0 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
TRIGONOMETRI
Untuk SMA dan Sederajat
Husein Tampomas
Penerbit …
1 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
BAB 1 PENGANTAR KE FUNGSI TRIGONOMETRI
PENGERTIAN
Dalam bahasa Yunani, trigonometri terdiri dari dua kata, yaitu trigono yang artinya
segitiga dan metro yang artinya ukuran.
Trigonometri adalah ilmu yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dari
segitiga.
1. PENAMAAN SISI DAN SUDUT PADA SEGITIGA
Dalam geometri dasar, segitiga ABC dinotasikan ABC mempunyai unsur-unsur
yang meliputi sisi dan sudut. Penamaan sisinya adalah sisi BC a (di depan A ),
sisi AC b (di depan B ) , dan sisi AB c
(di depan C ). Tetapi kadang-
kadang sisi-sisi suatu segitiga dapat dinotasikan dengan huruf kecil lainnya seperti
x, y, z, h, dan sebagainya.
Sudut ABC dinotasikan ABC biasa juga menggunakan nama titik sudutnya B .
Tetapi kadang-kadang hanya menggunakan huruf kapital dari titik sudutnya,
misalnya A, B, P, W, X, dan sebagainya atau huruf kecil, misalnya p, t, x, y, z, dan
sebagainya. Penamaan sudut tersebut juga kerapkali menggunakan huruf kapital
atau kecil dari alphabet Yunani, misalnya BAC A A ,
ABC B B , dan ACB C C .
Tabel 1 Alphabet Yunani
Huruf Nama Huruf Nama Huruf Nama
Gambar 1
b
a
c
A
B C
2 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
2. PENGUKURAN SUDUT
Ukuran sudut yang dipergunakan di sini adalah derajat dan radian.
a. Ukuran Sudut dalam Derajat
Definisi:
putaran360
11
O adalah pusat lingkaran
r adalah jari-jari lingkaran
OA = OB = r
1= 1° = putaran
360AOB
Sehingga,1putaran 360
Ukuran sudut yang lebih kecil (halus) adalah menit dan detik.
1 60' (menit)
1' 60" (detik) "600.31
Contoh 1:
Nyatakan dalam ukuran derajat, menit, dan detik dari 65,37 .
Solusi: 65,38 63 0,38 63 0,38 60' 63 22,8' 63 22' 0,8'
63 22' 0,8 60" 63 22' 48"
Jadi, 63,38 63 22'48" .
Contoh 2:
Nyatakan dalam ukuran derajat dari 126 48'54" .
Solusi:
1 1126 48'54" 126 48 54
60 3600
126 0,8 0,015 126,815
Contoh 3:
Diberikan 56,18 . Nyatakan dalam derajat, menit, dan detik dari 4 dan 7
8 .
Solusi: 4 4 56,18 224,72 224 0,72 224 0,72 60' 224 43,2 '
224 43' 0,2 ' 224 43' 0,2 60" 224 43' 12"
Jadi, 4 224 43'12"
7 756,18 49,1575
8 8 49 0,1575 49 0,1575 60' 49 9,45'
49 9' 0,45 60" 49 9' 27"
r
r 1
A
B O
Gambar 2
3 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
Jadi, 7
49 9'27"8
Contoh 4:
Diberikan 43 48'27" . Nyatakan dalam derajat dari 6 dan 5
18 .
Solusi:
6 6 43 48'27" 258 288'162" 258 288' 2 60 42 " 258 288'2'42"
258 290'42" 258 4 60 50 '42" 258 4 50'42" 262 50'42"
Jadi, 6 262 50'42" .
5 5 5 5 543 48'27" 43 48' 27"
9 9 9 9 9
8 24023 ' 15"
9 9
8 240
23 60 ' ' 15'9 9
72023 ' 15"
9
23 80' 15"
23 1 20' 15" 24 20' 15"
Jadi, 5
24 20'15"9
b. Ukuran Sudut dalam Radian
Definisi:
Satu radian ditulis 1 rad, adalah besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran
sebesar jari-jari lingkaran.
O adalah pusat lingkaran
r adalah jari-jari lingkaran
Busur AB = OA = OB = r
180° 180= 1rad = 57,3
π 3,14AOB
c. Konversi Ukuran Putaran, Derajat, dan Radian
Konversi dari ukuran radian ke derajat:
π
180rad1
Konversi dari ukuran derajat ke radian:
rad180
π1
Konversi ukuran derajat ke putaran:
11 putaran
360
Konversi ukuran putaran ke derajat: 1putaran 360
r
r
r
1 rad
A
B O Gambar 3
4 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
Konversi ukuran radian ke putaran:
11rad putaran
2
Konversi ukuran putaran ke radian: 1putaran 2 rad
dengan 3,14159... Catatan:
Perhatikan bahwa 22
dan7
adalah dua bilangan yang berbeda, karena
3,14159... bilangan irrasional dan 22
3,142857143...7
bilangan
rasional. Kedua bilangan 22
dan7
sama senilai pada nilai 3,14.
Contoh 5:
Tentukan dalam ukuran derajat dari
a. 1
putaran12
b. 5
putaran18
c. 3
2 putaran4
d. putarann
Solusi:
a. 1 1
putaran 360 3012 12
c. 3 11
2 putaran 360 9904 4
b. 5 5
putaran 360 10018 18
d. putaran 360n n
Contoh 6:
Tentukan dalam ukuran putaran dari
a. 60 b. 150 c. 270 d. n
Solusi:
a. 1 1
60 60 putaran putaran360 6
c. 1 3
270 270 putaran putaran360 4
b. 1 5
150 150 putaran putaran360 12
d. 1
putaran putaran360 360
nn n
Contoh 7:
Tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.
a. 2
putaran3
b. 3
putaran5
c. 1
1 putaran4
d. putarann
Solusi:
a. 2 2 4
putaran 2 rad rad3 3 3
c.
1 5 51 putaran 2 rad rad
4 4 2
b. 3 3 6
putaran 2 rad rad5 5 3
d. putaran 2 rad 2 radn n n
Contoh 8:
5 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
Tentukan setiap sudut berikut ini dalam putaran.
a. 3 rad b. 3
rad4 c.
41 rad
5 d. radn
Solusi:
a. 1 3
3 rad 3 putaran putaran2 2
c. 4 9 1 9
1 rad putaran putaran5 5 2 10
b. 3 3 1 3
rad putaran putaran4 4 2 8
d.
1rad putaran putaran
2 2
nn n
Contoh 9:
Tentukan setiap sudut berikut ini dalam derajat.
a. 2 rad b. 3
rad4 c.
51 rad
12 d. radn
Solusi:
a. 180° 180
2,7 rad 2,7 2,7 154,8π 3,14
c.
5 17 180°1 rad 255
12 12 π
b. 3 3 180°
rad 1354 4 π d.
180°rad =n n
Contoh 10:
Tentukan setiap sudut berikut ini dalam (radian).
a. 45 b. 210 c. 300 d. n
Solusi:
a. 45 45 rad180 4
c.
5300 300 rad
180 3
b. 7
210 210 rad180 6
d. rad
180 180
nn n
Contoh 11:
Jika jika 3,14 , tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.
a. 145 b. 72 54' c. 38 36'45" Solusi:
a. 3,14
145 145 145 2,53rad180 180
b. 3,14
72 54' 72,9 72,9 72,9 0,13rad180 180
c. 3,14
38 36'45" 38,6125 38,6125 38,6125 0,67rad180 180
SOAL-SOAL LATIHAN 1
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Nyatakan dalam ukuran derajat, menit, dan detik dari
6 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
a. 0,49 b. 8,51 c. 54,28 d. 108,355
2. Nyatakan dalam ukuran derajat dari
a. 9 30' b. 728 36" c. 25 36'54" d. 48 12'45"
3. Jika 15,36 , nyatakan dalam derajat, menit, dan detik dari
a. 2 b. 1
4 c.
3
2 d.
52
8
4. Jika 65 18'30" , nyatakan dalam derajat dari
a. 4 b. 1
5 c.
4
3 d.
82
15
5. Tentukan dalam ukuran derajat dari
a. 1
putaran9
b. 7
putaran12
c. 7
putaran2
d. 1
2 putaran18
6. Tentukan dalam ukuran putaran dari
a. 75 b. 120 c. 240 d. 315
7. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.
a. 5
putaran12
b. 3
putaran2
c. 1
2 putaran6
d. 1,6putaran
8. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam putaran.
a. 2
rad9 b. 0,6 rad c.
71 rad
12 d.
52 rad
18
9. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam derajat.
a. 0,54rad b. 3,84rad c. 11
rad18
d. 35
4 rad36
10. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam (radian).
a. 50 b. 135 c. 255 d. 330
3. PENERAPAN PADA LINGKARAN
Pada lingkaran yang berpusat di O berjari-jari r dan diameternya 2d r , dengan
AOB dan COD masing-masing adalah sudut pusat.
1. Keliling lingkaran: 2K r atau K d
2. Luas lingkaran: 2L r atau 2
4L d
3. Sudut pusat dalam derajat:
Panjang busur AB: 2360
PB r
atau
Panjang busur AB: 360
PB d
Sudut dalam radian:
Panjang busur AB: 22
PB r r
atau
Panjang busur AB: 1
2PB d
Gambar 4
r
r
r
A
B O
r
C
D
7 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
4. Sudut dalam derajat:
Luas juring AOB: 2
360LJ r
atau
Luas juring AOB: 2
360 4LJ d
Sudut dalam radian:
Luas juring AOB: 2
2
2 2
rLJ r
atau
Luas juring AOB: 2
21
2 4 8
dLJ d
5. Hubungan Panjang Busur, Sudut Pusat, dan Luas Juring (sector)
Dalam suatu lingkaran, panjang busur sebanding dengan sudut pusatnya dan
juga sebanding dengan luas juringnya.
Panjangbusur Besar Luasjuring
Panjangbusur Besar Luasjuring
AB AOB AOB
CD COD COD
Contoh 12:
Suatu lingkaran berjari-jari 12 cm. Hitunglah
a. diameter lingkaran.
b. keliling lingkaran.
c. luas lingkaran.
d. panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 60 .
e. luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat 3
.
Solusi:
a. Jari-jari lingkaran 12r cm
Diameter lingkaran: 2 2 12cm 24cmd r
b. Keliling lingkaran: 2 2 3,14 12 75,36cmK r atau
3,14 24 75,36cmK d
c. Luas lingkaran: 2 2 23,14 12 452,16cmL r atau
2 2 23,1424 452,16cm
4 4L d
d. Panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 60 : 2360
PB r
602 3,14 12 12,56cm
360
atau
360PB d
603,14 24 12,56cm
360
e. Luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat 3
: Luas juring AOB:
22
2 212
3,143 12 144 75,36cm2 2 6 6
rLJ
atau
8 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
22 2
224
24 3,14 5763 75,36cm8 8 24 24
dLJ
Contoh 13:
Perhatikan gambar 5. Titik O adalah pusat lingkaran,
AD adalah diameter, 5
AOB
dan 4
9COD
. Jika luas juring AOB adalah
70,65 cm2. Tentukan luas juring COD, jari-jari, luas lingkaran, dan jumlah
panjang busur AB dan CD.
Solusi:
Luasjuring Besar
Luasjuring Besar
AOB AOB
COD COD
Luasjuring LuasjuringCOD
COD AOBAOB
2
4
209Luas juring 70,65 70,65 157cm9
5
COD
2
5Luasjuring 70,652
r
COD
2
70,6510
r
2 70,65 10225
3,14r
15cmr
Jadi, jari-jari lingkaran adalah 15 cm.
LuasJuring
LuasLingkaran 2
AOB AOB
2
LuasLingkaran LuasJuring AOBAOB
2270,56 705,6cm
5
Kita juga boleh mengerjakannya sebagai berikut.
2 2 2Luaslingkaran 3,14 15 706,5cmr
Gambar 5
A B
O
D
C
4
9
5
9 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
Panjang busur AB: 3,14
15 15 9,42cm5 5
r
Panjang busur CD: 4 4 3,14
15 15 20,93cm9 9
r
Kita dapat juga mengerjakannya sebagai berikut.
Panjangbusur Besar
Panjangbusur Besar
AB AOB
CD COD
4
209Panjangbusur Panjangbusur 9,42 9,42 20,93cm9
5
CODCD AB
AOB
Jadi, jumlah panjang busur AB dan CD = 9,42 cm + 20,93 cm = 30,35 cm.
Contoh 14:
Juring OAB dari suatu lingkaran yang berpusat di O mempunyai keliling 16.
Tentukan jari-jari lingkaran agar luas juring tersebut maksimum. Berapakah besar
sudut pusat AOB?
Solusi:
Misalnya r adalah jari-jari, adalah sudut pusat dalam radian, sehingga
Keliling juring 2 16AOB r r r r
Keliling juring panjang busur 16AOB OA OB AB r r r
16 2r r
162
r …. (1)
2
Luas juring2
rAOB
…. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2
22 2
162
Luas juring 8 8 16 42
rr
AOB r r r r r
Karenanya agar luas juring tersebut maksimum, maka 4r dan 2 .
SOAL-SOAL LATIHAN 2
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Suatu lingkaran berjari-jari 15 cm. Hitunglah
a. diameter lingkaran.
b. keliling lingkaran.
c. luas lingkaran.
d. panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 150 .
e. luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat 5
4
.
Gambar 6
r
r
A
B O
10 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
2. Titik O adalah pusat lingkaran, AD adalah diameter, 3
AOB
dan
4BOC
. Jika luas juring AOB adalah 54 cm
2. Tentukan
a. luas juring COD. d. luas lingkaran.
b. luas juring BOC. e. keliling lingkaran.
c. jari-jari lingkaran. f. jumlah panjang busur AB dan CD.
3. Pada lingkaran yang berpusat di O terdapat juring AOB, dengan 60AOB
dan BC OA , sehingga luas daerah yang diarsir adalah 296 72 3 cm .
Tentukan diameter dari lingkaran tersebut.
4. Juring OPQ dari suatu lingkaran yang berpusat di O mempunyai keliling 20.
Tentukan jari-jari lingkaran agar luas juring tersebut maksimum. Berapakah
besar sudut pusat POQ?
4. JENIS-JENIS SUDUT
Sekilas kita mengingat kembali pada pelajaran geometri dasar tentang definisi
sudut lancip, sudut siku-siku, sudut tumpul, dan sudut lurus.
Definisi:
a. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0°dan90 . (Gambar 8 (a))
b. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90 . (Gambar 8 (b))
c. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90°dan180 . (Gambar 8 (c))
d. udut lurus adalah sudut yang besarnya 180 . (Gambar 8 (d))
Contoh 15: Diberikan tiga buah sudut x, y, dan z. Jika 180x y z dan : : 1:5: 6x y z .
Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.
Solusi:
Misalnya , 5 ,dan 6x k y k z k , sehingga
180x y z
Gambar 8
(a) Sudut lancip (b) Sudut siku-siku (c) Sudut tumpul (d) Sudut lurus
Gambar 7
C A
B
O
60
11 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
5 6 180k k k
12 180k
18015
12k
15 , 75 ,dan 90x y z Jadi, x dan y adalah sudut lancip dan z adalah sudut siku-siku.
SOAL-SOAL LATIHAN 3
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Jika a, b, dan c adalah tiga buah sudut, dengan 2 180a b c dan
: : 5 : 9 :1a b c . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.
2. Jika x, y, dan z adalah tiga buah sudut, dengan 3
2x y z
, 2
3x y
, dan
: 3: 2x z . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.
3. Jika p, q, dan r adalah tiga buah sudut, dengan 5
3p q
,
7
3q r
, dan
3
2p r
. Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.
5. JENIS-JENIS PASANGAN SUDUT
Jenis-jenis pasangan sudut meliputi sudut komplemen (sudut yang berpenyiku),
sudut suplemen (sudut yang berpelurus), dan sudut kojugat.
Definisi:
a. Sudut komplemen (sudut yang berpenyiku) adalah dua sudut lancip yang
jumlahnya 90 . Dengan perkataan lain, andaikan 0 , 90 maka sudut
dan saling berkomplemen jika 90 . Kita mengatakan bahwa sudut
adalah penyiku sudut dan sebaliknya sudut adalah penyiku sudut .
b. Sudut suplemen (sudut yang berpelurus) adalah dua sudut antara 0dan 90yang
jumlahnya 180 . Dengan perkataan lain, andaikan 0 , 180 maka sudut
dan saling bersuplemen jika 180 .Kita mengatakan bahwa sudut
adalah pelurus sudut dan sebaliknya sudut adalah pelurus sudut .
c. Sudut konjugat adalah dua sudut antara 0dan 360 yang jumlahnya 360 .
Dengan perkataan lain, andaikan 0 , 360 maka sudut dan saling
berkonjugat jika 360 .
Gambar 9
(a) Sudut Komplemen 90
(b) Sudut Suplemen
180
(c) Sudut Konjugat 360
12 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
Contoh 16:
Diketahui sudut-sudut 20x dan 3 10x . Jika sudut-sudut dan saling
berkomplemen, tentukan nilai x.
Solusi:
Jika sudut-sudut dan saling berkomplemen, maka haruslah
90 20 3 10 90x x
4 80x 20x
Contoh 17:
Diketahui sudut-sudut 70 x dan 6 40x . Jika sudut-sudut dan
saling berpelurus, tentukan nilai x.
Solusi:
Jika sudut-sudut dan saling berpelurus, maka haruslah
180 70 6 40 180x x 5 150x
30x
SOAL-SOAL LATIHAN 4
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Diketahui sudut-sudut 2 40x dan 3 20x . Jika sudut-sudut dan
saling berpelurus, tentukan nilai x, , dan .
2. Diketahui sudut-sudut 4
x
dan 515
x
. Jika sudut-sudut dan
saling berkomplemen, tentukan nilai x, , dan .
3. Dua buah sudut saling berkomplemen. Selisih dua kali sudut dan sudut kedua
adalah pertama 90 . Tentukan kedua sudut tersebut.
6. JENIS-JENIS SEGITIGA
Pada pelajaran geometri dasar telah didefinisikan bahwa: “Jumlah sudut-sudut
pada suatu segitiga adalah 180 .” Di samping itu telah dikemukakan pula tentang
jenis-jenis segitiga yang ditinjau dari sudut-sudutnya, jenis-jenis segitiga ditinjau
dari panjang sisi-sisinya, serta jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudut dan
panjang sisinya.
1. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Sudut-sudutnya
Ada 3 jenis segitiga ditinjau dari sudut-sudutnya, yaitu segitiga lancip (acute
triangle), segitiga siku-siku (right triangle), dan segitiga tumpul (obtuse
triangle).
13 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
a. Segitiga Lancip (Acute Triangle)
Segitiga lancip adalah segitiga yang besar setiap sudutnya lancip atau besar
setiap sudutnya berkisar antara 0dan 90 (acute angle).
Pada gambar 10: ABC adalah segitiga lancip, 0 , , 90A B C
b. Segitiga Siku-siku (Right Triangle)
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku atau
besar sudutnya 90 (right angle)
Pada gambar 11: ABC adalah segitiga siku-siku, 90C ( C siku-siku)
c. Segitiga Tumpul (Obtuse Triangle)
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut
tumpul atau besar sudutnya berkisar antara 90 dan180 (obtuse angle).
Pada gambar 12: ABC adalah segitiga tumpul, 0 , 90A B dan
90 180C ( B tumpul).
2. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya
Ada 3 jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya, yaitu segitiga sembarang
(scalene), segitiga sama kaki (isosceles), segitiga sama sisi (equilateral).
a. Segitiga Sembarang (Scalene)
Segitiga sembarang adalah segitiga yang besar ketiga sudutnya berbeda
dan juga ketiga panjang sisinya berbeda.
Gambar 10
A
B C
A
B C
Gambar 11
Gambar 12
A
C B
14 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
Pada gambar 13: ABC adalah segitiga sembarang, A B C dan
BC AC AB .
b. Segitiga Sama Sisi (Equilateral)
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
Pada gambar 14: ABC adalah segitiga sama sisi, A B C dan
BC AC AB .
Karena ABC adalah segitiga sama sisi, maka 180 :3 60A B C
c. Segitiga Sama Kaki (Isosceles)
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang.
Pada gambar 15: ABC adalah segitiga sama kaki, AB AC .
Karena ABC adalah segitiga sama kaki, dengan AB AC , maka
180
2
AB C
.
3. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari besar sudut dan Panjang Sisinya
Ada 7 macam jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudut dan panjang sisinya.
a. Segitiga Sembarang
Ada 3 jenis segitiga sembarang, yaitu segitiga lancip sembarang, segitiga
siku-siku sembarang, dan segitiga tumpul sembarang.
Gambar 13
A
B C
Gambar 14
A
B C
Gambar 15
A
B C
15 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
b. Segitiga Sama Kaki
Ada 3 segitiga sama kaki, yaitu segitiga lancip sama kaki, segitiga siku-
siku sama kaki, dan segitiga tumpul sama kaki.
c. Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
Segitiga sama sisi dapat dilihat gambar Gambar 14.
3. Jenis-jenis Segitiga Istimewa
Segitiga istimewa atau khusus adalah segitiga yang mempunyai sifat-sifat
istimewa atau khusus, yang berkaitan dengan panjang sisi-sisinya maupun
besar sudut-sudutnya. Adapun yang tergolong ke dalam jenis-jenis segitiga
istimewa tersebut adalah segitiga sama sisi (Gambar 14), segitiga sama kaki
(Gambar 15), dan segitiga siku-siku (Gambar 16 (b)).
Contoh 18:
Diketahui ABC dengan sudut-sudut A, B, dan C berbanding sebagai 2: 7 :9 .
Tentukan sudut-sudut segitiga dan jenis segitiga tersebut.
Solusi:
Misalnya sudut-sudut 2 , 7 ,dan 9A k B k C k .
Dalam ABC berlaku bahwa jumlah sudut-sudutnya adalah 180 .
Gambar 16
(a) ABC Lancip
Sembarang
A
B C
(b) ABC Siku-siku
Sembarang (c) ABC Tumpul
Sembarang
A
C B
A
B C
(a) ABC Lancip Sama
Kaki, Kaki AB AC
dan B C
A
B C
Gambar 17
(c) ABC Tumpul Sama Kaki,
Kaki AC BC , A B
dan C tumpul
A
C B
(b) ABC Siku-siku Sama
Kaki, Kaki AC BC ,
A B dan 90C
A
B C
16 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
180A B C 2 7 9 180k k k 18 180k
10x 20 , 70 ,dan 90A B C
Jadi, jenis ABC adalah segitiga siku-siku.
Contoh 19:
Diketahui ABC dengan sudut-sudutnya adalah 20A x , 7 10B x , dan
110 5C x . Tentukan jenis segitiga tersebut.
Solusi:
180A B C 20 7 10 110 5 180x x x
3 60x 20x
20 20 20 40A x 7 10 140 10 130B x 110 100 10C
Jadi, jenis ABC adalah segitiga tumpul.
SOAL-SOAL LATIHAN 5
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Diketahui ABC dengan sudut-sudutnya berbanding sebagai 1: 2 : 6 . Tentukan
besar sudut-sudut segitiga dan jenis segi tiga tersebut.
2. Tentukan besar sudut-sudut dan jenis PQR yang sudut-sudutnya adalah
50P x , 5 30Q x , dan 120 2R x .
3. Tentukan jenis segitiga yang sudut-sudutnya berbanding sebagai 1: 2 :3 .
7. TEOREMA PYTHAGORAS
Pada segitiga siku-siku, sisi yang terletak di depan sudut siku-siku disebut adalah
hipotenusa (hypotenuse) atau sisi miring dan sisi-sisi yang lainnya disebut kaki-
kaki atau sisi-sisi siku-siku. Hipotenusa selalu lebih panjang dari sisi siku-
sikunya. Pada gambar 14 ditunjukkan ABC dengan sudut siku-siku C , sehingga
hipotenusanya adalah segmen garis AB yang panjangnya c, dan sisi-sisi
danAC BC adalah kaki-kakinya atau sisi siku-sikunya yang panjangnya masing-
masing a dan b.
Gambar 18
A
B C a
c b
17 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
Hubungan sisi-sisi pada segitiga siku-siku dapat ditentukan menggunakan
Teorema Pythagoras yang dirumuskan sebagai berikut.
“Kuadrat panjang hipotenusa dari segitiga siku-siku sama dengan jumlah
kuadrat panjang sisi siku-sikunya”
Kita dapat menuliskan teorema Pythagoras dari gambar 14: 2 2 2AB BC AC
2 2 2c a b Bukti:
Tarik garis tinggi CD.
Misalnya AD x , sehingga BD c x .
Perhatikan danADC ACB
akibatnya90
CAD BACACD ABC
CDA BCA
ADC ACB Sehingga
AC AB
AD AC
b c
x b
2cx b …. (1)
Perhatikan danBDC BCA
akibatnya90
CBD CBABAC BCD
BDC BCA
BDC BCA Sehingga
BC BA
BD BC
a c
c x a
2 2c cx a …. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2 2 2c b a
2 2 2c a b (QED)
Contoh 20:
Diketahui ABC siku-siku di A, dengan 15cmBC dan 8cmAC . Tentukan
panjang sisi AB.
Solusi:
Menurut Pythagoras: 2 2 2AB BC AC 2 2 215 8 225 64 289AB
289 17cmAB
Gambar 20
A
B C a = 15
c b = 8
Gambar 19
A
B C a
x
b c x
D
18 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
Contoh 21:
Diketahui ABC dengan 13cmBC , 14cmAC , dan 15cmAC . CD adalah
garis tinggi yang ditarik dari titik C ke sisi AB. Tentukan panjang CD.
Solusi:
Misalnya BD x , sehingga 15AD x .
Menurut Pythagoras dalam BCD : 2 2 2CD BC BD 2 2 2 213 169CD x x …. (1)
Menurut Pythagoras dalam ACD . 2 2 2CD AC AD
22 2 2 214 15 196 225 30 29 30CD x x x x x …. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 2 2169 29 30x x x
30 198x
33
5x
22 33 1089 3136
169 1695 25 25
CD
3136 5611,2cm
25 5CD
Contoh 22:
Selembar kertas berbentuk persegi panjang yang berukuran panjang 8 cm dan
lebar 6 cm dilipat dengan cara menghubungkan titik B dan D sepanjang garis
lipatan EF. Tentukan EF.
Solusi:
Kertas dilipat dengan cara menghimpitkan
titik B pada titik D, sehingga titik C
menjadi C dan 'BCF DC F
Misalnya G adalah titik tengah BD.
Perhatikan danDGF BGF .
Gambar 21
C
A B 15 x
15
b = 14 a = 13
D x
Gambar 23
C
A B
F
E
D=B
C
x 8 x
6 G
arah lipatan
kertas
Gambar 22
C
A B
F
E
D
kertas
19 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
(S-S-S)
BF DF
BG DG DGF BGF
FG FG
(S-Sd-Sd)
AG CG
GCF GAE GCF GAE
GFC GEA
BE AB AE CD CF DF
segi empat BEDF adalah belah ketupat
Menurut Pythagoras dalam ABD : 2 2 2 2 26 8 100BD AD AB
100 10BD
105
2DG
Misalnya AE CF x , sehingga 8BE BF DF AD x
Menurut Pythagoras dalam ABE : 2 2 2DE AD AE
2 2 28 6x x
2 264 16 36x x x 16 64 36 28x
28 7
16 4x
7 258 8
4 4DE x
Menurut Pythagoras dalam DEG : 2
2 2 2 225 625 2255 25
4 16 16EG DE DG
225 15
16 4EG
15 15 12 2 7 cm
4 2 2EF EG
8. TRIPEL PYTHAGORAS
Perhatikan pasangan bilangan 3,4,5 . Bilangan ini memenuhi hubungan
2 2 23 4 5 . Demikian pula pasangan bilangan 8,15,17 juga memenuhi
hubungan 2 2 220 21 29 . Pasangan-pasangan bilangan ini disebut Tripel
Pythagoras. Karenanya, dikatakan bahwa Triple Pythagoras adalah tripel bilangan
bulat positif a, b, dan c yang memenuhi persamaan 2 2 2a b c . Bilangan-bilangan
ini berpadanan dengan sisi-sisi segitiga siku-siku, sehingga memenuhi teorema
Pythagoras. Sebenarnya berlaku secara umum pada sembarang segitiga siku-siku
20 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018
dengan sisi-sisi tegak a dan b dan hipotenusa (sisi miring) c dengan a, b, dan c
tidak harus merupakan bilangan bulat, tetapi sembarang bilangan real positif.
Untuk mendapatkan Triple Pythagoras digunakan rumus sebagai berikut ini.
Pada tabel 1 disajikan beberapa tripel Pythagoras.
Tabel 1:
Contoh 23:
Tentukan nilai x dan y dari setiap pasangan tiga bilangan 88,105, x dan
44,125, y yang merupakan Tripel Pythagoras.
Solusi: 2 2 2a b c , dengan a, b, dan c adalah Tripel Pythagoras Dasar, sehingga a genap,
b ganjil, dan c ganjil atau a ganjil, b genap, dan c ganjil.
88,105, x berarti 88, 105, atau 88, , 105a b c x a b x c
2 2 2 288 105 18769 137x
137x 44,125, y berarti 44, 125, atau 44, , 125a b c y a b y c
2 2 244 125 17561y (bukan bilangan kuadrat sempurna)
2 2 2125 44 y
2 2 2 2125 44 13689 117y
117y
SOAL-SOAL LATIHAN 6
Selesaikanlah setiap soal berikut ini.
1. Diberikan ABC siku-siku di C. Lengkapilah table 2 berikut ini.
Tabel 2:
No. m n 2 2a m n 2b mn 2 2c m n
1. 2 1 3 4 5
2 3 2 5 12 13
3 4 1 15 8 17
4 4 3 7 24 25
5 5 2 21 20 29
6 5 4 7 40 41
Panjang Sisi Nomor Soal
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
a 12 …. 24 25 …. 43
b 35 84 …. 312 840 ….
c …. 85 145 …. 841 925
Untuk m dan n anggota bilangan bulat positif, m dan n tidak mempunyai faktor
sekutu selain 1, FPB = 1 dan m n , berlaku 2 2a m n , 2b mn , dan 2 2c m n dengan m n dan a, b, c memenuhi teorema Pythagoras.