Univerzitet u Ni²u
Prirodno - matemati£ki fakultet
Departman za fiziku
Izra£unavanje parametara inacije umodelima sa tahionskim poljem
Master rad
Student:
Marko D. Stojanovi¢
Mentor:
Prof. dr Goran D- orevi¢br. indeksa 15
Ni², oktobar 2015.
Sadrºaj
1 Uvod 3
2 Standardni kosmolo²ki model (SKM) 42.1 Pokretni koordinatni sistem i metrika u SKM-u . . . . . . . . . . . . 42.2 Ajn²tajnove jedna£ine za idealan uid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Opservabilni parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Fridmanovi modeli Svemira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.1 Model Svemira u kome dominira radijacija . . . . . . . . . . . 82.4.2 Model Svemira u kome dominira materija . . . . . . . . . . . 8
2.5 Problemi u teoriji Velikog praska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5.1 Problem ravnog Svemira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5.2 Problem horizonta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Kosmolo²ka inacija 123.1 Inatorna ekspanzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Inacija voena skalarnim poljem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.1 Aproksimacija sporog kotrljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Modeli sa malim i velikim vrednostima polja . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Period nakon inacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Re²enje problema ravnog Svemira i problema horizonta u okviru inacije 17
4 Tahioni 184.1 Tahioni u teoriji polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Tahioni u teoriji struna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Tahionski potencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Inatorni modeli sa tahionskim poljem 245.1 Neperturbovana tahionska evolucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Parametri sporog kotrljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Parametri inacije za modele sa razli£itim tahionskim potencijalima . 285.4 Dinamika modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Zaklju£ak 34
Literatura 34
2
Glava 1
Uvod
Inacija je jedna od aktuelnih tema savremene kosmologije. Kao nova ideja ukosmologiji prvi put se pojavljuje 1981. godine sa ciljem da re²i probleme u teorijiVelikog praska. Inacija ne predstavlja zamenu za ina£e veoma uspe²nu teorijuVelikog praska ve¢ je dodatna ideja koja bi trebalo da bude primenjena tokom vrloranog perioda ekspanzije Svemira.
U ovom radu ¢e biti obraena tema inacije sa posebnim akcentom na ina-torni model sa tahionskim poljem. Najpre ¢emo se osvrnuti na osnovne elementeStandardnog kosmolo²kog modela (elemente Op²te teorije relativnosti, Ajn²tajnovejedna£ine i Fridmanove modele). Zatim ¢emo se pozabaviti motivacijom koja jedovela do ideje o inaciji, i objasniti ²ta se pod konceptom inacije podrazumeva.
U tre¢oj glavi bi¢e opisan model inacije sa skalarnim poljem i uvedena apro-ksimacija sporog kotrljanja.
etvrta glava se odnosi na tahione. Nakon razmatranja vezanih za tahione uteoriji polja, bi¢e re£i o tahionima u teoriji struna i njihovoj ulozi u inatornimmodelima.
Na kraju ¢e detaljno biti analizirani inatorni modeli sa tahionskim poljem zarazli£ite oblike potencijala.
Rad se zavr²ava zaklju£kom i spiskom kori²¢ene literature.
3
Glava 2
Standardni kosmolo²ki model (SKM)
2.1 Pokretni koordinatni sistem i metrika u SKM-u
Na osnovu posmatra£kih podataka uo£eno je da se Svemir na velikim skalamaubrzano ²iri, tj. da se rastojanje izmeu objekata uve¢ava sa vremenom. To zna£ida izmeu zi£kog rastojanja x i rastojanja u pokretnom koordinatnom sistemu1 r(comoving koordinate) postoji veza oblika [1]
x = a(t)r, (2.1)
gde je a(t) veli£ina koja se naziva faktor skale (scale factor).
Slika 2.1: Izgled comoving koordinatnog sistema u razli£itim trenucima ekspanzije. Rastojanjeizmeu objekata se menja, ali njihov poloºaj u koordinatnom sistemu ostaje isti.
Zbog toga ²to se comoving koordinata ne menja moºemo diferencirati navedeni izrazpo vremenu2. Dobija se
x =a
ar. (2.2)
Odavde se moºe izvesti zaklju£ak da je brzina kojom se objekat pribliºava (udaljava)proporcionalna rastojanju na kome se on nalazi od posmatra£a. Ova relacija jeeksperimentalno ustanovljena od strane Edvina Habla3 1929. godine, pa se u njegovu
1Pokretni ili comoving koordinatni sistem.2Ta£ka iznad veli£ine ozna£ava izvod po vremenu.3Edwin Hubble.
4
Standardni kosmolo²ki model (SKM) 5
£ast naziva Hablov zakon. Pogodno je denisati Hablov prametar kao
H ≡ a
a. (2.3)
Moderna kosmologija zasnovana je na Ajn²tajnovoj4 Op²toj teoriji relativnosti(OTR) i bazira se na ideji da je Svemir na velikim skalama homogen i izotropan.Zbog pomenutih osobina u kosmologiji se naj£e²¢e koristi FRLW5 metrika [1]
ds2 = −dt2 + a2(t)( dr2
1− kr2+ r2(dθ2 + sin2θdϕ)
), (2.4)
gde su r, θ, φ koordinate prostornog tipa, t vremenska koordinata a vrednosti pa-rametra k = 0,±1 odgovaraju meri krivine prostora. Ravnom prostoru odgovarak = 0 dok k = ±1 opisuje prostor sa neeuklidovom geometrijom. Prostor Min-kovskog6 je 4-dimenzioni prostor sa jednom vremenskom i tri prostorne dimenzije.Uvode¢i 4-vektore (nulta komponenta vektora je vremenska koordinata a preostaletri su prostorne) metriku u prostoru Minkovskog moºemo zapisati preko kovarijant-nog7 metri£kog tenzora ηµν
ds2 =3∑
µ,ν=0
ηµνdxµdxν ≡ ηµνdx
µdxν . (2.5)
U ovoj notaciji vr²i se sumiranje po ponovljenom indeksu (µ = 0, 1, 2, 3) a signaturusmo izabrali u obliku8
ηµν = diag(−,+,+,+). (2.6)
2.2 Ajn²tajnove jedna£ine za idealan uid
Dinamika u OTR se opisuje Ajn²tajnovim jedna£inama, koje krivinu prostorapovezuju sa njenim izvorom - masom i energijom materije. Ove jedna£ine se moguzapisati u obliku [2]
Rµν −1
2Rgµν =
1
M2Pl
Tµν , (2.7)
gde su: Rµν Rimanov tenzor, R Ri£ijev skalar a Tµν tenzor energije-impulsa. Ko-nstanta MPl = (8πG)−1/2 uvedena je zbog konciznijeg zapisa. Tenzor energije-impulsa opisuje raspodelu materije u svakoj ta£ki prostor-vremena. Homogeno ra-sporeena materija u prostoru moºe se smatrati idealnim uidom. To je uid kojise u potpunosti moºe opisati zadavanje njegovog pritiska P i ρ gustine. Pokazuje se
4Albert Einstein.5FRLW-Friedmann, Robertson, Lamaitre, Walker.6Hermann Minkowski.7Podsetimo da sa kovarijantnog na kontravarijantni zapis (i obrnuto) vr²i podizanjem i spu²ta-
njem indeksa metri£kim tenzorom na osnovu relacije gµνxµ = xν .8Signatura se moºe uzeti i u obliku ηµν = diag(+,−,−,−), izbor je proizvoljan.
Standardni kosmolo²ki model (SKM) 6
da za idealan uid tenzor energije-impulsa ima oblik [2]
Tµν = diag(ρ, P, P, P ). (2.8)
Ovaj tenzor se moºe zapisati i u obliku
Tµν = (ρ+ P )uµuν − Pηµν , (2.9)
gde je uµ 4-vektora brzine uµ, denisan preko skalarnog polja φ kojim se opisujematerija9
uµ =∂µφ
(−∂µφ∂νφ)1/2. (2.10)
Zakon odrºanja energije-impulsa reprezentovan je relacijom
∂µTµν = 0. (2.11)
U 4-dimenzionom prostor-vremenu ηµν ima 10 nezavisnih komponenti tako da uOTR imamo 10 nezavisnih jedna£ina polja. U slu£aju metrike oblika (2.4) sistem£ine tri jedna£ine [2]
H2 =ρ
3M2Pl
− k
a2, , (2.12)
a
a= − 1
6M2Pl
(ρ+ 3P ), (2.13)
ρ+ 3H(ρ+ P ) = 0. (2.14)
Prve dve jedna£ine, Fridmanova jedna£ina i jedna£ina za ubrzanje, su meusobnonezavisne. Tre¢a jedna£ina, jedna£ina kontinuiteta, moºe se dobiti diferenciranjemjedna£ine (2.12) po vremenu uz kori²¢enje ρ iz jedna£ine (2.14). Odnos izmeupritiska i gustine uspostavlja se jedna£inom stanja
P = f(ρ) = ωρ. (2.15)
Veli£ina ω naziva se parametar stanja. Naglasimo da jedna£ine (2.12),(2.13) i (2.15)£ine potpuno zatvoren sistem. Jedna£inama (2.12)-(2.15) se mogu modelovati jed-nostavni kosmolo²ki modeli.
2.3 Opservabilni parametri
Pod terminom materija, u kosmolo²kom kontekstu, podrazumeva se nerelativi-sti£ka materija kojoj se moºe pripisati nulta vrednost pritiska [3]. Za razliku odnerelativisti£ke materije £estice koje se kre¢u relativisti£kim brzinama na osnovuteorije zra£enja ispoljavaju radijacioni pritisak P = ρ/3. U zavisnosti od odnosa ovedve komponente parametar stanja moºe imati vrednost
0 ≤ ω ≤ 1
3. (2.16)
9Za parcijalni izvod ∂/∂xµ uvedena je koncizna oznaka ∂µ.
Standardni kosmolo²ki model (SKM) 7
Iz Fridmanove jedna£ine je lako uo£iti da vrednost gustine odreuje zakrivljenostprostora. Uvedimo veli£inu koja se zove kriti£na gustina. Kriti£na gustina, u oznaciρc, predstavlja gustinu materije u Svemiru sa ravnom geometrijom (k = 0). Naosnovu re£enog proizilazi
ρc(t) = 3H2M2Pl. (2.17)
Naglasimo da se kriti£na gustina menja sa vremenom jer se menja i Hablov para-metar. Trenutna10 vrednost Hablovog parametra je H0 = 100hkms−1Mpc−1 (h =0.72± 0.08) ²to zna£i da kriti£na gustina ima vrednost ρc,0 = 1.88h2× 10−26kgm−1.Uvedimo parametar gustine Ω kao odnos gustine neke komponente materije u sve-miru (nerelativisti£ke materije, radijacije, bariona) i kriti£ne gustine
Ω ≡ ρ
ρc. (2.18)
Fridmanova jedna£ina zapisana preko parametra gustine dobija oblik
Ωtotal − 1 =k
a2H2. (2.19)
U zavisnosti od vrednosti parametra krivine parametar stanja moºe imati razli£itevredosti
k = −1 Ω < 1, (2.20)k = 0 Ω = 1, (2.21)k = +1 Ω > 1. (2.22)
Na osnovu vrednosti Hablovog parametra mogu se doneti zaklju£ci vezani zapromenu faktora skale. Ukoliko je H > 0 Svemir se ²iri i obrnuto. Uvodi se jo²jedan parametar kojim se opisuje promena faktora skale, parametar ubrzanja q0.Ako faktor skale a = a(t) razvijemo u red u okolini ta£ke t0 dobijamo
a ≈ a(t0) +da
dt
∣∣∣∣t=t0
(t− t0) +d2a
dt2
∣∣∣∣t=t0
(t− t0)2. (2.23)
Navedena jednakost moºe se zapisati i kao11
a(t)
a(t0)≈ 1 +H0(t− t0)− 1
2q0H
20 (t− t0)2, (2.24)
gde je
q0 ≡ −(
a
aH2
)t=t0
= − a0
a0H20
. (2.25)
10Trenutne vrenosti ozna£ava¢emo indeksom nula.11Izostavljeni £lanovi u razvoju nemaju zi£kog smisla.
Standardni kosmolo²ki model (SKM) 8
2.4 Fridmanovi modeli Svemira
U ovom odeljku nave²¢emo neke od jednostavnijih modela koji se mogu dobitina osnovu jedna£ina (2.12)-(2.15).
2.4.1 Model Svemira u kome dominira radijacija
Neka je Svemir ravan (k = 0,Ω = 1) i u njemu dominantna komponenta materija.Ako se jedna£ina kontinuiteta (2.14) zapi²e u obliku u kome guri²e parametar stanja[2]
ρa3(1+ω) = ρ0a3(1+ω)0 , (2.26)
za navedeni slu£aj vaºiρa4 = ρ0a
40. (2.27)
Kako bi na²li jedna£inu koja opisuje kako se menja faktor skale sa vremenom uvr-stimo dobijeni izaz za ρ u Fridmanovu jedna£inu. Dobija se
a2 = α2 1
a2, (2.28)
gde je α2 =ρ0a403M2
Pl. Re²enje ove jedna£ine ima oblik
a(t) = (2α)1/2 t1/2, (2.29)
i na osnovu njega vidi se da se Hablov parametar menja po zakonu
H =a
a=
2
3t. (2.30)
Zaklju£ak je da se Svemir sa radijacijom kao dominantnom komponentom besko-na£no ²iri.
2.4.2 Model Svemira u kome dominira materija
Za modele svemira u kojima je dominantna komponenta materija jedna£ina(2.13), za trenutak vremena t0, ima oblik
a0
a0
= − ρ0
6M2Pl
. (2.31)
Na osnovu ove jedna£ine, koriste¢i izraz za kriti£nu gustinu, moºe se pokazati da usvim modelima kod kojih je P = 0
Ω0 = 2q0. (2.32)
Jedna£ina (2.26) u ovom slu£aju postaje
ρa3 = ρ0a30. (2.33)
Standardni kosmolo²ki model (SKM) 9
Dobijena jednakost omogu¢ava da se Fridmanova jedna£ina zapi²e kao
a2 =β2
a− k, (2.34)
gde je β =ρ0a303M2
Pl. Re²enja ove jedna£ine zavisi¢e od geometrije Svemira. Navedimo
ovde oblike re²enja, bez upu²tanja u detalje izvoenja koji se mogu na¢i u referenci[4].
• Ravan Svemir (k = 0)
Faktor skale se menja sa vremenom
a ∝ t2/3. (2.35)
• Svemir sa pozitivnom krivinom (k = 1)
Za vremenski period t α2, fakotor skale se menja po zakonu
a ∝ t2/3. (2.36)
Nakon perioda u kome faktor skale raste nastupa period u kome faktor skaleopada sa vremenom. Model se naziva i zatvoreni Svemir iz o£iglednog razloga.
• Svemir sa negativnom krivinom (k = −1)
Ako je ispunjen uslov t β2 faktor skale se uve¢ava po zakonu
a ∝ t2/3. (2.37)
U slu£aju da je t β2
a ∝ t. (2.38)
Re²enje je rastu¢a funkcija sa vremenom, tj. Svemir se uvek ²iri pa se zbog toganaziva i otvoreni Svemir. Na slede¢oj slici prikazana je zavisnost faktora skala odvremena za sva tri modela.
Slika 2.2: Parametar skale u funkciji od vremena za tri Fridmanova modela.
Standardni kosmolo²ki model (SKM) 10
2.5 Problemi u teoriji Velikog praska
Iz navedenih kosmolo²kih modela vidimo da u po£etnom trenutku faktor skaleima nultu vrednost. Na osnovu jedna£ine za ubrzanje moºe se izvesti zaklju£ak da utom trenutku vrednosti pritiska i gustine teºe beskona£nosti. Ova £injenica podsta-kla je razvoj ideje o teoriji Velikog praska po kojoj je Svemir nastao ekplozijom nara£un energije vakuuma. U prilog ispravnosti ove teorije ide detekcija mikrotalasnogpozadinskog zra£enja (CMB),
Iako je teorija Velikog praska dala odgovore na mnoga pitanja vezana za nastanaki evoluciju Svemira postoje problemi koji se ne mogu re²iti u okviru ove teorije. Ovde¢emo navesti neke od njih, a ne²to kasnije predstaviti na£in na koji se mogu re²iti.
2.5.1 Problem ravnog Svemira
Analizom Fridmanove jedna£ine zapisane u obliku u kome guri²e parametargustine
Ωtotal − 1 =k
a2H2, (2.39)
gde Ωtotal ozna£ava zbir parametara gustine za svaku komponentu pojedina£no, moºese do¢i do zaklju£ka da se parametar gustine ne menja sa vremenom samo u slu£ajuako je njegova vrednost jednaka jedinici. Predpostavimo da je Ωtotal 6= 1 neposrednopo nastanku Svemira. Faktor u imeniocu na desnoj strani jedna£ine menja se u vre-menu i to u zavisnosti koja komponenta materije dominira u svemiru, nerelativisti£kamaterija (P = 0) ili radijacija (p = ρ/3). Kada je dominantnija nerelativisti£ka ma-terija a2H2 ∝ t−2/3 dok je u drugom slu£aju a2H2 ∝ t−1. Na osnovu navedenogmoºemo zaklju£iti da u oba slu£aja Ωtotal−1 raste sa vremenom. Kako se na osnovuposmatra£kih podataka zna da je Svemir veoma blizu ravnog u trenutku njegovognastanka parametar gustine morao bi biti vrlo blizu jedninice. U protivnom i maloodstupanje od ovog uslova veoma brzo bi dovelo do Svemira sa velikom krivinomprostora. Navedeni rezultat nije prihvatljiv iz razloga ²to ne postoji zi£ki razlogkoji odreuje tako uzak domen za po£etnu vrednost parametra gustine. Potrebnanam je teorija koja za po£etne uslove pruºa ²iri spektar vrednosti.
2.5.2 Problem horizonta
Problem horizonta je veoma vaºan u teoriji Velikog praska. Iz £injenice da sesvetlost kre¢e kona£nom brzinom i da Svemir ima kona£nu starost moºemo zaklju£itida je od nastanka Svemira svetlost pro²la kona£no rastojanje. Rastojanje kojuje svetlost pre²la od nastanka Svemira odreuje oblast koja se naziva opservabilniSvemir. Ova oblast je kona£na i ne zavisi od toga da li je Svemir kona£an. Procenimopolupre£nik opservabilnog Svemira na osnovu Hablove relacije
RH0 =c
H0
= 4200± 200Mpc ' 1.3 · 1026m. (2.40)
Spektar CMB-a koji se danas opservira je identi£an spektru apsolutnog crnogtela koje zra£i na temperaturi od 2.72±0.001K. Kako je poznato da se ovaj spektar
Standardni kosmolo²ki model (SKM) 11
mora formirati kada se sredina nalazi u stanju termodinami£ke ravnoteºe moºemozaklju£iti da su sve regije bile u meusobnoj interakciji. Meutim, ovaj zaklju£akse ne moºe primeniti na regije koje se nalaze na granici opservabilnog Svemira izrazloga ²to nije proteklo dovoljno vremena da ove dve oblasti interaguju. Dodatniproblem predstavlja £injenica da u CMB zra£enje nije potpuno izotropno. TeorijaVelikog praska ne daje obja²njenje zbog £ega se javljaju ova odstupanja i za²to sutako mala.
Glava 3
Kosmolo²ka inacija
3.1 Inatorna ekspanzija
Uloga inacije je da obezbedi mehanizam koji ¢e za kratko vreme pro²iriti Sve-mir do velikih skala. To ¢e re²iti problem horizonta i ravnog Svemira, ali i ostaleprobleme koji se sre¢u u teoriji Velikog praska.
Da bi se re²io problem ravnog Svemira potrebno je da £lan aH u jedna£ini (2.19)raste sa vremenom [3]
d
dt(aH) = a > 0. (3.1)
Odavde vidimo da se inacija moºe denisati kao period evolucije Svemira u komese faktor skale uve¢avao ubrzano
INFLACIJA⇐⇒ a(t) > 0. (3.2)
Ovo odgovara veoma brzoj ekspanziji Svemira. Na osnovu jedna£ine za ubrzanje
a
a= − 1
6M2Pl
(ρ+ 3P ), (3.3)
imaju¢i u vidu da je gustina veli£ina koja je uvek pozitivna, moºemo zaklju£iti daje za period inacije potrebno prisustvo materije koja poseduje negativan pritisak
P < −ρ3. (3.4)
Navedimo inatorni model koji prisustvo materije sa negativnim pritiskom opi-suje kosmolo²kom konstantom1 Λ. Fridmanova jedna£ina, za model sa kosmolo²komkonstantom, ima oblik
ρ
3MPl
− k
a2+
Λ
3. (3.5)
Kako doprinos prva dva £lana tokom evolucije Svemira postaje zanemarljiv (jer uslu£aju kada Svemirom dominira nerelativisti£ka materija ili radijacija doprinos prvadva £lana opada sa vremenom) u odnosu na tre¢i £lan koji ima konstantnu vrednost,
1Kosmolo²ku konstantu uveo je Ajn²tajn da bi dobio stati£an Svemir. Ona je povezana sagustinom energije vakuuma (praznog prostora).
12
Kosmolo²ka inacija 13
jedna£inu moºemo prepisati u obliku(a
a
)2
= H2 =Λ
3, (3.6)
odakle sledi da je vrednost Hablovog parametra tokom inacije konstantna. Re²enjejedna£ine (3.6) ima oblik
a(t) = exp
√Λ
3t = exp(Ht). (3.7)
Moºemo izvesti zaklju£ak da ukoliko je Hablov parametar konstantan tokom inacijefaktor skale se menja po eksponencijalnom zakonu. Odredimo koliko se nakon ina-cije uve¢ao faktor skale. Neka je inatorno ²irenje Svemira zapo£elo u vremenskomtrenutnu ti i trajalo do trenutka tf . Za to vreme faktor skale se uve¢ao za faktor
a(tf )
a(ti)= eN , (3.8)
gde je N broj e-foldova (e-foldings)
N(t) ≡∫ tf
ti
H(t)dt. (3.9)
U ovakvom modelu inacija traje beskona£no dugo jer kosmolo²ka konstanta imakonstantnu vrednost. Za realisti£niji model potrebno je uvesti kriterijume za zavr-²etak inacije.
3.2 Inacija voena skalarnim poljem
Pokazano je da se inatorni model moºe dobiti iz Fridmanovog modela Svemirauvoenjem dodatnog £lana u Fridmanovu jedna£inu. U tom slu£aju prosec inacijenije bio rezultat teorije. U teoriji polja inacija se moºe dobiti [2]:
• Modikacijom Ajn²tajn-Hilbertovog dejsta za gravitaciju (f(R) teorije);
• Uvoenjem skalarnog polja koje obezbeuje proces inacije, odnosno uvoe-njem dodatnog £lana u dejstvo.
Na osnovu oblika izraza za dejstvo izdvaja se nekoliko inatornih modela. Unastavku ¢e biti vi²e re£i o inaciji sa skalarnim poljem.
Izloºimo osnovne ideje kod inacije koja je voena skalarnim poljem φ sa poten-cijalom V (φ). Lagranºijan skalarnog polja ima oblik
Lφ =1
2∂µφ∂
νφ− V (φ). (3.10)
Kod ovog tipa inacije polje je minimalno kuplovano sa gravitacijom, tako dejstvo
Kosmolo²ka inacija 14
ima oblik
S =
∫d4x√−g[M2
Pl
2R +
1
2∂µφ∂
νφ− V (φ)
]. (3.11)
Polje odgovorno za inaciju naziva se inaton. Za dati lagranºijan tenzor energije-impulsa ima oblik2
Tµν =1
2∂µφ∂νφ− ηµνLφ, (3.12)
odakle se, na osnovu (2.8), mogu odrediti pritisak i gustina u funkciji polja. Ukolikose koristi FRLW metrika, uz uslov da je polje homogeno φ(t, ~x) = φ(t), dobijamo
ρ =1
2φ2 + V (φ), (3.13)
P =1
2φ2 − V (φ). (3.14)
3.2.1 Aproksimacija sporog kotrljanja
Fridmanova jedna£ina i jedna£ina kontinuiteta se u ovom slu£aju mogu zapisatikao
H2 =1
3M2Pl
(1
2φ2 + V (φ)), (3.15)
φ+ 3Hφ+ V ′ = 0. (3.16)
Potreban uslov za inaciju (3.4), koji obezbeuje ubrazno ²irenje, dobija oblik
φ2 < V (φ). (3.17)
Sistem jedna£ina (3.15) i (3.16), u zavisnosti od oblika potencijala, naj¢e²¢e nemaanaliti£ko re²enje. Dati sistem moºemo pojednostaviti uvoenjem aproksimacije dase proces inacije odvija na ra£un potencijalne energije a da se kineti£ki £lan moºezanemariti
φ2 V (φ). (3.18)
Koriste¢i pomenutu aproksimaciju Fridmanova jedna£ina se svodi na oblik
H2 =1
3M2Pl
V (φ). (3.19)
Kako je evolucija polja odreena diferencijalnom jedna£inom drugog reda uslovφ2 V (φ) ne¢e biti dovoljan da obezbedi uvek proces inacije (posebno u slu£ajukada je re²enje oscilatorno). Zbog toga se uvodi i dodatni uslov koji se izvodi izpomenutog diferenciranjem po vremenu
|φ| |V ′|. (3.20)
Jedna£inu za ubrzanje sada moºemo zapisati kao
3Hφ = −V ′, (3.21)
2Jednakost se moºe pokazati na osnovu izraza Tµν = ∂L∂(∂µφ)∂νφ− ηµνL.
Kosmolo²ka inacija 15
gde je V ′ ≡ ∂V/∂φ. Odavde vidimo da je brzina inacije proporcionalna izvodupotencijala i da je inacija mogu¢a u slu£aju kada u jedna£ini kontinuiteta dominirafrikcioni £lan
|φ| |3Hφ|. (3.22)
Da bi frikcioni £lan bio dominantan mora da vaºi V ′ V , ²to zna£i da je potencijalna po£etku inacije skoro ravan.
Slika 3.1: Izgled potencijala u slu£aju sporokotrljaju¢e inacije.
Na osnovu izgleda potencijala ova aproksimacija se naziva aproksimacija sporogkotrljanja (slow-roll). Kako se potencijal malo menja tokom inacije, iz jedna£ine(3.19) se vidi da Hablov parametar ima konstantu vrednost. To nam daje za pravoda broj e-foldova ra£unamo po relaciji (3.9).
Pogodnije je da se umesto navedenih uslova koriste parametri koji odreuju reºimsporog kotrljanja [2]
ε ≡ M2Pl
2
(V ′
V
)2
, η ≡M2Pl
V ′′
V. (3.23)
Inacija traje sve dok su zadovoljene nejednakosti
ε 1, |η| 1. (3.24)
Parametar ε se moºe izvesti iz Fridmanove jedna£ine i uslova da je kineti£ka energijamnogo manja od potencijalne. Parametar η se odnosi na uslov (3.20).
3.3 Modeli sa malim i velikim vrednostima polja
Dinamika inatornog polja odreena je oblikom potencijala. Neka je ∆φ razlikavrednosti polja u trenutku kreiranja CMB uktuacija φCMB i polja na kraju inacijeφend. U modelima sa malim vrednostima polja ∆φ < MPl, polje evoluira iz nestabil-nog stanja u stanje sa minimalnom potencijalnom energijom (Slika 3.1). Ispravnostovog modela je potkrepljena £injenicom da oni predviaju postojanje gravitacionihtalasa £ija je amplituda mala pa se, iz tog razloga, ne mogu detektovati. Generalno,
Kosmolo²ka inacija 16
potencijal za modele sa malim poljem ima oblik
V (φ) = V0
[1−
(φ
µ
)p]+ . . . , (3.25)
gde ta£ke reprezentuju £lanove vi²eg reda. Jednostavan primer je model sa Higsovim3
potencijalom
V (φ) = V0
[1−
(φ
µ
)2]2
. (3.26)
Istorijski najpoznatiji inatorni potencijal je [2]
V (φ) = V0
[(φ
µ
)4(ln
(φ
µ
)− 1
4
)+
1
4
]2
. (3.27)
Kod tzv. modela sa velikim vrednostima polja na po£etku inacije polje ima velikuvrednost. Tokom inacije polje evoluira ka svom minimumu koji se nalazi u nuli,pri £emu je ∆φ > MPl. Prototip, modela je haoti£na inacija gde u potencijaludominira £lan
V (φ) = λpφp. (3.28)
Slika 3.2: Infacija sa velikim poljem.
3.4 Period nakon inacije
Prema inatornom scenariju, period inacije zapo£inje (sporim) kotrljanjem in-atona ka minimumu potencijalne energije. Svemir se ²iri i hladi. Kada kineti£kaenergija polja postane uporediva sa potencijalnom energijom inacija se zavr²ava. Utom slu£aju nije mogu¢e primeniti aproksimaciju sporog kotrljanja, pa se jedna£ina
3Peter Higgs.
Kosmolo²ka inacija 17
kojom se opisuje dinamika polja mora uzeti u obliku
φ+ 3Hφ+ V ′ = 0. (3.29)
Neka se u blizini minimuma vrednost polja moºe aproksimirati izrazom V = 1/2m2φ2.Nakon inacije vrednost polja osciluje oko minimuma potencijala. U ovom procesunastaje sva materija. Zbog frikcionog £lana u jedna£ini kretanja amplituda oscila-cija vremenom opada i skalarno polje i²£ezava a njegova energija se tro²i na pove¢anjetemperature. Ova etapa ozna£ava se kao period ponovnog zagrevanja (reheating).
3.5 Re²enje problema ravnog Svemira i problema
horizonta u okviru inacije
Pokaºimo sada kako se u okviru teorije inacije moºe re²iti problem ravnog Sve-mira i problem horizonta. Kao ²to smo rekli do problema ravnog Svemira dovodi£lan aH koji se javlja u imeniocu na desnoj strani jedna£ine (2.39). U inatornojepohi aH raste sa vremenom
d
dt(aH) > 0, (3.30)
pa se Ωtotal pribliºava jedinici. U slu£aju Fridmanovog modela sa kosmolo²komkonstantom gde se faktor skale uve¢ava prema izrazu (3.7)
|Ωtotal − 1| ∝ exp
(−√
4Λ
3t
). (3.31)
Cilj je da nakon inacije parametar gustine ima vrednost koja je vrlo blizu jedinice.To ¢e omogu¢iti da tokom evolucije Svemir zadrºi ravnu geometriju ²to je u skladusa opservacijama.
Proces inacije znatno uve¢ava veli£inu Svemira. To zna£i da se neka malaoblast Svemira, koja je bila u stanju termodinami£ke ravnoteºe, moºe uve¢ati dodimenzija koje su ve¢e od dimenzije opservabilnog Svemira. Iz razloga ²to je preinacije postojala termodinami£ka ravnoteºa CMB zra£enje je sa velikim stepenomhomogenosti i izotropnosti. Da bi se re²io problem ravnog Svemira i horizontapotrebno je da broj e-foldova na kraju inacije ima vrenost N ≈ 60 [1].
Glava 4
Tahioni
Re£ tahion poti£e od gr£ke re£i "ταχισ” ²to u prevodu zna£i brz, lagan, hitar.Ideja o tahionima, £estici koja se kre¢e sa brzinom ve¢om od brzine svetlosti, prviput se pominje u radu Arnolda Zomerfelda1 1904. godine. Postojanje ovakve £esticenije u suprotnosti sa Specijalnom teorijom relativnosti (STR). U STR postoji samoograni£enje da £estice koje se kre¢u brzinom manjom od brzine svetlosti u vakuumune mogu ubrzati do brzine ve¢e od nje. Isto tako, tahioni se ne mogu usporitido brzine koja je manja od brzine svetlosti. Zbog toga se postavlja pitanje kakodetektovati ove £estice ukoliko postoje. Jedan od na£ina je indirektno, odnosnopreko efekta koji je uzrokovan ve¢om brzinom £estice koja prolazi kroz dielektrik odfazne brzine elektromagnetnog talasa u njemu - erenkovljevo2 zra£enje.
Na osnovu relativisti£kog izraza za enegiju
E =mc2√1− v2
c2
, (4.1)
izvodi se zaklju£ak da £esticama koje se kre¢u brzinom ve¢om od brzine svetlostiodgovara vrednost kvadrata mase
m2 < 0. (4.2)
Na prvi pogled ovo deluje zaista cudno, jer je intuitivno jasno da masa mora bitirealna i pozitivna veli£ina. U nastavku ¢e biti dato jedno drugo poimanje mase uteoriji polja.
4.1 Tahioni u teoriji polja
Posmatrajmo skalarno polje Φ = Φ(x) sa potencijalom V (Φ). Neka je Φ0 ta£kalokalnog ekstremuma (maksimuma ili minimuma). Ako se u razvoju funkcije u red
1Arnold Sommerfeld.2Pavel Cherenkov.
18
Tahioni 19
u okolini ta£ke ekstremuma zadrºe prva tri £lana dobija se
V ≈ V (Φ0) +dV
dΦ
∣∣∣∣Φ=Φ0
Φ +d2V
dΦ2
∣∣∣∣Φ=Φ0
Φ2. (4.3)
Ukoliko je potencijal u ta£ki ekstremuma jednak nuli u razvoju preostaje samo tre¢i£lan (drugi £lan je jednak nuli iz uslova ekstremuma). U formalizmu teorije polja, uslu£aju kada se lagranºijan polja moºe zapisati kao razlika kineti£ke i potencijalneenergije (lagranºijani u standardnom obliku), konstanta koja mnoºi kvadrat poljapredstavlja kvadrat mase £estice koju to polje opisuje [5]
m2 =d2V
dΦ2
∣∣∣∣Φ=Φ0
. (4.4)
Sada je jasnije da se masi polja moºe pridruºiti i kompleksna vrednost jer desnastrana u izrazu (4.4) moºe biti negativna. Neka je potencijal oblika
V (Φ) =1
2m2Φ2 +
1
4λΦ4. (4.5)
Slika 4.1: Izgled potencijala V (Φ) u zavisnosti od vrednosti konstante m, a) m2 > 0, b) m2 < 0.
Parametar λ je slobodan parametar teorije, pozitivan, nenulti3. Kada je u (4.5)λ = 0 lagranºijan (3.10) predstavlja lagranºijan za slobodno skalarno polje. Jedna-£ina slobodnog skalarnog polja, kojim se opisuje nenaelektrisana £estica bez mase ispina, ima oblik [5] (
− ∂2
∂t2+∇2
)Φ = 0. (4.6)
Re²enje ove jedna£ine je
Φ(x) =1
(2π)3
∫d3~k√2E~k
[a+(~k)eikx + a−(~k)e−ikx
]. (4.7)
3Uslov koji sledi iz kvantne mehanike [6].
Tahioni 20
U jedna£ini a+ i a− su operatori podizanja i spu²tanja. Njihov komutator je oblika
[a+(~x), a−(~y)] = iδ(~x− ~y). (4.8)
Za λ 6= 0 ne postoje ograni£enja na vrednost za m tako da razlikujemo dva slu£aja.U teoriji polja osnovno stanje naziva se vakuum, a ekscitovana stanja odgovaraju£esticama [6]. Sva vi²a stanja dobijaju se kao perturbacija osnovnog stanja. Na tajna£in dolazimo do spektra teorije. Za slu£aj da je m2 > 0 iz izraza (4.5) lako sepokazuje da u konguraciji Φ = 0 potencijal ima minimum i to je stanje sa najniºomenergijom. U procesu kvantizacije ovakvog stanja dobila bi se skalarna £estica sapozitivnim kvardatom mase [5]
m2 =d2V (Φ)
dΦ2
∣∣∣∣Φ=Φ0
> 0. (4.9)
Interesantnija situacija je u slu£aju kada je m2 < 0. Tada u konguraciji Φ = 0potencijal ima maksimum, a minimumi se nalaze u
Φ0 = ±|m|λ. (4.10)
Konguracija Φ = 0 je vrlo nestabilna i pri malim perturbacijama lako prelazi ustanje minimuma. Kvantovanjem ovakvog stanja dobila bi se tahionska £estica
m2 =d2V (Φ)
dΦ2
∣∣∣∣Φ=Φ0
< 0. (4.11)
Pojava tahionskog stanja pri kvantizaciji skalarnog polja obja²njava se time daje izvr²en razvoj potencijala V (Φ) u ta£ki njegovog maksimuma, a ne minumuma(pogre²an vakuum). Korektan na£in kvantovanja bi bio da se najpre pronae ta£kaglobalnog minimuma oko koje bi se izvr²io razvoj potencijala i tako dobio spektaru kome ne postoje tahionska stanja (kvadrat mase skalarne £estice je pozitivan).Ukoliko redeni²emo polje
Φ −→ Φ + Φ0, (4.12)
u lagranºijanu ¢e se javiti maseni £lan oblika
m2Φ = 3λΦ2
0 +m2. (4.13)
U minimumu potencijala vrednost ovog £lana je
m2Φ = −2m2 > 0, (4.14)
jer jem2 < 0. Na ovaj na£in dobili smo korektan znak uz maseni £lan u lagranºijanu,ali se promenila masa £estice. Re²enje jedna£ine (4.6) u ovom slu£aju ima oblik
Φ(x) = Φ0 +1
(2π)3
∫d3~k√2E~k
[a+(~k)eikx + a−(~k)e−ikx
]. (4.15)
Tahioni 21
Izvedimo na kraju veoma bitan zaklju£ak. Razvoj potencijala oko pogre²nogvakuuma, odnosno pojava tahionskih stanja, dovodi do promene znaka masenog£lana u lagranºijanu. To je na£in da se iz same teorije generi²e masa £estice. Lakose moºe proveriti da po£etni lagranºijan i lagranºijan koji se dobija nakon uvoenjasmene (4.12) nemaju istu simetriju. Simetrija je naru²ena izborom vakuuma okokoga se vr²i perturbacioni razvoj. Situacija kada vakuum nema istu simetriju kao ipo£etni lagranºijan naziva se spontano naru²enje simetrije. Ovaj novi fenomen imaveliku ulogu u teoriji polja.
4.2 Tahioni u teoriji struna
U ovom odeljku navedimo neke od rezultata teorije struna koji su u vezi saproblematikom u ovom radu. Kvantovanjem struna (otvorenih ili zatvorenih) kaorezultat dobijamo beskona£an broj stanja koja se mogu okarakterisati momentom ~pi kvantnim brojem n. Na osnovu relativisti£kog izraza koji povezuje energiju i masuimamo da vaºi [8]
E =√~p2 +m2
n, (4.16)
gde je mn masa koja se u na²em slu£aju moºe pridodati stanju odreenog kvantnimbrojem n. Pri kvantovanju struna veli£ina m2
n se moºe javiti kao negativna pa se tastanja karakteri²u kao tahionska.
Pored jednodimenzionih objekata teorija struna sadrºi i vi²edimenzione kompo-zitne objekte poznate kao D-brane4. U p dimenzionom prostoru brane su objektina kojima su lokalizovano krajevi struna. Dp-brane su p+ 1 dimenzioni objekti sa pprostornih i jednom vremenskom dimenzijom. Brane poseduju energiju i ta£no odre-enu dinamiku. Prou£avaju¢i konguracije Dp-brana Sen5 je do²ao do zaklju£ka dase kod nestabilnih konguracija brana javljaju tahionska stanja [8]. Primer nesta-bilne konguracije jeste sistem od dve Dp-brane i otvorene strune £iji je po£etakprika£en na jednoj brani a kraj na drugoj. Pokazuje se da je u situaciji kada sedve brane nalaze dovoljno blizu jedna drugoj osnovno stanje tahionsko. Takav si-stem prelazi na stabilan sistem ²to predstavlja proces tahionske kondenzacije. Kakoje dinamika brana sloºena za analizu, osobine brana se odreuju indirektno pro-u£avaju¢i dinamiku otvorenih struna, tj. uvoenjem efektivne teorije. U slu£ajutahionske ekscitacije otvorenih srtruna pokazano je da je pogodno uvesti efektivnuteoriju skalarnog tahionskog polja T sa nestandardnom lagranºijanom (potencijal ta-hionskog polja V (T ) se javlja kao multiplikativni £lan u lagranºijanu). Op²ti obliknestandarnih lagranºijana dat je izrazom [8]
LT (T, ∂µT ) = −V (T )F (∂µT ). (4.17)
Razmatranje tahionskih stanja moºe se pro²iriti i na teoriju superstruna. Postojepet konzistentnih teorija superstruna. U ovim teorijama se deni²u i anti D-brane(D) kao objekti suprotne orijentacije u odnosu na D-branu. U po£etku je izgledaloda su sve teorije superstruna li²ene tahiona. Za razli£it broj dimenzija brane imaju
4D-poti£e od Dirihleovih grani£nih uslova.5Ashoke Sen.
Tahioni 22
razli£ite osobine. Navedimo neke katakteristike brana u teoriji superstruna tipa IIA[8]
• Za paran proj p, Dp-brana je orijentisana i zbog osobina koje poseduje na-ziva se jo² i PBS6 D-brana. Za ovu branu, masa po jedinici zapremine up-dimenzionalnom prostoru, odnosno napon (zategnutost) brane, dat je izra-zom
λ =Mp+1
s
(2π)pgs(4.18)
gde je gs konstanta kuplovanja aMs masa strune. Maseni spektar brane sadrºi£estice sa m ≥ 0.
• Za neparno p, Dp-brana nije orjentisana (non-PBS). Napon brane dat je izra-zom
λ =
√2Mp+1
s
(2π)pgs. (4.19)
Interesantno je da kod ovog tipa u masenom spektru postoje tahionska stanja,tj. £estice sa negativnom masom.
Kod superstruna tipa IIB za neparan broj p brana je orijentisana a za neparnop brana nema orjentaciju. Senovim pretpostavkama [8] tahioni i tahionska stanjaponovo su vra¢ena u ºiºu interesovanja istraºiva£a u ovoj oblasti ali i kosmologa,posebno onih koji se bave inacionom teorijom i uzrocima inacije.
4.3 Tahionski potencijali
U okviru kosmolo²kih razmatranja tahionske potencijale je pogodno razvrstatiu klase [9]. Podela se vr²i na osnovu asimptotskog pona²anja parametra λ koji seza modele lagranºijana tahionskog tipa deni²e relacijom λ ≡ − MPl
V 3/2(T )
dV (T )dT
. Naosnovu asimptotskog pona²anja osnovu parametra λ, kada vrednost polja T teºibeskonana£nosti, tahionski potencijali su razvrstani u tri klase: λ=const, λ → 0 i|λ| → ∞.
1) λ=const.
Tipi£an predstavnik ove klase je inverzni kvadrati£ni potencijal
V (T ) = M2T−2. (4.20)
2) λ→ 0 (kada T →∞)
Ovoj klasi pripada nekoliko tipova tahionskih potencijala:
V (T ) = M4−nT−n, 0 < n < 2, (4.21)V (T ) = V0e
1/(µT ), (4.22)
V (T ) = V0e12M2T 2. (4.23)
6Prasad-Bogomolny-Sommereld.
Tahioni 23
3) λ→∞ (kada T →∞)
Pomenimo tipove:
V (T ) = M4−nT−n, n > 2, (4.24)V (T ) = V0e
−µT , (4.25)
V (T ) = V0e12M2T 2. (4.26)
Tahionski potencijali koji ¢e biti razmatrani u ovom radu poseduju slede¢e karak-teristike: imaju pozitivnu vrednost za T = 0, monotono opadaju i teºe nuli ubeskona£nosti [7]
V (0) > 0, V ′(T > 0) < 0, V (T →∞)→ 0. (4.27)
Potencijali koji zadovoljavaju navedene uslove prikazani su na slede¢oj slici.
Slika 4.2: Neki od potencijala koji se zbog svojih osobina mogu uvrstiti u kategoriju tahionskih.
Glava 5
Inatorni modeli sa tahionskimpoljem
Rezultati teorije struna motivisali su primenu nestandardnih lagranºijana DBI1
tipa [8]L = −V (T )
√1 + gµν∂µT∂νT , (5.1)
gde je T tahionsko polje, a V (T ) potencijal koji zadovoljava uslove (4.27). Razmo-trimo modele £ija je dinamika odreena dejstvom [7]
S =M2
Pl
2
∫d4x√−gR + ST , (5.2)
gde je ST dejstvo tahionskog tipa dato izrazom
ST = −∫d4x√−gV (T )
√1 + gµν∂µT∂νT . (5.3)
U procesu tahionske kondenzacije, pomenutog u odeljku 4.2, re£eno je da je to proceskojim se sistem prevodi iz nestabilnog u stabilno stanje. Zbog toga se taj mehanizammoºe uzeti kao inicijator inatornog procesa. Inacija je mogu¢a za energije redaλ1/4, sa T ∼ T0 gde je T0 ∼M−1
s , a λ dato izrazom (4.18) [7]. Iz prakti£nih razloga,koji ¢e biti vidljivi u nastavku, uvedimo bezdimenzionu konstantu
X20 ≡
λT 20
M2Pl
. (5.4)
5.1 Neperturbovana tahionska evolucija
Koriste¢i izraz za lagranºijan (5.1) tenzor energije-impulsa dobija oblik
Tµν = −V (T )gµν√
1 + gµν∂µT∂νT +V (T )√
1 + ∂αT∂αT∂µT∂νT. (5.5)
1Dirak-Born-Infeld.
24
Inatorni modeli sa tahionskim poljem 25
Za metriku oblika ds2 = −dt2 + a(t)2d~x2, uz uslov da je polje prostorno homogenoi izotropno, lagranºijan se svodi na oblik
L = −V (T )√
1− T 2. (5.6)
Na osnovu (2.8) i (5.5) dolazi se do izraza za gustinu i pritisak uida u funkciji odpolja T
ρ =V (T )
(1− T 2)1/2,
P = −V (T )(1− T 2)1/2. (5.7)
Fridmanova jedna£ina se sada moºe zapisati u obliku
H2 =1
3M2Pl
V
(1− T 2)1/2. (5.8)
Iz jedna£ine kontinuiteta dobija se jedna£ina koja odreuje vremensku evolucijupolja, tj. jedna£ina kretanja2
T
1− T 2+ 3HT + (lnV )
′= 0. (5.9)
Parametrar stanja, koji predstavlja odnos pritiska i gustine, iznosi ω = −1 + T 2.Kako je za inatorno ²irenje potrebno da parametar stanja ima negativnu vrednost(ω < −1/3) i da inaton sporo evoluira uslov sporokotrljaju¢e inacije se moºezapisati u obliku
T 1. (5.10)
5.2 Parametri sporog kotrljanja
Inacija traje dovoljno dugo ukoliko je u jedna£ini kretanja (5.9) £lan T manjiod frikcionog £lana
T < 3HT . (5.11)
Inacija ¢e biti u reºimu sporog kotrljanja ukoliko su zadovoljeni uslovi
T 3HT , T 2 1. (5.12)
Na osnovu jedna£ine (5.9) sledi
T ∼ −(lnV )′
3H, (5.13)
H2 ∼ V
3M2Pl
. (5.14)
2U klasi£noj mehanici jedna£ina koja odreuje vremensku evoluciju sistema naziva se jedna£inakretanja iz razloga ²to se njenim re²avanjem dobija jedna£ina trajektorije.
Inatorni modeli sa tahionskim poljem 26
Koriste¢i jedna£inu za ubrzanje dobija se potreban uslov za inaciju (a>0)
a
a= − 1
6M2pl
(ρ+ 3P ) =1
3M2pl
V
(1− T 2)1/2
(1− 3
2T 2
)> 0. (5.15)
Odavde se vidi da inacija traje sve dok vazi
T 2 <2
3. (5.16)
Ovaj rezultat se razlikuje od uslova dobijenog u teoriji inacije sa klasi£nim poljem(izraz (3.17)) iz razloga ²to u slu£aju inacije sa tahionskim poljem parametar stanjane zavisi od potencijala. Na osnovu jedna£ine za ubrzanje i izraza
a
a= H +H2, (5.17)
dobija se
H ′ = −3
2H2T . (5.18)
Koriste¢i (5.13) broj e-foldova se moºe zapisati u funkciji polja (Te = T (te))
N(T ) =1
M2Pl
∫ T
Te
V 2
V ′dT. (5.19)
Iz iste relacije sledi veza
dT =2
3
H ′
H3dN. (5.20)
Deni²imo sada uslove sporog kotrljanja kojima se obezbeuje dovoljno sporaevolucija inatona. Postoji nekoliko na£ina da se deni²u ovi parametri u tahionskojinaciji. Opredelimo se ovde za horizont-ow parametre [10]
ε0 ≡ H∗/H, (5.21)
εi+1 ≡d ln |εi|dN
, i ≥ 0. (5.22)
gde je H∗ vrednost Hablovog parametra u izabranom trenutku vremena. Na osnovunavedenih denicija, koriste¢i izraze (5.18) i (5.20), mogu se izra£unati parametrisporog kotrljanja u funkciji polja
ε1 =3
2T 2, (5.23)
ε2 = 2T
HT, (5.24)
Inatorni modeli sa tahionskim poljem 27
ili u funkciji potencijala (koriste¢i (5.13) i (5.14))
ε1 =M2
Pl
2
V ′2
V 3,
ε2 = M2Pl
(−2
V ′′
V 2+ 3
V ′2
V 3
). (5.25)
Izraz (5.17) moºe se zapisati u funkciji od ε1
a
a= H2(1− 3
2T 2) = H2(1− ε1) > 0. (5.26)
Inacija traje sve dok je parametar ε1 manji od jedinice i prestaje kada je ε1 ≈ 1.Tvrenje je ekvivalentno slede¢em: inacija traje sve dok je parametar stanja manjiod −1/3. Ovo dobija iz relacije
ε1 =3
2(ω + 1). (5.27)
Parametri sporog kotrljanja su povezani sa opservabilnim parametrima relacijama
r = 16ε1, (5.28)n = 1− 2ε1 − ε2, (5.29)
gde je r tensor-scalar ratio i n scalar spestral index (primordial tilt). Za potencijalekoji zadovoljavaju uslov (4.27) na osnovu vrednosti parametara sporog kotrljanjainacija se moºe odvijati po jednom od tri modela [11]
(1) Inacija sa malim poljem
V ′′ ≤ 0, 6ε1 ≤ ε2, (5.30)
(2) Haoti£na inacija
0 < V ′′ < V ′2/V, 2ε1 < ε2 < 6ε1, (5.31)
(3) Hibridna inacijaV ′2/V ≤ V ′′, ε2 ≤ 2ε1. (5.32)
Koriste¢i dobijene odnose izmeu parametara sporog kotrljanja i veze ovih parame-tara sa opservabilnim parametrima n i r ((5.28) i (5.29)) na graku (n, r) moguse izdvojiti tri oblasti koje odgovaraju razli£itim reºimima inacije. Granice ovihoblasti su prave £ije su jedna£ine
r = 2(1− n), r = 4(1− n). (5.33)
Inatorni modeli sa tahionskim poljem 28
5.3 Parametri inacije za modele sa razli£itim tahi-
onskim potencijalima
Analizirajmo tahionske modele sa lagranºijanom (5.1) za razli£ite oblike poten-cijala V (T ). Sprovedimo standarnu proceduru: [7]
1) Za dati oblik potencijala izra£unavamo parametre sporog kotrljanja (ε1 i ε2) ibroj e-foldova u funkciji od polja T ;
2) Odreujemo vrednost polja na kraju inacije Te iz uslova da se proces inacijezavr²ava kada je ε1(Te) ≈ 1, a zatim za zadatu vrednost e-foldova (i konstanteX0) izra£unavamo vrednost polja na po£etku inacije;
3) Izra£unavamo vrednost opservabilnih parametara n i r.
Razmatrajmo samo slu£aj kada je T > 0. Konstanta X0 denisana izrazom (5.4)odreuje za koje vrednosti polja model daje rezultate koji se slaºu sa merenjima.Uvedimo smenu
x = T/T0. (5.34)
Ukoliko potencijal zapi²emo u obliku
f(x) = V/λ, (5.35)
izrazi za parametre sporog kotrljanja (5.25) i broj e-foldova (5.19) dobijaju oblik
ε1 =1
2X20
f ′2
f 3, (5.36)
ε2 =1
X20
(−2
f ′′
f 2+ 3
f ′2
f 3
), (5.37)
N∗ = X20
∫ xe
x∗
f 2
|f ′|dx. (5.38)
Prikaºimo oblike re²enja parametara sporog kotrljanja i broja e-foldova za neketahionske potencijale.
• Potencijal f(x) = 1/ cosh(x)
Ovo je potencijal preuzet iz teorije struna. Na osnovu (5.36)-(5.38) dobija se
ε1 =1
2X20
sinh2 x
coshx, (5.39)
ε2 =1
X20
cosh2 x+ 1
coshx, (5.40)
N∗ = X20
∫ xe
x∗
1
sinhxdx = X2
0
[ln
(ex∗ + 1
ex∗ − 1
)− ln
(exe + 1
exe − 1
)]. (5.41)
Inatorni modeli sa tahionskim poljem 29
• Potencijal f(x) = 1/ exp(x)
Analiti£ki izrazi za parametre sporog kotrljanja i broj N foldova imaju oblik
ε1 =ε22
=1
2X20
ex, (5.42)
N∗ = X20 (e−x∗ − e−xe). (5.43)
• Potencijal f(x) = 1/(1 + x4)
U modelu sa ovim potencijalom takoe se mogu na¢i analiti£ka re²enja zaparametre sporog kotrljanja i broj N foldova
ε1 =8x6
X20 (1 + x4)
, (5.44)
ε2 =8x2(x4 + 3)
X20 (1 + x4)
, (5.45)
N∗ =X2
0
8
(1
x2∗− 1
x2e
). (5.46)
• Potencijal f(x) = (1 + x)/ exp(x)
U ovom slu£aju dobija se
ε1 =x2ex
2X20 (1 + x)3
, (5.47)
ε2 =(2 + x2)ex
X20 (1 + x)3
, (5.48)
N∗ = X20
∫ xe
x∗
(1 + x)2
xexdx. (5.49)
Parametri sporog kotrljanja mogu se odrediti i numeri£ki na osnovu jedna£ina(5.36) i (5.37). Na slede¢oj slici prikazani su graci zavisnosti parametara sporogkotrljanja u funkciji polja.
Inatorni modeli sa tahionskim poljem 30
Slika 5.1: Parametri sporog kotrljanja. Za vrednost konstante uzeto je X0 = 5 u slu£aju pote-ncijala f(x) = 1/ cosh(x) i f(x) = 1/ exp(x), a X0 = 7 u preostala dva slu£aja.
Iz uslova da se inacija zavr²ava kada je ε1(xe) ≈ 1 sledi jedna£ina
f ′2(xe)− 2X0f3(xe)− 1 ≈ 0. (5.50)
Iz ove jedna£ine primenom bisekcionog metoda [12] numeri£ki se moºe na¢i vrednostxe ≡ Te/T0. Ukoliko pretpostavimo broj N-foldova (N∗) i vrednost konstante X0
na osnovu jedna£ine (5.38) odredi¢emo vrednost polja na po£etku inacije, odnosnox∗. U stvari, treba na¢i donju granicu u odreenom integralu ako je poznata gornjagranica i vrednost integrala. Ovaj problem se moºe re²iti primenom neke od metodaza numeri£ku integraciju i sistemati£nim nabrajanjem svih mogu¢ih vrednosti zax∗ (brute-force search), po£ev²i od x∗ = xe. Vrednosti opservabilnih parametara,izra£unavaju se na osnovu relacija (5.28) i (5.29), pri vrednosti polja x = x∗ [7].Rezultati su prikazani na slede¢im gracima.
Inatorni modeli sa tahionskim poljem 31
Slika 5.2: Poreenje izra£unatih i izmerenih vrednosti (rezultati Planck misije [13]) opservabilnihparametara. Vrednosti parametara su dobijeni na osnovu unapred zadate vrednosti za N i X0
(40 ≤ N ≤ 70 i 3 ≤ X0 ≤ 10).
5.4 Dinamika modela
Dinamika polja odreena je jedna£inom kretanja (5.9). Koriste¢i re²enje ovejedna£ine moºemo odrediti veli£ine karakteristi£ne za inatorni proces u funkciji odvremena (parametre sporog kotrljanja, parametar stanja, gustinu i pritisak). Ovujedna£inu re²ava¢emo takoe numeri£ki primenom metode Runge-Kuta [12]. Kako bidobili oblik jedna£ine koji je zgodan za numeri£ko izra£unavanje potrebno je izmenitioblik jedna£ine koriste¢i smenu za polje (5.34) i redenisati vremensku koordinatuizrazom τ = t/T0. Uz napomenu da moramo zameniti i izvode polja
T =dx
dτ, (5.51)
T =1
T0
d2x
dτ 2, (5.52)
Inatorni modeli sa tahionskim poljem 32
dobijamo jedna£inu kretanja u obliku
d2x
dτ 2+√
3X0
√√√√f(x)
(1−
(dx
dτ
)2)3/2
x+1
f(x)
df(x)
dx
(1−
(dx
dτ
)2)
= 0. (5.53)
Ovo je diferencijalna jedna£ina drugog reda i da bi na²li njena re²enja (x = x(t))potrebno je zadati po£etne uslove: x(t0) = x0 i x(t0) = x0.
Na slede¢im gracima prikazane su zavisnosti polja i potencijala od vremena kojisu dobijeni iz jedna£ine kretanja.
Slika 5.3: Zavisnost polja i potencijala od vremena. Vrednost po£etnih uslova iznosi x(t0) = 0.001i x(t0) = 0.05. Sa graka se vidi da je potencijal na po£etku inacije skoro ravan, ²to je u skladusa aproksimacijom sporog kotrljanja.
Inatorni modeli sa tahionskim poljem 33
Iz jedna£ine (5.38) se vidi da broj e-foldova zavisi od vrednosti konstante X0.Numeri£ki dobijena zavisnost u slu£aju potencijala f(x) = 1/ cosh(x) data je naslede¢em graku.
Slika 5.4: Zavisnost broja e-foldova od vrednosti konstate X0. Sa graka se vidi da model dajedobre rezultate (N ≈ 60) za vrednost konstante X0 & 3.
Kao ²to je re£eno u poglavlju 5.2 na osnovu vrednosti parametara n i r mogu¢eje izdvojiti razli£ite modele inacije.
Slika 5.5: Modeli inacije: (1) inacija sa malim poljem, (2) haoti£na inacija, (3) hibridnainacija.
Glava 6
Zaklju£ak
U ovom radu dotakli smo veliki broj oblasti i pojmova u modernoj zici visokihenergija i kosmologiji. Posebnu paºnju smo posvetili tahionskim poljima i njiho-voj primeni u kosmologiji, ta£nije tahionskoj inaciji vezanoj za DBI lagranºijane idejstva. U poslednjoj glavi do²li smo do veoma sli£nih rezultata sa onima prezento-vanim u referenci [7]. Primenom standardnih numeri£kih metoda naena su re²enjaparametara sporog kotrljanja i opservabilnih parametara. Izra£unate vrednosti zaopservabilne parametare (n i r) dobrim delom se slaºu sa izmerenim vrednostima,²to opravdava ispravnost modela. U nastavku smo prikazali orginalne rezultate jed-na£ine kretanja koji ¢e biti podvrgnuti dodatnim proverama i ocenama.
Rezultati teorije struna omogu¢ili su razvoj kosmolo²kih ideja i primenu lagran-ºijana tahionskog tipa u modelima vezanim za proces inacije.
Na osnovu sprovedenih razmatranja zasigurno moºemo zaklju£iti da je jednatakva teorija kao ²to je inacija neophodna kao dodatak teoriji Velikog praska. Ta-hionska polja se mogu iskoristiti za opisivanje ranog perioda inacije i kao izvorinacije procesom spontanog nare²enja simetrije. Kako je minimum tahionskog po-tencijala u beskona£nosti kreacija materije u procesu oscilovanja inatona u okolinita£ke minimuma nije mogu¢a.
34
35
Literatura
[1] Barbara Ryden, Introduction to Cosmology, The Ohio State University, (2006).
[2] Daniel Baumann, TASI Lectures on Ination, [arXiv:0907.5424].
[3] Andrew Liddle, An Introduction to Modern Cosmology, Wiley, (2003).
[4] Komissarov S. S, Cosmology, (lecture notes), (2012).
[5] Dragoljub Dimitrijevi¢, Tahioni u klasi£noj i kvantnoj mehanici, Magistarskateza, Univerzitet u Ni²u, (2009).
[6] Dragan Popovi¢, Teorija elektroslabih interakcija, SANU, (1995).
[7] D. A. Steer, F. Vernizzi, Tachyon ination: tests and comparison with singlescalar eld ination, Phys. Rev. D70 (2004).
[8] Ashoke Sen, Tahyon Dinamics in Open String Theory, Int. J. Mod. Phys. A20:5513-5656, (2005).
[9] Dragoljub Dimitrijevi¢, Dinamika tahionskih polja u klasi£noj i kvantnoj kosmo-logiji, Doktorska disertacija, (2015).
[10] Dominik J. Schwarz, Cesar A. Terrero-Escalante, Alberto A. Garcia, Higher or-der corrections to primordial spectra from cosmological, Phys. Lett. B517, (2001).
[11] Andrew R. Liddle, David H. Lyth, Cosmological Ination and Large-ScaleStructure, Cambridge University Press, (2008).
[12] William H. Press, Saul A. Teukolsky, Numerical recipes, Cambridge UniversityPress, (2007).
[13] Planck Collaboration, Planck 2015 results. XIII. Cosmological parameters,[arXiv:1502.01589].