© Petr Kabele 2005-2014
Stavební mechanika 01 (K132SM01 )
Přednáší:prof. Ing. Petr Kabele, Ph.D.Katedra mechaniky K11132místnost B328tel. linka: 4485e-mail: [email protected]://people.fsv.cvut.cz/~pkabele
a
doc. Ing. Matěj Lepš, Ph.D.Katedra mechaniky K11132
1
© Petr Kabele 2005-20142
Petr Šmerkl, Wikipedia
Tři pilí ře studia na vysoké škole
Přednášky• širší pohled na
problematiku• teoretické základy pro další
tvůrčí rozvoj• ilustrativní příklady
Samostatná práce• studium látky z přednášek a cvičení - pochopení• domácí úkoly a příprava k testům a zkouškám -
využití získaných znalostí pro samostatné řešení konkrétních příkladů
Cvičení• využití získaných znalostí
pro řešení konkrétních příkladů pod vedením pedagoga
• praktické „triky“ a návody
© Petr Kabele 2005-20143
Organizace a podmínky výuky p ředmětu:• http://people.fsv.cvut.cz/~pkabele → Stavební mechanika 1
Literatura:• Kabele a kol.: Stavební mechanika 1. Příklady, ES ČVUT (2014)• Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 10, ES ČVUT• Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 20, ES ČVUT• (Kufner, Kratěnová, Kuklík: Teoretická mechanika, Příklady, ES ČVUT)
(Beer, Johnston: Vector Analysis for Engineers, McGraw-Hill)
Další studijní materiály:• Wiki stránky katedry mechaniky:
http://mech.fsv.cvut.cz/wiki/index.php/Department_of_Mechanics:_Student%27s_corner
• PROJEKT: Posílení vazby teoretických předmětů a profesní orientace v prvních dvou ročnících bakalářského studijního programu Stavební inženýrstvíhttp://www.fsv.cvut.cz/oppa/
© Petr Kabele 2005-2014
1. Úvod
Co je to mechanika?Nauka o chování těles vystavených působení sil.
zde chováním rozumíme:přenášení zatížení, změny tvaru a objemu (deformace), pohyb, ...
Stavební mechanika:studuje přenášení zatížení, deformace, pohyb, porušení, ... stavebních konstrukcí vystavených účinkům zatížení.
4
Statika se zabývá tělesy nacházejícími se v klidu, silami, které mezi takovýmito tělesy působí a rovnováhou celého systému.
Dynamika se zabývá tělesy v pohybu a zohledňuje působení setrvačných a tlumících sil.
© Petr Kabele 2005-2014
Proč je nutno studovat (stavební) mechaniku?
1) Bezpečnost a spolehlivost stavebních konstrukcí
Specifika stavebních konstrukcí:• požadovaná životnost: desítky až stovky let• vážné společenské a hmotné následky případné chyby
v projektu či havárie
⇒ inženýr musí umět navrhnout stavební konstrukci tak,aby byla bezpečná a spolehlivá po celou dobu své životnosti
5
© Petr Kabele 2005-2014
Havárie mostu Tacoma Narrows Bridge (USA)
• zavěšený most, délka 1810 m• uveden do provozu 1. července 1940• zřítil se 7. listopadu 1940 v důsledku vibrací vybuzených
větrem o rychlosti 70 km/h
6
© Petr Kabele 2005-2014
Tacoma Narrows Bridge
7
© Petr Kabele 2005-2014
Tacoma Narrows Bridge
8
© Petr Kabele 2005-2014
Havárie mostu Tacoma Narrows Bridge (USA)
• příčina – použití nového řešení mostovky: plné I profily namísto příhradových → při obtékání větru pod a nad mostovkou interakce proudícího vzduchu a konstrukce způsobila nestabilní oscilace (aeroelastický flutter)
9
© Petr Kabele 2005-2014
Velké zemětřesení v oblasti Hanšin (Kóbe) Japonsko)
• 17. ledna 1995, před 6. hodinou ráno• magnituda Mw6,8• intenzita 5-7 na sedmistupňové japonské stupnici• zrychlení na povrchu až 0,8 g (8 m/s2)• kolaps mnoha stavebních konstrukcí, zejm. postavených
podle starých norem
10
© Petr Kabele 2005-2014
Velké zemětřesení v oblasti HanšinDálnice Hanšin
• monolitické železobetonové pilíře (typ „piltz“)
11
© Petr Kabele 2005-2014
simulace: Concrete Lab., Univ. of Tokyo
• příčina kolapsu: nedostatečná a příliš nízko ukončená podélná výztuž, nedostatečné kotvení výztuže, nedostatečná smyková kapacita pilířů
12
Velké zemětřesení v oblasti Hanšin
© Petr Kabele 2005-201413
Velké zemětřesení v oblasti Tóhoku (Japonsko)
• pilíř zesílený proti účinkům zemětřesení pomocí železobetonové obálky
•11. března 2011• magnituda Mw9• maximální zrychlení na povrchu 2,99 g
foto: Report by the First Joint Survey Team of the JSCE Concrete and Structural Engineering Committees on the damage caused by the Great East Japan Earthquake
© Petr Kabele 2005-2014
Proč je nutno studovat (stavební) mechaniku?
2) Vzrůstající nároky na stavební konstrukce
• vyšší, delší, větší ... • kvalitnější• trvanlivější• levnější
konstrukce
Inovativní mechanická (statická) řešeníkonstrukce a vývoj a vyžití nových materiálů jsou kritickým faktory pro splnění těchto požadavků.
14
© Petr Kabele 2005-2014
Engineered Cementitious Composite (ECC) - „ohebný be ton“
Vláknocementové kompozity s tahovým zpevn ěním
15
© Petr Kabele 2005-2014
• víceúrovňový mechanický model• mikromechanicky odladěná skladba
Vývoj ECC materiálu
Makro Mezo II Mezo I Mikro
10-2 m
10-3 m
10-3 m
10-4 m
kS+
itɶ
σxi
r i
1
1 bNb
ic
t PA ϕ
== ∑�� ���
i mcrack i
K
rσ
π′
=
© Petr Kabele 2005-2014
KM Building(Ósaka, Japonsko, 9/2008)
• celková výška 210 m• počet podlaží: 54
nadzemních 1 podzemní
• počet bytových jednotek: 465
• výstavba: 15.9.2006 ~ 31.3.2009
• seizmické zatížení
Inovativní konstruk ční řešení s použitím ECC
17
© Petr Kabele 2005-2014
Konstrukční řešení
Tradiční řešení:• ŽB jádro (superstěna)
+ super nosník+ tlumiče
Inovativní řešení:• supernosník
nahrazen smykovými nosníky z duktilního vláknobetonu ECC
obrázek: Kajima Technical Research Institute18
© Petr Kabele 2005-201419
© Petr Kabele 2005-201420
© Petr Kabele 2005-201421
© Petr Kabele 2005-2014
Metoda mechaniky
Matematickáúloha
Soustavarovnic
mode-lování
Fyzickáúloha
Výsledek:předpověď,reprodukce
chování kce.
řešení
22
© Petr Kabele 2005-2014
Modelování:• idealizace, zjednodušení - identifikace dominantníhomechanismu chování
• definice veličin popisujících působení zatížení, jeho přenášenív konstrukci a následné chování konstrukce(síla, přemístění, napětí, deformace, ...)
• definice vztahů mezi těmito veličinami: vychází z obecněplatných fyzikálních zákonů a axiomů(zákony zachování energie, hmoty, hybnosti, zákon síly, ...)
Řešení:• podle typu matematické úlohy využíváme různýchmatematických a výpočetních technik(analytické, numerické - vhodné pro počítač, ...)
23
© Petr Kabele 2005-2014
V tomto předmětu (SM1):
• konstrukce či její části budou idealizovány jako body nebo tuhé prvky (desky nebo tělesa)
• budeme studovat rovnováhu konstrukce a jejích částí, přenášení sil v konstrukci
24
© Petr Kabele 2005-2014
2. Přehled některých základní znalostí z matematiky
Sinová věta:a : b : c = sin α : sin β : sin γ
Kosinová věta:a2 = b2 + c2 – 2bccos αb2 = a2 + c2 – 2accos βc2 = a2 + b2 – 2abcos γ
2.1 Trigonometrie
ab
c
α βγ
ac
αb
sin α = a/ccos α = b/ctan α = a/bPythagorova věta: c2 = a2 + b2
Pravoúhlý trojúhelník
Obecný trojúhelník
25
© Petr Kabele 2005-2014
2. Přehled některých základní znalostí z matematiky2.2 Vektorový počet
2.2.1 Kartézský souřadnicový systém
Souřadnicový systém v prostoru:• soustava tří vzájemně kolmých os x, y, z• pravotočivá soustava: pootočení
x → y v kladném smyslu kolem zy → zv kladném smyslu kolem xz → x v kladném smyslu kolem y(kladný smysl - proti směru hodin. ručičekpři pohledu proti ose)
Souřadnicový systém v rovině:
x
y
z
x
x
y
z
x
y
z
26
© Petr Kabele 2005-2014
Skalár:• veličina daná pouze velikostí, nezávisí na volbě souřadnicového systému
x
y
zVektor V:• veličina daná velikostí, směrem a orientací• vždy se vztahuje k souřadnicovému systému
VBázové vektory (souřadnicové vektory) e1, e2, e3:• jednotkové vektory v kladnýchsměrech souřadnicových os
e1
e2
e3
α
βγ
Směrové úhlyα, β, γ:• úhly mezi kladnými souřadnicovýmipoloosami a vektorem V
• platícos2α + cos2β + cos2γ = 1
2.2.2 Vektor
27
© Petr Kabele 2005-2014
x
y
z
V
Vyjádření vektoru prostřednictvím složek:
Vx
Vy
Vz
• složky: kolmé průměty vektorudo směrů souřadnicových os
• V = { Vx; Vy; Vz }
e1
e2
e3
• bázové vektory:e1 = {1; 0; 0}e2 = {0; 1; 0}e3 = {0; 0; 1}
α
βγ
• s použitím směrových úhlů:
Vx = |V| cos αVy = |V| cos βVz = |V| cos γ
|V| ... velikost vektoru
28
© Petr Kabele 2005-2014
• |V| ... velikost (délka) vektoru V:
• samotný symbol V ... může nabývat záporných i nezáporných hodnot,
nese informaci o velikosti vektoru V a jeho orientaci:
kladná hodnota ... orientace shodná s předpokládanou
záporná hodnota ... orientace opačná s předpokládanou
Např:
předpokládaná orientace vektoruV:
V
výsledek výpočtu:skutečná orientace vektoru V:
V = -5
V = 3
|V|=5
|V| = 3
29
2 2 2 0x y zV V V V= + + ≥�
© Petr Kabele 2005-2014
Vektor určený dvěma body:
x
y
z
V
K
LK [xK, yK, zK] a L [xL, yL, zL]
xKyK
zK
xL
yL
zL
V = KL = {xL-xK, yL-yK, zL-zK}
30
© Petr Kabele 2005-2014
2.2.3 Operace s vektory
Součet vektorůA a B je vektor C, pro který platí:
C = { Ax+Bx; Ay+By; Az+Bz}
• značení: C = A + B
• vlastnosti: A + B = B + A
•geometrický význam:
A
B
x
y
Ay
AxBx
By
Cx
CCy
31
© Petr Kabele 2005-2014
Součinem skaláru s a vektoruA je vektor B,
pro který platí:
B = {s Ax, s Ay, s Az}
• značení:B = s A• vlastnosti:
* s A = A s* vektory A B jsou rovnoběžné
* velikost
A
x
y
Ay
Ax sAx = Bx
BsAy = By
32
2 2 2 2 2 2x y zB s A s A s A s A= + + =
��
© Petr Kabele 2005-2014
f
Hledáme f = { fx; fy; fz }; | f| = 1
x
y
z
K
L
xKyK
zK
xL
yL
zL
Použití: Vyjádření složek jednotkového vektoruf ležícího v paprskudaném dvěma body K [xK, yK, zK] a L [xL, yL, zL]:
KL
KL = {xL-xK, yL-yK, zL-zK}
2 2 2( ) ( ) ( ) 1L K L K L Kx x y y z z= − + − + − ≠���
KL
Abychom získali jednotkový vektor,
přenásobíme KL skalárem ���1
KL
=� ���
���1
f KLKL
L K L K L Kx x y y z z− − −= = =��� ��� ���x y zf ; f ; fKL KL KL
33
© Petr Kabele 2005-2014
x
y
z
V
Použití: Vyjádření složek vektoru s použitím jednotkového vektoru ve směru V:
Vx = |V| fxVy = |V| fyVz = |V| fz
Dáno: f = { fx; fy; fz }; | f| = 1
hledáme V
fz
fx
fy
f
Takéfx = cos αfy = cos βfz = cos γ
34
© Petr Kabele 2005-2014
Skalárním součinem vektorůA a B je skalár s,pro který platí:
s = |A| |B| cos ϕ= Ax Bx + Ay By + Az Bz
• značení: s = A . B• vlastnosti:
* A . B = B . A* pro A ⊥ B: cos ϕ = 0, s = 0
A
B
ϕ
• geometrický význam a použití: * např. vyjádření složek vektoru V
Vx = |V| cos α = V . e1
Vy = |V| cos β = V . e2
Vz = |V| cos γ = V . e3
* skalární součin V. e vyjadřuje průmětvektoru V do osy určené jednotkovýmvektorem e .
.V
V . e
e
x
y
z
V
Vx
Vy
Vz
α
βγ
Vx
Vy
Vz
Vx
Vy
Vz
e1
e2
e3
35
© Petr Kabele 2005-2014
( ) ( ) ( )
}C ,C ,{CeCeCeC
e ABBAe ABBAe ABBA
BBB
AAA
eee
B AC
zyx3z2y1x
3yxyx2xzxz1zyzy
zyx
zyx
321
=++=
−+−+−==×=
���
���
���
���
Vektorovým součinem vektorůA a B je vektor C
který má následující vlastnosti:
1. velikost |C| = |A| |B| |sin ϕ| (plocha rovnoběžníka)
2. vektor C je kolmý k vektorům A a B
3. vektory A, B, C tvoří pravotočivou soustavu
A
B
ϕC
C
.
.
• značení: C =A x B
• vlastnosti:
* A x B = - B x A
* s (A x B) = (s A) x B = A x (s B)
* (A + B) x D = A x D + B x D
• vyjádření složek
36
© Petr Kabele 2005-201437
Vsuvka: výpočet determinantu matice 3x3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
= 11 22 33 21 32 13 12 23 31a a a a a a a a a⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
13 22 31 12 21 33 23 32 11a a a a a a a a a− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
© Petr Kabele 2005-2014
• značení: s = (A x B) . C• geometrický význam: objem rovnoběžnostěnu
určeného vektory A, B, C
• vlastnosti:
* (A x B) . C > 0 jestliže vektory A, B, C neleží v jedné rovině a tvoří
pravotočivou soustavu
* (A x B) . C = 0 leží-li vektory A, B, C v jedné rovině nebo je-li
aspoň jeden z nich nulový
* (A x B) . C = C . ( A x B )
* (A x B) . C = -(B x A) . C* (A x B) . C = (B x C) . A = (C x A) . B
yzxzxyxyzyxzxzyzyx
zyx
zyx
zyx
CBACBACBA-CBACBACBA
CCC
BBB
AAA
s −−++==
• smíšeným součinem vektorůA , B a C je skalár s definovaný determinantem:
A
BC
..
38
© Petr Kabele 2005-2014
3. Geometrie sil
3.1 Síly působící v jednom bodě
Úloha této kapitoly:matematicky popsat mechanickéúčinky zatížení na konstrukci a účinkyčástí konstrukce navzájem.
Účinky budeme popisovatprostřednictvím vektorovéveličiny -- síly.
Zjednodušující předpoklad:konstrukci (její části)můžeme idealizovat jako bod.
3.1.1 Zadání úlohy, předpoklady
39
© Petr Kabele 2005-2014
3.1.2 Síla
• značení F, R• definice, např. ze zákona síly:
Změna hybnosti hmotného bodu za jednotku časuje rovna síle působící na hmotný bod:
při konstantní hmotnosti bodu:
• základní jednotka: N (Newton)1N = 1 kg m s-2
Fdt
vmd
dt
Hd ���
== )(
Famdt
vdm
���
==
40
© Petr Kabele 2005-2014
* složky
F = { Fx; Fy; Fz }
Fx = F . e1 = |F| cos α = |F| fxFy = F . e2 = |F| cos β = |F| fyFz = F . e3 = |F| cos γ = |F| fz
* velikost síly: x
y
z
F
α
βγ
Fx
Fy
Fz
• síla je vektor vázaný na bod ve kterém působí (působiště)(operace se silami = operace s vektory)
f
41
2 2 2x y zF F F F= + +
��
© Petr Kabele 2005-2014
3.1.3 Základní axiomy
• v souladu s vektorovým pojetím síly
• Axiom o rovnováze sil:
F + (-F) = { Fx+(-Fx); Fy+(-Fy); Fz+(-Fz) }
= { 0; 0; 0 } = 0
F
-F
Věta o posunu působiště síly po jejím paprsku:Účinek síly na tuhé těleso se nezmění, posune-lise její působiště po paprsku, v němž síla působí.
F
F=
(tuhá tělesa ... síla je vektor vázaný na paprsek)42
© Petr Kabele 2005-2014
• Axiom o rovnoběžníku sil (sčítání sil):(geometrická interpretace)
F1
F2
x
yFr
ϕ1
ϕ2ϕ
π−ϕz kosinové věty:2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
2 cos( )
cos( ) cos
2 cos
π ϕ
π ϕ ϕ
ϕ
= + − −
− = −
= + +
� � � � �
� � � � �
r
r
F F F F F
F F F F F
sinová věta:1 1
2 2
sin sin
sin( ) sin
sin sin
sin( ) sin( )
ϕ ϕπ ϕ ϕ
ϕ ϕπ ϕ ϕ
= =−
= =−
�
�2
r
1
r
F
F
F
FF1
F2
Fr
ϕ1
π−ϕ
ϕ2
Fr … výslednice sil F1 aF2
|Fr | … velikost výslednice
43
© Petr Kabele 2005-2014
( ) ( )2 2
2 22 2
= + = + + +
= + + + + +
=
�2 2
r rx ry 1x 2x 1y 2y
2 21x 2x 1x 2x 1y 2y 1y 2y
F F F F F F F
F F F F F F F F
• výslednice Fr dvou sil F1 a F2
Fr = F1 + F2 = { F1x+F2x; F1y+F2y} (komutitativnost sčítání sil)
odvození pomocí vektorového počtu
• velikost výslednice Fr dvou sil F1 a F2
2
1
�
F2
2+�
F 212 FF��
⋅+This image cannot currently be displayed.
skalární součin
44
© Petr Kabele 2005-201445
Příklad:Rozložte sílu do dvou složek, které působící v paprscích a ab.F
�
a
b10F kN=
30aϕ = °85bϕ = °
aFbF
sinová věta: sin sin sin3010 5,517
sin ' sin ' sin 65
sin sin sin8510 10,992
sin ' sin ' sin 65
a b ab
b a ba
FF F kN
F
FF F kN
F
ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ
°= ⇒ = = =°°= ⇒ = = =°
180 30 85
5
'
6
ϕ = °− °− °
= °
'ϕ
© Petr Kabele 2005-2014
3.1.4 Svazek sil
Soustava sil = seskupení sil působících na těleso {Fi} = {F1, F2, F3, ..., Fn}Svazek sil = soustava sil, jejichž paprsky se protínají v jednom bodě
- prostorový- rovinný: všechny paprsky leží v jedné rovině
46
© Petr Kabele 2005-2014
Úlohy:
• výsledný účineksvazku sil: nahrazení svazku sil jedinou silouse stejným účinkem -výslednicí
=
• úloha rovnováhy: zrušení účinku svazku sil {Fi} přidáním svazku {Ri}
• úloha ekvivalence: nahrazení účinku svazku sil {Fi} svazkem {Ri}
+ = 0
=
{Fi}
{Fi}
{Fi}
{Ri}
{Ri}
Fr
47
© Petr Kabele 2005-2014
Př.1: Určete výsledný účineksvazku sil
Fr=F1+F2+F3
Frx=F1x+F2x+F3x
Fry=F1y+F2y+F3y
Frz=F1z+F2z+F3z
Fix=|Fi| fixFiy=|Fi| fiyFiz=|Fi| fizi=1,2,3
1. Určit složky 2. Výslednice
3.1.5 Prostorový svazek sil
i Fib x y z b x y z x y z vel f ix f iy f iz Fix Fiy Fiz
1 5 A 3 3 3 B 0 3 0 -3 0 -3 4.243 -0.707 0 -0.707 -3.536 0 -3.5362 10 C 0 3 3 A 3 3 3 3 0 0 3 1 0 0 10 0 03 3 A 3 3 3 O 0 0 0 -3 -3 -3 5.196 -0.577 -0.577 -0.577 -1.732 -1.732 -1.732
r 4.7324 -1.732 -5.268
vektor sílypoč kon jednot. vektorvektor
krychle o hraně 3mx
y
z
F3=3kN
O
A
B
C
F1=5kN
F2=10kN
2 2 2 7.290 kNr rx ry rzF F F F= + + =�
3. Velikost výslednice
48
© Petr Kabele 2005-2014
x
y
z
A4.732 kN
5.26
8kN
7.290 kNrF =�
49
© Petr Kabele 2005-2014
Př.2: Uveďte svazek sil z př.1 do rovnováhy3 silami R1, R2, R3
Fr+R1+R2+R3=0
x: Frx+R1x+R2x+R3x=0
y: Fry+R1y+R2y+R3y =0
z: Frz+R1z+R2z+R3z =0
Podmínky rovnováhy
x: Frx+R1f1x+R2f2x+R3f3x=0
y: Fry+R1f1y+R2f2y+R3f3y =0
z: Frz+R1f1z+R2f2z+R3f3z =0
ib x y z b x y z x y z vel f ix f iy f iz
1 E 3 0 0 A 3 3 3 0 3 3 4.243 0 0.707 0.7072 D 0 0 3 A 3 3 3 3 3 0 4.243 0.707 0.707 03 B 0 3 0 A 3 3 3 3 0 3 4.243 0.707 0 0.707
poč kon jednot. vektorvektor
krychle o hraně 3mx
y
z
O
R3
R2
R1
B
E
D
A
Pozn.: Vyznačené orientace sil R1, R2, R3 předpokládáme. Protože skutečné orientace jsou neznámé, do výpočtu zavádíme R1, R2, R3 namísto velikostí |R1|, |R2|, |R3|. Znaménka R1, R2, R3
pak určí skutečnou orientaci.
50
© Petr Kabele 2005-2014
x: 4.732 + 0 R1+ 0.707 R2+ 0.707 R3= 0
y: -1.732 + 0.707 R1+ 0.707 R2+0 R3 = 0
z: -5.268 + 0.707 R1+0 R2+ 0.707 R3= 0
R1 = 8.297 kNR2 = -5.847 kNR3 = -0.846 kN
|R2|=5.847 kN
nebox
y
z
O
B
E
D
A
|R1|=8.297 kN
|R3|= 0.846 kN
R2=-5.847 kN
x
y
z
O
B
E
D
A
R1=8.297 kN
R3= -0.846 kN
51
© Petr Kabele 2005-2014
Př.3: Nahraďte svazek sil z př.1 třemi silami R4, R5, R6 (ekvivalence)
Fr=R4+R5+R6
x: Frx=R4x+R5x+R6x
y: Fry=R4y+R5y+R6y
z: Frz=R4z+R5z+R6z
Podmínky ekvivalence
x: Frx=R4f4x+R5f5x+R6f6x
y: Fry=R4f4y+R5f5y+R6f6y
z: Frz=R4f4z+R5f5z+R6f6z
ib x y z b x y z x y z vel f ix f iy f iz
4 A 3 3 3 G 3 3 0 0 0 -3 3 0 0 -15 D 0 0 3 A 3 3 3 3 3 0 4.243 0.707 0.707 06 B 0 3 0 A 3 3 3 3 0 3 4.243 0.707 0 0.707
poč kon jednot. vektorvektor
Pozn.: Vyznačené orientace sil R4, R5, R6 předpokládáme. Protože skutečné orientace jsou neznámé, do výpočtu zavádíme R4, R5, R6 namísto velikostí |R4|, |R5|, |R6|. Znaménka R4, R5, R6
pak určí skutečnou orientaci.
x
y
z
R6
krychle o hraně 3m
R5
R4
A
B
D
G
52
© Petr Kabele 2005-2014
x: 4.732 = 0 R4+ 0.707 R5+ 0.707 R6
y: -1.732 = 0 R4+ 0.707 R5+ 0 R6
z: -5.268 = -1 R4+0 R5+ 0.707 R6
R4 = 11.732 kNR5 = -2.450 kNR6 = 9.143 kN
nebo x
y
z
A
B
D
G
R4 = 11.732 kN
R5 = -2.450 kN
R6 = 9.143 kN
x
y
z
A
B
D
G
|R4| = 11.732 kN
|R5| = 2.450 kN
|R6| = 9.143 kN
53
© Petr Kabele 2005-2014
3.1.6 Rovinný svazek sil
54
© Petr Kabele 2005-2014
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětuStavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze.Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.
Datum poslední revize: 24.9.2014 10:00
55