For Forward and Futures Contracts
ศาสตราจารย ดร.อญญา ขนธวทยคณะพาณชยศาสตรและการบญช
มหาวทยาลยธรรมศาสตร
VaR
ความสาคญ• Forward and Futures Contracts
– สญญาซอขายลวงหนาซงผมฐานะ Long สญญาจะซอ Underlying Asset และผมฐานะ Short สญญาจะขาย Underlying Asset ในอก T Periods ในอนาคต ตามราคา Forward Price/Futures Price ททราบและตกลงไว ณ วนทคสญญาเขาไปมฐานะในสญญา
– เมอคสญญาตกลง Fix ราคาของ Underlying Asset ตาม Forward Price/Futures Price ตงแตวนน ราคา Underlying Asset ทจะเปน “ตนทน” ในวนท T ในอนาคต
– Forward Contract และ Futures Contract เปนสญญาซอขายลวงหนาดวยกนทงค แตมขอตางทสาคญท Forward Contract เปน OTC, Non-standard Contracts ในขณะท Futures Contracts เปน Exchange, Standardized Contracts และม Mark to Market เพอปรบ Futures Price ใหเปนราคาใหมตาม Market ทกวน ทกสญญาของ Futures Contracts จงเหมอนกนทกประการและแลกเปลยนกนไดสาหรบผมฐานะ Long และ Short ใดๆ
• แม Forward Contracts และ Futures Contracts จะมโครงสรางปลกยอยบางประการทแตกตางกน แตในการวเคราะห Market Risk เบองตน ผสอนจะกาหนดให Forward Contracts และ Futures Contracts เปนสญญาทเทยบเคยงกนได
2
การวเคราะหความเสยง• ในทน ผสอนจะแนะนาแนวทางการวเคราะห 2 แนวทาง ทงสองแนวทางใชหลก
Equivalent Assets และ Building Block Analysis– แนวทางท 1 Forward Contract ซงม Forward Price เปน Equivalent Asset ของ Portfolio
ซงประกอบดวย 1 Call Long และ 1 Put Short– แนวทางท 2 การกาหนดราคา Futures Price โดยการสราง Equivalent Asset เปน Portfolio
ของการ 1 Underlying Asset Long และการ Borrowing เทากบราคาตลาด Spot ของ Underlying Asset
3
หมายเหต 1. ผเขยนใช Forward Contract ในแนวทางท 1 เพราะ Forward Price สามารถกาหนดใหเปนราคาใดกได2. ผเขยนใช Futures Contract ในแนวทางทสอง เพราะอางอง The Cost-of-Carry Model ซงกาหนดFutures Price ใหตรงกบระดบททาให Value of Futures Contract เปน 0.00
Forward Contract เปน Equivalent Assetของ 1 Call Long + 1 Put Short
• ใหนกศกษาพจารณา Assets ตอไปน1. Forward Contract เพอซอหนสามญจานวน 1 หน ในอนาคต ณ วนท T โดยกาหนดราคาซอ
ขายลวงหนา Forward Price เทากบ บาท ตงแตวนนททาสญญา2. Portfolio ประกอบดวย Options บนหนสามญตาม 1. Options ทงคมอาย T และม Exercise
Price เดยงกนเทากบ บาท 1. Long Position in Call จานวน 1 หนวย 2. Short Position in Put จานวน 1 หนวย
• RECAP ความรเดมเกยวกบ Equivalent Assets– ความหมาย Assets ซงจาย Cash Flows เทากนใน All States of the World– คณสมบต Equivalent Assets ตองม 1. ราคา และ 2 ความเสยง เทากน มฉะนน ผลงทน
สามารถทา Arbitrage ได
4
การวเคราะห Cash Flows ณ เวลาท T ในอนาคต
• Possible States of the World ณ เวลาท T สาหรบ Options ทม Exercise Price เทากบ บาท จานวน States ม 2 States คอ– State 1:
– State 2:
• Cash Flows ของ Assets: Forward Contract และ Portfolio of Call and Put ขนกบ States ณ เวลาท T ดงน
5
AssetState of the World and Cash Flows
Long Forward
Portfolio=Long Call + Short Put
Long Call , ,Short Put , ,
Equivalent Assets
• เมอ Forward Contract และ Portfolio of Options จายกระแสเงนเทากนในAll States of the World ผลลพธจะได
1. Forward Contract และ Portfolio เปน Equivalent Assets2. ราคา/มลคา ณ วนท t=0 ของ Forward Contract และ Portfolio ตองเทากน
• การใชงาน เมอนกศกษาสามารถกาหนดราคา Call และ Put ดดยใช Black-Scholes (1973) Pricing Model นกศกษาจงสามารถกาหนดมลคาของ Forward Contract ไดจาก Value of Forward = Call Price – Put Price
3. ความเสยง Forward Contract เทากบ• ความเสยงของ Portfolio ของ Long Call + Short Put• ความเสยงของ Call และ Put เทากบความเสยงของ Portfolio ของ Underlying Stock
และ Zero-Coupon Bond ทมอายเทากบ T
6
ตวอยาง
• Forward Contract มอาย 1 ป เพอจะซอจะขายหนสามญ 1 หน ในราคา Forward Price บาท
• หนสามญอางองมลกษณะดงน– ราคาตลาด (Spot Price) วนน เทากบ บาท– Volatility % ตอป
• Zero-Coupon Bond อาย 1 ปม Spot Rate (1Y) เทากบ %
7
การคานวณมลคาของ Forward Contract (1)
• การคานวณทาโดยอางองมลคาของ Portfolio ของ Long Call และ Short Put อาย 1 ป และมราคาใชสทธ บาท
• การคานวณใช Call-Put Portfolio is Forward Contract.xlsx พบวา
8
การคานวณมลคาของ Forward Contract (2)
• เมอการคานวณราคาของ Call and Put Options ตาม Black-Scholes Formula พบวา– Call Price = 14.24 Delta(Call) = 0.56 และ Rho(Call) = 25.29– Put Price = 13.86 Delta(Put) = -0.44 และ Rho(Put) = -65.33
• การกาหนดมลคา Value of Forward Contract เทากบ– Value (Forward) = + Call Price – Put Price = + 14.24 - 13.86 = 0.38 บาท
9
การวเคราะหความเสยงของ Forward Contract
• เมอ Forward Contract เทยบเคยงไดกบ Portfolio ดงนน– ผลตอบแทน (Baht Return)• – อตราผลตอบแทน (Percentage Return)•
• ความรเดม โครงสรางของอตราผลตอบแทนของออปชน– , ,– อตราผลตอบแทนของ Call•– อตราผลตอบแทนของ Put•
10
การประกอบ Building Blocks เขาหากน
• เมอแทนคาโครงสราง Building Blocks ของปจจยเสยงของ Call and Put เขาในอตราผลตอบแทนของ Forward Contract แลว พบวา–––
11
การระบ “นาหนก” ของแหลงความเสยง
• เมอโครงสรางความเสยงของอตราผลตอบแทนเปน–• ดงนน นาหนก จงเทากบ
–– .. . . .. . ... . . .. . .– . . .. . .
12
การวเคราะหความเสยงของ Futures Contract ผานการกาหนด Futures Price
• การกาหนด Futures Price ซงคอราคาซอขายลวงหนาตามสญญาฟวเจอรส โดยทเมอเขาทาสญญา ณ Futures Price แลว ผมฐานะ Long และ Short ไมตองรบหรอจายเงน
• จากความจรงขอน – Value of Futures Contract = 0.00 เมอสญญาทาท Futures Price
• ขอความจรงเมอมฐานะซอในสญญาฟวเจอรส– ผมฐานะซอจะจายเงน เทากบราคาฟวเจอรส บาท ซงทราบและถกตรงไวแลว
ตงแตวนน และรบ Underlying Asset จานวน 1 หนวยตามทระบในสญญา– ผมฐานะซอในสญญา ไมตองจายเงนคาสนคาหรอเงนใดๆ ในวนนท t=0หมายเหต กจกรรมขางตนเทยบเคยง Futures Contract = Forward Contract โดยไมไดพจารณากจกรรม Mark to Market ทตองม เมอมฐานะใน Futures Contract
13
การสราง Portfolio ใหเทยบเคยงไดกบ Futures Contract
• ใหนกศกษาพจารณาวธไดมาซง Underlying Asset จานวน 1 หนวย ณ เวลาท T ในอนาคต– วธท 1 การม Long Position ใน Futures Contract โดยตกลงกนท Futures Price ระดบ บาท– วธท 2 การสราง Cash-and-Carry Portfolio
ณ เวลาท t=0ผลงทนกเงนจานวน บาท เทากบ Spot Price ของ Underlying Asset เปนเวลา T งวด เงนกคดดอกเบยในอตรา %จากนน นาเงนทกจานวน บาท ไปซอ Underlying Asset ได 1 หนวย แลวถอครองไป (Carry)ดงนน ณ เวลาท t=0 ผลงทนรบเงนจากการก แลวจายเงนนนซอ Asset กระแสเงนสทธจงเปน 0.00 บาท และ ม Underlying Asset ในครอบครองจานวน 1 หนวย
ณ เวลาท t=Tผลงทนชาระหนเงนก พรอมดอกเบย จานวนรวม บาทและเปนเจาของ Underlying Asset ทาใหตนทนของการไดมาซง Asset ในวนท t=T เทากบ บาท
14
Futures Price ตามทฤษฎ
• เนองจากการมฐานะใน Futures Contract และ Cash-and-Carry Portfolio ม Cash Flows เหมอนกนใน All States of the World ดงนน ตนทนการไดมาซง Underlying Asset ณ วนท t=T ตองเทากน
• ผลลพธเปน Theoretical Futures Price เทากบ– =
15
ตวอยางการกาหนด Futures Price
16
• Futures Contract อาย 3 เดอน บน Stock C จะม Futures Price เทาไร หาก– Spot Price = 100– % ตอป
• การวเคราะห จาก The Cost of Carry Model– = =%
= 101.51 บาท
การขยายผลไปเพอวเคราะหความเสยง (1)
17
• เมอ Futures Contract เปน Equivalent Asset ของ Cash-and Carry Portfolio แลว ความเสยง ยอมเทากน
• ใหนกศกษาพจารณาโครงสรางของ Cash-and-Carry Portfolio– การ Long Underlying Asset จานวน 1 หนวย: – การกยมเงนเปนเวลา T งวด ซงเทยบเคยงไดกบการม Short Position in T-Period Zero-Coupon
Bond: – ดงนน Futures Contract:
• การวเคราะห Building Blocks– Block ท 1: เปนความหมายทตรงไปตรงมา– Block ท 2: ตองขยายความตอ
การออก Zero-Coupon Bond อาย T งวด เพอใหไดเงนจานวน บาท ตองเปนการออก Bond จานวน 1 หนวย ซงม Face Value เทากบ บาทสงเกตวา 1. มลคาของ Bond วนนท 2. ในพจน นน พจน เปน Fixed Term เพราะคอ Fixed Face Value ในขณะทพจน เปนแหลงความเสยง เพราะ Spot Rate เปลยนไดในเชงสม
การขยายผลไปเพอวเคราะหความเสยง (2)
18
• จากโครงสราง Building Block ทวา Futures Contract: • ดงนน ขนาดการเปลยนแปลงในเชงสมของ Futures Price ขนาด–
– โดยทเมอ แลว
ขอควรระวง
19
• จาก นน
– การแปลงเปน %: ในกรณน ไมใช % Return จากการลงทนใน 1 Futures Contract เพราะการลงทนใน Futures Contract ใชเงนลงทนเทากบ 0.00 บาท (ไมรวม Margin) ผลตอบแทนจาก Futures Contract จงระบไดเปน Baht Return เทานน
สวน ตองตความวาเปนอตราการเปลยนแปลงในเชงสมของ Futures Price
– “นาหนก” เพอการคานวณ VaR สงเกตจากสมการความสมพนธ ซงความเสยงมาจาก (1) และ
(2) ทาให Weight แตปญหาอยท การแจกแจงของ ~ ,– การปรบนาหนก สงเกตวา ความเสยงจง
มาจากแหลง (1) และ (2) ทาให Weight
การคานวณคา VaR สาหรบตวอยาง
20
• จาก ความเสยงทมาจากแหลง (1) และ (2) ทาให
– Weight
– โดยท และ Ω
การวเคราะหความเสยงของ Bond Futures
21
• Bond เปน Asset ทมลกษณะเฉพาะ กลาวคอ เมอเวลาผานไป Bond จะม Maturity สนลงๆ
• ผลทตามมา ในการวเคราะห Bond Futures โดยใช The Cost-of-Carry Model ผลงทนตองระมดระวงเรอง Underlying Bond ทผลงทนจะซอและถอครองจนถงวนท t-T ในอนาคต– กรณท 1 Underlying Bond เปน Zero-Coupon Bond– กรณท 2 Underlying Bond เปน Coupon-Bond
กรณท 1: Zero-Coupon Bond Futures
22
• เงอนไขการวเคราะห– กาหนดให Underlying Zero-Coupon Bond ม Face Value = 1 บาท และมอายคงเหลอ ณ
เวลาสงมอบ N งวด– Futures Contract มอาย T งวด
• การกาหนด Futures Price โดยใช The Cost-of-Carry Model– ผลงทนม Long Position ในสญญา Futures ท Futures Price = บาท– ผลงทนสราง Cash-and-Carry Portfolio
• สงเกตวาผลงทนตองการ Zero-Coupon Bond ทมอาย N ในอก T Periods ขางหนา• ดงนน ณ วนนท t=0 Underlying Zero-Coupon Bond ตองมอาย N+T Periods• เพอใหเมอเวลาผานไป T Periods ซงตรงกบ Delivery Date ของ Futures Underlying Bond จะม
อายสนลงๆ และ Bond มอายเทากบ N Periods ตรงตามตองการ
The Cash-and-Carry Portfolio
23
• Underlying Zero-Coupon Bond ณ วนท t=0– อายคงเหลอ T+N Periods และมมลคาทตรา 1 บาท– อตราคดลด Spot Rate สาหรบระยะ T+N Periods เทากบ – มลคาเทากบ
• การกยมตองทาเปนเวลาเทากบอายของสญญา T Periods ซงเทยบไดกบการออก Zero-Coupon Bond ซงมอาย T Periods ใหไดเงนวนนจานวน บาท ดงนน– เมออตราดอกเบย Spot Rate สาหรบระยะ T Periods เทากบ – Zero-Coupon Bond ทออกเพอระดมเงนทนตองม Face Value เปนคา Fixed เทากบ
บาท– เพอจะไดระดมเงนใหไดเทากบ "Random"
• ราคา Futures Price ตาม The Cost-of-Carry Model
ความเสยงของ The Cash-and-Carry Portfolio
24
• เมอ The Cash-and-Carry Portfolio มโครงสราง– 1 Long Position ใน Zero-Coupon Bond อาย T+N Periods มลคา ,– 1 short Position Zero-Coupon Bond อาย T Periods มลคา
• ดงนน Futures Contract ในฐานะ Equivalent Asset จงมโครงสราง , • สญญามมลคา 0.00 บาท เพราะผลงทนไมตองจายเงนหรอรบเงนเมอเขาไปม
ฐานะในสญญาฟวเจอรส• ความเสยงเกดจากการเปลยนแปลงในเชงสมของราคาฟวเจอรส ดงนน , ,
“นาหนก” เพอวเคราะหความเสยงของ The Cash-and-Carry Portfolio
25
• เมอโครงสรางการเปลยนแปลงเปน • ดงนน สาหรบแหลงความเสยง
ตวอยาง
26
• จงกาหนด Bond Futures Price สาหรบสญญา Futures Contract ซงมอาย T=1 ป รวมทงวเคราะหความเสยง
• เพอสงมอบ Zero-Coupon Bond ซงมอายคงเหลอ 6 เดอน และม Face Value ขนาด 1 บาท
• ขอมลเพมเตม % และ . %
การกาหนด Bond Futures Price
27
• ตาม The Cost-of-Carry Model ได Futures Price เทากบ
–– . % . . . % . .
โครงสรางความเสยงของ Bond Futures Contract
28
• ตาม Building Blocks ของ Equivalent Cash-and-Carry Portfolio ได–
– โดยท . . % . .– ทาให .. . ..
QUIZ: ความเสยงของอตราการเปลยนแปลง ของ Futures Price มโครงสรางอยางไร
กรณท 2: Coupon-Bond Futures Contract
29
• RECAP: Coupon Bond และ Zero-Coupon Bond Portfolio เปน Equivalent Assets
, ⋯
ลกษณะของ Underlying Bond ณ วนนท t=0
30
• ขอความจรง Bond มอายสนลงๆ ตามเวลา• ดงนน เมอสญญามอาย T และตองสงมอบ Coupon Bond ซงมอาย N Periods• ผลงทนตองถอครอง Coupon Bond ทมอาย T+N Periods เพอใหเมอเวลาผานไป
T Periods แลว เมอถงวนท t=T ผลงทนม Coupon Bond อาย N Periods ในมอ
• ตามตวอยาง Underlying Coupon Bond ณ เวลาท t=0 จงตองเปน Bond ทมอาย T+N Periods ราคา
, ⋯• และ Spot Price ของ Coupon Bond ระดบ , บาท คอเงนทผลงทนตองกมา
เพอทจะซอ Bond ผลงทนจะไดจายเงนสทธเทากบ 0.00 บาท ในวนท t=0 เชนเดยวกบทจะเขาไปมฐานะใน Futures Contract
แนวทางการกเงน / การออก Zero-Coupon Bonds เพอระดมเงนมาซอ Underlying Coupon Bond (1)
31
• ขอความจรง การมฐานะใน Futures Contract จายเงนครงเดยว ณ Delivery Date T
(ไมนบรวม Mark to Market) เทากบ บาท ดงนน กระแสเงน สทธ ทตองจาย (ตางจาก 0.00 บาท) ของ Cash-and-Carry Portfolio จงตองเกดขนครงเดยว ณ วนท t=T ดวย
• สงเกตวา ตงแต t=0 ถง t=T Coupon Bond จาย Coupon จานวน T ครง เทากบ , … , ตามลาดบ ในวนท t=1, … , t=T
• หมายเหต Underlying Bond ทจะสงมอบในวนท T จะจายกระแสเงนจานวน , … , ในวนท t=T+1, … , t=T+N ดงนน กระแสเงน , … , ในวนท t=1, … , t=T จงไมใชกระแสเงนทผทา Cash-and-Carry Portfolio พงไดรบ
แนวทางการกเงน / การออก Zero-Coupon Bonds เพอระดมเงนมาซอ Underlying Coupon Bond (2)
32
• เมอความจรงเปนเชนน การกยมเงนจงตองแบงเปนสว ตามจดของเวลาทตอง Matching เพอทาให Net Receipts ตงแต t=1 ถง t=T สาหรบ Coupons จานวน , … , ในวนท t=1, … , t=T เปนศนย
• ใหนกศกษาพจารณาการกเงน (การออก Zero-Coupon Bonds) เพอระดมเงนทน รวมได , ⋯ บาท ดงน– จานวนท 1 ระดบ โดยการออก ZCB อาย 1 งวด และม Face Value เทากบ – จานวนท 2 ระดบ โดยการออก ZCB อาย 2 งวด และม Face Value เทากบ .– จานวนท T ระดบ โดยการออก ZCB อาย T งวด และม Face Value เทากบ – จานวนท T+1 ระดบ ⋯
โดยการออก ZCB อาย 1 งวด และม Face Value เทากบ ⋯หมายเหต การแสเงนสนาเงนแสดงจานวนเงนทไปหกลางกบเงนรบทมาจาก Couponsกระแสเงนสแดงเปนกระแสเงนทจายเพอซอ Future Cash Flows ของ Coupon Bond หลงสงมอบ
กระแสเงนของ Cash-and-Carry Portfolio
33
วนท t Coupon Bond Borrowing Portfolio
0 , , 0
1 Bond จาย Coupon งวดท 1 จายหนงวดแรกทยมมา และจายดอกเบย 0
2 Bond จาย Coupon งวดท 2 จายหนงวด 2 ทยมมา และจายดอกเบย 0
⋮ 0
T Bond จาย Coupon งวดท T จายหนงวด T จานวนท 1 ทยมมา และจายดอกเบย
0
T รบ Coupon Bond ซงมอายคงเหลอ N Periods
⋯
จายหนงวด T จานวนท 2 ทยมมา⋯
และจายดอกเบย
กจกรรมนเปนสวนทใชระบ Futures Price ซงคอเงนกทตองจายคน
การกาหนด Futures Price ให Coupon-Bond Futures Contract
34
• จากตารางในหนากอน จานวนเงนทผลงทนตองจาย ณ Delivery Date ท t=T เพอเปนตนทนการซอ Coupon Bond ซงมอายคงเหลอ N Periods ในวนท t=T เปนจานวนเงนเทากบราคาซอขายลวงหนา Futures Price ระดบ บาท
⋯ความเชอมโยง กาหนดให เปน Forward Interest Rate ซงภายใตเงอนไขของ No Arbitrage จะได
หรอ ราคา Futures Priceจงสมพนธกบ Forward Interest Rates อยางเปนระบบ กลาวคอ⋯คาถาม: จงอธบายเหตผล (ไมใชการแสดงทางคณตศาสตร) วา ทาไมความสมพนธจงเปนจรงHINT: ไปทาความเขาใจความหมายของ Forward Interest Rate
ตวอยาง การกาหนด Futures Price สาหรบ Coupon-Bond Futures Contract
35
• Bond Futures Contract ม Delivery Date ในอก 1 ปขางหนา เพอสงมอบ Coupon Bond ซงม Face Value = 100 บาท จายคปอง 4% ตอป ปละ 2 ครง Bond ทสงมอบอาย 2 ป
• อตราคดลดแบบ Spot (Spot Interest Rates) เปนดงตาราง
• การวเคราะห อางอง
อายกระแสเงน Rate (%) อายกระแสเงน Rate (%)0.5Y / 1 1.00 2.0Y / 4 2.501.0Y / 2 1.50 2.5Y / 5 3.001.5Y / 3 2.00 3.0Y / 6 3.50
วนท t Coupon Bond Borrowing Portfolio
T รบ Coupon Bond ซงมอายคงเหลอ N Periods
⋯
จายหนงวด T จานวนท 2 ทยมมา⋯
และจายดอกเบย
กจกรรมนเปนสวนทใชระบ Futures Price ซงคอเงนกทตองจายคน
ตวอยาง การกาหนด Futures Price สาหรบ Coupon-Bond Futures Contract
36
• การระบอาย T และอายของ Underlying Bond ณ Delivery Date– อายของ Futures Contract T = 1 ป เทากบ T=2 งวดของ 6 เดอน– อาย N ของ Underlying Bond ณ Delivery Date เทากบ N=2 ป หรอ N=4 งวดของ 6 เดอน– ดงนน โดยสรป T = 2 N = 4 และ T+N = 2+4 = 6 งวดของ 6 เดอน– กระแสเงนและ Spot Rates ทเกยวของจงเรมตนท T+1= 2+1 = 3 จนถง T+N = 6 งวด
• กระแสเงน– งวดท 3 จนถงงวดท 5 เปนกระแสเงนจาก Coupon สาหรบระยะ 6 เดอน จานวน % บาท– งวดท 6 เปนวนท Bond Matures. จงจายคปองงวดสดทาย งวดท 6 บวกเงนไถคน รวม
เทากบ 2+100 ช 102 บาท
• การคานวณ Futures Price อางองความสมพนธ⋯ % . % % . % . %. . .
การวเคราะหความเสยงของ Coupon-Bond Futures Contract
37
• RECAP โครงสรางของผลตอบแทนจาก Zero-Coupon Bond Futures ซงมอาย T และสงมอบ ZCB ทมอาย N และม Face Value = XN– , , – โดยท ,– Application: สาหรบสญญาทมอาย T และสงมอบ Bond อกตวหนงทมอาย M• , ,
• โดยท ,• ใหพจารณากระแสเงนของ Portfolio ของ Zero-Coupon Bonds อาย N และ M >
N หลงจากทไดรบมอบตาม Futures Contract แลว
วนท กระแสเงน ตวอยางT+N XN C3=2+1
T+M > T+N XM 100+C4=2+2
โครงสรางของความเสยงของ Portfolio ของ ZCB Futures Contracts (1)
38
• ใหพจารณา Zero-Coupon Bond Futures จานวน 2 สญญา ซงมอาย T – สญญาแรก สงมอบ ZCB ทมอาย N และม Face Value = XN
– สญญาทสอง สงมอบ ZCB ทมอาย M > N และม Face Value = XM
• Portfolio P ของ ZC Bond Futures Contract มโครงสราง– • ผลตอบแทนของ Portfolio P จงเทากบ– • , , • , ,
โครงสรางของความเสยงของ Portfolio ของ ZCB Futures Contracts (2)
39
• ผลตอบแทนของ Portfolio P จงเทากบ– , , , , , , , , • “นาหนก” ของ Portfolio
– ,,, ,• สาหรบแหลงความเสยง
ตวอยาง
40
• Portfolio ของ ZCB Futures Contracts ประกอบดวยการม Long Positions ในสญญาจานวน 2 สญญา อายสญญา T=2 Periods– สญญาท 1 สงมอบ ZBC ซงม Face Value = C3 = 2 บาท ZCB มอาย N = 1 งวด – สญญาท 2 สงมอบ ZBC ซงม Face Value = 100+C4 = 102 บาท ZCB มอาย M = 2 งวด
• การระบระยะเวลา– T=2 N=1 และ M=2 ทาให– T+N = 2+1 = 3 และ T+M = 2+2 = 4
• โครงสรางของ Spot Rates ทเกยวของคอ– %– % >> , % .– % >> , % .
ตวอยาง (ตอ)
41
• “นาหนก” ของ Portfolio
– ,,, ,. .. . ...• สาหรบแหลงความเสยง
กระแสเงนของ Underlying Coupon Bond
42
• ใหนกศกษาพจารณา Futures Contract อาย T งวด• เพอสงมอบ Coupon Bond ซงมอายคงเหลอ 2 งวด• ณ วนทสงมอบท T Underlying Bond ซงมอายคงเหลอ 2 งวด จะจายกระแส
เงนตามตาราง
วนท กระแสเงน(T=2) + (N=1) C3=2+1
(T=2) + (M=2) 100+C4=2+2
Equivalent Assets
43
• ใหนกศกษาเปรยบเทยบกบ Portfolio ของ ZCB Futures Contracts
• การเปรยบเทยบชวา Coupon-Bond Futures Contract เปน Equivalent Asset กบ Portfolio ของ ZCB Futures Contracts
วนท กระแสเงน ตวอยางT+N XN C3=2+1
T+M > T+N XM 100+C4=2+2
โครงสรางของความเสยงของ Coupon-Bond Futures Contract (1)
44
• ใหพจารณา Coupon-Bond Futures ซงมอาย T • Underlying Coupon Bond มอาย 2 งวด (นบตงแตวนท T) จายกระแสเงน
– ครงแรก วนท T+1 จานวนเงนเทากบ คปอง C บาท– ครงท 2 วนท T+2 จานวนเงนเทากบ คปอง C บาท บวกเงนไถคน 100 บาท รวม 100+C บาท
• ผลตอบแทนของ Coupon-Bond Futures จงเทากบ
โครงสรางของความเสยงของ Coupon-Bond Futures Contract (2)
45
• ในกรณทวไป ทสญญามอาย T และ Underlying Bond ทตองสงมอบมอาย M จะได
• ผลตอบแทนของ Coupon-Bond Futures จงเทากบ
∑ • โดยท แหลงความเสยงทมาจาก dy จะมรวมทงหมดเทากบ M+1 แหลง
ตวอยางการวเคราะห Coupon-Bond Futures Contract
46
• Coupon-Bond Futures Contracts ซงมอายสญญา T=2 Periods เพอสงมอบ Coupon Bond ซงมอายคงเหลอ 2 Periods (นบจากวนท T) Bond กาหนดอตราคปอง 2% ตองวด และม Face Value เทากบ 100 บาท
• การวเคราะหกระแสเงน นบจากวนท T=2 ประกอบดวยกระแสเงน 2 จานวน คอ– จานวนท 1 คอคปอง C3=2+1 = 2 บาท มอาย N = 1 งวด นบจากวนท T=2 – จานวนท 2 คอคปองบวกเงนไถคน Face Value = 100+C4=2+2 = 102 บาท มอาย M = 2 งวด นบ
จากวนท T=2
• การระบระยะเวลา– T=2 N=1 และ M=2 ทาให– T+N = 2+1 = 3 และ T+M = 2+2 = 4
• โครงสรางของ Spot Rates ทเกยวของคอ– %– % >> , % .– % >> , % .
RECAP
47
• ผลตอบแทนของ Coupon-Bond Futures มโครงสราง • ดงนน “นาหนก” ของ Coupon-Bond Futures Contract จงเทากบ
– ,,, ,
การประยกตใชงาน
48
• ดงนน “นาหนก” ของ Coupon-Bond Futures Contract ตามตวอยางจงเทากบ
– ,,, ,
. .. . ... สาหรบแหลงความเสยง
ขอสงเกตสาคญ การวเคราะหตวอยาง CB Futures Contract นเหมอนกนทกประการและไดผลลพธเดยวกนกบการวเคราะหตวอยาง Portfolio ของ ZCB Futures Contractsในตอนกอนหนา
ตวอยาง (ตอ)
49
• “นาหนก” ของ Portfolio
– ,,, ,. .. . ...• สาหรบแหลงความเสยง
แบบฝกหด
50
• พนธบตรมอายคงเหลอ 5 ป ราคาทตรา 1000 บาท อตราคปอง 6% ตอป จายคปองปละ 1 ครง
• คาถาม– ใหนกศกษา
• กาหนดราคาของ Risky Bond• วดระดบความเสยงของ Risky Bond
– สมมตในตลาด TFEX ม ZEB Futures Contracts ซอขาย สญญา 5 สญญา มอาย 1 ป เพอสงมอบ ZCB’s ซงมอาย 1 2 3 4 และ 5 ป ตามลาดบ• ใหนกศกษาคานวณ ZCB Futures Prices ของ Futures Contracts ทงหาสญญา• ใหนกศกษาใช Futures Contracts เพอบรหารความเสยงของพนธบตรขางตน ใหเหลอนอยทสด• ความเสยงทเหลอสทธ จะถงระดบขจดไดหรอไม
– ขอมลประกอบการวเคราะหใหดจาก Spot Curves.xlsx
BLACK-SCHOLES OPTION PRICING CALCULATOR
This spreadsheet is written by Anya Khanthavit, TU, for analyzing the option prices and behavior, using
the Black-Scholes option pricing model. Users supply the five determinants of the option price in the
unpainted cells. The corresponding results will follow.
Important Parameters
StockPrice ExPrice Time to Exp SMA Interest Rate
฿118.0000 ฿120.0000 1.0000 0.3000 0.0200
RESULTS CALL PUT
BLACK-SCHOLES PRICE: ฿14.2362 ฿13.8601
DELTA = d PRICE/d S: 0.5638 -0.4362
d PRICE/d X: -0.4358 0.5444
THETA = d PRICE/d T: 8.0152 5.6627
RHO = d PRICE/d R: 52.2937 -65.3302
VEGA = d PRICE/d SMA: 46.4623 46.4623
GAMMA = d^2PRICE/dS^2: 0.0111 0.0111
ACCOMPANYING INFORMATION
d1: 0.1606 N(d1) | Z(d1): 0.5638 0.3937
d2: -0.1394 N(d2) | Z(d2): 0.4446 0.3950
1M 3M 6M 1Y 2 3 4 5 6 7 8 9 10-250 2.011432 2.013588 2.013622 2.012509 2.028237 2.231811 2.443806 2.421675 2.692110 2.699725 2.741975 2.932246 2.995224-249 2.011583 2.013455 2.012963 2.011762 1.991761 2.223410 2.411652 2.389013 2.664758 2.660492 2.685227 2.889817 2.935095-248 2.011801 2.013747 2.013502 2.014745 1.986620 2.220139 2.406472 2.344969 2.642286 2.638828 2.662808 2.871568 2.908406-247 2.011722 2.013830 2.012514 2.012928 1.981207 2.220279 2.393801 2.344510 2.633054 2.620381 2.648602 2.859680 2.894828-246 2.011699 2.013855 2.012218 2.012384 2.032609 2.246357 2.433766 2.421400 2.668781 2.723195 2.783580 2.919841 2.933951-245 2.012700 2.014875 2.016139 2.017216 2.066936 2.261809 2.464184 2.470459 2.691101 2.737568 2.794898 2.929472 2.948743-244 2.016512 2.019817 2.020127 2.019363 2.077858 2.280943 2.489688 2.464053 2.685477 2.746583 2.796167 2.924062 2.939249-243 2.017003 2.023348 2.027381 2.027152 2.112352 2.299970 2.501049 2.499753 2.698660 2.745318 2.783686 2.917180 2.942800-242 2.022779 2.025647 2.034064 2.034237 2.105700 2.310169 2.517695 2.485675 2.696946 2.752772 2.780452 2.916133 2.940263-241 2.028985 2.035199 2.044491 2.043736 2.104989 2.312563 2.524509 2.468389 2.694488 2.747421 2.784249 2.922083 2.939928-240 2.038805 2.048362 2.058141 2.056829 2.119674 2.316511 2.535484 2.498090 2.711263 2.746544 2.794844 2.934929 2.946695-239 2.042734 2.053628 2.063602 2.060046 2.122295 2.317051 2.532205 2.503403 2.713320 2.747589 2.796810 2.937392 2.947305-238 2.043295 2.056745 2.065786 2.060322 2.124657 2.317334 2.531019 2.505732 2.714675 2.745472 2.790088 2.936327 2.949986-237 2.043545 2.056302 2.065047 2.063833 2.108321 2.314800 2.527438 2.491942 2.709209 2.736038 2.776869 2.931351 2.948027-236 2.042609 2.055794 2.062323 2.062847 2.065578 2.306175 2.517342 2.427242 2.684800 2.648429 2.663795 2.875678 2.923850-235 2.036723 2.042930 2.048747 2.051377 2.010398 2.238250 2.334464 2.219976 2.474138 2.388408 2.389839 2.634342 2.692532-234 2.019384 2.020363 2.021955 2.022722 1.988833 2.215440 2.313675 2.139522 2.420115 2.352624 2.384996 2.604235 2.632215-233 2.010867 2.011945 2.011196 2.008243 1.982992 2.205306 2.310911 2.120303 2.407555 2.359563 2.393823 2.586812 2.593265-232 2.009336 2.009768 2.009854 2.003413 1.986234 2.201182 2.311764 2.124912 2.405098 2.367853 2.405123 2.590413 2.584120-231 2.007714 2.007887 2.008426 2.002315 1.992252 2.200186 2.313278 2.133093 2.403106 2.382340 2.417808 2.593158 2.587401-230 1.998986 2.002085 2.003816 1.998846 1.988122 2.199888 2.313786 2.108482 2.402129 2.350952 2.393188 2.586594 2.579218-229 1.992465 1.993486 1.996530 1.993525 1.974315 2.197291 2.306710 2.056323 2.374250 2.319553 2.363589 2.560154 2.556968-228 1.985817 1.988246 1.991482 1.991291 1.976985 2.197520 2.300745 2.060822 2.371785 2.317115 2.355354 2.552710 2.548660-227 1.983158 1.985139 1.989464 1.990397 1.975442 2.204416 2.297263 2.134357 2.385618 2.346489 2.401908 2.567817 2.550496-226 1.982945 1.984945 1.989632 1.992119 1.977832 2.202753 2.302216 2.135942 2.388321 2.342530 2.394076 2.567408 2.556268-225 1.981504 1.984324 1.988723 1.994768 2.019171 2.221718 2.328832 2.193160 2.413036 2.411206 2.468889 2.599206 2.591542-224 1.980098 1.981509 1.987242 1.993791 2.029880 2.237078 2.364660 2.242508 2.438606 2.458073 2.517884 2.616567 2.623213-223 1.979070 1.981067 1.986899 1.993807 2.019456 2.235728 2.362947 2.204035 2.434767 2.453656 2.517005 2.620459 2.663859
Zero Coupon Yield Curve
-222 1.978556 1.980847 1.987737 1.993815 2.020307 2.238038 2.357531 2.226750 2.437880 2.473144 2.540822 2.628405 2.673614-221 1.978047 1.980737 1.987146 1.991904 1.972706 2.215687 2.315650 2.136737 2.391910 2.392265 2.462001 2.594121 2.627792-220 1.977793 1.980682 1.986851 1.991349 1.976935 2.210855 2.309875 2.134020 2.397681 2.377462 2.439137 2.586715 2.609028-219 1.976838 1.978414 1.981670 1.989195 1.978652 2.208342 2.303583 2.173322 2.412487 2.401067 2.468105 2.594503 2.612928-218 1.985912 1.987394 1.991402 2.004829 2.014692 2.227969 2.321419 2.229433 2.434381 2.447368 2.514279 2.616050 2.635628-217 1.986846 1.990618 1.994641 2.009952 2.004806 2.230466 2.323001 2.215098 2.438508 2.422763 2.491240 2.619679 2.642321-216 1.984284 1.990210 1.995250 2.012001 2.018734 2.238800 2.338153 2.240272 2.447727 2.464055 2.536323 2.643682 2.666690-215 1.983003 1.990006 1.996565 2.013021 1.997364 2.232742 2.330475 2.189120 2.441213 2.415724 2.478154 2.623645 2.638179-214 1.982362 1.990913 2.000253 2.012520 2.003066 2.230800 2.327686 2.211250 2.446667 2.407591 2.469413 2.617249 2.631019-213 1.982042 1.991367 2.003106 2.012471 2.028268 2.240284 2.348387 2.257427 2.463827 2.438749 2.505686 2.629262 2.636721-212 1.981883 1.991593 2.005543 2.013457 2.024909 2.245262 2.354971 2.249207 2.466563 2.442714 2.513243 2.632984 2.639890-211 1.981803 1.991707 2.007772 2.013605 2.025125 2.248513 2.373691 2.254972 2.471136 2.450117 2.521579 2.642761 2.664491-210 1.983277 1.991764 2.009109 2.015034 2.027654 2.255383 2.381349 2.253809 2.475525 2.454095 2.519889 2.648102 2.672770-209 1.984667 1.995636 2.009822 2.018579 2.050785 2.257090 2.386853 2.304185 2.490830 2.481117 2.547690 2.666680 2.689767-208 1.988113 1.997807 2.009965 2.019643 2.059624 2.269580 2.414063 2.327090 2.519389 2.526060 2.596895 2.697716 2.719270-207 1.989968 1.998854 2.009990 2.020376 2.058011 2.284100 2.427027 2.373975 2.550377 2.581670 2.651749 2.729170 2.750273-206 1.995927 2.002302 2.009997 2.021175 2.050874 2.307095 2.447798 2.447357 2.586077 2.654271 2.727604 2.785216 2.813193-205 2.002458 2.006151 2.011009 2.023668 2.050574 2.318721 2.470440 2.497179 2.625593 2.699658 2.769163 2.830976 2.868061-204 2.004209 2.007066 2.010505 2.021884 2.022960 2.311602 2.455978 2.444527 2.615094 2.649615 2.725419 2.819224 2.843034-203 2.005084 2.008027 2.011263 2.022002 2.043800 2.311389 2.455778 2.464994 2.617993 2.685680 2.753570 2.830720 2.850430-202 2.005523 2.007498 2.011641 2.022062 2.031216 2.307387 2.444786 2.437755 2.614594 2.658150 2.730586 2.830522 2.847563-201 2.004731 2.007234 2.010821 2.021081 2.041639 2.308811 2.442658 2.449977 2.618648 2.669031 2.741158 2.836340 2.851147-200 2.002316 2.005081 2.010328 2.020591 2.046342 2.311595 2.452941 2.450334 2.621587 2.687670 2.750623 2.840571 2.850809-199 2.000098 2.003501 2.010131 2.020346 2.049451 2.310937 2.454308 2.452929 2.623580 2.687900 2.753855 2.844201 2.847645-198 1.998989 2.002710 2.010053 2.020222 2.051202 2.302761 2.441706 2.404797 2.614066 2.669255 2.710689 2.827077 2.808001-197 1.997425 2.000295 2.010021 2.017119 2.027036 2.277213 2.402275 2.333666 2.587773 2.572901 2.617007 2.781567 2.745429-196 1.996642 1.999088 2.008998 2.012847 2.017014 2.272391 2.404025 2.355702 2.584633 2.569063 2.623112 2.783182 2.749054-195 1.982439 1.986446 1.990510 1.991665 1.987775 2.257505 2.385876 2.308702 2.558555 2.522063 2.593158 2.765964 2.704822-194 1.978041 1.982064 1.985106 1.986321 2.005796 2.260842 2.394471 2.350592 2.568176 2.566970 2.632800 2.777580 2.733128-193 1.969723 1.973981 1.978058 1.975950 1.982063 2.250977 2.389039 2.347349 2.567795 2.565882 2.641323 2.775082 2.728399-192 1.966599 1.970479 1.975334 1.973903 1.976219 2.247284 2.387352 2.338920 2.566588 2.561670 2.630544 2.769042 2.726804-191 1.959927 1.964158 1.973615 1.978167 1.988195 2.259019 2.420169 2.404336 2.600869 2.618972 2.695274 2.797157 2.761588
-190 1.960270 1.963526 1.975463 1.980613 2.012148 2.277990 2.439314 2.461450 2.638424 2.688684 2.774557 2.842518 2.817993-189 1.825330 1.832719 1.828281 1.851492 1.900565 2.216149 2.379318 2.362639 2.603834 2.633357 2.709179 2.818071 2.796700-188 1.780564 1.786347 1.786912 1.799019 1.856534 2.171369 2.336201 2.369773 2.591601 2.603105 2.670756 2.798529 2.760131-187 1.771317 1.778526 1.780657 1.797203 1.878147 2.162267 2.358240 2.375348 2.600005 2.642483 2.719712 2.801797 2.785985-186 1.767723 1.775796 1.778296 1.796941 1.875667 2.172349 2.356994 2.387714 2.614505 2.652538 2.730891 2.810758 2.799971-185 1.763953 1.777068 1.779267 1.797743 1.877031 2.172637 2.354523 2.390547 2.616636 2.653824 2.733232 2.809736 2.796471-184 1.761435 1.774549 1.776662 1.797820 1.878136 2.170303 2.346813 2.381814 2.614904 2.649238 2.733202 2.811800 2.800346-183 1.761156 1.775391 1.778615 1.796707 1.863345 2.146794 2.291424 2.362993 2.594961 2.620738 2.723602 2.805793 2.785313-182 1.760705 1.773607 1.776160 1.795483 1.855447 2.139373 2.301904 2.361025 2.593859 2.623673 2.732697 2.797762 2.792495-181 1.761074 1.775286 1.777999 1.795326 1.853004 2.137083 2.293211 2.369669 2.593532 2.611029 2.715927 2.799070 2.788766-180 1.762154 1.774963 1.777888 1.795256 1.832696 2.127742 2.278736 2.351424 2.585012 2.611993 2.711414 2.797173 2.790243-179 1.761922 1.774782 1.778916 1.795066 1.829440 2.091013 2.269314 2.339713 2.577914 2.579709 2.677614 2.794346 2.787983-178 1.761876 1.774242 1.777103 1.792001 1.781995 2.063955 2.236289 2.305880 2.553131 2.536682 2.636347 2.775322 2.770661-177 1.762291 1.773474 1.775613 1.786955 1.771176 2.047354 2.229499 2.315807 2.542469 2.530890 2.627691 2.761200 2.766325-176 1.761323 1.775415 1.777481 1.786955 1.765859 2.045524 2.225821 2.312125 2.538508 2.515692 2.611714 2.757324 2.760736-175 1.761226 1.775609 1.777450 1.785442 1.764196 2.046374 2.227159 2.318071 2.541561 2.517396 2.608775 2.755494 2.757547-174 1.761540 1.775535 1.777442 1.781467 1.767090 2.026743 2.216935 2.284915 2.523070 2.513621 2.613570 2.702257 2.746239-173 1.760174 1.772731 1.775462 1.781211 1.765132 2.024897 2.206885 2.273327 2.514728 2.502019 2.604175 2.668275 2.734266-172 1.760038 1.770433 1.773953 1.781185 1.764875 2.028824 2.203985 2.280624 2.514286 2.500968 2.606069 2.668491 2.733728-171 1.757585 1.766672 1.769767 1.773112 1.770073 2.030032 2.205274 2.277150 2.515578 2.507171 2.612994 2.674185 2.736727-170 1.758600 1.766044 1.768844 1.774321 1.775360 2.033190 2.212111 2.277929 2.526140 2.518574 2.627961 2.710936 2.756531-169 1.755323 1.761275 1.763313 1.770829 1.769821 2.030132 2.205291 2.285474 2.529661 2.527836 2.633622 2.714704 2.759745-168 1.755172 1.755499 1.755184 1.766344 1.766270 2.027386 2.207155 2.276477 2.530686 2.525694 2.634815 2.712968 2.763259-167 1.749360 1.749012 1.749154 1.761215 1.759824 2.010225 2.192214 2.284051 2.525956 2.517054 2.639590 2.728359 2.755194-166 1.745249 1.743320 1.746785 1.756163 1.757762 1.992756 2.190639 2.274758 2.523092 2.522302 2.635143 2.713221 2.751362-165 1.737777 1.741381 1.744721 1.752323 1.753799 1.979804 2.185418 2.277280 2.526652 2.522897 2.637303 2.715746 2.746375-164 1.729180 1.732439 1.735465 1.745552 1.755112 1.971819 2.155371 2.295819 2.512251 2.519216 2.620778 2.687433 2.713731-163 1.726566 1.729917 1.732237 1.743333 1.745330 1.951492 2.095897 2.223465 2.461107 2.459595 2.555799 2.606173 2.656952-162 1.725296 1.729665 1.732419 1.743111 1.736625 1.935964 2.092066 2.217862 2.453544 2.451369 2.551763 2.598103 2.649309-161 1.726976 1.729363 1.731931 1.740121 1.729246 1.922178 2.053733 2.215194 2.425094 2.414654 2.511490 2.545404 2.624251-160 1.723236 1.727482 1.729765 1.735752 1.725809 1.924210 2.071743 2.251807 2.431644 2.428632 2.522251 2.567341 2.635852-159 1.723538 1.727413 1.728879 1.737136 1.723769 1.922472 2.081531 2.260065 2.437075 2.443311 2.523039 2.565157 2.639467
-158 1.572131 1.572131 1.572131 1.593296 1.649355 1.859052 2.034107 2.186453 2.407895 2.416463 2.511664 2.561693 2.637681-157 1.536457 1.534442 1.537464 1.542906 1.574647 1.798272 1.977949 2.151582 2.360643 2.388943 2.476167 2.512032 2.588860-156 1.529202 1.529940 1.532851 1.538540 1.584675 1.811393 2.032711 2.215973 2.409094 2.470844 2.562350 2.630052 2.659760-155 1.527657 1.528941 1.532946 1.539808 1.628550 1.876212 2.148413 2.341218 2.524685 2.649667 2.723049 2.793058 2.810478-154 1.525333 1.528740 1.532965 1.538047 1.616987 1.872269 2.141448 2.315341 2.534583 2.630633 2.743343 2.827138 2.848161-153 1.523816 1.528997 1.533688 1.538922 1.586492 1.860208 2.123236 2.299504 2.515837 2.601522 2.745861 2.829225 2.835944-152 1.522977 1.528072 1.532971 1.538087 1.606119 1.894555 2.191721 2.403502 2.571360 2.658454 2.843408 2.962860 2.952559-151 1.522386 1.528019 1.533532 1.538058 1.600446 1.891404 2.191283 2.371135 2.570627 2.671439 2.839681 2.939178 2.962242-150 1.521540 1.528786 1.532924 1.535813 1.590743 1.889710 2.172802 2.364222 2.566782 2.667052 2.842640 2.941487 2.959358-149 1.520363 1.526924 1.530788 1.534357 1.583435 1.887107 2.166261 2.358012 2.566817 2.670525 2.840427 2.933093 2.954463-148 1.525264 1.529847 1.530804 1.528548 1.583965 1.887031 2.166253 2.358005 2.566808 2.670518 2.840421 2.933093 2.954459-147 1.521521 1.525485 1.525712 1.522656 1.581670 1.889982 2.151472 2.359228 2.573127 2.687606 2.850778 2.932770 2.944386-146 1.519501 1.523685 1.522513 1.519319 1.565270 1.886281 2.146691 2.365144 2.575528 2.683236 2.869319 2.950407 2.953940-145 1.519909 1.521122 1.518763 1.515817 1.555410 1.862094 2.119088 2.315587 2.546635 2.645759 2.832146 2.915518 2.937089-144 1.517044 1.516897 1.513035 1.507983 1.545739 1.839855 2.089291 2.303222 2.534949 2.653402 2.799408 2.867782 2.921646-143 1.515457 1.515041 1.507859 1.501417 1.532296 1.830540 2.096481 2.320709 2.541215 2.669299 2.810800 2.883054 2.932673-142 1.509057 1.507253 1.499817 1.495169 1.520730 1.810210 2.075398 2.285236 2.540274 2.680716 2.787749 2.850133 2.915377-141 1.508279 1.503673 1.493976 1.490544 1.516602 1.800300 2.073936 2.285018 2.540552 2.682881 2.784630 2.847538 2.913532-140 1.505940 1.500429 1.489202 1.487133 1.504893 1.785994 2.072292 2.273859 2.538765 2.677503 2.768587 2.827241 2.886197-139 1.501422 1.492701 1.485597 1.486161 1.500142 1.784456 2.070874 2.278734 2.536525 2.677931 2.758599 2.815501 2.864789-138 1.486214 1.478545 1.470116 1.468451 1.503262 1.775905 2.081145 2.289225 2.547189 2.699907 2.766229 2.821570 2.879478-137 1.495394 1.488490 1.484325 1.480582 1.544016 1.814316 2.153037 2.376530 2.591058 2.742323 2.860993 2.923203 2.935501-136 1.499787 1.493942 1.494187 1.489104 1.610466 1.912144 2.283970 2.454545 2.706799 2.883837 2.992950 3.042098 3.059669-135 1.500762 1.495154 1.496378 1.492109 1.596457 1.894484 2.249367 2.424347 2.697927 2.856094 2.992092 3.033063 3.047420-134 1.499896 1.494705 1.495728 1.492502 1.601334 1.906376 2.272861 2.411940 2.718249 2.859537 3.054635 3.103453 3.092018-133 1.499810 1.491626 1.493648 1.492540 1.585164 1.900612 2.230479 2.386486 2.706727 2.837406 3.044281 3.100278 3.080081-132 1.499005 1.493864 1.496605 1.493644 1.541488 1.898637 2.257862 2.418503 2.740048 2.867564 3.102210 3.166113 3.131133-131 1.498634 1.494086 1.496589 1.495338 1.510354 1.885187 2.251574 2.412142 2.750405 2.879953 3.107459 3.172674 3.157399-130 1.498487 1.494175 1.496583 1.495515 1.506086 1.874697 2.231131 2.387015 2.743498 2.880698 3.074795 3.145066 3.153539-129 1.496401 1.494210 1.497084 1.496586 1.504605 1.859365 2.217864 2.370113 2.733819 2.874459 3.055144 3.126426 3.147348-128 1.494759 1.492199 1.495068 1.497252 1.477533 1.841244 2.198180 2.358630 2.709462 2.848371 2.998937 3.079081 3.110425-127 1.492058 1.488378 1.493221 1.498086 1.468785 1.835880 2.203230 2.374286 2.706332 2.843325 2.995709 3.078170 3.102949
-126 1.492072 1.487219 1.493909 1.498530 1.469555 1.815447 2.181494 2.343003 2.682294 2.815561 2.950134 3.029787 3.058408-125 1.491061 1.486870 1.492101 1.498664 1.470280 1.806611 2.168222 2.331348 2.675012 2.807537 2.929693 3.010811 3.049087-124 1.487147 1.487172 1.489864 1.497587 1.477043 1.809649 2.176252 2.349063 2.673543 2.806419 2.936347 3.012463 3.017243-123 1.486756 1.485140 1.488184 1.496285 1.501466 1.824623 2.222858 2.419519 2.706354 2.824173 3.002159 3.065801 3.046258-122 1.482963 1.483722 1.487847 1.496024 1.524046 1.747418 2.198180 2.386875 2.699170 2.816534 3.001124 3.066845 3.040673-121 1.483094 1.483963 1.488553 1.495789 1.551603 1.768942 2.207753 2.391544 2.706793 2.830630 3.016626 3.076675 3.054296-120 1.486187 1.487598 1.491857 1.497695 1.542842 1.759671 2.184249 2.374059 2.688915 2.823053 2.978301 3.043484 3.053539-119 1.487116 1.488689 1.496878 1.498267 1.541832 1.741802 2.164166 2.354358 2.681805 2.815800 2.982145 3.050767 3.058486-118 1.488810 1.489488 1.499216 1.498686 1.542496 1.737094 2.159357 2.351310 2.672518 2.811805 2.947358 3.026023 3.055997-117 1.489110 1.489751 1.501056 1.499627 1.551958 1.742139 2.158953 2.352502 2.672758 2.810343 2.965386 3.038222 3.063495-116 1.489736 1.489856 1.501791 1.499869 1.549336 1.732513 2.139406 2.336208 2.657485 2.801290 2.933180 3.016494 3.046414-115 1.488973 1.489899 1.502086 1.499983 1.544230 1.720304 2.118819 2.321937 2.646699 2.794776 2.909126 2.997838 3.017817-114 1.486641 1.488399 1.498174 1.498011 1.540182 1.711600 2.116377 2.314145 2.645654 2.790940 2.926371 3.006573 3.021366-113 1.484694 1.485761 1.494594 1.495223 1.522729 1.661648 2.060169 2.307276 2.591923 2.749298 2.843614 2.946549 2.972658-112 1.482083 1.482947 1.488222 1.486386 1.509586 1.610880 2.019561 2.267814 2.549193 2.701083 2.789110 2.899545 2.923708-111 1.480336 1.480563 1.482281 1.479572 1.499072 1.568937 2.016876 2.266128 2.540964 2.680803 2.790686 2.899072 2.912178-110 1.473330 1.473616 1.475823 1.473968 1.498672 1.543254 1.990021 2.262898 2.527751 2.670464 2.782376 2.889705 2.909182-109 1.460781 1.460546 1.461396 1.464318 1.488880 1.520101 1.984837 2.271842 2.527646 2.677034 2.799598 2.901945 2.922713-108 1.459284 1.457217 1.458945 1.464352 1.483470 1.452408 1.937651 2.247245 2.516390 2.666662 2.770514 2.877503 2.921611-107 1.459953 1.456814 1.460579 1.464287 1.483978 1.447764 1.889989 2.241893 2.505644 2.664010 2.773388 2.876030 2.915751-106 1.459118 1.457746 1.459898 1.464274 1.489002 1.462912 1.890798 2.246340 2.510430 2.663810 2.801683 2.895324 2.923519-105 1.458889 1.457915 1.463752 1.464196 1.486701 1.465753 1.882886 2.240207 2.505225 2.669332 2.798871 2.895324 2.926141-104 1.455951 1.455438 1.458173 1.461840 1.488261 1.472635 1.884307 2.235660 2.498769 2.668506 2.782903 2.888043 2.924850-103 1.454644 1.454179 1.456609 1.460104 1.485228 1.469911 1.875935 2.233691 2.499271 2.665832 2.778729 2.884242 2.928285-102 1.458057 1.457724 1.458600 1.464938 1.497899 1.513826 1.960173 2.283198 2.539405 2.714738 2.810514 2.901305 2.936714-101 1.457726 1.458939 1.459503 1.463906 1.501706 1.516486 1.958333 2.280582 2.534395 2.708656 2.798917 2.892655 2.913335-100 1.457661 1.457665 1.458676 1.460198 1.505987 1.518928 1.957920 2.281436 2.536894 2.707532 2.805010 2.894744 2.912856-99 1.451430 1.450305 1.452589 1.457046 1.505561 1.515289 1.959119 2.273761 2.532667 2.701207 2.807507 2.896124 2.909220-98 1.448780 1.447547 1.449966 1.457432 1.505523 1.535990 1.980294 2.268909 2.536921 2.703027 2.819248 2.903533 2.914351-97 1.450542 1.450304 1.452725 1.459865 1.514168 1.557946 1.994192 2.269154 2.538466 2.699690 2.822618 2.904939 2.904805-96 1.444732 1.447291 1.449726 1.456996 1.500108 1.558009 1.963201 2.253166 2.521285 2.691411 2.789117 2.887776 2.895702-95 1.438502 1.440676 1.443586 1.449421 1.491994 1.560312 1.947073 2.206850 2.485028 2.641063 2.743674 2.849687 2.860429
-94 1.440296 1.442334 1.445379 1.453908 1.502408 1.567133 1.976676 2.224110 2.497919 2.649447 2.760762 2.851087 2.860486-93 1.441668 1.441654 1.446745 1.456805 1.514214 1.585254 1.999665 2.236143 2.511150 2.665472 2.768623 2.854064 2.876656-92 1.440930 1.442529 1.445004 1.456384 1.511650 1.579504 1.983549 2.237923 2.507837 2.662944 2.775536 2.856127 2.874899-91 1.439842 1.441605 1.446340 1.459342 1.514276 1.582074 1.970082 2.229501 2.499691 2.660390 2.776278 2.856179 2.874675-90 1.438434 1.441932 1.447690 1.459877 1.520254 1.590599 1.985735 2.241357 2.513772 2.673366 2.780645 2.857834 2.879852-89 1.438398 1.441541 1.447576 1.460945 1.517680 1.584017 1.954740 2.222165 2.485923 2.650745 2.756684 2.840623 2.844453-88 1.439263 1.443517 1.447184 1.459212 1.515155 1.584230 1.951696 2.218335 2.481846 2.650868 2.696268 2.794200 2.814975-87 1.438422 1.441890 1.446404 1.457866 1.512795 1.593239 1.938045 2.196330 2.467250 2.618714 2.670084 2.771676 2.786748-86 1.438254 1.442575 1.445439 1.456596 1.480451 1.561628 1.876778 2.158585 2.434071 2.576125 2.652171 2.753418 2.768752-85 1.436193 1.440692 1.446254 1.455342 1.477416 1.554460 1.876200 2.151175 2.425454 2.560868 2.643067 2.738350 2.753518-84 1.436466 1.441625 1.446522 1.454623 1.479552 1.560497 1.891274 2.152228 2.420715 2.568965 2.616503 2.717468 2.737116-83 1.438547 1.441813 1.447583 1.457479 1.489731 1.586652 1.932138 2.172240 2.446106 2.593631 2.623650 2.717779 2.735360-82 1.439977 1.444883 1.451824 1.464050 1.519365 1.634024 2.003347 2.215933 2.516998 2.646265 2.713398 2.776992 2.797212-81 1.445708 1.449453 1.458265 1.470735 1.542863 1.693032 2.053276 2.236751 2.575598 2.678531 2.849613 2.875096 2.897682-80 1.448947 1.452593 1.462213 1.473241 1.553642 1.701422 2.018029 2.240153 2.560081 2.693389 2.836406 2.884140 2.913954-79 1.449596 1.453221 1.465018 1.475743 1.542998 1.702288 1.972262 2.224061 2.529428 2.684811 2.793132 2.861133 2.887944-78 1.449153 1.454042 1.466809 1.480993 1.555782 1.721355 2.016802 2.253697 2.566180 2.719825 2.788496 2.863081 2.898445-77 1.448460 1.453717 1.468302 1.482319 1.559114 1.728480 2.014294 2.261610 2.568911 2.730807 2.787458 2.866706 2.901525-76 1.449228 1.456978 1.471598 1.486095 1.563716 1.725960 1.993315 2.254334 2.554520 2.722322 2.771405 2.865617 2.897428-75 1.446020 1.452745 1.471539 1.486076 1.574261 1.722807 2.002628 2.256767 2.564646 2.732449 2.771993 2.864555 2.933086-74 1.448534 1.454339 1.470225 1.485844 1.572359 1.720603 2.007681 2.273469 2.595381 2.763976 2.777463 2.868106 2.947085-73 1.448973 1.454296 1.471593 1.486438 1.571791 1.718421 1.991892 2.256925 2.581791 2.748642 2.783279 2.876359 2.947094-72 1.448407 1.453794 1.473263 1.488312 1.570147 1.725893 2.020294 2.280298 2.602625 2.762002 2.808582 2.892478 2.972883-71 1.450770 1.459708 1.481822 1.498515 1.597798 1.775985 2.092222 2.374008 2.692670 2.827885 2.962146 3.002061 3.136246-70 1.451479 1.461482 1.487412 1.501577 1.610818 1.805625 2.096324 2.381416 2.692487 2.835443 2.971727 3.015525 3.126286-69 1.454661 1.464869 1.493568 1.502188 1.618647 1.862969 2.124416 2.407890 2.718379 2.854806 3.028696 3.060436 3.157546-68 1.458613 1.468093 1.499377 1.502973 1.620351 1.879181 2.144974 2.415927 2.726413 2.866770 3.040461 3.074503 3.177454-67 1.464980 1.474108 1.499731 1.501913 1.603449 1.877509 2.104813 2.389561 2.696461 2.845190 3.015871 3.063715 3.151099-66 1.469918 1.486679 1.504288 1.503900 1.591814 1.877301 2.076421 2.354852 2.662571 2.835350 2.940501 3.026514 3.095384-65 1.475521 1.490703 1.505340 1.504780 1.589415 1.874627 2.081141 2.366321 2.655704 2.828991 2.953486 3.041454 3.087478-64 1.474050 1.489239 1.504572 1.504480 1.585817 1.866754 2.049758 2.348281 2.598671 2.799806 2.848506 2.966119 2.978191-63 1.474172 1.488541 1.503305 1.504866 1.576443 1.789506 1.980110 2.297122 2.527296 2.712493 2.715953 2.850613 2.877051
-62 1.479707 1.491394 1.505714 1.505465 1.580648 1.781152 1.992222 2.308957 2.527760 2.704916 2.727565 2.845034 2.879577-61 1.482458 1.494748 1.508181 1.508661 1.578227 1.797677 2.010959 2.304437 2.535654 2.704509 2.730524 2.840540 2.866992-60 1.483790 1.496261 1.508922 1.509620 1.578956 1.805910 2.019577 2.299208 2.536623 2.708299 2.706790 2.806135 2.812927-59 1.485780 1.498779 1.509532 1.511005 1.586963 1.823889 2.062997 2.319677 2.593656 2.743355 2.762976 2.832485 2.868654-58 1.487828 1.501009 1.510334 1.514323 1.590394 1.817540 2.055795 2.330980 2.610127 2.752799 2.800798 2.857274 2.895775-57 1.493307 1.503478 1.512510 1.515488 1.587082 1.819136 2.051873 2.345198 2.616101 2.757627 2.817453 2.866035 2.914429-56 1.498740 1.507919 1.517803 1.520133 1.590909 1.805749 2.036187 2.345155 2.629948 2.771303 2.822779 2.870300 2.919291-55 1.500840 1.508808 1.517853 1.519561 1.590246 1.790311 1.996808 2.333444 2.606919 2.759159 2.788778 2.852415 2.885697-54 1.500457 1.508569 1.517365 1.518890 1.587998 1.794625 1.989601 2.331087 2.608382 2.668689 2.788436 2.845189 2.841510-53 1.500342 1.507990 1.515204 1.518190 1.585813 1.803499 1.969329 2.326737 2.603277 2.672127 2.788680 2.838939 2.841362-52 1.504368 1.508781 1.514503 1.515794 1.589397 1.800896 1.962079 2.316241 2.569118 2.628604 2.752563 2.806289 2.811627-51 1.504159 1.506380 1.510836 1.513815 1.590381 1.797987 1.971779 2.316391 2.555515 2.610917 2.744966 2.790920 2.774991-50 1.504880 1.504807 1.507702 1.510166 1.587908 1.769827 1.962811 2.304662 2.506251 2.535886 2.694642 2.753689 2.716726-49 1.499085 1.499924 1.505962 1.507585 1.586377 1.765303 1.985650 2.314581 2.524295 2.571277 2.717356 2.759997 2.736708-48 1.471667 1.469188 1.475417 1.486541 1.572073 1.750473 1.957965 2.297525 2.491741 2.516175 2.661315 2.718661 2.687729-47 1.461296 1.464832 1.472899 1.489483 1.572377 1.753482 1.969783 2.306731 2.503403 2.537706 2.673331 2.718191 2.690877-46 1.455191 1.458837 1.469625 1.487278 1.572270 1.752033 1.972290 2.310200 2.504293 2.539522 2.674919 2.719971 2.686131-45 1.452682 1.456027 1.466939 1.484504 1.571134 1.752852 1.986696 2.316965 2.510713 2.553416 2.683072 2.721575 2.691487-44 1.452431 1.455629 1.469693 1.484576 1.563028 1.676804 1.921801 2.281232 2.452448 2.484954 2.619342 2.649154 2.600827-43 1.451368 1.453528 1.465206 1.484590 1.562835 1.687942 1.924669 2.278257 2.458700 2.488017 2.613582 2.641625 2.590849-42 1.448219 1.455795 1.468773 1.486397 1.576150 1.720720 1.991573 2.318938 2.518863 2.573138 2.665923 2.679706 2.667046-41 1.451641 1.460798 1.477546 1.491758 1.581280 1.731060 1.995769 2.323230 2.537337 2.614388 2.716148 2.721424 2.713917-40 1.452627 1.462230 1.477493 1.493141 1.577675 1.726229 1.958093 2.319655 2.513285 2.583173 2.695705 2.709591 2.675983-39 1.454550 1.466128 1.480297 1.494108 1.577920 1.725085 1.943032 2.313719 2.506810 2.579729 2.697182 2.711183 2.676997-38 1.458187 1.470486 1.485444 1.496253 1.575373 1.708693 1.903663 2.295191 2.466514 2.532825 2.666957 2.688985 2.662358-37 1.457696 1.470043 1.488261 1.496311 1.572672 1.715352 1.894575 2.284684 2.458513 2.536900 2.675171 2.693762 2.663900-36 1.459830 1.472785 1.491570 1.497694 1.575725 1.709997 1.914358 2.305002 2.481416 2.576691 2.707783 2.715139 2.704352-35 1.462017 1.476381 1.494678 1.499512 1.577594 1.712804 1.936589 2.326293 2.503733 2.614636 2.745563 2.733684 2.713227-34 1.463149 1.476476 1.494656 1.500671 1.581760 1.722309 1.945111 2.332077 2.525144 2.631938 2.747093 2.739054 2.728722-33 1.461318 1.474759 1.494145 1.500116 1.577115 1.723673 1.895164 2.308600 2.505157 2.585740 2.698583 2.723105 2.705990-32 1.461301 1.474247 1.495193 1.499995 1.576927 1.713364 1.900487 2.303234 2.493580 2.568268 2.685059 2.706269 2.680551-31 1.462239 1.474943 1.495454 1.500020 1.575071 1.717831 1.909327 2.308638 2.508159 2.581992 2.684696 2.708550 2.681581
-30 1.462427 1.475083 1.496513 1.501026 1.575142 1.720980 1.924902 2.320003 2.521784 2.593916 2.687257 2.712086 2.704695-29 1.462577 1.475700 1.496857 1.501330 1.574856 1.722794 1.927016 2.323270 2.524920 2.591407 2.683456 2.714199 2.707308-28 1.462622 1.475884 1.496961 1.502421 1.579635 1.743952 1.977148 2.358301 2.573520 2.644309 2.709458 2.740041 2.763119-27 1.462635 1.477457 1.499511 1.502748 1.577769 1.744564 1.956549 2.352422 2.550738 2.629269 2.713122 2.744660 2.776528-26 1.463652 1.477771 1.500020 1.502813 1.579835 1.723975 1.921549 2.329884 2.514958 2.592496 2.696156 2.738628 2.782269-25 1.465478 1.478023 1.500428 1.502865 1.578457 1.720593 1.901267 2.312982 2.484974 2.565322 2.689979 2.730842 2.762334-24 1.465404 1.479074 1.499988 1.502160 1.579533 1.724862 1.931565 2.332235 2.512304 2.597560 2.699644 2.731669 2.771023-23 1.463984 1.479319 1.500463 1.501740 1.579103 1.723301 1.924859 2.329233 2.508978 2.593416 2.694533 2.731334 2.775406-22 1.462180 1.481391 1.501565 1.504156 1.580898 1.724875 1.917569 2.329089 2.503526 2.593390 2.697035 2.730337 2.776745-21 1.461490 1.482142 1.501899 1.504769 1.582488 1.720222 1.914143 2.326604 2.499896 2.593362 2.698815 2.730462 2.782106-20 1.461454 1.482276 1.501595 1.505499 1.583278 1.721249 1.929046 2.332388 2.514655 2.610924 2.706152 2.740454 2.809769-19 1.468198 1.486252 1.503732 1.505743 1.596564 1.729827 1.966596 2.352698 2.543126 2.661341 2.744931 2.767921 2.884733-18 1.479512 1.493207 1.506075 1.505245 1.604861 1.737309 1.964445 2.362148 2.536070 2.672040 2.777169 2.797943 2.925809-17 1.483921 1.497821 1.506779 1.505095 1.599582 1.737755 1.923244 2.339792 2.509210 2.642457 2.768012 2.790609 2.879987-16 1.487842 1.500767 1.506919 1.501565 1.594363 1.734809 1.901858 2.330824 2.460579 2.578805 2.733688 2.776303 2.835438-15 1.489642 1.501355 1.506947 1.501859 1.597307 1.705793 1.863875 2.309235 2.414932 2.516983 2.688197 2.751480 2.785896-14 1.491014 1.502287 1.507040 1.500578 1.595295 1.703210 1.861939 2.304400 2.408893 2.515401 2.681071 2.739440 2.788101-13 1.494330 1.502474 1.508066 1.502322 1.601233 1.715685 1.915066 2.335482 2.462717 2.583098 2.715450 2.760040 2.828472-12 1.497490 1.503129 1.508383 1.504219 1.602272 1.710654 1.879831 2.303597 2.431164 2.548222 2.692064 2.740488 2.797022-11 1.498121 1.503260 1.508446 1.504598 1.600739 1.713540 1.876437 2.293349 2.412458 2.535181 2.687070 2.727483 2.765970-10 1.498613 1.503362 1.508495 1.504893 1.600985 1.712553 1.867116 2.285277 2.404445 2.531907 2.684242 2.719288 2.748083-9 1.500547 1.505049 1.509695 1.507117 1.605159 1.719593 1.918614 2.314478 2.437807 2.582643 2.718917 2.738705 2.793175-8 1.503016 1.505235 1.510948 1.508475 1.606212 1.726145 1.916785 2.317222 2.435585 2.582180 2.723795 2.745225 2.781747-7 1.505437 1.506163 1.511289 1.508909 1.608669 1.724442 1.894010 2.313037 2.413630 2.553560 2.712056 2.736027 2.741986-6 1.505648 1.505660 1.510827 1.508151 1.609297 1.727186 1.899125 2.316817 2.418824 2.560877 2.715235 2.737406 2.743492-5 1.506198 1.506065 1.511036 1.507999 1.612990 1.732455 1.906446 2.319820 2.418077 2.561662 2.717031 2.735668 2.732551-4 1.507724 1.507000 1.511828 1.509218 1.611780 1.742648 1.907533 2.318113 2.414101 2.548617 2.704112 2.724585 2.704922-3 1.507220 1.507469 1.512226 1.509828 1.610302 1.750363 1.905524 2.322301 2.407518 2.532330 2.691387 2.713222 2.676395-2 1.510482 1.509684 1.513158 1.511970 1.616558 1.766711 1.930475 2.321660 2.406583 2.531062 2.690412 2.703942 2.660209-1 1.510448 1.509434 1.513184 1.512900 1.617652 1.766010 1.905810 2.327712 2.400814 2.517338 2.676409 2.694746 2.6557830 1.510943 1.509667 1.512236 1.510592 1.621256 1.777315 1.910292 2.326193 2.398282 2.519999 2.676560 2.691712 2.653040
Recommended