MECANICA DE FLUIDOS II 1
MECANICA DE FLUIDOS II
UNIVERSIDAD ALAS
PERUANAS
TRABAJO DE INVESTIGACION
ALUMNOS:
EPIFANIO CONDORI CCAHUANA
HENRY RIVAS ALFARO
JUAN CARLOS QQQUECCAO YUCA
ERICSON FREDIE CHECYA MAMANI
JUNIOR JONATHAN DE LA TORRE VARGAS
DOCENTE:
ING. GORKI ASCUE SALAS
MECANICA DE FLUIDOS II 2
Ley de Darcy
Fue encargado del estudio de la red de
abastecimiento de agua de la ciudad. En 1847, el
agua entubada llega a todos los pisos de todos los
edificios de Dijon, transformando as a esta ciudad
en la segunda ciudad europea en lo que se refiere a
abastecimiento de agua, despus de Roma. Se
interes en el diseo de filtros de arena para purificar
el agua.
Observando que se presentaba una cada de presin en el agua al pasar a
travs de una columna de arena, procede a cuantificar el fenmeno. Midi el
gasto de agua Q y la cada de presin , que pasa a travs de la columna de
arena de rea transversal A:
MECANICA DE FLUIDOS II 3
Adems, concluy que la razn de proporcionalidad dependa del tipo de arena
o medio poroso por donde flua el agua. De esta forma, planteo lo siguiente:
Experimentos subsiguientes sobre flujo en medio porosos, han permitido
conocer sobre la dependencia de la constante de permeabilidad K:
Para no confundir con el tpico central de este tema que es el abordar a los
fluidos cuando fluyen, en esta seccin de entrada abordamos el movimiento de
un fluido como un todo. Del Tema I.1, podemos resumir lo siguiente:
Estudiamos a los fluidos en reposo.
La descripcin de los fluidos en reposo se sustenta en las Leyes de Newton.
MECANICA DE FLUIDOS II 4
Las fuerzas de superficie que ejercen los fluidos en reposo deben ser
compresoras y normales.
La superficie de un lquido en reposo es horizontal.
La distribucin de presiones en el fluido satisface la
Ecuacin Fundamental de la Esttica de Fluidos.
dp = gdy
p2 = p1 + gh
En el Tema I.2, hemos abordado a los fluidos ideales que fluyen por conductos
y para ello hemos establecido lo siguiente:
Flujo:
MECANICA DE FLUIDOS II 5
La descripcin del flujo se sustenta en la conservacin de masa y las Leyes de
Newton:
La distribucin de velocidades en el flujo satisface la Ecuacin de Continuidad:
Av = cte.
La distribucin de presiones dependiendo de la velocidad del flujo y la altura del
mismo satisface la Ecuacin de Bernoulli:
dp = vdv gdy
Qu suceder si ahora el recipiente que contiene al fluido se mueve
aceleradamente? Veamos algunos situaciones y empecemos con la mas
sencilla el Movimiento Vertical con Aceleracin Uniforme:
MECANICA DE FLUIDOS II 6
Movimiento de traslacin horizontal con acelaracin uniforme:
Movimiento Circular Uniforme:
Cuando los fluidos se mueven de la forma ilustrada anteriormente se dice que
se mueven como cuerpos rgidos Partiendo de la aplicacin de la Segunda ley
de Newton y de las consideraciones sobre el tipo de movimiento acelerado, es
posible obtener:
- La forma de la distribucin de presin en el interior del fluido.
MECANICA DE FLUIDOS II 7
- La forma de la superficie libre que ahora NO necesariamente ser horizontal.
(Para mas adelantesegn tiempos)
RGIMEN LAMINAR
Nmero de Reynolds.
En nmero de Reynolds es un parmetro adimensional que se utiliza para determinar el
tipo de
Flujo que circula por una tubera o conduccin, su expresin es la siguiente:
Segn el valor del nmero de Reynolds el flujo puede ser caracterizado como
laminar, turbulento o crtico.
El flujo laminar constituye un movimiento totalmente ordenado, de forma que el
fluido se mueve en lminas paralelas. En este tipo de rgimen, llamado
tambin viscoso, predominan las fuerzas viscosas sobre las de inercia y, por lo
tanto, est asociado a nmeros de Reynolds pequeos (R4000).
Se define el movimiento como crtico cuando se produce el paso de laminar a
turbulento. Esto tiene lugar de forma paulatina a medida que aumenta la
MECANICA DE FLUIDOS II 8
velocidad de un fluido que en principio se encuentra en rgimen laminar.
Primero aparecen ondulaciones (rgimen crtico) y si prosigue el aumento de la
velocidad se alcanza el rgimen turbulento. En rgimen crtico el nmero de
Reynols se sita entre 2000 y 4000.
Flujo en rgimen laminar a travs de tuberas.
En tuberas, tanto horizontales como verticales, se produce flujo siempre y
cuando haya diferencia de presiones entre los extremos del tubo, de tal manera
que habr movimiento de menor a mayor presiones. El movimiento en una
tubera estar determinado por las fuerzas gravitatorias y por las fuerzas de
rozamiento viscosas. Tendremos en cuenta que la velocidad es nula en el
punto de contacto del fluido con la tubera y alcanzar su valor mximo en el
centro del tubo.
Tubo horizontal.
El tubo horizontal, es igual que el vertical, salvo que ahora, en vez de ser la
fuerza gravitatoria la que provoca el movimiento, es la diferencia de presiones
entre los extremos del tubo lo que hace que el fluido discurra por la tubera, por
lo tanto, la ecuacin de la que partimos es:
MECANICA DE FLUIDOS II 9
En donde, igual que antes, hemos tenido en cuenta que la velocidad del fluido
en el punto de contacto con la tubera es nula, as, la ecuacin para la
velocidad queda:
El perfil de velocidades para los tubos es del tipo del que se muestra en la siguiente
figura:
Tubo vertical.
Para resolver la cuestin, se ha de igualar el peso de la columna de fluido con
la fuerza debida a la viscosidad:
MECANICA DE FLUIDOS II 10
El caudal, lo calcularemos haciendo la integral:
Lo que da lugar a la siguiente integral, de donde se saca el caudal:
Ejemplo Disponemos de una tubera de 200 m de longitud por la que discurre un fluido
de viscosidad dinmica 0,015. El caudal que circula por dicha tubera es de 20 l/s.
Sabiendo que densidad relativa del lquido es 0,76 y que la tubera tiene 100 cm de
dimetro y que a lo largo de este recorrido se produce una prdida de 0,003 atmsferas
calcula:
a) Velocidad del fluido
b) Prdidas a lo largo de 100 metros de esa tubera.
a) Para calcular la velocidad a lo largo de la tubera usaremos el dato del caudal, a partir
del cual, se puede calcular la velocidad como:
MECANICA DE FLUIDOS II 11
ECUACIN DE COLEBROOK-WHITE
INTRODUCCIN
En la literatura se ha reportado que en las redes de distribucin de agua
potable, existen tramos que funcionan en rgimen laminar o crtico, Hansen6.
Los modelos computacionales existentes utilizan para el clculo de prdidas
por cortante (friccin), la ecuacin de Colebrook-White, es decir aceptan que
el comportamiento del flujo en todos los casos es turbulento.
Para calcular las prdidas en rgimen laminar se utiliza la ecuacin de
Poiseuille. Sin embargo an es necesario desarrollar herramientas para
analizar el comportamiento del flujo en la zona crtica, 2000 Re 4000, donde
Re es el nmero de Reynolds. An ms, se requiere una ecuacin que pueda
ser resuelta independientemente del tipo de rgimen, en otras palabras,
conviene evitar los problemas de convergencia provocados por la
discontinuidad existente entre las ecuaciones de Poiseuille y Colebrook-White.
MECANICA DE FLUIDOS II 12
ANTECEDENTES
En 1850, Darcy-Weisbach dedujeron experimentalmente una ecuacin para
calcular las
prdidas por cortante (friccin), en un tubo con flujo permanente y dimetro
constante:
A continuacin se muestra el desarrollo de los mtodos de solucin propuestos.
Cada uno de ellos fue mejorando la convergencia hasta llegar a la propuesta
final, la cual permite obtener el valor del coeficiente de prdidas por cortante
"f", en cualquier rgimen de flujo debido a que simula la unin entre las
ecuaciones de Poiseuille y de Colebrook-White, adems de que presenta la
particularidad de ser explcita, pues como se observa, ecuacin 3, esta ltima
es implcita.
Ecuacin modificada de Colebrook-White
MECANICA DE FLUIDOS II 13
Guerrero4 propuso en 1995 la ecuacin modificada de Colebrook-White (4),
para el clculo del coeficiente de prdidas en flujos turbulentos. sta es
explcita, y los resultados obtenidos con ella se ajustan suficientemente bien a
los calculados con la frmula implcita de Colebrook-White.
Con la cual se puede obtener la prdida de energa que existente en un flujo
turbulento, es decir cuando Re > 4000.
Unin de las ecuaciones de Poiseuille y de Colebrook-White por medio de
una recta
En el Diagrama de Moody se puede apreciar que las ecuaciones de Poiseuille y
de Colebrook-White, para un valor de e /D=0.05, tienen el comportamiento que
se muestra en la figura
MECANICA DE FLUIDOS II 14
Una primera propuesta consiste en unir la discontinuidad existente entre las
ecuaciones de Poiseuille y de Colebrook-White utilizando una recta en escala
logartmica, segn se muestra en la figura
MECANICA DE FLUIDOS II 15
MECANICA DE FLUIDOS II 16
MECANICA DE FLUIDOS II 17
El procedimiento anterior se integr al programa de cmputo Modelacin
Integral de Redes de Agua Potable (MIRAP), Guerrero5, reflejando una gran
mejora en la convergencia de los nodos principales. Sin embargo, el clculo de
toda la red presentaba problemas de convergencia. Esto se debe al cambio tan
fuerte de pendiente en los puntos de unin y se propuso encontrar una forma
de suavizarla
Propuesta final
S. H. Chue4 en 1984, con base en los estudios de Barr5, propuso una nueva
opcin para el clculo del coeficiente de prdidas f, aplicable para ambos
regmenes de flujo, as como para el paso por la zona de transicin o flujo
crtico. Todo esto basado en un factor de intermitencia para establecer la
unin entre el flujo laminar y turbulento. Esta unin facilita la evaluacin del
factor de prdidas del flujo en tuberas usando solamente una ecuacin para
cubrir completamente todos los nmeros de Reynolds. La propuesta de Chue
tiene la desventaja de ser implcita
MECANICA DE FLUIDOS II 18
DIAGRAMA DE MOODY
El diagrama de Moody es la representacin grfica en escala doblemente
logartmica del factor de friccin en funcin del nmero de Reynolds y la
rugosidad relativa de una tubera, diagrama hecho por Lewis Ferry Moody.
En la ecuacin de Darcy-Weisbach aparece el trmino \lambda que representa
el factor de friccin de Darcy, conocido tambin como coeficiente de friccin. El
clculo de este coeficiente no es inmediato y no existe una nica frmula para
calcularlo en todas las situaciones posibles.
Se pueden distinguir dos situaciones diferentes, el caso en que el flujo sea
laminar y el caso en que el flujo sea turbulento. En el caso de flujo laminar se
usa una de las expresiones de la ecuacin de Poiseuille; en el caso de flujo
turbulento se puede usar la ecuacin de Colebrook-White adems de algunas
otras cmo ecuacin de Barr, ecuacin de Miller, ecuacin de Haaland.
En el caso de flujo laminar el factor de friccin depende nicamente del nmero
de Reynolds. Para flujo turbulento, el factor de friccin depende tanto del
nmero de Reynolds como de la rugosidad relativa de la tubera, por eso en
este caso se representa mediante una familia de curvas, una para cada valor
del parmetro k/D, donde k es el valor de la rugosidad absoluta, es decir la
longitud (habitualmente en milmetros) de la rugosidad directamente medible en
la tubera.
En la siguiente imagen se puede observar el aspecto del diagrama de Moody.
MECANICA DE FLUIDOS II 19
Prdidas de Energa Total
Fluidos compresibles e incompresibles
Los fluidos incompresibles son aquellos en los que el volumen permanece
constante independientemente de las fuerzas aplicadas, mientras que los
fluidos compresibles son aquellos cuyo volumen puede cambiar cuando se les
aplica una fuerza.
Los principios fsicos ms importantes en el estudio del flujo de fluidos son:
balance de materia "Ecuacin de continuidad",
balance de energa Ecuacin de Bernoulli,
el de cantidad de movimiento
Restricciones de la ecuacin de Bernoulli
Soloesvalidaparafluidosincompresiblesw1=w2
tiene en cuenta dispositivos que agreguen energa al sistema W=0
hay transferencia de calor Q=0
hay perdidas por friccin ft=0
Los factores que afectan la velocidad son:
Tipo de fluido
Longitud del sistema de flujo
tipo de tubera
cada de presin permitida
, accesorios, vlvulas que puedan conectar para manejar las
velocidades especficas
temperatura, la presin y el ruido
debe tener en cuenta que las tuberas de gran dimetro producen baja
velocidad y viceversa, tubos de pequeo dimetro altas velocidades.
APLICACIONES
fluidos agrandes distancias desde los depsitos de almacenamiento
hasta las unidades de proceso, produce una importante cada de presin, tanto
en las tuberas como en las propias unidades.
o es necesario el clculo de la potencia para el bombeo y el diseo del
sistema de tuberas.
MECANICA DE FLUIDOS II 20
Ecuacin de Energa Total
MECANICA DE FLUIDOS II 21
Prdidas de energa debido a la friccin hf
Prdidas por friccin en flujo Turbulento
En rgimen de flujo turbulento no se puede calcular el factor de friccin (f)
como se hizo con el flujo laminar, razn por la cual se debe determinar
experimentalmente.
El factor de friccin depende tambin de la rugosidad () de las paredes del
conducto.
MECANICA DE FLUIDOS II 22
Prdidas Menores
Los componentes adicionales (vlvulas ,codos ,conexiones en T, etc.)
contribuyen a la prdida global del sistema y se denominan prdidas menores.
La mayor parte de la energa perdida por un sistema se asocia a la friccin en
las porciones rectas de la tubera y se denomina prdidas mayores.
Por ejemplo , la prdida de carga o resistencia al flujo a travs de una vlvula
puede ser una porcin importante de la resistencia en el sistema .As , con la
vlvula cerrada la resistencia al flujo es infinita ; mientras que con la vlvula
completamente abierta la resistencia al flujo puede o no ser insignificante.
MECANICA DE FLUIDOS II 23
Prdidas Menores: Condiciones de flujo de entrada
Cuando un fluido pasa desde un estanque o depsito hacia una tubera, se
generan prdidas que dependen de la forma como se conecta la tubera al
depsito (condiciones de entrada):
Prdidas Menores: Contraccin repentina o sbita
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MECANICA DE FLUIDOS II 25
Hazen Williams
Para algunas aplicaciones, algunas frmulas empricas se pueden aplicar, y cuando se usan dentro de sus
lmites, se pueden obtener resultados confiables. Hazen y Williams desarrollaron una frmula emprica para el
agua a 60 F. La viscosidad del agua vara con respecto a la temperatura, por lo que se pueden tener algunas
desviaciones cuando se usar para otras temperaturas. Frmula Hazen-Williams para prdidas por friccin
(cabeza) en pies:
MECANICA DE FLUIDOS II 26
El flujo de agua que fluye en diferentes materiales y dimetros se puede
comprar a usando la siguiente ecuacin. Los subndices 1 y 2 se refieren a la
tubera de la que se conocen los datos y de la que no se conocen. El flujo
=100(d2 / d1) * (C2 / C1)0.3806
Manning
Para el flujo de agua en un canal abierto bajo una pendiente constante y una
seccin transversal uniforme del canal, la ecuacin Manning puede ser usada.
Un flujo de canal abierto existe cuando en una tubera que opera parcialmente
llena. Como la formula Hazen-Williams, la ecuacin de Manning est limitada
para agua o lquidos con la viscosidad cinemtica igual al agua.
Ecuacin de Manning
En donde:
V= velocidad de flujo, pies/segundo.
n = coeficiente de rugosidad, adimensional (tabla 8).
r = radio hidrulico, pies.
D =dimetro del tubo, pies
d = dimetro del tubo, pulgadas
MECANICA DE FLUIDOS II 27
Para flujo lleno de la tubera en pies cbicos por segundo se puede calcular
usando:
El flujo a tubo lleno en galones por minuto puede ser estimado usando:
MTODO DE HARDY CROSS PARA LA DETERMINACIN DEL REPARTO
DE CAUDALES EN LAS REDES DE DISTRIBUCIN DE AGUA
Hardy Cross, naci en 1885 en Virginia, fue un ingeniero de estructuras y
creador del mtodo de clculo de estructuras conocido como mtodo de Cross
o mtodo de distribucin de momentos, concebido para el clculo de grandes
estructuras de hormign armado. Este mtodo fue usado con frecuencia entre
el ao 1935 hasta el 1960, cuando fue sustituido por otros mtodos. El mtodo
de Cross hizo posible el diseo eficiente y seguro de un gran nmero de
construcciones de hormign armado durante una generacin entera.
Adems tambin es el autor del mtodo de Hardy Cross para modelar redes
complejas de abastecimiento de agua. Hasta las ltimas dcadas era el mtodo
ms usual para resolver una gran cantidad de problemas.
MECANICA DE FLUIDOS II 28
HARDY CROSS
PRIMEROS AO DE HARDY CROSS
Obtuvo el ttulo de Bachillerato de Ciencia en ingeniera civil del Instituto de
Tecnologa de Massachusetts en 1908, y despus ingres en el departamento
de puentes de los Ferrocarriles del Pacfico de Missouri en St. Louis, donde
permaneci durante un ao. Despus volvi a la academia de Norfolk en 1909.
Un ao despus de su graduacin estudi en Harvard donde obtuvo el ttulo de
MCE en 1911. Hardy Cross desarroll el mtodo de distribucin de momentos
mientras trabajaba en la universidad de Harvard. Luego trabaj como profesor
asistente de ingeniera civil en la universidad de Brown, donde ense durante
7 aos. Despus de un breve regreso a la prctica de ingeniera en general,
acept un puesto como profesor de ingeniera estructural en la Universidad de
Illinois en Urbana-Champaign en 1921. En la Universidad de Illinois Hardy
Cross desarrollo su mtodo de distribucin de momentos e influy en muchos
jvenes ingenieros civiles. Sus estudiantes en Illinois tuvieron con l un duro
momento argumentando porque l era difcil de escuchar.
MTODO DE CROSS PARA REDES DE AGUA
MECANICA DE FLUIDOS II 29
Otro mtodo de Hardy Cross es famoso por modelar flujos de Red de
abastecimiento de agua potable. Hasta dcadas recientes, fue el mtodo ms
comn para resolver tales problemas.
El recibi numerosos honores. Entre ellos tuvo un grado Honorario de Maestro
de Artes de la Universidad Yale , la medalla Lamme de la Sociedad Americana
para Educacin en Ingeniera (1944), la medalla Wason del Instituto Americano
del Concreto (1935), y la medalla de oro del Instituto de Ingenieros
Estructurales de Gran Bretaa (1959).
MTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED
El Mtodo de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, est basado en el
cumplimiento de dos principios o leyes:
Ley de continuidad de masa en los nudos;
Ley de conservacin de la energa en los circuitos.
El planteamiento de esta ltima ley implica el uso de una ecuacin de prdida
de carga o de "prdida" de energa, bien sea la ecuacin de Hazen Williams o,
bien, la ecuacin de Darcy Weisbach.
La ecuacin de Hazen Williams, de naturaleza emprica, limitada a tuberas de
dimetro mayor de 2", ha sido, por muchos aos, empleada para calcular las
prdidas de carga en los tramos de tuberas, en la aplicacin del Mtodo de
Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de
rugosidad, C, de la superficie interna de la tubera, lo cual hace ms simple el
clculo de las "prdidas" de energa.
La ecuacin de Darcy Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal,
casi nunca se ha empleado acoplada al mtodo de Hardy Cross, porque
involucra el coeficiente de friccin, f, el cual es funcin de la rugosidad, k, de la
superficie interna del conducto, y el nmero de Reynolds, R, de flujo, el que, a
su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo
en las tuberas.
Como quiera que el Mtodo de Hardy Cross es un mtodo iterativo que parte
de la suposicin de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de
Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un
valor particular, Q, en cada iteracin se deben calcular los caudales actuales
o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el clculo de los valores de R
MECANICA DE FLUIDOS II 30
y f de todos y cada uno de los tramos de tuberas de la red, lo cual sera
inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a ua" con una calculadora
sencilla. Ms an, sabiendo que el clculo del coeficiente de friccin, f, es
tambin iterativo, por aproximaciones sucesiva.
Lo anterior se constitua, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no
obstante ser la manera lgica y racional de calcular las redes de tuberas.
Hoy, esto ser no slo posible y fcil de ejecutar con la ayuda del programa en
lenguaje BASIC, sino tambin permitir hacer modificaciones en los dimetros
de las tuberas y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red
completamente cuantas veces sea conveniente.
FUNDAMENTOS DEL MTODO DE HARDY CROSS
El mtodo se fundamenta en las dos leyes siguientes:
1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los
caudales en un nudo debe ser igual a cero"
Donde:
Qij: Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.
qi : Caudal concentrado en el nudo i
m : Nmero de tramos que confluyen al nudo i.
2. Ley de Conservacin de la energa en los circuitos: "La suma
algebraica de las "prdidas" de energa en los tramos que conforman un
anillo cerrado debe ser igual a cero".
Donde:
hf ij : Prdida de carga por friccin en el tramo
MECANICA DE FLUIDOS II 31
n : Nmero de tramos del circuito i
CLCULO DE REDES DE TUBERAS
En esta actividad se va a resolver la red de tuberas mostrada, utilizando el
mtodo Hardy-Cross.
Datos del problema:
Longitud de cada tramo: 1000 m.
Dimetro interior de las tuberas: 400 mm.
Fluido transportado: agua.
Viscosidad cinemtica: 1e-6 m2/s.
Descripcin del mtodo:
MECANICA DE FLUIDOS II 32
1) = Numerar los tramos de tuberas y asignarles un sentido (esta eleccin es
arbitraria). Este paso ya se ha hecho en el dibujo.
2) = Elegir las mallas y un sentido de recorrido (ya hecho en el dibujo).
3) = Asignar un valor numrico a cada caudal de forma que se cumpla la
conservacin de la masa en cada nodo. El signo del caudal es negativo si se
opone al sentido de recorrido de la malla.
4) = Calcular el coeficiente Ci de cada lnea: 22
ii
KC
A
, donde Ki es el
coeficiente de prdidas de carga lineales iL
K fD
. Se recomienda calcular el
coeficiente de friccin con la frmula aproximada 2.5
1.02 log Ref
.
5) = Calcular la correccin a los caudales de cada malla: 0.5i i i
i i
C Q QQ
C Q
.
6) = Aplicar la correccin de cada malla a los caudales que la componen. En el
caso de que un caudal pertenezca a dos mallas, la correccin de otras mallas
tendr signo negativo si el recorrido de la malla tiene distinto sentido que en la
primera malla. Esta situacin ocurre con la lnea 1.
7) = Repetir la iteracin.
EJERCICIOS
Ejercicio 1:
Desarrollar la expresin empleada en el estudio de de los caudales en redes de
tubera:
MECANICA DE FLUIDOS II 33
Qo
Qo
A B
CD
Solucin:
El mtodo del clculo, por Hardy Cross consiste en suponer unos caudales en
todas las ramas de la red y a continuacin hacer un balance de las prdidas de
carga calculadas. En el laso o circuito nico, mostrado en la figura 10, para que
los caudales en cada laso de la rama sean el correcto se habr de verificar
Para aplicar esta expresin, la prdida de carga en funcin del caudal habr
que ponerse en la forma, . En el caso de utilizar la formula de Hazen
Williams, la expresin anterior toma la forma
Como se suponen unos caudales , el caudal verdadero en una tubera
cualquiera de la red puede expresarse , donde es la correccin
que habr de aplicarse a . Entonces mediante el desarrollo del binomio,
Se desprecian los trminos a partir del segundo pro ser tan pequeos
comparado con .
Para el laso o circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuacin (I) se
obtine:
Despejando .
En general para un circuito ms complicado se tiene:
MECANICA DE FLUIDOS II 34
Pero y por lo tanto,
Ejercicio 2:
En el sistema de tuberas en paralelo, mostrado en la fig. 2, determinar, para
, los caudales en los dos ramales del circuito utilizado en el mtodo
de Hardy Cross.
1500m - 30cm D
C1 = 120
900m - 40cm D
C1 = 120
WQ Z Q
Solucin:
Se supone que los caudales Son iguales, respectivamente, a
y los clculos se realizan en la tabla que sigue (obsrvese que se ha
puesto ), procediendo asi se calculan los valores de S mediante el
Diagrama B, o por cualquier otro procedimiento, luego y a
continuacin se determinan . se notara que cuanto mayor sea ms
alejados de los correctos estarn los caudales . (los valores de se han
elegido deliberadamente distintos de los correctos para que den lugar a valores
grandes de y as ilustrar en el procedimiento.)
D
cm
L
m
supuesto
m
30
40
1500
900
150
-306
25.5
-14.4
0.170
0.046
-27.8
-27.8
122.2
-333.8
0.216 456
MECANICA DE FLUIDOS II 35
Entonces, los valores de sern y
. Repitiendo de nuevo el proceso de clculo:
16.5
-17.1
0.135
0.051
+3.2
+3.2
125.4
330.6
0.186 456
No es necesario hacer una nueva aproximacin ya que el diagrama B no puede
conseguirse una mayor precisin de 3l/s aproximadamente. Tericamente, HL
deberan ser igual a cero, pero esta condicin se obtiene muy raramente.
Se observa que el caudal que fluye por la tubera de 30cm era el 26,4% de
456l/s, es decir, 120.4l/s lo que constituye una comprobacin satisfactoria.
Ejemplo 3.- Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal.
Considerar H C = 100 en todas las tuberas.
Solucin. Para la solucin de esta red vamos a aplicar el mtodo de Hardy
Cross. La ecuacin de descarga en cada tubera es. 1.85
fh KQ
MECANICA DE FLUIDOS II 36
5
1.85 7,866
1,72 10
H
x Lk
C D
Estas ecuaciones corresponden a la frmula de Hazen y Williams, que es la
que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia est en los datos
referido a dicha frmula. Si ste no fuera el caso se utilizara las ecuaciones
correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno
de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido
contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podra ser
al contrario.
Haremos tambin, tentativamente, una suposicin con respecto a la
distribucin de caudales. En consecuencia cada caudal vendr asociado a un
signo. Habr caudales positivos y negativos. Por consiguiente las prdidas de
carga en cada tramo tambin estarn afectadas del correspondiente signo.
Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las prdidas de carga tienen
signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condicin 1
que debe satisfacer una red. Se obtiene as:
La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido
arbitrariamente, cuidando tan slo que se cumpla la ecuacin de continuidad en
cada nudo (en valores absolutos naturalmente).
Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar as el
clculo de la prdida de carga con los diferentes caudales que nos irn
aproximando sucesivamente a la solucin final.
CIRCUITO I CIRCUITO II
BN
NM
MB
0,03367
0,02806
MB
CM
MN
NC
0,00969
0,02806
0,00830
Calculemos ahora los valores de la prdida de carga f0 h en cada circuito
aplicando la ecuacin de descarga.
CIRCUITO I CIRCUITO II
MECANICA DE FLUIDOS II 37
BN
NM
MB
0fh
+87.23
- 7.16
-56.35
+23.72
CM
MN
NC
0fh
-57.93
+7.16
+34.23
-16.54
Aplicamos ahora la ecuacin
0
0
0
1.85
f
f
h
h
Q
Para obtener la correccin que debe aplicarse al caudal supuesto en cada
ramal. Se obtiene para cada circuito.
23.72
6.31.85 2.04
Qx
16.547.1
1.85 1.26Q
x
6Q 7Q
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la prdida de carga hF
son los siguientes.
Calculamos nuevamente Q
5.44
1.371.85 2.15
Qx
6.12
2.281.85 1.42
Qx
1Q 2Q
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de hf son
Calculamos ahora nuevamente la correccin Q
0.47
0.121.85 2.12
Qx
0.160.06
1.85 1.41Q
x
MECANICA DE FLUIDOS II 38
0Q 0Q
En consecuencia los caudales son:
Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.
Obsrvese que la condicin 1, hf=0 para cada circuito es la expresin de
conceptos bsicos del flujo en tuberas. Aplicada, por ejemplo, al circuito I,
debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en
paralelo, tal como se ve a continuacin.
Por lo tanto se debe cumplir la ecuacin fundamental.
BM MN BNf f fh h h
Como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos.
Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones
0MC MN NCf f f
h h h
BNC BMCf fh h
La condicin 3 queda tambin satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).
8"
100
0.6
37.83
H
f
D
C
L km
k m
2.63 0.540.00426 100 8 63.05
194.7
.
Q x x x
Qs
Valor que est dentro del error aceptado
MECANICA DE FLUIDOS II
TABLA
CALCULOS DEL EJEMPLO 3
K aQ 0fh 0fh Q Q hf fh Q Q hf fh Q
BN
NM
MB
Circuito 1
0,03367
0,02806
0,00692
+70
-20
-130
87,23
-7,16
-56,35
+23,72
-6
-13
-6
+64
-33
-136
+73,91
-18,09
-61,26
-5,44
+1
+3
+1
+65
-30
-135
+76,06
-15,16
-60,43
+0,47
0
0
0
CM
MN
NC
Circuito 2
0,00969
0,02806
0,00830
-110
+20
+90
57,93
+7,16
+34,23
-16,54
+7
+13
+7
-103
+33
+97
-51,29
+18,09
+39,32
+6,12
-2
-3
-2
-105
+30
+95
-53,15
+15,16
+37,83
-0,16
0
0
0
Al aplicar el mtodo de Hardy-Cross se sugiere realizar una tabulacin como la aqu presentada, que corresponde al ejemplo 5.9.
MECANICA DE FLUIDOS II 40
EJEMPLO 4.-
Resolver la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de prdidas de carga
k constante.
Datos:
12 1800k
23 20000k
34 1800k
14 680k
Resolucin
En primer lugar, debe hacerse una suposicin de caudales:
Malla I: 12 14 24350 / 650 / 110 /Q l sQ l s Q l s
Malla II: 23 34 24240 / 760 / 110 /Q l sQ l s Q l s
En primera iteracin ser:
Tubera Qi hpi hpi lQi Q1
Malla I
1-2
1-4
2-4
2-3
0.35
-0.65
0.11
0.24
220.5
-287.3
72.6
115.2
630
442
660
4800
-0.0016
Malla II 3-4
2-4
-0.76
-0.1084
-1039.6
-70.5
1368
650.4 -0.03
MECANICA DE FLUIDOS II 41
Ahora se corrigen los caudales con los valores obtenidos Qi. Ntese que el
caudas Q24 en la malla II ya se ha corregido con el valor QI=-0.0016 obtenido
previamente en la malla I. A continuacin se repite el proceso:
Tubera Qi hpi hpi lQi Q1
Malla I
1-2
1-4
2-4
2-3
0.348
-0.652
0.111
0.237
217.9
-289
73.9
112.3
326.4
443.3
666
4740
-0.0008
Malla II
3-4
2-4
-0.763
-0.11
-1047.9
-72.6
1373.4
660 -0.00018
La aproximacin es suficiente, por tanto los valores correctos para el caudal
son los siguientes:
3
12 0.3472 /Q m s
3
14 0.6528 /Q m s
3
23 0.2368 /Q m s
3
34 0.7632 /Q m s
3
24 0.1104 /Q m s
MECANICA DE FLUIDOS II 42
EJEMPLO 5.-
Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del mtodo
de Cross.
Esquema de la red de tuberas del ejemplo.
Los resultados del anlisis de la red
Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos mtodos, se obtuvieron
los resultados consignados en la figura 3 y la tabla 1.
Tabla1. Datos de la red resultados obtenidos
DATOS INICIALES DE LA RED
C = 125; k = 0.15 mm
METODO DE CROSS-
HAZEN & WILLIAMS
METODO DE CROSS-
DARCY & WEISBACH
Circuito
No. Tramo Longitud Dimetro Qinicial
No. Circuito
adyacente QDEF Hf V QDEF hf v
m pulg mm l/s l/s m m/s l/s m m/s
I
1-1 600 16 400 180 0 195.711 3.526 1.557 196.076 3.094 1.560
*1-2 300 12 300 60 2 76.268 1.251 1.079 76.358 1.077 1.080
*1-3 300 8 200 10 3 25.011 1.144 0.796 25.249 1.004 0.804
*1-4 600 12 300 -70 4 -46.509 -1.001 -0.658 -45.841 -0.809 -0.649
1-5 600 16 400 -250 0 -234.289 -4.919 -1.864 -233.924 -4.367 -1.862
hf = 0.001 hf = -0.001
II
*2-1 300 12 300 -60 1 -76.268 -1.251 -1.079 -76.358 -1.077 -1.080
2-2 300 12 300 70 0 69.443 1.051 0.982 69.718 0.904 0.986
*2-3 300 8 200 -10 3 -11.257 -0.261 -0.358 -11.109 -0.212 -0.354
2-4 300 12 300 45 0 44.443 0.460 0.629 44.718 0.386 0.633
hf = -0.001 hf = -0.001
III
*3-1 300 8 200 -10 1 -25.011 -1.144 -0.796 -25.249 -1.004 -0.804
*3-2 300 8 200 10 2 11.257 0.261 0.358 11.109 0.212 0.354
3-3 300 8 200 25 0 25.700 1.203 0.818 25.827 1.049 0.822
*3-4 300 12 300 -45 4 -36.521 -0.320 -0.517 -36.091 -0.257 -0.511
hf = 0.000 hf = 0.000
IV
*4-1 600 12 300 70 1 46.509 1.001 0.658 45.841 0.809 0.649
4-2 300 12 300 -80 0 -87.779 -1.622 -1.242 -88.082 -1.420 -1.246
*4-3 300 12 300 45 3 36.521 0.320 0.517 36.091 0.257 0.511
4-4 300 8 200 60 0 52.221 4.469 1.662 51.918 4.050 1.653
4-5 900 8 200 -20 0 -27.779 -4.168 -0.884 -28.082 -3.695 -0.894
hf = 0.000 hf = -0.001
* Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultneamente.
CONCLUSIONES
Si bien la ecuacin de Hazen & Williams es muy prctica en el
clculo de las prdidas de carga en tuberas, deja tambin un poco
de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C,
permanece constante, an con las variaciones del caudal y del
nmero de Reynolds.
Como consecuencia de lo anterior, las "prdidas" de energa por
friccin, hf, sern sobreestimadas en comparacin con las calculadas
con la ecuacin de Darcy Weisbach.
As mismo, el dimensionamiento de una red determinada, analizada
con el Mtodo de Cross y la ecuacin de Hazen & Williams,
conducira a la especificacin de dimetros mayores que los que se
obtendran si se aplicara el mismo mtodo con la ecuacin de Darcy
& Weisbach. Ello se comprobara cuando, de cumplir requerimientos
de cargas de presin mnima y mxima, se trata.
RECOMENDACIONES
Se recomienda la difusin y el uso ms generalizado del Mtodo de
Cross con la ecuacin de Darcy Weisbach, en conjuncin con la
ecuacin de Colebrook White.
Es ms confiable un valor de k que el correspondiente a C.
El valor del coeficiente de viscosidad cinemtica, v, debe introducirse
lo ms acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo
ms real posible.
BIBLIOGRAFIA
Mecnica de fluidos II de F Ugarte
Buscador google
Mecnica de los fluidos y hidrulica de Ronald V. Giles
Hidrulica de canales de Arturo Rocha