Trigonometría Moderna
AREA DE MATEMÁTICA
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Y SUS
RAZONES TRIGONOMETRICAS
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALEs aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas , su vértice se ubica en el origen de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en cualquier cuadrante del plano cartesiano.
x
Y
Lado inicial del ángulo en posición normal
Lado final del ángulo en posición normal
Medida del ángulo en posición normal
Ángulo en el 2do Cuadrante
o
Origen de Coordenadas
También son
llamados ∢s en
posición canónica
o estándar.
Y
X
Lado inicial
Lado Final
Medida del ángulo en posición normal
Ángulo ubicado en el
3er cuadrante
X
Y
Lado inicial
Lado Final
Ángulo ubicado en el
4to cuadrante
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Sea “ ” un ángulo trigonométrico en posición normal, P(x;y) un punto de su lado final y “r” (r > 0) el radio vector de dicho punto, entonces las Razones Trigonométricas de “ ” , se definen como sigue:
X
Y
yxP ;
y
x
rr
ySenθ
rradiovecto
ordenada
r
xCosθ
rradiovecto
abscisa
x
yTanθ
abscisa
ordenadayx
Ctgθ
xr
θSec
yr
θCsc
yxP ;
1. Del gráfico:
x
y 12;5
xy
Como:222 yxr
Entonces: 222 125 r
13r
Calcula todas las R.T. de
Luego:
1312
ry
Sen135
rx
Cos5
12
xy
Tan
125
yx
Ctg5
13
x
rSec
1213
yr
Csc
2) Calcula: CscθSecθ en:
-2
-1θ
Resolución.-
Lo primero será calcular el valor del radio vector
r
r
222 r12
Entonces: 5r;1y;2x
CscθSecθ Luego: yr
xr
1-5
2-5
CscθSecθ 252
25 2
53
θ
3. En el gráfico:
SecSen ( 4 ; 5)
Calcula:
( -4 ; -5)
Resolución.-
Trasladamos el punto (4;5) por simetría, haciendo rotaciones de 90°.
Luego: SecφSenφ =441
41
5
= 414
21
=
414
21
Oj0 .. ESTçN ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR FAVOR
θ
( x ; y ) + ; -
TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE LAS R.T. POR CUADRANTES
PRIMER CUADRANTE
Todas las Razones Trigonométricas
son Positivas
SEGUNDO CUADRANTE
El SENO y la CO-SECANTE son
Positivas, las demás Negativas.
TERCER CUADRANTE
La TANGENTE y la COTANGENTE son Positivas, las demás
Negativas.
CUARTO CUADRANTE
El COSENO y La SECANTE son
Positivas, las demás Negativas.
ÁNGULOS CUADRANTALESEntenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma n
2π
ó “90ºn” ; n Z
Ejemplo:
Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….
n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;
El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida.
x
y
90º
180º
270º
R.T. 0º, 360º 90º 180º 270º 0; 2 /2 3/2
sen 0 1 0 -1cos 1 0 -1 0 tg 0 N 0 Ncot N 0 N 0sec 1 N -1 Ncsc N 1 N -1
(0; 1)
(-1; 0)(1; 0)
(0; -1)
1º90 rr
ysen
r/º90
0r
r
ytg0º90cos
rr
x 0
360º
r=1
Veamos unos problemitas …
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Ejemplo 1 : Del siguiente gráfico calcular:
cot1210 senE cot1210 senE cot1210 senE
x
y
(1; -3)
cot1210 senE
10
10
Con el par ordenado del dato calculamos “r”:r2 = 12 + (-3)2 r =
Reemplazamos las definiciones:
3
112
10
3.10E
E = -3 + 4 E = 1
Ejemplo 2 : Indicar el signo resultante de la siguiente operación: E = sen130º . cos230º . tg330º
Ejemplo 3 : Indicar el cuadrante al que pertenece la medida angular
“” si: tg < 0 csc > 0
E = sen130º . cos230º . tg330º
II C III C IV C
E = + . - . - E = +
tg = - { IIC IVC }
csc = + { IC IIC } IIC
Calcular:ºab
ºb)º+(ab)+(a=E
csc2702
cos180sec360 22 Ejemplo 4 :
12
11 22
ab
babaE
ab
babaE
2
22
ab
abE
2
4
2E
Del gráfico calcular:Ejemplo 5 :
23
)(6
cos3
sen
senE
º180
º903
º180º30cos3
sen
senE
Tenemos que:
Entonces:
13
023
3
E
2
3EPor lo tanto
Te recomiendo practicar un poco más , sé perseverante, nada en la vida es fácil.