód i częstość szkód jest liczonana podstawie symulacji.Wyniki przedstaw w tabelach. Wyznacz też składki nie opierającsię na symulacjach ale na parametrach odpowiednich rozkładów.Porównaj wyniki.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 20
Szkody uregulowane (K - liczba , s - wartość)
l.polis l.szkód 1980 1981 1982 1983 1984 1985K s K s K s K s K s K s
1980 10001981 40001982 80001983 60001984 40001985 4000
sumaśrednia
Wielkość szkód do zapłaty w roku 1986 =
Porównanie składekrok składka kwota wartość H1-S składka kwota H2-S
I składek H1 szkód S II składek H21980 25 25000 25 250001981 25 1000001982198319841985
suma suma
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 21
MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO
Pojedyncze ryzyko (polisa) może generować co najwyżej jednąszkodę
X wielkość ryzyka (dla jednej polisy)
X = IY
gdzie
I = 1 z prwdopodobieństwem q
0 z prwdopodobieństwem 1− qY ∼ F - wartość szkody, zmienna o rozkładzie ciągłym, F (0) = 0,EY = µ, V arY = σ2
Rozkład zmiennej X (rozkład mieszany):
FX(x) = 0 gdy x ¬ 0
(1− q) + qF (x) gdy x > 0
EX = qEY = qµ
V arX = qV arY + (EY )2(q − q2) = qσ2 + µ2q(1− q)
Portfel ryzyka - założenia:• polisy niezależne• n - liczba polis ustalona• liczba zgłoszeń z polisy - co najwyżej jedno
S = X1 + X2 + . . . + Xn - łączna wartość szkód z portfela
Rozkład zmiennej S = X1 + X2 gdy X1 ∼ F1, X2 ∼ F2
FS(s) = P (X1 + X2 ¬ s) = P (X1 ¬ s−X2)
=∫RF1(s− x)dF2(x) = F1 ∗ F2(s)
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 22
METODY APROKSYMACJI S
1. Aproksymacja rozkładem normalnym
CTG:
Jeżeli X1, X2, . . . , Xn i.i.d. EXi = m i V arXi = σ2 i Sn =X1 + X2 + . . . + Xn, to
∀z limn→+∞
P
Sn − nmσ√n¬ z
= Φ(z)
Model indywidualny, X1, X2, . . . , Xn i.i.d.
ES = nqµ
V arS = n(qσ2 + µ2q(1− q)
)
Podstawowe estymatory:
q = częstość =liczba szkód w okresie
liczba jednostek ryzyka=N
n
µ =suma wartości szkód w okresie
liczba szkód w okresie=
1N
N∑j=1
Yj
Π = nqµ
σ2 =1N
N∑j=1
(Yj − µ)2
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 23
Zad. 1. Portfel składa się z n niezależnych polis. Pojedyncza polisamoże generować co najwyżej jedną szkodę z prawdopodobieństwemq, a prawdopodobieństwem 1 − q nie generuje szkody. Rozkładwysokości szkody jest zmienną losową o wartości oczekiwanej µ iwariancji σ2. Składka przypadająca na jedno ryzyko (polisę) jestskalkulowana tak
H =1 + θ
nES
gdzie S oznacza sumaryczną wysokość szkód i θ oznacza narzutbezpieczeństwa dobrany tak by
P (S > nH) = 0, 01.
W portfelu mamy n = 1000 q = 0, 05 µ = 10 σ = 10. Wyznacz θ.
Zad 2. Rozważamy portfel ubezpieczeń na życie. Dane podaje ta-bela.
k nk - liczba qk - p-stwo bkpolis w k-tej grupie zgonu - the benefit
1 4000 0.01 102 2000 0.02 103 1000 0.01 20
Wyznacz θ taką, aby
P (S > (1 + θ)ES) = 0, 05.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 24
Zad. 3. Tysiąc mężczyzn wykupiło polisę na życie na rok. Prawdo-podobieństwo śmierci w ciągu roku dla każdego z mężczyzn wynosi0,001, a świadczenie 1 jednostkę. Jakie jest prawdopodobieństwo,że całkowite świadczenia w tej grupie wyniosą co najmniej 4 jed-nostki. Zastosuj aproksymację rozkładem normalnym i rozkłademPoissona, porównaj wyniki.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 25
Funkcja tworząca momenty zmiennej X > 0
MX(t) = EetX
Przykład. X ∼ Ex(λ)
MX(t) =∫ ∞0etxλe−λxdx =
λ
λ− tdla t < λ i M(t) =∞ dla t λ.
WŁASNOŚCI:1. MX(0) = 1;2. M (k)
X (t) = dk
dtkMX(t) = dk
dtkEetX = E(XketX) dla k = 1, 2, . . .;
3.[dk
dtkMX(t)
]t=0
= EXk;
4. V arX = M ′′X(0)− (M ′
X(0))2;5. jeżeli Y = aX to M.G.F. Y jest równa
MY (t) = MX(at).
6. Niech S = X + Y , gdzie X i Y niezależne, wtedy
MS(t) = MX(t)MY (t).
7. jeżeli Y = a + X to M.G.F. Y jest równa
MY (t) = Eeta+tX = etaMX(t).
8. Jeżeli MX(t) = MY (t) dla t ∈ (a, b), to X = Y wg rozkładu9.Niech Xn 0 i Xn −→ X wg rozkładu, toMXn(t) −→MX(t) dla t < 0.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 26
rozkład X MX(t)Bin(p, n) [1 + p(et − 1)]n
Poiss(λ) exp(λ(et − 1))Bin−(r, p) ( p
1−(1−p)et)r
U(a, b) etb−etat(b−a)
N(m,σ) exp(tm + 12σ
2t2)Gamma(α, β) ( β
β−t)α
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 27
Funkcja tworząca kumulanty zmiennej X > 0
CX(t) = lnMX(t)
WŁASNOŚCI:1.
C ′X(t) =M ′
X(t)MX(t)
=⇒ C ′X(0) = M ′X(0) = EX
2.
C ′′X(t) =M ′′
X(t)MX(t)− (M ′X(t))2
(MX(t))2 =⇒ C ′′X(0) = V arX
3.
C(3)X (0) = E(X − EX)3 =⇒ γX =
C(3)X (0)
(C ′′X(0))32
4.C
(4)X (0) = E(X − EX)4 − 3V ar2X
=⇒ κX =E(X − EX)4
V ar2X− 3 =
C(4)X (0)
(C ′′X(0))2
Niech S = ∑ni=1Xi, Xi niezależne
5.CS(t) =
n∑i=1
lnMXi(t) =n∑i=1CXi(t)
6.C
(3)S (t) =
n∑i=1C
(3)Xi
(t)
stądE(S − ES)3 =
n∑i=1E(Xi − EXi)3
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 28
γS =∑ni=1C
(3)Xi
(0)
(∑ni=1 V arXi)32
=n∑i=1γXi ·
(V arXi)32
(∑ni=1 V arXi)32
W szczególności jeżeli Xi i.i.d. γXi = γ i V arXi = σ2, to
γS = nγσ3
(nσ2)32
=γ√n
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 29
2. Aproksymacja rozkładem gamma
Z ∼ Gamma(α, β, x0), to Z − x0 ∼ Gamma(α, β)
gęstość
pα,β,x0(x) =βα
Γ(α)(x− x0)α−1 exp(−β(x− x0)) x > x0
MZ(t) = etx0
β
β − t
α
CZ(t) = tx0 + α ln β − α ln(β − t)
EZ = x0 +α
βV arZ =
α
β2
γZ =2√α
κZ =6α
=32γ2Z
Jeżeli S ma rozkład Gamma(α, β, x0), to parametry α, β, x0 wy-znaczamy z układu równań
x0 + αβ = µS
αβ2 = σ2
S2√α = γS
gdzie ES = µS, V arS = σ2S, γS = E(S−ES)3
σ3S
.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 30
Model indywidualny, X1, X2, . . . , Xn i.i.d.
ES = nqµ
V arS = n(qσ2 + µ2q(1− q)
)
γS =γX√n
γX =qE(Y 3)− 3q2µ(µ2 + σ2) + 2q3µ3
(√qσ2 + µ2q(1− q))3
Jeżeli S = S1 +S2 + . . .+Sk, gdzie Si niezależne (ale niekoniecznieo tym samym rozkładzie) to
ES =k∑i=1ESi
V arS =k∑i=1V arSi
γS =k∑i=1γSi ·
(V arSi)32
(∑ki=1 V arSi
)32
=∑ki=1E(Si − ESi)3
(V arS)32
Jeżeli składka H ma spełniać warunek
P (S > H) = ε
i S ∼ Gamma(α, β, x0), to
H = F−1Gamma(α,β)(1− ε) + x0
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 31
Zadanie 1.
Rozważmy trzy grupy ryzyka
k nk - liczba qk - p-stwopolis w k-tej grupie szkody
1 100 0.12 150 0.23 200 0.08
Wartość szkody jest równa 2. Wyznacz składkę łączną H w każ-dej grupie osobno i łącząc grupy po dwie według zasady P (S >
H) = 0, 02 stosując aproksymację rozkładem normalnym i rozkła-dem gamma.
Zadanie 2.
Wygeneruj 1000 polis wg modelu indywidualnego z prawdopodo-bieństwem szkody q = 0, 2 i wartością szkody a) Y ∼ Ex(0, 01)b) Y ∼ Pareto(5, 400). Na podstawie otrzymanych danych osza-cuj odpowiednie parametry rozkładu liczby i wartości szkód, anastępnie korzystająć z tych estymatorów oszacuj składkę łącz-ną H , dla portfela złożonego z 1000 polis tego samego typu, tak,by P (S > H) = 0, 05, gdzie S suma szkód. Zastosuj aproksyma-cję rozkładem normalnym i gamma. Wylicz też H wykorzystującrzeczywiste parametry rozkładu, a nie wartości estymatorów otrzy-manych na podstawie próby losowej.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 32
MODEL RYZYKA ŁĄCZNEGO
ZAŁOŻENIA:
•N(i) - liczba szkód na jedno ryzyko (jeden ubezpieczony), zmien-na losowa o wartościach naturalnych
• Y - wielkość szkody, o dystrybuancie FY
• Xi = Yi,1 + Yi,2 + . . . + Yi,N(i) - wartość szkód na jedno ryzyko
• S - suma roszczeń z portfela
S = X1 + X2 + . . . + Xn = Y1 + Y2 + . . . + YN
gdzie N - łączna liczba szkód, n - liczba polis
• Yi - niezależne zmienne losowe o dystrybuancie F = FY
• Wartość szkody jest niezależna od liczby szkód
S ma złożony rozkład prawdopodobieństwa (jest suma zmiennycho losowej liczbie składników) określa się go przez podanie rozkładuzmiennej Y i zmiennej N
Model indywidualny (szczególny przypadek modelu łącznego)S - ma złożony rozkład dwumianowy Cbin(n, p, F )
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 33
Pewne własności rozkładów złożonych
FS(x) = P (S ¬ x) =
P (S ¬ x ∧N = 0) + P (S ¬ x ∧N = 1) + . . . =+∞∑k=0
P (S ¬ x|N = k)P (N = k)
Rozkład warunkowy S pod warunkiem N = k jest rozkłademsumy k zmiennych losowych niezależnych
MGF (S)
MS(t) = EetS = EE(etS|N) = E((EetY
)N)
MS(t) = E((MY (t))N
)= MN (lnMY (t))
ES = µEN
V arS = σ2EN + µ2V arN
gdzie µ = EY , σ2 = V arY
E(S−ES)3 = E(Y−EY )3EN+3EY V arY V arN+(EY )3E(N−EN)3
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 34
ZŁOŻONY ROZKŁAD POISSONA CPoiss(λ, F )
N ∼ Poiss(λ)
FS(x) =+∞∑k=0
e−λλk
k!F ∗k(x)
ES = λµ V arS = λ(µ2 + σ2) = λE(Y 2)
MS(t) = MN (lnMY (t)) = exp (λ(MY (t)− 1))
CS(t) = λ(MY (t)− 1)
C ′S(t) = λM ′Y (t) C ′′S(t) = λM ′′
Y (t) C(3)S (t) = λM
(3)Y (t)
stąd
ES = λEY V arS = λE(Y 2) E(S − ES)3 = λE(Y 3)
WNIOSEK. S ma rozkład asymetryczny o skośności prawo-stronnej
γS =λE(Y 3)
(λE(Y 2))32
=E(Y 3)√λ(E(Y 2))
32
orazlimλ→∞
γS = 0
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 35
TWIERDZENIE 1.Niech S1, S2, . . . , Sn będą niezależnymi zmien-nymi losowymi o rozkładach CPoiss(λi, Fi), i = 1, 2, . . . , n.Niech
A = S1 + S2 + . . . + Sn.
Wtedy
A ∼ CPoiss
Λ,1Λ
n∑i=1λiFi
gdzie Λ = ∑n
i=1 λi.
PRZYKŁAD.S1 ∼ CPoiss(100, F1), S2 ∼ CPoiss(200, F2), S1, S2 niezależneF1 - dystrybuanta rozkładu wykładniczego Ex(α), F2 - dystrybu-anta rozkładu wykładniczego Ex(β). Wyznacz rozkład zmiennejS1 + S2.
ODP. S1 + S2 ∼ CPoiss(Λ, F ) gdzie Λ = 300 i
F (x) = 1− 13
exp(−xα)− 23
exp(−xβ)
Interpretacja: łączna liczba roszczeń ma rozkład Poissona z para-metrem 300, z prawdopodobieństwem 1
3 wielkość szkody pochodziz rozkładu Ex(α) i z prawdopodobieństwem 2
3 z rozkładu Ex(β).
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 36
ZAD 1. Dla pewnego portfela ryzyka liczba szkód ma rozkład Pois-sona z wartością oczekiwaną 10, wysokość pojedynczej szkody jestzmienną o rozkładzie Ex(200). Ubezpieczyciel pokrywa nadwyż-kę szkody ponad 100. Podaj wartość oczekiwaną i wariancję sumywypłaconych odszkodowań.
ZAD 2. Portfel ryzyk składa się z dwóch niezależnych podport-feli. Liczba szkód Ni w i-tym podportfelu jest zmienną losową orozkładzie Poiss(λi), zaś wysokość szkody jest ustalona równa bi.Niech
λ1 = 120 λ2 = 30 b1 = 1 b2 = 3
Jaki rozkład ma łączna wartość szkód z portfela. Oblicz wartośćoczekiwaną i wariancję łącznej wartości szkód jeśli wiadomo, żeN1 + N2 = 200.
ZAD 3. Dla pewnego portfela ryzyka liczba szkód ma rozkład Po-issona z wartością oczekiwaną 5, wysokość pojedynczej szkody jestzmienną o rozkładzie Gamma(2, 10). Aproksymujemy łączną war-tość szkód przesuniętym rozkładem gamma Gamma(α, β, x0), za-chowując przy tym wartości pierwszych trzech momentów. Wy-znacz parametry α, β, x0.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 37
TWIERDZENIE 2. Niech Sn = ∑ni=1 IniYni, gdzie
Ini = 1 z prawdopodobieństwem qni
0 z prawdopodobieństwem 1− qniYni są zmiennymi losowymi ciągłymi o dystrybuancie Fni iwszystkie zmienne Ini, Yni są niezależne.
Jeżeli
limn→∞
n∑i=1qni = λ lim
n→∞
n∑i=1
qniλFni(x) = F (x)
tolimn→∞Sn = S
(wg rozkładu), gdzie S ma złożony rozkład Poissona CPoiss(λ, F ).
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 38
ROZKŁAD UJEMNY DWUMIANOWY
Zmienna N ma rozkład ujemny dwumianowy bin−(r, p) wtt
P (N = k) =Γ(r + k)Γ(r)k!
pr(1− p)k k = 0, 1, 2, . . .
r > 0, p ∈ (0, 1) - parametry
Szczególny przypadek: r naturalne - interpretacja: N liczba pora-żek do uzyskania r-tego sukcesu
MN(t) = p
1− et(1− p)
r
= 1− q
1− etq
r
gdzie q = 1− p
CN(t) = r lnp
1− et(1− p)= r ln p− r ln(1− et(1− p))
stąd
EN =r(1− p)
p=
rq
1− q
V arN =r(1− p)p2 =
rq
(1− q)2
γN =1 + q√rq
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 39
Rozkład ujemny dwumianowy otrzymujemy jeśli przyjmiemy, żeliczba szkód jest wynikiem dwuetapowego doświadczenia: pierwszyetap polega na wylosowaniu ryzyka, a drugi etap na wygenerowa-niu przez to ryzyko liczby szkód, dokładniej• ryzyko charakteryzuje się przez wartość parametru λ, odpowia-dającego za wartość oczekiwaną liczby szkód z ryzyka• przy znanym λ liczba szkód z ryzyka N ma rozkład Poiss(λ).
P (N = k|λ) =λk
k!e−λ
fλ(x) =βα
Γ(α)xα−1e−βx x > 0
stąd
P (N = k) =Γ(α + k)Γ(α)k!
β
1 + β
α 11 + β
k
podstawiając r = α i p = β1+β otrzymujemy wzór na prawdopodo-
bieństwo w rozkładzie ujemnym dwumianowym.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 40
Rozkład ujemny dwumianowy jako rozkład złożony
K - liczba wypadków z jednego ryzyka K ∼ Poiss(λ) N =J1 + J2 + . . . + JK - liczba szkód z jednego ryzyka (jeden wypa-dek może generować więcej niż jedną szkodę) Niech Ji ma rozkładlogarytmiczny
P (Ji = k) =1
− ln(1− c)ck
k
gdzie c ∈ (0, 1) parametr.
MJ(t) =ln(1− cet)ln(1− c)
N ma złożony rozkład Poissona
MGFMN(t) = EetN = EE(etN |K)
MN(t) = MK(lnMJ(t)) = exp (λ(MJ(t)− 1))
= expln
1− cet
1− c
λ
ln(1− c)
wstawiając c = q i r = λ
− ln(1−c) otrzymujemy
MN(t) = p
1− et(1− p)
r
Zatem N ∼ bin−(r, 1− q)
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 41
Estymacja parametrów rozkładu bin−(r, p)
N1, N2, . . . , Nn i.i.d. bin−(r, p)
EMM
rozwiązujemy układ równań
r(1− p)p
= N
r(1− p)p2 = S2 =
1n
n∑i=1
(Ni − N)2
stąd
EMM(p) =N
S2 EMM(r) =N 2
S2 − N
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 42
ZADANIE.
Tabela podaje liczbę kierowców w pewnej grupie ryzyka, którzyzgłosili 0,1,2,3,itd szkód w ciągu roku.
k - liczba szkód nk - liczba ryzyk0 885851 105772 7793 544 45 1> 5 0
Dopasuj• rozkład Poissona (kierowcy stanowią grupę jednorodną)• rozkład ujemny dwumianowy (kierowcy nie stanowią grupy jed-norodnej, parametr λ odpowiadający za średnia liczbę wypadkówwaha się w populacji)• wyznacz parametry α i β rozkładu gamma opisującego wahanieparametru λ w populacji i oszacuj odsetek kierowców o średniejliczbie zgłoszeń przekraczającej 0,24.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 43
ENW
Niech:m0 = n
m1 - liczba obserwacji o wartości co najmniej 1;m2 - liczba obserwacji o wartości co najmniej 2;. . .
mM - liczba obserwacji o wartości co najmniej M ;M - maksymalna zaobserwowana wartość, mM+1 = 0
Funkcja wiarogodności
L(m1,m2, . . . ,mM , n, r, p) =
prn(rq)m1−m2
r(r + 1)2
q2
m2−m3
. . .
Γ(r + M)M !Γ(r)
qMmM
= prn(rq)m1
r + 12
q
m2r + 2
3q
m3
. . .
r + M − 1M
q
mM
lnL = nr ln(1− q) +M∑i=1mi ln q +
M−1∑i=0
mi+1 lnr + i
i + 1
.Różniczkując po r i q otrzymujemy równania
n ln(1− q) +m1
r+
m2
r + 1+ . . . +
mM
r + M − 1= 0
−nr1− q
+nN
q= 0.
Z drugiego równania mamy
p = 1− q =r
r + N,
wstawiając do równania pierwszego otrzymujemy równanie
n lnr
r + N+m1
r+
m2
r + 1+ . . . +
mM
r + M − 1= 0,
które rozwiązujemy numerycznie.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 44
ZŁOŻONY ROZKŁAD UJEMNY DWUMIANOWYCbin−(r, p, F )
S = Y1 + Y2 + . . . + YN i N ∼ bin−(r, p), Yi ∼ F
P (S ¬ s) =∞∑i=0P (S ¬ s|N = i)P (N = i)
=∞∑i=0
Γ(r + i)Γ(r)i!
prqiF ∗i(s)
MGF
MS(t) = EeN lnMY (t) = p
1− qMY (t)
r
Parametry: jeśli EYi = µ, V arYi = σ2 to
ES = µEN = µr1− pp
V arS = r1− pp
σ2 + r1− pp2 µ2
TWIERDZENIE. Jeżeli Si, i = 1, 2, . . . , k mają rozkłady Cbin−(ri, p, F )i są niezależne, to S = ∑k
i=1 Si ma rozkład Cbin−(∑ki=1 ri, p, F ).
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 45
REZERWY TECHNICZNO-UBEZPIECZENIOWE
1) rezerwa składek2) rezerwa na ryzyka niewygasłe3) rezerwa na niewypłacone odszkodowania lub świadczenia, w tymrezerwa na skapitalizowaną wartość rent4) rezerwa na wyrównanie szkodowości (ryzyka)5) rezerwa ubezpieczeń na życie6) rezerwa ubezpieczeń na życie, gdy ryzyko lokaty ponosi ubez-pieczający7) rezerwy na premie i rabaty dla ubezpieczonych8) rezerwy na zwrot składek dla członków9) inne rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe określone w statucie.
Rezerwa składek - ( UEPR - Unearned Premium Reserve) wy-znaczana indywidualnie dla każdej umowy ubezpieczenia, określaczęść składki przeniesioną na następne okresy sprawozdawcze wzwiązku z tym, że okres na jaki składka została przypisana niepokrywa się z bieżącym okresem sprawozdawczym. Rezerwa skła-dek powinna stanowić pokrycie przyszłych przewidywanych szkód,które zrealizują się po dacie bilansowej.
Współczynnik przeniesienia WP - część składki przeniesiona nanastępne okresy sprawozdawcze
Metody wyznaczania:metoda 50%metoda 1/12, 1/24 itd,metoda proporcjonalna do ryzyka.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 46
Rezerwa na ryzyka niewygasłe - tworzona jest w zakła-dach ubezpieczeń działu II i stanowi swego rodzaju uzupełnienieich rezerwy składek. Służy na pokrycie przyszłych odszkodowań,świadczeń i innych kosztów, jakie mogą powstać z zawartych umówubezpieczenia, które nie wygasają z końcem danego okresu spra-wozdawczego, a wysokość rezerwy składek może być niewystarcza-jąca na pokrycie zobowiązań zakładu ubezpieczeń.
Rezerwa na niewypłacone odszkodowania i świadcze-nia - zwana także rezerwą szkód, związana jest ze zobowiązaniamizakładu ubezpieczeń związanym ze szkodami, które wystąpiły wdanym okresie sprawozdawczym, ale odszkodowania i świadczeniaz nich wynikające jeszcze nie zostały wypłacone. Wyróżniamy trzygrupy rezerw:• rezerwa na szkody zgłoszone, dla których wysokość odszkodowa-nia została już wyznaczona, ale jeszcze nie została wypłacona;• rezerwa na szkody zgłoszone, dla których wysokość odszkodowa-nia jeszcze nie została oszacowana,• rezerwa na szkody zaistniałe, ale jeszcze niezgłoszone zakładowiubezpieczeń ( IBNR - incurred but not reported)
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 47
IBNR
Trójkąt szkódliczba lat opóźnienia (j)
rok zajściaszkód (i) 0 1 . . . n− 2 n− 1 n
0 C0,0 C0,1 . . . C0,n−2 C0,n−1 C0,n
1 C1,0 C1,1 . . . C1,n−2 C1,n−1
2 C2,0 C2,1 . . . C2,n−2
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
n− 1 Cn−1,0 Cn−1,1
n Cn,0
Metoda łańcuchowa (chain ladder)
Założenia:• Ci,j są wartościami skumulowanymi (np: Ci,j oznaczają łącznąwartość szkód z roku zajścia i zgłoszoną do roku opóźnienia j
włącznie, czyli Ci,j = ∑jk=0Xi,k, gdzie Xi,k oznacza łączną wartość
szkód z roku zajścia i zgłoszoną w roku opóźnienia k);• Zmienne Ci,j, Ck,j dla k 6= i są niezależne;• istnieją stałe fj, j = 0 = 1, 2, . . . , n takie, że dla każdego i =0, 1, . . . , n i dla każdego j E(Ci,j+1|Ci,j) = fj+1Ci,j.
Współczynniki łańcuchowe - estymatory parametrów fj
bj =C0,j + C1,j + . . . + Cn−j,j
C0,j−1 + C1,j−1 + . . . + Cn−j,j−1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 48
Oszacowanie dolnego trójkąta wartości skumulowanych
Ci,j = Ci,n−ibn−i+1 . . . bj
gdzie j > n− i
Uwagi:• metoda Chain Ladder była opracowana jako algorytm bez pod-staw teoretycznych (metoda heurystyczna) i została rozpowszech-niona jeszcze zanim rozwój metod statystycznych w XX wieku wdużym stopniu wpłynął na kształt praktyki ubezpieczeniowej;• metoda nie uwzględnia inflacji;• pojawienie się danej nietypowej (dana katastoficzna) może dra-stycznie zmienić wyniki (metoda nieodporna);• metoda nie uwzględnia być może występującego trendu związa-nego z latami zajścia szkód;• dane powinny być zdyskontowane na jeden okres;• do szacowania rezerw należy dodatkowo uwzględnić przyszłe zy-ski i inflację;• współczynniki łańcuchowe bj są estymatorami nieobciążonymiwspółczynników fj;• własności statystyczne współczynników wyznaczonych metodąChain Ladder podają między innymi prace:T. Mack, Distribution-free Calculation of the Standard Error ofChain-Ladder Reserve Estimates, ASTIN Bulletin 23(2), 1993,• Przy założeniu Xij ∼ Poiss(αiβj), gdzie ∑
βj = 1, oraz Xij
niezależne, predyktory Cin otrzymane w oparciu o estymatory naj-większej wiarogodności parametrów pokrywają się z predyktoramiotrzymanymi metoda łańcuchową.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 49
ROZKŁADY WARTOŚCI SZKÓD
Podstawowe własności:
• rozkłady skupione na dodatniej półosi X 0;
• rozkłady ciągłe, przy limicie odpowiedzialności rozkłady miesza-ne P (X = M) > 0, gdzie M limit odpowiedzialności;
• rozkłady prawostronnie asymetryczne, często z grubymi ogonami.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 50
Podstawowe rozkłady
Rozkład gęstość F (x) EX V arX
wykładniczy θe−θx 1− e−θx 1θ
1θ2
Ex(θ) θ > 0 x > 0Gamma(α, β) βα
Γ(α)xα−1e−βx Γ(α, βx) α
βαβ2
α, β > 0 x > 0IGamma(α, β) βα
Γ(α)x−α−1e−
βx Γ(α, βx) β
α−1β2
(α−1)2(α−2)
α, β > 0 x > 0
TGamma(α, β, τ) βατΓ(α)x
ατ−1e−βxτ
Γ(α, βxτ) Γ(α+ 1τ )
Γ(α)β1τ
EX2 = Γ(α+ 2τ )
Γ(α)β2τ
α, β, τ > 0 x > 0
LG(α, β) βα(lnx)α−1
xβ+1Γ(α) Γ(α, β lnx)(
ββ−1
)α (ββ−2
)α−(
ββ−1
)2α
α, β > 0 x > 0 β > 1 β > 2Pareto(θ, λ) λθθ
(λ+x)θ+1 1− λθ
(λ+x)θλθ−1
λ2θ(θ−1)2(θ−2)
λ, θ > 0 x > 0 θ > 1 θ > 2
LN(µ, σ) exp[− 12 (ln x−µσ )2]
xσ√
2πΦ( lnx−µ
σ ) eµ+ 12σ2
e2µ+σ2(eσ2 − 1)
µ ∈ R, σ > 0 x > 0
Burr(θ, λ, τ) τθλθ xτ−1
(λ+xτ )θ+1 1−(
λλ+xτ
)θ λ1τ Γ(θ− 1τ )Γ(1+ 1τ )
Γ(θ) EX2 =
τ, λ, θ > 0 x > 0 τθ > 1 λ2τ Γ(θ− 2τ )Γ(1+ 2τ )
Γ(θ)
τθ > 2
Weibull(c, τ) cτxτ−1e−cxτ
1− e−cxτ Γ(1+ 1τ )c1/τ
Γ(1+ 2τ )−Γ(1+ 1τ )c2/τ
c, τ > 0 x > 0GPareto Γ(θ+τ)λθxτ−1
Γ(θ)Γ(τ)(λ+x)θ+τ B(τ, θ, u) λτθ−1
λ2τ(θ+τ−1)(θ−1)2(θ−2)
(θ, λ, τ) u = xx+λ θ > 1 θ > 2
IPareto(θ, γ) γθxθ−1
(γ+x)θ+1
(x
γ+x
)θθ > 0, γ > 0
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 51
ZALEŻNOŚCI MIĘDZY ROZKŁADAMI
Funkcje od zmiennych losowych:
• mnożenie przez stałą - parametr skali
Y = cX
FY (y) = P(X ¬ y
c
)= FX
(yc
)fY (y) =
1cfX
(yc
)
PRZYKŁAD
1) X ∼ Ex(1) =⇒ Y = cX ∼ EX(1c)
2) X ∼ Gamma(α, 1) =⇒ Y = Xβ ∼ Gamma(α, β)
3) X ∼ Weibull(1, τ ) =⇒ Y = Xa ∼ Weibull(aτ , τ )
• przekształcenie wykładnicze Y = eX
FY (y) = P (X ¬ ln y) = FX(ln y) fY (y) =1yfX(ln y)
PRZYKŁADX ∼ N(µ, σ2) =⇒ Y = eX ∼ LN(µ, σ2)
• przekształcenie potęgowe
Y = X1τ
τ > 0 - rozkład transformowany
τ < 0 - rozkład odwrócony transformowany
τ = −1 - rozkład odwrócony
FY (y) = FX(yτ )
fY (y) = fX(yτ )|τyτ−1|
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 52
PRZYKŁAD1. X ∼ Ex(θ) =⇒ Y = X
1τ ∼ Weibull(θ, τ )
2. X ∼ Gamma(α, β). =⇒ Y = X−1 ∼ IGamma(α, β)3. X ∼ Pareto(θ, λ) =⇒ Y = X
1τ ∼ Burr, τ > 0
• mieszanki rozkładów
mieszanki dyskretne:f1, f2, . . . , fk - gęstości zmiennych X1, x2, . . . , Xk
p1, p2, . . . , pk > 0 ,∑ pi = 1 - wagi
Y zmienna o rozkładzie z gęstością f = ∑pifi
mieszanki ciągłe - ryzyka heterogeniczne:fθ(x) = f (x|θ), θ ∼ Π wtedy
f (x) =∫Θfθ(x)Π(dθ)
PRZYKŁAD:X ∼ Ex(γ) i γ ∼ Gamma(θ, λ) ⇒ rozkład brzegowy X -Pareto(θ, λ)X ∼ Gamma(τ, β) i β ∼ Gamma(θ, λ) ⇒ rozkład brzegowy X- GPareto(θ, λ, τ )
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 53
OGON ROZKŁADU
Funkcją przeżycia zmiennej X o gęstości f i dystrybuancie Fnazywamy funkcję
S(x) = 1− F (x) = F (x)
Duża wartość S dla dużych x - ciężki ogon
Porównywanie ogonów zmiennych X i Y :
limx→+∞
SX(x)SY (x)
= +∞
to X cięższy ogon niż Y
limx→+∞
SX(x)SY (x)
= 0
to X lżejszy ogon niż Y
PRZYKŁAD: Porównaj ogony rozkładów: Gamma, Pareto, Lo-gnormalnego, Weibulla
Średnia długość przyszła życia(średnia nadwyżka szkody ponad wartość x)
e(x) = E(X − x|X > x) =∫+∞x S(t)dtS(x)
,
założenie EX < +∞.
Duże e(x) dla dużych x świadczy o grubym ogonie.
Estymator próbkowy
en(x) =∑xj>x(xj − x)]{xj > x}
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 54
Estymator w oparciu o szereg rozdzielczy:
en(ci) =∑x>ci(x− ci)
n(1− Fn(ci))=
∑j>i cj · nj∑j>i nj
− ci
PRZYKŁADY:X ∼ Ex(λ), wtedy e(x) = 1
λ
X ∼ Pareto(θ, λ) wtedy e(x) = λ+xθ−1
X ∼ LN(µ, σ2) wtedy
e(x) = expµ +
12σ2
1− Φ(
lnx−µ−σ2
σ
)
1− Φ(
lnx−µσ
) − x
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 55
MODELE Z NIEKOMPLETNYMI DANYMI, DANE OBCIĘTEI OKROJONE (FRANSZYZA WARUNKOWA I BEZWARUN-KOWA, LIMIT ODPOWIEDZIALNOŚCI)
dane obcięte - brak obserwacji z pewnego zakresu
dane okrojone - znana jest liczba obserwacji z pewnego zakresu alenie znane są konkretne wartości
PRZYKŁADY: X - szkoda1. limit odpowiedzialności
Y =X gdy X < M
M gdy X M
próbka Y1, Y2, . . . , Yn - dane okrojone
2. franszyza warunkowapłatność dla szkody
Y = 0 gdy X < d
X gdy X d
próbka Y1, Y2, . . . , Yn - dane okrojoneale często ubezpieczyciel nie ma informacji o szkodach mniejszychniż dpłatność ubezpieczyciela V = X gdy X > d
próbka V1, V2, . . . , Vm - dane obcięte
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 56
3. franszyza bezwarunkowapłatność dla szkody
Y = 0 gdy X < d
X − d gdy X d
próbka Y1, Y2, . . . , Yn - dane okrojoneale często ubezpieczyciel nie ma informacji o szkodach mniejszychniż dpłatność ubezpieczyciela V = X − d gdy X > d
próbka V1, V2, . . . , Vm - dane obcięte
4. Płatność reasekuratora przy płatności ubezpieczyciela do limituodpowiedzialności Mpłatność dla szkody
Z = 0 gdy X < M
X −M gdy X M
próbka Z1, Z2, . . . , Zn - dane okrojoneale często reasekurator nie ma informacji o szkodach mniejszychniż Mpłatność reasekuratora W = X −M gdy X > M
próbka W1,W2, . . . ,Wm - dane obcięte
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 57
Funkcja wiarogodności i wartość oczekiwana
X zmienna o dystrybuancie F i gęstości f
1.Y =
X gdy X < M
M gdy X Mpróbka: Y1, Y2, . . . , Yn o wartościach mniejszych niż M , k liczbaobserwacji o wartości M
funkcja wiarogodności
L(y1, y2, . . . , yn, k) =n∏i=1f (yi) (1− F (M))k
EY = E(X ∧M) =∫ M0xf (x)dx + M(1− F (M))
Współczynnik eliminacji szkody
LERX(M) =E(X ∧M)
EX
2.Y =
0 gdy X < d
X gdy X dpróbka Y1, Y2, . . . , Ym większe od 0, k - liczba obserwacji o wartości0 - dane okrojone
funkcja wiarogodności
L(y1, y2, . . . , ym, k) =m∏i=1f (yi)F (d)k
EY =∫ +∞d
xf (x)dx
Jeśli dane obcięte V1, V2, . . . , Vm czyli dotyczące zmiennej V = X
gdy X > d, to funkcja wiarogodności
L(v1, v2, . . . , vm) =∏mi=1 f (vi)
(1− F (d))m
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 58
EV =∫+∞d xf (x)dx
1− F (d)= eX(d) + d
3.Y =
0 gdy X < d
X − d gdy X d
próbka Y1, Y2, . . . , Ym większe od 0, k - liczba obserwacji o wartości0 - dane okrojone
funkcja wiarogodności
L(y1, y2, . . . , ym, k) =m∏i=1f (yi + d)F (d)k
EY =∫ +∞d
(x− d)f (x)dx = eX(d)(1− F (d))
Jeśli dane obcięte V1, V2, . . . , Vm czyli dotyczące zmiennej V =X − d gdy X > d, to funkcja wiarogodności
L(v1, v2, . . . , vm) =∏mi=1 f (vi + d)
(1− F (d))m
EV =∫+∞d (x− d)f (x)dx
1− F (d)= eX(d)
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 59
Przydatne wiadomości ze statystyki
ESTYMACJA PARAMETRYCZNA
EMM (estymacja metodą momentów)
X1, X2, . . . , Xn i.i.d z rozkładu Pθ, θ- nieznany parametr
1. θ ∈ R (jednowymiarowa przestrzeń parametrów), rozwiąż:
EθX = X
2. θ = (θ1, θ2, . . . , θk) (k-wymiarowa przestrzeń parametrów), rozwiąż układ:
EθX = X
V arθX = S2
Eθ(X − µ)3 =1n
∑(Xi − X)3
. . . . . .
Eθ(X − µ)k =1n
∑(Xi − X)k
gdzie µ = EθX.
Przykład:
X = (X1, X2, . . . , Xn) Xi ∼ LN(µ, σ), EMM(µ) =? i EMM(σ2) =?.
Otrzymujemy układ:eµ+ 12σ
2= X
e2µ+σ2(eσ2 − 1) = S2
St”ad:
µ = lnX2
(S2 + X2)12
σ2 = ln S2
X2 + 1
Estymatory parametrów możemy również otrzymać wykorzystując wła-sność:
X ∼ LN(µ, σ)⇐⇒ Y = lnX ∼ N(µ, σ).
Niech Yi = lnXi, wtedy µ = Y i σ2 = S2Y .
Zad: Wyznaczyć EMM parametrów w rozkładzie Pareto(θ, λ).
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 60
Rozwiązanie: Otrzymujemy układ:
λ
θ − 1= X
λ2θ
(θ − 1)2(θ − 2)= S2
Stąd: θ = 2S2S2−X2 i λ = X(θ − 1).
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 61
EMK (estymacja metodą kwantyli)
X1, X2, . . . , Xn i.i.d z rozkładu Pθ, θ- nieznany parametr
1. θ ∈ R (jednowymiarowa przestrzeń parametrów), rozwiąż:
q 12(θ) = Q 1
2⇐⇒ Fθ(Q 1
2) =
12
2. θ = (θ1, θ2), rozwiąż układ:
q 14(θ) = Q 1
4i q 3
4(θ) = Q 3
4
lub układ równoważny:
Fθ(Q 14) =
14
i Fθ(Q 34) =
34
3. θ = (θ1, θ2, θ3). Otrzymujemy układ:
Fθ(Q 14) =
14
i Fθ(Q 12) =
12
i Fθ(Q 34) =
34
4. θ = (θ1, θ2, θ3, θ4). Rozważamy kwantyle rzędu 18 , 3
8 , 58 i 7
8 .
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 62
Przykład:
Niech X1, X2, . . . , Xn i.i.d z rozkładu Weibull(c, τ). Otrzymujemy układ:
1− e−cQτ1
4 =14
i 1− e−cQτ3
4 =34.
St”ad− ln 0.75 = cQτ
14
i − ln 0.25 = cQτ34Q 1
4
Q 34
τ
=ln 0.75ln 0.25
Estymatory mają postać:
τ = logQ 14
Q 34
( ln 0.75ln 0.25
)
c = − ln 0.75Qτ14
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 63
EMNW (estymacja metodą największej wiarogodności)
Niech X będzie obserwowaną zmienną losową o gęstości fθ(x), gdzie θ jestnieznanym parametrem. Funkcją wiarogodności nazywamy funkcję L(θ, x) =fθ(x)
Estymatorem największej wiarogodności parametru θ (ENW (θ)) nazywa-my argument maksimum funkcji L jako funkcji θ,
ENW (θ) = argmaxθL(θ, x).
Zachodzi: argmaxθ L(θ, x) = argmaxθ lnL(θ, x).
Jeżeli θ = (θ1, . . . , θk) jest parametrem ciągłym i L jest funkcją różniczko-walną, to ENW wyznaczamy rozwiązując układ równań:
∂L(θ, x)∂θj
= 0, j = 1, 2, . . . , k
lub równoważny układ:
∂ lnL(θ, x)∂θj
= 0, j = 1, 2, . . . , k.
Własności i uwagi:1. NiechX1, X2, . . . , Xn i.i.d z rozkładu o gęstości fθ, gdzie θ jest nieznanymparametrem. Przy pewnych warunkach regularności , jeżeli układ równań
Σni=1∂ lnL(θ,Xi)
∂θj= 0, j = 1, 2, . . . , k
ma dokładnie jedno rozwiązanie, to jest ono ENW (θ) i jest to estymatorzgodny.2. Jeżeli dodatkowo istnieją ∂2 lnL(θ,x)
∂θ2j, j = 1, 2, . . . , k i spełnione są założe-
nia umożliwiające zamianę kolejności operacji różniczkowania po ∂∂θjlub ∂2
∂θ2j
i całkowania i I(θ) jest dodatnio określona, to ENW (θ) jest asymptotycz-nie normalny i asymptotyczna macierz kowariancji ma postać I−1(θ), gdzie
I(θ) =Eθ
∂ ln fθ(X)∂θi
· ∂ ln fθ(X)∂θj
i,j=1...k
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 64
jest informacją Fishera.
Uwaga: Jeżeli θ ∈ R, to I(θ) = Eθ
(∂ ln fθ(X)
∂θ
)2= −Eθ
(∂2 ln fθ(X)
∂θ2
).
3. Jeżeli g jest różniczkowalna i g′(θ) 6= 0 i θn jest ENW (θ) opartym napróbie n-elementowej asymptotycznie normalnym, to g(θ) = ENW (g(θ))i
(g(θn)− g(θ))√n −→ N(0, [g′(θ)]2I−1(θ)).
Zad. Wyznacz asymptotyczną macierz kowariancji dla ENW w modelulognormalnym.
lnL(µ, σ,X) = − lnX − 0.5 ln(2π)− 0.5 lnσ2 − (lnX − µ)2
2σ2
∂2 lnL∂µ2 =
−1σ2
∂2 lnL∂(σ2)2 =
12σ4 −
(lnX − µ)2
σ6
∂2 lnL∂µ∂σ2 = −(lnX − µ)
σ4
Stąd
I(µ, σ2)−1 = σ2 0
0 σ4
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 65
ESTYMACJA W PRZYPADKU
GDY DANE SĄ POGRUPOWANE
Szereg rozdzielczy
przedziały liczebności częstości(c0, c1] n1 f1 = n1
n
(c1, c2] n2 f2 = n2n
. . . . . . . . .
(ck−1, ck] nk fk = nkn
Zakładamy, że nie obserwujemy wartości poniżej c0 i wypłacamy max ck.Funkcja wiarogodności:
L(θ) =∏ (∫ cl
cl−1fθ(x)dx
)nl(∫ ckc0fθ(x)dx
)nlub za pomocą dystrybuanty:
L(θ) =∏ [Ft(cl)− Fθ(cl−1)]nl
[Fθ(ck)− Fθ(c0)]n
W szczególności może być Fθ(c0) = 0 i Fθ(ck) = 1. Wyznaczamy θ dlaktórego L(θ) lub lnL(θ) osiąga max. Wykorzystujemy metody numerycznedla znalezienia punktu zerowania się pochodnej np metodę Newtona.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 66
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA
Niech X1, X2, . . . , Xn i.i.d. z rozkładu o gęstości fθ(x), θ - nieznany para-metr
Niech θ = ENW (θ) i θ ma asymptotyczny rozkład normalny z wariancjąasymptotyczną I(θ)−1. Wtedy
θ ∼ N(θ, (nI(θ))−1) dla dużych n.
Dodatkowo I(θ) jest estymatorem zgodnym funkcji I(θ), stąd(θ − θ
)√nI(θ) −→ N(0, 1).
Otrzymujemy więc asymptotyczny przedział ufności dla θ na poziomie uf-ności 1− α postaciθ − u1−α2
1√nI(θ)
, θ + u1−α21√nI(θ)
.
Przykład:
NiechX1, X2, . . . , Xn i.i.d. z rozkładu Weibulla o gęstości fθ(x) = θx exp(−θx2
2 ),θ > 0 - nieznany parametr. Funkcja
lnL(θ) = n ln θ + Σ lnxi −θ
2Σx2
i
a stąd
ENW (θ) =2n
Σx2i
oraz
I(θ) = −Eθ
∂2 ln fθ(X)∂θ2
= −Eθ
∂2(ln θ − θx2
2 )∂θ2
=1θ2 .
Otrzymujemy przedział ufności dla θ 2nΣx2
i
√n− u1−α2√
n,
2nΣx2
i
√n+ u1−α2√
n
.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 67
Zauważmy, że w tym modelu niekoniecznie musieliśmy wyznaczać ENW (I(θ)).Z własności asymptotycznych ENW (θ) mamy
(ENW (θ)− θ)√n
θ−→ N(0, 1)
Stąd przy n −→∞
P
∣∣∣∣∣∣ENW (θ)θ
− 1
∣∣∣∣∣∣√n ¬ u1−α2
−→ 1− α
Przekształcając nierówność i wstawiając postać ENW (θ) otrzymujemyprzedział 2n
Σx2i
√n√
n+ u1−α2,
2nΣx2
i
√n√
n− u1−α2
Korzystając z własności, że ENW (g(θ)) = g(θ), gdzie θ = ENW (θ), i(przy odpowiednich warunkach regularności )(
g(θ)− g(θ))√
n −→ N(0, [g′(θ)]2I−1(θ)
)w analogiczny sposób otrzymujemy asymptotyczny przedział ufności dlafunkcji g(θ) na poziomie ufności 1− α.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 68
TESTOWANIE HIPOTEZ O ZGODNOŚCI
Niech X1, X2, . . . , Xn i.i.d. z rozkładu o nieznanej dystrybuancie F
H0 : F = F0, F0 ustalona
1. Test Kołmogorowa-Smirnowa
Założenie: F0 - ciągła, ściśle rosnąca dystrybuanta
Statystyka testowa:Dn = sup
t∈R|Fn(t)− F0(t)|,
gdzie Fn(t) = Fn(X1, X2, . . . , Xn, t) jest dystrybuantą empiryczną.
Dn = max(D+n , D
−n )
gdzie
D+n = max
i=1...n(i
n− zi) D−n = max
i=1...n(zi −
i− 1n
) zi = F0(xi:n)
w przypadku szeregu przedziałowego
D+n = max
i=1...k(Fn(ci)− F0(ci)) D−n = max
i=1...k(F0(ci)− Fn(ci−1))
TEST: Jeżeli Dn > c(α, n), to hipotezę H0 odrzucamy.
Wybór c(α, n):
Rozkład statystyki Dn przy prawdziwości hipotezy H0 nie zależy od postaciF0.
Zatem c(α, n) są stablicowane. Dla n dużych korzystamy z wartości przy-bliżonych, kilka z nich podaje Tabela poniżej.
α 0.20 0.10 0.05 0.01c 1.07/
√n 1.22/
√n 1.36/
√n 1.63/
√n
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 69
2. Test Chi-kwadrat
F0 - dystrybuanta rozkładu dyskretnego, wtedy rozkład zmiennej X sku-piony jest w punktach a1, a2, . . . , ak.
Niech pj = P (X = aj).Niech Nj =liczba elementów próby losowej równych aj.
Statystyka testowa: χ2 = Σkj=1
(Nj−npj)2npj
.
Jeżeli n −→ ∞, to zmienna losowa χ2 dąży według rozkładu do zmiennejlosowej o rozkładzie Chi-kwadrat o k − 1 stopniach swobody (χ2
k−1)
TEST: H0 odrzucamy, gdy χ2 > χ2k−1(α), gdzie χ2
k−1(α) kwantyl rzędu1− α w rozkładzie χ2
k−1.
F0 - dystrybuanta rozkładu ciągłego.
Dzielimy nośnik rozkładu na k przedziałów o końcach
c0, c1, . . . , ck.
Niech pj = F0(cj)− F0(cj−1),Nj =liczba elementów próby należących do przedziału (cj−1, cj].Następnie stosujemy test jak przy rozkładzie dyskretnym.
Uwaga: Hipotezy złożone. Jeżeli
H0 : F ∈ {Fθ : θ ∈ Θ},
to najpierw estymujemy parametr θ (np. stosując ENW ). Jeżeli estymu-jemy parametr d wymiarowy, to asymptotyczny rozkład statystyki χ2 jestrozkładem Chi-kwadrat o k − d− 1 stopniach swobody.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 70
TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
(testy oparte na ilorazie wiarogodności)
Niech X1, X2, . . . , Xn i.i.d. z rozkładu Pθ, θ ∈ Θ
H0 : θ ∈ Θ0 H1 : θ ∈ Θ1 = Θ−Θ0
Statystyka testowa:
Λ0 =supθ∈Θ1 L(θ)supθ∈Θ0 L(θ)
lub
Λ =supθ∈Θ L(θ)supθ∈Θ0 L(θ)
,
gdzie L(θ) funkcja wiarogodności.
Obszar krytyczny:
K = {(x1, x2, . . . , xn) : Λ > λ(α)}
lubK = {(x1, x2, . . . , xn) : Λ0 > c(α)},
gdzie λ(α), c(α) wartości krytyczne dobrane tak by
∀θ ∈ Θ0 Pθ(K) ¬ α.