7/25/2019 Tarea01-15B Fourier
http://slidepdf.com/reader/full/tarea01-15b-fourier 1/18
TECNOL OGICO NACIONAL DE MEXICOINSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA
Analisis de Fourier
Ingenierıa electronica
Tarea 01
No. de Control: Nombre:
Certifico que:
He leıdo y tomado en cuenta las instrucciones para la solucion, presentacion y evaluacion de esta tarea.
Conservo una copia de esta tarea en caso de que el original sea extraviado o danado.
El trabajo plasmado en esta tarea es de mi autorıa, y ninguna parte de esta tarea ha sido copiada del trabajo de
otra persona.
La autorıa de las fuentes de informacion consultadas ha sido debidamente reconocida.
No he permitido que otras personas copien este trabajo.
Firma
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Problema Puntuacio n P ro bl em a P u nt ua cio n P ro bl em a P u nt ua cio n P ro bl em a P u nt ua cio n P ro bl em a P u nt ua cio n P ro bl em a P u nt ua cion
1 24 47 70 93 116
2 25 48 71 94 117
3 26 49 72 95 118
4 27 50 73 96 119
5 28 51 74 97 120
6 29 52 75 98 121
7 30 53 76 99 122
8 31 54 77 100 123
9 32 55 78 101 124
10 33 56 79 102 125
11 34 57 80 103 126
12 35 58 81 104 127
13 36 59 82 105 128
14 37 60 83 106 129
15 38 61 84 107 130
16 39 62 85 108 131
17 40 63 86 109 132
18 41 64 87 110 133
19 42 65 88 111 134
20 43 66 89 112 135
21 44 67 90 113 136
22 45 68 91 114 137
23 46 69 92 115 138
Total
Puntos deducidos por:
Calificacion
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1 24 47 70 93 116
2 25 48 71 94 117
3 26 49 72 95 118
4 27 50 73 96 119
5 28 51 74 97 120
6 29 52 75 98 121
7 30 53 76 99 122
8 31 54 77 100 123
9 32 55 78 101 124
10 33 56 79 102 125
11 34 57 80 103 126
12 35 58 81 104 127
13 36 59 82 105 128
14 37 60 83 106 129
15 38 61 84 107 130
16 39 62 85 108 131
17 40 63 86 109 132
18 41 64 87 110 133
19 42 65 88 111 134
20 43 66 89 112 135
21 44 67 90 113 136
22 45 68 91 114 137
23 46 69 92 115 138
Total
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1 24 47 70 93 116
2 25 48 71 94 117
3 26 49 72 95 118
4 27 50 73 96 119
5 28 51 74 97 120
6 29 52 75 98 121
7 30 53 76 99 122
8 31 54 77 100 123
9 32 55 78 101 124
10 33 56 79 102 125
11 34 57 80 103 126
12 35 58 81 104 127
13 36 59 82 105 128
14 37 60 83 106 129
15 38 61 84 107 130
16 39 62 85 108 131
17 40 63 86 109 132
18 41 64 87 110 133
19 42 65 88 111 134
20 43 66 89 112 135
21 44 67 90 113 136
22 45 68 91 114 137
23 46 69 92 115 138
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Puntos deducidos por:
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Filosof ıa de las tareas
Una de las mejores maneras de aprender algo es a traves de la practica y la repeticion. Por lo tanto, las tareas son muy
importantes en este curso. El conjunto de problemas de tarea ha sido cuidadosamente seleccionado para ser viable, sin
embargo, puede ser un reto. Todas las tareas son integrales. Si estudia y comprende la tarea, usted no deber ıa tener
problema con los examenes.
La tarea le da la oportunidad de aprender y practicar nuevas habilidades. Resolver la tarea le ayuda a aprender. Haga
la tarea todos los dıas y no deje que se acumule. Trate de resolver todos los problemas de la tarea por su cuenta antes
de discutir el problema o buscar la ayuda de otros. La experiencia ha demostrado que es importante intentar de forma
independiente la tarea, es decir, aplicando sus habilidades y conocimientos con el planteamiento del problema y una
hoja de papel en blanco.
En retrospectiva, la mayorıa de las soluciones parecen obvias, por lo que comenzar usted solo, con sus propios
recursos, le ayuda a evaluar los lımites de su comprension. Una vez que usted ha intentado resolver la tarea, no dude
en buscar la ayuda de los demas; sin embargo, busque comprender y no solo copiar el proceso o el resultado.
La resolucion de problemas de ingenierıa implica tanto la construcci´ on como la documentaci´ on de la solucion. La
capacidad para resolver un problema en ingenierıa no sirve para nada si el ingeniero no es capaz de comunicar la
solucion a aquellos que lo requieran. En la industria, las soluciones de ingenierıa a menudo se archivan y se utilizan
despues para solucionar un problema similar, como prueba en un juicio, o como base para un nuevo diseno, por lo que
la documentacion de su proceso de razonamiento es esencial.
Las directrices siguientes se presentan para ayudar a documentar y comunicar eficazmente tanto la solucion a un
problema como el proceso de obtencion del mismo. La correccion de cualquier solucionsolo puede ser juzgada despues
de evaluar el proceso de solucion junto con sus supuestos subyacentes.
Polıtica de las tareas
Los estudiantes pueden trabajar en equipos de dos o tres personas en las tareas asignadas, siempre que cada inte-
grante del grupo contribuya en la solucion de cada uno de los problemas. Si elige trabajar en un grupo, s olo una tarea
completa debe ser entregada por equipo. Por favor, asegurese de que el nombre completo, numero de control y firma
de cada alumno se incluya claramente en la portada de la tarea. Todos los estudiantes en un equipo recibir an la misma
calificacion por esa tarea.
Las tareas deberan entregarse al inicio de la clase del dıa senalado conforme al formato indicado en la siguiente
seccion.
Formato de las tareas
Para facilitar la evaluacion, y por coherencia, cada conjunto de problemas deber a ser presentado en el siguiente
formato:
1. Utilice hojas blancas, tamano carta (81 / 2 × 11”).
2. No use el papel de un cuaderno de espiral, hojas de block o papel para carpetas de argolla.
3. Preferentemente utilice una hoja (o las que sean necesarias) por problema, pero los problemas cortos pueden ser
combinados en una sola pagina, en este caso, asegurese que la separacion entre problemas sea suficientemente
clara.
4. Resuelva cada problema siguiendo las instrucciones del formato indicado en la siguiente seccion. Asegurese
de marcar (subrayando o encerrando en un rectangulo) la solucion o respuesta a cada una de las preguntas
planteadas en el enunciado del problema.
5. Preferentemente utilice solo una cara de la hoja, si decide usar ambas caras del papel aseg urese de que ambas
caras sean legibles, y que lo escrito en una cara no interfiera con la cara al reverso.
i
7/25/2019 Tarea01-15B Fourier
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6. Imprima la portada de la tarea y asegurese de incluir toda la informacion pertinente (numero(s) de control,
nombre(s) y firma(s)).
7. Organice los problemas siguiendo la numeracion de la tarea, con la portada al frente. Marque cada pagina de la
tarea, excluyendo la portada, en la esquina inferior derecha con el numero de pagina, con el formato Pag. n de
N donde n es el correspondiente numero de pagina y N el numero de paginas totales.
8. Engrape todas las paginas juntas en la esquina superior izquierda (el uso de carpetas es optativo, pero no engrape
las hojas de la tarea a la carpeta).
Se restara hasta un 30 % de la calificacion total si su tarea si no cumple con las indicaciones anteriores.
Formato de los problemas
Para facilitar la evaluacion, y por coherencia, cada problema debe presentarse en el siguiente formato:
1. Escriba el enunciado completo del problema (impreso o manuscrito), dejando margen suficiente en los cuatro
costados de la pagina.
2. Incluya los siguientes pasos o etapas en la solucion de cada problema (no es necesario que los identifique con
un tıtulo, ni que aparezcan estrictamente en el orden que aqu ı se mencionan, piense en la estructura logica que
mejor se adapte al problema que esta resolviendo):
Planteamiento del problema: identifique y resuma la informacion contenida en el enunciado del pro-
blema que puede ser empleada para la solucion del mismo. Identifique que es lo que intenta encontrar.
Describa brevemente el proceso que seguira para resolver el problema. Incluya los sımbolos de valores no
proporcionados o calculados y establezca la fuente de donde los obtuvo (de la tabla m.n del libro de texto
xyz ).
Representacion: si el problema se puede dibujar o esquematizar mediante un diagrama de cuerpo libre
(o equivalente), hagalo. Una descripcion grafica (modelo cualitativo) le ayudara en la descripcion y en la
solucion del problema. Incluya junto con el diagrama un listado o una tabla con los datos, las incognitas y
las variables con las que los representara en el proceso de solucion. Modelo: en este punto identifique las ecuaciones constitutivas que representan cuantitativamente el sis-
tema. Un modelo puede tener dimensiones cuantificables (masa, longitud, tiempo, etc.) sin unidades es-
pecıficas definidas (si, mks, sistema ingles).
Suposiciones: enumere todas las suposiciones hechas para resolver el modelo. En ningun momento de-
ben aparecer como suposiciones: hechos, teoremas, o informacion proporcionada en el enunciado del pro-
blema, a menos que el enunciado del problema indique explıcitamente que debe hacerse alguna suposicion
especıfica.
Desarrollo: a partir de este momento debe comenzar la solucion algebraica del problema. Incluya una
descripcion de los c alculos que vaya realizando (solucion de ecuaciones, derivadas, integrales). Como
ultimo paso del desarrollo, las ecuaciones constitutivas del modelo deben quedar reducidas a su forma final,
es decir, la incognita aislada en un lado de la ecuacion, antes de realizar cualquier sustitucion numerica.
Esto le ayudara a comprender la f ısica del problema.Con frecuencia, algunos estudiantes llevan este proceso al extremo, generando expresiones excesivamente
largas. Para evitar esto, busque calcular respuestas intermedias en el proceso de solucion. Por ejemplo,
puede que se requiera la masa m del gas contenido en un tanque en una ecuacion muy larga, pero la masa
depende a su vez de la presion, el volumen, la temperatura y la constante de un gas ideal a traves de
la relacion m1 = ( p1V 1)/( RT 1), entonces, en lugar de arrastrar la expresion ( p1V 1)/( RT 1) en la ecuacion
grande, utilice la variable m1 para la masa en dicha ecuacion y haga un calculo intermedio a un lado del
desarrollo principal para obtener el valor numerico de m1.
Solucion: sustituya los valores numericos conocidos en la expresion final del desarrollo (modelo termi-
nado), haga los calculos y evalue las unidades. Presente sus respuestas con el numero correcto de cifras
ii
7/25/2019 Tarea01-15B Fourier
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significativas, nunca puede ser mayor que el mınimo de cifras significativas proporcionadas en el enun-
ciado del problema. Si el numero de cifras significativas no es claro del enunciado, utilice tres cifras
significativas.
Nunca escriba la magnitud de una cantidad fısica sin las unidades apropiadas. La experiencia ha demostra-
do que no acarrear las unidades a lo largo de un calculo es una causa importante de errores. (Esa es tambien
la razon de que el uso de sımbolos, siempre que sea posible, es una buena idea.) Las respuestas numericas
reportadas sin unidades son inutiles e inaceptables. Los errores de unidades son mas f aciles de controlar
cuando se calculan respuestas intermedias como se menciono anteriormente, en lugar de rastrearlos en una
ecuacion larga.
Validacion: ¿Como saber si su respuesta es correcta? Una manera de validar su respuesta es sustituir los
valores obtenidos como soluci´ on junto con los datos identificados en el planteamiento del problema, en las
ecuaciones constitutivas del modelo y verificar que se satisfacen dichas ecuaciones. Argumente la logica
de su planteamiento y los calculos y la validez de sus respuestas. Trate de encontrar una estimacion de
soporte y apoyo a la exactitud de la respuesta. (¿Que calculo podrıa realizar su jefe en treinta segundos en
el reverso de un sobre para comprobar los resultados?)
3. Si no logra resolver con exito un problema, pero incluye una solucion parcial aceptable puede obtener hasta un
40 % de la puntuacion asignada al problema. Una solucion parcial aceptable debe contener lo siguiente (ver el
apartado anterior):
Una leyenda con el texto Soluci´ on parcial inmediatamente despues del enunciado del problema.
Planteamiento del problema.
Representacion.
Un bosquejo del modelo.
Analisis: en esta seccion debe estar documentado el intento de solucion y debe incluir una declaracion
explıcita o una pregunta que indique claramente por que esta confundido, que es lo que le esta causando
problemas, o que es lo que falta y que necesita saber para proceder con la soluci on del problema.
Criterios de evaluacion
Cada problema tiene una puntuacion maxima, asignada en funcion del grado de dificultad y de la cantidad de trabajo
necesario para resolverlo. De acuerdo con los criterios establecidos en la rubrica para evaluar la solucion de problemas
(ver pagina iv ) se otorgara un porcentaje de la puntuacion maxima a cada problema. La calificacion total de la tarea se
obtendra a partir de la suma de las valoraciones obtenidas en cada problema, dividida entre la puntuaci on total maxima
posible y multiplicada por cien. A esta nota se le podran restar puntos en caso de no cumplir con alguna(s) de la(s)
inidicacion(es) establecidas en las secciones anteriores.
Los problemas no entregados, o no resueltos se penalizaran con el 40 % de la puntuacion asignada al problema. Para
evitar esta situacion recuerde que puede optar por la opcion de Soluci´ on parcial de un problema (ver el apartado 3 de
la seccion anterior).
iii
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Rubrica para evaluar la solucion de problemas de matematicas
Conocimiento matematico Conocimiento estrategico Explicacion
Nivel Conocimiento de los conceptos y principios matematicos
que resultan en la correcta solucion del problema
Identificacion y uso de los elementos importantes del pro-
blema que representa e integra conceptos que llevan a la
solucion (i.e., modelos, diagramas, sımbolos, algoritmos
Explicacion escrita de las razones y lo
ceso de solucion. Proporciona una just
paso. Aunque es importante, la extensi
ta, la gramatica y la sintaxis no son elem
esta dimension.
4Muestra una comprension completa de los concep-
tos y principios matematicos del problema.
Usa apropiadamente la terminologıa y la notacion
matematica.
Puntualiza la respuesta cuando es apropiado.
Ejecuta completa y correctamente los calculos y al-
goritmos.
Identifica los elementos importantes del problema
y muestra una comprension completa de las rela-
ciones entre los elementos.
Muestra evidencia completa de una estrategia ade-
cuada con la que podrıa resolver correctamente el
problema.
Presenta una explicacion escrita c
ceso de solucion; explica clarame
cho y por que se ha hecho.
Puede incluir un diagrama con
completa de todos sus elementos.
3
Muestra una comprension casi completa de los
conceptos y principios matematicos del problema.
Usa de manera casi correcta la terminologıa y la
notacion matematica.
Ejecuta los algoritmos adecuadamente; los c al-
culos son generalmente correctos pero contienen
errores menores.
Identifica la mayorıa de los elementos del proble-
ma y muestra una comprension general de las rela-
ciones entre ellos.
Muestra evidencia casi completa de una estrategia
adecuada para la solucion del problema.
Presenta una explicacion escrita c
proceso de solucion; explica clara
hecho y comienza a abordar el p
cho.
Puede incluir un diagrama con la
elementos explicados.
2
Muestra alguna comprension de los conceptos y
principios matematicos del problema.
Usa alguna terminologıa y notacion matematica.
Puede incluir algunos errores algorıtmicos o com-
putacionales mayores.
Identifica algunos elementos importantes del pro-
blema pero muestra una comprension limitada de
las relaciones entre ellos.
Muestra alguna evidencia de una estrategia para re-
solver el problema.
Presenta alguna explicacion escri
solucion; ya sea que explica que
mienza a abordar por que se ha h
La explicacion es vaga, dif ıcil de
concuerda completamente con el
cion.
Puede incluir un diagrama con al
mentos explicados.
1
Muestra una comprension limitada o nula de los
conceptos y principios matematicos del problema.
Usa incorrectamente la terminologıa y la notacion
matematica.
Intenta una respuesta.
Falla en la identificacion de los elementos impor-
tantes o enfatiza elementos no eseciales.
Refleja una estrategia inadecuada para la solucion
del problema; la estrategia puede ser difıcil de
identificar.
Presenta una explicacion mınim
solucion; falla al explicar que se
que se ha hecho.
La explicacion no concuerda con
lucion presentado.
Puede presentar una discusion m
mentos en un diagrama; la explic
mentos significativos no es clara.
0
No aparece un intento de solucion. No hay una estrategia aparente. No presenta una explicacion escri
solucion.
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Fecha de publicacion: Septiembre 29, 2015
Fecha de entrega: Octubre 14, 2015
Teorıa
Teorema 1. Si una sucesi´ on {an} es mon´ otona y acotada,
entonces es convergente.
Teorema 2. Si una serie alternada convergente satisface
la condici´ on an+1 ≤ an , el valor absoluto del resto R N ,
al aproximar la suma S por S N , es menor o igual que el
primer t ´ ermino desechado. Esto es,
|S − S N | = | R N | ≤ a N +1
Unidad 1: Sucesiones y series
Ejercicio 1 (10 puntos)
Escriba los primeros 10 terminos de la sucesion
an =
−1
2
2
Ejercicio 2 (10 puntos)
Escriba los primeros 10 terminos de la sucesion
an = 5−
1
n+
1
n2
Ejercicio 3 (10 puntos)
Escriba los primeros 10 terminos de la sucesion
an = 3n
n!
Ejercicio 4 (10 puntos)
Escriba los primeros 10 terminos de la sucesion
an = 3n!
(n
−1)!
Ejercicio 5 (10 puntos)
Escriba los primeros 10 terminos de la sucesion defini-
da por recurrencia
a1 = 4 ak +1 =
k + 1
2
ak
Ejercicio 6 (10 puntos)
Escriba los primeros 10 terminos de la sucesion defini-
da por recurrencia
a1 = 32 ak +1 = 1
2ak
Ejercicio 7 (10 puntos)
Escriba los dos terminos que parecen seguir la sucesion
7/2, 4, 9/2, 5,. . . Describa la pauta observada escribiendo
una expresion para el termino generico an.
Ejercicio 8 (10 puntos)
Escriba los dos terminos que parecen seguir la sucesion
3, −3/2, 3/4, −3/8,. . . Describa la pauta observada escri-
biendo una expresion para el termino generico an.
Ejercicio 9 (10 puntos)
Escriba una expresion para el termino n-esimo de la su-
cesion. (Hay mas de una respuesta correcta posible.)
1, 4, 7, 10, . . .
Ejercicio 10 (10 puntos)
Escriba una expresion para el termino n-esimo de la su-
cesion. (Hay mas de una respuesta correcta posible.)
−1, 2, 7, 14, 23, . . .
Ejercicio 11 (10 puntos)
Escriba una expresion para el termino n-esimo de la su-
cesion. (Hay mas de una respuesta correcta posible.)
1,−14, 1
9,− 1
16, . . .
Ejercicio 12 (10 puntos)
Escriba una expresion para el termino n-esimo de la su-
cesion. (Hay mas de una respuesta correcta posible.)
2, 1 + 1
2, 1 +
1
3, 1 +
1
4, 1 +
1
5, . . .
Ejercicio 13 (10 puntos)
Escriba una expresion para el termino n-esimo de la su-
cesion. (Hay mas de una respuesta correcta posible.)
1 + 1
2, 1 +
3
4, 1 +
7
8, 1 +
15
16, 1 +
31
32, . . .
Ejercicio 14 (10 puntos)
Escriba una expresion para el termino n-esimo de la su-
cesion. (Hay mas de una respuesta correcta posible.)
1, 1
2, 1
6,
1
24,
1
120, . . .
1
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Ejercicio 15 (10 puntos)
Escriba una expresion para el termino n-esimo de la su-
cesion. (Hay mas de una respuesta correcta posible.)
1,− 1
1
·3,
1
1
·3
·5,− 1
1
·3
·5
·7 . . .
Ejercicio 16 (10 puntos)
Determine si la sucesion es convergente o no. En caso
de convergencia encuentre el lımite, y si la sucesion diver-
ge, justifique el porque de la divergencia.
an = (−1)n
n
n + 1
Ejercicio 17 (10 puntos)
Determine si la sucesion es convergente o no. En caso
de convergencia encuentre el lımite, y si la sucesion diver-
ge, justifique el porque de la divergencia.
an =
√ n√
n + 1
Ejercicio 18 (10 puntos)
Determine si la sucesion es convergente o no. En caso
de convergencia encuentre el lımite, y si la sucesion diver-
ge, justifique el porque de la divergencia.
an = ln(n2)
n
Ejercicio 19 (10 puntos)
Determine si la sucesion es convergente o no. En caso
de convergencia encuentre el lımite, y si la sucesion diver-
ge, justifique el porque de la divergencia.
an = (n + 1)!
n!
Ejercicio 20 (10 puntos)
Determine si la sucesion es convergente o no. En caso
de convergencia encuentre el lımite, y si la sucesion diver-
ge, justifique el porque de la divergencia.
an = n − 1
n − n
n − 1
Ejercicio 21 (10 puntos)
Determine si la sucesion es convergente o no. En caso
de convergencia encuentre el lımite, y si la sucesion diver-
ge, justifique el porque de la divergencia.
an = n2
2n + 1 − n2
2n − 1
Ejercicio 22 (10 puntos)
Determine si la sucesion es convergente o no. En caso
de convergencia encuentre el lımite, y si la sucesion diver-
ge, justifique el porque de la divergencia.
an =
n sin
1
n
Ejercicio 23 (10 puntos)
Determine si la sucesion es convergente o no. En caso
de convergencia encuentre el lımite, y si la sucesion diver-
ge, justifique el porque de la divergencia.
an =
1 +
k
n
n
Ejercicio 24 (10 puntos)
(a) Utilice el teorema 1 para demostrar que la sucesion
an = 3 − 4
n
es convergente. (b) Calcule los primeros diez terminos de
la sucesion y determine su lımite.
Ejercicio 25 (10 puntos)
(a) Utilice el teorema 1 para demostrar que la sucesion
an = 1
3
1 − 1
3n
es convergente. (b) Calcule los primeros diez terminos de
la sucesion y determine su lımite.
Ejercicio 26 (10 puntos)
Calcule los primeros siete terminos de la sucesion de
sumas parciales de la serie
1
2 · 3 +
2
3 · 4 +
3
4 · 5 +
4
5 · 6 +
5
6 · 7 + · · ·
Ejercicio 27 (10 puntos)
Calcule los primeros siete terminos de la sucesion de
sumas parciales de la serie
3−
9
2 +
27
4 − 81
8 +
243
16 − · · ·Ejercicio 28 (10 puntos)
Calcule los primeros siete terminos de la sucesion de
sumas parciales de la serie
∞n=1
3
2n−1
2
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http://slidepdf.com/reader/full/tarea01-15b-fourier 10/18
Ejercicio 29 (10 puntos)
Verifique que la serie
∞n=1
n
2n + 3 =
1
5 +
2
7 +
3
9 +
4
11 + · · ·
es divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 30 (10 puntos)
Verifique que la serie
∞n=0
4
3
n
es divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 31 (10 puntos)
Verifique que la serie
∞n=1
2n + 1
2n+1
es divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 32 (10 puntos)
Demuestre que la serie
∞n=0
2
3
4
n
= 2 + 3
2 +
9
8 +
27
32 +
81
128 + · · ·
es convergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 33 (10 puntos)
Demuestre que la serie
∞n=0
(−0.6)n= 1 − 0.6 + 0.36 − 0.216 + · · ·
es convergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 34 (10 puntos)
Demuestre que la serie
∞n=1
1
n(n + 2)
es convergente. Justifique su respuesta.Ejercicio 35 (40 puntos)
(a) Calcule la suma de la serie
∞n=1
4
n(n + 4)
(b) Encuentre las sumas parciales S n indicadas y complete
la tabla siguiente.
n 5 10 20 50 100
S n
(c) Elabore una grafica donde muestre las diez primeras
sumas parciales y una recta horizontal que represente el
valor de la suma. (d) Explique la relacion entre la magni-
tud de los terminos de la serie y el ritmo al que la sucesion
de sumas parciales tiende a la suma de la serie.
Ejercicio 36 (10 puntos)
Determine la suma de la serie
∞n=0
−1
2
n
Ejercicio 37 (10 puntos)
Determine la suma de la serie
3 − 1 + 1
3 − 1
9 + · · ·
Ejercicio 38 (10 puntos)
Determine la suma de la serie
∞n=2
1
n2 − 1
Ejercicio 39 (10 puntos)
Determine la suma de la serie
∞n=1
1
(2n + 1)(2n + 3)
Ejercicio 40 (10 puntos)
Determine la suma de la serie
∞n=0
1
2n − 1
3n
Ejercicio 41 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
n + 10
10n + 1
es convergente o divergente. En cualquier caso justifique
su respuesta.Ejercicio 42 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
2n
n2
es convergente o divergente. En cualquier caso justifique
su respuesta.
3
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Ejercicio 43 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
1
4n
es convergente o divergente. En cualquier caso justifiquesu respuesta.
Ejercicio 44 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=2
n
ln n
es convergente o divergente. En cualquier caso justifique
su respuesta.
Ejercicio 45 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
1 +
k
n
n
es convergente o divergente. En cualquier caso justifique
su respuesta.
Ejercicio 46 (10 puntos)
Aplique el criterio de la integral para decidir si la serie
∞n=1
1
n + 1
es convergente o divergente.
Ejercicio 47 (10 puntos)
Aplique el criterio de la integral para decidir si la serie
∞n=1
ne−n
es convergente o divergente.
Ejercicio 48 (10 puntos)
Aplique el criterio de la integral para decidir si la serie
1
2 +
1
5 +
1
10 +
1
17 +
1
26 +
· · ·es convergente o divergente.
Ejercicio 49 (10 puntos)
Aplique el criterio de la integral para decidir si la serie
ln 2
2 +
ln 3
3 +
ln 4
4 +
ln 5
5 +
ln 6
6 + · · ·
es convergente o divergente.
Ejercicio 50 (10 puntos)
Aplique el criterio de la integral para decidir si la serie
∞n=1
nk −1
nk + ck es un entero positivo
es convergente o divergente.Ejercicio 51 (10 puntos)
Aplique el criterio de la integral para decidir si la serie
∞n=1
nk e−n k es un entero positivo
es convergente o divergente.
Ejercicio 52 (10 puntos)
Aplique el criterio de la integral para decidir si la p-
serie ∞
n=1
1
n1/3
es convergente o divergente.
Ejercicio 53 (10 puntos)
Determine los valores de p > 0 para los que la serie
∞n=2
1
n(ln n) p
converge.
Ejercicio 54 (10 puntos)
Determine si la p-serie
∞
n=1
1
5√ nes convergente o no. Justifique su respuesta.
Ejercicio 55 (10 puntos)
Determine si la p-serie
∞n=1
1
n4/3
es convergente o no. Justifique su respuesta.
Ejercicio 56 (10 puntos)
Determine si la p-serie
1 + 14 + 1
9 + 1
16 + 1
25 + · · ·
es convergente o no. Justifique su respuesta.
Ejercicio 57 (10 puntos)
Determine si la p-serie
1 + 1
2√
2+
1
3√
3+
1
4√
4+
1
5√
5+ · · ·
es convergente o no. Justifique su respuesta.
4
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Ejercicio 58 (10 puntos)
Determine si la p-serie
1 + 1
3√
4+
13√
9+
13√
16+
13√
25+ · · ·
es convergente o no. Justifique su respuesta.
Ejercicio 59 (30 puntos)
Dada la serie ∞n=1
1
n2 =
π2
6
(a) Encuentre las sumas parciales S n indicadas y complete
la tabla siguiente.
n 5 10 20 50 100
S n
(b) Elabore una grafica donde muestre las diez primeras
sumas parciales y una recta horizontal que represente elvalor de la suma. (c) Explique la relacion entre la magni-
tud de los terminos de la serie y el ritmo al que la sucesion
de sumas parciales tiende a la suma de la serie.
Ejercicio 60 (30 puntos)
Sea f una funcion positiva, continua y decreciente en
x ≥ 1, tal que an = f (n). Demuestre que si la serie
∞n=1
an
converge a S , el resto R N = S
−S N esta acotado por
0 ≤ R N ≤ ∞
N
f ( x)dx
Ejercicio 61 (30 puntos)
Probar que el resultado del ejercicio 60 se puede expre-
sar como:
N n=1
an ≤∞
n=1
an ≤ N
n=1
an +
∞ N
f ( x)dx
Ejercicio 62 (10 puntos)
(a) Usar el resultado del ejercicio 60 para aproximar lasuma de la serie convergente
∞n=1
1
n2 + 1
tomando 10 terminos. (b) Estimar una cota para el error
en la aproximacion.
Ejercicio 63 (10 puntos)
(a) Usar el resultado del ejercicio 60 para aproximar la
suma de la serie convergente
∞
n=1
e−n
tomando 10 terminos. (b) Estimar una cota para el error
en la aproximacion.
Ejercicio 64 (10 puntos)
Usar el resultado del ejercicio 60 para determinar un N
tal que R N ≤ 0.0001 para la serie
∞n=1
e−5n
Ejercicio 65 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion directa para estudiar la
convergencia de la serie
∞n=1
1
3n2 + 2
Ejercicio 66 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion directa para estudiar la
convergencia de la serie
∞n=1
1
3n + 1
Ejercicio 67 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion directa para estudiar la
convergencia de la serie
∞n=1
1√ n3 + 1
Ejercicio 68 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion directa para estudiar la
convergencia de la serie
∞
n=0
1
n!
Ejercicio 69 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion directa para estudiar la
convergencia de la serie
∞n=1
1
3 4√
n − 1
5
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Ejercicio 70 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion en el lımite para estu-
diar la convergencia de la serie
∞
n=1
n
n2 + 1
Ejercicio 71 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion en el lımite para estu-
diar la convergencia de la serie
∞n=1
1
2n − 5
Ejercicio 72 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion en el lımite para estu-
diar la convergencia de la serie
∞n=1
2n2
− 13n5 + 2n + 1
Ejercicio 73 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion en el lımite para estu-
diar la convergencia de la serie
∞n=1
1
n√
n2 + 1
Ejercicio 74 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion en el lımite para estu-
diar la convergencia de la serie
∞n=1
1
n +√
n2 + 1
Ejercicio 75 (10 puntos)
Usar el criterio de comparacion en el lımite para estu-
diar la convergencia de la serie
∞n=1
sin 1
n
Ejercicio 76 (40 puntos)Dada la serie
∞n=1
(−1)n−1
n2 =
π2
12
(a) Calcule la suma parcial S n indicada y complete la ta-
bla.
n 1 2 3 4 5
S nn 6 7 8 9 10
S n
(b) Construya una grafica donde muestre las primeras diez
sumas parciales y una recta horizontal que represente el
valor de la suma. (c) ¿Que comportamiento tienen los pun-
tos respecto a la recta horizontal? La distancia de los pun-
tos a la recta ¿crece o decrece? (d) Discuta la relacion
entre las respuestas al apartado (c) y lo dicho acerca del
resto de las series alternadas en el teorema 2.
Ejercicio 77 (10 puntos)
Dada la serie∞
n=1
(−1)n−1
(2n − 1)! = sin 1
(a) Calcule la suma parcial S n indicada y complete la ta-
bla.
n 1 2 3 4 5
S nn 6 7 8 9 10
S n
(b) Construya una grafica donde muestre las primeras diez
sumas parciales y una recta horizontal que represente el
valor de la suma. (c) ¿Que comportamiento tienen los pun-
tos respecto a la recta horizontal? La distancia de los pun-
tos a la recta ¿crece o decrece? (d) Discuta la relacion
entre las respuestas al apartado (c) y lo dicho acerca del
resto de las series alternadas en el teorema 2.
Ejercicio 78 (10 puntos)
Determinar si la serie∞
n=1
(−1)n+1n
2n − 1es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 79 (10 puntos)
Determinar si la serie∞
n=2
(−1)n
ln n
es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 80 (10 puntos)
Determinar si la serie∞n=1
(
−1)nn2
n2 + 1
es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 81 (10 puntos)
Determinar si la serie∞
n=1
(−1)n
√ n
es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
6
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Ejercicio 82 (10 puntos)
Determinar si la serie
∞n=1
(−1)n+1 ln(n + 1)
n + 1
es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 83 (10 puntos)
Determinar si la serie
∞n=1
sin (2n − 1)π
2
es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 84 (10 puntos)
Determinar si la serie
∞
n=1
cos(nπ)
es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 85 (10 puntos)
Determinar si la serie
∞n=1
(−1)n+1√
n3√
n
es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 86 (10 puntos)
Determinar si la serie
∞n=1
2(−1)n+1
en − e−n = (−1)n+1 csch n
es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 87 (10 puntos)
(a) Usando el teorema 2 determinar cuantos terminos
hay que considerar para aproximar la suma de la serie
∞n=0
(−1)n
2nn! =
1√ e
con un error menor que 0.001. (b) Aproxime la suma de
la serie con un error menor que 0 .0001.
Ejercicio 88 (10 puntos)
(a) Usando el teorema 2 determinar cuantos terminos
hay que considerar para aproximar la suma de la serie
∞n=0
(−1)n
(2n)! = cos 1
con un error menor que 0.001. (b) Aproxime la suma de
la serie con un error menor que 0 .0001.
Ejercicio 89 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
(−1)n+1
(n + 1)2
es absolutamente convergente, condicionalmente conver-gente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 90 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
(−1)n+1(2n + 3)
n + 10
es absolutamente convergente, condicionalmente conver-
gente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 91 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=0
(−1)n
(2n + 1)!
es absolutamente convergente, condicionalmente conver-
gente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 92 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=0
cos nπ
n + 1
es absolutamente convergente, condicionalmente conver-gente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 93 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
sin(2n − 1)π/2
n
es absolutamente convergente, condicionalmente conver-
gente o divergente. Justifique su respuesta.
Ejercicio 94 (50 puntos)
(a) Demuestre que la serie
∞n=1
n2 + 1
n!
converge. (b) Complete la tabla calculando la suma parcial
S n.
n 5 10 15 20 25
S n
(c) Elabore una grafica donde muestre los valores de las
primeras diez sumas parciales. (d) Usando la informacion
7
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proporcionada por la tabla y la grafica de los apartados an-
teriores estime la suma de la serie. (e) Explique la relacion
entre la magnitud de los terminos de la serie y el ritmo de
acercamiento de la sucesion de sumas parciales a la suma
de la serie.
Ejercicio 95 (10 puntos)
Utilice el criterio del cociente para determinar la con-
vergencia de la serie∞
n=0
n!
3n
Ejercicio 96 (10 puntos)
Utilice el criterio del cociente para determinar la con-
vergencia de la serie
∞n=1
(−1)n+1(n + 2)
n(n + 1)
Ejercicio 97 (10 puntos)
Utilice el criterio del cociente para determinar la con-
vergencia de la serie
∞n=1
n!
n3n
Ejercicio 98 (10 puntos)
Utilice el criterio del cociente para determinar la con-
vergencia de la serie
∞
n=0
3n
(n + 1)n
Ejercicio 99 (10 puntos)
Utilice el criterio del cociente para determinar la con-
vergencia de la serie
∞n=0
(−1)n24n
(2n + 1)!
Ejercicio 100 (10 puntos)
Utilice el criterio del cociente para determinar la con-
vergencia de la serie
∞n=1
(−
1)n2·
4·
6· · ·
(2n)
2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)
Ejercicio 101 (10 puntos)
Utilice el criterio de la raız para determinar la conver-
gencia de la serie
∞n=1
n
2n + 1
n
Ejercicio 102 (10 puntos)
Utilice el criterio de la raız para determinar la conver-
gencia de la serie
∞
n=1
2 n√
n + 1n
Ejercicio 103 (10 puntos)
Utilice el criterio de la raız para determinar la conver-
gencia de la serie
1
(ln 3)3 +
1
(ln 4)4 +
1
(ln 5)5 +
1
(ln 6)6 + · · ·
Ejercicio 104 (10 puntos)
Determine si la serie
∞
n=1
5
n
es convergente o divergente empleando el criterio mas
adecuado. Indique el citerio empleado y justifique por que
es el mas adecuado.
Ejercicio 105 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
π
4
n
es convergente o divergente empleando el criterio mas
adecuado. Indique el citerio empleado y justifique por quees el mas adecuado.
Ejercicio 106 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
n
2n2 + 1
es convergente o divergente empleando el criterio mas
adecuado. Indique el citerio empleado y justifique por que
es el mas adecuado.
Ejercicio 107 (10 puntos)
Determine si la serie∞
n=1
(−1)n3n−2
2n
es convergente o divergente empleando el criterio mas
adecuado. Indique el citerio empleado y justifique por que
es el mas adecuado.
8
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Ejercicio 108 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
10n + 3
n2n
es convergente o divergente empleando el criterio masadecuado. Indique el citerio empleado y justifique por que
es el mas adecuado.
Ejercicio 109 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
ln n
n2
es convergente o divergente empleando el criterio mas
adecuado. Indique el citerio empleado y justifique por que
es el mas adecuado.
Ejercicio 110 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
(−1)n3n−1
n!
es convergente o divergente empleando el criterio mas
adecuado. Indique el citerio empleado y justifique por que
es el mas adecuado.
Ejercicio 111 (10 puntos)
Determine si la serie
∞n=1
3 · 5 · 7 · · · (2n + 1)18n(2n − 1)n!
es convergente o divergente empleando el criterio mas
adecuado. Indique el citerio empleado y justifique por que
es el mas adecuado.
Ejercicio 112 (10 puntos)
Encuentre el polomio de Maclaurin de grado n = 3 para
la funcion
f ( x) = e− x
Ejercicio 113 (10 puntos)
Encuentre el polomio de Maclaurin de grado n = 3 parala funcion
f ( x) = sin π x
Ejercicio 114 (10 puntos)
Encuentre el polomio de Maclaurin de grado n = 4 para
la funcion
f ( x) = x2e− x
Ejercicio 115 (10 puntos)
Encuentre el polomio de Taylor de grado n = 4, centra-
do en c = 1 para la funcion
f ( x) = ln x
Ejercicio 116 (10 puntos)
Encuentre el polomio de Taylor de grado n = 2, centra-
do en c = π para la funcion
f ( x) = x2 cos x
Ejercicio 117 (10 puntos)
Aproxime el valor de la funcion
f ( x) = e− x
en x = 1/2, mediante el polinomio obtenido en el ejercicio
112.
Ejercicio 118 (10 puntos)
Aproxime el valor de la funcion
f ( x) = x2e− x
en x = 1/4, mediante el polinomio obtenido en el ejercicio
114.
Ejercicio 119 (10 puntos)
Aproxime el valor de la funcion
f ( x) = ln x
en x = 1.2, mediante el polinomio obtenido en el ejercicio
115.
Ejercicio 120 (10 puntos)
Aproxime el valor de la funcion
f ( x) = x2 cos x
en x = 7π/8, mediante el polinomio obtenido en el ejerci-
cio 116.
Ejercicio 121 (10 puntos)
Use el teorema de Taylor para determinar la precision
de la aproximacion
e ≈ 1 + 1 + 12
2! + 13
3! + 14
4! + 15
5!
Ejercicio 122 (10 puntos)
Use el teorema de Taylor para determinar la precision
de la aproximacion
arctan0.5 ≈ 0.5 − (0.5)3
3
9
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Ejercicio 123 (10 puntos)
Determinar el grado mınimo del polinomio de Maclau-
rin a fin de tener un error menor que 0.001 al emplear
dicho polinomio para aproximar el valor de e0.75.
Ejercicio 124 (10 puntos)
Determinar el rango de valores de x que pueden em-plearse para emplear el polinomio de Taylor para aproxi-
mar la funcion sin que el error cometido exceda de 0.001.
f ( x) = sin x ≈ x − x3
3!
Ejercicio 125 (10 puntos)
Calcule el radio de convergencia de la serie de poten-
cias ∞n=0
(4 x)n
Ejercicio 126 (10 puntos)
Calcule el radio de convergencia de la serie de poten-
cias ∞n=1
(2 x)n
n2
Ejercicio 127 (10 puntos)
Calcule el radio de convergencia de la serie de poten-
cias ∞n=0
(2n)! xn
n!
Ejercicio 128 (10 puntos)
Calcule el intervalo de convergencia de la serie de po-tencias ∞
n=0
x
k
n
k > 0
Recuerde que es necesario analizar el comportamiento de
la serie en los puntos extremos del intervalo.
Ejercicio 129 (10 puntos)
Calcule el intervalo de convergencia de la serie de po-
tencias ∞n=0
xn
n!
Recuerde que es necesario analizar el comportamiento de
la serie en los puntos extremos del intervalo.
Ejercicio 130 (10 puntos)
Calcule el intervalo de convergencia de la serie de po-
tencias ∞n=0
(−1)nn!( x − 4)n
3n
Recuerde que es necesario analizar el comportamiento de
la serie en los puntos extremos del intervalo.
Ejercicio 131 (10 puntos)
Calcule el intervalo de convergencia de la serie de po-
tencias ∞n=0
(−1)n+1( x − 1)n+1
n + 1
Recuerde que es necesario analizar el comportamiento dela serie en los puntos extremos del intervalo.
Ejercicio 132 (10 puntos)
Calcule el intervalo de convergencia de la serie de po-
tencias ∞n=1
(−1)n+1 x2n−1
2n − 1
Recuerde que es necesario analizar el comportamiento de
la serie en los puntos extremos del intervalo.
Ejercicio 133 (10 puntos)
Calcule el intervalo de convergencia de la serie de po-
tencias ∞n=1
n
n + 1(−2 x)n−1
Recuerde que es necesario analizar el comportamiento de
la serie en los puntos extremos del intervalo.
Ejercicio 134 (10 puntos)
Calcule el intervalo de convergencia de la serie de po-
tencias ∞n=1
2 · 4 · 6 · · · 2n
3 · 5 · 7 · · · (2n + 1)
x2n+1
Recuerde que es necesario analizar el comportamiento de
la serie en los puntos extremos del intervalo.
Ejercicio 135 (10 puntos)
Calcule el intervalo de convergencia de la serie de po-
tencias ∞n=1
n!( x − c)n
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
Recuerde que es necesario analizar el comportamiento de
la serie en los puntos extremos del intervalo.
Ejercicio 136 (10 puntos)
Dado
f ( x) =
∞
n=0
x
2 n
Encuentre los intervalos de convergencia de (a) f ( x), (b)
f ( x), (c) f ( x), y (d)
f ( x)dx. Analizar, en cada caso, la
convergencia en los puntos terminales.
Ejercicio 137 (10 puntos)
Dado
f ( x) =
∞n=1
(−1)n+1( x − 1)n
n
Encuentre los intervalos de convergencia de (a) f ( x), (b)
f ( x), (c) f ( x), y (d)
f ( x)dx. Analizar, en cada caso, la
convergencia en los puntos terminales.
10
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Ejercicio 138 (40 puntos)
Sea
f ( x) =
∞n=0
(−1)n x2n+1
(2n + 1)! g( x) =
∞n=0
(−1)n x2n
(2n)!
Hallar los intervalos de convergencia de f y g.a)
Probar que f ( x) = g( x).b)
Verificar que g( x) = − f ( x).c)
Identificar las funciones f y g.d)
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