UFSCMatemática (Amarela)
Resposta da UFSC: 01 + 02 + 08 = 11Resposta do Energia: 01 + 08 = 09
Resolução
01. Correta.
y
x
x + y = 180 y = 180 x
y = x + 32 30’ x + 32 30’ =
o o
o o
180 x
2x = 180 32 30’
x = 90 16 15’ x = 45
o
o o
o o o
73 ’’
02. Correta.
C
x
N
8
A
z
1
M4 Y B
16
MN // BC segue que o triângulo ABC é semelhante ao AMN. ABC AMN ≈
Então,
88
16 44
xz
y
32 + 8y = 32 + 4x 2y = x
Se M e N forem pontos médios de AB e AC , respectivamente, então o perímetro do ABC é 40 cm, pois y = 4 e x = 8. Daí, PERABC = 8 + 8 + 16 + 4 + 4 = 40 cm.
Mas, se M e N não forem pontos médios, podemos ter: y = 203
e x = 403
. Daí segue que
PERABC 8403
16203
4 48 cm.
A razão de semelhança entre os triângulos fica igual a 38
.
88
16 44
83
8403
8166
4203
483
24 4038
166
12 2034
83
xz
y
66438
166
3234
83
6424
166
3212
83
É um contraexemplo em que o perímetro do triângulo ABC é igual a 48 cm. Logo, o item não pode ser consi-derado como correto, pois faltam dados que garantam que os pontos M e N sejam médios. Assim, o perímetro do triângulo ABC não é necessariamente 40 cm.
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04. Incorreta.
14
2 34 2
o
o
)
)
A = 6 . 50 3
= 3750 3 cm
A = (100 . ) = 10 000
H
22
33 cm2
08. Correta.
A = a 3
A’ = b 3
A" = c 3
A
2 2 2
4 4 4
== A’ + A"
a 3 =
b 3 +
c 3 a = b + c
2 2 22 2 2
4 4 4⇒
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Resposta: 01 + 02 + 04 = 07
Resolução
01. Correta.
= 30 . H . M
= 30 . 3 . 25
= 90
=
112
112
137 5,
447 5 47 5, , = o
02. Correta.
f(x) = cos 2
. x
p = 2|c|
= 22
= 2 . t
2 = t
t
t
Logo, f(x) é periódica de período p = t, portanto f(x) repete
valores a cada acréscimo de t em x; em outras palavras:
f(x + t) = f(x).
04. Correta.
sec x + cosec x = 1
cos x +
1
sen x =
sen x + cos x
cos2 2
2 2
2 2
22 2
2 2 2 2 2
x . sen x1
cos x . sen x =
1
cos x .
1
sen x = sec x . cosec x2
08. Incorreta. sec x = 2 cos x = 1
cos x = 2→ →
2 2
Logo, no intervalo 0o ≤ x ≤ 720o temos 4 soluções.
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Resposta: 11
Resolução
Z = 5 + 5i
|Z| = 5 + 5 = 5 2
tg = b
= 5
= 1 =
2 2
a 5
45
Z = 5 2 . (cos 45 + i . sen 45 )
U = Z . j
j = U
o
o o
Z =
110 . (cos 0 + i . sen 0 )
5 2 . (cos 45 + i . sen 45
o o
o o )) =
110 (cos( 45 ) + i . sen ( 45 ))
j = 110
2
2
o o
5 2
5 2 2 2
ii = 11 11i = a + bi a = 11
b = 11
2a + b =
22 . 11 + ( 11) = 22 11 = 11
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Resposta: 01 + 08 + 16 = 25
Comentário
AB
+ + + + + + + + – – – –
– – – – + + + + + + + +
1
4
– – – – + + + + – – – –
1
4
1
1
01. Correta. A = área de cobertura da moldura. A = 8 . 1,5 . 2 + 7 . 1,5 . 2 = 24 + 21 = 45 m2
02. Incorreta.
2 14 1
1 0
2 1 4 14 1
0
2 24 1
0
xxx x
xxx
( )
A x = 1
B x == 14
AB
S = x R/x <
1 ou x > 1
4
04. Incorreta. a ⊕ b = a + b + 2ab (1 ⊕ 3) = 1 + 3 + 2 . 1 . 3 = 10 (1 ⊕ 3) ⊕ x = 10 ⊕ x = 10 + x + 2 . 10 . x = 220 21x = 210
x = 10
08. Correta. x = número de descontos de 1 real R(x) = receita em função do número de descontos
de 1 real
R(x) = (21 – x) . (600 + 100 x) R(x) = –100x2 + 1500x + 12 600
xba
x
x
v
v
v
21500200
7 5
,
Preço = 21 – 7,5 = 13,5
16. Correta. f(x) = 6x – 1 f(g(x)) = 30x + 29 f(g(x)) = 6 g(x) – 1 30x + 29 = 6 g(x) – 1 30x + 30 = 6 g(x) 5x + 5 = g(x) g(–1) = 5 . (–1) + 5 g(–1) = 0
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Resposta: 01 + 02 + 04 + 1623
Comentário
01. Correta. M = 2000 . 1,1472 = 2294,40
02. Correta. Se x1 = x2 = x3, xA = xG , mas, por outro lado, se x1 ≠ x2 ≠ x3, então xA > xG , em que xA é a média
aritmética e xG é a média geométrica. Para o trabalhador, é vantagem o maior reajuste do salário.
04. Correta. ( )2 2 1301
nn
k
Para n = 1, temos a1 = 2 . 1 + 2 = 4; Para n = 2, temos a2 = 2 . 2 + 2 = 6; Para n = 3, temos a3 = 2 . 3 + 2 = 8; Para n = 4, temos a4 = 2 . 4 + 2 = 10.
Em que os termos constituem uma P.A. (4, 6, 8, 10, ...) cuja soma é igual a 130. Então:
S = (a + a ) . n
2
130 = (4 + a ) . n
2260 = (4 + 2n + 2) .
n1 n
n
n
260 = 2n + 6n
n + 3n 130 = 0
n’ = 13
n" = 10
2
2 −−
e an = a1 + (n – 1) . ran = 4 + (n – 1) . 2an = 4 + 2n – 2an = 2n + 2
Portanto, n = k = 10.
08. Incorreta. Considere os raios dos círculos: 3; 3
; 3
; 3
; ...2 4 8
e as respectivas áreas 9 ; 9
; 9
; 9
; ... 4 16 64
que
é uma P.G. infinita de a1 = 9π e q = 14
. Logo, Sa
q
13
11
9
114
934
94
3
.
S∞ = 12π cm2
16. Correto. Temos a média das alturas:
X = 117,5 + 125,4 + 107,3 + 120 + 116,4 + 108,7 + 117,5 + 1169 + 179,2
X = 1161,0
= 129 cm
9
9
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Resposta: 01 + 04 + 16 = 21
Comentário
01. Correta.
x
a
y
b
2
2
2
2
225 4001
c a b
c
c
c
c d
2 2 2
2 225 400
625
25
2 50 60
02. Incorreta.
x y
a
a
b
b
2 2
2 2
25 41
25
5
4
2
a b c
c
c
c
2 2 2
2
2
25 4
21
21
c = 21
5
04. Correta.
A
k
kAx
1
11 A
det A = k2 + 1
A =–1
K –1
K 2+1 K 2+1
1 K
K 2+1 K 2+1
A =–1 K –1
1 K
–1
K 2+1= –1
–1 = K 2+1
K 2K 2= 0= 0
K = 0
08. Incorreta. (A2 x 3 . B
x3 x 2)2 x 2
det (A . Bx) = existe, pois A . Bx é quadrado.
16. Correta.
1
1
x + 2y + 3z = 520
x + 3y + 5z = 760
x + 2y + 3z = 520
yy + 2z = 240
y + 2z = 240
x + y + z = 280
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Resposta: 04 + 08 + 16 = 28
Comentário
01. Incorreta. Praça → P(5, 3) Igreja → I(3, 5)
reta PI = 0 x + y 8 = 0
���:
5 3 5
3 5 3
x
y
O bando B(8, 1) não obedece a essa equação da reta , logo o ponto B não está na reta PI���
.
02. Incorreta. A reta r que passa pelo banco B(8, 1) e é perpendicular à reta s que passa pela igreja I(3, 5) e pelo hotel H(10, 5) tem equação x = 8, pois é uma reta paralela ao eixo y e passa por x = 8.
04. Correta. Escola → E(2, 2) Praça → P(5, 3)
d =PE ( ) ( )5 2 3 2 9 1 102 2
Assim, a circunferência terá raio R = 10, e sua equação será: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 102, que equivale a x2 + y2 – 10x – 6y + 24 = 0.
08. Correta. d = kmEH ( ) ( )10 2 5 2 64 9 732 2
16. Correta.
D
2 8 10 3 2
2 1 5 5 22 40 50 6 16 10 15 10 47
Área = |D|
km2
472
23 5 2= = ,
32. Incorreta. O ponto (3, 4) não pertence à circunferência calculada no item 04.
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Resposta: 04
Comentário
01. Incorreta.
02. Incorreta. ATLETA
P6
61802, 2
2! . 2!6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
2 . 2= = =!
UFSCMatemática (Amarela)
04. Correta.
Para escolha das 4 letras: C
C
26, 4
26, 4
26 . 25 . 24 . 23
4 . 3 . 2 . 1
14 950
=
=
Para escolha dos 3 números: C
C
10, 3
10, 3
10 . 9 . 8
3 . 2 . 1
120
=
=
3 4
Trocar a ordem de 7 caracteres distintos: P7 = 7! = 5040
Portanto, 14 950 . 120 . 5040 = 9.041.760.000. (Apenas com caracteres distintos já são mais de 450 milhões de placas possíveis.)
08. Incorreta.
BOLAS
Brancas
1
3
5
2
4
6
1
3
5
Pretas
Probabilidade condicional. B → ser bola branca Í → ser número ímpar
P B ÍP B Í
P Í
P B Í
( | )( )
( )
( | ) , %
25
0 4 40 de ser branca, sabendo qque foi ímpar.
16. Incorreta.
x
H
probabilidade 2 homens (filho)
2 mulheres (filhas)
12�
. 1
. 1
. 1
= 1
2! . 2!4 . 3 2, 2
2 2 2 16
44
H M M
P
� � �� ��� ���
! .. 2 . 12 . 2
Portanto, x = 1
. 6
= 3
probabilidad
6
16 1 88
3
y ee 2 casais 1 homem (filho)
1 mulher (filha) cada cas
aal
Cada casal: 1
. 1
= 1
2 2 4
2 22
H M
P
� ����¤
!
Portanto, cada casal: 1
. 2
= 1
ter 1 filho e 1 filha.
y
4 1 2
= 1
. 1
= 1
x > y
3 >
1
1 casal 2 casalo o
2 2 4
8 4
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Resposta: 01 + 08 = 09
Comentário
01. Correta.
x x x x x x x
x x x x
4 3 2 3 2
4 3 2
2 2 4 2 0 1
2 0
x
2 . .
2 2 4
140
212
4
12
2
12
12
x x
R
R
3
721
2
R
02. Incorreta. f(x) = 1 . (x + 1) . (x – 1) . (x – 3) f(x) = (x2 – 1) . (x – 3) f(x) = x3 – 3x2 – x + 3 b – a = –1 – (–3) ↓ ↓ = 2 a = –3 b = –1
04. Incorreta. t(x) = (x – 0)2 . (x + 1) . (x – 2) t(x) = (x2 – 2ax + a2) . (x2 – x – 2) t(x) = x4 – x3 – 2x2 – 2ax3 + 2ax2 + 4ax + a2x2 – a2x – 2a2
t(x) = x4 + (–2a – 1)x3 + (a2 + 2a – 2)x2 + (–a2 + 4a)x – 2a2
–2a – 1 = –7 –2a = –6 a = 3 → ímpar
08. Correta.
A x xx x
( ) ( )( )
2 22
. (x + 2) + Bx . (x + 2) + Cx . . . (x + 2)
Ax A Bx Bx Cx Cx
x x
x
x xA B C x B
2 2 2
3 3
2
4 2 2
4
4 2
42 2
( ) ( CC x A
x x
x
x x
A B C
)
4
4
4 2
4
0
3 3
16. Incorreta. Não menciona que os coeficientes de P(x) são reais, assim não podemos concluir o número de raízes reais e imaginárias.
UFSCMatemática (Amarela)
Resposta: 001 + 08 = 9
Comentário
01. Correta.
H = 2
R = 14
V = πR2HV = 3 . 142 . 2V = 1176 mm3
V = 1,176 cm3
1 cm = 10 mm1 cm3 = 1000 mm3
massa = 20 . 1,176 = 23,52 g
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02. Incorreta. Volume do tronco = VT = ?
Vv
Hh
Vv
Vv
vV
v V v v VT T
2 2100
80
12564
64125
664125
61125
48 8V
vV
T , %
04. Incorreta.
V A
x x
B
. H
V = 6 . . H v = 6 . x .
2 2 234
1 34
3 3 2( ) ( xx
Vx x x
12
3 3 6 3 3 32
3 2
)
08. Correta.
9
8
� = 8 2
4 2
9
H
9 4 2
81 32
49
7
2 2 2
2
2
( ) H
H
H
H cm