1. Volume    Gambar  di  bawah  adalah  𝑛 = 5  keping  uang  logam  dengan  ketebalan  ∆𝑥  yang  jika  dirapatkan  satu  sama  lain  akan  membentuk  silinder  pejal.  Prinsip  ini  akan  digunakan  untuk  menentukan  volume  siliner    

   Luas  permukaan  uang  logam  berbentuk  lingkaran  adalah  𝐴 = 𝜋𝑟!    Volume  satu  keping  uang  logam  adalah    𝑉! = 𝐴!∆𝑥𝑉! = 𝜋𝑟!!∆𝑥

   

 Jika  ada  𝑛  keping  uang  logam  disusun  membentuk  silinder  maka  volumenya  adalah    

𝑉 = 𝜋𝑟!!∆𝑥!

!!!

 

   Pada  gambar  di  bawah  jika  daerah  yang  diarsir  diputar  sejauh  360!  mengelilingi  sumbu  X  lintasannya  akan  membentuk  silinder    

   Area  yang  diarsir  dibatasi  garis  𝑦 = 𝑟  dan  sumbu  X  pada  selang  𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏  maka  luas  silinder  yang  terbentuk  luas  alasnya  𝐴 = 𝜋𝑟!    dan  tingginya  𝑏 − 𝑎  maka  luasnya  adalah  𝑉 = 𝜋𝑟! 𝑏 − 𝑎    

 

Jika  kurva  𝑦 = 𝑟  dibagi  menjadi  𝑛  partisi  𝑃  dan  kontinu  pada  selang  𝑎 = 𝑥! <  𝑥! < 𝑥! < ⋯ < 𝑥! = 𝑏  maka  lebar  ∆𝑥 = !!!

!= 𝑥!!! − 𝑥!  

 Luas  permukaan  tiap  partisi  yang  berbentuk  lingkaran  adalah      𝐴! = 𝜋𝑟!

𝐴! = 𝜋 𝑓 𝑥! !    

   Volumenya  adalah    

𝑉 = 𝐴!∆𝑥!

!!!

𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥! !∆𝑥!

!!!

 

 Untuk  𝑛  yang  sangat  besar  dan  ∆𝑥 → 0  maka  volume  adalah    

𝑉 = lim∆!→!

𝜋 𝑓 𝑥! !∆𝑥!

!!!

𝑉 = 𝜋𝑓 𝑥 !!

!𝑑𝑥

𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 !!

!𝑑𝑥

 

 

         

Jika  𝑓 𝑥    kontinue  pada  selang  𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏  dan  diputar  sejauh  360!  pada  sumbu  X  maka  volume  benda  putar  yang  terbentuk  adalah    

𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 !!

!𝑑𝑥  

 Jika  diputar  terhadap  sumbu  Y    

𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑦 !!

!𝑑𝑦  

 

 

Untuk  perhitungan  volume  siliner  pada  gambar  di  atas    𝑓 𝑥 = 𝑟  adalah    𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 !!

! 𝑑𝑥

= 𝜋 𝑟!!! 𝑑𝑥

= 𝜋 𝑟!𝑥!!! 𝑑𝑥

= 𝜋𝑟! !!!!

𝑥!!!𝑏

𝑎

= 𝜋𝑟!𝑥𝑏

𝑎= 𝜋𝑟!𝑏 − 𝜋𝑟!𝑎= 𝜋𝑟! 𝑏 − 𝑎

   

   Untuk  menghitung  volume  bola  digunakan  kurva  setengah  lingkaran    

   Persamaan  lingkaran  yang  berjari  jari  𝑟  dan  berpusat  di   0,0  adalah    𝑥! + 𝑦! = 𝑟!

𝑦! = 𝑟! − 𝑥!

𝑦 = 𝑟! − 𝑥!

𝑓 𝑥 = 𝑟! − 𝑥!

   

 Volume  bola  yang  terjadi  bila  kurva  𝑓 𝑥 = 𝑟! − 𝑥!  pada  selang  −𝑟 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟  diputar  terhadap  sumbu  X    

 

𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 !!

!!𝑑𝑥

𝑉 = 𝜋 𝑟! − 𝑥!!!

!!𝑑𝑥

𝑉 = 𝜋 𝑟! − 𝑥!!

!!𝑑𝑥

𝑉 = 𝜋 𝑟!𝑥! − 𝑥!!

!!𝑑𝑥

𝑉 = 𝜋 𝑟!1

0 + 1 𝑥!!! −

12 + 1 𝑥

!!!𝑟

−𝑟

𝑉 = 𝜋 𝑟!𝑥 −13𝑥!

𝑟

−𝑟

𝑉 = 𝜋 𝑟! 𝑟 −13𝑟 ! − 𝜋 𝑟! −𝑟 −

13−𝑟 !

𝑉 = 𝜋 𝑟! −13𝑟! − 𝜋 −𝑟! −

13−𝑟!

𝑉 = 𝜋23𝑟! − 𝜋 −𝑟! +

13𝑟!

𝑉 = 𝜋23𝑟! − 𝜋 −

23𝑟!

𝑉 =23 𝜋𝑟

! +23 𝜋𝑟

!

𝑉 =43 𝜋𝑟

!