Modul Pengajaran Dan PembelajaranMatematik Tambahan
Tingkatan 5
Analisis SPM
Tahun 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015Kertas 1 - 1 1 1 1 1 - 1
Kertas 2 - 1 12
12
12
12
12
12
1
Taburan Binomial
2
Taburan Binomial
Kebarangkalian
P ( X=r )= C r❑n p r qn−r
p = kebarangkalian kejayaan
q = kebarangkalian kegagalan
n = bilangan uji kaji yang
dilakukan
r = bilangan kejayaan yang
dicerap
p + q = 1
Min, μ=np
Varians, σ 2=npq
Sisihan piawai, σ=√npq
Aktiviti ‘Think-Pair-Share’
3
1. Pelajar dibahagikan kepada 2 orang sekumpulan.
2. Guru mengemukakan soalan / masalah.
3. Pelajar dikehendaki berfikir secara bersendirian selama 1 minit untuk mencari penyelesaian kepada masalah yang dikemukakan.
4. Pelajar dikehendaki berbincangan dengan pasangannya selama 2 minit untuk mencari atau mengesahkan cara penyelesaian.
5. Seorang wakil daripada kumpulan dikehendaki membentangkan carapenyelesaian masalah di atas papan hijau untuk dikongsi dengan pelajar-pelajar lain di dalam kelas.
6. Pelajar-pelajar lain dalam kelas boleh mengemukakan pertanyaan tentangcara penyelesaian masalah.
7. Guru memberi komen dan membetulkan kesilapan sekiranya ada.
Taburan Binomial
Uji kaji Bernoulli ialah uji kaji yang hanya mempunyai dua kesudahan yang
mungkin, iaitu berjaya atau gagal.
Taburan Binomial ialah taburan kebarangkalian bagi uji kaji Bernoulli
Pemboleh ubah rawak diskret ialah pemboleh ubah rawak yang mengambil nilai
terbilang sahaja.
Aktiviti 1
1. Sebiji dadu dilambung 5 kali.
Jika X mewakili bilangan kali ‘3’ muncul,
senaraikan nilai-nilai X yang mungkin.
X= {0,1,2,3,4,5}
2. Sekeping duit syiling dilambung 3 kali.
Jika X mewakili bilangan ‘gambar’muncul,
senaraikan nilai-nilai X yang mungkin.
3. Terdapat 10 orang pelajar lelaki di dalam sebuah kelas.
Jika X mewakili pelajar lelaki yang datang ke sekolah
dengan bas sekolah,
senaraikan nilai-nilai X yang mungkin.
4
berjaya
Uji kajiBernoulli
gagal
Dua kesudahan
Dalam taburan Binomial, jika X mencatat r kali kejayaan daripada n percubaan, maka
X mempunyai Taburan Binomial dan ditulis sebagai
X ~ Bin(n, p)
n = bilangan percubaan
p = kebarangkalian kejayaan
kebarangkalian untuk mendapat r kali kejayaan apabila suatu uji kaji Bernoulli
diulang sebanyak n kali ialah
p = kebarangkalian kejayaan
q = kebarangkalian kegagalan
p + q = 1
n = bilangan uji kaji yang dilakukan
r = bilangan kejayaan yang dicerap
Aktiviti 2
No. Masalah Kebarangkalian
kejayaan, p
Kebarangkalian
kegagalan,
q =1- p
1. Kebarangkalian untuk mendapat jawapan
yang betul daripada 4 pilihan jawapan,
A, B, C dan D.
2. Kebarangkalian untuk mendapat ‘angka’
apabila sekeping duit syiling dilambung.
3. Kebarangkalian untuk mendapat nombor
genap apabila sebuah dadu yang adil
dilambung.
Graf Taburan Binomial
5
P ( X=r )= C r❑n pr qn−r
Aktiviti 3
Soalan 1
a) n=3 , p=16
, q=1−16=5
6
X = {0,1, 2, 3}
P ( X=0 )= C0( 16 )
0
( 56 )
3
=0.5787❑
3
P ( X=1 )= C1( 16 )
1
( 56 )
2
=0.3472❑
3
P ( X=2 )= C2( 16 )
2
( 56 )
1
=0.0694❑
3
P ( X=3 )= C3( 16 )
3
( 56 )
0
=0.0046❑
3
b)
6
Penyelesaian
P(X = r)
r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 1 2 3
P ( X=r )= C r❑n pr qn−r
Sebiji dadu adil dilambung 3 kali berturut-turut dan kejayaan dianggap
telah dicapai apabila nombor ‘6’ diperoleh. Jika X mewakili bilangan ‘6’
yang dicerap, cari
a) taburan kebarangkalian untuk X
b) plotkan taburan binomial untuk X
Soalan 2
Jawapan :
n = 5, p = 0.4, q = 0.6
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
P(X = 0) = 0.07776
P(X = 1) = 0.2592
P(X = 2) = 0.3456
P(X = 3) = 0.2304
P(X = 4) = 0.0768
P(X = 5) = 0.01024
7
Dalam satu kajian, didapati 40% daripada keluarga di Kampung Aman
mempunyai komputer . Jika 5 keluarga dipilih secara rawak, tentukan
taburan binomial untuk bilangan keluarga yang mempunyai komputer.
Lukis graf taburan binomial tersebut.
Soalan 3
Pemboleh ubah rawak diskret X mempunyai taburan kebarangkalian binomial dengan
n= 4, dengan keadaan n ialah bilangan percubaan.
Cari
a) nilai k
b) P( X ≥ 3)
a) k=1−2( 116 )−2( 1
4 ) =
38
b) P ( X ≥3 )=14+ 1
16
= 5
16
8
P(X=x)
k
14
116
0 1 2 3 4x
Penyelesaian
Soalan 4
Graf berikut menunjukkan Taburan Binomial bagi pembolehubah X.
Cari
a) nilai m
b) P( X ≥ 1)
Jawapan :
a) m=1− 127
− 627
−1227
= 8
27
9
P(X=x)
1227
m
127
0 1 2 3x
627
b) P ( X ≥1 )=1227
+ 627
+ 127
= 1927
Aktiviti 4
Soalan 1
Jawapan :
n=7 , p=15
, q=45
P ( X=3 )= C3(15 )
3
( 45 )
4
=0.1147❑
7
Soalan 2
p= 60100
=0.6
q=1−0.6=0.4
n=10
P(sekurang-kurangnya 8 calon gagal)
= P(0, 1 atau 2 calon lulus)
10
PenyelesaianPenyelesaian
Dalam satu peperiksaan, 60% daripada calon yang menduduki peperiksaan itu
lulus. Jika sampel 10 orang calon dipilih secara rawak, tentukan
kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 8 orang calon gagal.
PenyelesaianPenyelesaian
Kebarangkalian hujan akan turun pada sebarang hari ialah 15 . Hitung
kebarangkalian bahawa hujan akan turun tepat 3 hari dalam seminggu.
P ( X=0 )+P ( X=1 )+P ( x=2 )
¿ C0❑10 (0.6 )0 (0.4 )10+ C1❑
10 (0.6 )1 (0.4 )9+ C2❑10 (0.6 )2 (0.4 )8
= 0.01229
Soalan 3
a) p= 20100
=0.2 , q=1−0.2=0.8 , n=10
P(3 biji telur adalah rosak)
P ( X=3 )= C3❑10 (0.2 )3 (0.8 )7
= 0.2013
b) P(semua telur adalah elok)
= P(tiada telur yang rosak)
P ( X=0 )= C0❑10 (0.2 )0 (0.8 )10
= 0.1074
c) P(tidak lebih daripada 2 biji telur didapati rosak)
= P(0, 1 atau 2 biji telur adalah rosak)
P ( X=0 )+P ( X=1 )+P ( X=2 )
¿ C0❑10 (0.2 )0 (0.8 )10+ C1❑
10 (0.2 )1 (0.8 ) 9+ C2❑10 (0.2 )2 (0.8 )8
= 0.1074 + 0.2684 + 0.3020
= 0.6778
11
Penyelesaian
20% daripada telur dalam sebuah bakul didapati telah rosak. Jika 10 biji
telur dipilih secara rawak, hitung kebarangkalian bahawa
a) 3 biji telur adalah rosak
b) semua telur adalah elok
c) tidak lebih daripada 2 biji telur adalah rosak
Latihan untuk Aktiviti ‘Think-Pair-Share’
12
Soalan 1
Dalam satu kajian warna kereta di atas jalan raya, didapati bahawa 40% daripada kereta adalah berwarna putih. Jika 6 buah kereta dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
a) tepat 3 buah kereta berwarna putih
b) lebih daripada 4 buah kereta berwarna putih
a) 0.2765b) 0.04096
Soalan 2
Di sebuah Bandar, satu daripada lima buah keluarga memelihara haiwan. Cari kebarangkalian bahawa daripada satu sampel yang terdiri daripada 10 buah keluarga yang dipilih secara rawak,
a) tepat 3 buah keluarga memelihara haiwan
b) lebih separuh daripada keluarga itu memelihara haiwan
Soalan 2
Di sebuah bandar, satu daripada lima buah keluarga memiliki binatang peliharaan. Cari kebarangkalian bahawa daripada satu sampel yang terdiri daripada 10 buah keluarga yang dipilih secara rawak,
a) tepat 3 buah keluarga memiliki binatang peliharaan
b) lebih separuh daripada keluarga itu memiliki binatang peliharaan
a) 0.2013b) 0.006369
13
Soalan 3
Syarikat ABC mempunyai 5 talian telefon. Kebarangkalian satu talian telefon
digunakan pada suatu masa ialah 13 .Cari kebarangkalian bahawa
a) sekurang-kurangnya satu talian digunakan pada suatu masa
b) semua talian digunakan pada suatu masa
a) 0.8683b) 0.004115
Soalan 4
Didapati bahawa 75% daripada graduan universiti di sebuah negeri berjaya mendapat pekerjaan selepas tamat pengajian. Jika 10 orang graduan universiti dari negeri itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
a) tepat 9 orang graduan mendapat pekerjaan
b) selebih-lebihnya 2 orang tidak mendapat pekerjaan
Aktiviti 5
Bagi suatu Taburan Binomial, X
Soalan 1
No
.
Masalah n p q Min
μ=np
Varians
σ 2=npq
Sisihan
piawai
σ=√npq
1. Dalam sebuah kilang,
kebarangkalian sebiji
mentol dipilih secara
rawak adalah rosak ialah
0.01. Kilang itu
menghasilkan 500 biji
mentol sehari.
2. Dalam satu pertandingan
menembak,
kebarangkalian John
mengena sasaran ialah 35
. John melepaskan 10
tembakan.
3. X ~ Bin(100, 14 )
4. X ~ Bin(8, 0.2)
14
Min, μ=np
Varians, σ 2=npq
Sisihan piawai, σ=√npq
a) 0.1877b) 0.5256
Soalan 2
Dalam satu ujian IQ berbentuk objektif yang mengandungi 60 soalan, setiap soalan
diberi 5 pilihan jawapan dan hanya satu jawapan yang betul. Jika seorang pelajar
menjawab semua soalan dengan memilih secara rawak satu jawapan bagi setiap
soalan, hitung
a) min skor
b) sisihan piawai bagi skornya
a) n = 60, p = 15 , q = 1 -
15 =
45
min = np
= 60(15¿
= 12
b) sisihan piawai = √npq
= √60( 15 )( 4
5)
= 3.098
15
Penyelesaian
Soalan 3
Dalam satu latihan memanah, didapati kebarangkalian bahawa Rosli berjaya mengena
sasaran ialah p. Cari nilai p dan bilangan percubaan yang perlu dilakukan supaya min
dan sisihan piawai mengena sasaran masing-masing ialah 20 dan 4.
np = 20
√npq=4
√20 q=4
20 q=16
q=45
p=1−45=1
5
n( 15 )=20
n=100
∴n=100 , p=15
16
Penyelesaian
Soalan 4
Kebarangkalian seketul batu yang dilontar oleh Azman mengena sasaran ialah 0.7.
Cari bilangan batu yang mesti dilontar oleh Azman supaya kebarangkalian untuk
mengena sasaran sekurang-kurangnya 1 kali adalah lebih besar daripada 0.99.
P ( X ≥1 )>0.99
1−P ( X=0 )>0.99
P ( X=0 )<1−0.99
C0 (0.7 )0 (0.3 )n<0.01❑n
0.3n<0.01
log10 0.3n< log10 0.01
n log10 0.3<log10 0.01
n>log10 0.01log10 0.3
n>3.82
∴n=4
17
Penyelesaian
Latihan untuk Aktiviti ‘Think-Pair-Share’
18
Soalan 1
Diberi X ~ Bin (n, p) dengan keadaan P ( X=0 )= 1256 dan P ( X=n )= 81
256 .
Cari nilai n dan p.
n = 4, p = 34
Soalan 2
Min dan varians bagi satu pembolehubah rawak binomial Y iaitu Y ~ Bin (n, p)
ialah 3 dan 2 masing-masing. Cari nilai n dan p.
n = 9 , p = 13
Soalan 3
Di sebuah kawasan perumahan, 20% daripada penduduknya adalah warga emas.
Jika varians bagi warga emas ialah 128, berapakah bilangan penduduk yang ada di
kawasan perumahan itu?
Soalan Pengukuhan
1. a) Sekeping duit syiling dilambung 3 kali. Jika X ialah pembolehubah
rawak diskret yang mewakili bilangan kali gambar muncul, senaraikan
nilai-nilai yang mungkin bagi X.
b) Sebiji dadu dilontar 2 kali. Jika X ialah pembolehubah rawak diskret
yang mewakili hasil tambah angka-angka yang muncul, senaraikan
nilai-nilai yang mungkin bagi X.
2. Sebiji dadu dengan permukaan-permukaan bernombor 1, 2, 8, 8, 5 atau 7
dilontar sebanyak 4 kali. Pembolehubah rawak diskret X mewakili bilangan
kali nombor 8 muncul dalam uji kaji tersebut.
a) Cari taburan kebarangkalian bagi X dan lakarkan grafnya.
b) Hitung min, varians dan sisihan piawai bagi X.
3. Kebarangkalian bagi sebiji benih kacang berjaya bercambah ialah 0.8. Seorang
petani menanam 100 biji benih kacang dalam kebunnya. Jika X mewakili
bilangan biji benih yang berjaya bercambah, cari min dan sisihan piawai bagi
X.
4. 3% daripada jam tangan yang dihasilkan oleh sebuah kilang didapati rosak.
19
n = 800
Jika 10 jam tangan dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
a) tepat 2 jam tangan adalah rosak
b) tidak lebih daripada 2 jam tangan rosak
c) sekurang-kurangnya 2 jam tangan rosak
5. 80% daripada pelajar-pelajar di sebuah sekolah memandu lulus ujian
memandu mereka. Satu sampel rawak yang mempunyai n orang pelajar dipilih
dari sekolah memandu tersebut. Jika min bagi bilangan pelajar yang lulus ialah
7.2, cari nilai n. Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa
a) kesemua pelajar dalam sampel itu lulus ujian memandu
b) kurang daripada 3 orang pelajar yang gagal ujian memandu
6. Syarikat Mutiara mengendalikan perkhidmatan feri sebanyak 8 perjalanan
dalam sehari. Kebarangkalian suatu perjalanan itu menepati masa ialah 0.85.
Syarikat itu layak diberi anugerah bulanan ‘Perkhidmatan Cemerlang’, jika
dalam sebulan sekurang-kurangnya 6 perjalanan sehari menepati masa.
a) Cari kebarangkalian bahawa syarikat itu diberi anugerah
‘Perkhidmatan Cemerlang’ pada satu bulan tertentu.
b) Syarikat itu layak diberi anugerah tahunan ‘Perkhidmatan Gemilang’,
jika dalam setahun, lebih daripada 9 kali syarikat itu dianugerahkan
‘Perkhidmatan Cemerlang’. Cari kebarangkalian bahawa syarikat itu
menerima anugerah ‘Perkhidmatan Gemilang’ pada satu tahun tertentu.
7. Sebuah sekolah menghantar 6 orang pelajar untuk menghadiri temuduga
20
biasiswa. Jika setiap pelajar mempunyai kebarangkalian 13 untuk berjaya
memperoleh biasiswa tersebut, cari kebarangkalian bahawa
a) kesemua pelajar itu diberi biasiswa
b) hanya 3 orang pelajar diberi biasiswa
c) sekurang-kurangnya seorang pelajar diberi biasiswa
8. 2% daripada mentol yang dihasilkan oleh sebuah kilang didapati rosak. Jika
10 biji mentol dipilih secara rawak dari kilang itu, cari kebarangkalian bahawa
a) tiada mentol yang rosak
b) tidak lebih daripada 2 biji mentol yang rosak
9. Johny melepaskan 5 tembakan terhadap satu sasaran dalam satu latihan
menenbak. Jika kebarangkalian Johny mengena sasaran ialah 0.8, cari
kebarangkalian bahawa
a) dia berjaya mengena sasaran sebanyak 2 kali
b) dia tidak berjaya mengena sasaran dalam semua tembakannya
c) dia berjaya mengena sasaran sekurang-kurangnya 3 kali
10. Sebuah beg berisi 10 biji bola dengan 7 daripadanya berwarna merah.
a) Jika sebiji bola dicabut secara rawak daripada beg itu, cari
kebarangkalian bahawa bola itu berwarna merah.
b) Seorang pelajar membuat 5 cabutan daripada beg itu, dan setiap kali
bola itu dikembalikan ke dalam beg. Cari kebarangkalian bahawa dia
mendapat
21
i) 3 biji bola merah
ii) kurang daripada 2 biji bola bukan merah
11. Dalam satu permainan memancing ikan oleh kanak-kanak, kebarangkalian
untuk mendapat seekor ikan mainan ialah 14 . Jika seorang kanak-kanak
memancing sebanyak 6 kali, cari kebarangkalian bahawa dia akan mendapat
a) 4 ekor ikan mainan
b) sekurang-kurangnya 4 ekor ikan mainan
12. Dalam satu tinjauan di sebuah sekolah, didapati 2 orang daripada 5 orang
murid sekolah menyertai Larian Merdeka 2015.
a) Jika 6 orang murid dipilih secara rawak dari sekolah itu, cari
kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 3 orang murid
menyertai Larian Merdeka 2015.
b) Jika terdapat 1635 orang murid dalam sekolah itu, hitung min dan
sisihan piawai bagi bilangan murid yang menyertai Larian Merdeka
2015.
13. Di sebuah pusat penetasan telur ayam, 40% daripada anak ayam yang baru
lahir ialah ayam jantan. Jika 12 ekor anak ayam yang baru lahir dipilih secara
rawak, cari kebarangkalian bahawa
a) 7 ekor anak ayam itu ialah ayam jantan
b) lebih daripada 10 ekor anak ayam ialah ayam betina
14. Sebuah pesawat mempunyai 4 buah enjin jet. Kebarangkalian bahawa enjin
rosak ialah 0.005. Cari kebarangkalian bahawa dalam suatu penerbangan,
22
a) tiada enjin yang rosak
b) tepat 3 buah enjin rosak
c) selebih-lebihnya sebuah enjin rosak
15. Sebuah beg mengandungi 6 biji bola hijau dan 5 biji bola merah. 5 biji bola
dikeluarkan secara rawak satu demi satu dari beg itu dengan penggantian,
sebelum bola yang berikutnya dikeluarkan. Cari kebarangkalian bahawa
a) tepat 2 bola merah dikeluarkan
b) sekurang-kurangnya sebiji bola merah dikeluarkan
Jawapan :
Aktiviti 1
2. X = {0, 1, 2, 3}
3. X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Aktiviti 2
1. p= 14
,q=34
2. p=12
,q=12
3. p=12
,q=12
Aktiviti 5
n p q min varians Sisihan piawai
1. 500 0.01 0.99 5 4.95 2.225
2. 10 35
25
6 2.4 1.549
3. 100 14
34
25 18.75 4.330
4. 8 0.2 0.8 1.6 1.28 1.131
23
Soalan Pengukuhan
1. (a) X = {0, 1, 2, 3}
(b) X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
2. a) n = 4, p = 13 , q =
23
X = {0, 1, 2, 3, 4}
P(X = 0) = C0( 13 )
0
( 23 )
4
=1681❑
4
P(X = 1) = C1( 13 )
1
( 23 )
3
=3281❑
4
P(X = 2) = C2( 13 )
2
( 23 )
2
=2481❑
4
P(X = 3) = C3( 13 )
3
( 23 )
1
= 881❑
4
P(X = 4) = C4( 13 )
4
(23 )
0
= 181❑
4
(b) min, μ=np
μ=4 ( 13 )=4
3
varians, σ 2=npq
σ 2=4 ( 13 )( 2
3 )=89
sisihan piawai, σ=√npq
σ=√ 89=0.9428
3. n = 100, p = 0.8
Min = 100(0.8)
24
= 80
Sisihan piawai = √100 (0.8 )(0.2)
= 4
4. a) P(X = 2) = C2 (0.03 )2 (0.97 )8=0.03174❑10
b) P ( X ≤2 )=P ( X=0 )+P ( X=1 )+P(X =2)
¿C 0 (0.03 )0 (0.97 )10+ ¿❑10 C1 (0.03 )1 (0.97 )9+ ¿❑
10 C2 (0.03 )2 ( 0.97 )8❑10 ¿¿
= 0.9972
c) P ( X ≥2 )=1−P ( X ≤1 )
¿1−[P ( X=0 )+P ( X=1 )]
¿1−¿
= 1 – 0.9655
= 0.03450
5. n(0.8) = 7.2
n = 9
a) P(X = 9) = C9 (0.8 )9 (0.2 )0=0.1342❑9
b) P ( X ≥7 )=P ( X=7 )+P ( X=8 )+P ( X=9 )
¿C 7 (0.8 )7 (0.2 )2+ ¿❑9 C8 (0.8 )8 (0.2 )1+ C9 (0.8 )9 (0.2 )0❑
9❑9 ¿
= 0.7382
6. a) P ( X ≥6 )=P ( X=6 )+P ( X=7 )+P ( X=8 )
¿C 6 (0.85 )6 (0.15 )2+ ¿❑8 C7 (0.85 )7 (0.15 )1+ ¿❑
8 C8 (0.85 )8 (0.15 )0❑8 ¿¿
= 0.8948
b) P (Y >9 )=P (Y =10 )+P ( X=11 )+P (X=12)
25
¿C10 (0.8948 )10 (0.1052 )2+ ¿❑12 C11 (0.8948 )11 (0.1052 )1+ C12 (0.8948 )12 (0.1052 )0❑
12❑12 ¿
= 0.8755
7. a) P ( X=6 )= C6( 13 )
6
( 23 )
0
= 1729❑
6
b) P ( X=3 )= C3(13 )
3
( 23 )
3
=160729❑
6
c) P ( X ≥1 )=1−P ( X=0 )
= 1− C 0( 13 )
0
( 23 )
6
❑
6
= 665729
8. n=10 , p= 2100
, q= 98100
a) P ( X=0 )= C0( 2100 )
0
( 98100 )
10
=0.8171❑
10
b) P ( X ≤2 )=P ( X=0 )+P ( X=1 )+P(X =2)
¿ C0( 2100 )
0
( 98100 )
10
+ C1( 2100 )
1
( 98100 )
9
❑
10
❑
10
+ C2( 2100 )
2
( 98100 )
8
❑
10
= 0.9992
9. a) P ( X=2 )= C2 (0.8 )2 (0.2 )3❑5
= 0.0512
b) P ( X=0 )= C0 (0.8 )0 (0.2 )5❑5
= 0.00032
c) P ( X ≥3 )=P ( X=3 )+P ( X=4 )+P(X=5)
¿ C3 (0.8 )3 (0.2 )2❑5 +C4 (0.8 )4 (0.2 )1+ ¿❑
5 C5 (0.8 )5 ( 0.2 )0❑5 ¿
26
= 0.2048 + 0.4096 + 0.3277
= 0.9421
10. a) 0.7
b) i) P ( X=3 )= C3 (0.7 )3 (0.3 )2❑5
= 0.3087
ii) P (Y <2 )=P (Y=0 )+ P(Y=1)
¿C0 (0.3 )0 (0.7 )5+ ¿❑5 C1 (0.3 )1 (0.7 )4❑
5 ¿
= 0.5282
11. a) P ( X=4 )= C4( 14 )
4
( 34 )
2
❑
6
= 0.03296
b) P ( X ≥ 4 )=P ( X=4 )+P ( X=5 )+P(X=6)
¿C 4( 14 )
4
( 34 )
2
+ C5( 14 )
5
( 34 )
1
+ ¿❑6 C6( 1
4 )6
( 34 )
0
❑
6
❑
6
¿
= 0.03424
12. a) P ( X ≥3 )=1−P( X<3)
¿1−[P ( X=0 )+P ( X=1 )+P ( X=2 )]
¿1−¿
= 0.4557
b) min = 1635( 25 )
= 654
sisihan piawai = √1635( 25 )( 3
5)
27
= 19.81
13. a) P ( X=7 )= C7 (0.4 )7 (0.6 )5❑12
= 0.1009
b) P ( X=0 )+P(X=1)
¿C0 (0.4 )0 (0.6 )12+ ¿❑12 C1 (0.4 )1 (0.6 )11
❑12 ¿
= 0.01959
14. a) P ( X=0 )= C0 (0.005 )0 (0.995 )4=0.9801❑4
b) P ( X=3 )= C3 (0.005 )3 (0.995 )1=4.975× 10−7❑4
c) P ( X=0 )+P(X=1)= C0 (0.005 )0 (0.995 )4+ C1 (0.005 )1 (0.995 )3❑4
❑4
= 0.9801 + 0.01970
= 0.9998
15. n=5 , p= 511
, q= 611
a) P ( X=2 )= C2( 511)
2
( 611 )
3
❑
5
= 0.3353
b) P ( X ≥1 )=1−P ( X=0 )
¿1− C0( 511)
0
( 611 )
5
❑
5
= 0.9517
28
29