Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układy równań
Maciej Grzesiak
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Treść wykładu
Układy równań i ich macierze.
Rząd macierzy.
Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Ogólna postać układu
Układ m równań liniowych o n niewiadomych x1, x2, . . . , xn:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm.
(1)
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Ogólna postać układu
Równania te można zapisać krócej:
n∑j=1
aijxj = bi (i = 1, . . . ,m).
Współczynniki układu są elementami ciała K (najczęściej R lub C).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierz układu
Macierz
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 · · · amn
zbudowaną ze współczynników przy niewiadomych układu (1)nazywamy macierzą układu,
a macierz
B =
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 · · · amn bm
poszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych układu nazywamymacierzą uzupełnioną.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierz układu
Macierz
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 · · · amn
zbudowaną ze współczynników przy niewiadomych układu (1)nazywamy macierzą układu, a macierz
B =
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 · · · amn bm
poszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych układu nazywamymacierzą uzupełnioną.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Operacje elementarne
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki samzbiór rozwiązań.
Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:1 przestawienie dowolnych dwóch równań,2 pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania
przekształcają układ w układ mu równoważny.Te przekształcenia nazywamy elementarnymi operacjami narównaniach.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Operacje elementarne
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki samzbiór rozwiązań.Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:1 przestawienie dowolnych dwóch równań,
2 pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania
przekształcają układ w układ mu równoważny.Te przekształcenia nazywamy elementarnymi operacjami narównaniach.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Operacje elementarne
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki samzbiór rozwiązań.Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:1 przestawienie dowolnych dwóch równań,2 pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K
3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania
przekształcają układ w układ mu równoważny.Te przekształcenia nazywamy elementarnymi operacjami narównaniach.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Operacje elementarne
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki samzbiór rozwiązań.Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:1 przestawienie dowolnych dwóch równań,2 pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania
przekształcają układ w układ mu równoważny.Te przekształcenia nazywamy elementarnymi operacjami narównaniach.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Operacje elementarne
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki samzbiór rozwiązań.Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:1 przestawienie dowolnych dwóch równań,2 pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania
przekształcają układ w układ mu równoważny.
Te przekształcenia nazywamy elementarnymi operacjami narównaniach.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Operacje elementarne
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, gdy mają taki samzbiór rozwiązań.Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:1 przestawienie dowolnych dwóch równań,2 pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K3 dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania
przekształcają układ w układ mu równoważny.Te przekształcenia nazywamy elementarnymi operacjami narównaniach.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Operacje elementarne
Powyższym operacjom na równaniach odpowiadają elementarneoperacje na wierszach macierzy układu:1 przestawienie dowolnych dwóch wierszy,2 pomnożenie wiersza przez stałą c 6= 0, c ∈ K,3 dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego wiersza.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierz schodkowa
Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy elementwiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tegowiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy takżewiodącymi.
Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy aij , ai+1k spełniająwarunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową.Przykład Macierz
A =
4 2 5 0 0 10 3 1 0 1 20 0 0 0 4 50 0 0 0 0 9
jest macierzą schodkową.Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny:pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta —niewiodące.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierz schodkowa
Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy elementwiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tegowiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy takżewiodącymi.Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy aij , ai+1k spełniająwarunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową.
Przykład Macierz
A =
4 2 5 0 0 10 3 1 0 1 20 0 0 0 4 50 0 0 0 0 9
jest macierzą schodkową.Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny:pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta —niewiodące.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierz schodkowa
Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy elementwiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tegowiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy takżewiodącymi.Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy aij , ai+1k spełniająwarunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową.Przykład Macierz
A =
4 2 5 0 0 10 3 1 0 1 20 0 0 0 4 50 0 0 0 0 9
jest macierzą schodkową.
Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny:pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta —niewiodące.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierz schodkowa
Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy elementwiersza nazywamy elementem wiodącym (kierunkowym) tegowiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy takżewiodącymi.Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy aij , ai+1k spełniająwarunek j < k, to macierz nazywamy macierzą schodkową.Przykład Macierz
A =
4 2 5 0 0 10 3 1 0 1 20 0 0 0 4 50 0 0 0 0 9
jest macierzą schodkową.Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny:pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta —niewiodące.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wprowadzenie do metody eliminacji
Metoda eliminacji Gaussa jest uogólnieniem szkolnej metodyprzeciwnych współczynników. Rozwiązywanie układu polega narugowaniu kolejnych niewiadomych, aby uzyskać (jeśli to możliwe)równanie z jedną niewiadomą.
Kluczową sprawą jest jednak zapis. Ponieważ macierz uzupełnionazawiera pełną informację o układzie, więc w metodzie eliminacjiGaussa prowadzi się przekształcenia nie na równaniach układu, leczna wierszach macierzy uzupełnionej.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wprowadzenie do metody eliminacji
Metoda eliminacji Gaussa jest uogólnieniem szkolnej metodyprzeciwnych współczynników. Rozwiązywanie układu polega narugowaniu kolejnych niewiadomych, aby uzyskać (jeśli to możliwe)równanie z jedną niewiadomą.Kluczową sprawą jest jednak zapis. Ponieważ macierz uzupełnionazawiera pełną informację o układzie, więc w metodzie eliminacjiGaussa prowadzi się przekształcenia nie na równaniach układu, leczna wierszach macierzy uzupełnionej.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Metoda eliminacji Gaussa
1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczeniaspecjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską.
2) Jeśli a11 6= 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a11 (wtedywyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamyzera w pierwszej kolumnie — od wiersza drugiego odejmujemywiersz pierwszy pomnożony przez a21 itd.Gdyby a11 = 0, a np. ak1 6= 0, to przestawiamy najpierw wierszpierwszy z k-tym — i dalej jak poprzednio.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Metoda eliminacji Gaussa
1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczeniaspecjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską.2) Jeśli a11 6= 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a11 (wtedywyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamyzera w pierwszej kolumnie — od wiersza drugiego odejmujemywiersz pierwszy pomnożony przez a21 itd.
Gdyby a11 = 0, a np. ak1 6= 0, to przestawiamy najpierw wierszpierwszy z k-tym — i dalej jak poprzednio.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Metoda eliminacji Gaussa
1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczeniaspecjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską.2) Jeśli a11 6= 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a11 (wtedywyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamyzera w pierwszej kolumnie — od wiersza drugiego odejmujemywiersz pierwszy pomnożony przez a21 itd.Gdyby a11 = 0, a np. ak1 6= 0, to przestawiamy najpierw wierszpierwszy z k-tym — i dalej jak poprzednio.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Metoda eliminacji Gaussa
3) Jeśli a22 6= 0, to dzielimy drugi wiersz przez a22 i posługując siętym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a22.
Jeśli a22 = 0, a np. ak2 6= 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym— i dalej jak wyżej.Jeśli wszystkie ak2 = 0 dla k = 2, 3, . . . ,m, to przechodzimy donastępnej kolumny.4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Metoda eliminacji Gaussa
3) Jeśli a22 6= 0, to dzielimy drugi wiersz przez a22 i posługując siętym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a22.Jeśli a22 = 0, a np. ak2 6= 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym— i dalej jak wyżej.
Jeśli wszystkie ak2 = 0 dla k = 2, 3, . . . ,m, to przechodzimy donastępnej kolumny.4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Metoda eliminacji Gaussa
3) Jeśli a22 6= 0, to dzielimy drugi wiersz przez a22 i posługując siętym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a22.Jeśli a22 = 0, a np. ak2 6= 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym— i dalej jak wyżej.Jeśli wszystkie ak2 = 0 dla k = 2, 3, . . . ,m, to przechodzimy donastępnej kolumny.
4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Metoda eliminacji Gaussa
3) Jeśli a22 6= 0, to dzielimy drugi wiersz przez a22 i posługując siętym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a22.Jeśli a22 = 0, a np. ak2 6= 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym— i dalej jak wyżej.Jeśli wszystkie ak2 = 0 dla k = 2, 3, . . . ,m, to przechodzimy donastępnej kolumny.4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej
1) Jeżeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz (0 0 . . . 0|1), toukład jest sprzeczny (taki wiersz odpowiada równaniu 0 = 1).
2) Nie ma wierszy postaci (0 0 . . . 0|1) i liczba niezerowych wierszyjest równa liczbie niewiadomych, tzn. macierz jest postaci:
1 ∗ ∗ ∗ ∗ b10 1 ∗ ∗ ∗ b2. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 1 bn0 0 0 0 0 0
. . .
,
gdzie * oznacza jakiś element.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej
1) Jeżeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz (0 0 . . . 0|1), toukład jest sprzeczny (taki wiersz odpowiada równaniu 0 = 1).2) Nie ma wierszy postaci (0 0 . . . 0|1) i liczba niezerowych wierszyjest równa liczbie niewiadomych, tzn. macierz jest postaci:
1 ∗ ∗ ∗ ∗ b10 1 ∗ ∗ ∗ b2. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 1 bn0 0 0 0 0 0
. . .
,
gdzie * oznacza jakiś element.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej
Odpowiada to układowi:
x1 + ∗x2 + . . . + ∗xn = b1x2 + . . . + ∗xn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xn−1 + ∗xn = bn−1
xn = bn
Stąd xn = bn. Po podstawieniu do równania (n−1)-szegoobliczamy xn−1 itd. Rozwiązanie jest tylko jedno.3) W macierzy nie ma wierszy postaci (0 0 . . . 0|1), ale występująkolumny niewiodące. Stosujemy, jak wyżej, podstawienie wsteczne,ale niewiadomym, które odpowiadają kolumnom niewiodącymnadajemy dowolne wartości (będą one parametrami rozwiązania).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej
Odpowiada to układowi:
x1 + ∗x2 + . . . + ∗xn = b1x2 + . . . + ∗xn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xn−1 + ∗xn = bn−1
xn = bn
Stąd xn = bn. Po podstawieniu do równania (n−1)-szegoobliczamy xn−1 itd. Rozwiązanie jest tylko jedno.
3) W macierzy nie ma wierszy postaci (0 0 . . . 0|1), ale występująkolumny niewiodące. Stosujemy, jak wyżej, podstawienie wsteczne,ale niewiadomym, które odpowiadają kolumnom niewiodącymnadajemy dowolne wartości (będą one parametrami rozwiązania).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej
Odpowiada to układowi:
x1 + ∗x2 + . . . + ∗xn = b1x2 + . . . + ∗xn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xn−1 + ∗xn = bn−1
xn = bn
Stąd xn = bn. Po podstawieniu do równania (n−1)-szegoobliczamy xn−1 itd. Rozwiązanie jest tylko jedno.3) W macierzy nie ma wierszy postaci (0 0 . . . 0|1), ale występująkolumny niewiodące. Stosujemy, jak wyżej, podstawienie wsteczne,ale niewiadomym, które odpowiadają kolumnom niewiodącymnadajemy dowolne wartości (będą one parametrami rozwiązania).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej: przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:
A =
1 2 3 0 50 1 2 2 10 0 0 1 2
(2)
Niewiadoma x3 jest niewiodąca. Zatem x4 = 2, x3 = s (s ∈ R),x2 = 1− 2x3 − 2x4 = −3− 2s, x1 = 5− 2x2 − 3x3 = 11 + s.Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej: przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:
A =
1 2 3 0 50 1 2 2 10 0 0 1 2
(2)
Niewiadoma x3 jest niewiodąca.
Zatem x4 = 2, x3 = s (s ∈ R),x2 = 1− 2x3 − 2x4 = −3− 2s, x1 = 5− 2x2 − 3x3 = 11 + s.Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej: przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:
A =
1 2 3 0 50 1 2 2 10 0 0 1 2
(2)
Niewiadoma x3 jest niewiodąca. Zatem x4 = 2,
x3 = s (s ∈ R),x2 = 1− 2x3 − 2x4 = −3− 2s, x1 = 5− 2x2 − 3x3 = 11 + s.Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej: przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:
A =
1 2 3 0 50 1 2 2 10 0 0 1 2
(2)
Niewiadoma x3 jest niewiodąca. Zatem x4 = 2, x3 = s (s ∈ R),
x2 = 1− 2x3 − 2x4 = −3− 2s, x1 = 5− 2x2 − 3x3 = 11 + s.Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej: przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:
A =
1 2 3 0 50 1 2 2 10 0 0 1 2
(2)
Niewiadoma x3 jest niewiodąca. Zatem x4 = 2, x3 = s (s ∈ R),x2 = 1− 2x3 − 2x4 = −3− 2s,
x1 = 5− 2x2 − 3x3 = 11 + s.Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej: przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:
A =
1 2 3 0 50 1 2 2 10 0 0 1 2
(2)
Niewiadoma x3 jest niewiodąca. Zatem x4 = 2, x3 = s (s ∈ R),x2 = 1− 2x3 − 2x4 = −3− 2s, x1 = 5− 2x2 − 3x3 = 11 + s.
Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Interpretacja postaci schodkowej: przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:
A =
1 2 3 0 50 1 2 2 10 0 0 1 2
(2)
Niewiadoma x3 jest niewiodąca. Zatem x4 = 2, x3 = s (s ∈ R),x2 = 1− 2x3 − 2x4 = −3− 2s, x1 = 5− 2x2 − 3x3 = 11 + s.Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w2 − 2w3i w1 − 2w2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi:
1 2 3 0 50 1 2 2 10 0 0 1 2
∼ 1 2 3 0 5
0 1 2 0 −30 0 0 1 2
∼∼
1 0 −1 0 110 1 2 0 −30 0 0 1 2
.Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x3 = s):
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w2 − 2w3i w1 − 2w2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi: 1 2 3 0 5
0 1 2 2 10 0 0 1 2
∼
1 2 3 0 50 1 2 0 −30 0 0 1 2
∼∼
1 0 −1 0 110 1 2 0 −30 0 0 1 2
.Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x3 = s):
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w2 − 2w3i w1 − 2w2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi: 1 2 3 0 5
0 1 2 2 10 0 0 1 2
∼ 1 2 3 0 5
0 1 2 0 −30 0 0 1 2
∼
∼
1 0 −1 0 110 1 2 0 −30 0 0 1 2
.Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x3 = s):
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w2 − 2w3i w1 − 2w2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi: 1 2 3 0 5
0 1 2 2 10 0 0 1 2
∼ 1 2 3 0 5
0 1 2 0 −30 0 0 1 2
∼∼
1 0 −1 0 110 1 2 0 −30 0 0 1 2
.
Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x3 = s):
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w2 − 2w3i w1 − 2w2 uzyskamy zera nad elementami wiodącymi: 1 2 3 0 5
0 1 2 2 10 0 0 1 2
∼ 1 2 3 0 5
0 1 2 0 −30 0 0 1 2
∼∼
1 0 −1 0 110 1 2 0 −30 0 0 1 2
.Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x3 = s):
x1 = 11 + s, x2 = −3− 2s, x3 = s, x4 = 2, (s ∈ R).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Przykład−4x + −5y + −3z = 0−x + −8y + −3z = 03x + 15y + 6z = 0
−4 −5 −3 0−1 −8 −3 0
3 15 6 0
∼ 1 8 3 0−4 −5 −3 0
3 15 6 0
∼∼
1 8 3 00 27 9 00 −9 −3 0
∼ 1 8 3 0
0 1 13 0
0 0 0 0
∼ 1 0 1
3 00 1 1
3 00 0 0 0
Stąd x = −13k, y = −
13k, z = k.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Przykład−4x + −5y + −3z = 0−x + −8y + −3z = 03x + 15y + 6z = 0
−4 −5 −3 0−1 −8 −3 0
3 15 6 0
∼
1 8 3 0−4 −5 −3 0
3 15 6 0
∼∼
1 8 3 00 27 9 00 −9 −3 0
∼ 1 8 3 0
0 1 13 0
0 0 0 0
∼ 1 0 1
3 00 1 1
3 00 0 0 0
Stąd x = −13k, y = −
13k, z = k.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Przykład−4x + −5y + −3z = 0−x + −8y + −3z = 03x + 15y + 6z = 0
−4 −5 −3 0−1 −8 −3 0
3 15 6 0
∼ 1 8 3 0−4 −5 −3 0
3 15 6 0
∼
∼
1 8 3 00 27 9 00 −9 −3 0
∼ 1 8 3 0
0 1 13 0
0 0 0 0
∼ 1 0 1
3 00 1 1
3 00 0 0 0
Stąd x = −13k, y = −
13k, z = k.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Przykład−4x + −5y + −3z = 0−x + −8y + −3z = 03x + 15y + 6z = 0
−4 −5 −3 0−1 −8 −3 0
3 15 6 0
∼ 1 8 3 0−4 −5 −3 0
3 15 6 0
∼∼
1 8 3 00 27 9 00 −9 −3 0
∼
1 8 3 00 1 1
3 00 0 0 0
∼ 1 0 1
3 00 1 1
3 00 0 0 0
Stąd x = −13k, y = −
13k, z = k.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Przykład−4x + −5y + −3z = 0−x + −8y + −3z = 03x + 15y + 6z = 0
−4 −5 −3 0−1 −8 −3 0
3 15 6 0
∼ 1 8 3 0−4 −5 −3 0
3 15 6 0
∼∼
1 8 3 00 27 9 00 −9 −3 0
∼ 1 8 3 0
0 1 13 0
0 0 0 0
∼
1 0 13 0
0 1 13 0
0 0 0 0
Stąd x = −13k, y = −
13k, z = k.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Przykład−4x + −5y + −3z = 0−x + −8y + −3z = 03x + 15y + 6z = 0
−4 −5 −3 0−1 −8 −3 0
3 15 6 0
∼ 1 8 3 0−4 −5 −3 0
3 15 6 0
∼∼
1 8 3 00 27 9 00 −9 −3 0
∼ 1 8 3 0
0 1 13 0
0 0 0 0
∼ 1 0 1
3 00 1 1
3 00 0 0 0
Stąd x = −13k, y = −13k, z = k.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Przykład−4x + −5y + −3z = 0−x + −8y + −3z = 03x + 15y + 6z = 0
−4 −5 −3 0−1 −8 −3 0
3 15 6 0
∼ 1 8 3 0−4 −5 −3 0
3 15 6 0
∼∼
1 8 3 00 27 9 00 −9 −3 0
∼ 1 8 3 0
0 1 13 0
0 0 0 0
∼ 1 0 1
3 00 1 1
3 00 0 0 0
Stąd x = −13k, y = −
13k, z = k.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
PrzykładMetodą eliminacji rozwiązać układ z parametrem a:
2x − y + z + t = 1x + 2y − z + 4t = 2x + 7y − 4z + 11t = a
Dla jakich wartości a układ nie ma rozwiązania?
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: 1 2 −1 4 22 −1 1 1 11 7 −4 11 a
∼
1 2 −1 4 20 −5 3 −7 −30 5 −3 7 a− 2
∼
∼
1 2 −1 4 20 1 −35
75
35
0 0 0 0 a− 5
∼ 1 0 1
565
25
0 1 −3575
35
0 0 0 0 a− 5
.Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi:
x =25− 1
5k − 6
5l , y =
35+
35k − 7
5l , z = k, t = l ,
gdzie k, l ∈ R.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: 1 2 −1 4 22 −1 1 1 11 7 −4 11 a
∼
1 2 −1 4 20 −5 3 −7 −30 5 −3 7 a− 2
∼
∼
1 2 −1 4 20 1 −35
75
35
0 0 0 0 a− 5
∼ 1 0 1
565
25
0 1 −3575
35
0 0 0 0 a− 5
.Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi:
x =25− 1
5k − 6
5l , y =
35+
35k − 7
5l , z = k, t = l ,
gdzie k, l ∈ R.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: 1 2 −1 4 22 −1 1 1 11 7 −4 11 a
∼
1 2 −1 4 20 −5 3 −7 −30 5 −3 7 a− 2
∼
∼
1 2 −1 4 20 1 −35
75
35
0 0 0 0 a− 5
∼
1 0 1565
25
0 1 −3575
35
0 0 0 0 a− 5
.Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi:
x =25− 1
5k − 6
5l , y =
35+
35k − 7
5l , z = k, t = l ,
gdzie k, l ∈ R.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: 1 2 −1 4 22 −1 1 1 11 7 −4 11 a
∼
1 2 −1 4 20 −5 3 −7 −30 5 −3 7 a− 2
∼
∼
1 2 −1 4 20 1 −35
75
35
0 0 0 0 a− 5
∼ 1 0 1
565
25
0 1 −3575
35
0 0 0 0 a− 5
.
Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi:
x =25− 1
5k − 6
5l , y =
35+
35k − 7
5l , z = k, t = l ,
gdzie k, l ∈ R.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Eliminacja Gaussa-Jordana
Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w1 z w2: 1 2 −1 4 22 −1 1 1 11 7 −4 11 a
∼
1 2 −1 4 20 −5 3 −7 −30 5 −3 7 a− 2
∼
∼
1 2 −1 4 20 1 −35
75
35
0 0 0 0 a− 5
∼ 1 0 1
565
25
0 1 −3575
35
0 0 0 0 a− 5
.Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi:
x =25− 1
5k − 6
5l , y =
35+
35k − 7
5l , z = k, t = l ,
gdzie k, l ∈ R.Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ z parametrem
Przykład Dla jakich wartości p układ
x + py − z = 1x + 10y − 6z = p
2x − y + pz = 0,
jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźćrozwiązanie dla przypadku b).
Obliczamy wyznacznik główny:∣∣∣∣∣∣∣1 p −11 10 −62 −1 p
∣∣∣∣∣∣∣ = −p2 − 2p + 15.
Rozwiązując równanie −p2 − 2p + 15 = 0 znajdziemy p1 = −5,p2 = 3. Zatem gdy p 6= −5 i p 6= 3 układ jest oznaczony.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ z parametrem
Przykład Dla jakich wartości p układ
x + py − z = 1x + 10y − 6z = p
2x − y + pz = 0,
jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźćrozwiązanie dla przypadku b).Obliczamy wyznacznik główny:∣∣∣∣∣∣∣
1 p −11 10 −62 −1 p
∣∣∣∣∣∣∣ = −p2 − 2p + 15.
Rozwiązując równanie −p2 − 2p + 15 = 0 znajdziemy p1 = −5,p2 = 3. Zatem gdy p 6= −5 i p 6= 3 układ jest oznaczony.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ z parametrem
Przykład Dla jakich wartości p układ
x + py − z = 1x + 10y − 6z = p
2x − y + pz = 0,
jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźćrozwiązanie dla przypadku b).Obliczamy wyznacznik główny:∣∣∣∣∣∣∣
1 p −11 10 −62 −1 p
∣∣∣∣∣∣∣ = −p2 − 2p + 15.
Rozwiązując równanie −p2 − 2p + 15 = 0 znajdziemy p1 = −5,p2 = 3.
Zatem gdy p 6= −5 i p 6= 3 układ jest oznaczony.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ z parametrem
Przykład Dla jakich wartości p układ
x + py − z = 1x + 10y − 6z = p
2x − y + pz = 0,
jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźćrozwiązanie dla przypadku b).Obliczamy wyznacznik główny:∣∣∣∣∣∣∣
1 p −11 10 −62 −1 p
∣∣∣∣∣∣∣ = −p2 − 2p + 15.
Rozwiązując równanie −p2 − 2p + 15 = 0 znajdziemy p1 = −5,p2 = 3. Zatem gdy p 6= −5 i p 6= 3 układ jest oznaczony.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ z parametrem
Pozostałe przypadki badamy osobno:Dla p = −5 otrzymujemy układ:
x − 5y − z = 1x + 10y − 6z = −5
2x − y − 5z = 0,
który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia sięsprzeczność. Dla p = 3 mamy układ
x + 3y − z = 1x + 10y − 6z = 3
2x − y + 3z = 0,
który również rozwiązujemy metodą eliminacji. Otrzymujemyx = −87k +
17 , y =
57k +
27 , z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ z parametrem
Pozostałe przypadki badamy osobno:Dla p = −5 otrzymujemy układ:
x − 5y − z = 1x + 10y − 6z = −5
2x − y − 5z = 0,
który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia sięsprzeczność.
Dla p = 3 mamy układ
x + 3y − z = 1x + 10y − 6z = 3
2x − y + 3z = 0,
który również rozwiązujemy metodą eliminacji. Otrzymujemyx = −87k +
17 , y =
57k +
27 , z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ z parametrem
Pozostałe przypadki badamy osobno:Dla p = −5 otrzymujemy układ:
x − 5y − z = 1x + 10y − 6z = −5
2x − y − 5z = 0,
który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia sięsprzeczność. Dla p = 3 mamy układ
x + 3y − z = 1x + 10y − 6z = 3
2x − y + 3z = 0,
który również rozwiązujemy metodą eliminacji.
Otrzymujemyx = −87k +
17 , y =
57k +
27 , z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ z parametrem
Pozostałe przypadki badamy osobno:Dla p = −5 otrzymujemy układ:
x − 5y − z = 1x + 10y − 6z = −5
2x − y − 5z = 0,
który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia sięsprzeczność. Dla p = 3 mamy układ
x + 3y − z = 1x + 10y − 6z = 3
2x − y + 3z = 0,
który również rozwiązujemy metodą eliminacji. Otrzymujemyx = −87k +
17 , y =
57k +
27 , z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Przestrzeń wierszy macierzy
Definicja
Macierz B nazywamy wierszowo równoważną macierzy A, jeżeliB można otrzymać z A przez zastosowanie skończonej liczbyoperacji elementarnych na wierszach.
Definicja
Przestrzenią wierszy macierzy A typu m × n nazywamypodprzestrzeń przestrzeni Kn, która jest generowana przezwiersze macierzy A (traktowane jako wektory przestrzeni Kn).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Przestrzeń wierszy macierzy
Definicja
Macierz B nazywamy wierszowo równoważną macierzy A, jeżeliB można otrzymać z A przez zastosowanie skończonej liczbyoperacji elementarnych na wierszach.
Definicja
Przestrzenią wierszy macierzy A typu m × n nazywamypodprzestrzeń przestrzeni Kn, która jest generowana przezwiersze macierzy A (traktowane jako wektory przestrzeni Kn).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Przestrzeń wierszy macierzy
PrzykładNiech
A =
3 2 10 1 03 1 1
.
Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektoryw1 = (3, 2, 1), w2 = (0, 1, 0), w3 = (3, 1, 1).Ponieważ w1 = w2 +w3, więc jest to dwuwymiarowapodprzestrzeń w R3.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Przestrzeń wierszy macierzy
PrzykładNiech
A =
3 2 10 1 03 1 1
.Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektoryw1 = (3, 2, 1), w2 = (0, 1, 0), w3 = (3, 1, 1).
Ponieważ w1 = w2 +w3, więc jest to dwuwymiarowapodprzestrzeń w R3.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Przestrzeń wierszy macierzy
PrzykładNiech
A =
3 2 10 1 03 1 1
.Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektoryw1 = (3, 2, 1), w2 = (0, 1, 0), w3 = (3, 1, 1).Ponieważ w1 = w2 +w3, więc jest to dwuwymiarowapodprzestrzeń w R3.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Określenie rzędu
Twierdzenie
Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.
D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowychnie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tymzbiorze.
Definicja
Rzędem macierzy A nazywamy wymiar przestrzeni wierszymacierzy A. Oznaczamy go R(A).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Określenie rzędu
Twierdzenie
Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.
D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowychnie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tymzbiorze.
Definicja
Rzędem macierzy A nazywamy wymiar przestrzeni wierszymacierzy A. Oznaczamy go R(A).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Określenie rzędu
Twierdzenie
Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.
D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowychnie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tymzbiorze.
Definicja
Rzędem macierzy A nazywamy wymiar przestrzeni wierszymacierzy A.
Oznaczamy go R(A).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Określenie rzędu
Twierdzenie
Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.
D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowychnie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tymzbiorze.
Definicja
Rzędem macierzy A nazywamy wymiar przestrzeni wierszymacierzy A. Oznaczamy go R(A).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Obliczanie rzędu
Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnychsprowadzić do postaci schodkowej. Wiersze takiej macierzy sąliniowo niezależne.
Wniosek
Dla dowolnej macierzy A jej rząd jest równy liczbie niezerowychwierszy w postaci schodkowej tej macierzy.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Obliczanie rzędu
Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnychsprowadzić do postaci schodkowej. Wiersze takiej macierzy sąliniowo niezależne.
Wniosek
Dla dowolnej macierzy A jej rząd jest równy liczbie niezerowychwierszy w postaci schodkowej tej macierzy.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Obliczanie rzędu
PrzykładObliczymy rząd macierzy:
A =
1 −1 1 32 −5 3 103 3 1 1
.
Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemyoperacje:w2 − 2w1 i w3 − 3w1, a następnie w3 + 2w2: 1 −1 1 3
2 −5 3 103 3 1 1
∼ 1 −1 1 3
0 −3 1 40 6 −2 −8
∼ 1 −1 1 3
0 −3 1 40 0 0 0
.Są dwa wiersze liniowo niezależne, więc R(A) = 2.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Obliczanie rzędu
PrzykładObliczymy rząd macierzy:
A =
1 −1 1 32 −5 3 103 3 1 1
.Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemyoperacje:w2 − 2w1 i w3 − 3w1, a następnie w3 + 2w2: 1 −1 1 3
2 −5 3 103 3 1 1
∼ 1 −1 1 3
0 −3 1 40 6 −2 −8
∼ 1 −1 1 3
0 −3 1 40 0 0 0
.
Są dwa wiersze liniowo niezależne, więc R(A) = 2.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Obliczanie rzędu
PrzykładObliczymy rząd macierzy:
A =
1 −1 1 32 −5 3 103 3 1 1
.Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemyoperacje:w2 − 2w1 i w3 − 3w1, a następnie w3 + 2w2: 1 −1 1 3
2 −5 3 103 3 1 1
∼ 1 −1 1 3
0 −3 1 40 6 −2 −8
∼ 1 −1 1 3
0 −3 1 40 0 0 0
.Są dwa wiersze liniowo niezależne, więc R(A) = 2.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Związek rzędu z minorami
Twierdzenie
Jeżeli macierz zawiera minor stopnia r różny od zera, dla któregowszystkie zawierające go minory stopnia r + 1 (minoryobrzeżające) są równe zeru, to rząd tej macierzy jest równy r .
A zatem rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni różnychod zera minorów tej macierzy.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Związek rzędu z minorami
Twierdzenie
Jeżeli macierz zawiera minor stopnia r różny od zera, dla któregowszystkie zawierające go minory stopnia r + 1 (minoryobrzeżające) są równe zeru, to rząd tej macierzy jest równy r .
A zatem rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni różnychod zera minorów tej macierzy.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Związek rzędu z minorami
Obliczanie rzędu macierzy metodą obrzeżania należy prowadzić odstopni najniższych do najwyższych. Przykładowo, weźmy ponowniemacierz
A =
1 −1 1 32 −5 3 103 3 1 1
.Minor |a11| = 1 jest niezerowy. Minor obrzeżający:∣∣∣∣∣ 1 −1
2 −5
∣∣∣∣∣ = −3
jest także niezerowy. Dla niego mamy dwa minory obrzeżające:∣∣∣∣∣∣∣1 −1 12 −5 33 3 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ,
∣∣∣∣∣∣∣1 −1 32 −5 103 3 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0,
a więc R(A) = 2.Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierze A i AT mają te same minory, więc mamy poniższywniosek:
Wniosek
R(A) = R(AT ).
Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejnywniosek:
Wniosek
Rząd macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumnmacierzy.
Inaczej: rząd wierszowy jest równy rzędowi kolumnowemu. Zatemprzy obliczaniu rzędu metodą przekształcania macierzy do postacischodkowej można wykonywać również operacje na kolumnach (cobyło niedopuszczalne w metodzie eliminacji).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierze A i AT mają te same minory, więc mamy poniższywniosek:
Wniosek
R(A) = R(AT ).
Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejnywniosek:
Wniosek
Rząd macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumnmacierzy.
Inaczej: rząd wierszowy jest równy rzędowi kolumnowemu. Zatemprzy obliczaniu rzędu metodą przekształcania macierzy do postacischodkowej można wykonywać również operacje na kolumnach (cobyło niedopuszczalne w metodzie eliminacji).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierze A i AT mają te same minory, więc mamy poniższywniosek:
Wniosek
R(A) = R(AT ).
Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejnywniosek:
Wniosek
Rząd macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumnmacierzy.
Inaczej: rząd wierszowy jest równy rzędowi kolumnowemu. Zatemprzy obliczaniu rzędu metodą przekształcania macierzy do postacischodkowej można wykonywać również operacje na kolumnach (cobyło niedopuszczalne w metodzie eliminacji).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierze A i AT mają te same minory, więc mamy poniższywniosek:
Wniosek
R(A) = R(AT ).
Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejnywniosek:
Wniosek
Rząd macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumnmacierzy.
Inaczej: rząd wierszowy jest równy rzędowi kolumnowemu. Zatemprzy obliczaniu rzędu metodą przekształcania macierzy do postacischodkowej można wykonywać również operacje na kolumnach (cobyło niedopuszczalne w metodzie eliminacji).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jako równanie wektorowe
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(3)
Niech A oznacza macierz układu, a B — macierz uzupełnionąukładu:
A =
a11 a12 · · · a1na12 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 · · · amn
, B =
a11 a12 · · · a1n b1a12 a22 · · · a2n b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 · · · amn bm
.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Każdą kolumnę można traktować jako wektor przestrzeni Km.Oznaczmy:
vj =
a1ja2j. . .amj
, w =
b1b2. .bm
.
Wtedy układ (3) jest równoważny równaniu wektorowemu:
x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn = w. (4)
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Każdą kolumnę można traktować jako wektor przestrzeni Km.Oznaczmy:
vj =
a1ja2j. . .amj
, w =
b1b2. .bm
.Wtedy układ (3) jest równoważny równaniu wektorowemu:
x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn = w. (4)
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Twierdzenie (Kroneckera–Capellego)
Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
R(A) = R(B).
D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy xj ∈ Kspełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4).Z równania (4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniowąwektorów v1, v2, . . . , vn. Tym samym w należy do przestrzenirozpiętej na wektorach v1, v2, . . . , vn.Zatem wymiary przestrzeni generowanych przez {v1, v2, . . . , vn} i{v1, v2, . . . , vn,w} są takie same, a to oznacza, że R(A) = R(B).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Twierdzenie (Kroneckera–Capellego)
Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
R(A) = R(B).
D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy xj ∈ Kspełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4).
Z równania (4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniowąwektorów v1, v2, . . . , vn. Tym samym w należy do przestrzenirozpiętej na wektorach v1, v2, . . . , vn.Zatem wymiary przestrzeni generowanych przez {v1, v2, . . . , vn} i{v1, v2, . . . , vn,w} są takie same, a to oznacza, że R(A) = R(B).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Twierdzenie (Kroneckera–Capellego)
Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
R(A) = R(B).
D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy xj ∈ Kspełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4).Z równania (4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniowąwektorów v1, v2, . . . , vn. Tym samym w należy do przestrzenirozpiętej na wektorach v1, v2, . . . , vn.
Zatem wymiary przestrzeni generowanych przez {v1, v2, . . . , vn} i{v1, v2, . . . , vn,w} są takie same, a to oznacza, że R(A) = R(B).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Twierdzenie (Kroneckera–Capellego)
Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
R(A) = R(B).
D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy xj ∈ Kspełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4).Z równania (4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniowąwektorów v1, v2, . . . , vn. Tym samym w należy do przestrzenirozpiętej na wektorach v1, v2, . . . , vn.Zatem wymiary przestrzeni generowanych przez {v1, v2, . . . , vn} i{v1, v2, . . . , vn,w} są takie same, a to oznacza, że R(A) = R(B).
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r , to wśród wektorówv1, v2, . . . , vn jest r liniowo niezależnych — niech to będąv1, v2, . . . , vr .
Ale R(B) = r , więc wśród wektorów v1, v2, . . . , vn,w jest też tylkor liniowo niezależnych. Muszą to być v1, v2, . . . , vr .Pozostałe są od nich liniowo zależne. W szczególności w jestkombinacją liniową wektorów v1, v2, . . . , vr , a więc i wektorówv1, v2, . . . , vn. Tym samym istnieją elementy xj ∈ K spełniającerównanie (4), a więc i układ (3). �
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r , to wśród wektorówv1, v2, . . . , vn jest r liniowo niezależnych — niech to będąv1, v2, . . . , vr .Ale R(B) = r , więc wśród wektorów v1, v2, . . . , vn,w jest też tylkor liniowo niezależnych. Muszą to być v1, v2, . . . , vr .
Pozostałe są od nich liniowo zależne. W szczególności w jestkombinacją liniową wektorów v1, v2, . . . , vr , a więc i wektorówv1, v2, . . . , vn. Tym samym istnieją elementy xj ∈ K spełniającerównanie (4), a więc i układ (3). �
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r , to wśród wektorówv1, v2, . . . , vn jest r liniowo niezależnych — niech to będąv1, v2, . . . , vr .Ale R(B) = r , więc wśród wektorów v1, v2, . . . , vn,w jest też tylkor liniowo niezależnych. Muszą to być v1, v2, . . . , vr .Pozostałe są od nich liniowo zależne. W szczególności w jestkombinacją liniową wektorów v1, v2, . . . , vr , a więc i wektorówv1, v2, . . . , vn. Tym samym istnieją elementy xj ∈ K spełniającerównanie (4), a więc i układ (3). �
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera–Capellego sprawdzić,czy układ ma rozwiązanie:
x + 2y + 3z + 3u = 6x + y + z = 1
3x − y + 2z + u = 2
Ponieważ
A ∼
1 1 1 01 2 3 33 −1 2 1
∼ 1 1 1 0
0 1 2 30 −4 −1 1
∼ 1 1 1 0
0 1 2 30 0 7 13
więc R(A) = 3 oraz R(A) ¬ R(B) ¬ 3.Zatem R(A) = R(B). Układ ma rozwiązanie.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera–Capellego sprawdzić,czy układ ma rozwiązanie:
x + 2y + 3z + 3u = 6x + y + z = 1
3x − y + 2z + u = 2
Ponieważ
A ∼
1 1 1 01 2 3 33 −1 2 1
∼ 1 1 1 0
0 1 2 30 −4 −1 1
∼ 1 1 1 0
0 1 2 30 0 7 13
więc R(A) = 3 oraz R(A) ¬ R(B) ¬ 3.Zatem R(A) = R(B). Układ ma rozwiązanie.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera–Capellego sprawdzić,czy układ ma rozwiązanie:
x + 2y + 3z + 3u = 6x + y + z = 1
3x − y + 2z + u = 2
Ponieważ
A ∼
1 1 1 01 2 3 33 −1 2 1
∼ 1 1 1 0
0 1 2 30 −4 −1 1
∼ 1 1 1 0
0 1 2 30 0 7 13
więc R(A) = 3 oraz
R(A) ¬ R(B) ¬ 3.Zatem R(A) = R(B). Układ ma rozwiązanie.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera–Capellego sprawdzić,czy układ ma rozwiązanie:
x + 2y + 3z + 3u = 6x + y + z = 1
3x − y + 2z + u = 2
Ponieważ
A ∼
1 1 1 01 2 3 33 −1 2 1
∼ 1 1 1 0
0 1 2 30 −4 −1 1
∼ 1 1 1 0
0 1 2 30 0 7 13
więc R(A) = 3 oraz R(A) ¬ R(B) ¬ 3.
Zatem R(A) = R(B). Układ ma rozwiązanie.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Twierdzenie Kroneckera–Capellego
Przykład Stosując twierdzenie Kroneckera–Capellego sprawdzić,czy układ ma rozwiązanie:
x + 2y + 3z + 3u = 6x + y + z = 1
3x − y + 2z + u = 2
Ponieważ
A ∼
1 1 1 01 2 3 33 −1 2 1
∼ 1 1 1 0
0 1 2 30 −4 −1 1
∼ 1 1 1 0
0 1 2 30 0 7 13
więc R(A) = 3 oraz R(A) ¬ R(B) ¬ 3.Zatem R(A) = R(B). Układ ma rozwiązanie.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Układ jednorodny:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0
(5)
ma zawsze rozwiązanie
x1 = x2 = . . . = xn = 0.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Układ jednorodny:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0
(5)
ma zawsze rozwiązanie
x1 = x2 = . . . = xn = 0.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n.
Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n−rparametrów.Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowanianiewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi sąxr+1, xr+2, . . . , xn.Niewiadome główne są ich kombinacjami. Zatem rozwiązanieogólne można zapisać w postaci wektora: n∑
i=r+1
a1i xi , . . . ,n∑
i=r+1
ari xi , xr+1, xr+2, . . . , xn
.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n.Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n−rparametrów.
Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowanianiewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi sąxr+1, xr+2, . . . , xn.Niewiadome główne są ich kombinacjami. Zatem rozwiązanieogólne można zapisać w postaci wektora: n∑
i=r+1
a1i xi , . . . ,n∑
i=r+1
ari xi , xr+1, xr+2, . . . , xn
.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n.Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n−rparametrów.Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowanianiewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi sąxr+1, xr+2, . . . , xn.
Niewiadome główne są ich kombinacjami. Zatem rozwiązanieogólne można zapisać w postaci wektora: n∑
i=r+1
a1i xi , . . . ,n∑
i=r+1
ari xi , xr+1, xr+2, . . . , xn
.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n.Jeśli R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n−rparametrów.Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowanianiewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi sąxr+1, xr+2, . . . , xn.Niewiadome główne są ich kombinacjami. Zatem rozwiązanieogólne można zapisać w postaci wektora: n∑
i=r+1
a1i xi , . . . ,n∑
i=r+1
ari xi , xr+1, xr+2, . . . , xn
.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w Rn.
Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome
xr+1, xr+2, . . . , xn
kolejno układy
(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)
Otrzymamy wtedy wektory:
(a1r+1, a2r+1, . . . , a
rr+1, 1, 0, . . . , 0),
(a1r+2, a2r+2, . . . , a
rr+2, 0, 1, . . . , 0),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( a1n , a2n , . . . , a
rn , 0, 0, . . . , 1).
Takie rozwiązania nazywamy bazowymi. Dowolne inne rozwiązaniejest kombinacją tych rozwiązań.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w Rn.Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome
xr+1, xr+2, . . . , xn
kolejno układy
(1, 0, . . . , 0),
(0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)
Otrzymamy wtedy wektory:
(a1r+1, a2r+1, . . . , a
rr+1, 1, 0, . . . , 0),
(a1r+2, a2r+2, . . . , a
rr+2, 0, 1, . . . , 0),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( a1n , a2n , . . . , a
rn , 0, 0, . . . , 1).
Takie rozwiązania nazywamy bazowymi. Dowolne inne rozwiązaniejest kombinacją tych rozwiązań.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w Rn.Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome
xr+1, xr+2, . . . , xn
kolejno układy
(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0),
. . . , (0, 0, . . . , 1)
Otrzymamy wtedy wektory:
(a1r+1, a2r+1, . . . , a
rr+1, 1, 0, . . . , 0),
(a1r+2, a2r+2, . . . , a
rr+2, 0, 1, . . . , 0),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( a1n , a2n , . . . , a
rn , 0, 0, . . . , 1).
Takie rozwiązania nazywamy bazowymi. Dowolne inne rozwiązaniejest kombinacją tych rozwiązań.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w Rn.Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome
xr+1, xr+2, . . . , xn
kolejno układy
(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)
Otrzymamy wtedy wektory:
(a1r+1, a2r+1, . . . , a
rr+1, 1, 0, . . . , 0),
(a1r+2, a2r+2, . . . , a
rr+2, 0, 1, . . . , 0),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( a1n , a2n , . . . , a
rn , 0, 0, . . . , 1).
Takie rozwiązania nazywamy bazowymi. Dowolne inne rozwiązaniejest kombinacją tych rozwiązań.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w Rn.Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome
xr+1, xr+2, . . . , xn
kolejno układy
(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)
Otrzymamy wtedy wektory:
(a1r+1, a2r+1, . . . , a
rr+1, 1, 0, . . . , 0),
(a1r+2, a2r+2, . . . , a
rr+2, 0, 1, . . . , 0),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( a1n , a2n , . . . , a
rn , 0, 0, . . . , 1).
Takie rozwiązania nazywamy bazowymi. Dowolne inne rozwiązaniejest kombinacją tych rozwiązań.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ jednorodny
Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w Rn.Bazę tej podprzestrzeni otrzymamy, podstawiając za niewiadome
xr+1, xr+2, . . . , xn
kolejno układy
(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)
Otrzymamy wtedy wektory:
(a1r+1, a2r+1, . . . , a
rr+1, 1, 0, . . . , 0),
(a1r+2, a2r+2, . . . , a
rr+2, 0, 1, . . . , 0),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( a1n , a2n , . . . , a
rn , 0, 0, . . . , 1).
Takie rozwiązania nazywamy bazowymi. Dowolne inne rozwiązaniejest kombinacją tych rozwiązań.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Przykładx + 3u + 4w = 0y + 2u − w = 0.
Niewiadomymi swobodnymi są u i w .
Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy
x = −3, y = −2,
a dla u = 0, w = 1 jest
x = −4, y = 1,
Rozwiązaniami bazowymi są
(−3,−2, 1, 0), (−4, 1, 0, 1)
a rozwiązanie ogólne jest postaci:
k(−3,−2, 1, 0) + l(−4, 1, 0, 1) , gdzie k, l ∈ R.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Przykładx + 3u + 4w = 0y + 2u − w = 0.
Niewiadomymi swobodnymi są u i w .Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy
x = −3, y = −2,
a dla u = 0, w = 1 jest
x = −4, y = 1,
Rozwiązaniami bazowymi są
(−3,−2, 1, 0), (−4, 1, 0, 1)
a rozwiązanie ogólne jest postaci:
k(−3,−2, 1, 0) + l(−4, 1, 0, 1) , gdzie k, l ∈ R.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Przykładx + 3u + 4w = 0y + 2u − w = 0.
Niewiadomymi swobodnymi są u i w .Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy
x = −3, y = −2,
a dla u = 0, w = 1 jest
x = −4, y = 1,
Rozwiązaniami bazowymi są
(−3,−2, 1, 0), (−4, 1, 0, 1)
a rozwiązanie ogólne jest postaci:
k(−3,−2, 1, 0) + l(−4, 1, 0, 1) , gdzie k, l ∈ R.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Przykładx + 3u + 4w = 0y + 2u − w = 0.
Niewiadomymi swobodnymi są u i w .Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy
x = −3, y = −2,
a dla u = 0, w = 1 jest
x = −4, y = 1,
Rozwiązaniami bazowymi są
(−3,−2, 1, 0), (−4, 1, 0, 1)
a rozwiązanie ogólne jest postaci:
k(−3,−2, 1, 0) + l(−4, 1, 0, 1) , gdzie k, l ∈ R.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Przykładx + 3u + 4w = 0y + 2u − w = 0.
Niewiadomymi swobodnymi są u i w .Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy
x = −3, y = −2,
a dla u = 0, w = 1 jest
x = −4, y = 1,
Rozwiązaniami bazowymi są
(−3,−2, 1, 0), (−4, 1, 0, 1)
a rozwiązanie ogólne jest postaci:
k(−3,−2, 1, 0) + l(−4, 1, 0, 1) , gdzie k, l ∈ R.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M1 = (x1, y1),M2 = (x2, y2), M3 = (x3, y3) leżące na jednej prostej?
Jeżeli istnieje prosta Ax + By + C = 0 na której leżą wszystkie tepunkty, to układ
Ax1 + By1 + C = 0Ax2 + By2 + C = 0Ax3 + By3 + C = 0
z niewiadomymi A,B,C ma rozwiązanie niezerowe.Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M1 = (x1, y1),M2 = (x2, y2), M3 = (x3, y3) leżące na jednej prostej?Jeżeli istnieje prosta Ax + By + C = 0 na której leżą wszystkie tepunkty, to układ
Ax1 + By1 + C = 0Ax2 + By2 + C = 0Ax3 + By3 + C = 0
z niewiadomymi A,B,C ma rozwiązanie niezerowe.
Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
1. Jaki warunek muszą spełniać punkty M1 = (x1, y1),M2 = (x2, y2), M3 = (x3, y3) leżące na jednej prostej?Jeżeli istnieje prosta Ax + By + C = 0 na której leżą wszystkie tepunkty, to układ
Ax1 + By1 + C = 0Ax2 + By2 + C = 0Ax3 + By3 + C = 0
z niewiadomymi A,B,C ma rozwiązanie niezerowe.Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
Zadanie. Sprawdzić, czy punkty (−2, 1), (1,−1), (7,−5) leżą najednej prostej.
Sprawdzamy wyznacznik:∣∣∣∣∣∣∣−2 1 1
1 −1 17 −5 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Punkty leżą na jednej prostej.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
Zadanie. Sprawdzić, czy punkty (−2, 1), (1,−1), (7,−5) leżą najednej prostej.Sprawdzamy wyznacznik:∣∣∣∣∣∣∣
−2 1 11 −1 17 −5 1
∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
Punkty leżą na jednej prostej.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
Zadanie. Sprawdzić, czy punkty (−2, 1), (1,−1), (7,−5) leżą najednej prostej.Sprawdzamy wyznacznik:∣∣∣∣∣∣∣
−2 1 11 −1 17 −5 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Punkty leżą na jednej prostej.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
Zadanie. Sprawdzić, czy punkty (−2, 1), (1,−1), (7,−5) leżą najednej prostej.Sprawdzamy wyznacznik:∣∣∣∣∣∣∣
−2 1 11 −1 17 −5 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Punkty leżą na jednej prostej.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
2. Podać warunek na to, by proste A1x + B1y + C1 = 0,A2x + B2y + C2 = 0, A3x + B3y + C3 = 0 przechodziły przezjeden punkt.
Jeżeli istnieje punkt (x , y) wspólny dla tych prostych, to układA1x + B1y + C1 = 0A2x + B2y + C2 = 0A3x + B3y + C3 = 0
czyli A1x + B1y = −C1A2x + B2y = −C2A3x + B3y = −C3
z niewiadomymi x , y ma rozwiązanie.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
2. Podać warunek na to, by proste A1x + B1y + C1 = 0,A2x + B2y + C2 = 0, A3x + B3y + C3 = 0 przechodziły przezjeden punkt.Jeżeli istnieje punkt (x , y) wspólny dla tych prostych, to układ
A1x + B1y + C1 = 0A2x + B2y + C2 = 0A3x + B3y + C3 = 0
czyli A1x + B1y = −C1A2x + B2y = −C2A3x + B3y = −C3
z niewiadomymi x , y ma rozwiązanie.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
2. Podać warunek na to, by proste A1x + B1y + C1 = 0,A2x + B2y + C2 = 0, A3x + B3y + C3 = 0 przechodziły przezjeden punkt.Jeżeli istnieje punkt (x , y) wspólny dla tych prostych, to układ
A1x + B1y + C1 = 0A2x + B2y + C2 = 0A3x + B3y + C3 = 0
czyli A1x + B1y = −C1A2x + B2y = −C2A3x + B3y = −C3
z niewiadomymi x , y ma rozwiązanie.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A1 B1A2 B2A3 B3
, A1 B1 −C1A2 B2 −C2A3 B3 −C3
są równe. A zatem musi być
∣∣∣∣∣∣∣A1 B1 −C1A2 B2 −C2A3 B3 −C3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
Jest tak wtedy, i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A1 B1A2 B2A3 B3
, A1 B1 −C1A2 B2 −C2A3 B3 −C3
są równe. A zatem musi być∣∣∣∣∣∣∣
A1 B1 −C1A2 B2 −C2A3 B3 −C3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y − 4 = 0, x − 2y + 2 = 0,2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny.
Sprawdzamy wyznacznik:∣∣∣∣∣∣∣1 12 −41 −2 22 3 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Proste mają punkt wspólny.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y − 4 = 0, x − 2y + 2 = 0,2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny.Sprawdzamy wyznacznik:∣∣∣∣∣∣∣
1 12 −41 −2 22 3 1
∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
Proste mają punkt wspólny.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y − 4 = 0, x − 2y + 2 = 0,2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny.Sprawdzamy wyznacznik:∣∣∣∣∣∣∣
1 12 −41 −2 22 3 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Proste mają punkt wspólny.
Maciej Grzesiak Układy równań
Układy równań. Metoda eliminacji.Rząd macierzy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Zastosowania do geometrii
Zadanie. Sprawdzić, czy proste x + 12y − 4 = 0, x − 2y + 2 = 0,2x + 3y + 1 = 0 mają punkt wspólny.Sprawdzamy wyznacznik:∣∣∣∣∣∣∣
1 12 −41 −2 22 3 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Proste mają punkt wspólny.
Maciej Grzesiak Układy równań