PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS
BÁSICOS DE GEOMETRÍA (RECTAS Y ÁNGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA
A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
AUTOR
JOSÉ CAMILO RAVE BUILES
Licenciado en matemáticas y física
ASESOR:
JAIR ARTURO GOMEZ GOMEZ
MSc en Ciencia y Tecnología
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
MAESTRIA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
FACULTAD DE CIENCIAS
MEDELLÍN, MAYO DE 2017
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA (RECTAS Y ÁNGULOS) EN LA EDUCACIÓN
MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ASESOR:
JAIR ARTURO GOMEZ GOMEZ
MSc en Ciencia y Tecnología
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
MAESTRIA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
FACULTAD DE CIENCIAS
MEDELLÍN, MAYO DE 2017
“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas
cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”
René Descartes
AGRADECIMIENTOS A mi familia, fuente infinita de fuerza y determinación para enfrentar las dificultades.
Gracias a ellos porque son mi motivo para seguir despertando.
A Dios porque en su sombra siempre he estado y siempre estaré. Es él quien me
pone las oportunidades por delante.
Al maestro Jair Gómez, por su compañía y aportes en la realización del presente
trabajo final.
VII
RESUMEN:
Cuando la estudiante del colegio Marymount de Medellín entra al grado décimo
y undécimo se encuentra con muchas dificultades de tipo procedimental puesto que
se empiezan a relacionar clases que para ellas son muy diferentes y que, en algunos
casos, no tienen ninguna relación.
A continuación, se pretende crear una propuesta metodológica que permita
articular los conceptos básicos de la geometría euclidiana con algunas de sus
respectivas aplicaciones en la trigonometría elemental y el pre-calculo.
Esta propuesta se aplica en un grupo femenino de 28 estudiantes del grado 9º y
su metodología de enseñanza está basada en la enseñanza para la comprensión
(EPC), el constructivismo social y la resolución de problemas aplicados para mejorar
la comprensión.
La idea final de la presente propuesta es encontrar nuevas metodologías de
enseñanza que le permitan al estudiante mejorar con respecto a sus competencias
de razonamiento, más exactamente en la competencia de resolución de problemas
Palabras claves: Enseñanza para la comprensión, constructivismo social,
resolución de problemas, aprendizaje significativo, enseñanza, aprendizaje.
ABSTRACT:
When students just get into tenth or eleventh grade, the get many difficulties
about new topics like trigonometric ratios in trigonometry or gradient en calculus.
VIII
In this proposal, it´s going to be explored a new way to teach some important
geometrical concepts like point, line and angle based in real problem.
This work is going to be applied on 28 students from Marymount School and its
main resourses the strategies of problem solving, social constructivism and taching
for undertanding.
In consecuence, this final proyect is looking for new ways to teach to make the
students to improve their capability to solve real problems.
Key words: Teching for undertanding, social constuctivism, problem solving,
teaching, learning, significant learning.
IX
CONTENIDO AGRADECIMIENTOS........................................................................................................V
RESUMEN:....................................................................................................................VII
CONTENIDO..................................................................................................................IX
LISTADEILUSTRACIONES...............................................................................................XI
LISTADETABLAS.........................................................................................................XIII
INTRODUCCIÓN............................................................................................................15
1. DISEÑOTEÓRICO..................................................................................................181.1 PLANTEAMIENTODELPROBLEMA.............................................................................18
1.1.1 DescripcióndelProblema...........................................................................................181.1.2 FormulacióndelaPregunta........................................................................................19
1.2 JUSTIFICACIÓN..........................................................................................................201.3 OBJETIVOS................................................................................................................23
1.3.1 ObjetivoGeneral:.......................................................................................................231.3.2 ObjetivosEspecíficos:.................................................................................................23
1.4 MARCOREFERENCIAL...............................................................................................241.4.1 Antecedentes..............................................................................................................241.4.2 MarcoTeórico.............................................................................................................271.4.3 MarcoConceptual–Disciplinar..................................................................................331.4.4 MarcoLegal................................................................................................................371.4.5 MarcoEspacial............................................................................................................40
2. DISEÑOMETODOLÓGICO......................................................................................422.1 ParadigmaCrítico-Social..........................................................................................422.2 TipodeInvestigación................................................................................................432.3 InstrumentosdeRecoleccióndelaInformación........................................................43
X
2.4 PoblacionyMuestra.................................................................................................442.5 DelimitaciónyAlcance..............................................................................................45
3. TRABAJOFINAL:SISTEMATIZACIÓN......................................................................493.1 RESULTADOSYANÁLISISDELAINTERVENCIÓN.........................................................49
3.1.1 PruebaDiagnóstica.....................................................................................................493.2 DiseñodelaPropuestaMetodológica........................................................................603.2.1 Descripcióndelapropuesta.......................................................................................613.2.2 AprendizajesEsperadosyEstandaresRelacionados..................................................633.2.3 DinámicadelTrabajoenClase....................................................................................64
3.3 INTERVENCIÓNDELAPROPUESTAMETODOLÓGICA.................................................643.4.1 ANALISISDELOSRESULTADOSDELPOST-TEST..........................................................81
4. CONCLUSIONESYRECOMENDACIONES.................................................................844.1 CONCLUSIONES.........................................................................................................844.2 RECOMENDACIONES.................................................................................................85
REFERENCIAS................................................................................................................88
ANEXOS........................................................................................................................90ANEXOA:Pruebadiagnóstica................................................................................................90ANEXOB:Post-test................................................................................................................95
XI
LISTA DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1 .......................................................................................................... 52
Ilustración 2 .......................................................................................................... 53
Ilustración 3 .......................................................................................................... 54
Ilustración 4 .......................................................................................................... 55
Ilustración 5 .......................................................................................................... 56
Ilustración 6 .......................................................................................................... 56
Ilustración 7 .......................................................................................................... 56
Ilustración 8 .......................................................................................................... 56
Ilustración 9 .......................................................................................................... 57
Ilustración 10 ........................................................................................................ 57
Ilustración 11 ........................................................................................................ 57
Ilustración 12 ........................................................................................................ 57
Ilustración 13 ........................................................................................................ 58
Ilustración 14 ........................................................................................................ 58
Ilustración 15 ........................................................................................................ 58
Ilustración 16 ........................................................................................................ 59
XII
Ilustración 17 ........................................................................................................ 67
Ilustración 18 ........................................................................................................ 68
Ilustración 19 ........................................................................................................ 70
Ilustración 20 ........................................................................................................ 73
Ilustración 21 ........................................................................................................ 75
Ilustración 22 ........................................................................................................ 76
Ilustración 23 ........................................................................................................ 78
Ilustración 24 ........................................................................................................ 79
Ilustración 25 ........................................................................................................ 80
Ilustración 26 ........................................................................................................ 82
XIII
LISTA DE TABLAS
Tabla 1: NORMOGRAMA ...................................................................................... 38
Tabla 2: FASES DE LA APLICACIÓN .................................................................. 46
Tabla 3: CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES ....................................................... 48
Tabla 4: MATRIZ DE VALORACIÓN .................................................................... 60
Tabla 5: COMPARACIÓN DE RESPUESTAS POR CONCEPTOS EN EL DIAGNÓSTICO Y EL POST-TEST ................................................................. 81
INTRODUCCIÓN 15
INTRODUCCIÓN
Los procesos de enseñanza y de aprendizaje han cambiado mucho durante las
últimas decadas. Hemos pasado por los modelos tradicionales de los años 50´s y
60´s, donde el maestro era el poseedor absoluto del conocimiento y de las
dinámicas de clase; por los modelos axiomáticos de la teoría de grupos, impulsada
en el pais en los años 90´s por matemáticos que pensaron en los procesos de
enseñanza a partir de de las configuraciones iniciales de conjuntos reales; y
finalmente, estamos en una época de corrientes constructivitas en la que es el
estudiante el protogonista de sus aprendizajes y donde se piensa en una enseñanza
basada en las competencias que éste pueda desarrollar en el mundo laboral.
Una de las competencias fundamentales en el aprendizaje de las matemáticas
es la resolución de problemas. El estudiante contemporaneo deberá salir de la
escuela a un mundo productivo donde es necesario que proponga soluciones a
situaciones reales.
La presente es una propuesta meodologica que busca potenciar la competencia
de resolución de problemas usando la enseñanza para la comprensión y el
constructivismo social como pilares fundamentales en la elaboración de ideas
matemáticas, en este caso, las ideas geométricas fundamentales de recta y ángulo.
El proposito es, por lo tanto, diseñar una propuesta metodológica de enseñanza
en el grado 9º del colegio Marymount Medellin que articule los conceptos básicos
de la geometría (rectas y ángulos) a la resolución de algunos problemas iniciales de
la trigonometría y el cálculo.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
16
Para lograr tal objetivo, las ideas propuestas por Perkins, Frazer, Garret, Cubero
y Polya, entre otros; acerca de los pilares que soportan esta propuesta, enmarcan
todo el proceder teórico y práctico para mejorar la enseñanza de los conceptos de
recta y ángulo de cara a la solución de algunos problemas prácticos e iniciales de
la trigonometría y el cálculo.
La propuesta fue desarrollada en el colegio Marymount de Medellín con 28
estudiantes del grado 9º. Marymount es un Colegio de la comuna 14 de la ciudad y
presta sus servicios educativos a familias de los estratos 5 y 6.
El trabajo final está desarrollado en 4 capítulos de la siguiente manera:
El primer capítulo hace un recorrido por el diseño teórico que fundamenta la
enseñanza de los conceptos básicos de la geometría, hace una descripción del
problema a abordar, su justificación y analiza los antecedentes históricos de
situaciones similares.
El segundo capítulo se preocupa por los fundamentos metodológicos de la
propuesta, por lo tanto, se deja clara toda la información acerca del método, el
enfoque y las corrientes que rigen la intervención. En este capítulo también se da
información sobre los alcances y la población a la cual se le aplicara la investigación.
El tercer capítulo es el de la sistematización de la intervención. Este capítulo
describe el proceso de intervención en el aula dejando claro cómo se diseñó la
secuencia a partir de la prueba diagnóstica hasta llegar al post-test. Aquí se puede
ver también el análisis de los resultados del post-test y su respectiva comparación
con los resultados de la prueba diagnóstica.
INTRODUCCIÓN 17
Finalmente, en el cuarto capítulo, se dejan claras algunas conclusiones que
permite sacar la aplicación de la propuesta y así mismo se proponen algunas
recomendaciones de cara a lo sucedido en todo el proceso de elaboración e
intervención.
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
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1. DISEÑO TEÓRICO
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1.1 Descripción del Problema
El colegio marymount de Medellin es una institución educativa bilingüe de
carácter privado que presta sus servicios educativos en la comuna 14 y que
actuamente se encuentra clasificada en la categoria muy superior según registro
ICFES.
En los grados de décimo y undécimo se abordan dos asignaturas de gran
importancia historica y conceptual para el desarrollo de las matemáticas como
ciencia, la trigonometría y el cálculo. Cuando las estudiantes alcanzan dichos
grados de escolaridad se pueden evidenciar muchas dificultades en la comprension
de las ideas fundamentales de tales disciplinas, puesto que el poco manejo de
conceptos básicos de la geometria, conceptos como el de recta y ángulo, causa
dificutades a la hora de comprender nuevas ideas concernientes a estos campos
del saber.
1. DISEÑOTEÓRICO 19
Y es que en la institucion se ha visto la geometria como un ente aparte de las
matemáticas y por tanto ha sido relegada a los ultimos periodos académicos. Esto
ha hecho que las estudiantes no identifiquen los importantes aportes que ha hecho
la geometria a las otras ramas de la matemática y que en conceciencia, la vean
como un conocimiento inconexo que poco o nada tiene que ver con ideas vistas en
álgera o estadística.
Lo anterior se ve reflejado claramente en las altas perdidas de la asignatura que
se generan en el primer periodo del grado décimo y undécimo. Allí se retoman
conceptos como longitud de una recta, longitud de un segmento e ideas de
pendientes de rectas, entre otros; que de haber sido correctamente madurados y
relacionados en los anteriores años escolares, no generarian inconvenientes de
comprension puesto que son temáticas ya estudiadas.
Otra de las grandes dificultades que se ha logrado identificar dentro de los
primeros contactos de la estudiante con la trigonometría y el cálculo es que si bien
se han realizado estudios previos de la recta y el angulo, su aplicación en
situaciones problema o en modelos que demanden la identificación y posterior
proposicion de soluciones por parte del estudiante han sido muy pocas, esto ha
hecho que haya un manejo memoristico de los conceptos pero que su aplicación en
contexto, aplicaciones que suplen los insumos iniciales de la trigonometria y el
cálculo, los muestren como conocimiento nuevo.
1.1.2 Formulación de la Pregunta
De acuerdo a lo anterior se formula la siguiente pregunta:
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
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¿Cómo abordar, mediante una estrategia de enseñanza, los conceptos básicos de
la Geometría en el grado 9º del colegio Marymount de Medellín en situaciones
problema y su relación con la idea de la pendiente de la recta tangente en precaculo
y las relaciones en el triángulo rectángulo en trigonometría?
1.2 JUSTIFICACIÓN
Los conceptos de espacio y cantidad, existentes y predeterminados en el
cerebro de los animales son de vital importancia en la supervivencia, además de
que fueron los primeros que motivaron al ser humano para realizar cálculos y lograr
comunicar sus ideas a otros. La idea del espacio y la configuración de éste impulsó
al hombre a establecer formas y relaciones que le permitieran ahondar sus
conjeturas y así mejorar sus relaciones sociales y con su entorno.
La primera relación que tuvo el hombre con las Matemáticas se dió gracias a la
geometría y a la necesidad de contar, para luego entre ambos conocimientos
empezar a construir toda la ciencia lógica de la que hoy tenemos conocimiento y
que llamamos matemáticas.
Sin embargo, en el colegio Marymount de Medellín, las estudiantes no ven la
geometría como una rama de las matemáticas y por ello se estan enfretando a
algunas dificultades que se relacionan directamente con las aplicaciones del
lenguaje e ideas dentro de situaciones reales.
1. DISEÑOTEÓRICO 21
En las pruebas saber realizadas por el ICFES en el año 2016, aunque el colegio
aun aparece con clasificación muy superior, no hubo buenos resultados en las
competencias de comunicación y resolucion de problemas en el área de
matemáticas puesto que las estudiantes evidenciaron comprension de conceptos
especificos pero tenian dificultades al momento de poner dichas ideas en contexto.
Por lo tanto, se quiere retomar el carácter fundamental de la Geometría
generando una metodología de enseñanza en la media del colegio Marymount de
Medellín que se preocupe, no solo por la repetición de ideas geométricas, sino que
además permita la profundización de conceptos básicos y su utilización en la
resolución de situaciones problema tal y como fue utilizada en los inicios de la
Matemática y además como la utilizaron los grandes matemáticos para la edificación
de nuevas ramas tales como fueron la trigonometría y el cálculo.
Para lograr esto, se presenta una nueva distribución curricular que apunta a una
enseñanza de la geometría a partir de la explicación del espacio que rodea al
estudiante y que así mismo, le permita solucionar problemáticas propias de su
contexto, para obtener de esta manera competencias conceptuales necesarias en
la construcción de saberes científicos en general; mas puntualmente en la
elaboración de ideas básicas de la trigonometría y del cálculo.
De acuerdo a lo anterior, se busca que el contacto del estudiante con las
materias anteriormente nombradas se genere de una forma más natural y menos
forzada, logrando que éste identifique su relación con el mundo de lo real y que así
genere ideas científicas soportadas en lo concreto.
El impacto de la estrategía se vera reflejado en la mejor comprensión de los
conceptos iniciales de la trigonometría y del cálculo, tanto a nivel de la Educación
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
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media del colegio Marymount de Medellín, como a nivel de la educación superior en
los primeros semestres de carreras universitarias como ingenierías; y por tanto, en
la disminución en el índice de perdida de estas materias en ambos niveles.
1. DISEÑOTEÓRICO 23
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo General:
• Diseñar una propuesta metodológica de enseñanza en el grado 9º del colegio
Marymount Medellin que articule los conceptos básicos de la geometría (rectas
y ángulos) a la resolución de algunos problemas iniciales de la trigonometría y
el cálculo
1.3.2 Objetivos Específicos:
• Identificar los saberes previos de los estudiantes acerca de los conceptos
básicos de geometría (recta y ángulos) a través de una prueba diagnóstica.
• Analizar los resultados a través de una matriz de valoración DOFA a la luz de la
teoría de la enseñanza para la comprensión para determinar el nivel de
apropiación de los estudiantes sobre los conceptos básicos de la geometría y su
aplicabilidad en contexto.
• Diseñar una propuesta metodológica para la enseñanza de los conceptos
básicos de la geometría mediante el uso de software libre y material manipulable.
• Intervenir con la propuesta metodológica los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las ideas de rectas y ángulos.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
24
• Evaluar los resultados de la propuesta a través del análisis de los avances
conceptuales de los estudiantes.
1.4 MARCO REFERENCIAL
1.4.1 Antecedentes
La preocupación por la enseñanza de la geometría y sus aplicaciones en la
resolución de problemas en la escuela, ha sido una constante que se ha venido
dando desde hace algunos años tanto a nivel nacional como internacional. Tal
situación esta soportada en la importancia que tiene el pensamiento geométrico en
la educación media para la aprehensión de nuevos conceptos científicos tanto allí,
grados 9°, 10° y 11° de la educación colombiana, como en la educación superior.
Por lo anterior es importante mencionar algunos esfuerzos que se han hecho a
diferentes niveles a favor de mejorar o potenciar la enseñanza de la Geometría.
Algunos de ellos son los siguientes:
A nivel local, se destacan dos estudios importantes realizados en la Universidad
Nacional de Colombia: El primero de ellos, busca alternar los procesos que el autor
llama tradicionales, refiriéndose a aquellos que se dan dentro de un aula de clase
con enseñanza tradicional, con el uso de las nuevas tecnologías de la información
para potenciar el razonamiento geométrico en el diseño de planos arquitectónicos y
lograr asi que el estudiante argumente y valide sus aprendizajes geométricos en
contexto. (López Perez, 2008).
1. DISEÑOTEÓRICO 25
En el segundo de ellos, ya un poco más especializado, “la enseñanza de la
Geometría en la secundaria” se defiende la idea de involucrar los conceptos
geométricos en los primeros años de bachillerato a través de ideas relacionadas a
la teoría de conjuntos para posteriormente llegar a la introducción al Álgebra. Por lo
anterior los autores plantean que es ideal introducir las ideas geométricas en la
primaria desde el punto de vista experimental dejando de lado los procesos
deductivos (De Villamil, Benitez, & Donado, 2014)
En la Universidad de Antioquia se encuentra una tesis presentada en diferentes
congresos de enseñanza tales como son el encuentro nororiental de Matemáticas
en la Universidad Industrial de Santander y en el VIII congreso internacional
didáctica de las ciencias en la Habana, cuba; en la cual se propone el aprendizaje
de la geometría como una herramienta que potencia el aprendizaje de los conceptos
científicos en general (Cardona Posada, Rave Builes , & Muñoz Zapata , 2012), se
busca aquí introducir los conceptos geométricos a través de guías de trabajo de la
metodología aula taller para lograr de esta manera que el estudiante aplique los
conceptos básicos de la geometría y los relacione con ideas puntuales de las
ciencias exactas y naturales.
Por otro parte, en la Universidad de Medellín se han presentado algunas
iniciativas entre las cuales sobresale la presentada por Jorge Andrés Toro Uribe la
cual titula “Acercamiento a la argumentación en un ambiente de geometría
dinámica” que plantea la necesidad imperiosa de que el estudiante argumente sus
ideas en la demostración de postulados geométricos lo cual no es solo un
requerimiento desde el índole geométricos sino social (Toro, 2014).
Otro de los trabajos que propone adelantos en la enseñanza de la Geometría es
elaborado en la Fundación Universitaria católica del norte y se titula “Doblado de
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
26
papel para generar conocimiento geométrico” en el cual el autor evidencia
dificultades conceptuales en la enseñanza de la geometría elemental por lo que
propone un método para generar conocimiento geométrico en los docentes
(Jaramillo López, Santa Ramirez, & De Carvalho Borba, 2015) y que por
transferencia, ayude a éstos a mejorar sus prácticas pedagógicas en la enseñanza.
A nivel nacional sobresale una propuesta sobre la enseñanza de cuerpos y
figuras geométricas la cual identifica la diferencia existente entre lo que se enseña
en el departamento de Risaralda y lo que propone la teoría, logrando de ésta
manera identificar los métodos de enseñanza de cuerpos y figuras geométricas en
la básica primaria (Orozco Toro, López Castro , & Serna, 2013) para posteriormente
realizar un análisis que permita mejorar dichos métodos de enseñanza.
En cuanto al ambito internacional, sobresalen varias publicaciones que se
preocupan por la enseñanza de la Geometría. En España, se han adelantado
estrategias que igualmente buscan potenciar la enseñanza y el aprendizaje de la
geometría a través de estrategias didácticas como la geometría interactiva y
aplicándola al plano como contacto real. Aquí el autor propone la idea de que la
enseñanza de la geometría se ha trasladado a un campo netamente axiomático
(Bourbakista) y se dejó de lado el carácter ideal de la geometría plana lo cual
permitía mayor aplicación y contextualización (Sanchez Quevedo, 2006).
Por otra parte, en México, el Instituto Nacional para la Evaluación de la
Educación (INEE) preocupado por la enseñanza de la geometría en la básica y
media propone un libro que invita a los docentes a reflexionar sobre la riqueza
científica que ofrecen los conceptos geométricos y “tome conciencia de que su
tratamiento en el aula no consiste solo en la transmisión de conceptos geométricos
1. DISEÑOTEÓRICO 27
sino en sumergir al alumno en todo un mundo de experiencias” (López Escudero &
Garcia Peña, 2008), además de esto se proponen estrategias para la enseñanza de
la geometría dejando clara la resolución de problemas como método de enseñanza.
1.4.2 Marco Teórico
Muchas han sido las teorías que se han generado conforme se conocen las
dinámicas de aprendizaje de los estudiantes, y muchas otras las que se han
pensado en tiempos modernos con respecto a estrategias de enseñanza para
potenciar las habilidades en un mundo que es cada vez más competitivo. No
obstante, no todas estas herramientas son aplicables a todos los contextos por lo
que se propone abordar el presente problema desde una teoría constructivista
centrada en la socialización y la participación de todos los integrantes de la
comunidad (constructivismo social) y soportado en los modelos de la enseñanza
para la comprensión (EpC) y la resolución de problemas.
A medida que cambian los tiempos y conforme se estudian a profundidad los
procesos de enseñanza y aprendizaje, se ha podido constatar que existen diferentes
maneras de abordar dichos procesos, por lo que se hace necesario entender cómo
piensa el estudiante y como lograr que éste interiorice las ideas geométricas, más
allá de lograr en él una simple repetición de lo aprendido.
Es conocido por muchos que el constructivismo, como modelo pedagógico, se
separa de manera definitiva del empirismo y del racionalismo, pero toma algunos
elementos fundamentales de ellos, tales como son la experiencia y la socialización,
al considerar que el conocimiento es una construcción del individuo y que éste se
deriva directamente de una representación subjetiva que se tiene de la realidad. Por
esto Cubero Pérez citando a Popkewitz (2005) considera que no hay una única
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
28
construcción del conocimiento por parte del individuo si no que, dado que la realidad
es relativa al sujeto, existen múltiples maneras de construir las ideas y que estas
provienen de la relación que se establece entre quien conoce y su contexto.
Sin embargo, el ser humano vive y se desenvuelve en una sociedad por lo que
no es posible considerar una representación de la realidad sin tener en cuenta a los
demás integrantes de la misma. Apuntando a esto, Gómez citando Newman Griffin
y cole (2008) argumentan que en la construcción del conocimiento no solo es
relevante la participación de los más expertos, sino que por el contrario es necesaria
la ayuda de todos los miembros de la sociedad. En esta línea surge una nueva
orientación del constructivismo denominada constructivismo social que, como su
nombre lo indica, da primacía a la índole social en la construcción del conocimiento
sin desmeritar o negar la existencia de la dimensión individual en el proceso de
conocer.
Todo conocimiento o idea está inmersa en un contexto y es inherente a los
comportamientos sociales que allí se general, luego si se quiere estudiar la manera
en la que el individuo construye sus ideas, es absolutamente necesario estudiar
también el contexto físico y social del cual éste toma sus representaciones (Cubero
Pérez, 2016), puesto que cada escenario sociocultural, y en palabras de Rosario
Cubero citando a Rodrigo (2016), determina un cómo, por qué, y para qué se
construye el conocimiento.
Y es que es claro que cada contexto está circunscrito en una serie de
necesidades, léxico, fines y tipo de personas que se encuentran inmersos en él, por
lo que es consecuencia pensar que no es lo mismo la matemática como objeto de
conocimiento al interior de una escuela primaria a la matemática como objeto de
1. DISEÑOTEÓRICO 29
aplicación de una comunidad de investigadores. Cada uno de estos espacios,
aunque, tal vez, con las mismas ideas circulando al interior de su espacio físico,
demandan diferentes procesos de aprendizaje enmarcados en necesidades y fines
muy claramente establecidos y diferentes entre sí.
Luego, el constructivismo social se preocupa por dichos espacios y la interacción
entre sus integrantes y el objeto de conocimiento a partir de la interacción individuo-
contexto, dejando claro que cada espacio cultural y grupo social genera
construcciones conceptuales diferentes y enmarcadas bajo unas condiciones
sociales propias y que, por tanto, es necesario pensar la manera de tomar cada idea
de acuerdo a la comunidad a la que se pretende abordar.
Ahora bien, está claro entonces que el presente trabajo final tendrá como base
una teoría de enseñanza basada en el constructivismo y que, con ese fondo, se
enmarcará en el constructivismo social como modelo, pero, aunque se entiende que
toda la comunidad en la que se desenvuelve el estudiante es importante en su
proceso de aprendizaje, es necesario dejar claro cual es el enfoque que se le dará
a la enseñanza para lograr en el estudiante un aprendizaje real.
Muchas corrientes pedagógicas, por no decir que todas, buscan lograr un
verdadero aprendizaje en el estudiante y que éste, por supuesto, saque el máximo
provecho de sus experiencias educativas. Sin embargo, en este caso se contará
con dos modelos de enseñanza que van en la misma línea del constructivismo social
como teoría y que además aportan al tipo de formación que ella propone. Éstos
modelos son, y como se dijo anteriormente: la enseñanza para la comprensión
(EpC) y la resolución de problemas.
Antes de pensar en el hecho de aplicar la EpC en la presente propuesta y
preocuparse por lo planteado por esta metodología de enseñanza, es necesario
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
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preguntarse por lo que se considera “comprender” y lo que esto involucra dentro del
contexto del aprendizaje.
El hecho de lograr que el estudiante replique cierta información que previamente
se le impartió no implica necesariamente que éste haya aprendido o que maneje el
nuevo conocimiento recibido. El tener la información a la mano y recitarla cada que
vez que sea requerida tampoco da cuenta de apropiación por parte del estudiante
con respecto al conocimiento. Este tipo de situaciones solo hablan de buena
memoria. Para Perkins en el libro de Martha Stone “la enseñanza para la
comprensión” (1999), el comprender es la habilidad que adquiere el estudiante de
pensar y poder manipular la información a partir de sus propias conclusiones lo cual
implica no solo el hecho de poderla reproducir, sino también, el estar en capacidad
de movilizarla utilizando sus propias palabras.
Con un poco de claridad en lo que se considera “comprender” dentro del contexto
de la EpC, es momento de clarificar que es la EpC, como está conformada y cuáles
son sus objetivos.
La EpC es un modelo pedagógico que busca involucrar a los estudiantes en su
proceso de aprendizaje de tal manera que estos puedan, además de reproducir la
información, pensar a través de lo aprendido. Esto implica que el aprendiz debe
lograr manipular el conocimiento de acuerdo a sus necesidades. Por ejemplo,
cuando un estudiante es cuestionado por la cantidad de cable, en metros, necesario
para acordonar una superficie triangular cuyas coordenadas de sus vértices son
conocidas, y éste logra relacionar tal situación con conceptos como distancia entre
dos puntos y perímetro de un polígono, más allá del simple hecho de realizar
cálculos incipientes acerca del uso de la ecuación para determinar la distancia entre
1. DISEÑOTEÓRICO 31
dos puntos, se hace visible una comprensión real de dichas ideas ya que éste, quien
aprende, puede aplicarla en un contexto y servirse de ello para solucionar
situaciones reales.
Los elementos fundamentales en los cuales está fundamentada la EpC son
cuatro: tópicos generativos, metas de comprensión, desempeños de comprensión y
evaluación continua Pisiz y lópez citando a Stone (2015). Estos criterios responden
a varios interrogantes como son, respectivamente: Qué aprender, Qué se debe
comprender del tema a aprender, Cómo aplicar lo comprendido en contexto y
finalmente, Cómo dar cuenta del nivel de comprensión del estudiante. Responder a
estas cuestiones da al maestro grandes y potentes herramientas para enfrentar el
reto de la comprensión y lograr de esta manera generar mejores prácticas docentes.
Por otro lado, un excelente soporte para alcanzar la comprensión, es lograr
enfrentarlos a situaciones que demanden de ellos esfuerzo e ingenio para
solucionar problemas. Como se dijo anteriormente, es aquí, en la aplicación en
contexto, donde se evidencia la real comprensión del educando. En esta misma
línea encontramos la resolución de problemas como modelo de enseñanza
propuesto por Polya y otros grandes autores como Frazer y Garrett, pero para eso
hay q preguntarse por uno de los elementos fundamentales en la concepción de
esta propuesta metodológica. Dicho elemento es lo que denominamos “El problema
en ciencias exactas”.
La idea de “problema” en matemáticas es bastante utilizada en los procesos
tanto de enseñanza como de aprendizaje, pero, ¿Qué es un problema?, ¿existen
diferentes tipos de problemas?, ¿Cuál es la diferencia entre ejercicio y problema?
Para responder estas preguntas podemos partir de una definición clásica de
problema, lo cual se identifica como una situación en la que se ven envueltos el
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
32
sujeto y sus intereses, a la que no se le conoce un método para su solución y que
es necesidad del individuo el resolverla. Pifarré y Sanuy citando a Lester (2001).
Esta corta definición deja entre ver algunas características importantes pero que
no son las únicas ya que, según Becerra citando a Rudnick y Krulik (2004), así
mismo se puede definir “el problema” desde la dificultad causada al individuo por el
desconocimiento de su solución; y que además puede ser establecido desde el
grado de dificultad que éste presente al sujeto o desde el camino utilizado para su
solución.
Desde el primer criterio, una situación puede convertirse en problema cuando se
reconoce como tal; o sea, cuando el individuo es consciente de la falta de
respuestas a ciertas situaciones, Jessup citando a Garret (2000). Desde el punto de
vista del camino utilizado para su solución, un problema puede tomarse como una
situación que debe ser tratada de manera personal por parte de quien lo resuelve y
que va mucho más allá del mero hecho de aplicar fórmulas previamente
establecidas.
Ahora bien, si es claro lo que será un problema en la índole más general y, en
especial, en el contexto de este trabajo final, es necesario hacer claridad también
en lo que se entiende por solucionar un problema. Por lo anterior es importante
anotar lo siguiente:
“La resolución de problemas es un proceso por el que una persona organiza la
información obtenida, la comprende a profundidad y haciendo uso de la memoria a
largo y corto plazo establece una estrategia o camino lógico de solución”. Becerra
citando Kempa (2004)
1. DISEÑOTEÓRICO 33
Por su parte, Jessup citando a Fazer (2000) considera que la resolución de un
problema es, más bien, un proceso por el cual el individuo utiliza los conocimientos
de una disciplina en particular, y con la ayuda de ciertas herramientas que pueden
o no pertenecer a ella, se acerca a la solución del mismo. Sin embargo, otras
posturas plantean, por ejemplo, que es más apropiado hablar del “enfrentarse a un
problema” que “solucionar un problema” ya que el primero implica directamente un
proceso de pensamiento necesario para su solución, Jessup citando a Garret
(2000).
Lo que sí es indudable es que la resolución de un problema podría tomarse como
un pretexto para pensar y exigirse intelectualmente. La continua practica y contacto
con situaciones que demandan del ingenio y la imaginación hacen del estudiante un
mejor solucionador de problemas.
Por otro lado, Frazer clasifica los problemas en artificiales y reales, siendo los
primeros aquellos que tienen una solución conocida por la persona que los ha
presentado (en este caso, para quien lo postula es un ejercicio) y los segundos,
aquellos para los cuales no se conoce la solución e incluso puede que no exista.
Según su número de soluciones, existen problemas cerrados, con solución única, y
problemas abiertos, con un número variable de soluciones Jessup citando a Fazer
(2000)
1.4.3 Marco Conceptual – Disciplinar
El sistema educativo colombiano se encuentra regulado por una serie de leyes
y normas que buscan alinear lo que se enseña en las instituciones educativas del
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
34
pais. Los lineamientos curriculares y los estandares de cada área de formación son
algunos de estos documentos con los que se pretende garantizar que cualquier
persona que haya sido formada en Colombia, sepa aproximadamente lo mismo y
que además sea competente para las labores que el pais demanda.
En los lineamientos curriculares del área de matemáticas se busca educar un
individuo capaz de solucionar situaciones problema dentro de un contexto dado,
(dentro de su cotidianidad) y que por tanto se haga un ser competente y útil a su
sociedad; y para esto es necesario salir de la enseñanza de contenidos aislados,
que por el contrario se motive la intromisión del estudiante en situaciones problema
que sean fácilmente aplicables a su contexto y a sus necesidades reales.
Por lo anterior, en el área de matemáticas se trabajan cinco pensamientos
fundamentales que aunque son diferentes, en la práctica se entrelazan, lo cual no
hace posible el hecho de que en una clase regular se pueda trabajar un solo
pensamiento. Dichos pensamientos son el pensamiento numérico, el variacional, el
metrico, el espacial y por último el aleatorio.
El presete trabajo final pretende abordar principalmente los pensamientos
métrico y espacial que son los que se refieren en su esencia a todo aquel
conocimiento que se relaciona con la geometria y los sistemas de medida; sin
embargo, y como se dijo en el parrafo anterior, no es posible considerar estos
pensamientos de manera aislada con respecto a los demás, por lo que se verán
permeados de buena manera por los demás pensamientos dentro del desarrollo del
trabajo.
1. DISEÑOTEÓRICO 35
Y es que ya han sido varios los grandes cientificos que han reconocido en el
pensamiento espacial, una gran herramienta para del desarrollo de sus ideas
matemáticas. Isaac Newton por ejemplo, dejó clara la importancia de la geometria
en sus estudios iniciales del cálculo infinitesimal. En sus trabajos iniciales se puede
evidenciar como el pensamiento espacial cooperó con las primeras ideas de
funciones y límites de funciones lo cual es lo que precisamente se quiere introducir
en el presente proyecto.
Howard Gardner (1998) por su lado reconoción en el pensamiento espacial una
de las inteligencias múltiples de las que él habla en su teoría y afirmó, además, que
dicho pensaminto es de vital importancia en la configuración del conocimiento
cientifico, por lo que se hace necesario su correcta ejercitación en la enseñanza, ya
que no solo las ciencias exactas hacen uso de el; sino que también las técnicas y
ocupaciones profesionales como son la ingenieria, la aviación y demás, necesitan
en esencia del correcto desarrollo de ésta inteligencia.
No es para nada fácil alimentar y fomentar la inteligencia espacial en el aula, las
corrientes anteriores, y correspondientes a los años 80, donde las llamadas
matemáticas modernas, basadas en teoría de conjuntos, se tomaron las aulas de
clase y dejaron de lado la intuición generada por las ideas geometricas,
acostumbraron a los docentes a enfocar su labor desde lo abstracto y a generar
conocimiento a partir de las ideas que no necesariamente se ven reflejadas en la
cotidianidad del estudiante.
Podría ser fácil elaborar la idea de conjunto como una colección de elementos
que cumplen una o varias caracteristicas en particular, pero si se piensa ya no en
un conjunto con elementos, sino por el contrario en el conjunto que no contiene
ningún elemento y que además está presente en cualquier colección y que por tanto
se configura en un subconjunto de la misma, ya no parece tan fácil de comprender,
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
36
es mas, parece que ésta última afirmación deja de ser una premisa matemática y
se convierte más en un trabalenguas que enreda a quien escucha.
Con el fin de reestablecer las dinámicas en la enseñanza de la geometria y volver
a las prácticas positivas que involucraban al estudiante en su propio proceso de
aprendizaje, se aborda la geometría activa nuevamente en el aula y se hace
participe a quien aprende de todos los procesos de conceptualización. Ahora, ya no
se razona sobre ideas abstractas sino que es el estudiante quien a partir de su
participación en el analisis geométrico y de hacer “cosas” dentro del aula genera
sus propios procesos mentales.
Ahora bien, si es clara la intención de trabajar sobre los pensamientos métrico y
espacial, es necesario dejar claras algunas deficiniones que conectan de manera
directa las temáticas propias a ser abordadas en El presente trabajo final.
La evolución de la geometría se ha dado gracias a las interpretaciones que ha
hecho el ser humano sobre el mundo que lo rodea. Historicamente, el primer
contacto que tuvo el hombre con su entorno geométrico se dió a partir de su
interacción con objetos tridimensionales. Objetos como los prismas rectangulares,
muy comunes y abundantes en la configuración de mundo que se conoce, han
permitido deducir otros conceptos no tan claros desde las experimentación.
La idea de superficies que se intersectan implican la existencia de una linea
generada en dicha intersección. Un ente geometrico enmarcado en sola una
dimensión medible (longitud). En otras palabras, si dos planos infinitos no son
paralelos, la intersección de ellos da lugar a la existencia de una linea infinita que
esta contenida en los dos planos.
1. DISEÑOTEÓRICO 37
Por lo anterior, la idea de linea recta es una abstracción del ser humano y que
como tal no esta representada en ninguna situación de la vida real; sin embargo se
puede llevar al estudiante a su propia elaboración de la idea a partir de conclusiones
lógicas generadas por conceptos que pueden ser modelados en situaciones
concretas.
Otra situación que ilustra el proceso lógico que se pretende seguir en la
implementación de la presente propuesta metodológica se genera a partir de la
interseccion de dos rectas.
la idea, por lo tanto, es generar un proceso de aprendizaje de los conceptos
básicos de la geometria como rectas y ángulos, fundamentados en conclusiones
lógicas que le permitan al estudiante evolucionar con respecto a su entendimiento
del mundo que lo rodea y que por tanto, le sea mas fácil fijar conceptos
fundamentales para la edificación de teorias mas complejas.
Ahora, habiendo conocido las teorías en las que se enmarca la propuesta, y un
poco de la temática que esta en el fondo, es importante dejar claro el panorama
legal que justifica su implementación el cual se verifica a continuación:
1.4.4 Marco Legal
En colombia, toda idea que busque impactar el sistema educativo, ya sea a nivel
nacional, regional o local, debe asegurar que aunque pretenda hacer cambios en el
proceso de enseñanza-aprendizaje, tambien se encuentra bajo la normatividad y los
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
38
principios fundamentales que rigen la idea de educación que desde el ministerio de
educación nacional (MEN) se quiere impartir. Por lo tanto, a continuación se
enuncian las principales normas y leyes que soportan Este trabajo final.
NORMOGRAMA
Tabla 1: NORMOGRAMA
DOCUMENTO RECTOR TEXTO CONTEXTUALIZACIÓN Ley general de educación La educación es un
proceso de formación permanente, personal, cultural y social…
Los procesos de aprendizaje en geometría deben ser constantes y deben involucrar tanto al individuo como a su contexto
Ley general de educación Ley 115 Art.23 Comprenden el 80% del plan de estudio son los siguientes: La matemática es uno de los componentes de este 80%
El mejoramiento en las competencias relacionadas al pensamiento geométrico aumentan las posibilidades de éxito en otras asignaturas del área de matemáticas tales como son la aritmética, el álgebra o la estadística
Estándares Básicos en matemáticas
• Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas.
• Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza…
• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.
Comprensión clara de los conceptos básicos en geometría para su posterior utilización en aplicaciones
1. DISEÑOTEÓRICO 39
Estándares en Básicos en matemáticas
• La estimación de la medida de cantidades de distintas magnitudes. • La apreciación del rango de las magnitudes. • La selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos y procesos de medición. • La diferencia entre la unidad y los patrones de medición.
Herramientas mínimas para la comprensión de los conceptos geométricos básicos
Lineamientos curriculares de matemáticas
La geometría activa es una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de exploración.
Necesidad de utilizar la geometría en contexto
Lineamientos curriculares de matemáticas
La moderna investigación sobre el proceso de construcción del pensamiento geométrico…
Las bases del pensamiento geométrico deben estar garantizadas para asegurar un proceso de comprensión que aunque lento, genere certeza y claridad en el razonamiento
Lineamientos curriculares de matemáticas
Los procedimientos de tipo geométrico son las rutinas para construir un modelo de un concepto geométrico, para manipularlo o para hacer una representación del mismo en el plano.
Se puede mejorar el desempeño en áreas fundamentales como la trigonometría y el cálculo a partir del correcto razonamiento geométrico
UNESCO The CSMP STAFF, The CSMP Development in Geometry, Educa tiokz& !Xtud¿e~ ti k&?maticd (Dordrecht/Boston), Vol. 3, No 3/4, junio 1971, pg. 281.
"De todas las decisiones que se pueden tomar dentro de un proyecto de desarrollo curricular con respecto a la elección de contenido la que normalmente resulta ser la más controversial y la menos justificable es la
Hay que darle mayor protagonismo al pensamiento geométrico y sacarlo de del puesto segundario al que se le ha relegado hace varias décadas
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
40
decisión respecto a geometría".
1.4.5 Marco Espacial
Ahora bien, en cuanto al contexto de aplicación se puede decir que se llevará a
cabo en el colegio Marymount de Medellín el cual una institución educativa femenina
e internacional de carácter privado que presta sus servicios en la comuna 14 de la
ciudad de Medellín.
Tiene sus inicios en la década de los 50 de la mano de la congregación de las
hermanas del sagrado corazón de María quienes llegaron a la ciudad con la firme
intención de ayudar a las mujeres en cuanto a su educación con fuertes bases
cristianas y que además accedieran al inglés como segunda lengua.
En su proyecto educativo, el colegio Marymount busca educar estudiantes
integras en lo académico y espiritual además de fortalecer el conocimiento de
nuevas culturas y su manejo del idioma inglés. De acuerdo a lo anterior, la institución
tiene como misión: “El Colegio Marymount de Medellín es una Institución Educativa
privada, internacional y católica; su razón de ser es la formación de seres humanos
felices e integrales; de ciudadanos competentes, socialmente responsables,
con respeto por el medio ambiente, las diferentes culturas y religiones. Para ello,
el Modelo Marymount identifica y fortalece las habilidades y destrezas de cada
estudiante, con el compromiso de un equipo interdisciplinario en permanente
formación, que fomenta procesos de investigación e innovación sobre su quehacer
educativo y con los recursos pedagógicos, tecnológicos y financieros necesarios”; y
1. DISEÑOTEÓRICO 41
visión: “En el 2020, el Colegio Marymount de Medellín, será reconocido, nacional e
internacionalmente, como una opción educativa de alta calidad por entregar a la
sociedad seres humanos felices, integrales y competentes”.
La institución se enmarca en el constructivismo como teoría pedagógica
soportado en modelos como son la enseñanza para la comprensión (EpC), las
metodologías activas, y el aprendizaje basado en proyectos.
El uso de la tecnología juega un papel muy importante dentro del proyecto
educativo del colegio, debido a esto se cuenta con herramientas tecnológicas de
muy buen calibre que propenden por la mejoría académica de sus estudiantes y
además por su alta competencia en el contexto real.
Cabe aclara que, dado que es una institución internacional, el Colegio tiene
articulado a su currículo, los currículos, nacional y el de la Universidad de
Cambridge, para poder certificar competencias internacionales en sus estudiantes.
De acuerdo a esto, el plantel cuenta con 4 secciones en las cuales se agrupan todos
los grados escolares, preschool, elementary school, middle school y high school.
Esta propuesta metodológica se realizará en la sección de high School que
comprende los grados 9°, 10° y 11°; pero más exactamente se realizará con las
estudiantes pertenecientes al grado 9°.
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
42
2. DISEÑO METODOLÓGICO
2.1 Paradigma Crítico - Social
En el afán de involucrar a los estudiantes de manera activa en las dinámicas que
se dan al interior del aula de clase, y con la idea de erradicar algunas prácticas de
las metodologías tradicionales y de potenciar otras; se ha pensado en elabora una
propuesta que permita que sea el estudiante dueño de sus procesos y aporte a su
propia formación.
El paradigma crítico-social que tiene sus comienzos en la tradición alemana de
la escuela de Francfort, se muestra como una corriente que trata de contradecir a
las corrientes positivistas y que articula las conceptualizaciones teóricas y la teoría
social con la teoría crítica del conocimiento (Gómez M. A., 2007).
Por lo tantose busca que este paradigma, dentro de los procesos de
investigación educativa, mejore las debilidades de los puntos de vista positivistas y
tradicionales y le permita al estudiante articular la teoria crítica del conocimiento con
la teoría de las ideas (Gómez M. A., 2007).
2. DISEÑOMETODOLÓGICO 43
2.2 Tipo de Investigación
Se pretende suscribir este trabajo final bajo un método de investigación que
involucre al docente y lo tome como investigador, pero también como sujeto activo
en su objeto de estudio. En esta línea, el método investigación acción educativa
(I.A.) pretende que sea el docente sea quien investigue su práctica, que saque
hipótesis y aplique sus ideas en el contexto propio. Esto hace que el enfoque de
este tipo de investigación sea una combinación entre lo cualitativo y cuantitativo ya
que, si bien el maestro busca describir e interpretar su realidad, también es de su
interés el analizar las variables que intervienen en su saber práctico (Albert Gómez,
2007).
Se puede decir, de acuerdo a lo que el método de I.A. plantea, que esta
propuesta vendrá dado por una primera fase (diagnóstica) donde con la ayuda de
material audiovisual y la aplicación de pequeñas preguntas básicas sobre geometría
se busca determinar un punto de partida y aprovechar los saberes previos con los
que cuentan los estudiantes; una segunda fase (análisis) conformada por el análisis
de las fortalezas y debilidades en beneficio de generar espacios conceptuales que
mejoren el aprendizaje; una tercera fase (diseño e intervención) con el fin de
introducir las ideas geométricas y su aplicabilidad en problemas, y una cuarta fase
dada a la evaluación del impacto de la estrategia a partir de la aplicación conceptual
en contexto, o sea la solución de problemas.
2.3 Instrumentos de Recolección de la Información
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
44
Se tienen varias maneras de tomar la información y éstas dependerán del
momento en el que se encuentre la misma. Los conversatorios, las pruebas escritas
y la observación directa de los desempeños de los estudiantes configuran las
fuentes primarias de información. En particular, las fuentes primarias estarán
conformadas por la prueba diagnostica, guias de aplicación de situaciones problema
aplicada a las estudiantes, conversatorios y puestas en comun que se realizaran de
manera presencial o de manera virtual a través de la plataforma académica
Schoology, y un post-test que se realizará una vez se haya aplicado la propuesta
motodológica.
Las fuentes de información segundarias estan conformadas por las consulta de
investigaciones anteriores con respecto a los mismos elementos de estudio
encontrados en los diferentes repositorios de la universidad de Antioquia,
Universidad nacional, entre otras; asi como la constante consulta de los
lineamientos curriculares de matemáticas impartidos por el Ministerio de Educación
Nacional (MEN) y los estandares curriculares del área. Los documentos
audiovisuales que aportan a la solución del problema serán otras fuentes que
apoyarán a las principales en el objetivo de recoger datos.
2.4 Poblacion y Muestra
La población del presente trabajo final esta conformada por 55 estudiantes del
grado 9º del colegio Marymount de Medellin, las cuales tienen unos rangos de edad
que oscilan entre los 14 y 15 años. Son estudiantes pertenecientes a los estratos
sociales 5 y 6 y sin mayores necesidades economicas. Cuentan con todos los
implementos materiales para la realización de las actividades de la propuesta. En
su gran mayoria las familias de las estudiantes son familias tradicionales y bien
2. DISEÑOMETODOLÓGICO 45
establecidas, conformadas por papá, mamá y hermanos y ademas con altos niveles
de educacion superior.
La muestra que se tomará esta conformada por un grupo de 30 estudiantes,
equivalente a una cantidad superior al 50% de a población lo cual corresponde a
una cantidad representativa de la misma.
2.5 Delimitación y Alcance
Todos los esfuerzos que se llevarán a cabo en la implementación del presente
proyecto estan enmarcados en la necesidad de mejorar la competencia en la
resolucion de problemas de las estudiantes y el empalme de ideas geometricas con
otras ramas de la matemática.
Se espera que una vez terminada y aplicada la propuesta metodológica para la
enseñanza de los conceptos básicos de geometría (rectas y angulos) en la
educacion media a través de su aplicabilidad en la resolucion de problemas se
pueda lograr una mejor articulacion de dichos conceptos con las ideas generales
del calculo y la trigonometria, asi como mejorar tambien la transicion de las
estudiantes que pasan del colegio a la universidad.
2.6 Cronograma
A continuación, se realiza un cronograma que relaciona cada fase de la
investigación con las actividades propuestas en cada una de ellas.
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
46
CRONOGRAMA
Tabla 2: FASES DE LA APLICACIÓN
FASE OBJETIVO ACTIVIDADES Fase 1:
Diagnóstico • Consultar los saberes previos de los
estudiantes del grado 9º de la media acerca de los conceptos básicos de la geometría a través de una prueba diagnóstica que permita establecer un punto de partida para la propuesta metodológica.
• Identificar las posibles dificultades y vacios conceptuales que tienen las estudiantes del grado 9º con respecto a los conceptos básicos de la geometría.
1. Diseño de la prueba diagóstica sobre conceptos básicos de geometría
2. Aplicación de prueba diagnóstica escrita donde las estudiantes responden de acuerdo a sus experiencias educativas anteriores.
Fase 2: Análisis
• Analizar la prueba diagnóstica a través de una matriz de valoración DOFA para determinar el nivel de apropiación de los estudiantes acerca conceptos básicos de la geometría y su aplicabilidad en contexto.
1. Elaboración de matriz DOFA de análisis de resultados de la prueba diagnóstica.
2. Análisis de resultados por medio de la matriz DOFA a la luz de la EPC
Fase 3: Diseño de la
propuesta metodológica
• Diseñar una propuesta metodológica para la enseñanza de los conceptos básicos de la geometría basado en el uso de la tecnología y el material concreto para la resolución de problemas.
1. Diseño de la propuesta metodológica que aporte a la enseñanza de los conceptos básicos de la geometría que potencien la compretencia de resolución de problemas
2. Elaboracion de material físico y digital para el abordaje de los conceptos geometricos de punto, recta y ángulos
2. DISEÑOMETODOLÓGICO 47
Fase 4: Intervención
en el aula
• Aplicación de la propuesta metodológica dentro del aula con el fin de mejor los procesos de enseñanza y aprendizaje de las ideas de rectas y ángulos.
1. Aplicación de la propuesta metodológica.
2. Comparación de los procesos de aprendizaje con fuentes bibliograficas para el analisis del impacto real de la propuesta
Fase 5: Evaluación
de resultados
• Evaluar la efectividad de la propuesta a través del análisis de los avances conceptuales de los estudiantes
1. Pos-test 2. Conclusiones y
recomendaciones
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Tabla 3: CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
ACTIVIDADES SEMANAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Actividad 1.1 X X
Actividad 1.2 X X
Actividad 2.1 X X
Actividad 2.2 X X
Actividad 3.1 X X X X
Actividad 3.2 X X X X
Actividad 4.1 X X X X
Actividad 4.2 X X
Actividad 5.1 X X
Actividad 5.2 X X
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 49
3. TRABAJO FINAL: SISTEMATIZACIÓN
A continuación se presenta el desarrollo de las actividades del trabajo final
teniendo en cuenta las planeaciones y los objetivos especificos de la presente
propuesta divididos en cinco fases. Cada actividad está pensada para que aporte al
desarrollo del objetivo general y que por tanto, de cumplimiento a lo presupuestado
en el planteamiento del problema
3.1 RESULTADOS Y ANÁLISIS DE LA INTERVENCIÓN
3.1.1 Prueba Diagnóstica
El primer contacto del estudiante con la propuesta se da a través de una prueba
diagnóstica que está basada en los conceptos fundamentales de punto, recta y
ángulo. La idea inicial, y como esta planteado en los objetivos específicos, es
conocer las ideas previas con las que viene la estudiante para con esto, establecer
un punto de partida en la implementación.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
50
La prueba diágnostica que se les aplicó a las estudiantes consta de una pequeña
introducción a la geometría euclideana a partir de algo de historia y de tres puntos
de cuatro, uno y cinco insisos respectivamente. Todos los puntos que se incluyeron
en esta primera guia son preguntas abiertas y se centran, principalmente, en los
pensamientos espacial y métrico.
Al iniciar la prueba se le hace claridad al grupo de estudiantes que en el contexto
de la actividad no existen preguntas correctas o oncorrectas y que solo se busca
conocer las concepciones propias con respecto a un tema particular.
Se pregunta inicialmente por la idea que tienen las estudiantes de algunos
conceptos de la geometría plana tales como son punto, ángulo, recta y plano.
Posteriormente, se pide la constucción de un parque de diversiones que debe
contener algunas atracciones en particular y que deben ocupar una superficie
rectangular de área 30.000 m2 (Ver anexo). Para terminar y con la ayuda del gráfico
propuesto por la estudiante, se generan una serie de preguntas enfocadas en las
definiciones iniciales pero ya dentro de un contexto en particular y con la idea de
resolver algunas situaciones problematicas.
3.1.2 Análisis de los Resultados de la Prueba Diagnóstica
Luego de la aplicación de la prueba, la cual fue desarrollada por 28 estudiantes
del grado 9º del colegio Marymount, se pudo determinar el nivel conceptual en el
cual se encuentran al iniciar la implementacion de la propuesta. Cabe aclarar que el
analisis que se dará a esta actividad será de tipo cualitativo ya que se busca estudiar
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 51
las respuestas escritas por las estudiantes de cara al problema planteado por el
presente trabajo.
El primer punto que cuestiona las ideas preliminares de las estudiantes contiene
cuatro numerales que preguntan por la definición de punto, recta, ángulo, plano y
espacio. Cada alumna debe responder de acuerdo a sus experiencias anteriores en
el área de geometría dejando claro, como se dijo anteriormente, que no existen
respuestas incorrectas.
Luego de analizar la información recopilada en este primer numeral se puede
verificar que el cerca del 86% de las estudiantes no tenia claridad sobre el concepto
de punto y que por lo tanto la palabra punto les decia cosas diferentes a cada
estudiantes dependiendo de su concepción. Solo el 14% de las estudiantes dieron
definiciones de punto cercanas a las definiciones aceptadas dentro de diferentes
teorias geometricas.
La mayoria de las estudiantes identifican un punto como la representacion de un
lugar. Con el 64% de las respuestas, esta idea fue la más común entre las alumnas
pero no fue la única. Con porcentajes mucho menores y repartidos entre varias
opciones, respuestas como figura con un 11%, signo con un 7% y simbolo con un
4% se sumaron a la concepción erronea de la mayoría dejando ver claramente que
las estudiantes del grado 9º del colegio no tienen claridad sobre lo que es un punto.
Es claro, y ya ha sido expresado por varios estudiosos de la geometria, que el
concepto de punto es tal vez una de las ideas mas complejas al momento de ser
definida y que por lo mismo es conciderado como uno de los elementos básicos de
la geometria; sin embargo con la primera pregunta de la prueba diganóstica se
buscaba conocer el amplio espectro de concepciones que tienen las estudiantes
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
52
para poder generar una propuesta metodológica que recoja la mayor cantidad
posibles de ideas y las encause todas a un concepto común.
A continuación se podrá ver una tabla resumen de las respuestas de las
estudiantes al primer cuestionamiento:
Ilustración 1
Cada una de estas respuestan dejan ver que auque las estudiates identifican
concretamente que es un punto, les cuesta mucho trabajo definirlo dejando que
prime su uso y su forma sobre su esencia. Es importante tambien resaltar que
aunque responder la pregunta se hace complejo aun para los mismos docentes, el
100% de las estudiantes respondieron haciendo uso de sus experiencias anteriores.
Esto es importante porque aun teniendo la posibilidad de no responder, todas las
alumnas se arriesgaron a dar su punto de vista lo cual demiuestra confianza en sus
ideas previas.
El segundo numeral de la primera pregunta cuestionaba acerca de lo que la
estudiante identificaba como recta. el objetivo claro aquí era lograr comperender
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%
a)¿Quéesunpunto?
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 53
que sabian las estudiantes de una recta y si era posible introducirla de tal manera
que todas las ideas aportaran un poco a la definición aceptada como correcta.
Hubo una grata sorpresa al encontrar que el 82% de las estudiantes
reconocieron una recta como una linea infinita de puntos lo cual es absolutamente
gratificante puesto que si bien no fueron todas las que tienen esta idea, si es
importante que la inmensa mayoria identifique una recta de tal manera.
A continuacion la tabla resumen que ilustra las respuestas de las estudiantes:
Ilustración 2
Los resultados del tercer numeral que preguntaba sobre la definición del
concepto de ángulo no se apartaron mucho de lo que venia ocurriendo con los
conceptos anteriores. Aunque mucho mas repartido el porcentaje de respuestas
entre varias opciones, pero comunes a la mayoria de las estudiantes, la respuesta
más repetida, con un 32% fue que un ángulo es la medida entre dos lineas con un
punto común; no obstante no muy lejos de esta definición, se encontró la idea de
que un ángulo es dos rayos unidos en un punto. Esta respuesta tuvo un 29% dentro
0%
20%
40%
60%
80%
100%
lineadeptos nosabe/noresponde
distancia
b)¿Queesunarecta?
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
54
de la muestra. El restante 39% se distribuyó entre dos opciones: un ángulo es el
encuentro de dos rectas con un 32% y un 7% concideró que un ángulo es una figura.
Ilustración 3
Es claro de acuerdo a lo anterior que las estudiantes en su mayoria reconocen
un angulo a partir de la intersección de dos rectas pero lo confunden con el vértice
del mismo. Para ellas el ángulo y el vértice son lo mismo.
Para finalizar esta primera parte de la prueba diagnóstica se cuestionó a las
alumnas sobre el significado de plano y espacio y se obtuvo la siguiente información:
el 25% de las encuestadas no respondió, y el 75% estuvo de acuerdo en que el
plano y el espacio son ambos espacios para dibujar de varias dimensiones.
0% 5%
10% 15% 20% 25% 30% 35%
Rayosunidosenunvertice
Medidaentredoslineasconpuntocomun
Encuentrodedosrectas
Figura
c)¿Quéesunángulo?
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 55
Ilustración 4
El segundo item de la prueba daba instrucciones claras sobre la construcción de
un parque de diversiones que debia hacerse en algun programa o plataforma
procesadora de gráficos. La idea era darle al estudiante un terreno rectangular con
un área de 30.000 metros cuadrados con el fin de que construllera dicho parque con
una serie de atracciones requeridas pero cuyas medidas no eras especificadas.
En este numeral se evaluaron 4 items fundamentales: seguimiento de
instrucciones, idea de área, manejo espacial y uso de las TICs en la graficación. El
objetivo era determinar la capacidad de las estudiantes para seguir instrucciones,
para usar la tecnologia a su favor y sus habilidades espaciales. La información
recolectada fue la siguiente:
0%
20%
40%
60%
80%
Espaciodevariasdimensiones
Nosabe/Noresponde
d)¿Quéeselplanoyelespacio?
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
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Ilustración 5
Ilustración 6
Ilustración 7
Ilustración 8
Es claro que, en terminos de seguimiento de instrucciones, las estudiantes
comprenden lo que se les pide y lo ejecutan, sin embargo cerca del 30% de ellas
realizan procedimientos no pedimos. En algunos casos las estudiantes son muy
literales y debido a que no conocen algunos terminos básicos de la geometría, se
les dificulta el hecho de construir figuras planas que cumplan con un área dada.
0%
20%
40%
60%
80%
si no
a)Seguimietodeinstrucciones
40%
45%
50%
55%
correcta incorrecta
b)Ideadeárea
42% 44% 46% 48% 50% 52% 54% 56%
correcto incorrecto
c)Manejoespacial
0%
20%
40%
60%
80%
correcto incorrecto
d)ManejodeTICS
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 57
La tercera y última pregunta de la prueba buscaba que la alumna confrontara un
poco lo que definió al inicio y lo que había hecho en el gráfico de la segunda
pregunta. Los resultados de la tercera pregunta se muestran a continuación:
Ilustración 9
Ilustración 10
Ilustración 11
Ilustración 12
0% 20% 40% 60% 80%
100%
Nohayrectas Sihayrectas
a)¿Ensudiseñotienealgunarecta?
0% 20% 40% 60% 80%
100%
Correcto Incorrecto
b)Clasificacióndeunángulodado
0%
50%
100%
Correcto Incorrecto
c) Cálculodeáreasdefigurasplanas
0%
50%
100%
Coincide Nocoincide
d)¿Coincideconladefinicióndepuntoquedio
aliniciodelaguía?
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
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Ilustración 13
Ilustración 14
Ilustración 15
De acuerdo a lo anterior, se puede concluir que el grado de maduración que
deben tener las estudiantes de 9º del colegio estan muy por debajo de lo esperado
para su grado de su escolaridad. La anterior idea es soportada además por el
siguiete gráfico que ilustra el porcentaje de estudiantes que ganarían la prueba
diágnostica si esta fuera de carácter evaluativo:
0%
50%
100%
150%
Rectángulos Círculos Triángulos
e)Figurasgeometricasusadasenelgráfico
0%
50%
100%
150%
correctas incorrectas
f)Aplicacióndeángulosagudosentriángulos
rectángulos
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
correctas incorrectas
g)Aplicacionesdependientedeunarecta
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 59
Ilustración 16
3.1.3 MatrizdeValoraciónDOFA
Luego de conocer los reultados de la prueba diagnóstica, y de haber identificado
algunos elementos relevantes antes, durante y después de su aplicación, se puede
realizar el siguiente análisis de debilidades, oportunidades, fortalezas y amenazas
bajo el contexto educativo como se muestra en el siguiente cuadro.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Pregunta1(Numerala)
Pregunta1(Numeralb)
Pregunta1(Numeralc)
Pregunta1(Numerald)
Pregunta2 Pregunta3(Numeralb)
Pregunta3(Numeralc)
ResultadogeneraldelapruebadiagnósticaPreguntascorrectas,incorrectasynocontestadas
Correctas Incorrectas Noresponde
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(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
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MATRIZ DE VALORACIÓN PRODUCTO DE LA PRUEBA DIANGÓSTICA
Tabla 4: MATRIZ DE VALORACIÓN
Fuente: Elaboración propia
3.2 Diseño de la Propuesta Metodológica
Con base en los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica se pretende
abordar la problemática desde los flancos que fueron evidenciados como
debiles, y con el objetivo de mejorar la comprensión de los conceptos básicos
Debilidades Oportunidades Fortalezas Amenazas Desde lo Espacial
• Desconocimientos de conceptos básicos de geometria.
• Utilización de saberes previos en la nueva conceptualización.
• Conocimiento de figuras básicas como el triángulo, el rectángulo y círculo.
• Mala utilización de las herramientas geometricas en la ubicación espacia.
Desde lo metrico
• Desconocimiento de unidades de medición.
• Conocimiento de herramientas básicas en el computador.
• Existencia de materia de medida suficiente
• Utilización de medios electrónicos.
• Medición erronea de longitudes, ángulos y áreas .
Desde lo actitudin
al
• Utilización de medios electronicos en actividades diferentes a lo propuesto.
• Disposición de trabajo.
• Actitud de clase
• Niveles de atención.
• Interés personal por aprender.
• Concentración en clase y uso de las herramientas tecnológicas
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 61
de geometría para la resolución de problemas iniciales del cálculo y la
trigonometría.
3.2.1 Descripción de la propuesta
Se presenta una propuesta que se dividirá en cuatro momentos: introducción,
conceptualización, aplicaciones y evaluación. Éstos cuatro espacios tendrán
fuertes bases metodológicas de la EPC, el constructivismo social y la resolución
de problemas.
• El momento de introducción busca despertar la curiosidad de la alumna a
partir de diferentes motivaciones historicas o didácticas.
• El momento de conceptualización tiene como ojetivo guiar a las
estudiantes en su propia investigación para que redescubran algunas
ideas geométricas.
• El momento de aplicación tiene como objeto los elementos fundamentales
de la geometría plana y utiliza los problemas básicos de la trigonometría
y el cálculo para su ejemplificación y aplicación.
• Y por último, el momento de evaluación pretende aplicar diferentes guias
de trabajo que cuestionen a la alumna con respecto a las ideas
compatidas en las fases inmediatamente anteriores. Para esto se
contará con el apoyo de software especializado en la realización de
graficas y en la utilización de objetos geométricos, con la utilización
plataformas académicas como Schoology y con la generación de guias
de trabajo físicas donde es necesario el uso de herramientas
geometricas.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
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Tomando como referencia las fases anteriormente nombradas, se proponen
ocho sesiones de clase distribuidas de la siguiente manera:
• Sesion 1: Motivación, juegos y prueba diagnóstica.
• Sesión 2: Inicios conceptuales. Juego de Erudito y desarrollo de la primera
guía de aplicación.
• Sesión 3: Desarrollo de la segunda guía de aplicación, Construcción de
una unidad residencial a partir de las cnceptualizaciones de la guia
anterior
• Sesión 4: Primera aplicación de conceptos en las relaciones métricas en
el triángulo rectángulo. Guia conceptual sobre ideas de opuesto y
adyacente .
• Sesión 5: Luego de haber comprendido conceptualmente las razones
trigonométricas seno y coseno, se plantea una guia de aplicación a
problemas cotidianos.
• Sesión 6: Segunda aplicación de conceptos a la idea de pendiente de una
recta. Guia conceptual sobre pendiente y velocidad promedio de un móvil.
• Sesión 7: Guia aplicada a velocidades promedio de cuerpos en
movimiento.
• Sesión 8: Post Test.
Cabe aclarar que cada una de estas sesiones esta pensada para ser
desarrollada en dos horas y que estan distribuidas en tres momentos, como lo
propone la EPC, Activación de ideas previas, investigación dirigida y
retroalimentación. Bajo el contexto que reviste el presente trabajo final, es
importante aclarar que de los cuatro momentos en los que se encuentra dividida
cada sesión, el momento dos y tres se enmarcan bajo el segundo espacio
propuesto por la EPC el cual es la investigación dirigida.
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 63
3.2.2 Aprendizajes Esperados y Estandares Relacionados
De acuerdo a las competencias propuestas por el colegio para el grado de
escolaridad 9º, se espera que al terminar la implementación del trabajo final, la
estudiante:
• Comprenda los conceptos básicos de la geometría punto, recta y
ángulo.
• Utilice las ideas de punto, recta y ángulo para generar nuevos conceptos
geométricos.
• Deduzca los conceptos de razón trigonométrica a partir de la idea de
recta y segmento en un triángulo rectangulo.
• Deduzca el concepto de pendiente de una recta a partir de la utilización
de la idea de puntos y distancias.
• Aplique las ideas de razón trigonométrica y pendiente de una recta en
contextos particulares y en situaciones problematicas reales.
Ahora bien, las anteriores competencias se encuetran enmarcadas en los
siguientes estandares del pensamiento espacial y sistemas geométricos
propuestos por el MEN:
• Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en
demostración de teoremas básicos.
• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las
matemáticas y en otras disciplinas.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
64
• Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de
superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.
• Describo y modelo fenómeno periódicos del mundo real usando relaciones y
funciones trigonométricas.
3.2.3 Dinámica del Trabajo en Clase
Como ya se dijo, el trabajo final estará mediado por la enseñanza para la
comprensión, el constructivismo social y la metodología de resolución de
problemas, por lo que todas las sesiones se realizarán buscando la comprensión
del estudiante a partir de la socialización con sus compañeras. Es de vital
importancia que la alumna vea la aplicación de las ideas en un contexto y, por lo
tanto, en toda sesión se verá reflejada la aplicación de las ideas vistas en
problemas de la cotidianidad.
Lo anterior se realizará con el uso de la plataforma académica Schoology y
con el apoyo de las guías de trabajo que, posterior a la aplicación, configurarán
una cartilla producto de este trabajo final.
3.3 INTERVENCIÓN DE LA PROPUESTA METODOLÓGICA
La intervención en el aula se da con el fin de mejorar las competencias de las
estudiantes para resolver los problemas iniciales de la trigonometría y del cálculo
a partir de la comprensión de los conceptos de punto, recta y ángulo.
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 65
Es importante aclarar que del presente trabajo final se desprende una cartilla
didáctica en la que se establece la secuencia de actividades propuesta para
abordar los conceptos básicos y su posterior aplicación. La idea es reforzar las
concepciones de las estudiantes con respecto a dichos principios básicos para
prevenir errores comunes en las aplicaciones anteriormente descritas.
La fase de intervención se realiza sobre las estudiantes del grado 9ºA del
colegio Marymount, en jornada diurna (en la mañana) y en los espacios
correspondientes a geometría y álgebra. 9º es un curso que se encuentra
conformado por 28 estudiantes de entre catorce y quince años de edad y cuyo
desempeño en el área de matemáticas se ha venido realizando, hasta el grado
octavo, en inglés.
Se plantea la primera sesión en la cual las estudiantes reciben una corta
instrucción sobre el trabajo que se va a realizar durante las próximas clases. Se
percibe un aire de novedad y sorpresa pues las estudiantes no conocen ninguna
actividad semejante y expresan estar a la expectativa de lo que pueda ocurrir.
Comienza la prueba diagnóstica (Ver anexo) y algunas estudiantes se
muestran indecisas y con miedo de responder lo que ellas creen. Se limitan
mucho de dar su opinión ya que temen una nota reprobatoria. El resto de la
prueba diagnóstica se da con normalidad. Se les hace un llamado especial a las
estudiantes para que trabajen esta actividad de manera individual pues es
necesaria su opinión basada en lo que conocen y no en las experiencias de
otras.
Luego del análisis correspondiente de la conducta de entrada, se propone la
actividad de la sesión dos. En este par de clases las estudiantes se enfrentan a
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
66
la Isla de Geometrópolis1 la cual de manera didáctica les propone una serie de
información científica, sobre elementos básicos de la geometría en este caso, y
que evalúa la comprensión a partir de algunas dinámicas didácticas. Las
estudiantes dedican toda la primera hora de la sesión a explorar el juego y a
cumplir con los retos que allí se sugieren.
Posterior a la conceptualización de Erudito, se propone la guía número uno
que busca que se realice la correspondencia correcta entre definiciones y
conceptos vistos en el juego. La actividad se realiza sin mayores contratiempos
y se dedica el final de la sesión para dialogar sobre lo que ha sido nuevo y lo
que ya se sabía sobre las ideas fundamentales de la geometría. La isla de
Geometrópolis se puede ver en el siguiente link:
http://erudito.medellin.unal.edu.co/social.php?idc=1886
1IsladeljuegoEruditodesarrolladoporlauniversidadNacional
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 67
Ilustración 17
Esta guía no se realiza de manera física. Las estudiantes bajan la actividad
del curso que se tiene en la plataforma académica Schoology y allí mismo la
suben una vez resuelta. El que sigue es el link de dicho curso
https://marymountmedellin.schoology.com/course/836362267/materials
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
68
Ilustración 18
La sesión tres es una construcción de una unidad residencial que debe
cumplir con algunas características particulares requeridas por la empresa
constructora. Las estudiantes deben proponer un diseño basado en un conjunto
de instrucciones que buscan aplicar las ideas anteriormente analizadas con el
juego de Erudito y que cuestionan sobre lo abstracto o concreto que pueden ser
los conceptos de punto, recta y ángulo. En el anexo se puede evidenciar uno de
los gráficos propuestos por una estudiante.
La cuarta sesión de esta fase esta permeada por una pequeña historia que
explica la existencia de un nuevo signo zodiacal. En esta guía las estudiantes
trabajan en pequeños grupos y discuten sobre las ideas de opuesto y adyacente,
basadas en posiciones relativas de algunas constelaciones con respecto al sol
y a la tierra. finalmente se trasladan estos conceptos al contexto de los triángulos
rectángulos para evidenciar la primera aplicación de los conceptos de recta y
ángulo.
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 69
Ahora bien, después de comprender a lo que se refieren las razones
trigonométricas con seno y coseno, las estudiantes se enfrentan a la quinta
sesión basada en problemas aplicados a triángulos rectángulos. En esta guía,
se muestra una situación problema a medias y se le pide a la estudiante que de
acuerdo a las definiciones de seno y coseno termine de calcular algunos
elementos pedidos. Esta aplicación pone evidencia como se aplican ideas
básicas a contextos particulares de la trigonometría.
La idea de pendiente de una recta tangente es, en principio, una de las
dificultades que se le presenta a las estudiantes a la hora de iniciar el curso de
cálculo en el colegio. La sexta guía propone una explicación de la pendiente a
partir de la construcción de un dibujo sencillo en una representación del
geoplano y que cuestiona a la estudiante sobre las inclinaciones que se dan
entre las rectas de su dibujo. Todas las preguntas se hacen basados en la
ubicación de un punto con respecto al otro y en la relación de movimientos
realizados desde uno para llegar al otro.
La guía siete aplica la idea de pendiente de una recta a algunas situaciones
problema sobre velocidades de móviles. En esta guía, la estudiante debe llevar
la idea de pendiente al contexto de velocidad promedio para solucionar algunos
problemas prácticos típicos de los inicios del cálculo.
Finalmente, para determinar la efectividad de la propuesta, se labora una
última guía que se pregunta por los aprendizajes de cada estudiante con
respecto a lo que inicialmente conocía. En el software de Hot potatoes se diseña
un crucigrama que involucra todas las ideas vistan en las anteriores sesiones.
Esta aplicación permite hacer la actividad interactiva de tal manera que sea
posible que ella misma pueda ir viendo en que se está equivocando al momento
de llenar la información.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
70
Ilustración 19
3.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS
Hay una característica importante en el colegio Marymount y es el hecho de
que cada estudiante cuenta con su computador personal. Esta situación facilita
el trabajo de la propuesta ya que todas las actividades se pueden trabajar de
manera digital y física.
Las clases de geometría y álgebra tienen una intensidad semanal de seis
horas con una duración de 60 minutos cada una, por lo tanto, cada sesión de la
propuesta tuvo que ser desarrollada en dos clases y a consecuencia de ello, la
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 71
implementación se realiza durante dos semanas y media incluyendo la sesión
en la que se aplica el post-test.
Todas las sesiones de clase se dan bajo la misma dinámica: se inicia con
una pequeña introducción al tema que tiene que ver con historia o información
interesante para posteriormente, y con la ayuda de las guías de trabajo, hacer el
estudio conceptual o las aplicaciones, dependiendo del momento en el cual se
encuentre el grupo. Todo el trabajo se realiza de manera grupal y rotando los
grupos de actividad en actividad; es decir, la conformación de los grupos de
trabajo es diferente para cada guía.
Después de aplicar todas las guías de trabajo propuestas, se encontraron
diferentes dificultades de las estudiantes que van desde lo conceptual hasta lo
procedimental a la hora de seguir instrucciones. A continuación, se presenta el
análisis de los aprendizajes de los conceptos fundamentales de la geometría.
Conceptos de punto, recta y ángulo:
En un principio la mayoría de las estudiantes creían tener claridad sobre lo
que cada uno de estos conceptos es. Incluso algunas llegaron al punto de
considerar que lo que se pretendía enseñar en la presente propuesta ya lo
habían visto en sus años de escolaridad. Una vez analizada la prueba
diagnóstica y empezado el trabajo en el juego de erudito, muchas estudiantes
se encontraron con el hecho de que efectivamente reconocían la simbología
utilizada para denotar cada uno de estos tres conceptos, sin embargo, la idea
fundamental que los envuelve no era conocida por muchas de ellas.
No es complejo para las estudiantes representar la idea de un punto, incluso
algunas podían usar su representación para generar, por ejemplo, la idea de
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
72
figura plana. No obstante, cuando se les pide hacer consciente cada uno de los
conceptos y definirlos se quedan cortas al querer explicarlos a partir de ejemplos
de aplicación.
Al realizar la socialización de la actividad conceptual del juego de erudito,
algunas estudiantes expresan su sorpresa al encontrarse con que no es posible
definir ninguno de las tres ideas e inmediatamente, luego de que una estudiante
participara con esta observación, otra participante recuerda a sus compañeras
el hecho de que estos objetos son inexistentes en la vida real y que por tanto
solo se puede tener acceso a sus representaciones abstractas.
Es importante resaltar en este punto que las estudiantes tuvieron un golpe
conceptual fuerte al darse cuenta que en matemáticas existen algunos
elementos con lo que se puede trabajar y deducir lógicamente otros elementos,
pero que nos imposible de definir.
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 73
Ilustración 20
Concepto de razón trigonométrica
Esta idea es en absoluto nueva para las estudiantes. En el desarrollo de las
actividades que revistieron este concepto se evidenció la sorpresa de las
participantes al encontrarse con nuevas palabras como lo son seno y coseno de
ángulos agudos.
Las actividades se inician con un pequeño articulo revelador que habla sobre
la existencia de otra constelación en el cielo y que ha sido ignorada por los
astrólogos al hacer sus afirmaciones. Muchas estudiantes se ven identificadas
inmediatamente con las palabras del artículo pues son afines a las ideas
astrológicas de los signos zodiacales.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
74
Todas las estudiantes reconocen relaciones de opuesto y vecino (adyacente)
con respecto al planeta tierra y al sol y esto pone las ideas de seno y coseno al
su alcance. Inician las preguntas contextualizadas en el triángulo rectángulo
sobre el lado vecino y opuesto a uno de los ángulos agudos y las estudiantes se
ubican fácilmente. Las primeras dificultades que se presentan se dan a partir de
nombrar las razones entre lados como seno y coseno. Muchas de las
participantes, aunque identifican el ángulo agudo, los catetos y la hipotenusa de
un triángulo rectángulo, encuentran complicado la idea de ponerle un nombre a
la división. A causa de esto se hace necesario alargar un poco la sesión.
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 75
Ilustración 21
Se termina la actividad de conceptualización sobre razones seno y coseno;
sin embargo, muchas estudiantes presentan dudas sobre lo que dichas razones
significan y sobre lo que ellas implican en un triángulo rectángulo. Se espera que
estas dificultades mejoren con las aplicaciones problemáticas.
La sesión correspondiente a las aplicaciones de las razones seno y coseno
se inicia con un aire de complejidad entre las niñas. Esto debido a que varias
quedaron con dudas sobre las definiciones realizadas en la sesión anterior y tal
hecho las previene a sus aplicaciones.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
76
La guía de trabajo de aplicaciones comienza con algunas ejemplificaciones
que guían a la estudiante en la utilización de la función seno. La idea es que, a
partir de dicho ejemplo, y usando la información encontrada en el ejemplo, quien
aprende proponga una solución donde sea necesario usar la función coseno.
Ilustración 22
El uso de las funciones en un contexto concreto mejora la comprensión de
las estudiantes. Aquellas que argumentaban no haber entendido la sesión
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 77
anterior se ven mucho más ubicadas en esta parte de la intervención. Finaliza la
sesión pidiéndoseles a las participantes que propongan una situación problema
donde se haga necesario usar las razones trigonométricas y que expliquen para
que sirven en general. La grata sorpresa fue encontrar que cerca del 90%
postuló una situación viable.
Concepto de pendiente de una recta
Abordado en las dos últimas sesiones, el concepto de pendiente se trabaja
en parejas y de manera tal que en una de las sesiones se analice el concepto
de pendiente a partir de la construcción de un vestido en una representación del
geoplano, y en la otra, se aplique a situaciones concretas de velocidades
promedio de móviles.
Una de las ideas principales es evaluar la capacidad de las estudiantes para
seguir instrucciones; la guía “el vestido de Anita” sugiere unos pasos para su
construcción a partir de movimientos horizontales y verticales a partir de un
punto dado. Solo hubo una estudiante que tuvo dificultades al seguir las
instrucciones y que dibujo una figura muy diferente a la pedida y que, por tanto,
realizó algunos análisis erróneos con respecto a la pendiente de una recta.
La gran mayoría de los grupos de trabajo construyeron correctamente el
vestido, pero presentaron dificultades en el análisis de la pendiente de algunos
segmentos dados en el gráfico.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
78
Ilustración 23
Posterior a la construcción se plantea una serie de interrogantes sobre la
pendiente de algunos segmentos de recta. Cuando se preguntó información
literal del gráfico como cantidad de espacios movidos verticalmente contra
espacios movidos horizontalmente, se obtuvieron respuestas correctas de todas
las estudiantes, ahora bien; al momento de pedir analizar características de la
pendiente para rectas con diferentes inclinaciones, horizontales y verticales; las
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 79
respuestas fueron variantes y no se logró observar homogeneidad en la
comprensión.
Ilustración 24
Finalmente se propone una aplicación de la pendiente como la velocidad
promedio de un cuerpo y esto se hace ya que en la asignatura de física se están
trabajando temas similares y es posible encontrar apoyo en tal información.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
80
El 87% de las estudiantes aplican correctamente la idea de pendiente a la
gráfica de posición contra tiempo.
Ilustración 25
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 81
3.4.1 ANALISIS DE LOS RESULTADOS DEL POST-TEST
El post test aplicado cuestiona sobre las mismas ideas que lo hacia la prueba
diagnóstica, por lo tanto, los resultados se mostrarán en comparación uno del
otro con respecto a las ideas cuestionadas en cada uno de ellos.
El post-test es aplicado nuevamente a las 28 estudiantes del curso, se realiza
de manera individual y a través del curso en línea de Schoology. A continuación,
se presenta el resultado de la aplicación:
Tabla 5: COMPARACIÓN DE RESPUESTAS POR CONCEPTOS EN EL DIAGNÓSTICO Y EL POST-TEST
A continuación, se comparan las respuestas correctas del diagnóstico y del post-
test en cada componente de la propuesta:
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
82
Ilustración 26
De las tablas anteriores se puede verificar gran mejoría en lo siguiente:
Comprensión de los conceptos básicos de la geometría:
Ya era claro, según lo diagnosticado que las estudiantes podían aplicar los
conceptos básicos pero que se les dificultaba el hecho de definirlos o
comprender su naturaleza abstracta.
Diagnó
stico
Post-test
Diagnó
stico
Post-test
Diagnó
stico
Post-test
Diagnó
stico
Post-test
Diagnó
stico
Post-test
Diagnó
stico
Post-test
Definicióndeconceptosbásicosdelageometría
Aplicacionesdelosconceptos
básicos
Conceptoderazón
trigonométrica
Aplicacióndelasrazones
trigonométricas
Conceptodependientedeunarecta
Aplicacióndelapendiente
15%
93%
28%
97%
11%
88%
5%
85%
2%
91%
13%
98%
PORCENTAJESDERESPUESTASCORRECTASENELDIAGNÓSTICOYELPOST-TEST
3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 83
Luego de la aplicación del post-test se puede evidenciar que cerca del 93%
de las estudiantes comprenden los conceptos básicos, conocen su naturaleza
abstracta y además los reconocen en contexto ya que el 97% pudo aplicarlos en
las situaciones planteadas.
Comprensión y aplicación de razones trigonométricas a partir de la utilización de los conceptos de recta y ángulo:
En promedio, el 86,5% de las estudiantes identificaron correctamente las
razones trigonométricas seno y coseno y, además, lograron aplicarlas en la
solución de triángulos rectángulos planteados a partir de situaciones problema.
Es importante resaltar que no solo se comprendió y se aplicó el concepto,
sino que también las estudiantes propusieron su propio problema.
Comprensión y aplicación de la pendiente de una recta y su aplicación en problemas de velocidad promedio:
El 91% de las estudiantes comprendieron correctamente la idea de pendiente
de una recta a partir de dos puntos dados. Evidencian una correcta ubicación en
el plano y además relacionan de manera apropiada los movimientos verticales y
horizontales en el plano a través de razones.
Por otro lado, el 98% de las participantes aplican correctamente la idea de
pendiente a la velocidad promedio de un cuerpo gracias a su comprensión inicial
de desplazamientos horizontales versus verticales en el plano. Hay que hacer
una mención especial en este tema a los avances realizados en la clase de física
puesto que fue muy clara la influencia de las ideas allí estudiadas en el desarrollo
de esta actividad.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
84
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
4.1 CONCLUSIONES
A partir de la aplicación de la propuesta metodológica se puede concluir lo
siguiente:
Los saberes previos de los elementos básicos de la geometría en los
estudiantes no eran suficientes para enfrentar las aplicaciones clásicas e
iniciales de la trigonometría y el cálculo. Esto se pudo evidenciar con la
aplicación de la prueba diagnóstica que dejó al descubierto las falencias
conceptuales de las estudiantes y que mostró, de alguna manera, el por qué las
alumnas del colegio Marymount presentan grandes dificultades en la
competencia de resolución de problemas.
Se generó una matriz de valoración DOFA para analizar los resultados de la
prueba diagnóstica. Dicha matriz permitió establecer un punto de partida para la
implementación de la propuesta metodológica, y mostró que las estudiantes del
grado 9º tenían problemas para aplicar algunos conceptos geométricos a
situaciones problemáticas, no tenían claridad en las unidades de medida
utilizadas en diferentes contextos y debido a esto, presentaban dificultades
comportamentales al momento de utilizar los medios electrónicos para las tareas
4. CONCLUSIONESYRECOMENDACIONES 85
requeridas. Esto se daba ya que, al no comprender las tareas a realizar, la
atención en su dispositivo electrónico se desviaba a redes sociales.
Se diseña una propuesta metodológica basada en software libre (plataforma
Erudito y hot potatoes) y material concreto que da como resultado una cartilla de
conceptos básicos de la geometría con toda la secuencia aplicada en dicha
propuesta. La cartilla se adjunta bajo el nombre de “Elementos básicos de la
geometría: rectas y ángulos en las aplicaciones iniciales de la trigonometría y el
cálculo”.
La intervención en el quehacer docente se da correctamente ya que en el
post-test se pudo evidenciar que, en efecto, después de la implementación de la
propuesta, las estudiantes mejoraron notablemente en la comprensión de los
elementos básicos de la geometría además de que reforzaron su competencia
de resolución de problemas.
De acuerdo a lo anterior es claro que el objetivo principal de este proyecto
final, el cual era “diseñar una propuesta metodológica en el grado 9º del colegio
Marymount de Medellín que articule los conceptos básicos de la geometría
(rectas y ángulos) a la resolución de algunos problemas iniciales de la
trigonometría y el cálculo” se logró de manera exitosa puesto que las evidencias
brindadas por la aplicación de las guías de trabajo y el resultado individual del
post-test permiten ver una evolución significativa en la comprensión y aplicación
de los conceptos básicos de recta y ángulo.
4.2 RECOMENDACIONES Los estudiantes que hoy en día van al colegio están influenciados totalmente
por el uso de la tecnología, casi hasta llegar al punto de que las redes sociales
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
86
y demás definen sus pocas dinámicas sociales; por lo tanto, es importante
mostrarles que ese no es el único uso de sus dispositivos, que pueden ser
utilizados de manera entretenida para introducir ideas académicas.
La implementación del constructivismo social de la mano de la resolución de
problemas facilita las relaciones entre los estudiantes y potencian sus
habilidades sociales y para solucionar situaciones que pueden ser artificiales o
reales.
Es importante hacer una sensibilización antes de empezar a aplicar
metodologías basadas en el uso de las TIC para que el estudiante no mal utilice
el tiempo usando diferentes aplicaciones que nada tienen que ver con lo
trabajado en clase. Esta sensibilización debe ser enfocada a la metodología que
se va a aplicar.
El uso de computador personal es de gran importancia para los fines de esta
propuesta, por lo tanto, es relevante el hecho de que cada estudiante tenga la
oportunidad de interactuar de manera personal con el dispositivo, para que, de
esta manera, pueda aportar a la construcción grupal de acuerdo a sus propias
impresiones
La interacción entre la enseñanza para la comprensión, el constructivismo
social y la resolución de problemas, brinda al estudiante y al maestro caminos
claramente marcados para mejorar tanto la enseñanza como el aprendizaje, en
consecuencia, planear una sesión de clase de cara a estas tres teorías de
enseñanza y aprendizaje puede mejorar los procesos de comprensión de los
estudiantes.
4. CONCLUSIONESYRECOMENDACIONES 87
El papel del maestro sigue cambiando conforme pasa el tiempo. Es
importante recordar que, aunque su presencia es fundamental en los procesos
de socialización y comprensión de los estudiantes, una clase contemporánea
debe estar centrada en el aprendizaje del estudiante y no en una figura de poder
conceptual y disciplinario, de ahí que la intervención del maestro como guía en
las temáticas disciplinarias y acompañante en los procesos sociales, cobre gran
importancia.
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
88
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REFERENCIAS 89
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Jessup, M., Oviedo, P., & Castellanos, R. (2000). Universidad Pedagógica. Obtenido de http://www.pedagogica.edu.co/
ANEXOS
90
ANEXOS
ANEXO A: Prueba diagnóstica
TRABAJO FINAL DE MAESTRIA: PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA
DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA (RECTAS Y ANGULOS) EN LA EDUCACION MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA RESOLUCION DE
PROBLEMAS
COLEGIO MARYMOUNT
FASE 1: ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA
0. Plano de un parque de diversiones
ESTUDIANTE ELABORADO POR JOSE CAMILO RAVE BUILES
INSTRUCCIONES • Lea atentamente y responda según lo requerido
• Ninguna de las preguntas que vas a responder tiene una respuesta correcta o incorrecta, solo responde según lo que crees y según lo que has aprendido hasta ahora.
CONSENTIMIENTO DE APLICACIÓN: Los datos aquí obtenidos serán utilizados
sólo con fines académicos en el marco del Trabajo final de maestría.
OBJETIVO: Identificar los conceptos básicos de Geometría a partir de la utilización
de la tecnología para la solución situaciones problema.
ALGO DE HISTORIA…
La Geometría Euclidiana o Geometría plana, puesto que razona sobre polígonos,
circunferencias y en general, entes posibles en el plano; es uno de los puntos cumbre
dentro del pensamiento matemático. Los elementos de Euclides, considerado el
primer tratado matemático de la historia, establece cierta cantidad de definiciones,
axiomas y postulados con los cuales se deduce, lógicamente, una serie de
proposiciones sobre geometría plana.
ANEXOS 91
1. PREGUNTAS PRELIMINARES
ANTES DE EMPEZAR…
a) ¿Qué es un punto?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
b) ¿Qué es una recta?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
c) ¿Qué es un ángulo?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
d) Explica que es un plano y que es el espacio
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. CONSTRUCCIÓN DEL PARQUE DE DIVERSIONES
Usted cuenta con una superficie de 30.000 m2 para la construcción de un parque de
diversiones que debe tener las siguientes atracciones:
a. Portería
b. Lago de pesca
c. Carritos chocones
d. Carrusel
e. Montaña rusa para niños
f. Montaña rusa para adultos
g. Mansión del terror
h. Parqueadero para 100 carros
i. Parqueadero para 60 motos
j. Piscina de pelotas
k. Zona de comidas
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
92
Elabore un plano con todos los requerimientos y a escala
NOTA: Su hoja completa de Word o cualquier programa que quiera utilizar para
hacer el diseño corresponde al terreno rectangular donde construirá el parque.
3. CONCEPTUALIZACIÓN
a. ¿En su diseño tiene alguna recta? explique cuál es una recta en su diseño
en caso de tenerla o por qué no la tiene en caso contrario
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
b. ubique la portería, la montaña rusa para niños y los carros chocones. Si
se toma la portería como el vértice del ángulo que forman los tres
lugares, ¿Qué tipo de ángulo forman? Explique
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
c. ¿Cuanta área quedo libre en su plano para hacer zonas verdes?
ANEXOS 93
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
d. en caso de emergencia, los lugares públicos deben tener un punto de
encuentro donde sea posible llegar rápido desde cualquiera de los
lugares. Su punto de encuentro será el lugar donde confluyan la mayor
cantidad de líneas rectas que van de una atracción a otra. Defina según
esto que es un punto. ¿Coincide con la definición que dio al inicio de la
guía?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
e. ¿Qué tipo de figuras geométricas utilizó en su diseño? ¿Cómo se calcula
el área de cada una de ellas? ¿Qué es el área de una figura?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
94
4. APLICACIONES
• Determinar la altura de un edificio cuyo último piso es observado por un
ingeniero con un ángulo de elevación de 30º desde un punto ubicado a 50
metros del pie del edificio y cuyo ángulo.
• Determinar la longitud de la hipotenusa de un triángulo que tiene un cateto
de medida 3 metros y un ángulo agudo de 60º.
• Determinar la pendiente de una recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(-
2,4)
• Si la ecuación de movimiento de un móvil es 𝑓 𝑡 = 𝑡$ + 3𝑡 + 1, determinar
la velocidad promedio de dicho cuerpo a los 15 segundos de iniciar su
movimiento
ANEXOS 95
“Cuando las leyes de la Matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad”
Albert Einstein
ANEXO B: Post-test TRABAJO FINAL DE MAESTRIA: PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA
DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA (RECTAS Y ANGULOS) EN LA EDUCACION MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA RESOLUCION DE
PROBLEMAS
COLEGIO MARYMOUNT
FASE 5: EVALUACIÓN DE LOS
RESULTADOS
7. Post-test ESTUDIANTE
ELABORADO POR JOSE CAMILO RAVE BUILES
INSTRUCCIONES • Complete el crucigrama que se plantea a continuación de acuerdo a lo aprendido en la aplicación de las diferentes guías y actividades de clase
OBJETIVO: Evidenciar el aprendizaje de los conceptos básicos de la geometría
(Punto, recta y ángulo) y su aplicación en algunos problemas iniciales de la
trigonometría y el cálculo.
ALGO DE HISTORIA… LAS MATEMA TICAS DURANTE EL
RENACIMIENTO
Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios
matematicos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue
hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matema tico de
trascendencia en Occidente. Era una fo rmula algebraica para la resolucio n de las
ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matema tico
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
96
italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevo a los matema ticos
a interesarse por los nu meros complejos y estimulo la bu squeda de soluciones
similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta bu squeda la que a su
vez genero los primeros trabajos sobre la teori a de grupos a finales del siglo XVIII y
la teori a de ecuaciones del matema tico france s Evariste Galois a principios del XIX.
Tambie n durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos
matematicos y algebraicos. El matema tico france s Francois Viète llevó a cabo
importantes estudios sobre la resolucio n de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran
influencia en muchos matema ticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat
en Francia e Isaac Newton en Inglaterra2.
2Tomadoenmayo20de2017dehttp://www.edu.mec.gub.uy/biblioteca_digital/libros/anonimos/Anonimo%20-%20Historia%20de%20las%20Matematicas.pdf
ANEXOS 97
CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12
13 14 15
16
PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS.
98
Horizontales:
1. Es la pendiente de un segmento que une dos puntos de una grafica de posición contra tiempo
3. Es el nombre que recibe cada lado que forma el ángulo recto en un triángulo rectángulo
5. Ángulo cuya medida es exactamente noventa grados
6. En un plano, es la división entre los espacios movidos verticalmente y los espacios movidos horizontalmente para ir de un punto a otro
7. En un triángulo rectángulo, es el cateto que está al frente del ángulo agudo
8. Ángulo cuya medida está entre noventa y ciento ochenta grados
10. No es posible definirlo, pero se puede asociar a la marca que deja un lápiz al ser posado sobre el papel.
11. Ángulo que mide exactamente ciento ochenta grados
13. Ángulo que mide cero grados 15. Es el lado que se opone al ángulo recto en
un triángulo rectángulo 16. Medida de una superficie, cantidad de
cuadritos que caben en una superficie
Verticales
2. En un triángulo rectángulo, es el cateto que es vecino al ángulo agudo
3. Es la división del cateto que es adyacente a uno de los ángulos agudos y la hipotenusa
4. Abertura formada por dos semirrectas que tienen un extremo común
5. No se puede definir, pero se puede asociar a la huella dejada por un punto al moverse en una sola dirección
9. Es la división del cateto que es opuesto a uno de los ángulos agudos y la hipotenusa
10. Se puede asociar con la superficie de un piso o un tablero de tamaño infinito
12. Tipo de ángulo cuya medida es menos a noventa grados
14. Se puede asociar con la huella que deja un punto en movimiento
“El razonamiento matemático puede considerarse más bien esquemáticamente como el ejercicio de una combinación de dos
instalaciones, que podemos llamar la intuición y el ingenio” Alan Turing