UNIDAD 5. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Tema 15. Funciones de Bessel (primer y segundo orden).
Por Benjamín Sánchez
Métodos Matemáticos I (FQ).
CONTENIDO
La Ecuación de Bessel de orden 𝛎
Funciones de Bessel de orden 𝛎
Funciones de Bessel de primera clase
Funciones de Bessel de segunda clase
Solución general de la función de Bessel
Relaciones de recurrencia
Funciones esféricas de Bessel.
Ceros de las funciones de Bessel
Algunas propiedades de las funciones de Bessel. Comportamiento asintótico
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎
𝛎 ≥ 0, 𝛎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙.x2y xy x2 2y 0
xy 2x2 v2y 0
a2xy a1xy a0xy 0
ecuación paramétrica de Bessel de orden 𝛎
ecuación modificada de Bessel de orden 𝛎x2y xy x2 v2y 0 t ix
x2y xy 2x2 v2y 0 t x 0
ecuación de Bessel de orden 𝛎 en la forma de
Sturm-Lioville
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎
𝛎 ≥ 0, 𝛎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙.|x2y xy x2 2y 0
x2y xy x2y 0 0 Ecuación de Bessel de orden 0
x2y xy x2 1y 0 1 Ecuación de Bessel de orden 1
Ecuación de Bessel de orden 2x2y xy x2 4y 0 2
x2y xy x2 14
y 0 12
Ecuación de Bessel de orden 1/2
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎
𝛎 ≥ 0
𝒙𝟎 = 𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒊𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
𝒙𝟎 = 𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒊𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒓𝒆𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
x2y xy x2 2y 0
y 1x y x22
x2y 0
Px 1x , Qx x22
x2,
xPx 1, x2Qx x2 2
y Pxy Qxy 0
SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS
x2y xy x2 2y 0 y yx, rSolución por método de Frobenius
y n0
cnxnr y
n0
n rcnxnr1 y n0
n rn r 1cnxnr2
x2 2y x2 2n0
cnxnr x2
n0
cnxnr 2
n0
cnxnr
n0
cnxnr2 2
n0
cnxnr
xy xn0
n rcnxnr1
n0
n rcnxnr
x2y x2n0
n rn r 1cnxnr2 n0
n rn r 1cnxnr
n2
cn2xnr 2
n0
cnxnr
y x x0r n0
cnx x0n
n0
cnx x0nr serie de Frobeniusc0 0
SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS
x2y xy x2 2y 0
n0
n rn r 1cnxnr n0
n rcnxnr n2
cn2xnr 2
n0
cnxnr 0
xr n0
n rn r 1cnxn n0
n rcnxn n2
cn2xn 2
n0
cnxn 0
xr 0
n0
n rn r 1cnxn n0
n rcnxn n2
cn2xn 2
n0
cnxn 0
n0
n rn r 1cnxn n0
n rcnxn 2n0
cnxn
n2
cn2xn 0
n0
n rn r 1 n r 2 cnxn n2
cn2xn 0
n rn r 1 n r 2 n2 2nr n r2 r n r 2 n2 2nr r2 2 n r2 2
SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS
x2y xy x2 2y 0
Evaluar para n = 0 y n = 1
n0
n r2 2 cnxn n2
cn2xn 0
r2 2c0 1 r2 2 c1x n2
n r2 2 cnxn n2
cn2xn 0
r2 2c0 1 r2 2 c1x n2
n r2 2 cn cn2 xn 0
c0 0 r2 2 0 r2 2 r r1 , r2
r2 2c0 0 ecuación indicial
1 r2 2 c1x 0 x 0 1 r2 2 c1 0
SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS
x2y xy x2 2y 0
1 r2 2 c1 0 Sustituir r = +𝛎
1 2 2 c1 0 2 2 1 2 c1 0 2 1 0 c1 0
Sustituir r = -𝛎
xn 0
r2 2c0 1 r2 2 c1x n2
n r2 2 cn cn2 xn 0
n r2 2 cn cn2 0
cn 1cn2
nr22
𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …
𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …
𝛎 ≥ 0
2 1c1 0,
∗ 𝛎 ≠ 1/2
1 2 2 c1 0 2 2 1 2 c1 0 1 2c1 0, 1 2 0 c1 0*
SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟1 = +𝛎
x2y xy x2 2y 0
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑟1 = +𝛎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑦1(𝑥)cn 1cn2
nr22𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …
n 2 2 n2 2n 2 2 n2 2n nn 2
cn 1cn2
nn2 relación de recurrencia𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …
c0 0, c1 0
n 2 c2 1222
c0 1221
c0 1
221c0
n 3 c3 1332
c1 0
SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟1 = +𝛎
x2y xy x2 2y 0
n 4 c4 1442
c2 1
2222
1
221c0 12
242112c0
n 5 c5 1552
c3 0
n 6 c6 1662
c4 13223
12
242112c0
1
3223
12
24211r2c0
13
2632112r3c0
relación de recurrencia𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …cn 1cn2
nn2
.
.
.
𝒏 = 𝟐, 𝟒, 𝟔, …cn 1
n2
2n n2
!12... n2
c0
SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟1 = +𝛎
x2y xy x2 2y 0
relación de recurrencia𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …cn 1cn2
nn2
𝑛 = 2𝑘 → 𝑘 =𝑛
2
cn 0 n 1,3,5. . .
𝒏 = 𝟐, 𝟒, 𝟔, …cn 1n2
2n n2
!12... n2
c0
𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,…c2k 1k
22kk!12...kc0
SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟1 = +𝛎
x2y xy x2 2y 0
c2n1 0
𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,…c2k 1k
22kk!12...kc0
c2n 1n
22nn!12...nc0 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,… c0 0
FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎
x2y xy x2 2y 0
y1x n0
cnxnr1
y1x n0
1n
22nn!12...nc0x2nv
n0
1n
n!n!x2
2nv
y1x x2
vn0
1n
n!n!x2
2n
pero c0v! c0dado que 1 2 . . . n n!
v!,
y1x c0
n0
1n
22nn!n!x2nv 2vc0
n0
1n
n!n!x2
2nv
donde escogimos c0 2v
FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎
x2y xy x2 2y 0
Dado que 𝛎≥0, esta serie converge por lo menos en el intervalo 0 ≤ x < ∞
función de Bessel
de primera clase de
orden 𝛎
Jx x2
vn0
1n
n!n!x2
2n
Jx n0
1n
n!n!x2
2nv
𝛎 ≥ 0
FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎
x2y xy x2 2y 0
J0x n0
1n
n!n!x2
2n
n0
1n
n!2
x2
2n 1 x2
4 x4
64 x6
2304 1
147 456x8 . . .
J1x n0
1n
n!n1!x2
2n1 1
2x 1
16x3 1
384x5 1
18 432x7 1
1474 560x9 . . .
J2x n0
1n
n!n2!x2
2n2
18
x2 196
x4 13072
x6 1184 320
x8 117 694 720
x10 . . .
Jx n0
1n
n!n!x2
2nv𝛎 ≥ 0
Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, 1,2,
FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎
x2y xy x2 2y 0
Funciones de Bessel de primera
clase para n = 0, 1, 2, 3, 4.
Las funciones de Bessel oscilan pero no son periódicas, excepto en el límite a medida que 𝒙 → ∞
SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟2 = −𝛎
x2y xy x2 2y 0
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑟2 = −𝛎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑦2(𝑥)cn 1cn2
nr22𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, …
n 2 2 n2 2n 2 2 n2 2n nn 2
c0 0, c1 0
relación de recurrencia𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … cn 1cn2
nn2
n 2 c2 1222
c0 1221 c0 1
221c0
n 3 c3 1332
c1 0
n 4 c4 1442
c2 1
22221
221c0 12
242112c0
SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟2 = −𝛎
x2y xy x2 2y 0
n 5 c5 1552
c3 0
n 6 c6 1662
c4 13223
12
242112c0 1
322312
24211r2c0
13
2632112r3c0cn 1
n2
2n n2
!12... n2
c0
c2k 1k
22kk!12...kc0
c2n 1n
22nn!12...nc0 c2n1 0
𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,…
𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,…
𝒏 = 𝟐, 𝟒, 𝟔, …
relación de recurrencia𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … cn 1cn2
nn2 c0 0
FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN -𝛎
x2y xy x2 2y 0
y2x n0
cnxnr2
y2x n0
1n
22nn!12...nc0x2nv
c0
n0
1n
n!n!x2
2nv
dado que 1 v2 v3 v n v n v! para n v
y2x c0nv
1n
22nn!n!x2nv 2vc0nv
1n
n!n!x2
2nv
nv
1n
n!n!x2
2nv
donde escogimos c0 2v
y2x x2
vnv
1n
n!n!x2
2n
FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN -𝛎
x2y xy x2 2y 0
función de Bessel
de primera clase de
orden -𝛎
Jx x2
vnv
1n
n!n!x2
2n
Jx nv
1n
n!n!x2
2nv
𝛎 ≥ 0
FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN -𝛎
x2y xy x2 2y 0
𝛎 ≥ 0
Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, -1,-2,
Jx nv
1n
n!n!x2
2nv
J0x n0
1n
n!n!x2
2n
n0
1n
n!2
12
x2n
1 14
x2 164
x4 12304
x6 1147 456
x8
J1x n1
1n
n!n1!x2
2n1
J2x n2
1n
n!n2!x2
2n2
12
x 116
x3 1384
x5 118 432
x7 11474 560
x9
18
x2 196
x4 13072
x6 1184 320
x8 117 694 720
x10
FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN ± 𝛎
x2y xy x2 2y 0
Jx n0
1n
n!n!x2
2nv
Funciones de Bessel
de primera clase de
orden ±𝛎
Jx nv
1n
n!n!x2
2nv
𝛎 = 0,1,2,…
Jx n0
1n
n!n!x2
2nv𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣 ≠ 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4
x2y xy x2 2y 0
Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, ±1, ± 2, ±3, ±4
J0x n0
1n
n!n!
x
2
2n
n0
1n
n!2
1
2x
2n 1 1
4x2 1
64x4 1
2304x6 1
147456x8
J1x n0
1n
n!n1!x
2
2n1 1
2x 1
16x3 1
384x5 1
18432x7 1
1474560x9 . . .
J1x n1
1n
n!n1!x
2
2n1 1
2x 1
16x3 1
384x5 1
18432x7 1
1474560x9
J2x n0
1n
n!n2!x
2
2n2 1
8x2 1
96x4 1
3072x6 1
184320x8 1
17694720x10 . . .
J2x n2
1n
n!n2!x
2
2n2 1
8x2 1
96x4 1
3072x6 1
184320x8 1
17694720x10
FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4
x2y xy x2 2y 0
Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, ±1, ± 2, ±3, ±4
J3x n0
1n
n!n3!x
2
2n3 1
39636172800x13 1
247726080x11 1
2211840x9 1
30720x7 1
768x5 1
48x3
J3x n3
1n
n!n3!x
2
2n3 1
39636172800x13 1
247726080x11 1
2211840x9 1
30720x7 1
768x5 1
48x3
J4x n0
5 1n
n!n4!x
2
2n4 1
713451110400x14 1
3963617280x12 1
30965760x10 1
368640x8 1
7680x6 1
384x4
J4x n4
9 1n
n!n4!x
2
2n4 1
713451110400x14 1
3963617280x12 1
30965760x10 1
368640x8 1
7680x6 1
384x4
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎SOLUCIÓN GENERAL
x2y xy x2 2y 0
para v 1,2,3. . .
Jx nv
1n
n!n!x2
2nv
Jx s0
1vs
vs!s!x2
2sv
1vs0
1s
vs!s!
x2
2sv 1vJx
v 1,2,3. . . Jx y Jx 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.
n 1,2,3. . .s 0,1,2. . .
n v 0 n v s n v s 2n 2v 2s 2n v 2s v
Jx n0
1n
n!n!x2
2nv
yx C1Jx C2Jx X 𝒗 = 𝟏, 𝟐, 𝟑…
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎SOLUCIÓN GENERAL
x2y xy x2 2y 0
Como encontrar yx C1y1x C2y2x ?
yx C1Jx C2Jx ?
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎SOLUCIÓN GENERAL
Método de Frobenius Analizar 𝒓𝟏 − 𝒓𝟐 = 𝐜𝐭𝐞
𝛎 > 0 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑣 − −𝑣 = 2𝑣
1. Si 2𝑣 no es un entero, entonces 𝐽𝑣 𝑥 𝑦 𝐽−𝑣 𝑥 son linealmente independientes(ninguna es un múltiplo constante de la otra), y la solución general de la ecuaciónde Bessel de orden 𝛎 es:
yx C1Jx C2Jx
con 𝐶1 y 𝐶2 constantes arbitrarias.
Ejemplo: 𝛎=1/3
J1/3x x2
1/3n0
1n
n!n1/3!x2
2nyJ1/3x x
2
1/3n0
1n
n!n1/3!x2
2n
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎SOLUCIÓN GENERAL
2. Si 2𝑣 es un entero positivo impar (2𝑣 = 2n + 1), entonces 𝑣 = n + ½ para algúnentero positivo n. En este caso, 𝐽𝑣 𝑥 𝑦 𝐽−𝑣 𝑥 siguen siendo linealmenteindependientes, y la solución general de la ecuación de Bessel de orden 𝛎 es:
con 𝐶1 y 𝐶2 constantes arbitrarias.
yx C1Jn1/2x C2Jn1/2x
Ejemplo: 𝛎=1/2
Por método de Frobenius
y1x x1/2 1 n1
1n
2n1!x2n x1/2
n0
1n
2n1!x2n1 x1/2 sinx x 0 sinx
x1/2
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎SOLUCIÓN GENERAL
De la misma forma para 𝛎 = -1/2, por método de Frobenius
yx C1J1/2x C2J1/2x
Funciones de Bessel J1/2 y J1/2Funciones de Bessel Jn1/2 y Jn1/2
funciones de Bessel de
orden semi-entero
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎SOLUCIÓN GENERAL
3. Si 𝑣 es un entero entonces 𝐽𝑣 𝑥 𝑦 𝐽−𝑣 𝑥 siguen siendo soluciones de laecuación de Bessel pero son linealmente dependientes.
En este caso debe construirse una segunda solución de la ecuación de Bessel,linealmente independiente de 𝐽𝑣 𝑥 .
Esto conduce a las funciones de Bessel de segunda clase.
y2x y1x e Pxdx
y1x2dx
y2x Jx e 1
x dx
Jx2dx Jx 1
xJx2dx
yx C1Jvx C2y2x
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎SOLUCIÓN GENERAL
función de Bessel de segunda clase de orden 𝑣Yvx
cosvJxJxsinv
función de Neumann
Nvx cosvJxJx
sinv función de Weber
para 𝑣 ≠ 𝑛, 𝑛 = 0,1,2… x 0
para 𝑣 ≠ 𝑛, 𝑛 = 0,1,2… x 0
para 𝑣 = 𝑛, 𝑛 = 0,1,2…
Ynx limvn Yvx
yx C1Jvx C2Yvx
yx C1Jnx C2Ynx
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎SOLUCIÓN GENERAL
𝐴𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙 𝑌𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
yx C1Jnx C2Ynx
LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎SOLUCIÓN GENERAL
Método de Frobenius 𝒓𝟏 = 𝒓𝟐 𝛎 = 0
y1x J0x n0
1n
n!2
x2
2n
Ir a T. Frobenius
yx C1J0x C2Y0x
Donde: hn 1 12 1
ny2x J0x lnx
n1
hn
1n1
n!2
x2
2n
Y0x 2 y2x ln2J0x función de Bessel de segunda clase de orden cero.
FUNCIONES DE BESSEL. RELACIONES DE RECURRENCIA
x >0Las funciones de Bessel de primera clase satisfacen las relaciones de recurrencia
Ejemplo calcular J3/2x v 1 3/2 v 1/2
J1x 2vx Jx J1x
J1/21x 2 1
2
x J1/2x J1/2x
como J1/2x 2x sinx
y J1/2x 2x cosx
J3/2x 1x
2x sinx 2
x cosx 2x sinx
x cosx
todas las funciones de Bessel de
orden semi-entero pueden
expresarse como combinación defunciones elementales.
FUNCIONES DE BESSEL. RELACIONES DE RECURRENCIA
FUNCIONES ESFÉRICAS DE BESSEL.
funciones esféricas de Bessel
l 0,1,2. . .
están relacionadas por
yx 1x yx 1
l 12
2
x2yx 0
x2yx xyx x2 l 12
2yx 0
jlx 2x
Jl1/2x
ylx 2x
Yl1/2x
ylx 1n1 2x
Jl1/2x
jlx xn 1x
d
dx
n sinxx
l 12
ylx xn 1x
d
dx
n cos xx
j0x sinxx
j1x 1x sinx
x cosx
j2x 3
x2 1 sinx
x 3 cos x
x2
y0x cos xx
y1x 1x cos x
x sinx
y2x 3
x2 1 cos x
x 3 sinx
x2
ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL
1. Las funciones de Bessel no son polinomios. Su serie de Taylor tiene infinitostérminos.
2. Para x << 1 las funciones de Bessel se pueden aproximar como
3. El término dominante a x pequeños es una potencia del mismo orden que lafunción de Bessel. De lo que se deduce además que 𝐽0(𝑥) = 1 y que 𝐽𝑛(𝑥) =0 para n > 0
4. para n=1,2,3
5. Para una variable real, 𝑥 ≫ 1 toda solución real de la ecuación de Bessel esaproximadamente de la forma 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝛾)/ 𝑥
ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL
1. Demostración sea ux x1/2yx
yx x1/2ux
yx x1/2ux x3/2
2ux
yx x1/2ux x3/2
2ux x3/2
2ux 3x5/2
4ux x1/2ux x3/2ux 3x5/2
4ux
sustituyendo en x2yx xyx x2 2yx 0
x2 x1/2ux x3/2ux 3x5/2
4ux x x1/2ux x3/2
2ux x2 2x1/2ux 0
x3/2ux 3x1/2
4ux x1/2
2ux x3/2 2x1/2ux 0 diviendo entre x3/2
ux 14
1
x2ux ux 1
x22ux 0 ux 1
2 14
x2ux 0
ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL
1. Demostración
cuando x 2 1
4
x2 0
ux ux 0
ux Acosx B sinx
ux A sinx
yx x1/2ux A
xsinx
Fórmulas Asintóticas de las funciones de Bessel
ux 1 2 1
4
x2ux 0
ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL
CEROS DE LAS FUNCIONES DE BESSEL
cualquier función de Bessel tiene una infinidad de ceros en el eje x
positivo
Se ha demostrado anteriormente, que para valores grandes de x la función de Bessel difiere muy poco de la función sinusoidal amortiguada,
CEROS DE LAS FUNCIONES DE BESSEL
TEOREMA DE FROBENIUS
TEOREMA DE FROBENIUS
La ecuación indicial general es
TEOREMA DE FROBENIUS CASO 1
TEOREMA DE FROBENIUS CASO 2
TEOREMA DE FROBENIUS CASO 3
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TEOREMA DE FROBENIUS
TEOREMA DE FROBENIUS
TEOREMA DE FROBENIUS
■ Encontrar una segunda solución
Cuando la diferencia r1 - r2 es un cero (caso III), el método de Frobenius no da unasegunda solución en serie; la segunda solución (22) siempre contiene un logaritmo yes en realidad la ecuación (20) con C = 1. Una forma de obtener esta segundasolución con el término logarítmico es usar el hecho de que
también es una solución de
siempre que y1(x) sea la solución conocida.
FUNCIÓN GAMMA DE EULER.
x 0
tx1etdt x 0
1 0
etdt limb et 0
b 1e
1
e0 1
x 1 0
txetdt
txetdt txet x tx1etdt
x 1 0
txetdt limb txet x tx1etdt tx
e x tx1etdt xx
2 1 1 11 1 1!
u tx du xtx1dt
dv etdt v et
FUNCIÓN GAMMA DE EULER.
2 1 1 11 1 1!
x 1 xx
3 2 1 22 1 2 2!
4 3 1 33 1 2 3 3!
k k 1!k 1 k!
n k 1
n 1 k 1 1 k 1k 1 k 1k! k 1!
x x1x 1 x 0
12
12
1
21
12
2 12
2
FUNCIÓN GAMMA DE EULER.
2 1 1 11 1 1!
x 1 xx
3 2 1 22 1 2 2!
4 3 1 33 1 2 3 3!
k k 1!k 1 k!
n k 1
n 1 k 1 1 k 1k 1 k 1k! k 1!
x x1x 1 x 0
12
12
1
21
12
2 12
2
FIN ….
BIBLIOGRAFÍA
Ecuaciones Diferenciales - 4ta Ed. - William Boyce & Richard Diprima
Ecuaciones Diferenciales - 4ta Edición - C. Henry Edwards & David E. Penney
Ecuaciones Diferenciales - 5ta Edición - Isabel Carmona Jover
Ecuaciones Diferenciales - 9na Ed. - Dennis G. Zill
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias para Estudiantes de Física - Juan M. Aguirregabiria
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, 6a. Ed. Peter V. O'Neil
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Vol 1 - Ecuaciones Diferenciales - Dennis Zill, Cullen- 3ed
Métodos matemáticos para físicos - George Arfken - 1a edición
Métodos Matemáticos avanzados para científicos e ingenieros - Santos Bravo Yuste
Advanced Engineering Mathematics - Alan Jeffrey
Advanced Mathematics for Engineering and Science - C F Chan Man Fong
Generalized Bessel Functions of the First Kind Lecture. Notes in Mathematics - Árpád Baricz
Mathematical Methods in Science and Engineering - S. Selcuk Bayin