2017.05.15.
1
1 / 35 oldal
Véletlen bolyongások (1D 2D 3D)
Késztette: Bereczki Zoltán
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Definíció:• Egy egyenesen (1 dimenziós tér)• Jobbra, vagy balra lépünk• Minden lépés független a
korábbiaktól• P(jobbra)=p; P(balra)=q• Nincs „helyben maradási" lépés, azaz
P(jobbra)= 1-P(balra)
2 / 35 oldal
3 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Példák:• Numerikus közelítés (diszkrét eset)• Részecskék mozgásának modellezése
(ütközések elég nagy sugarú körön)• Szerencsejátékban a pénzmennyiség • Választások, szavazatszám• Bolha ugrál a számegyenesen
matekfeladatok :D
Lehetséges vizsgálatok I:• Korlátos bolyongás:
• Egy vagy mindkét irányba definiálunk egykorlátot, melynek elérése esetén terminál abolyongás
• Például szerencsejátékoknál véges apénzmennyiségünk (nem tudunk 0 alá menni),esetleg a kaszinónak is véges a pénzmennyisége,azaz nem nyerhetünk egy bizonyos összegnéltöbbet
4 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Lehetséges vizsgálatok II:• Nem korlátos bolyongás:
• Nem definiálunk korlátot, azaz akármennyirekicsi, vagy nagy értékeket is elérhet a bolyongás
• Például szerencsejátékoknál lehet negatívpénzünk (tartozás)
5 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
• Aszimmetrikus bolyongás:• P(jobbra) ≠ P(balra)• Az aszimmetrikus bolyongás nem visszatérő NMB
Lehetséges vizsgálatok III:• Szimmetrikus bolyongás
• Jobbra => +1; Balra => -1•P(jobbra) = P(balra) = ½•
• Feltesszük, hogy a 0-ból indulunk, így:
6 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
2017.05.15.
2
7 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Szimmetrikus bolyongás• Ábrázoljuk értékét n függvényében:
8 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Stein – tétel
Ha P(|X|>0)>0, akkor minden a<0<b-re:
1 valószínűséggel véges, így minden korlátos intervallumból kilép a bolyongás
9 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Tükrözési-elv
A és B egész koordinátájúak, de mindkettő a pozitív oldalán van az x-tengelynek . Legyen A’ az A pont tükörképe az x-tengelyre. Ekkor:|A-B út : {A-B út ∩ x-tengely} ≠ Ø| = |A’-B út| Biz.: Tükrözzük az első metszéspontig tartó útrészt
10 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Visszatérés vizsgálata INyilván csak páros lépés után térhet vissza:
11 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Visszatérés vizsgálata IISoha nem tér vissza a 0-ba (valami nagy n-ig)
P(pozitív irányba indul, 2r-be jut)
12 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Visszatérés vizsgálata IIIPozitív irányba indulva a 2r-be ér 0-ból, de átmegy
hasonlóan: ezeket összerakva és
szummázva teleszkópikus összeget kapunk:
2017.05.15.
3
13 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Visszatérés vizsgálata IV
Ezeket összerakva már látjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy 2n lépés alatt nem térünk vissza = 2n lépés után értünk vissza, innen:
14 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Visszatérés vizsgálata V(2n az első visszatérés) = (2n lépés során valamikor járunk a 0-ban) - (2n-2 lépés során valamikor járunk 0-ban)Ha kihasználjuk azt is, hogy annak a valószínűsége, hogy 2n során valamikor visszatérünk = 1 – annak a valószínűsége, hogy 2n alatt egyszer sem térünk vissza, akkor adódik, hogy:
15 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Visszatérés vizsgálata VI
Ebből az, hogy valaha visszatér úgy számolható, hogy n szerint szummázzuk, de ekkor megint teleszkópikus összeget kapunk és csak u0 marad, ami 1, így azt kaptuk, hogy 1 dimenzióban a szimmetrikus bolyongás 1 valószínűséggel visszatérő, viszont ennek várható ideje nem véges
16 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Generátor függvények
Aszimmetrikus bolyongás I
•Jobbra => +1; Balra => -1• p=P(jobbra) ≠ P(balra)=1-p• Nincs helyben maradás (lépni kell)
•Feltesszük, hogy a 0-ból indulunk, így:
17 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
Aszimmetrikus bolyongás II
• Az aszimmetrikus bolyongás nem visszatérő• Nyilván ilyenkor is csak páros lépés után térhet
vissza• Ilyenkor a visszatérésre:
18 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán
2017.05.15.
4
Aszimmetrikus bolyongás III
• Ennek p = ½ -ben nyilván maximuma van, így hap ≠ ½, akkor a „[…]”-ben lévő rész kisebb, mint 1,így az exponenciális alap kisebb 1, vagyis ez a sorkonvergens, így a generátorfüggvényeknél látott
szumma kisebb 1-nél, mert U(1) nem végtelen,így az aszimmetrikus bolyongás nem visszatérő!
19 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 1D
Késztette: Bereczki Zoltán 20 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 2D- 3D
Késztette: Bereczki Zoltán
Definíció:• Egy síkon (2 dimenziós tér)• Jobbra, balra, előre vagy hátra lépünk• Minden lépés független a korábbiaktól• P(jobbra)=p; P(balra)=q; P(előre)=r;
P(hátra)=s• Nincs helyben maradás, azaz ezek
összege 1• Hasonlóan magasabb dimenziókra
21 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán
Lehetséges vizsgálatok I:• Korlátos bolyongás:
• néhány irányba definiálunk egykorlátot, melynek elérése esetén terminál abolyongás
• Például diffúzióval történő fraktálépítés bizonyos fraktáldimenziók esetén
• Végtelen bolyongás• Például végtelen ellenállásláncok eredő
ellenállása stb.
Véletlen bolyongások 2D- 3D
22 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán
A diffúziólimitált aggregáció „fraktáltermészetű” növekedési folyamat, mely növekedési magokból indul ki. A „növekedési magok”-hoz a tér véletlenszerű irányaiból érkeznek szabad diffúzióval
részek, melyek a növekedési maghoz, majd egymáshoz tapadva aggregátumot (nanorészecskét) képeznek. A titán-oxidok a legjellegzetesebb példa erre (TiOx)
Véletlen bolyongások 2D- 3D
23 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán
Véletlen bolyongások 2D- 3D
ahol zo egy normálásifaktor, r a növekedési magtól mért távolság,p a gáznyomásℓref = 3,92 cm éspref = 1 Pa pedig konstansok. CNx film.
24 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán
Végtelen bolyongás (bankrabló) I
Jelölje p(a,b) annak a valószínűségét, hogy a bankrabló egy (a,b) koordinátákkal megadható belső* pontból indulva megmenekül*. Az (a,b) pontba a bankrabló valamelyik szomszédos pontból jutott, azaz (a-1,b), (a+1,b), (a,b+1), (a,b-1) pontok valamelyikéből, de mindegyikből ¼ valószínűséggel:
Véletlen bolyongások 2D- 3D
2017.05.15.
5
25 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán
Végtelen bolyongás (bankrabló) IITekintsünk egy négyzetrács-hálózatot, ahol az élek azonos R ellenállásokból állnak. A (k,l) koordinátájú pontba kívülről befolyó áram I(k,l), a (k,l)-edikcsomópont potenciálja Φ(k,l). A csomóponti törvény alapján:
Véletlen bolyongások 2D- 3D
26 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán
Véletlen bolyongások 2D- 3D
Végtelen bolyongás (bankrabló) III
27 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán
Véletlen bolyongások 2D- 3D
Végtelen bolyongás (bankrabló) IVHa a rabló megszökési esélye 0, akkor előbb tér vissza az origóba, mint hogy megszökne. Rayleigh rövidre zárás-törvényét használva, alulról becsülhető Re
28 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán
Véletlen bolyongások 2D- 3D
Végtelen bolyongás (bankrabló) VIgazából ezen ellenállást „könnyű” számolni egy trükkel (koncentrikus négyzetek)
29 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 2D-3D
Késztette: Bereczki Zoltán
Lehetséges vizsgálatok II:• Szimmetrikus bolyongások:
•P(jobbra) = P(balra) = P(előre) = P(hátra) = ¼
• Feltesszük, hogy a 0-ból indulunk, így:•Hasonlóan magasabb dimenziókban
30 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 2D-3D
Késztette: Bereczki Zoltán
Szimmetrikus bolyongások I
Generátorfüggvényekből már láttuk, hogy ilyenkor visszatérő
2017.05.15.
6
31 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 2D-3D
Késztette: Bereczki Zoltán
Szimmetrikus bolyongások II
32 / 35 oldal
Véletlen bolyongások 2D-3D
Késztette: Bereczki Zoltán
Szimmetrikus bolyongások III
Pólya – tétel:
A szimmetrikus bolyongások 1D-ben és 2D-ben 1 valószínűséggel visszatérők, DE 3 vagy több dimenzióban 1-nél kisebbvalószínűséggel térnek vissza.Ez NEM azt jelenti, hogy 1 valószínűséggel ne lenne visszatérő…
33 / 35 oldal
Véletlen bolyongások Háromszögrácson
Késztette: Bereczki Zoltán
Szabályos sokszögrácsokon:Háromszögrács I:Két elemi rácsvektort veszünk a1 és a2, egybeesnek a ráccsal és 120°-os szöget zárnak be; és ezeknek n ésm szereseivel jelöljük az elmozdulásokat, figyelve, hogy 6 különböző van: (1;0),
(0;1), (-1;0), (0;-1), (1;1), (-1;-1)
34 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán
Szabályos sokszögrácsokon:Háromszögrács II:Kivételesen nem a fizikai interpretációt fogunk csinálni, a matematikai eredményből, hanem fordítva:
Giles Atkinson (1976): legyen cosh(s)=2sec(x)-cos(x)
Véletlen bolyongások Háromszögrácson
35 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán
Szabályos sokszögrácsokon:Háromszögrács III:Most is Rayleigh rövidre zárás-törvényét használva, alulról becsülhető Re (koncentrikus hatszögek):
Így a véletlen bolyongás háromszögrácson is visszatérő
Véletlen bolyongások Háromszögrácson
Köszönöm a megtisztelő figyelmet!
-Q&A-
Véletlen bolyongások
2017.05.15.
7
Véletlen bolyongások
Tesztkérdés:Hazaérsz-e részegen? És ha te vagy Superman (részegen)?
A: igen igen B: igen nemC: nem igen D: nem nem