Campos ElectromagnéticosCurso 2008/2009
Ingeniería IndustrialDpto. Física Aplicada III
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo1
Tema 2: Postulados del
Electromagnetismo
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo2
Índice
La carga eléctrica Corriente eléctrica
Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo3
La carga eléctrica
Cualidad de la materia responsable de la interacción electromagnética
Propiedades: Dual: cargas positivas y negativas Cuantizada: Se conserva localmente Invariante relativista
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo4
Hipótesis de medio continuo
¿En qué condiciones tiene sentido el concepto de densidad? Ejemplo: densidad de población
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La carga eléctrica
Hipótesis de medio continuo El concepto de densidad sólo tiene sentido para
medios continuos La carga es discreta, pero q
e<<q
macroscópica
Puede definirse: densidad volumétrica de carga
Carga y nº de partículas especie j-ésima
nº especies
Densidad de partículas especie j-ésima
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Densidad superficial de carga
A veces tenemos carga sobre una superficie Ejemplo: conductores en equilibrio electrostático
Se define por analogía la densidad superficial de carga:
q
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo7
Densidad superficial de carga
Paso al límite de distribuciones volumétricas:
Si el volumen tiende a cero pero q es constante:
Densidad superficial de carga implica singularidad en la densidad volumétrica
e e e
q q q
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Densidad lineal de carga
Carga distribuida sobre un hilo: se define la densidad lineal de carga
dl
En un hilo:
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q1
q2
qn
x y
z
Distribuciones discretas Modelo de carga puntual
Implica una carga finita concentrada en un punto Similar a la partícula puntual usada en mecánica
Densidad de carga de distribuciones discretas de carga:
Las expresiones que se obtengan bajo hipótesis de medio continuo pueden ser particularizadas para distribuciones discretas de carga
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Índice
La carga eléctrica Corriente eléctrica
Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía
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Corriente eléctrica
Carga en movimiento: electrones, iones positivos o negativos, partículas subatómicas...
Normalmente se origina como respuesta a un campo eléctrico
En este tema trataremos las corrientes sin atender a sus causas: las suponemos conocidas y establecidas a priori
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo12
Intensidad de corriente
Carga que atraviesa una superficiedada por unidad de tiempo
Unidad: amperio; A=C/s Caso simple: un solo tipo de
portadores con q1, densidad n
1
y velocidadCarga que atraviesa en :
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Intensidad de corriente
Para s tipos de portadores distintos:
Para la superficie S completa:
Vector densidad de corriente (A/m2)
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Relación entre densidades de carga y de corriente
Caso de un solo portador:
Caso general: no hay relación entre carga y corriente.
Ejemplo: hilo conductor de cobre
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Densidad superficial de corriente
Corriente restringida a una región de espesor pequeño
e eγ γ e
Densidad superficialde corriente:
(A/m)
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Corrientes filiformes
Gran utilidad práctica: hilos metálicos para circuitos eléctricos
La propia intensidad basta para caracterizar la corriente: es la carga que atraviesa la sección transversal del hilo por unidad de tiempo El sentido viene indicado por el signo de I
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Ecuación de continuidad
La ley de conservación de la carga implica que debe existir una relación entre la densidad de carga y la densidad de corriente
Supongamos un volumen τ que contiene una carga q en presencia de corrientes
La carga que abandona el volumen por unidad de tiempo es:
Teorema de la divergencia:
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Ecuación de continuidad
Por otra parte:
Y la ecuación queda:
Como esto es válido para cualquier volumen podemos igualar los integrandos:
Ecuación de continuidadExpresión matemática de la ley de conservación de la carga
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La carga eléctrica Corriente eléctrica
Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía
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Ecuaciones de Maxwell
POSTULADO: La presencia de cargas y corrientes da lugar a la existencia de un campo eléctrico y un campo magnético que satisfacen las Ecuaciones de Maxwell:
Densidad de carga
Densidad de corriente
Permitividad
Permeabilidad
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Consideraciones adicionales
No pueden solucinarse usando el teorema de Helmholtz, puesto que los campos aparecen acoplados
Son ecuaciones lineales: Esto permite establecer un Principio de superposición:
Dados dos o más conjuntos de fuentes la solución para los campos de la suma de las fuentes es la suma de las soluciones de los campos para cada conjunto de fuentes
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Ecuación de continuidad
Las ecuaciones de Maxwell deben ser consistentes con el Principio de conservación de la carga
En efecto, aplicando divergencia en la ecuación de rotacional del campo magnético:
La ecuación de continuidad está implícita en las
ecuaciones de Maxwell
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La carga eléctrica Corriente eléctrica
Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía
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Fuerza de Lorentz
Las cargas y corrientes crean campos eléctricos y magnéticos (ecuaciones de Maxwell)
Los campos eléctrico y magnético también ejercen fuerzas sobre cargas y corrientes:
Fuerza de Lorentz: para una carga puntual q que se mueve con velocidad
Aquí se pueden ver bien las unidades de los campos:
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Distribuciones volumétricas Distribución volumétrica de cargas y corrientes:
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Distribuciones superficiales y lineales
Para una superficie: análisis análogo
Para un hilo:Usando:
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Hilo de corriente
Los alambres conductoresmetálicos de los circuitos eléctricos transportan corrientesin carga neta (λ=0)
Si están inmersos en un campo magnético:
Para un hilo recto de longitud l en un campo uniforme:
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo28
Planteamiento del problema
Las ecuaciones de Maxwell permiten conocer los campos a partir de las fuentes
La fuerza de Lorentz nos dice cómo actúan los campos sobre las cargas y corrientes
Entonces las partículas cargadas resultan ser productoras de los campos y receptoras de su acción: es un problema acoplado Ejemplo: conductor en equilibrio electrostático Ejemplo: corriente eléctrica en una antena
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Planteamiento del problema
¿Cómo abordaremos la solución de este problema en este curso?
Primero supondremos fuentes conocidas a priori (problema idealizado) Temas 3 y 4 de nuestro curso
Luego estudiaremos los campos en presencia de medios materiales Será preciso añadir leyes empíricas a los
postulados para modelar la respuesta de la materia
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La carga eléctrica Corriente eléctrica
Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía
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Forma integral de las ecuaciones de Maxwell
Ley de Gauss Forma diferencial Si integramos en un volumen:
Sera útil para el cálculo del campo eléctrico en situaciones de alta simetría
q(τ) es la carga neta dentro del volumen τ
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo32
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell
Ley de inexistencia de monopolos Forma diferencial Si integramos en un volumen:
El campo magnético es solenoidal No existen fuentes escalares del campo magnético
(cargas magnéticas)
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Forma integral de las ecuaciones de Maxwell
Ley de Faraday Forma diferencial Si integramos en una superficie:
Flujo magnético:
Las variaciones de flujo magnético producen líneas de campo eléctrico
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Forma integral de las ecuaciones de Maxwell
Ley de Ampere-Maxwell
Forma diferencial
Si integramos en una superficie:
Se usa en magnetostática para calcular campos magnéticos en situaciones de alta simetría
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La carga eléctrica Corriente eléctrica
Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía
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Discontinuidades de los campos La existencia de densidades superficiales de carga y de corriente implica la
existencia de regiones donde las densidades volumétricas de carga y corriente son infinitas
Las densidades volumétricas de carga y corriente aparecen en las ecuaciones de Maxwell como derivadas de los campos
Esto implica que las derivadas de los campos son infinitas
Pero una función discontinua tiene derivada infinita...
Los campos eléctrico y magnético pueden ser dicontinuos en las regiones donde existen densidades superficiales de
carga y corriente respectivamente
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Discontinuidad del campo eléctrico
Suponemos S con densidadsuperficial de carga:
Aplicamos Ley de Gauss en forma integral en un volumen tipo ”caja de pastillas”
:vector unitario normal a la superficie
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Discontinuidad del campo eléctrico
Ley de Gauss:
La superficie con ρS introduce una
discontinuidad en la componentenormal del campo eléctrico
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Discontinuidad del campo eléctrico
Para la superficie S con densidadsuperficial de carga:¿Qué puede decirse de lacomponente tangencial delcampo eléctrico?
Aplicamos Ley de Faraday en forma integral en un camino rectangular γ:
Sentido de determinadopor sentido de circulación de γ
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo40
Discontinuidad del campo eléctrico
: vector unitario con la dirección y sentido de
La componente tangencial del campoeléctrico es continua al atravesar ladistribución superficial de carga ρ
S
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo41
Discontinuidad del campo magnético
La densidad de corriente es fuente vectorial del campo magnético
Suponemos S con un densidad superficial de corriente:
Ley de ausencia de monopolos Ley de Ampere-Maxwell
Continuidad de la componente normal del campo magnético
Discontinuidad de la componente tangencial del campo magnético
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo42
Discontinuidades de los campos La componente normal del campo eléctrico experimenta una
discontinuidad al atravesar una superficie con cierta densidad superficial de carga
La discontinuidad es proporcional a ρS
La componente tangencial del campo magnético experimenta una discontinuidad al atravesar una superficie con cierta densidad superficial de corriente
La discontinuidad es proporcional a js
La componente tangencial del campo eléctrico y la componente normal del campo magnético son continuas al atravesar cualquier superficie
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo43
Ejemplo
Obtenga las fuentes del campo (esféricas):
Que cumple:
En no es continua en r=R:
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo44
Ejemplo
Obtenga las fuentes del campo (en cilíndricas):
Que cumple:
Hay una discontinuidad de Bt en r=R:
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo45
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La carga eléctrica Corriente eléctrica
Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo46
Intercambio de energía entre campos y fuentes
Trabajo de las fuerzas electromagnéticas:
Potencia que los camposentregan a las fuentespor unidad de volumen
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo47
Principio de conservación de la energía
Los campos pueden intercambiar energía con las fuentes
Si aceptamos un principio de conservación de la energía, la energía asociada a los campos electromagnéticos en una región puede: Trasvasarse a ó desde las fuentes: Quedar almacenada en los campos
Campo eléctrico Campo magnético
Ser transportada por los campos
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo48
Energía almacenada
En una región donde existe un campo eléctrico la energía almacenada por unidad de volumen (densidad de energía) es:
Y la energía total almacenada es: En una región donde existe un campo magnético la
energía almacenada por unidad de volumen (densidad de energía) es:
Y la energía total almacenada es:
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo49
Energía transportada
Vector de Poynting: Representa la potencia que atraviesa la unidad de
área transversal al propio vector de Poynting La potencia total que atraviesa una superficie
dada es el flujo del vector de Poynting:
Existe una clara analogía con la fórmula:
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo50
Teorema de Poynting
Es la expresión matemática del principio de conservación de la energía
La potencia que las fuentes cedenal campo electromagnético dentrode un volumen τ puede emplearse
en aumentar la energía almacenada por los campos en dicha región y
también puede escapar por la frontera
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo51
Teorema de Poynting
Otra forma de ver lo mismo:
La disminución en la energía electromagnética almacenada en una
región τ puede emplearseen trabajo realizado por los campos
sobre las cargas y energía que escapa por su frontera
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo52
Forma local del teorema de Poynting
Usando el teorema de la divergencia:
Obtenemos:
Igualando los integrandos se puede escribir el teorema de Poynting en forma diferencial o local
Establece un balance local de energía en cada instante
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo53
Resumen del tema 2 Puede hablarse de conceptos como densidad de carga y
densidad de corriente bajo hipótesis de medio continuo
Cargas y corrientes son fuentes de los campos electromagnéticos
Las ecuaciones de Maxwell nos proporcionan el valor de los campos para fuentes conocidas
La linealidad de las ecuaciones de Maxwell permite enunciar un Principio de superposición
Las ecuaciones de Maxwell conllevan el cumplimiento del Principio de conservación de la carga
Cargas y corrientes sufren los efectos (fuerzas) de los campos electromagnéticos
La fuerza de Lorentz nos indica la fuerza ejercida por los campos sobre cargas y corrientes
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Tema 2: Postulados del Electromagnetismo54
Resumen del tema 2
El problema electromagnético completo es un problema acoplado que hay que resolver paso a paso
Una superficie en la que existe una densidad de carga superficial introduce una discontinuidad en la componente normal a dicha superficie del campo eléctrico
Una superficie en la que existe una densidad de corriente superficial introduce una discontinuidad en la componente tangencial a dicha superficie del campo magnético
Los campos electromagnéticos son entes físicos capaces de almacenar, transportar e intercambiar energía
El principio de conservación de la energía viene expresado matemáticamente mediante el teorema de Poynting