1
TEMELLER
A) NASIL ? LAGRANGE DENKLEMLERİ
B) KISIT KUVVETLERİ
C) HAMİLTON DENKLEMLERİ
D) NEDEN ? HAMİLTON İLKESİ
E) HAMİLTON-JACOBİ DENKLEMLERİ
F) POİSSON PARANTEZLERİ
G) İKİ PARÇACIK PROBLEMİ
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
A ) NASIL ? LAGRANGE DENKLEMLERİ
Klasik mekaniğe Lagrange denklemleri ile yaklaşımın temelleri, fiziğin epey derinlerinde,
kuantum mekaniğinde olduğu için 'Neden ?' sorusu ertelenip önce 'Nasıl ?' sorusuna cevap
aranır. Başlangıç noktası, deyim kıtlığında 'Sanal İş İlkesi' olarak adlandırılan ve 'Kısıt'
kuvvetlerini devre dışı bırakmayı amaçlayan k k k k
k k
F dr m r dr denklemi
olacaktır. Bu denklemde 1 , 2 , 3k kartezyen indisleri, r : konum , F de kısıt
kuvveti dışında kalan kuvvetleri ifade eder. Kısıt kuvvetleri ya sıfır ya da dr 'ye izin
vermeyecek ölçüde sonsuz oldukları için 'İş' terimlerinde yer almazlar. Şimdilik tek parçacık
için yazılan bu denklem ileride kolaylıkla çok parçacık durumlarına genellenecektir. kdr 'ler
parçacığın hareketini kısıtlayan geometrik şartlardan dolayı bağımsız olmayabilirler ve
yukarıdaki denklem k kF m r haline indirgenemez. Bu noktada 3j olmak
üzere, icabında kartezyen olmayan, hatta uzunluk boyutunda bile olmayan, ancak bağımsız
jq 'Genelleştirilmiş Koordinat'lara geçilir.
2
j j k k k jq q r r r q olduğu için kk j
j j
rdr dq
q
biçiminde yazılır ve denklem k kk j k j
k j k jj j
r rF dq m r dq
q q
halini alır. Bu durumda jdq 'lerin bağımsızlığı
k kk k
k kj j
r rF m r
q q
verir. Bu noktada, ileride gerekli olacak bazı
özdeşlikleri elde etmek yararlı olacaktır. kk j
j j
rdr dq
q
denkleminin dt ile
bölünmesinden k
k j
j j
rr q
q
ve bunun da jq 'ye göre kısmi türevinden de
k k
j j
r r
q q
bulunur. k kk k
k kj j
r rF m r
q q
denkleminin sol
tarafı kj k
k j
rQ F
q
olarak tanımlanır ve 'Genelleştirilmiş Kuvvet' olarak
adlandırılır. Sağ tarafın yorumlanması biraz daha karmaşıktır:
+ + + k k k k k k kk k k k k k k
j j j j j j j
d r r d r r d r r rr r r r r r r
dt q q dt q q dt q q q
dolayısıyla k k kk k k
j j j
r d r rr r r
q dt q q
özdeşliğinin
kk j
k j
rm r Q
q
denklemine yerleştirilmesi sonucu elde edilen
k kk k j
k kj j
d r rm r m r Q
dt q q
ifadesi
3
2 , 2
k kk k k
k k kj j j j
m K r K rK r mr mr
q q q q
kullanılarak j
j j
d K KQ
dt q q
ara sonucuna ulaşılır. F ifadesi
bilinmeden daha ileri gidilemez, ancak jQ ifadeleri, uygun bir , j jU q q
'Potansiyel Enerji' fonksiyonu yardımıyla j
j j
d U UQ
dt q q
olarak
yazılabildiği takdirde j j j j
d K K d U U
dt q q dt q q
veya Lagrange
fonksiyonu K U L tanımıyla 0j j
d
dt q q
L L
Lagrange denklemlerine ulaşılır. Tüm elektromagnetik etkileşmeler için böyle bir U
fonksiyonu oluşturulabileceği ileride görülecektir. Uygulamaların yol haritası : uygun
koordinat sistemini seçmek, bu sistemde kinetik enerji ifadesi yazmak, genelleştirilmiş kuvvet
bileşenleri jQ 'leri oluşturmak ve bunlardan bir U potansiyeli tanımlamaktır.
Sonra da Lagrange denklemlerinden hareket denklemlerine ve bunların çözümüne geçilir.
Örnek olarak: 'küresel sarkaç' için iki bağımsız koordinat : küresel açılar , yeterli
olur.
sin cos cos cos sin sin x x
sin sin cos sin sin cos y y
cos sin z z oluşundan
2 2 2 2 2 2 2 2 sin x y z ve 2
2 2 2 sin 2
mK
bulunur. Potansiyel için ise cosU mg yazılıp
2
2 2 2 sin cos2
mmg L Lagrange fonksiyonuna ulaşılır.
4
Lagrange denklemleri : 2 2 2 sin cos sin 0m m mg ,
2 2 sin 0d
mdt
'nin ikincisinin bir 'Korunma Yasası' olduğu ve korunan
büyüklüğün açısal momentumun z bileşeni olduğu görülmektedir.
2 2 sin zL m ifadesinin ilk denkleme yerleştirilmesi ile elde edilen
2
2 4 3
cos sin
sin
zL g
m
diferansiyel denkleminin iki tarafı da d ile
çarpılıp, integral alınınca, E toplam enerji olmak üzere,
2
2 2 4 2
2 2 cos
sin
zd E L g
dt m m
bulunur. Bu çok çetin bir diferansiyel
denklemdir, 0zL özel halinin bile çözümü ancak küçük açılar için temel fonksiyonlar
cinsinden ifade edilebilir.
B ) KISIT KUVVETLERİ
, , j jq q tL L Lagrange fonksiyonu ile belirlenen bir sistemin , 0jq t n
ile verilen K adet geometrik kısıtı olabilir. Sayısal olarak eskisine özdeş olan 'Yeni' bir
Lagrange fonksiyonu, 'Lagrange Çarpanları' olarak adlandırılan n kullanılarak
, , ,Y j j n j
n
q q t q t nL L olarak tanımlanır. Bu durumda yeni Lagrange
denklemleri n
nj j j
d
dt q q q
nL L
biçimini alacaktır. Bu da eski potansiyel
enerji teriminin ,Y n j
n
U U U q t n olarak dönüşmesi ve
genelleştirilmiş kısıt kuvvetlerinin
K
j n
n j
n ile verilmesi demektir. Böylece
, , , j j nq q t değişkenlerine bağlı yeni Lagrange fonksiyonunun sağladığı
5
0Y Y
j j
d
dt q q
L L denklemlere ek olarak K adet 0Y
n
L denkleminin ortak
çözümleri hareket denklemleri yanısıra kısıt kuvvetlerini de verecektir. Tanıdık bir örnek
olarak 2 Boyutta, mesela -x z düzleminde, bir sarkaç, r kısıtından dolayı aslında
1 Boyutlu bir sistemdir. Çözüme ise 2 2
cos sin2
m gmg
L
ile gidilir, ancak bu yaklaşım sarkaçın ipindeki gerilimi vermez. Kısıt kuvvetini hesaplamak
için yeni bir Lagrange fonksiyonu iki bağımsız değişkenle, ancak 0r kısıtını da
içerecek biçimde 2 2 2
cos 2 2
Y
m r m rmgr r
L olarak yazılır.
2 cosY Yd dmr mr mg
dt r r dt
L L
2 sinY Yd dmr mg
dt dt
L L
0 Y r
L denklemlerini çözerken ara sonuçlar:
20 cosm mg ; sind g
dt ve
max cosE mg
başlangıç şartı kullanılarak da 2
2 cos
g E
m bulunur. Kısıt kuvveti ise
r
rQ
r
ile verildiğinden 2 cosrQ m mg ifadesi
2 3 cos r
EQ mg sonucuna ulaşılır.
C ) HAMİLTON DENKLEMLERİ
Klasik mekaniğe Hamilton yaklaşımının da temelinde Lagrange fonksiyonu vardır.
Etkileşmesiz, serbest parçacık probleminden ilham alınarak : F , dolayısıyla jQ ve
6
U sıfır olacağı için 0
kK K r L durumunda Lagrange denklemleri
0
0k
d
dt r
L korunum kanunlarını verirler. Korunan ifade
0
k
k
pr
L ,
'Momentum' olarak adlandırılır. Dolayısıyla 'Kinetik enerji ( veya serbest parçacık Lagrange
fonksiyonu) nedir ? sorusunun cevabı: 'Lagrange formalizminde momentum korunumunu
sağlayan ifadedir' olmaktadır. Momentum, etkileşmeli problemler ve genelleştirilmiş
koordinatlar için 'Genelleştirilmiş Momentum' : j
j
pq
L halini alır.
j j
j jj j
d dq dq dtq q t
L L LL diferansiyel ifadesinde
j
j
pq
L tanımı ve j
j
dp
q dt
L Lagrange denklemi kullanılarak
j j j j j j j j
j j j j
d p dq p dq dt q dp p dq dtt t
L LL
veya j j
j
d d p q dtt
LL elde edilir. j j
j
p q H L
tanımı yapılınca d
dt t
H L , yani 0
t
L durumlarında korunan bir
fonksiyon inşa edilmiş olur. Hamilton fonksiyonu olarak adlandırılan bu ifadenin her zaman
K U H ile verilmediği unutulmamalıdır. İki yaklaşımın bağımsız değişkenleri
aynı değildir; , ,j jq q tL = L 'den farklı olarak , ,j jq p tH = H olur.
Hareket denklemlerinin ilk aşaması olan Hamilton denklemleri ise
j
j
qp
H , j
j
pq
H ile verilirler.
7
Küresel sarkaç için 2
2 2 2 sin cos2
mmg L oluşu
momentumları 2 p m ,
2 2 sin p m biçiminde belirler ve
22
2 2 2 + cos
2 2 sin
ppmg
m m
H olur. Hamilton denklemleri :
2
p
m
,
2
2 3
cos sin
sin
pmg p
m
2 2
sin
p
m
, 0 p ise
çözüme giden yolda Lagrange yaklaşımından hatırlanan
2
3
cos sin
sin
L g
denklemini verir.
D ) NEDEN ? HAMİLTON İLKESİ
Başarılı fizik teorileri ölmez, üstelik genelleşerek büyürler. Teorinin eski hali ise yeni yapının
özel durumlarında geçerli olarak hayatını sürdürür. "Bu teori hiyerarşisi ne zaman sona
erecek ?" , " 'Herşeyin Teorisi' denebilecek bir yapıya ne kadar yakınız ?" sorularının cevabını
bilmiyoruz. Teorilerin en kıdemlisi 'Klasik Mekanik' 20. Yüzyılda hem 'Relativite' , hem de
'Kuantum Mekaniği' yönlerinde genelleşti. Bu genelleşmelerin sonucu ışık hızı c ve
Planck sabiti , teorinin vazgeçilmez büyüklükleri oldular. Relativiteyi yok farzedip,
18. Yüzyıl fiziğine geri dönmek için c limitine bakmak yeterlidir. Kuantum fiziğinden
klasik fiziğe geçiş ise, teori Planck sabitine ek olarak kuantum sayıları içerdiği için daha
karmaşıktır. Dolayısıyla ilk konumuz kuantum mekanikden klasik mekaniğe geçiş olacaktır.
2
2
xf x a f a f a x f a Taylor açılımından, x ve a 'nın yer
değiştirme özelliği kullanılarak
2
exp 2
a df x a f x f x a f x a f x
dx
elde edilir.
8
Yukarıdaki x değişkeni uzay koordinatı olarak düşünülürse, 3 boyuta genelleme
exp f r a a f r olacaktır. Zaman değişkeni için de benzer biçimde
exp d
g t g tdt
olması doğaldır. 20. Yüzyıl başında kuantum mekaniğin ilk
adımları Hamilton fonksiyonu için it
H (Planck - Einstein) , momentum için
ise p i (DeBroglie) eşleştirmeleri oldu. Kuantum fiziğinde, serbest
parçacık dışında p pH H olduğu için bu uzay ve zaman ötelemeleri tek bir üstel
ifadede birleştirilemez. Ancak Uzay-Zaman'da sonsuz küçük, yani yerel bir öteleme
exp , exp , i
dr dt r t dr p dt r tt
H
exp v , , i
p dt r t r dr t dt
H
ile verilir. Uzay-Zaman ötelemelerinin jeneratörü olan v p H L teorinin en temel
kavramlarından biridir ve Lagrange fonksiyonu olarak adlandırılır. Yerel'den Global'e
geçerken exp , v, , ,F
I
t
I I F Ft
idt r t r t r t
L biçimini alan evrim
denkleminde yer alan , v, F
I
t
tdt r t L S ifadesi ise 'Eylem' olarak adlandırılır.
Tek parçacık için r r t yörüngeleri üzerinde yapılan integral işlemi ile elde edilen
S değerlerinde S = büyüklüğünde bir oynama exp 1i ile çarpılma
anlamına gelir. Kuantum teorisinin dalga karakteri göz önüne alınınca bu iki komşu
yörüngenin yıkıcı girişimi, dolayısıyla doğada gözlenememesi demektir. Klasik mekaniğin
sadece doğada gözlenen durumlarına odaklanmak için << S veya daha garantili
0 S şartı aranır ve bu şart 'En Küçük Eylem' ilkesi veya 'Hamilton' ilkesi olarak
adlandırılır. İnsani büyüklüklerden esinlenen MKS birimlerinde 3410 değerine sahip
Planck sabitinin klasik fizikte sıfır kabul edilmesi doğaldır. S eylem değeri, parçacığın
uzaydaki yörüngesi r r t fonksiyonunun ' Fonksiyonel 'idir. , v,F
I
t
tdt r t S L
9
gibi bir fonksiyonelin minimum değeri 0v i i
d
dt r
L L Lagrange denklemlerinden
elde edilir. Hamilton ilkesinin genelliği, bu denklemlerin çok parçacık durumlarında ve
kartezyen olmayan koordinat sistemlerinde de geçerli olmasını sağlar. Pratikte ilk adım
'Bağımsız Koordinat' sayısını saptamaktır. Bu sayı, N parçacık ve K adet 'Kısıt' için
3N K ile verilir. Koordinat sistemi seçiminde Kısıt ve Potansiyel enerji ifadeleri yol
gösterici olacaktır. ,j jq q ile gösterilen bağımsız koordinat ve hızlar için yazılan
0j j
d
dt q q
L L Lagrange denklemleri bizi hareket denklemlerine götürür.
E) HAMİLTON - JACOBİ DENKLEMLERİ
Tek boyutlu uzayda geliştirilecek bir Hamilton-Jacobi yaklaşımı bile konunun ruhunu
yakalamak için yeterlidir.
d p dx dt S H (Fizik) ve d dx dtx t
S SS (Matematik)
denklemlerinin karşılaştırılması px
S ,
t
SH Hamilton-Jacobi
denklemlerini verir. Eylem'in , + x t x tS X T biçiminde bir toplam olarak
değişkenlere ayrılması ve 0 = d S S Sabit kullanılması çözüme
götürür. Eğitici bir örnek olarak 1 boyutlu harmonic osilatör için
2 2 2 2
, 2 2
m x m AU x E
ifadeleri ile Hamilton-Jacobi denklemleri
2 2 2 2 d
p mE m xdx
X
, d
H Edt
T
biçimini alırlar ve ara
sonuç 2 2 2 2 dx mE m x E t Sabit ifadesinin E 'ye görevi türevi
alınarak elde edilen 2 2 2 2 2
1 0
2
dx dxm t t
mE m x A x
10
denklemi de bilinen sin x t A t sonucuna ulaştırır.
F) POİSSON PARANTEZLERİ
Teorik ve pratik önemi olan bir konu da 'Poisson Parantezi'dir.
,j jf f q p ve ,j jg g q p gibi iki fonksiyonun Poisson parantezi
, j j j j j
f g f gf g
q p p q
olarak tanımlanır.
, 0 , , 0i j i jq q p p özdeşliklerine ek olarak , i j ijq p
sonucu 'Eşlenik Koordinat-Momentum Çifti'ni tanımlar. Eski koordinat ve momentumlardan
oluşturulan yeni koordinat ve momentumlar için yukarıdaki sonuçları aynı bırakan
j jq Q , j jp P dönüşümleri 'Kanonik Dönüşüm' olarak adlandırılır.
, j j
j
q qp
HH , , j j
j
p pq
HH bağıntılarının
kuantum mekaniğinin Heisenberg denklemlerini andırması dikkat çekicidir. Klasik mekaniğin
Poisson parantezleri ile kuantum mekaniğin komütasyon bağıntıları arasındaki paralel,
kuantum fiziğinin klasik fizik ile ilintilerinden güç aldığı ilk emekleme yıllarında moral destek
sağlamıştır.
G) İKİ PARÇACIK PROBLEMİ
İki parçacık probleminin 1 Boyutta incelenmesi, kolayca 3 Boyuta genellenebildiği için,
yeterli ölçüde geneldir. 1m ve 2m kütleli iki parçacık arasındaki etkileşmenin aradaki
uzaklığa bağlı olması doğaldır. 2 2
1 1 2 21 2
2 2
m x m xU x x L Lagrange
fonksiyonunu yeni ve daha pratik değişkenler cinsinden yazmak için öncelikle 1 2 x x x
tanımlanır. Diğer koordinat için temel fizikten aşina olunan 'Kütle Merkezi' koordinatı
11
1 1 1 1
1 1
m x m xX
m m
seçilir. Bunlara eşlenik olan momentumlar
1 1 2 2 p p p , 1 1 2 2 P p p olarak ifade edilir ve
1 2, 1 1x p
1 2, 0 0x P
1 1 2 2
1 2
, 0 0m m
X pm m
1 1 2 2
1 2
, 1 1m m
X Pm m
4 bilinmeyenli 4 denklemin çözümünden
2 1 1 2
1 2
m p m pp
m m
, 1 2 P p p elde edilir. P 'nin toplam
momentum olarak yorumu kolaydır; p 'nin ise 'İndirgenmiş Kütle' 1 2
1 2
m m
m m
kere 'Relatif Hız' 1 2 x x x olduğu gözlenir. Nitekim 1 2 M m m ,
toplam kütle tanımıyla 2 2
2 2
M X xU x
L ifadesine ulaşılmaktadır. Bu
denklemin 3 Boyuta 2 2
2 2
M R rU r
L olarak genelleşeceğini görmek
zor değildir. Böylece iki parçacık problemi ayrışmakta ve kütle merkezi koordinat sisteminde
tek parçacık problemine indirginmektedir. Ne yazık ki yukarıdaki yaklaşımın 3 parçacığa
veya relativistik mekaniğe genellenmesi imkanı yoktur. Görüldüğü gibi klasik mekanikte 3 ,
relativistik mekanikte 2 , kuantum alanlar teorisinde 1 hatta 0 parçacık problemlerinin
genel çözümleri yoktur.
12
PROBLEMLER
A.1 )
2 2
; ; 2
x y z z
ile belirlenen silindir
parabolik koordinatlarda kinetik enerji ifadesini yazın.
A.2 ) uzunluğunda kütlesiz bir çubuğun merkezi R yarıçaplı bir daire üzerinde
hareket ediyor ve çubuğun her iki ucunda m kütlesi yer alıyor. Sistemin kinetik enerjisini
uygun genelleştirilmiş koordinatlar kullanarak yazın. (Goldstein)
A.3 ) Bir düzlemde
2
2 2
2 ˆ 1
k r r rF r
r c
kuvvetinin etkisi altındaki
parçacığın U potansiyelini yazın. (Goldstein)
A.4 ) uzunluğunda bir iple bağlanmış 1m ve 2
m kütlelerinden oluşan bir sistem
ele alalım. 1m sürtünmesiz bir masa üzerinde ve 2
m masadaki bir delikten sarkmış
durumda ve sadece dikey hareket ediyor. Bu sistem için genelleştirilmiş koordinatları
oluşturun, Lagrange fonksiyonunu ve Lagrange denklemlerini yazın, bu denklemlerin fiziksel
yorumunu yapın, problemi tek bir 2. mertebe diferansiyel denkleme indirgeyin, bir integral
alarak elde edeceğiniz 1. Mertebe bir diferansiyel denklemi yorumlayın. (Goldstein)
A.5 ) Şekildeki çift Atwood sistemini Lagrange metoduyla çözerek 2a , 3
a ve 6a
değerlerini bulun.
13
B.1 ) Bir parçacık, R yarıçaplı yarıküre bir tepenin en üstünden sürtünmesiz olarak
kaymaya başlıyor. Lagrange çarpanı kullanarak yüzey-parçacık kuvvetini hesaplayın.
Parçacığın hangi yükseklikte yüzeyle temasını kaybedeceğini bulun.
B.2 ) Küresel sarkaç probleminin ipindeki gerilimi Lagrange çarpanı kullanarak hesaplayın..
C.1) 1-Boyutta harmonik osilatör probleminin Lagrange fonksiyonunu yazın, momentum
ifadesini bulun, Hamilton fonksiyonunu oluşturun, problemi Hamilton denklemleri yoluyla
çözün.
E.1 ) Eğik atış problemini Hamilton-Jacobi metoduyla çözün, , , x t y t y x
fonksiyonlarını belirleyin.
F.1 ) Hangi ve değerleri için Q q cos p ve
P q sin p eşlenik bir koordinat-momentum çifti oluştururlar ? (Goldstein)